Matrices.doc j5370

Algebra Lineal

Sistemas de ecuaciones lineales 1. Concepto de ecuación lineal. Sistemas lineales. 2. Sistemas de ecuaciones lineales graduados. 3. Método de Gauss para graduar un sistema lineal. 4. Discusión de un sistema dependiente de un parámetro. Objetivos Mínimos - Conocer la definición de ecuación lineal. Conocer la definición de sistema de ecuaciones lineales. - Definición de sistemas equivalentes y saber que transformaciones nos permiten pasar de un sistema a otro que sea equivalente. - Conocer la definición de sistema graduado. Dado un sistema, saber aplicar el método de Gauss para obtener otro graduado equivalente. - Saber discutir un sistema dependiente de un parámetro.

Introducción.Hace más de veinte siglos se publicó en China el libro titulado Nueve capítulos sobre el arte de las matemáticas En el capítulo octavo se resuelven problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Así, el sistema:

 x  2 y  3z  26   2 x  3 y  z  34  3x  2 y  z  39 

lo resuelven tranformándolo previamente en este otro

36 z  99  

5 y  z  24  3x  2 y  z  39  

del que, fácilmente, se obtiene de modo sucesivo z , y , x .

Por lo tanto, lo que hoy conocemos por método de Gauss, quizá debería Cesáreo Rodríguez

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Algebra Lineal llamarse método de Chui-Chang suan shu, que es como se conoce en chino el título de este libro de autor desconocido.

1.-Concepto de ecuación lineal. Sistemas lineales. Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. 1 2

1 3

Son lineales: a)2 x  3 y  4 b) x  3 y  6 z  0 c) x  y  1  0 d ) 2 x  y  No lo son: a) 2 x  3 y  z  2 b)2 x y  5 z  35 c)

5 2

3  y  1  0 d ) x  sen y   1 2x

Dos ecuaciones lineales se dicen equivalentes cuando tienen la misma solución (o las mismas soluciones si tienen más de una). Si multiplicamos los dos de una misma ecuación lineal por el mismo número (distinto de cero) la ecuación resultante es equivalente a la dada. Ejemplo. Las ecuaciones lineales a )2 x  3 y  4 y b)10 x  15 y  20 son equivalentes. Tienen las mismas soluciones (puntos por los que pasa esa recta) Un sistema de ecuaciones lineales es el formado por varias ecuaciones lineales con el fin de determinar la solución (o soluciones) común a todas las ecuaciones que conforman dicho sistema. Dos sistemas lineales se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. Observación.- Dos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo sean las ecuaciones que forman parte de los mismos.

 2x5y16  5  yx 13  esequivalentea  Solución x,: y 3,2  x  3 y  3  x  y  1 Transformaciones en un sistema para obtener otro equivalente.Las siguientes transformaciones en las ecuaciones de un sistema dan lugar a otro sistema equivalente al dado.  Multiplicar cada miembro de una ecuación por una constante no nula.  Sustituir una ecuación por la suma de ella misma y otra cualquiera multiplicada por una constante. Cesáreo Rodríguez

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Algebra Lineal

En función del número de soluciones de un sistema éstos se clasifican:



 A1 )DETERMINADO(solución única)  A2 )INDETERMINADO(infinitas soluciones)

 A)SISTEMA COMPATIBLE    

 B)SISTEMA INCOMPATIB LE(no tiene solución)   2.-Sistemas Graduados.Los siguientes sistemas se dicen graduados:

 2x  3y  14  A)    5y  10 

 x  2 y  t  5  x  3y  2z  7     y  z  8     B )  5 y  z  6  C )    3z  12   z  3t  11      2t  6  

De abajo arriba, vamos obteniendo el valor de cada incógnita que, en un paso posterior sustituimos en las ecuaciones anteriores y permite seguir el proceso hasta obtener la solución (o soluciones) del sistema. Así, los anteriores sistemas son compatibles determinados:

Cesáreo Rodríguez

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Algebra Lineal

 2x  3y  14  A)    5y  10 

 y2 solA)   x4

 x  2 y  t  5  x  3y  2z  7        y z 8 B)  5 y  z  6  C )    3z  12   z  3t  11      2t  6    z4  solB)  y  2  x5 

 t 3  z2  solC)   y6  x  4

Fíjate ahora en el siguiente sistema graduado,al tener más incógnitas que ecuaciones pasamos una de las incógnitas al segundo miembro, obtenemos otro sistema equivalente (graduado). Como las incógnitas están puestas en función de una de ellas(t en este caso) el sistema no tiene solución única sino que, en función de los valores que le demos a (t), las demás incógnitas tomarán también distintos valores. Sistema compatible indeterminado.

 x2y t  5  x2y 5t   z 1 3t       yz 8 equivalentes  yz 8  sol y  3 3t  z3t 1   z 1 3t  x1 5t     A la incónita (t) se le dice parámetro y se representa con una letra griega    por ejemplo. Cesáreo Rodríguez

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Algebra Lineal En estas circunstancias el sistema tiene infinitas soluciones de la forma: Así para

x  11  5 ; y  3  3 ;   0  x  11; y  3; z  11; t  0   1  x  6; y  0; z  8; t  1

z  11  3 ;

t

Aunque es menos evidente el siguiente sistema también es graduado:

 3x  5 y  11    2y  4  x  y  z  14 

despejamos “y” en la 2ª;”x” en la 1ª; “z” en la 3ª.

3.-Método de Gauss.El procedimiento para transformar un sistema cualquiera en otro equivalente graduado se denomina Método de Gauss. Para que el sistema inicial tome la fisonomía del graduado equivalente se van “haciendo ceros” sometiendo a las ecuaciones a dos transformaciones:  Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero.  Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número. Este proceso se realiza de modo muy ágil cuando prescindimos de las incógnitas del sistema, y utilizamos sólamente los coeficientes de las ecuaciones estructurados en lo que llamaremos matrices numéricas. Ejemplo.a)Resuelve mediante Gauss el sistema:

 2 x  5 y  3z  4   x  2y  z  3  5 x  y  7 z  11 

escribimos el sistema en forma matricial y “hacemos ceros”

 2  5 3 4  ((12ªª))2(2ª)  0  1 1 2  ((12ªª))  0  1 1  2   (3)ª5(2ª)   (3ª92(1ª)    1  2 1 3       1  2 1 3       1  2 1 3   5 1 7 11  0 11 2  4  0 13 0 0        El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incógnitas es:

Cesáreo Rodríguez

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Algebra Lineal

 1y 1z  2 compatible  y  0  determinado   x  2y  z  3     z  2  13y  0  x  5  

.

b)Resuelve mediante Gauss el sistema:

 x  3y  2z  7   2 x  y  15 z  3

 x  8 y  21z  11 

escribimos el sistema en forma matricial y “hacemos ceros”

 1  3  2 7  ((12ªª))2(1ª)  1  3  2 7  ((12ªª))  1  3  2 7    (3)ª(1ª)   (3ª)( 2 ª )    2 1 15 3      0 5 19  11     0 5 19  11  1  8  21 11  0  5 19 4   0 0 0 7        El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incógnitas es:

 x  3y  2z  7   5 y  19 z  11 la última ecuación es imposible; sistema  0 x  0 y  0 z  7 

incompatible.

Con los ejemplos anteriores hemos visto que el método de Gauss nos puede llevar a las siguientes situaciones: El cuadrado rojo representa un número cualquiera. El cuadrado negro representa número distinto de cero. Hay tantas ecuaciones válidas como incógnitas. Sistema compatible Determinado. Cesáreo Rodríguez

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Algebra Lineal

Hay menos ecuaciones válidas que incógnitas. Las incógnitas que están de más se pasan al segundo miembro con lo que el valor de las otras depende de éstas últimas. Sistema Compatible indeterminado. Si aparece una ecuación como la indicada, nunca se puede cumplir (cuadrado negro,distinto de cero). Sistema Incompatible

Ejemplo.c)Resuelve mediante Gauss el sistema:

 x  3 y  7 z  10   5x  y  z  8

 x  4 y  10 z  11 

sistema en forma matricial y “hacemos ceros”.

