Matriz Triangular 592m3

2. Definición (matriz triangular superior). Una matriz cuadrada 2 M(F) es triangular superior si todos sus elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a cero: 82 f1g =) = 0 1 -6 02

2 -4 5 050 003

Definición (matriz triangular inferior). Una matriz cuadrada 2 M(F) es triangular inferior si todos sus elementos por encima de la diagonal principal son iguales a cero: 82 f1g =) = 0

y

Propiedades de las matrices triangulares[editar] 

Una matriz triangular superior e inferior siempre diagonaliza en una base de vectores propios(matriz diagonal).

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El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es un triangular superior (inferior).

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La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.

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El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.

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Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior).

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Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.

Aplicaciones[editar] Un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial o es muy fácil de resolver. El primer sistema puede escribirse como

que puede resolverse siguiendo un simple algoritmo recursivo

De forma análoga puede resolverse un sistema dado por una matriz triangular superior.

La matriz A=(aij) una matriz cuadrada de orden n. Diremos que A es una MATRIZ DIAGONAL si es triangular superior y triangular inferioes, es aij=0 para todo i distinto de j; i,j=1,....,n Por ejemplo, las matrices

y

son matrices diagonales. PROPIEDADES DE LAS MATRICES TRIANGULARES. Consideremos las matrices triangulares superiores A,B de orden cuatro, definidas en los ejemplos anteriores, podemos comprobar que 1) A+B es triangular superior Obsérvese que A+B se obtiene

que vuelve a ser triangular superior.  A es triangular superior (para todo  R) Si efectuamos

obtenemos una matriz triangular superior 3) A.B es triangular superior. Si calculamos con DERIVE este producto

que nuevamente es triangular superior. 4 Si A tiene inversa, A-1 es triangular superior.

Tomamos la matriz A, que es triangular superior, vamos a calcular su inversa.Consideremos una matriz general de orden 4

la candidata a inversa de A deberá verificar la ecuación matricial

que al simplificar nos da el total de ecuaciones que tiene que verificar

con SOLVE obtenemos los elementos de la inversa:

por tanto la inversa de A , si la llamamos IA será

que es triangular superior. Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal