Metodos Estadisticos 2w5y1i

X menor que Y

X>Y X

XigualaomayorqueY XigualaomenorqueY

Como se mencionó antes en este capítüo, las características de una población denominan parómetros, en tanto que las de una muest¡a se denominan oalores estadísticos. En este, libro, como en la,mayor parte de la información sobre Estadística, se utilizarán diferentes símbolos para los parámetros y los valores se

estadísticos.

L I

Capítulo

cARAcTERÍstrce

PANÁMETRO

llntroducción

13

VALORESTADÍSTICO

x

Desviación estándar

p (muomi) a (sigma)

Variancia

o.2

s2

F¡acción Coeficiente de correlación (de Pearson) Número total de casos

p

p

i

r

n

N

Media

1

s

Ejercicios El estudiante debe repasar los conceptos básicos de matemáticas

y Estadística estu-

diando el Apéndice 1 y resolviendo los ejercicios preséntados ahí'

Después de que se han recopilado los datos, tienen que ser puestos en una forma que permita manejarlos e interpretarlos con facilidad, Lo que primero debe hadeterminar una dktribución de Jrecuencios. A partir de esta distribución "r ""rr" es posible trazar una gráfica y emplearla para interpretar los datos y preseltarlos a la consideración de otras personas. En primer lugar, se considerará la elaboración de una distribución de frecuencias, y posteriormente se explicarán los métodos utilizados para el trazo de gráficas. El capítulo termina con el estudio de un tipo es-

pecial de gráfica a partir de la cual

se leen los centiles'

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Como simple ilustración, supongamos que 15 estudiantes reciben las sigr.rientes puntuaciones en un examen:

32, 30, 29,25,28, 28, 28,27,27, 27 . 27 , 26, 26, 25, 24 Estas puntuaciones pueden ser ordenadas y contadas como sigue:

Puntuación, X

Frecuencia,

32

I

3t

0

30 29 28 27 26 25 24

I I .1

+ 2

l5

f

r

X : Buntuación (resultado directo) " f : frecuencia de"cada puntuación.'

l:i r

:'illl

ür,

iil

PATtEI/ESTAD|STICADESCRIPTIVA

donde

l'

ili

16

I

ffii

.

" Si hubiera'un niimero considerable fle p-untüaciorres, 5l si éstas estuvieran bastante espaciadas, el",método anterior pafa realizar la distribución de frecuencias resriltaría ineficaz. Por t¿nto,. cuando -lg,p,.¡nuestr.as son grandes la distribución de freóuéncias se establece cón u¡r interválé áp¡opiado y géneralmente mayor. En el ejemplo anteiior, el tameñó del intérvalo i fue l.i' ,' Considérpse'q\le se ha efectuado una prueba de geografía en la que se obtuvieron los resultadds de la T¿bla 2.1.EI primer paso consiste en determinar la amplitud de oariación * Esta se define como la diferencia entre la puntuación más altá y.puntuación más baja, más uno. En la Tabla Z.I,lapuntuación más alta (H) es 82 y.la'más baja (L) es 28. En Estadística debe interpretarse la X como cualquier observación o medida obtenida realmente. Si se trabajara con dos grupos de datos al mismo tiempo se podría emplear una Ymayúscula para cualquier medida del otro grupo. La amplitud de variación es entonces (X, - X¿)+ I obien

(82-28)*l :55

El segundo paso consiste en decidir cuán grande ha de ser cada uno de los intervalos l" dirttibución de frecuencias.Qnipráctica ampliamente aceptada es "r, t0 y 20 intervalos én la talla de}¡ecuencias\ Cuando hay menos de l0 tener entre intervalos, la 'itosquedad' del agrupamiento ¡ruede dar lugar a inexactitudes; cuando hay mas de 20, el trabaio es muy laborioso. El tamaño de los intervalos puede deterrr¡inarse por tanteo, o ensayo y error. :. Si cada iiitervalo cubre l0 unidades, entonces la amplitud de variaeión corresponde a 6 de estos intervalos: 55 + I0 : 5.5 oSea 6. Por tanto, 10 es demasiado grande, dado que lo anterior resulta en 6 intervalos. Supóngase que esta vez se trata de 5. La cifra 5 está contenida exactamente 11 veces en 55; por consiguiente, el 5 sería aceptable como amplitud o tamaño del intervalo. Si se consideran 3 unidades, se encuentra que 3 está comprendido óábi l8 veces eh 55; de manera que 3 podría ser usado como tamaño del intervalo. Consideremos un.intervalo¿ún menor: 2, La cifra 2 está contenida aproximadamente 28 veces en 55. Se tendr.á que rechazar el 2, puesto que da como resultado muchos intervalos. Como se necesitan TABLA

56 28 42 56 47

2,1

PUNTUACIONES OBTENIDAS EN UNA PRUEBA DE GEOGRAFiA

78 825b 56 41

62 38 sz 55 50

' N. del R. Erróneamente :

;

37 72 6s 66 52

54 61 6s 42 47

39 62 ,60 ,44 .s4 '47 \+e <2 s6 52 48 48 48 53 68

suele llamarse "rÁngo" a esta medida estadística.

Capítulo 2/Distribución de Frecuencias, Gráficas y Centiles

17

entre l0 y 20 en la distribución de frecuencias, se puede obtener el promedio de 10 y 20, el cual es 15, y dividir la amplitud de variación entre 15. Como en este caso, tal amplitud es igual a 55 dividido entre 15, resulta 3.66, un valor intermedio entre 3 y 4; y cualquiera de estos números podría utilizarse como tamaño del inter-

i : 3o i : 4. Si se observan las distribuciones de frecuencias usuales, se notará que los números impares suelen utilizarse para el tamaño de los intervalos. La ventaja de esto es que los puntos intermedios de cada uno serán números enteros. Números como el 3 y el 5 comúnmente se utilizan como tamaño del intervalo i. Una excepción a esta práctica es el uso de múltiplos de 10, que muchas veces proporcionan valoi;estoes:

intervalos apropiados. Supóngase que para los datos de la Tabla 2.1 se decide usar un tamaño de intervalo de 3 unidades. Podemos indicarlo escribiendo, : 3. Se empieza elaborando la distribución de frecuencias que se muestra en la Tabla 2.2, El siguiente paso consiste en decidir por dónde empezar. Una práctica común es comenzar el intervalo inferior con un número que sea un múltiplo del tamaño del intervalo. En el caso que nos ocupa, la puntuagión mínima es 28, el tamaño o amplitud del intervalo ha de ser 3, de modo que el intervalo inferior empezaríaen27 y terminaría en 29. Estos son los límites enteros. Recuérdese que en Estadística se trabaja con límites inferior y superior (o límites exactos), de manera que este intervalo inferior

TABI.,.2.2

ELABORACIÓN DE

UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

81-83 78-80 75-77 72-74 69-71 66-68 63-65 60-62 57-59 54-56 51-53 48-50

4547 4244 39-4

1

36-38 33-35 30-32 27-29

'1

1

0 1

0 3 1

4

J]+t

///

1

8 3

4

+/tr

3 5

2 2

o 0 1

N:40

I 18

Parte l/ESTADISTICA DESCRIPTIVA

comienza en 26.5 y termina en 29.5. Si se resta el primer límite (26,5) del segundo (29.5), se obtiene un valor de 3, que es el tamaño del intervalo, Dicho valor no Iesulta evidente a menos de que se conozcan los límites.exactos. ,Este intervalo inferior (26.5), también tiene un punto medio que está a la mitad de l¿distancia entre los límites superior e inferior (312 : 1.5). El punto medio dpl intervalo es entonces 26.5 + 1;5, que es igual a 28. Como se hizo notar antes, cuando el tamaño de un intervalo es un número impar, el puntO medio será unrnúmero entcro, como,gn este caso.

Despúés de decidir los límites del intervalo inferior, se determinan.el resto de los intervalos iniremeritando cada límite entero 3 unidades. Se termina la subdivi' sión cuando se alcanza el intervalo 8I-83, el cual contiene la puntuación más alta en la distribución. La práctica usual consiste en distribuir'las frecuencias con las puntuaciones más bajas en la'parte inferior de la t'abla' El siguiente paso es hacer un recuento de las prantuaciones, Se consideran una por una y se anota una marca a la derecha de su'intervalo. Una vez terminado el

'

!tl i:rl lliiii ürl,

pro""ro, ,e escribe la suma de las marcas de cada intervalo en la columna de la áerecha. Esta columna está encabezada con la le[raf que repxesenta a las fre', cuencias. Se suman todas éstas y se anota el total en la parte inferior de la columna. Suele eScribirse una letra N mayúscula delante de esta suma para indicar, qtre el número de casos es 40, o bien, escribir >Í : 40. como ya se dijo, el símbolo 2 se lee "sumatoria de " o "suma de". Se observa que para intervalos en donde no figuran marcas, se ha anotado un cero en la columnaf, Los datos de una distribud" frecuencias como ésta se dice, que están agrupados, y las fórmulas utillza"i¿n das con datos de esta clase sólo son aplicables a este tipo de datos. Existen además los datos no agrupados; las fórmulas que se aplican a ellos se conocen como fórmu-

las para puntuaciones "en bruto' Consideremos que se organizan las mismas puntuaciones del examen de geografía en una tabla de frecuencias distinta. Esta vez el tamaño o amplitud'del inteivalo será 5. Dado que la puntuación mínima es 28, el intervalo mínirho Sérá 25-29 . Este intervalo tiene límites exactos de 24.5 y 29 .5 , y un punto medio de 27 . Este segundo cuadro es la Tabla 2.3. En esta ocasión sólo se tienen 12 intervalos en lugar de 19, cuando se utiliza un tamaño de intewalo de 3. En el análisis re.al de estos datos, se preferiría el intervalo de 5. En este punto conviene resumir los pasos seguidos para realizar una tabla de distribución de frecuencias, o tabla de frecuencias.

l.

Determinar la amplitud de variación.

2. Dividir ésta entre 15 para estimar el tamaño'aproximado del intervalo' 3. Enlistar los intervalos, empezando desde el más bajo. Conviene que el intervalo inferior comience con un número que

sea

múltiplo del tamaño del inteivalo.

4. Contar las frecuencias. 5, Escribir éstas en la columna señalada con la/. 6. Sumar los datos de esta columna y anotar el número de casos en la parte inferior. Si este número, obtenido sumando las frecuencias, es igual al número conocido de casos, esto no quiere decir que no se haya cometido ningún error. Para verificar deben volver a contarse las puntuaciones' ..

Capítuio 2/Dlstribución de Frecuencias, Gráf ,cas V Centiles

19

2.3 ILABORACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

TABLA

80-84

1

75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54

4549 4044

1 1

4 4

t-/+/ / /

7

/ /-/+t / Lt+/ /

6

J-/+t

'6

6

35-39 30-34 25-29

3 0

N:>f:40

GRAFICAS Y GRAFICACION Polígono de frecuenc¡as Una de las gráficas de uso más común en Estadística es el polígono de Jrecuencias. El trazo de una gráfica de este tipo se ilustrará con los datos de la Tabla 2.3. Para elaborar la gráfica se siguen ciertas convenciones y procedimientos:

l.

Las frecuencias se marcan sobre el eje vertical como ordenadas, y se designan con u, 2. Los números que representan las puntuaciones se sitúan en el eje horizontal como abscisas, y s9 indican con r. 3. La raz6nde laescaladeleje g aladelejerdebeserde2a3, ode3a4. Como ejemplo, si se está utilizando papel cuadriculado con 10 cuadros por unidad, el empleo de 80 de estos pequeños espacios sobre el eje y requerirl- de la utilización de 120 de tales espacios sobre el eje r. Emplear cualquiera cle estas razones conviene para el aspecto general de la gráfica, como se mostrará más adelante. 4. Luego se trazan los ejes en el papel cuadriculado y se sitúan los datos correspondientes en el eje y, como se indica en la figura 2. f . El máximo valor para y no debe ser mayqr que la frecuencia máxima. sobre el eje r, se anotarán los números correspondientes al valor izquierdo de cada intervalo 30, 35, -25, etc.- o los números correspondientes a los puntos medios de los intervalos. Dado que para cualquier intervalo el punto medio se suporie que es igual al promedio de las puntuaciones en ese intervalo, es lógico ubicar los valores de ios f,iuntos medios en el eje r, y situar la frecuencia para cada inten¡alo arriba de cada punto medio.

r 20

Parte

l/ESTADisttcn orscntPltvn

i:ri !..' ¡.jlr' 1iilr i;r1,,

rriil

Hii

il'lll

FIGURA

S.

2.1

Polígono de frecuencias correspond¡ente a las puntuac¡ones de la Tabla 2.3.

Los puntos así obtenidos se unen luego mediante líneas rectas. La gráfica finalfrecuencia cero -"n1" se termina por ambos extremos mediante el uso de una distribución de la en intervalos para el intervalo a¡riba y abajo de los últimos

frecuencias. (Fig' 2.1.)