 1  3 7 10  ((12ªª))5(1ª)  1  3 7 10  ((12ªª))(3ª)   (3)ª(1ª)   eliminamos (2ª)  1  3 7  5  1 1 8       0 14  34  42         0 7  17  1 4  10  11  0 7  17  21     Sistema 17  Escalonado y  3  z más incógnitas compatible  7 que ecuaciones  x  3 y  10  7 z indeterminado               7 y  21  17 z  x  1 2 z  7

El sistema es Compatible indeterminado (infinitas soluciones) de la forma: Cesáreo Rodríguez

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Algebra Lineal 2 7

Solución: x  1   ; y  3 

17 ; 7

z

4.-Discusión de un sistema dependiente de un parámetro.En ciertas ocasiones, los coeficientes de las incógnitas no son números sino letras, que reciben el nombre de parámetros. En estos casos es preciso determinar para que valores del parámetro (o parámetros) es, o no, compatible el sistema. En este curso trataremos sólamente los sistemas con un único parámetro. Ejemplo.Resuelve por Gauss el sistema:

 kx  y  z  8   x yz 0  2x  z  k 

sistema con un parámetro (k).

 k 1 1 8  ((12ªª))(2ª)  k 1 0  2 8  ((12ªª))2(3ª)  k  3 0 0 8  2k    (3)ª   (3ª )    1 1 1 0      1 1 1 0      1 1 1 0   2 0 1 k  2 0 1 k  2 01 k       

 0  Si k  3 queda:  1  2 

0 1

0 1

0

1

2   0  Sistema Incompatible.  3 

Cesáreo Rodríguez

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Algebra Lineal



 8  2k  x  k 3  k  3x  8 2k compatible  2  determinado  k  k 16 k   3 Si queda:  x  y  z  0     z   2x  z  k  k  3    k2  k 8  y  k3

en este caso pues, el sistema es

Compatible determinado.

Observación.En este último caso hay infinitos sistemas (según los valores de (k ) )que son compatibles determinados (cada uno tiene una única solución). Sólamente en el caso de k  3 el sistema resultante es Incompatible No debes confundir los casos en los que un parámetro es alguno de los coeficientes de las ecuaciones del sistema, con los sistemas compatibles indeterminados en los que alguna de las incógnitas funciona como parámetro.

Matrices y Determinantes 5. Concepto de matriz de orden (mxn). Definiciones. 6. Operaciones con matrices. 7. Matrices Cuadradas. 8. Concepto de Rango de una matriz. 9. Definición de Determinante de una matriz cuadrada. 10.

Propiedades de los determinantes.

11.

Rango de una matriz y determinantes. Cesáreo Rodríguez

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Algebra Lineal 12.

Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes.

Objetivos Mínimos - Conocer la definición de matriz de orden (mxn). Matriz traspuesta de otra matriz. Definición de Matriz simétrica, antisimétrica y matriz triangular. - Principales operciones con matrices. Especial incidencia en el producto de matrices y sus propiedades. - Trabajo más exhaustivo y concreto con matrices cuadradas. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada por el método de Gauss. - Concepto de rango de una matriz y cálculo del mismo (Gauss). - Conocer el concepto de Determinante de una matriz cuadrada. Hacer especial hincapié en las matrices cuadradas de orden “2” y orden “3”. - Principales propiedades de los determinantes. - Saber calcular el rango de una matriz usando los determinantes. - Aprender a calcular la inversa de una matriz mediante los determinantes.

Introducción.En el tema anterior ya hemos tratado las matrices como “cajas numéricas” en las que se resume de forma estructurada una cierta información. Durante el siglo (XIX), de los estudios de matemáticos como Cayley en relación con las transformaciones geométricas, surgen las operaciones con matrices que les confieren una sólida estructura algebraica. La teoría de los determinantes la desarrolló por completo Cauchy (s.XIX) en una memoria que expuso en 1812. En este tema vamos a ver su aplicación para la resolución de problemas de tipo geométrico-algebraico. Los determinantes también tienen aplicación en otros campos, así en el campo de la Física (propagación de ondas,.........).

5.-Concepto de matriz de orden (mxn). Definiciones.En el tema anterior ya hemos trabajado con matrices, que como hemos visto son cajas numéricas rectangulares formadas por filas y columnas. En general definimos una matriz de orden (mxn) como una caja de la forma: Esta matriz tiene “m” filas y “n” columnas. Su dimensión es mxn (número de elementos). Si m=1 la matriz se dice “vector fila”. Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal Si n=1 la matriz se dice “vector columna”. Si m=n la matriz se dice cuadrada de orden (n). Las matrices se suelen denominar con una letra mayúscula (A, B,C,....) y j 1,..., n abreviadamente se suele escribir A   a ij  i 1,....,m . Dos matrices A y B se dicen iguales cuando son de la misma dimensión y además coinciden término por término. A   aij  i 1,.., m

j 1,.., n



B   bij  i 1,..,m

j 1,.., n

 aij  bij

i , j

Llamamos traspuesta de A   a ij  i 1,...., m , a la matriz A   a ji  j 1,..,n que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas (y viceversa). j 1,..., n j 1,..., n Llamamos opuesta de A   a ij  i 1,...., m , a la matriz  A    a ij  i 1,....,m que se obtiene al cambiar el signo de todos los elementos de A . j 1,..., n

t

i 1,.., m

Una matriz A se dice simétrica si A  A t ( en consecuencia para que sea simétrica necesariamente ha de ser cuadrada). Una matriz A se dice antisimétrica si  A  A t (en consecuencia para que sea antisimétrica necesariamente ha de ser cuadrada). Toda matriz cuadrada A se puede descomponer de modo único como suma de una matriz simétrica S y otra antisimétrica H .

 

 1 t  S  2 A  A Si A  S  H    H  1 A  At  2

 

(lo demostraremos más adelante!).

Diagonal principal en una matriz cuadrada son los elementos: a ij ; (i  j ) Llamamos matriz triangular aquella que tiene todos los elementos por debajo (o por encima) de la diagonal principal iguales a cero.

6.-Operaciones con matrices.Las matrices se pueden sumar, pueden multiplicarse por un número y también multiplicarse entre sí. Cada una de estas operaciones tiene sus particularidades y sus interpretaciones. Suma de dos matrices.Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal Para sumar dos matrices A   aij  i 1,..,m y B   bij  i 1,..,m es necesario que tengan la misma dimensión. En tal caso, se suman término a término: j 1,.., n

j 1,.., n

A  B   aij  i 1,.., m   bij  i 1,.., m   a ij  bij  i 1,..,m j 1,.., n

j 1,.., n

j 1,.., n

Producto de un número por una matriz.j 1,..., n Para multiplicar un número  k  por una matriz A   a ij  i 1,....,m , se multiplica ese número por cada término de la matriz: kA  k  a ij  i 1,...., m   kaij  i 1,.., m j 1,..., n

j 1,.., n

Ejemplo.- Sean las matrices  1  2   A 0 5   1 4   

 2  B 4  3 

0    1 2 

 3  C  3  0 

 1  2  1 

Calcula : D  A  2 B  3C  1  2  2    D 0 5  2 4  1 4   3      12 1       1  3  5 5  

0   3    1  3  3  0 2  

 1  1  2   4     2   0 5   8  1 4   6 1    

0   9    2    9  0 4  

3    6   3 

Producto de una matriz fila por una matriz columna.El producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma dimensión, es un número que se obtiene multiplicándolos término a término y sumando los resultados. Ejemplo.Sea el vector fila: F    2

5

0  y el vector columna

 1   C    2  7   

Calcula el producto de F.C: F.C

  2

5

0

 1     2     2   1  5  2   0.7  2  10  0  8  7   

Producto de dos matrices.k 1,.., n j 1,.., p Para que dos matrices A   aik  i 1,..,m y B   bkj  k 1,..,n se puedan multiplicar es necesario que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. En tal caso el producto es otra matriz P  A.B cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda del siguiente modo:

Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal P  A.B   aik  i 1,..,m  bkj  k 1,..,n   c ij  i 1,.., m k 1,.., n

cij   ai1

ai 2

...

j 1,.., p

j 1,.., p

donde cada cij se obtiene

 b1 j    n  b2 j  ain    a . b  ..........  a . b   aik   bkj   i1 1 j in nj ...  k 1    bn j   

El producto de matrices P  A.B puede realizarse siempre que los vectores fila de A sean de la misma dimensión que los vectores columna de B , y en ese caso, la matriz producto tiene tantas filas como A y columnas como B . Observa en este ejemplo como funciona el producto de matrices. matriz A: Consumo anual de tres familias  ;  ;  de pan,carne y manteca. matriz B: Precio en € del pan,carne y leche en los años: 2005,06,07,08.