Las frecuencias se sitúan como sigue. El intervalo inferior de la Tabla 2.3 tiene un punto medio de 27 y una frecuencia de 1; por tanto se coloca un punto verticalrnente I unidad arriba del 27 marcado en el eje r. El siguiente intervalo, 30-34, no tiene frecuencias, de manera que se marca un punto en el eje r, en el valor 32, que es el punto medio de este intervalo. El siguiente, 35-39, con un punto

medio de gZ, tiene una frecuencia de 3, de modo que se marcan 3 unidades arriba del 37 en el eie r. Esto continúa hasta que se hayan graficado todos los puntos' Iuego se unen'y termina la gráfica como se señaló. Una ventaja del polígono de frecuencias es la posibilidad de graficar varias distribuciones en los mismos ejes para fines de comparación. Cuando esto se lleva a cabo, se utilizan distintos colores para dibujar las gráficas, o diferentes tipos de líneas para unir los puntos. TRAZADO DE POL|GONOS DE FRECUENCIA CUANDO DIFIEREN LAS FRECUENCIAS

En muchos casos, como en la Tabla 2.4, seencuentra que difieren considerablemente los números en los diferentes grupos que se desean graficar. En esta tabla se

r

Capítulo 2/Distribución de Frecuencjas, Gráficas y Centiles

21

2.4 PUNTUACIONES OBTENIDAS EN UNA PRUEBA DE INTELIGENCIA EN NIÑOS DE DOS ESCUELAS

TABLA

(f)

(21 Escuela

A

(3) Escuela B

fr

Puntuaciones 50-1 59 40-1 49 1 30-1 39

(4)

f2

(5)

P1

P2

2 4

1

1

10

.6

1

4

I

20 40

12

't70

2.2 4.4 6.7

31

180

17.2

34 36

69 32

50

38.3

10

10 10 5

17.8 10.0 2.2 .6

2 2

100.0%

1OO"/"

't20-129 110-119 100-109 90-99

80-89 70-79 60-69

18

4

5

1

If':1gg

)llr:

5,gg

I

1 1

muestra la distribución de las puntuaciones de las pruebas de inteligencia para el

caso de 180 niños de una escuela A (f ,), _y para 500 ninos de una escu;la n ff). si se intenta graficar estas distribuciones en los mismos ejes como se encuent¡an órganizadas ahora, habrá dificultades. Debido a que las f¡ecuencias son ampliamentJdife-

rentes en los intervalos correspondientes, puede resultar imposible representar ambas distribuciones en la misma gráfica. Úna Ínea estará tai distante áe Ia otra que la comparación directa sería imposible. En estos casos' una práctica común consiste en convertir cada frecuencia en un porcentaje o una fracción, y graficar estos valores. En la Tabla 2.4 se han convertido los datos a porcentajes. Se observa que se tienen dos columnas más, p p que contienen los porcentajes de los diversos intervalos. Estos porcentajes ry * ü obl tienen dividiendo la frecuencia de cada intervalo ent¡e la ,,r*^" tot"l de las frecuencias- del grupo, y multiplicando luego el resultado por 100. por ejemplo, se toma la frecuencia más baja en la column {¡r, t tiene (l/Ig0)(I00) lo cual da 0.6 % .

De esta manera, se obtienen todos los porcLnta¡es. * Una forma más sencilla de cambiar una serie de frecuencias a porcentajes consiste en determinar un factor común, y multiplicar cada frecuencia de la distribución por esta constante. Primero, rid"r"*ós h distribución def, de la Tabla "ot que cada uno 2,4. Hay 180 casos; por_tanto, se deduce es igual a 1f7iSO¡1tOO¡ en tanto.por ciento, o que da en este caso 0.585. Este resultado, 0.55s, es el factor común buscado. Se multiplica luego cada frecuencia anotad*'"n i" (A ;;, esta constante, se redondean los resultados, y se obtienen así los valores "olo*"; .norit"io, en la columna (4). una comprobación de esto es que la suma de la columna (4) da

'

N. del R. El valor ¡esultante

se

llama tantbién featencia relatioa o porcentwl,

2,

PATIEI/ESTADíSTICADESCRIPTIVA

;en esta $d'ma aausadas L00.0 Vo.. (Algunas veces existen variaciones: despreciables

ill itl l¡¡ h*

¡'' üir

ü[l

por redondeo.) Los datos de J, en la columna (3) se toman a continuación. Esta iez, elfactor común es (11500)(100), qtre es i'gual-a 0.2, de mdñéra que se multiplica por 0.2 cada una de las frecuenciasJry se obtienen los resultádos presentados en la columna (5). El siguiente paso es trazan el polígono de frecuencias, como se descrlbió antes. En esta oóasión, s1n embargo, t" -"tó"r los porcentajes en el eje y, en lugar !9 !1 frecuencias. El porcentaj" á"yot en las columnas (4) y (5) es menor que 40 (38.3); las de aquí que el áor maxlmo en el eje y debe ser 40. A lo largo del eje r se tienen m-a1cl S_e (Fig. 2.2). usual la manera de p""iit""io"o del examen ubicadas fyego iL porcentajes arriba de los puntos medios d9 los intervalos, apropiados del eje r, y -se unen a continuación estos p-untos con rectas. Estas líneas deben tlazars3 utilizando distintos tipos de colores. bebido a que se tienen dos gráficas sobre el mismo eje, conviene incluir una nota q.r" e.p""ifique qué polígono representao gual selie-o ,"-itrdica en la parte superior derecha de la figura 2.2' de datos, conjunto - ' "o*o la comparaciól de y fracciónes (decimalesl porcentajes Otro empleo de ":-u" escala Likert' llamada la com-o escala una glp* con las respuestas^de dos o más cinco.puntos una de es' clase esta de escala Como se muestra a eontinuációnl una a direspecto individuales actitudes las de la obtención que suele emplearse en (de estudiantes grupos de dos de respuestas las dan se i"rro, temas.-En seguida ingenieríayhumanidades)aunsoloaspectoen,dichaescala:

'

lngeniqr,fa

I

Punto Totalmente de acuerdo De acuerdo

48 148

N--224

44 12

32

/V:

r'

IPP 50 88 25 23 38

12

1

2 3 srn oprnron 4 En desacuerdo Totalmente én desacuerdo 5

PoicÓñta¡o'Ji'

Humani- Porcentaje de ' , do' dadgs ingenierla ' hut¡anidades

822 30 I 22 32 100

39 11

fó

17'

99

Al comparar las respuestas de los dos grupos, los porcentajes resultan más significativos que las frecuáncias originales. Los datoS pueden ser gr6ficados gituando los porcentájes en el eie A, y 'os valores de los intewalos en el eje r'

Histograma Un segundo tipo de gráfica usada frecuentemente en Estadística'es el hisngrama de gráfica de barras. El método utilizado en el trazo de esta claq,ru "tpLiu "r-rrtu re d" di"gr.*a es muy semejante al empleado en el polígono de frecuencias. Los datos de ia Tabta 2.3 se utilizarán para trazar el histograma'que se preSenta en'la i

I

Capítulo 2/DistribuciÓn de Frecuencias, Gráficas y Centiles

n

;:,:;:,

ril

FIGURA 2.2 Distribución de las puntuaciones obtenidas en la prueba de inteligencia rcalizada en dos escuelas, con las frecuencias convert¡das a porcentajes.

figura 2.3. En primer lugar, los ejes xy A se indican de la misma manera que en el polígono de frecuencias. En la Tabla 2.3 el intervalo inferior 25-29, tiene una frecuencia igual a l. Se determina una columna de I unidad de altura usando los Iímites exactos del intervalo. Esta barra se extendería de 24.5 a 29.5. El segundo intervalo tiene una frecuencia 0: por lo que este intervalo no corresponde a ninguna columna (va de 29.5 a 34.5 sobre el eje r). El tercer intervalo, 35-39, tiene una frecuencia de 3, de manera que una columna o barra de 3 unidades de alto, ha de levantarse entre los puntos 34.5y 39.5. Se continúa así hasta que todos los intervalos hayan sido transportados a la gráfica'. Si se unen los puntos medios de las partes superiores de todas las columnas, la gráfica resultante sería el polígono de frecuencias mostrado en la figura 2.1. El histograma no es una gráfica tan útil como el polígono de frecuencias y no es de fácil construcción. Sólo un conjunto de datos puede ser representado en un sistema de ejes, a menos de que se desee graficar un segundo conjunto a partir de los mismos ejes. fuimismo, los datos utilizados en tales gráficas pueden ser cambiados a porcentajes, y construir luego el histograma utilizando éstos. Si se separan las columnas de un histograma se obtiene la bien conocida gróJica de banos.

DIAGRAMAS EN OUE INTERVIENEN FRECUENCIAS, FRACCIONES Y PORCENTAJES

En la Tabla 2.5 se presentan cifras que muestran el número de estudiantes del último grado de 5 escuelas de dos universidades. Las frecuencias se han convertido en

t 24

PArtE I/ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

I

I.

l:i

t, t:

1." P"ll

I'r" kiijtr

tfil

FIGURA

2.3

Histograma correspóndiente a las calificaciones en geografr,a de la Tabla 2.3.

2.5 ESTUDIANTES DE ÚLTIMo GRADo EN LAS UNIVERSIDADES, A Y B

TABLA

lngeniería

Humanidades

Agricultura Economía Bellas artes

440 220 120 80 60

920

'r

640 220 120 80 40 100

.48 .24

c|Nco

.58 .20

.13

.11

.09 .06

.o7 .o4

1.00

1.00

ESCUELAS DE DoS

48"/"

24 13 97 64 lOoo/o

58"/o

20 11

1OO"/o

fracciones (decimales) y porcentaj*, p y P, respectivamente. Muchas clases de diagramas sirven para mostrar estos datos gráficamente. Uno de los más comunes es la gráfica de barras (Fig.2.a). otro que se encuentra con frecuencia es la grafica circular most¡ada en la figura 2.5. Las revistas, las secciones financieras de los diarios y las publicaciones científicas contienen muchos ejemplos de los diversos pos de gráficas.

L'-

I

ti:


25

FIGURA 2.4

:i¡l;:

isi

#$ f.rj

FIGURA

2.5

Gráficas de barras para los datos de la Tabla 2.5.

Tipos de curvas Después de trazar algunos polígonos de frecuencias, pronto se ve que las curvas tienden a adoptar formas que pueden clasificarse en varios tipos. Enbcasiones, las frecuencias tienden a acumularse en'el lado izquierdo de la gtáfi"u con una cola o rama que se extiende hacia la derecha, como se muestra en la curva A de la figura 2'6. Se dice que dicha curva es sesgada o asimétrica. Si la cola o extremidad va ha-

cia la derecha, este tipo de sesgo (o asirnetría) se conoce como positir.,o. (Esto concuerda con la práctica matemática de llamar al extremo derecho de una recta, eje positiüo, y al extremo izquierdo, negativo.) La curva B muestra el caso qrr" i" "tr bl cola se extiende a la izquierda. Esta condición se denomina sesgo qegatirro. "rtudiante debe recordar que es la cola de la distribución la que áeteráina el signo de la asimetría o sesgo, y no la localización del cúmulo delas puntuaciones. Las curvas pueden clasificarse también con base en su grado de agudización o curtosis. La figura 2.7 muestra los tres tipos de curtosis. La curva A es muy aguda

26

PArtE I/ESTAD|STICADESCRIPTIVA

FIGURA

2.6 Tipos de asimetía:

La curva A es positivamente asimétrica; la curva B es nega-

t¡vamente asimétrica. il:

iirr :tu

llr h'il

rl

FIGURA

2.7 Tipos de curtosis:

plaLa curva A es leptocúrtica; la B es mesocúrtica, y la C es

tocúrt¡ca.

l'

Dicha curva se llama y los extremos o colas están más por encima de la !ínea base. en lantq tnesocúrtica, ieptocú.rtica. La curva B es algó achatada y se denomina qne la curva C, muy aplanada, se llama.platocúrtica' ^ Oaro tipo áe nada rara por cierto, es la curva bimodal que Se muestra ".r-*"^, que corresponden a dos moen la figura^2.8. Esta curva tiene dos cimas o picos, es posible que una curva tenga más d9 dos modas' das. - fJmbién norEl último tipo de grátfi.^que consideraremos es la conocida como curoa

lfiglt.gl. "o*poio d" 1", op"i""ioáes La mayoría

m.al o de

*p;;"¡; lip'" a"

E^sta

gráfica

es

la de la llamada dist¡ibución normal'

estaáísticas consideradas en este'libro se basan en el este que losiatos que se usan, están normalmente distribuidos. Como adelanmás especial atención go"i*portancia, se le dedicará

a"

"o*"^* y aplicaciones te^, cuando se hablJace¡ca de sus propiedades

\_

Capítulo 2/Distribución de Frecuencias, Gráficas y Cenriles

n

:;Í.ii1t1i

FIGURA

2.9

Curva normal o de campana.

CENTILES Y CURVA DE FRECUENCIAS ACUMULADAS (O PORCENTAJES ACUMULADOS)

otro tipo de gráfica que es ampliamente utilizado esla cun)a d.e Jrecuencias acumuladas o de porcenta¡es acumilados. En dicha curva, l;;p;; o rangos de cen_ tiles pueden ser leídos con rapidez y facilidad. Antes á tr*", curva hay que determinar los centiles po. cál"ulo. Este método irnpori".rt""rt" se desean uno o dos puntos de centiles; pero cuando se ha de", ,r.ra"u".r¿o distribución con base en los centiles, "rt"Ét""", ur, desar¡ollo de una ,"riu a" nor* centflicas para "o-o "l una prueba, la única f.orma práctica para obtener tales 1,aor", eonsis_. te en lee¡los a partir de una gráfi"" á" por""ntajes "rt"¿ísticos acumulados.

CENTILES O PORCENTILES un centil (o punto de centil) se define como un punto específico en una distribución que tiene un porcentaj" gi* de los casos por tebajo ¿^" ¿r. p", el centil 88 (u octogésimo-octavo) (crr) pu'iá p";ü;"ió#;;; "iemplo, distribución tal que 88% de los casos están pói a"t"¡o "r "t au et." Pa¡a ilustrar el cálcuro de los centiles, se utilizarán los datos de ra Tabra 2.6. En primer lugar se calculará c*. por definición, este punto centil tend¡

á

s0% de

r n

Parte l/ESTADISTICR

pescntptlvn

los casos por encima y 50To por debajo de é1. Es decir, es eI punto medio de la dist¡ibucilón, y se conoce tam6ién como la med,iana. Dividiendo entre 2, el total N de 376 o tomando 50% delmismo,. se obtienen 188 casos. Por consiguiente, interesa determinar ese punto de la distribución con respecto al cual hay 188 casos por encima y por debajo de é1.

TABLA

2.6

OBTENCIÓI'I Eru TONUI ACUMULADA DE

ÉireñLñóné, pi¡ccto¡¡es

(2) (3) Ícl

(1) lü

;:; [tr:

lh,

lir lilili

(DEcIMALES) Y PoRcENTAJES

6m4

2

55-59 50-54 45-49

12

20

s2 46 58 64 58 42 23

40-4.4

3ffi9 3H4 2*29 20-24 15-19 10-14

5-9

376 374

362 342 310

264 206 142 84 42

15

'1g

4

4

({)

(5)

' .995 .963 .9Ó7 .824 .702 .548 .377 .229 " .112 ,050 .011

1.OOO

100

99.5 96.3

90.7 82.4 70.2 54.8 37.7 22.3

11.2 5.0 . 1.1

/V:376

-

Se comienza

por contar, en sentido creciente desde abajo, hasta acercarse Io

más posible a los l-88 casos sin gobrepasar este punto. Esto üeva al punto situado en

la párte superior del intervalo 25-29, o al extremo inferior del intervalo 30'34, siendo dicho punto el de 29.5. Hay L42 casos por debajo de estepunto. Se requieren 46 easos más de los 64 en el siguiente intervalo. En otras palabras, es neceslario avanzar 46l%avos de la distancia a través del tamaño del intervalo, que en este caso es 5. Esto se puede expresar como sigue:

Coo:29.5

= 2e,5

46 (5) +A

*#

:29.5 + 3.59 :33.1

l

Capítulo 2/Distribución de Frecuencias, Gráf¡cas y

Lo anterior puede comprobarse procediendo hacia

cao:24.b-fi :34.5

bajo:

Centiles

29

l

tul

-Q64

:34.5

:33,1

1.4

,

,

'

supóngase qug s.e desea calcul ar c rrpara ros mismos dátos. En primer rugar toma 12% de376, lo gye es igual a 45,i-2 casos. Es posible contar 4i casos pártir de abajo, lo cual nos lleva a la parte superior del ilntervalo lg.E. En este printo " se

se debe

interpolar:

Crz:

19.5

- 42 @ 42-

+45'12

: le.5 +1* rsl 42 15'60 'l'

:

19.5

+

:

19.5

*.37

42

= lg.g

'

.:

Posteriormente se debe calcular cr' se podría empezar tomando gg % de Ny contando en sentido ascendente, rL hizô para,el"t" árc;r. sin embargo, es posible facilitar la tarea tomando"o*o 12%,deNy procediendo de *"ri¡" t Por ejemplo, ""i"luiáo.

12%

deN:45.12 cBá

4q'13.- 34

= 4e.5

-

:

\-/ - 32 ,.',

49.5

:49.b-

32

I

l'12

'55'60 32

:49.5 :47 -8

1.74

(b)

30

Partel/ESTADisttcRorscntptlvR

Cualquiercentilpuedeserobtenido¡nedianteelempleodeestafórmula átirabajo se lléva a cabo contando en sentido ascendente: ",r""Jo (2'l) Cualquiercentil= L+ry(ü J¡

donde

L: N: p= cJ :

Iímite inferior del intervalo interpolado número de casos fracción equivalente del centil deseado intervalo en el que se frecuer"i"=""rr*,rtada de "*.r p"i ¿"uajo del realízala interPolación la interpolación fru",r"rr"]" á"t-i"t¡r*"fo én el qúe se tealiza clase i"*"o" del intervalo de .

{. ti'

= =

Varios de Ios centiles tienen nombres

espnilles' rrlmo rmedtunt el C *' Pl ::"siirboliz":oTg Q¡: ?" manera similar,

til c"" se conoce ."^.-li¡Á-ii anrtily nueve deciles á lTi"ii;;;;;;i',-r;r"fr"r"r,t" por er Además de éstoa;existen pá'to iguales. Por ejemplo, C,oes igual a i;T í"1"írírí^íi¿ñid;to" "r, ái"" se

DrY Cnes igual a Dr'

Curva de porcentaies acumulados u o¡¡va la manera más sencilla de quiere elaborar una tabla de normas centiles, d¿ porcmtaies acurnulad'os' y leyendo hacerlo es por el trazo de una oiioa o cutoa ¡,u^, tal gráfica usaremos la Tabla luego tos centiles d;;;;i;;;. l*" ;.é";;;;;guirán "loi pasos que se enuncian a continuación:

cuando

l.

fl

se

Esto se hace escribiendo

ci' forma,la columna (3) y se encabeza eon las letras superior de cada inextremo del debaio el número total de casi'n* "ria" n"r 5-9' hay 4 casos' Pqr'debaio del tervalo. Bajo de r" p"ri" J"pJot g"r i"t"ryir" 4 + L5. Siguiendo este pro;;;";éLrior del i"t"*-"r, 10-14, hay 1g casos, en la-columna (3)' ' ;;;;, ; obiien"n así todos los valores anotados luego en frae'ción acumulada ()' Cada uno de los valores de cJ se convierte .,,"1o, d" la óIum"a (3)- rol el recíproco de murtipticáá; áá; il;-J;;; milésimo y se anota t;á, ;;"., 0.00266. Cada producto es redondeadoluego al Se

en la columna (4).

3.Cadaunodelosvaloresdelacitadacolumna(4)semultiplica.luegoPorl00 n*: lo. por"urrt"¡", p*" ";"lT,T"l? ; "J ""t""t'l"d:.t 1" "t."""r * gr aric an :P"l,T:: 4. 11ry11?:t-o:Il eje g los pory sitúan en el tlTi:::*":: ;" ,;il" #"i"r-"-ra""ados de'la *"rr"ra usual, se ---^ ^- Î ^:^ centajes acumulados, , t", puntuaciones, sobre "l?:.11: T::r:"T?i::i:i: v roo. Al trazar la l*":9:,"1X?; y::::::"A: ;; *tervalo se marca.por eicima.del ly:!"^Y::::,1: ,",l"t"t?i"-n"."

iló;

ila";ñil;i ;;ati

*

li

b"ñffi;;;;;l';e-o

!

utilizó e1 lnstry:"iói d,f;;i" a"ip"n." ,r,edio ug9 llil'ilffiff,; "J" f 'u El Iíinite superior áel intervalo mas bajo de 9'5' del polígono de frecuerrcias.

I

es

Capítulo 2i Distribución de Frecuencias, Gráficas y

Centrles

31

Por tanto, por arriba de 9.5 sobre el eje r, se hace una marca en l.l, el para este intervalo. Por encima de 14.5, que es el límite superior del siguiente intervalo, se coloca una marca 5 unidades más adelante en el eje y. Este proceso se continúa hasta que se grafican todos los valores . b. A continuación se dibuja una curva alisada. Muchos de los puntos transportados no aparecerán en tal curva; algunos aparecerán a un lado y algunos en otro. Tales curvas toman la forma que se muestra en la figura 2.L0, y con frecuencia se conocen también como cun)oa en S. La curva se lleva a la línea base extendiéndose al siguiente intervalo inferior, y dándole a dicho intervalo un de 0. 6. Los centiles siguientes se leen a partir de Ia gráfica. Esto se ilustrará obteniendo el quincuagésimo ceñtil (CJ o mediana (Md); ya que por definición, la mediana es el punto en el cual 50% de los casos quedan por debajo de é1, se traza una línea desde el de 50 ubicado sobre el eje y, ojiva. Desde este punto de intersección, se traza otra recta en ángulo recto hasta el eje r. El punto en el que esta recta corta a dicho eje r es el centil deseado. En la figura 2.10, se han trazado rectas que muestran el valor para Cre, C *y C rr. Estos valores son aproximadamente 43, 33 y 25, respectivamente. Se observa que estos valores están muy cercanos a los calculados para los mismos valores estadísticos, los cuales son 43.5, 33.1 y 25.4.

FIGURA 2.10 Ojiva o curva de porcentajes acumulados, para las calificaciones en las pruebas de capacidad de la Tabla 2.6.

32

PATTC

I/ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Rangos centíl¡cos Los rangos centílicos son semejantes a los centiles y con frecuencia se confunden con ellos. Un rango centíIico designa el poreentaje de puntuaciones que caen debajo de una puntuación específica en una distribución. Utilizando la figura 2.10, los rangos centílicos pueden obtenerse leyendo la gráfica de manera inversa. Por ejemplo, para obtener el rango centílico de una calificación de 50, a partir de 50 sobre el eje r, se levanta una perpendicular a la ojiva:. Desde este punto de intersección, se traza una perpendicular al eje g, Este punto de intersección sobre el eje y es el rango centílico. En la figura 2.10 se ve que una puntuación de 50 tiene un rango centílico de 93. De manera similar, una puntuación de 40 tiene un rango centílico de 69.

Empleo de los cent¡les

I ¡rl

'l'

I

Los centiles se utilizan mucho en las escuelas para informar los ¡esultados de las pruebas estandarizadas. En su favor puede decirse que son muy fáciles de entender. Aún si se desconoce que una persona que tiene una calificación centil de 77 está en un punto por encima del 77 Vo respecto a aquéllos para los que el examen fue estandarizado, por lo menos elTTavo centil parece corresponder a7'7 7o; incluso, el profesor menos informado puede comprender qué quiere decir esto. Dado que los centiles se parecen a los porcentajes, no hay una gran dificultad para comprender su significado. Asimismo, proporcionan una indicación adecuada del rango o jerarquía de un individuo en un grupo. Sin embargo, los centiles tienen se¡ias limitaciones, y muchos de los que elaboran y hacen uso de pruebas ya no se molestan por ellas. Si examinamos un conjunto de normas centílicas, o un perfil basado en éstas, se observará que las normas centílicas se acumulan a la mitad de la distribución. Obsérvese la figura Z.LL. Lapuntuación (no elaborada) de 33 es equivalente a C una puntuación de "o; cambio en seis uni36, a un centil 60, y una puntuación de 30, a un centil 40. Un dades de puntuación es equivalente a un cambio en 20 unidades de centiles. Hay, entonces, una acumulación de centiles en el centro de la distribución, y las diferencias entre ellos en esta parte de la curva tienen poco significado. Establecer que una persona que está en C' según una prueba difiere del individuo que está en Cu, según la misma evaluación, es darle demasiada importancia a algo que no vale la pena. En el centro de la dist¡ibución, el uso de puntuaciones ceptiles tiende a exagerar diferencias realmente inexistentes. Los centiles son unidades desiguales de medición y no pueden ser tratados aritméticamente. Esto es, no hay justificación para promediarlos, combinarlos o tratarlos de modo matemático. En lo que se refiere a la Estadística, los centiles apenas tienen utilidad. No se puede hacer nada más con ellos. Si se desea manejar datos que se han reducido a centiles, deberán convertirse de nuevo en puntuaciones no elaboradas, y operar luego con éstas. Dado que los centiles son rmidades de medida desiguales, algunos estadísticos consideran que es mejor descartarlos. En el caso depruebas estandari-


*t

zadas, los centiles se utilizan cadavez menos como método de información. Sin embargo, en ciertos círculos se seguirán usando durante mucho tiempo. Veamos por qué los centiles se acumulan en el centro de la distribución. Si recordamos la definieión de centil, como un punto en una dist¡ibución con cierto porcentaje de los casos_por debajo de é1, se deduee que cro es el punto de la distribución que deja r\vo de lós casos abajo de é1. Decir qu [ón dei área bajo de una " esto (Fig. 2.rz): Si consigráfica cae por debajo de c,osería otra forma de expresar c.*,-por definición, es el punto coÁ zTn de loi cásos siiuados por {"l"To:de"Lotu é1. En la figura se agrega otro l0% al áreasituada por debajo (o antes) {ebaio Cro. Esto puede continuarse hasta que toda el área, otodos Ls casos de ia distri9" bución, sean incluidos. La distribucién resultante se ilustra en la figura 2,LZ,la que en lugar de ser una gráfica común, es un rectángulo. La distribución de centiles se describe como rectangular. Las mediciones re-alizadas en ciencias sociales y biológicas tienden a tomar la forma de la curva normal. Las distorsiorr", ,,rrgu.t cuando dichos datos son convertidos a centiles que tienen una üstribución dife-

rente.

FIGURA

2.12

Distribución rectangular de centiles.

u

Parte l/ESTADíSICA OESCRtpllVn

A veces surgen dificultades en la interpretación de las tablas de centiles. Por ejemplo, obsérvese que en la Tabla 2.6 se da {valor centil para cada intervalo (). No obstante, estos centiles corresponden al'[ímite superior de cada intervalo. Algunas veces las tablas indican el cenfu equivalente alpunto med.io de cada intervalo. Esta práctica es usual en la información de normas para pruebas estandarizadas.

Elercrcrcs 1. a) Obtenga la amplitud de ¡ntervalo apropiada para las siguientes series de puntuaciones:

(1) 1-12 (2\ 2244 (3) 10-120

t

lrr

(4) 2.5-3.0 (5) 4ffie (6) 200-402

üli

b)

Para cada una de las series anteriores indique el límite superior exacto, el pun-

to medio y el límite inferior exacto.

2.

En una clase se aplicó una prueba de leCtura de 10O palabras,

y los resultádos

fueron los siguientes:

46 48 64 76 78 54 39

80 48 60 64 59 '62 57

57 61' 63 68 72 64 57

59 65 68 67 71

72

75

94 86 41. 68 67 61 69

76 65 66 27 68 67 61

a)

Seleccione una amplitúd de intervalo adecuada y establezca la distribución de frecuencias para estas calificaciones. bl Trace el polígono de frecuencias correspondiente a estos datos. c) Trace ef hiStograma para estos datos sobre los ejes usados en el polígóno de frecuencias. d) ¿Cómo describe esta d¡str¡bucíón? Las puntuaciones siguientes se obtuvieron en una prueba de 50 preguntas:

49 48 46 46 45 44 43 43

38 37 37 37 36 35 35 34

31 31 31 30 30 30 29 29

27 26 26 25 24 24 23 23

20 19 18 16 15

41 41 39 39

33 33 32 31

28 27 27 27

22 21 21

20

Capítulo 2/Distribución de Frecuencias; Gráficas y Centiles

a)

principie con un intervalo infeEstablezca, una distr¡bución distribución de frecuenciaS frecuenc¡as que pr¡ncipie

rior de 15-17. b) Forme otra d¡stribución empezando con el intervalo

1¿l-16.

c) Compare las dos dístribuciones. d) Trace el polígono de frecuencias para la distribución del inciso 3a. e) Trazar el polígono de frecuencias para la distr¡búción del incisó 3b. Las puntuaciones de dos grupos de adolescentes en una prueba sobre relaciones espaciales fueron las siguientes:

Distribución

Puntuaciones

60-63 56-59 52-55 48-5 I

f

A

Distribución

f

2

I

t2

0

18

2

36 38 20

4

36-39 32-35 28-31 24-27 20-23

18

10

l0

6 4 4

l6-19 l2-15 8-l I

2

3

0 0

I

I t75

I

4447 4043

4-7

B

5

8

8

6 4

3

9

55

a) Trace el polígono de frecuencias para cada una sobre el mismo b) ¿Cómo describe cada distribución?

eje.