La matriz producto P  A.B nos dá el gasto anual (en cada uno de esos cuatro años) de cada familia en el total de los tres productos.

Propiedades de las operaciones con matrices.Las propiedades de las operaciones con matrices les confieren una estructura muy interesante. En este curso de 2º de bachillerato no estudiaremos las potencialidades de la estructura algebraica de las matrices, aunque veremos en la práctica el modo de aplicar dichas propiedades (para aprender a manejarlas). Sólamente en este apartado, y por la la importancia de su aplicación en los ejercicios, señalaremos que el producto de matrices no es conmutativo. Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal

Ejemplo.Comprobemos con algunos ejemplos que el producto no es conmutativo  Si la matriz A es de orden (3x4) y la matriz B es de orden (4x2) podemos efectuar A.B pero no podemos efectuar B. A  Si la matriz A es de orden (3x4) y la matriz B es de orden (4x3) podemos efectuar A.B y podemos efectuar B. A pero no pueden ser iguales  A.B  B. A ya que A.B es de orden(3x3) y B. A de orden(4x4).  Por último, aún siendo posible hacer A.B y B. A y que ambos productos sean del mismo orden, no tienen porque ser iguales

 A.B 

 2

B. A .

 30  6

B.A  

1

 1

7

 5

Sean: A   4 5  ; B   3 0  : A.B   19     

14  

28 

y

36   3 

Ejercicio.-(pendiente de comprobación) Vamos a demostrar que toda matriz A se puede descomponer en suma de una matriz simétrica S y una antisimétrica H . Demostración.Supongamos A suma de: S (simétrica) y H (antisimétrica); A  S  H Si tasponemos la anterior igualdad tendremos:    At  S  H es decir:  , At  S  H

t

traspuesta suma igual suma traspuestas

St  Ht

S S t HH t

S H

ASH 

sumando miembro a miembro

ASH 

res tan do miembro a miembro

 

1 t       A  A  2S  S  A  A t 2 A  S  H t

 

1 t       A  A  2H  H  A  A t 2 A  S  H t

Por la forma de obtener S y H la descomposición es única.

Cesáreo Rodríguez -

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7.-Matrices Cuadradas.Ya hemos dicho que las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que columnas. Dentro de estas matrices son especialmente relevantes aquellas que tienen todos los elementos nulos, salvo los de la diagonal principal. Reciben el nombre de Matrices Diagonales. De entre las matrices diagonales, destacan las que tiene todos los elementos no nulos iguales y que llamamos: Matrices Escalares. De entre las matrices escalares podemos destacar aquellas que tienen todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se llama Matriz Unidad. La matriz unidad se representa con la letra  I  .Las hay de distinto orden:  1 0  I 2    0 1

 1 0 0   I3   0 1 0  0 0 1  

 1 0   0 1 I4   0 0   0 0 

0

0 

0 0 1 0  0 1 

Ya hemos estudiado cómo se multiplican dos matrices. En el conjunto de las matrices cuadradas siempre es posible multiplicar dos matrices (son del mismo orden), aunque el producto no es conmutativo. Ahora bien, dada una matriz cuadrada A , nos planteamos la siguiente pregunta: ¿es posible encontrar alguna matriz B que conmute con A ? En general la respuesta es negativa , pero para algunas matrices cuadradas sí es posible encontrar esa matriz, a la que se le suele llamar inversa de A , y se representa por A 1 . La matriz A y su inversa A 1 conmutan y su producto es la matriz unidad  I  A. A 1  A 1 . A  I

Las matrices que tienen inversa se llaman matrices regulares y las que no la tienen se llaman singulares. Ejemplo.- Comprueba que la matriz A , dada más abajo, es regular y su inversa es A 1 . 

1 A   1  2  

A 1

 15   9  5 

1 0 5 8 5 3

 1  3   3  3  2 1 

 1  A. A 1  A 1 . A   0  0 

0 1 0

0  0

1 

El método de Gauss, que veremos a continuación, nos sirve para obtener la inversa de una matriz (si la tiene) o para descubrir que no la tiene.

Cesáreo Rodríguez -

- 15

Algebra Lineal Inversa de una matriz por el método de Gauss.Dada una matriz cuadrada A de orden (n), queremos averiguar si tiene o no inversa. En caso de que la tenga ( A regular) calcular dicha inversa A 1 . La mecánica del método consiste en colocar a la derecha de la matriz A la matriz unidad I . Haciendo las transformaciones elementales que utilizamos para resolver un sistema, transformar A en la matriz unidad I , y aplicando esas mismas transformaciones a la matriz I , ésta se transforma en A 1 .Abreviadamente

Si las transformaciones aplicadas sobre la matriz A hacen que aparezca una fila toda de ceros, entonces ésta no tiene inversa. Ejemplos. 1  Determina, si la tiene, la inversa de la matriz: A   3  0 

2

1

0

4

4



1 

Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal

Finalmente tendríamos que comprobar que la matriz obtenida es la inversa de la matriz A . Para ello efectuamos: A. A 1  A 1 . A  I Gracias a las propiedades de las operaciones con matrices ( si la matriz A tiene inversa) podremos resolver ecuaciones matriciales como: A. X  B  C Multiplicamos por A1 por la izquierda

A. X  B  C  A. X  C  B       A 1 . A. X  A 1  C  B   X  A 1 . C  B 

Ejercicios.A)Determina una matriz X que verifica la igualdad A. X . A  B  O siendo:  3  2

A  

1    1

 5 B    1

 2 3 



 0 0  O    0 0

Sol.Para poder despejar X necesitamos calcular la inversa de A (si la tiene).

Ahora podemos despejar X en la ecuación: A. X . A  B  O A. X . A  B  O  A. X  B  A 1 . A. X . A. A 1  A 1 .B. A 1  X  A 1 .B. A 1

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Algebra Lineal  1 X    2

1    3 

 5   1

 2  1   3    2

1   1     3  2

1    3 

 9   5

11 

 4     8  3

3 

2 

2 B)Despejar X en la siguiente igualdad:  X  A  X 2  XA  I 2 Sol.2 Efectuamos  X  A   X  A X  A  X 2  XA  AX  A 2 por tanto: X 2  XA  AX  A 2  X 2  XA  I 2 AX  A 2  I 2 A X  A  I 2  A 1 . A X  A  A 1 .I 2  X  A 1  A

C) Si A es una matriz de orden (n) tal que A 2  A y B  2 A  I siendo I la matriz unidad de orden (n).Calcula B 2 Sol.B 2  B.B   2 A  I  2 A  I   4 A 2  2 A.I  I .2 A  I 2

Como según el enunciado A 2  A tendremos que: B 2  4 A 2  2 A.I  I .2 A  I 2  4 A  2 A  2 A  I  I

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Algebra Lineal

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8.-Concepto de rango de una matriz.Antes de definir el concepto de rango de una matriz, necesitamos dar una serie de definiciones previas. Una colección de (n) números reales dados en un cierto orden se denomina n-upla.Así una 2-upla es:  3  5 una 3-upla es: 1 0 2  etc. Vamos a prestarles mucha atención a estos elementos pues las filas y las columnas de las matrices son todos n-uplas. Dadas las 3-uplas (también llamadas ternas) siguientes: f1  1  2 5 f 2    1 0  3 Podemos calcular, por ejemplo: A) 3 f 1  5 f 2 B) 2 f 1  3 f 2 etc. A una expresión, como la A) o la B) anteriores, se le denomina combinación lineal de las ternas f 1 , f 2 . A los números se les denomina coeficientes. Como podemos comprobar, sin más que efectuar las operaciones indicadas, una combinación lineal de varias “ternas” es otra terna (en general: n-upla) A) 3 f1  5 f 2  31  2 5  5  1 0  3    2  6 0 B) 2 f 1  3 f 2  21  2 5  3  1 0  3   5  4 19  Decimos que un conjunto de varias “ternas” (en general n-uplas) son linealmente dependientes (L D) si alguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás. Así las ternas: f1  1  2 5 f 2    1 0  3 f 3    2 6 0 son (LD) pues,como hemos visto en A), f 3 es combinación lineal de f 1 y f 2 . La terna  0 0 0  es combinación lineal de cualquier conjunto de ternas. Decimos que un conjunto de varias “ternas” (en general n-uplas) son linealmente independientes (L I) si ninguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás. Las ternas 1 0 0  0 1 0   0 0 1 son (LI) pues ninguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás. En algunos casos, como el que acabamos de ver, es evidente la independencia o la dependencia lineal. En general el recurso más efectivo para saber si un conjunto de n-uplas es independiente o no dice: La condición necesaria y suficiente para que un conjunto de “m” n-uplas sea (LI) es que cualquier combinación lineal de las mismas igualada a la n-upla  0 0 ... 0 los coeficientes han de ser cero. Es decir: a1 f 1  a 2 f 2  .......  a m f m   0 0 ... 0  a1  a 2  ..........  a m  0