5. Convierta en porcentajes las frecuencias anotadas en la distribución A, del ejercicio 4, y grafique la distribución. 6. Las puntuaciones siguientes se obtuvieron en un examen final en Estadística. Elabore la distribución de frecuencias, y trace el polígono de frecuencias y una gráfica basada en porcentajes.

88 85 81 80 79 79 77 77 75

74 74 74 72 71 71 70 70

69 68 68 67 67 66 66 66

64 63 63 62 61 60 58 57

57 57 56 55 54 53 52 52

51 51 50 50 49 49 48 47

45 45 44 40 39 37 36 35

33 29 27

26 25

24 23 19

36

7.

PATtEI/ESTAD|STI'CADESCRIPTIVA

Dada la dístribución sigulente de las puntli¡aciones de una prueba:

f, I

t20-129 I l0-t t9 100-109,.

90-99 80-89 70-79 60-69 50-59

8

,r-',

a)

ri¡

l2 24

36 .42 37

2t l0

4049 30-39 20-29

.tt

I

N:200

Determine cada uno de los siguientes conceptos:

(1) (5)

C.o O3

C"o (6) C* (21

(3) (71

Or {4) Cro C'o (8) D,

b) Trace una ojiva para estos datos, y a part¡r de la gráfica, lea los mismos centi-

les que encbntró en el ejercicio 7a. b) A partir de la gráfica, determine el rango centíl¡co para las siguientes califica'1 óiones: 35, 65, 85 y

114.

¡

Después de que se han recopilado los datos, tienen que ponerse en una forma que haga posible resumirlos e interpretarlos fácilmente. Uno de los primeros valores e-stadísticos generalmente obtenidos para una serie de datos es una medida de ten-

déncia central o promedio. El promedio es una cifra única que representa a un grupo de cifras. Por ejemplo, la contribución promedio a ui ciertó fondo hasta cierto punto da una indicación de la cantidad áportada por cada contribuyente. fuimismo, cifras como la_temperatura media rr,á,ii..r" o m?nima para el mesie ju_ lio en una ciudad, un índice de comercio, etc,, proporcionan,rri."r,.r*"r de ciertos hechos o datos. En el uso general existen tres promedios: la media, x, la mediana Md y la moda, Mo' De estos tres, la media é,s la que se emplea con más f¡ecuencia po, ro que se le dedicará mucha atención á este valo¡

"rüdírti"o.

MEDIA ARITMÉTICA Existen varias clases de medias, pero la de empleo más frecuente es la media arites el promedio que se encuentra usualmente. La fórmula para

mética. Este valor la media es:

^-donde

F

tr N es la media y se lee ..X con raya,, es la suma de las puntuaciones o medidas es el número de casos

IX N

(3.1)

38

Parre

l/ESTADIstlcA orscRlPrlvR

Supongamos que'se tienen 6 puntgapiones:

,

.12, 10,8,6, ,tr.

4,2

,,:i

l;q ;

.

La media de estas puntüaciones

12+

fr

es:

t0+8+6+4+2

42

66

Cuando las puntuaciones son numerosas, como en el siguiente caso,

es

posible

sumarlas en h lorma usual o mediante una calculadora de bolsillo. O bien, pueden ser agrupadas como se muestra en la Tabla 3.1. Si se suman_con la calculaior" o sin eli-a, ie obtiene >X : 158, y la media es igual a 158/30 - 5'2' ,,,

l2 t0 l0

8

8 7

I I

7

6,

"

65 65 64 64

,,,.,5

,1

2

3 3

I I

2

0

2

0

En la Tabla 3.1, loi valores de la primera columna-, señalada co¡ la lejra X, representan las diversas puntuaciones, y ios de la segunda columna, indicada con cotuml3,{, es el product: d:,lqs J, ia frecuencia de cada puntuación. La tercera lalores de las dos primeras columnas tomadas fila por fila. Se suman los de las ulti'

,1. :

TABLA3.l

OBTENCIÓN DE LA MEDIA PABA DATOS ÁénüiÁiios-óuÁr'¡óó Éúñieiver-o es r

'tx

x 12

I

12

11

0 2

20

10

I I

0

2

18 16

7,,,

3

21

6

5

30

3

15

4

3

3

2

't2 6 6

5t 2 1

0

2

'"

3

2 2

2

)f:30

lfX:158

0

Capítulo

3/Promedio 39

mas dos columnas y las sumas se indican en la fórmula de la media para datos agrupados, como se indica:

>fx N

_ 158 30

:5.2

(3.2)

En el siguiente capítulo se estudiará la codificación de datos y se mostrará cómo puede facilitarse el trabajo mediante operaciones de codificación.

Naturaleza de la media Para mostrar la naturaleza de la media

se

emplearán las puntuaciones antes consi-

deradas:

,\_-

t2+t0+8+6+4+2 6

:42 6

Cada puntuación se marca como un punto en una recta (o continuo) como sigue:

67

-

t0

8

Xi

t2

I

con la media de 7 en, el centro de la distribución..Un sistema como éste, utilizando un término de la físic!, se dice que estáen equilibrio, dado que la suma de las distancias de las puntuaciones a partir de la media en un ladof es igual a la suma de

lasdistanciasenelotro.Aquílasdistanciasson5 + 3 + 1:1+ 3 + S.Lamediaes el único punto en este coTtinuo para el cual esto se verifica. La media puede conslderarse como el eentryó / de gravedad de la distribución. Pongamos estos datos en otra forma:

12 10

5

8

1

1

6

-1

1

4 2

3

-3 -5

I:0

25

I I

25

>:70

40

|t' I

l, ill

PArtE,I/E.STADISTICADESCNIPTIVA

, ¡En.la colurnnar estáqlas distancias decadapu4tuación (X) a pa¡tir dqla media (7), o bien, en símbolos: X-X. Una r minúscula siempre significa una distan' cia de una puntuación, o medida, a partir de la media. Sumando todas las r siempre da como resultado cero. Esta es una de las definiciones matefnáticas de la medü' el punto en una distribución respecto al cual la suma de las desüaóiones es qero. Esto no es cierto en lo referente a cualquier otro punto en la distribución. Otro nombre que suele utilizarse para las desviaciones es el de motnentos;, En la tercera columna (r) están listados los cuadrados de cada urri de las desviaciones. Cuando se suman estos cuadrados, la suma se encuentra "en un -rnínimo". Esto simplemente sigg$lgq que la suma de las desviaciones'elevadas al cuadrado, es,menor que la s,rmñTe lcis cuadrados de las desviaciones tomadas respecto a cualquier otro punto de la distribucién. Entonces, eJ,valo¡,7O, es eI valor mínimo que la suma de los cuadrados puede tomar para esta distribución. La suma de los cuadrados (SC) tendrá un uso extenso en la parte fina! dE gple fib¡o.

ii ti iliii

Promedio de medias

i

Con frecuencia se nos dan las medias de dos o más muestras y se desea encontrar la media de todas las puntuaciones combinadas en un grupo. Esto se rcatiza calculando la media ponderada. Supongamos que se propone una prueba a'tres grupos y se obtienen los siguientes resultados:

:60

Nr: l0

Xz:50 Xg:40

Ns:60

X-r

Ns:30

Xy N son la meüa y el número de personas respectivamente en los grupos Ir:2y 3, Se desea eneontrar la media de los tres grupgs combinados, .f," Ya sabemos que la media es igual a la. sgma de las puntuaciones divididas

donde

entre el número de casos:

->xN Si tenemos la media y el número de casos, se puede obtener.la suma de las medidas

mediante Ia resolución de la ecuación:

>X:X(N)

I

Este es el procedimiento seguido en la obtención de la media para el grupo total. Se tiene la suma de las puntuaciones para cada grupo y se suman; luego se divide j el resultado entreel número total de

casos:

Cápítulo 3/Promedio

N 10

600

60 30

sdOO

100

ix:4goo_-

60 50 40

>,v= Xr

:

4800

*o

>x

't200

:49

Sólo cuando es igual el número de casos en cada muestra pueden promediarse las medias de las muestras directamente para obtener la media del total.

MEDIANA Lamediana (Md) se define como el punto en una distribución con\I%o de las puntuaciones a cada lado de él; esto es, Ia tnediana es el punto medio de una distribución. En el capítulo anterior cuando se estudió el tema de los centiles se observó que la mediana es el 50avo centil. En este capítulo eI procedimiento para encontrar la mediana será reformulado y

se

tratará el uso de este valor estadístico.

Cuando los datos no están agrupados, las puntuaciones pueden ordenarse en sentido ascendente y obtenerse los centiles mediante la.cuenta. Este se ilustra de. terminando la mediana en los siguientes ejemplos: Supóngase que tenemos las siguientes ll puntuaciones ordenadas en forma descendente:

20, 19, 18, 17, 16, 15" 14,13,12, I

l, t0

En este caso, la puntuación 15 tiene 5 valores en cada lado y por tanto diana. He aquí otra serie: ?0, le, l8-, 17, lq, l^1. 14, t3, 12,

es

la me-

ll

En esta serie de l0 puntuaciones, podemos contar 5 valores hacia arriba o hacia abajo desde una poslción media. Eito nos lleva al punto 15.5, que es la mediana, la cual se encuentra a la mitad entre las puntuaciones de 15 y 16. Los ejemplos anteriores son sencillos, puesto que la mediana puede obtenerse por inspección. Ahora analicemos la siguiente serie: ,,r' 21.20, r9,18,

t7.t7. rzTlo,15, l+

IJnavez):más se tienen I0 medidas y de nuevo se desea encontrar el punto que tiene 5 puntuaciones a cada lado. Se empieza de abajo y se cuentan los casos 14, 15 y 16, los cuales ocupan las primeras tres posiciones. Sin embargo, Ios tres números 17

t:¡ i.f' i

42

PArtE I/ESTADiSTICA DESCRIPTIVA

siguientes hacen imposible resolver este problema como en los ejemplos anteriores. Se aonsidera la posición intermedia entre el primer L7 y el16. Este punto es 16.5. Ahora tenemos que interpolar. Se han utilizado 3 casos y se necesitan 2 más. Los tres números 17 se supone que están distribüídos equitativamente a trav6 del intervalo f 6.5 - 17 .ó, y dado que sólo se quieren dos-de los núme¡os 17, se tomará como mediana un punto que esté a dos tercios del tramo del intervalo. En resu-

men:

ll

Md: : ':

16.5

+2/3

16.5

+

.67

17.2

Como podría esperarse, la mediana se puede obtener también a partir del ot¡o extremo de la distribución. Es este caso:

, Md:

1,7.5 --',1/3

: :

17.5

-

.33

17.2

j

TABLA

1,,,

3.2

OBTENCIÓN:DE LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

f .'

60-64 2 3ü.t 55-59 12 it1 50-54 20 45-4e 32 li3

1):;?

4044 36

'-'' 35-39 58

;lji* áót*

so-34 64 2M

29.5-142

5s trq2 42 lg,l 23 lt.|z 15 l,'t 5-e 4 l\

2ú-2s 2ci24 t5-1e 10-14

A/:366

N/2=

183

I

Md:r

*Atitl

:2e.5*@q#=g

:2e.5*ry# (s) :zs.s++ oc

(s)

:29.5 + (.63X5) :29.5+3.2 :32.7 O bien, en for?na desc€ldente

Md-34.b-$f :s4.s-2á :34.5 :34.5 :32.7

I

o)

(s)

(.36) (5) 1.8

rsl

(5)

r|Í|

Capítulo 3/Promedio

Es importante observar que cuando se trabaja de las puntuaciones altas hacia aba-

jo, un signo menos (-) reemplaza al signo más ( + en la operación. )

Para muestras como esta con una gran brecha en el cen-tro, el proceso es seme-

jante:

10, 18.32,38

Aquí la mediana es 25, el punto medio entre lg y 32. cuando los datos están agrupados, el proó"ro de encontrar la mediana se muestra en la Tabla 3.2. En esta tabla se emplea la fórmula para obtener cualquier centil (2.1).

MODA La moda (Mo) se define como el valor que apareee con más frecuencia en una distribución de medidas o puntuaciones. Es lo siguiente: 20, 19, 18, 17, 17, 17,16, 14, 14,13,g,7 17 es la moda. cuando los'dato, están agrupados, la moda se define como el punto medio del intervalo que contiene el ma!'or iú*"ro de casos. La moda para lôs datos de la Tabla 3.2 es 32.

EMPLEO DE LOS TRES PROMEDIO,$ La moda es la menos confiable de tres promedios presentados. se utiliza propiamente con datos nominales, p"to p,t"J" emplearsé con datos ordinales, dé intervalo y de raz6n. sinembargo, por lo general se usa poco, dado que no se presta para procesos de calcular. No obstante, es fácilmente determihada por quién desea una rápida medida de tendencia central. El término conJi'able aparecerá con frecuencia en este libro. Un valor estadístico se dice que es confiable cuando varía muy poco de muestra en muestra. congruente es sinónimo de confiable. La mediana es el promedio adecuado para usarse con datos ordinales, o cuando una distribución se aparta de lo no¡mal. En realidad muchas distribuciones, cuando se examinan, demuestran no ser normales. Las distribuciones de los salarios generalmente son positivamente asimétricas. Las puntuaciones en las pruebas de personalidad suelen ser distribuidas de muchas márreras diferentes,d* l" ,ror-. mal. Frecuentemente las distribuciones son truncadas es, tienen sus intei-esto valos terminales rotulados, como g50 000 y más o 25 y menos. n menudtí,1ó¡ daos de censos son promediados usando la mediana. Los promedios indicad'q-s,en-kis diarios con frecuencia son medianas. *Jr:i.:tjt; La media se utiliza como el promedio con datos de intervalo o ae SÉbn,suffii do las distribuciones son simétricas o aproximadas a la forma

I r. i _.i: ;.t .;A J,í:lj)iü..¡t ""--t,,,p,.-c¡.,q,;i!úffi.*_* ¿..

$il "j i'i.i.11 t,qp[S;,qf-

tt*{i¿,{*"q

ti

ir"e6f1;

vFi+,-

I 44

PArtE I/ ESTADISTICA DESCR IPTIVA

te notará al avanzar en este libro que la mayoría de'los valores estadísticos se basan en la media. En la mayoría de los cálculos estadísticos, es esencial que la media se

emplee como el promedio. Esta es la raz6n por la que las medias frecuentemente calculan para datos que son asimétricos o sesgados, o no son intervalos de,igual naturaleza; el investigador tiene poca opción cuando utiliza ciertos procedimientos estadísticos. Para ilustra¡ el uso de los diferentes promedios con una distribución asimétrica, considérense las siguientes contribuciones hechas por g personas para una cierta campaña. se

X

200 50 20 10 7l 53 3l

r

I I I

N:9

2fX :3O5

Los promedios para los datos anteriores son X : $33.90, Md : $7.00 y $5.00. La media produce en este caso una amplia distorsión de la contribución típica. Incluso la mediana es un tanto alta. En este ejemplo, el promedio que muestra mejor la contribución típica es la moda. Ha habido muchos casos en los que, a fin de fortalecer una opinión, un estadístico ha utilizado la media cuando debería haber empleado uno de los otros promedios, o viceversa. Cuando se traza un diagrama que muestra los tres promedios en una distribución asimétrica como la anterior, se obtienen las relaciones mostradas en la figura 3.1. En esta figura se ve que la media se ha desplazado hacia la cola o extremídad de esta dist¡ibución positivamente asimétrica. Los valores de los tres promedios aparecerian en orden inverso en.una distribución negativamente asimétrica. Se observa que en la distribución anterior, si la contribución mrís alta hubiera sido $200 000, la mediana seguiría siendo $7, la moda g5 y que la media se habríá

Mo

:

FIGURA

3.1

Los tres promedios en una distribución,positivamente asimétrica,

Capítulo 3/Promedio

45

incrémentado considerablemente. El punto estriba en que cada puntuación de una distribución afecta el tamaño de la media. Esto no se cumple para los otros dos promedios.

En resumen

se puede

decir que:

La moda se utiliza con datos nominales o cualquier distribución cuando es necesaria la rapidez de apreciación. La mediana se emplea con datos ordinales, principalmente cuando los datos se apartan de lo normal. La media se usa con datos de intervalo o de razón. Se asocia a una distribución simétrica o normal.

MEDIA DE MUESTRA Y MEDIA DE POBLACIÓN En el Capítulo 1 dife¡enciamos entre muestra y población, así como entre medidas o valores estadísticos, y parámetros. En este capítulo se ha estado considerando la

media de la muestra, que es un valor estadístico descriptivo. Con frecuencia un valor de muestra, un valor estadístico, se utiliza como una estimación de un parámetro. En'capítulos posteriores sé estudiará la inferencia estadística. Basta decir que la media de la muestra es una estimación i,nsesgada del parámetro de población, p (mu) . Es decir, si se toma un gran número de muestras a partir de la misma población, las medias de estas muestras estarían distribuidas reipecto de ¡.r. y su promedio sería igual a la media del parámetro. Por consiguiente, una media de muestra, en tanto que sea mayor o menor que la media de la población, es una estimación insesgada del parámetro. Se verá que esto no se cumple en todos los valores estadísticos.

Ejercicios 1.

Lo siguiente representa las puntuaciones de 10 materias en una serie de exámenes. Obtenga la media, la mediana y la moda para cada caso.

a. 24, 21, 20,1g, 1g, 17, 16, 15, 14, 12 b. 22,20,

1

9, 1 g, 1 g, 1 g, 1 g, 1 6, 1 6, 1 0

c.

28, 27,.27, 26, 26, 26, 26, 24, 24, 22

d.

30, 30, 30, 29,29,29,29,2g,2g,2g

e. 32,30, 30, 29, 29, 24, 24, 24, 29, 22

2'

La distribución de puntuaciones siguíentes se realizó en una escala de ventas de

un inventario.

46

parte t/ESTADISTlCA

OrSCnlplVn

Puntuación

l3 t2

I 6

ll

l0 9

t2

'22

8

l8

6

26 30 25

5

9.4,

4

t7

3

8

9

3

I

I

0

N:

194

a. Calcule los tres promedios para estos datos. b. Evalúe cada una según su aplicabilidad a los mismos

3. La escala

datos.

de inteligencia Wechsler para niños se aplica a un grupo de 24 estu-

di¿intesdecuartogrado'Sus!o(coeficientesinteléctuales)son:;.

98

122 99 'r13 99 '111 108 103 95 Jo1 1oo 96 103

l

115

101 114 90

104 116 100

I

.

.89

1;O7

113

-:

102

-.

a. ¿Cuáles son la med¡a y la mediana de los lO para este grupo?

b. ¿Puede decir si las puntuaciones están distribuidas normalmente, conocieñ. do la media y la mediana? 4. Calcule la media piomedio para cada uno de los si(iüientes casós:

d. X1 = 60, /Vr : 12, Xz : 40, Nz - 30, X3 : 50, Na 60' = b. X1:80, Nr:100, Xz:9O, Nz:50.

se estudió el cálculo y el uso de los promedios. Si se tienen datos respecto a los promedios, se cuenta con cierta información del désempeño de grupos o individuos, pero no la suficiente para que sea de utilidad. Como ejemplo, supongamos que la calificación media de tres grupos en un examen es 90. De esto podríamos concluir que los tres grupos son semejantes en las puntuaciones del examen. Sin embargo, esto puede ser cierto o no ya que antes de decir algo definitivo

En el capítulo anterior

en lo referente a los tres grupos, se tiene que saber Ia forma como están distribuidas las puntuaciones de cada grupo respecto de la media. Se debe contar con información acerca de la variabilidad en los tres grupos. En Ia figura 4.l, las puntuaciones del grupo A son: de 20la más baja y 160la más alta. Las puntuaciones del grupo B son: 80 y 100, como baja y alta respectivamente; en tanto que p4ra el grupo C son 50 y 130. Los tres grupos tienen una media de 90. Cuando las ampli= tudes de variación se comparan en los tres grupos, se observa que los tres grupos realmente difieren en su desempeño en la prueba. Por tanto, junto con una calificación promedio para cada Supo, debe determinarse una medida de variabilidad o dispersión respecto de la media. En este capítulo se estudiarán tres de tales medidas.

AMPLITUD DE VARIACIÓN En el Capítulo 2 se definió Ia amplitud de variación como la diferencia entre la puntuación más alta y la más baja, más uno. amplitud de variación

:

(X¡r

-

X¿)

+

I

Para los datos de la figura 4.1, Ias amplitudes de variación son 141,

2l y 81.

¿t8

Parte

FIGURA

I

/ESTADíStlcn orscR lprlvn

4.1 Tres distribuciones

con la misma media'

que desear. Supóngase que Como valor estadístico, la amplitud deja mucho u,f.6l' la puntuación los.valo¡es yT 9"'9 lrnpo A de la figura 4,'1, endónde

"t es 50. Entorr""r, p"tu este grupo A, si no hubiera habido ninguna pun"r, menor en este l;"ió" más baja de 20, ia amplitud sería 111 en lugar de 141' Pordetanto, puntos en 30 ,rnu puntúación más de d0, es la causante de un incremento difeuna a lugar da "uro, la amplitud de variación. En esios casos donde un solo valor esta ,"r"iu apreciable, ," á"d,r"" que tal medida estadística no es conJiable' Dáda útil'muy estadístico caracteiística, la amplitud dávariación no es un valor al elimiEn ocasiones, la confiabilidad de la amplitud de variación aumenta para el ésta determinar y luego nar el |vo superior e inferior de las calificu"iôrr"r, quitahan le se restante g0Zo central de los valores. Puesto que a esta dist¡ibueión de la que amplitud do las puntuaciones *Á tr"¡" y más alta debé ser más confiable variación real.

DESVIACIÓru CSTÁNDAR Y VARIANCIA y su Las medidas más importantes de variabilidad son la desviación estándar eomo: define se muestra (S) una de cuadrado, la variancii. La desviación estándar

s: t*

V;

(4.1a)

donde

x:(x_x)

y

*z:

1X

-

X)2

Capítulo

La desviación estándar de una población (cr)

I'F .:,,1;

se define de

4/Variabilidad 49

la misma manera:

(4.1b)

Para ilustrar el c¿álculo de la desviación estándar, utilicemos los datos siguientes:

xx2 12 10 8

6 4

>:40

(x-Xl 4 24 00 -24 -4 2:0

$-X¡z 16

l

16

ti

I:40

l l

Pa¡a Io anterior: 40 r:- >x N5---8 Entonces

J

t*

-

a r-

YN

-y

m

t-

s

: \/8 :2.8 Dado que puede demostrarse que:

2x2: >x2 -

(>x)' N

(4.z',)

la suma de los cuadrados, entonces, una forma mris directa de solución es la siguiente:

es

-.

50

a4

Parte t/ESTADiSttCn oescnl

12 10

144 100

I

64 36

6

4

)-40

plvn

16

)=360

2x2:rlr_# :360 -(40)" :360 :360 -

1600 5

320

:40

_ Para estos datos, 40, llamado la suma de lns cundrad,os, es idéntico al valor obtenido por ef primer método. )r2 con frecuencia se representa,como sc. El lector debe tener cuidado en distinguir entre (>x)n, cuadrado de la suma, y IX2suma de los cuadrados. Estos valores son diferentesy ambos nos servirán de mucho a medida que avancemos en el estudio de este librá. Al combinar las ecuaciones (4.Ia) y (4.2) se obtiene una fórmula más direbta para obtene¡ la desviación estándarr Ecuación

(4.1a) t: \ff

Ecuación

(4.2)

>tc2_

>X2-g# N

Al susütuir la ecuación (4.2) enla (4.Ia)

se obtiener

S_ Reordenando los términos y sacando del radial a

S:m

;:(fr)",.r

I

=rxy

f

, se tiene:

(4..,3)

-tf Capítulo 4/Variabilidad

51

La desviación estándar como una estimación sesgada de su parámetro Una medida estadística es una estimación insesgada de su parámetro, si la media de un gran número de valores de la muestra es igual al valor del parámetro. Por razones que no se analizarán aquí, la desviación estándar de una muestra es una estimación sesgada de su parámetro. Este sesgo es tal que la desviación estándar de la muestra tiende a ser una subestimación de la desviación estándar del parámetro. Para calcularla desviación estándar de la población, debe utilizarse s, como se define eir seguida:

s:

(4.4)

El empleo de N - I en la fórmula anterior tiende a eliminar el sesgo, y es evidente que cuando N es pequeño, una rrección es necesaria cuando se emplea.la desviación estándar de,la m,uestra como estimación de la desviación estándar del parámetro. Por ahora, se empleará S tal como se obtuvo en la fórmula (4.3) para la desviación estándar al describir la variabilidad en un grupo conocido. M,as adelante, cuando consideremos la estadística deductiva o inferencial, se utilizará s, a partir de la fórmula (4.4), para estimaciones insesgadas del pa¡ámetro.

Variancia El cuadrado de la desviación estándar c2

s-2 -

N

.2-_

se denomina oariancia:

2x2

" -N-l

(4.5)

Si se divide la suma de los cuadrados ()xz) entre el número de casos (AD, r" obtiene la rnedia de los anadrados (MC), otro nombre nara dlignar a la variancia.

lnterpretación de la desviación estándar La desviación estándar ayuda a describir la curva normal. Cuando los datos toman la forma de la curva normal, tramos de longitud igual a la desviación estánda¡ marcados a lo largo de la línea base, a partir de Ia media,.delimitan ciertas. proporciones del área bajo la curva. En el problema de,la figura 4.2,\a media X : 53.2 se registra al pie del cent¡o de Ia curva. Luego se suma una unidad (S) de desviación estándar a esta media: 53.2 + 1I.6, lo cual da como resultado una puntuación de 64.8. De manera semejante, se marca una desviación estándar al otro lado de la media. Para una curva normal, estas dos desviaciones estándares en conjunto abarcan aproximadamente 6BVo del área. En capítulos posteriores se hará referencia a este valor sólo como "dos tercios del área". Si"se miden dos uni-

n

Parte l/ESTADISTICA DESCRI PTIVA

FIGURA

4.2 Tramos con desviaciones estándares

y la curva normal.

dades estándares a cada lado de la media, se obtienen dos puntos que delimitan

aproximadamente A5% del área. Cuando se marcan tres unidades de desviación estándar, se incluye mas de 997o del áreabaio la curva. En realidad, casi 13 casos de l0 000 quedarán acadalado de la media, más allá de los puntos de + 3s y -3s. En un capítulo posterior que trata aóerca de la curva normal se verá de donde prc' vienen estos valores.

Relación de la amplitud de variación con la desviación estándar la figura 4,2 que aproximadamente seis desviaciones estándares abarcan la amplitud de variación. Esto es cierto sólo cuando el número de casos es grande. A medida que N decrece, disminuye el número de desviaciones estándares necesario para incluir todos los casos, y viceversa. El ejemplo siguiente ilustra lo Se observó en

anterior. I Número de desviaciones estándares

incluido en la amplitud de variación

5 10 25 30 50 100 500 1000

2.3 3.1

3.9 4.1

4.5 5.0 6.1

6.5

r Adaptado de L, H. C. Tippett. "On the extreme individuals and the range of Biometrlla, 1925, 17. 386.