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Algebra Lineal

Entre las filas de las matrices (y también entre las columnas) puede haber relaciones de dependencia lineal. El conocimiento de la relación de dependencia entre las filas, es de gran importancia para el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. En este contesto podemos ahora definir: Rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes. También podríamos definir el rango cómo el número de columnas de la matriz que son (LI). En este caso nos podemos formular la pregunta: ¿Es posible que en una matriz el número de filas (LI) sea distinto del número de columnas (LI)? La respuesta es negativa. Teorema.En cualquier matriz, el número de filas (LI) coincide con el número de columnas (LI). Según ésto, el Rango de una matriz es el número de filas o de columnas que son (LI). Demostración.(no la hacemos pues no se pide en las PAAU). Obtención del rango de una matriz por el método de Gauss.Si sobre una matriz cualquiera efectuamos las mismas transformaciones elementales del método de Gauss para resolver un sistema, no modifican el rango de la matriz (pues se conserva la relacion de dependencia o independencia de la fila transformada respecto de las restantes filas). Por tanto para determinar el rango podemos proceder “haciendo ceros” para escalonar la matriz y obviamente el rango coincidirá con el número de filas distintas de  0 0 ... 0  . Ejemplo. 3  A   2 Calcula el rango de la matriz:  5 

7 11

4 6

1

24

1   17   37 

7 4  1 ((12ªª))  3 7 4  1  ((12ºª))17 (1ª )  3   (3ª) 37 (1ª )   (3ª) 2( 2 ª) 2 11  6 17      53 130 62 0           5  1 24  37    106  260  124 0       3 7 4  1   53 130 62 0    0 0 0 0   Evidentemente el rango de A es dos, es decir, rg(A)=2. Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal

9.-Definición de Determinante de una matriz cuadrada.Permutaciones.Dados los dos primeros números naturales:{1,2} nos planteamos la siguiente pregunta: ¿cuántas ordenaciones distintas podemos formar con ellos? La respuesta es evidentemente “dos” que son: a)12 y b)21. Si pensamos ahora en los tres primeros números:{1,2,3} y formulamos la misma pregunta anterior, la respuesta en esta caso es: “seis” que son: a)123,b)132,c)213,d)231,e)312,f)321. A cada una de estas ordenaciones se le denomina permutación y se puede demostrar que para “n” elementos el número de permutaciones es: n! Así en el caso de dos elementos el número de permutaciones es 2! =2.1 =2 Para tres elementos es 3! =3.2.1 =6, en general es n! = n.(n-1).......3.2.1 La permutación en la que los elementos están dados en el orden natural se le denomina permutación principal, así en el caso n=3 la principal es: a)123 Si en una permutación dos elementos están en el mismo orden que en la principal se dicen que forman permanencia y si están en orden contrario se dice que forman inversión. Por ejemplo, en la permutación b) 132 el 1 forma permanencia con el 3 y con el 2 el 3 forma inversión con el 2 El número de inversiones de la permutación anterior es “una”. Una permutación es de índice par si tiene un número par de inversiones. Si tiene un número impar de inversiones la permutación es de índice impar. La permutación: b)132 es de índice “impar” pues tiene una inversión. En la permutación d)231 hay dos inversiones: el 2 con el 1 y el 3 con el 1, por tanto es una permutación “par”. Al índice par se le asocia el número (+1), al índice impar el número (-1). Si cambiamos entre sí dos elementos en una permutación cualquiera, la nueva permutacion tiene índice opuesto a la dada. Por ejemplo la permutación d)231 es “par” (+1), si cambiamos el 3 con el 1 tenemos la permutación: 213 que es “impar”(-1). Por último un resultado muy interesante en relación con las permutaciones De las n! Permutaciones de n elementos, la mitad de ellas son de índice par y la otra mitad son de índice impar. Así para el caso n=3, de las 3!=3.2.1=6 permutaciones distintas tenemos: Tres de índice par: a)123, d)231, e)312 Tres de índice impar: b)132, c)213, f)321 Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal

Determinante de una matriz cuadrada de orden (2). a11 a12   definimos el Dada una matriz cuadrada de orden (2) A   a a  21 22  determinante de A (y escribimos: obtiene del siguiente modo:

A 

det( A) o A

a11

a12

a 21

a 22

) como el número que se

 a11 .a 22  a12 .a 21 .

Observa que dada la matriz A de orden (2) se pueden formar productos de “dos” elementos de la matriz, de modo que no haya dos de la misma fila ni dos de la misma columna (necesariamente en cada producto hay un elemento de cada fila y uno de cada columna). Como la matriz es de orden (n=2), de entre los (n 2=4) factores posibles podemos formar productos de “dos” elementos de la forma:{ ai1 j1 , ai2 j2 } Los subíndices que indican las filas forman una permutación:  i1 i2  de los números 1,2 ; los subíndices que indican las columnas  j1 j2  forman también una permutación de 1,2 . Si ambas permutaciones  i1

i2  y  j1

j2  tienen el mismo índice (par o

impar), asignamos al producto: ai1 j1 .ai2 j2 el signo (+); si por el contrario tienen distinto índice asignamos al producto ai1 j1 .ai2 j2 el signo (-). Podríamos escribir los factores de cada producto ordenados por filas: { a1 j1 , a 2 j2 } y como la permutación por filas: 1 2  es par, el signo (+) o (-) de cada producto a1 j1 .a 2 j2 sólo dependería del índice de la permutación de las

columnas:  j1 j2  . Como el número de permutacuiones distintas de 1,2 son (2!=2), es evidente que podemos formar exactamente dos productos (de dos factores cada uno) con los cuatro elementos de una matriz cuadrada de orden (2). Todos estos resultados nos permiten concluir que: El determinante de una matriz de orden dos es el número que se obtiene al sumar los dos productos posibles, tales que en cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna (dos factores por producto), con el signo (+) o (-) según que tengan el mismo o distinto índice, la permutación de las filas y la de las columnas de dichos factores respectivamente.

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Algebra Lineal

Determinante de una matriz cuadrada de orden (3). a11  Dada una matriz cuadrada de orden (3) A   a 21  a  31 determinante de A (y escribimos: obtiene del siguiente modo:

det( A) o A

a12 a 22 a 32

a13   a 23  definimos el a33 

) como el número que se

a11

a12

a13

A  a 21

a 22

a 23  a11 .a 22 .a33  a12 .a 23 .a31  a13 .a 21 .a32 

a 31

a32

a33  a13 .a 22 .a 31  a12 .a 21 .a 33  a11 .a 23 .a32 .

En este caso (n=3), cada uno de los productos posibles tomando un factor de cada fila y uno de cada columna hace que dichos productos estén formados por tres factores. Como el núemro total de permutaciones posibles de tres elementos: {1,2,3} es (3!=3.2.1=6), el número total de productos es seis. De esos seis sabemos que la mitad son de signo (+) y la otra mitad son de signo(-). El determinante de una matriz de orden tres es el número que se obtiene al sumar los seis productos posibles, tales que en cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna (tres factores por producto), con el signo (+) o (-) según que tengan el mismo o distinto índice, la permutación de las filas y la de las columnas de dichos factores respectivamente.