I

I

samples from a normal population."

Capítulo

4/Variabilidad 5Íl

Promedio de desviac¡ones estándares cuando-han de promediarse dos o más desviaciones estándares, se emplea la siguiente fórmular

,.:./No(Xl * t?) * Nr(xi * ri) _ *" Y

donde

N¡

î

*N¿

(4.6)

_ Sr : desviaeión estándar de grupos combinados número de elemento, S, y" = medias "i "id" ""o ¿" t,* áos grupos X^, de los dos grupos {": : -

X,

sA, s8

=

media ponderada de los dos grupos combinados desviaciones estándares de los dos grupos que se combinan.

hay más dedos grupos, la fórmula anterior puede modificarse inclu_ -Cuando yendo términos adicionales ur, y en el denámirraaor.

"irr,r-"rador

Godificación de datos se opera manualmente -cydo bolsillo, es

con los datos, o bien, se utiliza una calculadora de que_se codiiiquen dichos datos, puede rebasarse- la capacidad de la calculadora de'bolsiuo, cuando existe un gran número de casos. "rp""i¿t"""i" más

útil codificadgr.-A penr

CODIFICACIÓN POR ADICIÓN O SUSTRACCIÓN DE UNA CONSTANTE En primer lugar se considerará el efecto sobre la media y la desviación estándar de sumar una constante a cada puntuación en una distributión. En este caso, la cons_ tante es 10.

X+10 10

5

8'

3

6 4

I

1

1

-l

2 0

X:30

25

1

I

-3 -5

25

):0

>=70

x

20525 1839 16 11 14-1 12-39 10 -5 X:90

!:0

1

25

i:70

Para los datos originales:

Para los datos codificados:

->x30 X:-:-:

->x90 Á:-: N6---

N6

K

_lfrm ': V;: V;:1/Tffi :3,410

15

s:#:fr.@ :3.416

54

Parte |/ESTADISTIC¡

OeSCnlplVA

Se observa que cuando se suma una constante a cada valor en la distribución, se suma tal constante a la media, pero la desviación estándar sigue siendo la mis-

ma. Por tanto, para obterter ld media real, la media codificada debe ser deseodificada restándole la constante. Resultados semejantes se obtienen cuando se resta una constante a cada puntuación de la distribución. En este caso, la desviación estándar no cambia tampoco, y la media codificada difiere de la media real en la constante restada. CODIFICACION POR MULTIPLICAGION O DIVISION Los efectos de multiplicar cada puntuación en una distribución se muesttan en se-

guida. X2

X

25

20

3

I

1

1

16 12

-1

1

10

5

8 6 4 2 0

:30

-3 -5

5=

5=o

,2:2

8 4 0

9

25

'

10 6

-6

100 36 .t4 4

'

-10

j=

i=

):60

"'

36 100

2m

Para los datos originales:

Para los datos codificados:

>x 30 x:----5 6 ,N

N: rI:60: 66

t*m :t/T6ffi t: {?: V.

16

I* r:v?:{?:.,Rñ /t8'0

:3.416

:,6.83

Obsérvese que (redondeando al centésimo) 2

x 3.4L6:

6.83

multiplicada por una constante, multiplicadas por la misma. resultan la desviación'qstándar tanto la media cómo han de ser divididos entre la estadísticos que, ambosvalores este caso, en De modo y estándar reales. Ásí misla desviación media la obtener 2para misma constante s9 puntuación unadistribucign que puede cuand-opada mo, demostrarse *ü9: !9 resultan dividila estándar desviación mediá como tanto'la una constante, entre das entre dicha constante. Se observa que cuando cada puntuación es

Modelo sugerido para obtenel la desviación estándar

;

,,

En la Tabla 4.1 se presenta un modelo para una bbtención más eficaz de la desviación estándar, :Las puntuaciones en bruto, o ino elaboradas aparecen en la co-

¡

Capítulo

TABLA

(t)

x

4.1

MODELO PARA CALCULAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTÁNDAR

(2t

(x

(3)

-

40)

(X -¿olz

78 75 68 62 60 60 58 58 57 57 53

20

13

289 169

51

11

121

0

64 0

48 40

4/Variabitidad 55

38 35 28 22

1444 1225 784 484

2A

400 400

18

18 17 17

I

>:265

324 324 289

s:fi."ww=6A 1_ :n\/I4GFTTrc* :.o714y€i8459=ñZ45

:.ot't4JT6Tts :.O714 (134.956)

:9.64

:9.6 Media codificada:

-X:265

I:6317

14

:18.9 Media real : 18.9

+ 40:58.9

lumna (l). Luego una constante igual a 40 se resta de cada puntuación, y los resultados se anotan en la columna (2). Estos valores codificadoise convierten ahora en

los nuevos valores x ha¡ de emplearse en las fórmulas. Luego ," el"rru J -qy" cuadrado cada valor de la columna (2) y estos cuadrados se anotan J¡ lu (3). Los datos de las columnas (z) y (s) ," rn*"rr, y sus totales se utilizan "or"*"u luego en la fórmula para la desviación estándar. Dado que se codificó por sustracción, tiene que descodificarse la media así calculad" p".u obtener la miedia real. se ahorrará much<-r tiempo y esfuerzo si se codifican los datos siempre que sea posible. con grandes puntuaciones, como los resultados de la prueba áe irrir"so a una _universidad, que para una muestra dada pueden variai de 520 ig0, ," pueden codificar restando 500 a cada valor, a rnÁid" que se ingresan " a una calcu-

ladora. Asimismo, si se tienen pu'tuaciones como út+, o.tí,0.23, etc., éstas podrían ser codificadas eliminando los puntos decimales, lo que equivale a multiplicarlas por I00. se,debe recordar q,r" p"ru descodificar loslatos, hay que usar los principios explicados anteriormenie. Al emplear la Tabla 4.1 como modelo, si se usa una calculadora, no es neeesario escribir cada valor como está en la tabla. Las sumas de las columnas (2) y (3) pueden obtenerse directamente de la carculadora después J" t i"g*r"áo f elevado al cuadrado todos los valores. "¡*

56

PArtC I/ESTADiSTICA DESCRIPTIVA

DESVIACIÓN CUART¡LICA La d.esoiación cuartílica, representada por Q, es otro nombre de-la semiamplitud al iniercuartílica. En el Cápituto 2 se mericionaron dos cuartiles, Qr,-equivalente la mitad es cuartílica desviación La centil. y Q., el equiülente aL75" ZiJ distancia entre éstos dos puntos cuartiles. Esto se expresa como sigue: de la"urrtit,

a:gig ii;

r

:illr I

i:r',

ihi'il

:ltri 'rtliJ¡

(4.7\

esto, se utilizarán los daEsta medida estadística es fácil de obtener. Para ilustrar definicigt' Q, *jl !9iPor tos de la Tabla 4.2. Primero se debe calcular Q,Y Qr El25% i; q* ii""; LS% delas puntuaciones por {"hit de_él 9n la distribuci1n. y se ellarriba' hacia abajo de los 40 casos es 10. Luego se cuentan los l0 casos de queda exactamente ;;t; q* aba¡o del límTte inferior del intervalo 45-49y entonces = 44'5'dicho P.ata Qt es necesaria una interpolación en este caso, 25 % . No-A; de considerará se casos' los de te repite el proceso, excepto que el 25% ñ;; llega se que cuando observa se fr*,i. aba]o. Aláontar "n fottit" déscendente 7 casos, y se necesitan "rri¡" u A+.5 (límite inierior del intervalo 65-69), se han incluido es necesario avanzaf menor, tres más. como hay 4 casos en el siguiente intervalo como sigue: la operación mostrar tres cuartos a través del intervalo. Es posible

Qs:64.5

-;

3

(S)

:64.5 ---l5 4 :64.5

-

3.75

:60.?5 manera: Para evaluar Q se procede de la siguiente

n:Q"--Q' :

60.75

-

44.5

2

:- 16.25

:

2

:8.125:8.12

Capítulo 4/Variabilidad

57

4.2 OBTENCIÓru OC LA DESVIACIÓN CUARTíLICA

TABLA

80-84 75-79 70-74 65-69

1

1 1

4

60-.64

4 7

55-59 50-54 45-49

6 6

4044

6

35-39 30-34 25-29

0

't0

3 1

N:40 cuando los datos no están agrupados, el proceso

como se señala a continuación:

es

X's

98 86 84 82 81

79 78 77 73 72

72 68 67 67 66

63 62 60 59 58

57 56 56 54 52

51 48 47 46 41

40 39 38 38 s7

36 g2 30 28 25

En esta distribución hay 40 puntuaciones. para facilitar esta tarea, se han cglocado las puntuaciones en orden dÁcendente. nn pri,,'"i t"lu, ,-r"7rÁ"llsE" a" ¡¿,'" se dMde N entre 4 para obtener el número áe puntuaciones que están

¡i"r,

por debajo de

En este ejemplo

,25% de40 es 10. Al conta¡ en sentido afcendente a partir de la g, o 40.5 (6a. columna de izq. a der.). E;;; punto que tiene f3; ::P.:ll-g"" zo"/o de las puntuaciones abajo de é1. contando desde la parte ,,rp"iio, se liega a la ,Qr.

parte.baja de 73, lo que da7z.5. Aquí tuación:

Qs:72'5

:72.5

:72

-:

-

I

.5

se tiene que

interpolar para la

dé"i*;;;;:

58.

PArtC IIESTADISTICA DESCRIPTIVA

entonces

,.-Q':272 -

Q' 40.5

31.5 2

:

15.8

lnterpretación de

O

'

y resta

En una distribución normal, si se toma la mediana, y

des-

se suma ¡rl.a 50% de los c1aproximadamente viación cuartíIica a cada lado de ella, a cada lado de sos. También se verifica que si se marcan 4 desviaciones cuartílicas todos los caincluidos estarán prácticamente la mediana en una muest^ra grande, variación, de la amplitud toda abarcan sos. Por tanto, 8 desviacionÁ cubrtílicas grande' es cuandctW estándares, como lo hacen también 6 desviaciones se abarca

Cuándo utilizar la desviación cuartílica que Dado que la desviación cuartílica está relacionada con la mediana, se deduce dessiemprá que se utilice la mediana como medida de- ten'lenlil- ":"!tul' Ia

recordará

viacilón culartílica resultará ser una.medida apropiada de variabilidad' Se que la mediana es la medida estadística pof usar como evaluadora de la tendencia c-entral cuando se tiene unadistribución asimétrica; Aun cuando las distribuciones de sean asimétricas, funcionará bien ia comprobacién que erriplea el50% central

los casos. :,

i;

CUÁNDO SE USAN LAS DIVERSAS MEDIDAS DE VARIABILIDAD.

,

'.

I

1,. Amptituit d.e tssriaclón 'Esta es la medida menos confr'able de todas, y se utili, za,i6lo cuando hay urgencia de obtener una medida de variabilidad' Puede

usarse con datos oidi.t"I"t, de intervalo o de raz6n' Despiación estónd.ar g oariancia. La desviación estándar se utiliza siempre que gral parte una distribución se airoxime a la distribución normal. Es la basg de de la Estadística que^se estudiará más adelante en este libro. C'ómo la medida más confiable de iariabilidad, se emplea con datos de intervalo y de raz6n. S. Desoiación cuartílica. Esta medida estadística se utiliza cuando la mediana se usa como promedio; esto es, cuando los datos se apartan notablemente de lo normal. Es también la medida que ha de usarse con datos ordinales.

2.

--= Capíruto

4/Variabitidad 59

:{:r :

Ejercicios

:.

1. un

profesor de un curso de inglés apricó un examen de redacción,a un gruio, con los siguientes resultados:

37 35 43 45 45 35.

35 42 40 46 35 34

44 43 34

4A

38 36

40 38 37

Obtenga la media y la desviación estándar para estás puntuaciones. E s y,O." rr,; : .

2. Para los siguientes valores determine,X],

a. b. c. d.

20,19, 18, 16, 15, i4,19,12,9 34, 34, 30, 29,29,25,20,1g,12, 40, 38, 36, 32,24,20, 18, 10 10,10, 10, lo, lo, lo, lo, lo e. 12,11, 11, 11, g, 9, 9, g, 9,7,2.

.l

g

3. En una prueba de Estadística, un grupo de estudiahtes obtuvo las siguientes califícaciones. Halle tanto s como X codifíque sus datos y emplee la fóimula (4.3i.

4't 35 32 29 403¡312s20, 38 34 31 28 35 33 31 24

23 16

14 :

i.:

En un examen de g,rado un grupo universitario ob,uuo las siguientes califiua-

ciones:

602 580 650 601 552 590 402 420 460 449 501 486 550 512 484 498 462 407 544 558 542 550 567 594 560 575 481 476 498 470 422 520

:

= 60

partet/ESTAD|sttcnoescRtptlv¡

Calcule la media y la desviación estándar para estos datos' S. La misma prueba de Estadística fue aplicada a tres grupos, con los siguientes resultados:

Clase B Clase C

6.

10 '12 16

82 86 88

Clase A

25 35 20

Obtenga la media y la desviación estándar de los tres grupos combinados' Utilice la fórmula para puntuaciones brutas a fin de estimar la desviación estándar de las siguientes pqntuaciones. La distribución de 112 estud¡antes de bachillerato en una prueba de capacidad fue:

iil'

Puntuac¡ón. f mi

90-94

1

i

85-89

i

80-84 75-79.

2 3 5

70-74

11

6ffi9

12

't0

60-64

7.

Puntuación (cont.l

55-59 50-54 4549 4044 35-39. 30-34 25-.29 20-24

f 14 11 11

16

I

5

2 1

¿Cuál es la desviación cuartílica de esta distribución? Las siguientes puntuaciones fueron obtenidas en un breve examen de des+reza psicomotriz. Obtenga @ y evalúe el uso de O para estos datos.