Regla de Sarrus.-

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Algebra Lineal

Ejercicios.1.-Calcula el valor de los determinantes: a)

7

1

2

4

b)

4

11

6

0

c)

0

0

3

1

d)

33

55

3

5

e)

7

21

4

12

Sol.a)

7 2

1  7.4  2.(1)  28  2  30 4

c)

0 3

0 33  0.1  0.3  0 d ) 1 3

 p

2.-Si la matriz A   r 

b)

4 6

55  33.5  55.3  0 5

q

 y sabemos que

s 

a)

11  4.0  6.11  66 0

7p

7q

r

s

b)

e)

7p r

q

p

s

r

7q  7 ps  7 qr  7 ps  qr   7.4  28 s

c ) 11 . A 

11 p 11r

21  7.12  21.4  0 12

A  4 :Calcula:

c ) 11. A

Sol.Si calculamos el determinante de A tenemos que: a)

7 4

b)

q s

A  ps  qr  4

p  qr  ps   ps  qr   4 r

11q  11 p.11s  11q.11r  112  ps  qr   (121).4  484 11s

3.- Calcula los determinantes (por Sarrus) de orden tres: 3 a) 1 4

2 7 1

5 3 0

7 b) 0 0

4 11 0

3 1 5

Sol.3

2

5

a) 1

7

3  3.7.0  ( 2).3.4  5.1.1  5.7.4  ( 2).1.0  3.3.1  19  149  168

4

1

0

7 b) 0 0

4 11 0

3 1  7.11 .5  ( 4).1.0  0.0.3  3.11.0  ( 4).0.5  7.1.0  385 5

10 Propiedades de los Determinantes.Un determinante de orden (4) tiene (en su desarrollo) 24 términos, los de orden (5) tienen 120 términos. El cálculo directo de determinantes de orden superior a(3) es en la práctica muy engorroso. Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal Enunciaremos una serie de propiedades que cumplen los determinantes de cualquier orden(n) (las ejemplificaremos en los de orden(3)). La importancia de las propiedades radica en que nos van a permitir calcular los determinantes de una manera más rápida (sin efectuar el desrrollo de todos los términos) y además nos van a facilitar el cálculo de determinantes de orden mayor que tres a partir de los de orden tres. 1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: A  At en efecto, veámoslo con una matriz de orden (3). 2

3 A  1 4

1 3

A

t

 2 5

5 3  3.7.0  ( 2).3.4  5.1.1  5.7.4  ( 2).1.0  3.3.1  168

7

0 1

4

7

1  3.7.0  1.1.5  4.( 2).3  4.7.5  1.( 2).0  3.1.3  168

3

0

Recordemos que la matriz traspuesta ( A t )tiene los mismos elementos que ( A ), sólo difieren en que el elemento aij de A t es el a ji de A . Un sumando del desarrollo de A es de la forma: ai1 j1 .ai2 j2 .ai3 j3 , permutando, tanto los subíndices de las filas, como los de las columnas, en el conjunto: {1,2,3}. Por eso también está en el desarrollo de A el sumando: a j1i1 .a j2i2 .a j3i3 que es, evidentemente, un sumando del desarrollo de At . t En conclusión, como A y A tienen los mismos sumandos y con los mismos signos,(pues el índice de la permutación que corresponde a filas y columnas en A es el mismo que corresponde a columnas y t t filas en A ), valen igual: ( A  A ). En base a este resultado, podemos afirmar que las propiedades enunciadas con la palabra “fila”, son igualmente válidas si la sustituimos por la palabra “columna”. Por todo ésto nos referiremos a filas y columnas, indistintamente, con la palabra línea. 2. Si una matriz cuadrada tiene una línea de ceros su determinante es cero. Ésto es evidente ya que en todos los sumandos aparecerá un factor que es cero, y consecuentemente todos los sumandos son cero. 3. Si se permutan dos líneas paralelas en una matriz cuadrada, el determinante cambia de signo. Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal 3

2

1

7

3  3.7.0  ( 2).3.4  5.1.1  5.7.4  ( 2).1.0  3.3.1  168

4

1

0

1 3

7 2

4

1

5

3 5  1.( 2).0  7.5.4  3.3.1  3.( 2).4  7.3.0  1.5.1  168 0

Efectivamente, si permutamos las dos primeras filas (ejemplo anterior) observamos que ambos determinantes tienen los mismos sumandos pero con el signo cambiado. Se basa en la idea de que si cambiamos entre sí dos elementos en una permutación cualquiera, la nueva permutacion tiene índice opuesto a la dada. 4. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante vale cero. Es una consecuencia inmediata de la propiedad (3) ya que si permutamos entre sí las dos líneas iguales el determinante cambia de signo, pero la matriz es la misma cuando permutamos las filas iguales, de ahí que su determinante valga cero, pues el único número que es igual a su opuesto es precisamente cero. 5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea en una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número. 3

2

1

7

3  3.7.0  ( 2).3.4  5.1.1  5.7.4  ( 2).1.0  3.3.1  168

4

1

0

3 2

2 14

4

1

5

5 6  3.14.0  ( 2).6.4  5.2.1  5.14.4  ( 2) 2.0  3.6.1  336 0

Si la segunda fila se multiplica por (2), en cada sumando de este segundo determinante aparece un factor multiplicado por (2), en relación al sumando correspondiente del primer determinante.

6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas proporcionales el determinante es cero. Efectivamente, basta aplicar las propiedades (5) y (4) anteriores. 7. Indicamos esta propiedad de modo esquemático para no complicar su fácil interpretación en un enunciado engorroso con palabras.  a13  a13 a11 a12  a12 a11 a12 a13 a11 a12  a 23  a 21 a 22 a 23  a 21 a 22 a 23 a 21 a 22  a 22  a33 a31 a32 a33 a31 a32  a33 a31 a32  a32 Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal Evidentemente cada sumando del determinante del primer miembro se puede descomponer en dos sumandos que se corresponden con cada uno de los de los determinantes del segundo miembro. 8. Si a una línea de una matriz cuadrada le sumamos una combinación lineal de las demás su determinante no varía. Efectivamente si B es la matriz que se obtiene de A de modo que tienen todas las líneas iguales salvo una, que para B se obtiene como suma de la correspondiente de A más una combinación lineal de las restantes líneas de A . Pues bien, podemos calcular el B aplicando (7) como suma de varios determinantes, uno de ellos es A y los demás son cero (por (6)) pues todos tienen dos filas proporcionales. Por tanto: B  A . 9. Si una matriz cuadrada tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces el determinante es cero. Recíprocamente, si un determinante es cero, entonces tiene una línea que es combinación lineal de las demás. Esta propiedad es evidente a partir de la anterior (8) pues si en este caso la matriz B tiene todas las líneas iguales que las de A salvo una que para B es una combinación lineal de las restantes de A , el valor del B es cero, ya que razonando como en la propiedad anterior y teniendo en cuenta que ahora la matriz correspondiente A tendría una fila toda de ceros( A  0 ) y como B  A entonces: B 0. Vamos a probar el recíproco para el caso (n=2). a11 .a 22  a12 .a 21  0  a11 .a 22  a12 .a 21 

a11 a 21

a12 0 a 22

a11 a12  a 21 a 22

Es deir: la fila dos es combinación lineal de la fila uno. 10. El determinante de un producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes, es decir, A.B  A . B Requiere para su demostración la regla de Laplace para el desarrollo de un determinante por los menores de “p” filas. (No la hacemos). Ejercicios.1) Justifica, sin desarrollar por Sarrus, estas igualdades: 3 a) 0 1

1 0 11

7 0 0 4

4 b) 2 8

1 9 2

7 1 0  14

7 c) 2 27

4 9 94

1 7 0 71

Sol.3 a) 0 1

-

1 0 11

7 0 0 4

Cesáreo Rodríguez

- 31

Algebra Lineal Efectivamente tiene una fila toda de ceros, por la propiedad (2) el determinante es cero. 4 b) 2 8

7 c) 2 27

4 9 94

1 7 0

1 9

7 1

2

 14

Tiene dos filas proporcionales que son la fila (1) y la fila (3): f 3  ( 2). f1 y aplicando la propiedad (6) deducimos que ese determinante es cero.