18 18 17 17

17 16 16 15

15 14 14 14

13 13 12 12

12 12 11 11

CAPiTULO '.]].i:]i]]';i1,,]j!':]::ir'..::l]:l:.:!.i:.l1i]']:-i:]j'.::]';].'1::.]'l-

PUNTUACIONES ESTÁNDARES O VALORES Z La fórmula para la llamada puntuación esttindar o oalor z

X-X

a:

donde

ss X: X: s

:

est

,ú

(5.1)

-_

cualquier puntuación no elaborada o valor de medición media de la distribución de las puntuaciones X desviación estándar de la distriüución anterior

Para ilustrar el cálculo y la naturar eza delas puntuaciones estándares, tomemos los siguientes valores de medición, que son p"it" d" una distribución ion una media de 60 y una desviación estándar ¿ie lO,

70 60 50 54 46

.

10 0 -10 -6 -14

En la columna (r)

1.00 .00

-1.00

-.60 -1.40 se tienen las puntuaciones (no elaboradas),

¡esta de cada una de éstas, y luego lá desviación

*.

(diferencia,"rfáa

La media

se

de la media),

62

divide entre la desviación estándar para cambiar los valores de desviación a puntuaciones estándares. La puntuación de 60 coincide con la media' No hay desviación entonces, y así la puntuación estándar es celo. Una puntuacion de 70 está a I desviación estándar arriba de Ia media. Esto da como resultado un valor z de 1. Cuando se cambian las puntuaciones no elaboradas a puntuaciones estándares, quedan expresadas en f.rnción de desviaciones estándares. Los valores z indican *átrt", ,,nid"d"r de desviación estándar se apárta una puntuación no elaborada a partir de la media. Puesto que las 3 desviaciones estándares a uno y otro lado de la media incluyen prácticamente todos los casos, se deduce que la puntuacióna más alta que se obsei.ra es + 3, y la más baja es -3. Es posible describir la distribución de valores a diciendo que tienen una media igual a cero y una desviación estándar de I. Esto se lu fig.ttu 5.1. Siempre que se considera una puntuación estándar, muestra "tt se podrá saber exactamente donde está situado un valor en una distribución. Un estudiante al que corresponda una puntuación a de 2.5, se halla a 2.5 desviaciones estándares arriba de la media en esta distribución de prueba y tiene así una puntuación o calificación muy buena, Estas puntuaciones estándares pueden ser manejadas en forma matemática. Se debe observar también que al cambiar una distritución de puntuaciones comunes a puntuaciones z, no cambia la forma de la distribución original de las puntuaciones. Si la distribución estaba positivamente sesgada al empezar,las puntuaciones z obtenidas a partir de tal distribución, estarán positivamente sesgadas. Dado que las puntuaciones z se expresan en decimales y casi la mitad son negativas, es bastantá incómodo su manejo. Muchas veces se emplean las llamadas lransformaciones lineales, que consisten en ampliar la escala; eliminando así las puntuaciones negativas, y en usar una desviación estándar más grande' para que

r,

E

s 3 F

Parte l/ESTADISTICA DESCRIPTIVA

se

FIGURA

5.1

Distribu¡ié'r de diversos tipos de sistemas de puntuaciones estándares.

Capítulo 5/Puntuac¡ones Estándares y la Curva Normal

los decimales se eliminen. Las puntuaciones transformadas la siguiente fórmula:

puntuación estándar

:

se obtienen a

z (nueva desviación estándar)

+

63

partir de

nueva media

Una forma común para estas transformaciones se basa en una media de 50 y una desviación estándar de 10. En forma de ecuación esto se expresa como:


:

z(10) + 50

o bien, considerando Ias puntuaciones brutas (X)


(X-X)

(10)

+

:

50

s

Es usual este sistema con una media de 50 y una desviación estándar de 10. Ha sido ampliamente utilizado durante muchos años por ciertas ramas de las fuerzas armadas estadounidenses. Con este sistema se tiene una media de 50 y una ampli-

tud de variación entre 20 y 80. Todas las puntuaciones son positivas y pueden redondearse a números de dos cifras. La figura 5.I muestra esta distribución de puntuaciones así como otras. La tercera columna de la figura 5.I contiene las puntuaciones usadas en la American College Test (ACT) que es una serie de pruebas para seleccionar a estudiantes de nuevo ingreso en una universidad. Aquí la media es 15, y la desviación estándar, 5. La última fila muestra el tipo utilizado por la College Entrance Examination Board (CEEB). Aquí se observa una media de 500 y una desviación estándar de 100. Puede establecerse cualquier sistema, pero los anteriores son los más comunes. Se han normalizado algunas puntuaciones estándares. Con esto se quiere decir que las distribuciones de estas puntuaciones se hicieron de modo que concordaran con las de la curva normal. Se describirán brevemente algunas de las puntuaciones estándares normalizadas. Una muy usual es la puntuación ?, que tiene una media de 50 y una desviación estándar de 10. Las puntuaciones ? con frecuencia son normalizadas. Otra puntuación es la llamada en inglés stanines (de "standard nines") que tiene una media de 5 y una desviación estándar aproximada de 2. Muchas de las trluntuaciones estándares utilizadas en programas de prueba en Estados Unidos han sido normalizadas.

Usos de las puntuac¡ones estándares Dado que las puntuaciones estándares son unidades iguales de medición, y puesto que su tamaño

es

el mismo de distribución en distribución, se han converti-

do en una herramienta muy útil, tanto en el registro de las puntuaciones de prueba como en investigaciones, usando resultados de prueba. Cuando los resultados de pruebas diferentes aplicadas a los mismos individuos han de ser comparados, lo anterior se facilita mediante el empleo de puntuaciones estándares. Este proceso se ilustra en la Tabla 5.1.

T 64

Partel/ESTADiSrtCROrSCntpttvn

5.1 COMPARACIÓN Y COMBINACIÓN POR PUNTUACIONES ESTÁNDARES DE CALIFICACIONES OBTENIDAS EN DIFERENTES PRUEBAS

TABLA

PARTE

1'

¡

s b

A: PUNTUACIONES NO ELABORADAS

Estud¡ante

Geografía

Redacción

Ar¡tmética

A

60

't40

40

B

72

100

36

C etc.

46

110

24

Media Desviación

60

100

estándar

10

20

E

PARTE B: PUNTUACIONES ESTÁNDARES

Estudiante Geograffa

Redacción

Aritmótica

Promedio

A50 862

70t

80

67

50

is

62

55

53

48

c36 etc.

Bn la parte A de esta Tabla 5.1 se presentan las puntuaciones de estudiantes de escuela primaria en tres pruebas. Sólo se señalan las_calificaciones de tres alumnos (A, g y C). En la parte inferior se muest¡an la media y Ia desviáción estándar de cada piueba. AI obiervar los datos de la parteA, resulta evidente que, tal como upur"""rr, transmitan muy poca información. ¿Qué estudiante_tiene el mejor deseirpeno íotal? ¿En qué pt,t"Uu se desenvuelven mejor o peor los diferentes estudiañtes? Ninguna de estas preguntas puede ser contestada tal como se expresan estas calificaciones. Supóngase que ahora cambiamos estas puntuaciones a puntuaciones estándares. Paá esto se utilizará el sistema con una media de 50 y una desüación estándar de 10. Empezaremos con la prueba de geografía , y para todas se empleará la fórmula de transformación:


:f=

(lo) +

50

La calificación o puntuación estándar (PE) en geografía para eI estudiante A en esta prueba es:

¡

Capítulo 5/Puntuaciones Estándares y la Curva

Normal

65

(lo) + 50 PE:60;60 l0

:0*50 :50 La calificación en geografía para el estudiante B

PE:

72

es:

- -60 (lo) + bo 10

120 :_+50 '10

:12*50 :62 Esto continúa hasta que se hayan transformado todas las calificaciones. Los resultados de transformar las puntuaciones de la parte A en la Tabla 5.1 se muestran en

la parte B. Esto puede parecer un procqso tedioso; sin embargo, si hay muchas puntuaciones que hayan de ser transformidas, es más conveniente ordena¡las en forma descendente y obtener la desviación de cada una (puesto que están en orden, el proceso es muy sencillo). Las puntuaciones con desviaciones negativas están a la misma distancia por debajo de la nueva media, así como las puntuaciones positivas están por encima de ésta. Examinemos ahora la parte B de la Tabla 5.1. Se observa que el estudiante A está en Ia media, en geografíay a2 desviaciones estándares por encima de la media, en aritmética. El desempeño promedio del estudiante en estas tres pruebas fue 67, o sea, 1.7 desviaciones estándares sobre la media. Por consiguiente, se puede decir que el desempeño del estudiante A es promedio en geografía, excelente en redacción y superior en aritmética. De esta manera, se puede considerar el logro de cada estudiante en los tres exámenes, y obtener una medida promedio de su desempeño en las tres pruebas. Se debe observar que la única forma justificable de comparar las puntuaciones es cambiar primero las puntuaciones a puntuacio. nes estándares y efectuar luego la comparación. Las puntuaciones estándares gambian las puntuaciones no elaboradas a unidades iguales comparables. Otro empleo de las puntuaciones estándares es en la determinación de calificaciones finales para un curso. Tomemos uno que tiene tres exámenes de I hora de duración durante el semestre, y un examen final de 2 horas. Al final del semestre el profesor promedia los resultados de las tres pruebas de I hora, y luego combina de alguna forma este promedio con la prueba final. Tal método puede no ser el mejor o el más justo. Supongamos que las medias y desviaciones estándares de las tres pruebas de I hora fueron las siguientes: Primer

examen

Segundo

examen

Tercer

oxamen

Examen final

x

52

87

62

124

s

8

17

11

21

66

¡¡

5 ü

Partel/ESTADíSt¡C¡OESCRlprlvn

Si se promedian las calificaciones de un estudiante en estos tres exámenes, cada ,lru ti contribuirá de igual manera al promedio. La segunda prueba con la máxima desviación estándar contribuiría más al promedio final que las otras dos, y el primer examen contribuiría menos. El método propuesto tiende a compensai las iontribuciones de los exámenes de t hora a las calificaciones finales' En los casos de clasificación, si el profesor desea que cada una delas seriesdq que las exámenes contribuyan de igual *utt"tá a la calificación final, se deduce pt.r"bu deben cambiarse a puntuaciones estándares' y que puntuacione, 'éstas ""du "n deben promediaise. Así, cada prueba de I hora contribuye de maúera a ü cahficación final. Supongamos ahora que el profesor desea que la "qoit",i"" p;;t. final cuente lo doble de las otias pruebas en la calificación final. Estas caliiicaciones finales también deben ser cambiadas a puntuaciones estándares' Entonla punces cualquier promedio global para un estudiante se determina tomando y agresumándolas' tuación éstánáar en cadá1una áe las tres primeras pruebas' y divifinal, examen gando luego a esta suma 2 veces la puntuación estándar en el diendo el total entre 5. Esto se expresa como z1+

zz+

4+

zr(2)

5

donde 21, 22,

Z3: zr : 2:

Ias puntuaciones estándares en los tres exámenes de

t

hora

puntuación estándar en el examen final valor ponderativo del examen final

Este método otorga a cada examen el peso o ponderación que el profesor desea' Algunos profesores-convierten todas lai calificaciones en puntuaciones estándares ántes de anotarlas en sus libretas de clase. Lo anterior es muy recomendable' Los profesores de ciencias y otras materias tienen problemas especiales en lo q,r" ,"rp"^"tu a calificaciones de laboratorio, calificaciones de proyectos y de otros traba¡os. Es deseable que las calificaciónes de laboratorio, por ejemplo, contribuyun harta cierto punto en la calificación final. Esto puede llevarse a cabo con cieria precisión curnliando éstas a puntuaciones estándares ydándoles ei peso deseado pro*"dio final, como se mostró en el caso de la combinación de exámenes de

"rr'"1 I hora y Ios finales.

CUSVA NORMAL Naturaleza general de la curva normal ha mencionado Ia curva normal. Ahora la examinaremos con más detalle' y analizaremos sus características, propiedades y algunas de las formas básicas en las que puede ser usada. En el siglo xvIII los jugadores profesionales se interesaron en lis posibilidades que tenían de ganar en diversos juegos de azar, y pidieron ayuda a aigunos matemáticos. DeMoiv¡e (f733) fue el primero e¡ obtener la ecuación de Ia cirva normal. A principios del siglo XIX Gauss y Laplace ampliaron el de-

ya

se

Capítulo 5/Puntuaciones Estándares y la Curva

Normal 67

sarrollo del concepto de tal curva y el de probabilidad. Casi en la misma época los errores de observación cometidos por los astrónomos quedaron representados por una curva de tal tipo. Hoy la curva normal se conoce también como "",-rrrru d" error", "curva de campana", "curva de Gauss" o "curva de DeMoivre". Ahora ya es bien conocida la forma de esta curva. Su altura máxima está en la media. Se dice también que la ordenada máxima (las ordenadas se simboli zan con g) está en la media. Las demás ordenadas son más cortas que ésta. También se afirma que la curva normal es asintótica. Esto quiere decir que teóricamente las colas o extremidades de la curva nunca tocan la línea de base sino que se prolongan indefinidamente en uno y otro sentidos. En la práctica, sin embargo, ties desviaciones estándares a uno y otro lado de la curva incluirán prácticamente todos los casos. Como se mencionó antes, la asimetría de la curva normal es cero y por su "agudeza" se describe como mesocúrtica. En los estudios de educación y psicología se supone que ciertas características están distribuidas normalmente. Es probable que ninguna distribución tenga exactamente la forma de la distribución normal. Muchas de las distribuciones de frecuencias se aproximan a la normal, y se supone que tienen la citada distribución normal. En el grado en que las distribuciones difieren de la normal, se presentan los errores. La curva normal es importante no sólo porque las puntuaciones se supongan "normalmente distribuidas", sino porque las distribuciones de rnuestreo de diversos valores estadísticos se sabe o supone que son normales. De aquí que la importancia de la curva normal radica, sobre todo, en los valores estadísticos de muestreo. (Esto se estudiará en los capítulos g y 10.) El contenido del Apéndice B se basa en una curya normal con una media de cero, una desviación estándar de l, y un área reducida a la unidad. Se conoce como cun)a nornxal unitaria o curva normal referida a unidades de puntuación estándar. Al resolver problemas damos por sentado que los casos están diseminados en fo¡ma equitativa en esta área. Supóngase que se tiene un problema con 500 casos. En su resolución se observa que 0.262 del área bajo la curva queda arriba de cierto punto. Para determinar el número de casos sobre este punto, simplemente se multiplica la

fracción por el número de casos; en este ejemplo, 0.262 (s00). También se utiÍiza esta área bajo Ia curva al hacer mención de la probabilidad. supongamos que como ilustración se toma una puntuación no elaborada a la que corresponde on" prr.rtuación estándar equivalente de + 1.88. Al referirse a la tabla de probabilidad normal, Apéndice B, se nota que aproximadamente 0.03 del área bajo la curva queda arriba de este punto. Entonces se dice que la probabilidad de óbtener una puntuación igual o mayor que + 1.88, es 0.03, o de 3 en I00.