0

La tercera fila es combinación lineal de las dos primeras: f 3  f1  10 f 2 y si aplicamos la propiedad (9) deducimos que el

71

determinante es cero. 2) Sabiendo que el valor del determinante es:

x 5

y 0

z 3 1

1

1

1

Calcula sin

desarrollar los determinantes: 3x a) 5 1

3y 0 1

3z 3 1

x 3 5 1

5x

5y

b) 1

0

1

1

5z 3 5 1

x 1  5. 5 . 5 1

x c) 2 x  5 x 1 (6) y (7 )

0

x  5 x

d ) Si

y 2y y 1 y 0 y

 x  A 5  1 

y 0 1

z 3  3.1  3 ; 1

y

(5)

z 2z  3 z 1

z x 3  5 z 1

y 0 1

(5)

(7 )



y 0 1

z 3 1

z  3

1 

x 2x x 1 (6)

0 

0 1

z

1 3  5 . .1  1 5 1

y 2y y 1

z x 2z  5 z 1 x 1

x 5 1

z 3  0 1  1 1

y 0 1

y 0 y 1

z 3 z 1

calcula : A 1 Sabemos que

Según la propiedad (10):

(6) y (7 )



A. A 1  I y

A. A1  A . A 1  A 1 

A. A 1 A



I A

I 1



1 1 1

Menor de una Matriz.Dada una matriz cualquiera de orden (mxn), si seleccionamos “r” filas y “r” columnas de esa matriz, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden (r). El determinante de esa submatriz se le denomina menor de orden r de la matriz inicial. Ejemplo.- Sea la matriz: Un menor de orden (3) quedó seleccionado considerando las filas (1,3,4) y las columnas Cesáreo Rodríguez -

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Algebra Lineal (2,3,5). Los números seleccionados son aquellos en los que se cruzan filas y columnas. Su valor es 7 6 4

3 2 6

1 0  14  36  8  18  60 1

“Menor Complementario” y “Adjunto” de un elemento de una matriz cuadrada.Si en una matriz cuadrada de orden (n) destacamos un elemento  a ij  al suprimir su fila y su columna, obtenemos una submatriz de orden (n-1). El determinante de esta submatriz de orden (n-1) se le denomina menor complementario del elemento  aij  y se designa por:  ij i j Llamamos Adjunto del elemento  aij  al número Aij    1  ij , es decir, al menor complementario con su signo o el signo cambiado, según sea par o impar el resultado de i  j .  2  Ejemplo.-Sea la matriz cuadrada:  5  4 

0

1

 1 . 2 

3 0

a) Determina un menor de orden dos. b) El menor complementario de a12 c) El Adjunto de a12 Sol.a) Un menor de orden dos es, por ejemplo: b) El menor del elemento a12  1 es:  12 c) El Adjunto de a12  1 es:

A12    1



1 2

2

0

4

2

5

1

4

2

 40  4

 10  4  6

 12    1 3

5

1

4

2

   1.6  6

Vamos ahora a estudiar una propiedad de los determinantes que nos va a permitir calcular determinantes de orden mayor que tres. 11. Si los elementos de una línea de una matriz cuadrada se multiplican por los respectivos adjuntos y a continuación se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los elementos de esa línea. Vamos a probarlo para una matriz de orden (3).

Cesáreo Rodríguez -

- 33

Algebra Lineal  a11  Sea la matriz A   a 21  a  31

a13   a 23  vamos a demostrar que a33 

a12 a 22 a 32

A

se

puede

obtener por el desarrollo de los elementos de la segunda fila, A  a 21 A21  a 22 . A22  a 23 . A23 es decir Efectivamente si desarrollamos por Sarrus y operamos como se indica

a11 a 21

a12 a 22

a13 a 23  a11 .a 22 .a33  a12 .a 23 .a 31  a13 .a 21 .a32  a13 .a 22 .a 31  a12 .a 21 .a33  a11 .a 23 .a32 

a 31

a 32

a33

 a 21  a13 .a 32  a12 .a 33   a 22  a11 .a 33  a13 .a 31   a 23  a12 .a31  a11 .a 32    a 21 .(1) 2 1

a12 a 32

a13 a  a 22 (1) 2 2 11 a 33 a 31

a13 a  a 23 (1) 2 3 11 a 33 a 31

a12  a32

 a 21 . A21  a 22 . A22  a 23 . A23

Veamos como aplicar esta propiedad en un caso concreto, a) primero con un determinante de orden (3), comprobando por Sarrus que se obtiene el mismo resultado, y a continuación b) para un determinante de orden(4). 3 a) 1

 2

5

7

3

4

1

0

3

 2

5

a) 1

7

3

4

1

0

 3.7.0  ( 2).3.4  5.1.1  5.7.4  ( 2).1.0  3.3.1  d esar rollo elementos ( 2 ª



f

)

1.  1

1 2

 2

5

1

0

 7 ( 1)

2 2

3

5

4

0

 3( 1)

 1.( 1).(5)  7.1.( 20 )  3.( 1)( 3  8)

b)

3 2

5 0

1 7

8 3

4

1

6

 2

2

1

3

9

des rr ollo (2º) fila



1

8

 2. 1

6

 2

1

3

9

5

23

19  149 

3

 2

4

1

 5  140  33 

3

5

8

 0  7. 4

1

 2

2

1

9

3

5

1

 3. 4

1

6

2

1

3

168

 168



450

Por último vamos a ver una propiedad que nos resultará enormemente útil para la comprobación de la fórmula de la inversa de una matriz mediante los determinantes. 12. Si los elementos de una línea se multiplican por los respectivos Adjuntos de otra línea paralela, el resultado suma cero. Para el caso de una matriz cuadrada de orden (3) tendríamos por ejemplo que: a 21 A31  a 22 . A32  a 23 . A33  0 . En efecto, en general sabemos que:  . A31   .. A32   .. A33   . a11 a 21

a12 a 22

a13 a 23







a12

a13

a 22

a 23



a11

a13

a 21

a 23



a11 a 21

a12  a 22

La igualdad anterior corresponde al desarrollo del último determinante(de orden 3) por los elementos de la tercera fila. Si  ,  y  son respectivamente a 21 , a 22 y a 23 el último determinante tiene dos filas iguales y por tanto vale cero. Cesáreo Rodríguez -

- 34

Algebra Lineal

Ejemplo.-Sabemos que el siguiente determinante vale:

3 a) 1 4

2 7 1

5 3  168 0

Lo obtuvimos mediante el desrrollo por los elementos de la segunda fila: 

3

2

5

a) 1

7

3

4

1

0

desarr oll o elementos ( 2 ª



f

)

1.  1

1 2

 1.( 1).( 5)



2

1 

5 0



7 ( 1)

7.1.( 20 )



2 2

3

5

4

0

Si ahora multiplicamos los elementos de la segunda fila por los Adjuntos correspondientes de la tercera obtendremos como resultado cero. 1.  1

2 7

1 3

5 3  7( 1) 2  3 3 1

2  1( 6  35)  7(9  5)  3( 21  2)  7

5 3  3( 1) 3 3 3 1

 1.( 41)  7( 4)  3( 23)  41  28  69  69  69  0

Método de Gauss para calcular un determinante de cualquier orden.Según la propiedad (11) el valor de un determinante de cualquier orden se puede conseguir a partir del desarrollo por los elementos de una línea. En ese caso resulta muy ventajoso que la línea correspondiente tenga el mayor número de ceros posibles, ya que así, no es necesario el cálculo de los Adjuntos correspondientes a esos elementos nulos. La idea consiste en “fabricar” el mayor número de ceros en una línea, de forma similar a la que utiliza el método de Gauss para la resolución de sistemas lineales. La propiedad (8) garantiza, que aplicando este tipo de transformaciones elementales para la obtención de ceros, el valor del determinante no cambia. Veamos en un ejemplo este método de cálculo: Ejemplo.A) Calcula el valor del determinante de orden (5): 1 4

3 1

3 1

5 1

4

0

 5 2

2  1

0 3

 1 1

ce ros en co lum na ( 4 ª ) (1 ª )  ( 4 ª ) ( 2 ª )  3( 3 ª ) ( 4 ª )  2(3 ª)



ce ros en co lum na (1ª ) ( 2 ª ) 14 (1ª ) ( 3 ª ) 18 (1ª )



5

0  1



3

6 10

6 13

0 0

1 18

1 5

3 17

1 0

1

 11

0 0

24 23

 141  181

 2  1

3 1 7 1

4 3

 3 1

3

11

 2

de sarrollo ( 4 ª ) col um na

 1 

 5 2

1 4 11 1 16

c eros en c olum na ( 5 ª ) (3º ) 2 ( 2 ª ) ( 5 ª )  3( 2 ª )

2 0

1

17 14



17  (1) 14 18

desar ro l lo (1 ª ) c olum na



 ( 1)

0  1

1

1

1

1 1

a 1

1 a

1 1

1

1

1

a



a

 3

Operamos por Columnas (1ª ) [( 2 ª )  ( 3 ª )  ( 4 ª )]



24

 141

23

 181



a  3

1

1

1

a  3 a  3

a 1

1 a

1 1

a  3

1

1

a

1 0

1 a 1

1 0

1 0

0 0

0 0

a 1 0

0 a 1

desarrollo (1ª ) columna





 ( 1)

0 6

13 17





propiedad ( 5 )

( a  3).

1

 1





1 11

3 7

1 16

1 3

 5 4

2  3

3 11

1  2



 11

1

14 18

10 5



13 17

 4344  3 243



1101

a , el valor del determinantede orden (4).

B) Calcula, en función de a

desar ro l lo ( 5 º ) c olu mna

0 0

conse guir en fil a  1ª (1ª )  ( 3 ª )

6 10 5



 ( a  3)

1

1

1

1

1 1

a 1

1 a

1 1

1

1

1

a

a 1 0

0 a 1

0 0

0

0

a 1

Operamos por Filas ( 2 ª )  (1ª ) ( 3 ª )  (1ª ) ( 4 ª )  (1ª )



 ( a  3)( a  1) 3 .

11. Rango de una matriz y determinantes.-

Cesáreo Rodríguez -



3.( 1)(3  8)

- 35

3( 



5

Algebra Lineal Según hemos visto anteriormente el rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes, y aplicando el método de Gauss determinamos ese rango. Ahora vamos a utilizar los determinantes para calcular ese rango. La propiedad(9) de los determinantes era una condición necesaria y suficiente para la (dependencia/independencia) de las líneas que dice: A  0  las líneas de A son dependientes A  0  las líneas de A son independientes

Esta propiedad nos proporciona una nueva definición de rango de una matriz. Rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos. Ejemplo.- Fíjate en la matriz A siguiente de orden(4x5): El menor de orden(3x3) señalado en negrita vale 8. Por ser distinto de cero, podemos asegurar que las tres filas de la matriz que determinan la submatriz de ese menor, son independientes. En consecuencia tenemos que rg ( A)  3 . El rango de A podría podría incluso ser cuatro pues en la matriz A hay cinco menores de orden cuatro(combinaciones de cinco columnas tomadas de cuatro en cuatro). Podemos comprobar que todos esos menores son nulos. El rango de A no es cuatro y por tanto el rg ( A)  3 . Como vemos en este ejemplo, tenemos que calcular cinco menores de orden cuatro para asegurarnos el rango de la matriz A .Es un trabajo pesado y poco práctico proceder de este modo. Vamos a ver un método para determinar el rango de una matriz (a partir de los menores) pero que resulte operativo. 1. Se suprime cualquier fila o columna formada totalmente por ceros. 2. Se observa si, a simple vista, se aprecian filas o columnas que sean combinación lineal de sus paralelas y se procede a eliminarlas. 3. Se elige un elemento de la matriz no nulo, con lo que se puede afirmar que el rango es al menos uno. A continuación “orlamos” ese menor,es decir, formamos un menor de orden superior en una unidad. Si alguno de esos menores así formados es no nulo, el rango de la matriz es, al menos, dos. Repetimos el proceso sucesivamente hasta encontrar un menor de orden “k” distinto de cero y que al orlarlo con las restantes filas y columnas de la matriz para formar menores de orden (k+1) resulten todos ellos cero.

Ejemplo.-Determina, aplicando el proceso anterior,el rango de: Cesáreo Rodríguez -

- 36

Algebra Lineal

Seleccionamos el elemento a11  4  0 Rango de la matriz es, al menos, uno. Orlamos este menor[con las fila( 2ª) y la columna (2ª)]. El menor de orden dos señalado vale 8, es distinto de cero y por tanto la matriz tiene, al menos rango dos. Si orlamos este menor con la fila (3ª) y la columna (4ª). El menor de orden tres seleccionado es distinto de cero, por eso podemos afirmar que el rango de la matriz es, al menos, tres. Este último menor lo podemos orlar con la (4ª) fila y la columna (3ª) o con la (4ª) fila y la columna (5ª) (no hay más posibilidades) obteniendo dos menores de orden cuatro ( que son cero ambos: f 4  f1  f 2  f 3 )

Como ambos menores son nulos, el rango de la matriz no puede ser cuatro y necesariamente ha de ser tres. Ejemplo.-Calciula el rango de esta matriz: Rango es, al menos, dos. En consecuencia, Rango es, al menos, tres.

Rango de esta matriz es definitivamente, cuatro. Cesáreo Rodríguez -

- 37

Algebra Lineal

12. Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes.La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tenga inversa A 1 es que su determinante no sea nulo. Abreviadamente:





A es regular A 1  A  0

Condición neceasria. Si A es regular es lo mismo que decir que existe A 1 , como: A. A 1  I . 1 Aplicando la propiedad (10) a esta última igualdad: A . A  1  0 1 Como  es un anillo de integridad tanto: A  0 y A  0 Condición suficiente. 1 Vamos a ver ahora que si A  0 entonces A es regular  A   a11 a12 a13    Lo vamos a probar con una matriz A de orden (3) A   a 21 a 22 a 23   a   31 a 32 a33   A11 A21 A31   1  Formemos la matriz B   A12 A22 A32  , es decir, la matriz traspuesta A   A13 A23 A33  de los Adjuntos de A , multiplicada por el inverso del determinante de A . Veremos que B  A 1 , para ello hay que probar que: A.B  I y B. A  I  A11 A21 A31    A A A    a11 a12 a13     A A22 A32  A.B   a 21 a 22 a 23  . 12   A A   A  a   31 a32 a33   A A23 A33  13   A A A    a11 A11  a12 A12  a13 A13 a11 A21  a12 A22  a13 A23 a11 A31  a12 A32  a13 A33    A A A    a A a A a A  a A  a A  a A a A  a A  a A 22 12 23 13 21 21 22 22 23 23 21 31 22 32 23 33   21 11  A A A    a31 A11  a32 A12  a33 A13 a31 A21  a32 A22  a33 A23 a31 A31  a32 A32  a33 A33    A A A    1 0 0     0 1 0  0 0 1   Los elementos de la diagonal principal son uno pues el numerador es el desarrollo de A por los elementos de una fila. Los demás elementos son cero al aplicar la propiedad (12).

Cesáreo Rodríguez -

- 38

Algebra Lineal Análogamente se probaría que B. A  I

Ejemplo.- Calcula la inversa de las matrices:

Ejemplo.- Calcula la inversa de:

Cesáreo Rodríguez -

- 39

Algebra Lineal

Resolución de sistemas mediante determinantes.13. 14.

Teorema de Rouché. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.

15.

Aplicación de la regla de Cramer a cualquier sistema.

16.

Sistemas homogéneos.

17.

Discusión de un sistema mediante determinantes.

Objetivos Mínimos - Conocer y aplicar el criterio que permite saber cuando un sistema es compatible (teorema de Rouché). - Saber distinguir cuando un sistema es de Cramer y saber aplicar la regla de Cramer para la resolución de estos sistemas. - Saber aplicar la regla de Cramer a sistemas compatibles de “m” ecuaciones con “n” incógnitas. - Conocer la caracterización de un sistema homogéneo. - Saber distinguir si un sistema dependiente de un parámetro es compatible mediante los determinantes.

Introducción.En la vida real, los sistemas lineales surgen como resultado de imponer condiciones a las variables que intervienen en un problema. Estas condiciones que impone el problema real se transforman en un conjunto o sistema de ecuaciones. En esta unidad vamos a resolver los sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes, usando la llamada regla de Cramer. En el estudio de ciertas curvas planas, Gabriel Cramer ideó y publicó ( en 1750) una regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El matemático escocés MacLaurin llegó a los mismos resultados en 1729 y la publicación de éstos no tuvo lugar hasta 1748, dos años antes que lo hiciese Gabriel Cramer (en 1750). Cesáreo Rodríguez -

- 40

Algebra Lineal En el campo científico es, lamentablemente muy frecuente, no darle a un resultado el nombre de su auténtico descubridor.

13. Teorema de Rouché.La condición necesaria y suficiente para que tenga solución el sistema :

 a11 x1  a12 x 2  ..................................  a1n x n  c1  a x  a x  ..................................  a x  c  21 1 22 2 2n n 2 

 .............................................................................  a m1 x1  a m 2 x 2  ..................................  a mn x n  c m es que el rango de la matriz de los coeficientes( la matriz ampliada ( A ). Siendo estas matrices:  a11 a12 ... a1n   a11     a 21 a 22 ... a 2 n   a A A   21  ... ... ... ... ...     a    m1 a m 2 ... a mn   a m1

A ) coincida con el rango de a12

... a1n

a 22 ...

... a 2 n ... ...

am2

... a mn

c1   c2  ...  

c m 

Abreviadamente: El sistema anterior tiene solución si y sólo si rg(A)=rg(A’) Demostracion.El sistema se puede poner como combinación lineal de los vectores columna:  a11   a12   a1n   c1           a 21   a 22   a2n   c2   ...  .x1   ...  .x 2  ......................   ...  .x n   ...           a   a   a   c   m1   m2   mn   m Condición necesaria. Si tiene solución es que hay unos valores de { x1 , x 2 ,......., x n } que permiten escribir la columna de los términos independientes como combinación lineal de las columnas de la matriz A . En consecuencia: rg ( A)  rg ( A) . Condición suficiente. Si rg ( A)  rg ( A) significa que la única columna en que se diferencian las dos matrices A y A (que es la de los términos independientes) no aporta rango, es decir, esa columna es combinación lineal de las demás. Por lo tanto existen unos números { x1 , x 2 ,......., x n } que multiplicados por las columnas de la matriz A nos dan la columna de los términos independientes. Cesáreo Rodríguez -

- 41

Algebra Lineal Esos números son la solución del sistema. Observación.- Si el sistema es incompatible rg ( A)  rg ( A) y como A tiene una columna más que A se tiene entonces que rg ( A)  rg ( A)  1 .

Ejemplo.-Aplica el criterio de Rouché para determinar si son compatibles:

Cesáreo Rodríguez -

- 42

Algebra Lineal

14. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer si y sólo si: Cesáreo Rodríguez -

- 43

Algebra Lineal 1. tiene (n) ecuaciones y (n) incógnitas. 2. la matriz de los coeficientes  A es regular, es decir, A  0 . Los sistemas de Cramer son compatibles pues al ser A  0 el rango de la matriz de los coeficientes es (n) (rango máximo), y obligatoriamente el rango de la matriz ampliada A es también (n). Vamos a deducir ahora una regla que nos permite obtener la solución de un sistema de Cramer, para ello usaremos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, afin de evitar farragosas notaciones. Dado el sistema de Cramer:

 a11 x1  a12 x2  a13 x3  c1   a21 x2  a22 x2   a23 x3  c2  a x  a x  a x  c  31 1 32 2 33 3 3

 a11  A   a 21  a  31

a12

a13 

a 22 a 32

a 23  a33 



A  0

 x1   c1      Si llamamos: x   x 2  , c   c 2  podemos plantear el sistema de Cramer  x   c   3  3 anterior como un producto matricial de la forma: A.x  c (compruébalo) Como la matriz A es regular existe A 1 y multiplicando en la última expresión por A 1 a la izquierda tenemos: A 1 A.x  A 1 .c  x  A 1 .c Como ya conocemos la expresión de la inversa de una matriz, obtenemos:  A11 A21 A31   A11 c1  A21c 2  A31c3      A A  c A  A    x   1  1    A12 c1  A22 c 2  A32 c3   A12 A22 A32   1 x  A .c    . c 2       x2  A A     A  A    c 3    A13 A23 A33   A13 c1  A23 c 2  A33 c3   x3      A A  A  A   c1 desarrollo c 2 determinante A11c1  A21c2  A31c3 (1ª)columna c3 x1   A

a12 a13 a22 a23 y análogamente se deduce que: a23 a33 A

Ejemplo.- Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:

Cesáreo Rodríguez -

- 44

Algebra Lineal

Ejemplo.- Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:

Cesáreo Rodríguez -

- 45

Algebra Lineal 15. Aplicación de la regla de Cramer a cualquier sistema.La regla de Cramer, en principio, sólo es válida para sistemas cuadrados (nxn) que cumplen A  0 . Con todo, vamos a ver que se puede aplicar esta regla a cualquier sistema compatible. Dado un sistema de (m) ecuacines con (n) incógnitas, compatible. Supongamos que: rg ( A)  rg ( A)  r ; r  m y r  n . Esto quiere decir que hay un menor de orden (r) distinto de cero. Para simplificar la exposición, suponemos que ese menor lo determinan las (r) primeras filas y las (r) primeras columnas de A .

Este sistema es equivalente a este otro de Cramer en el que los términos independientes están dados en función de las incógnitas:  x r 1 ,......., x n  . Es decir, un sistema compatible indeterminado cuya solución general viene dada con tantos parámetros como incógnitas pasen al segundo miembro.

 

Si r  m todas las ecuaciones del sistema inicial son útiles, es decir, no sobra ninguna. Si r  n  m sobran ( m  n) ecuaciones, pero al suprimirlas tenemos un sistema de Cramer de (n) ecuaciones con (n) incógnitas determinado.

Observación

r

como mucho puede ser igual al menor de los dos: {m , n}

Ejemplo.-Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: Cesáreo Rodríguez -

- 46

Algebra Lineal

Ejemplo.-Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:

16. Sistemas Homogéneos.Cesáreo Rodríguez -

- 47

Algebra Lineal Vamos a estudiar un sistema de ecuaciones lineales que tienen todos los términos independientes iguales a cero, se les denomina Homogéneos.

 a11 x1  a12 x 2  ..................................  a1n x n  0  a x  a x  ..................................  a x  0  21 1 22 2 2n n 

 .............................................................................  a m1 x1  a m 2 x 2  ..................................  a mn x n  0 Todo sistema homogéneo tiene solución, pues se verifica que para x1  x 2  ......  x n  0 se cumplen las ecuaciones del sistema. A la solución  0,0,...,0  del sistema homogéneo se le denomina solución trivial. Teorema (caracterización de la solución de los sitemas homogéneos). Para que un sistema homogéneo tenga otras soluciones distintas de la trivial es necesario y suficiente que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas. Demostración.El sistema se puede poner como combinación lineal de los vectores columna:  a11   a12   a1n   0          a 21   a 22   a2n   0  ...  .x1   ...  .x 2  ......................   ...  .x n   ...           0  a   a   a     m1   m2   mn  Condición necesaria. Si tiene solución no trivial es que hay unos valores de: { x1 , x 2 ,......., x n } no todos cero que permiten escribir la columna de los términos independientes como combinación lineal de las columnas de la matriz A . En consecuencia las columnas de A son (LD) y por tanto: rg ( A)  n . Condición suficiente. Si el rg ( A)  n , este sistema homogéno (compatible) es equivalente a un sistema de Cramer en el que los términos independientes están dados en función de las incógnitas sobrantes (las que pasen al segundo miembro) . Es un sistema compatible indeterminado cuya solución general viene dada con tantos parámetros como incógnitas pasen al segundo miembro. Observación.-Conclusión para un sistema homogéneo cuadrado (nxn) Un sistema homogéneo de orden (nxn) tiene otras soluciones distintas de la trivial si y sólo si el determinante de la matriz de los coeficientes: A  0

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17. Discusión de sistemas mediante determinantes.Ya hemos visto en que consiste discutir un sistema dependiente de un parámetro, y hemos hecho esa discusión mediante el método de Gauss. En este curso trataremos sólamente los sistemas con un único parámetro. Discutir un sistema dependiente de un parámetro consiste en determinar los valores del parámetro para los que el sistema es o no compatible. Ahora vamos a discutir un sistema con la ayuda de los determinantes. Ejemplo.-Discute y resuelve en función del parámetro (a).

 a  1 x  y  0   a  1 x   a  1 y  0

1   a 1   a  1 a  1

A  

1 1  a0 A   a  1   a  1 a  1  1   a  1 a  0   1 a 1  a 1 

Si a  0 el sistema resulta:

 x  y  0   y  x sistema compatible indeterminado  x  y  0 

Solución:  x   , y    Si a  1 el sistema resulta:

y0    y  0 sistema compatible indeterminado 2 y  0 Solución:  x   , y  0 

Si a  0 y a  1 entonces rango(A) = 2 = rango (A’) El sistema es compatible determinado y por tanto: Solución:  x  0, y  0 

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