Áreas bajo la curva normal En el capítulo en que se estudiaron las desviaciones estándares, se mencionaron algunas de las relaciones entre las unidades de desviación estándar y la curva normal. Las más importantes se repiten en la figura 5.2. Enresumen, i desviación estándar tomada en cada lado de la media incluye un área de 68.26% de la total, o aproximadamente dos tercios de los casos. En términos de probabilidad se puede

68

PArtE I/ESTADiSTICA DESCRIPTIVA

It: sl

establecerquelasoportunidadessoncasidosentresdeunapuntuaciónenuna

muestradistribuida""'-"r-""tequecaigadentrodelárea,deldesviaciónesestándar después de-la

tándar a cada lado de la media. una s"guáda desviación primera(acadar"aolto-uLg'1g%delárea.Todaeláreaincluidapor2unidades media, comprenden más del 95% de de desviación estándarll-¡or lados de la desviaóión estándar a cada lado los casos. Si se continúa se considera una tercera

delamedia,setoma".'"p"'..iguala2..|5%deláreatotal.Lasumadetodaslas igual a99'74Vo del de desviación estándar es áreas abarcadas por *i"r é ""iaides más allá de tres unidades de total. De esto se d"d";" ;;"-óJ6% de los casos están

desviación estándar

;;"];it

d" la media. Esto signific-a 26 en 10 000' Al dividir

media, se ve que a ca2paradistriüuir igualmente en ambos lados de la allá de 3 unidades de más "",r" "rl"-" i3 "uro.-"t 10 000 estén da lado se puede "rp"-r"t desviación otáttd"t a partir de la media' AREAS TOMADAS ENTRE DIFERENTES PUNTOS

Supóngasequeseconsideraelp¡oblemadelafigura5.3.Sedeseaobtenerlafrac.resitt"luiia entre los puntós a + !'5.s y + l'76s unidades ción del área, o¿" ""roi la tabla de probabilidad pecto de la media. Los problem"r- r" ,"r,rllroen usando el área de Ia y encontrando normal, Apéndice r. éui*pi""a observando la tabla a una'puntuación-esentre la^ media y un punto equivalerrte "o*prendida "r*" *"hi". nst" lraior "pu1é99 en-la columna (2) dg la tabla 0.5 tándar de (l) de la tabla hasta "rriu"á"iu y es 0.lgl5. posteriormfie se sigue ha"11"b"io de lá columna (2) se obtiene columna la de 1.76. Eiaminando llegar a una puntua"iá" bajo la "rta"a""t el6tea L¡ego punto. que 0.4608 del área se abarca entre la media y este puntos, q 1qg8 los de valores curva entre *stos ao, frrrrtorlr f" diferencia enire los el27% que casi por establecerse tanto, puede _ 0.1915, lo que iglr"r a 0.26g3.

",

Capítulo 5/Puntuaciones Estándares y la Curva Normal

i:.'.1

;,

j

69

;1i:-:.i::l;:1:::,;:a:.

iii:'"!i::.,::l j:f':;l: j,';iir:¿¡.i;l

;t:i:i-:*!'::¡.;'á¿: j:a¿ ir'¡¡.1&::¡i;::::i]g,ffi-.:r¡'f.:{:-.

i::rdii:::;::!;:a::..:i';::

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.-"1 . .:1:

..x

i

+.0.5o,: .

r,

aj:',.*:]ijiti '

.+1.7.6s"'.".

*:ii;¡:¡i.!¡¡i; FIGURA

5.3

Porcentaje del área bajo la curva.normal entre dos puntos situados al mismo

lado de la media.

de los casos está entre estos dos puntos, o que es 0.27 Ia probabilidad de que una puntuación caiga entre estos valores. En el siguiente ejemplo, se tomarán dos puntos sobre diferentes lados de la media. Esta vez se desea determinar qué proporción de la curva normal queda entre una puntuación estándar de -0.48 y una de + 1.5 (Fig. 5.4). No existen en el Apéndice B valores para puntuaciones estándares negativas. En lo que respecta a las áreas, puntuaciones estándares iguales, ya sean positivas o negativas, abarcan áreas iguales cuando se miden a partir de la media. De la tabla se observa que

F|GURA5.4 Porcentaje del área bajo la curva normal entredos puntos situados a lados diferentes de la media.

70

lii i

!t ii iL

parte t/EsTADiSlcn

orscRlprvn

una puntuación estándar de + 1.5 incluye de manera similar 0.4332 del área bajo la curva entre este valor y la media. El área incluida entre ambos puntos es, por tanto, igual a la suma de estas dos áreas;0.1844 + 0.4332,1o cual es igual a 0.6176, o aproximadamente, 62% del área. Antes de avanzaÍ más podríamos, examinar las otras columnas del Apéndice B. La columna (3) se denomina Á rea de la parte tnaAor, y la column a (4),Área ite la parte nxenor, Cadavez que se tome un punto en la línea de base de una curva y se levanta una perpendicular en é1, se dividirá Ia curva en dos re$ones, una mayor y una menor. Para cualquier puntuación estándar, dada, Ia suma de estas dos áreas es igual a la unidad. La columna (5) de la tabla, ordenada, da el tamaño de las ordenadas para las diversas puntuaciones estándares. Exarr¡inemos otro tipo de pioblema que puede resolverse con estas tablas. Supóngase que se tiene una distribución de calificaciones de pruebas para-la cual se han obtenido los siguientes valores estadísticos: X : 80, s = 16, N : 510. Se desea conocer qué porcentaje de las puntuaciones en esta distribueión cae arriba de una puntuaqión de 110, suponiendo una distribución normal (Fig, 5.5). Desde luego, esto puede resolverse para cualquier puntuación en esta distribución. Dado que la tabla de la curva normal está en unidades estándares, el primer paso consiste en cambiar la puntuaîón no elaborada de 110 a una puntuación estándar aplicando la fórmula:

X-X s

l6

:30

l6

:

1.875

Puesto que la puntuación z e,stá a la rnitad entre 1.87 y 1.88 se debe interpolar. Esta vez nos interesa el área de la región menor de la curva correspondiente a una puntuación estánda¡ dada. El valor tomado de la tabla está a la mitad de la dis-

tancia entre 0.0307 y 0.0301, lo que es igual a 0.0304. Enseguida se multiplica N por esta fracción para encontrar el número de casos sobre esta puntuación no elaborada de 110. Se observa que 510 (0.0304) = 15.504 casos, Esto, en números redondos, es aproximadamente igual a 16 casos. PUNTOS EN OUE POR ARRIBA O POR ABAJO DE LOS CUALES OUEDAN CIERTAS PROPORCIONES DEL AREA TOTAL

::

Ahora se invertirá el proceso que se utiliza. Supongamos que se desea encontrar el punto en la distribución que tiene 70Vo de los casos abajo de éL, y 90Vo arriba (Fig. 5-6). Este punto sería el l0.ésimo centil. Se emplea la tabla de probabilidad normal, y usando la columna'(4), el área de la región menor, se deterrnina el valor

Capítulo 5/Puntuaciones Estándares y la Curva Normal

71

F|GURA5.5 Porcentaje de casos en una distribución normal que caen arriba de una

cierta

puntuación..

más cercano a 0.10. En la tabla se obtiene que es 0.1003; y leyendo hacialaizquierdase observa que una puntuación estándar de 1.28 divide al área de la curva en las doi proporciones tal como se deseaba. Puesto que esta puntuación estándar está a la izquierda de la media, tiene que tener signo menos y se expresa correctamente como - 1.28. Se podría resolver este problema usando la columna (3) de la

FIGURA 5.6 Puntos e:l la curva normal arriba y abajo de los cuales quedan diferentes porcentajes de la curva.

lir tr

72

r,l

ir

il !

i

ParteI/ESTADiSTICADESCRIPTIVA

tabla, que contiene el área de la región mayor. Se habría descendido en la columna hasta acercarse lo más posible. O.gO. El valor aproximado es 0.8997, situado es en la misma fila que antes.-El procedimiento a partir de este punto en adelante los de l0% que tuviera la distribución en punto idéntico. Si se quisiera obteneiel valor de casos arriba ae Ct 1C¡, el método sería el mismo; excepto que al final, el la derecha a punto estaría vez el porque esta + 1.28 sería lalunt,ración estániár de la media. Supongamos que ahora se quiere saber de qué puntuación caerá en la distriEn-el ultimo párrafo se observó que a un valor a de buciónêl {OEo d.lo, "*or. del cual cáe el90To de los easos. Para obtener la punto abajo 1.28 corresponde el valor a de 1.28, se resuelve la ecuación de a aeste puntuación-"orroporrdiente distinta: incógnita una para determinar

I

I

E

x-

L_

F 5

b n"

1.28

¡t

c,

x-80 : __T6_

,

X

i

-'80:

16(1.28)

X:80 + 20.48 X:100.5 fuimismo, el equivalente en puntuación no elaborada del punto abajo del cual cae el IjVo de los casos es¡ _1.29

: _x-80 16

X

- 80: -20.48 x:80 - 20.48 x:59.5

Ejercicios

1,

Dados los siguientes valores estadísticos de un examen: X = 84, S 797 convierta cada una de las siguientes puntuaciones avalot zi

a.

(1) 84

(4i

b. c.

¡

54

(21,72 (5) 120

=

12, N

:

(3) 96 (6) el

A continuación, cambie cada una de las puntuaciones z obten¡das en la pafte a, a una puntuación estándar con una media de 500 y S = 100' Cambie cada una de las puntuaciones z de la parte a, a una puntuación

ACTconX:15yS=3.

Capítulo 5/Puntuac¡ones Estándares y la Curva

2.

Normal 73

un estud¡ante en tres En la tabla que sigue se presentan las calificaciones de prueba: exámenes y los valores estadísticos para cada Examen

1

x80

Xe2 s11

Examen

2

Examen 3

x13

x70

x6 s2

X5s

s13

a.¿Cuáleslapuntuaciónestándarpromed¡odelestudianteparaestas : 10') Pruebas? (Utilice X = 50 Y S

po-nderadas con 4' 2 Suponga que las puntuac¡ónes de la prueba han de ser promedio? ponderada y t. ¿Cuát es la puntuación estándar y /t/ : 800 Dada una distribución normal con una media de 30' S = 6

b.

3.

a.obtengaelvalorzequivalenteparacadaunadelassiguientespuntuaciones no elaboradas:

45, 36,22, 18,30 b.

a' en una Transforme cada una de las puntuaciones z obtenidas en el inciso

c.

a cada una de las puntuaciones iCuantos casos se esperaría que superaran en la parte a?

d.

¿ouépuntocentilcorrespondeacadaunadelaspuntuacionesenlaparte

puntuaciónestándar.on,n"mediade50yunadesviaciónestándarde10.

a?

4.

una distribución de calificaciones sigue la distribución normal, con:

X:80, S:12, N:600. a. ¿cuántas puntuaciones 100?

b. ¿cuál es la probabilidad

se esperaría encontrar arriba de una calificación de de que una persona obtenga una calificación de 100'

o más, en esta Prueba?

c.

arriba de cada una de las si¿cuántas calificaciones se esperaría encontrar guientes puntuaciones en la distribución?

90,58,110 d.

entre los siguientes pares de pun' ¿Cuántas calificaciones se esperaría hallar tuaciones?

90-107, 70-90, 95-100

e.

persona de que su calificación caiga ¿Cuál es la probabilidad que tendrá una

entre 90 y 100?

74 5.

PATTE

i/ESTADJSTICA DESCRIPTIVA

Para los datos:

X:

80, S

=

15, j

N

-

500, determine lós siguientes centiles:

--

C"o, Cuo, Cro, C"u 6.

Un recluta de la Marina califica como sigue en una serie de pruebas, las cuales

tienen una media de 50 y una desviabión estándar'de Cultura general Conocimientos de meiánica Capáeidad'en oficinas Visualización espacial Destreza manual

10:

50 56

u 39

42

a'¿Cuáléslacalificaoión.promediodelreclutaenestaseriedepruebas? b, ¿Oué deducciones pueden hacerse respecto al recluta a,partirde,su desem-

7.

peño en estas pruebas?

Dada una muestra grande, ¿cuáles valores de los siguientes cree que se aproximarían a una distribución normal? a. Las calificaciones en un examen de aptitud artística. .

b.

Los ingresos de un grupo de hombres de 40 años de edad, en cualquier re-

gión de un país.

c.

La duración de neumáticos de automóvil garantizados para 32'00Ó millas de

recorrido. d. Las estaturas de 872 mujeres seleccionadas al azar. e. Las alturas de los árboles en un bosque maduro. f. Los pesos de las manzanas, d9 una caja, del mismo tipo y del mismo árbol. s' Las medias de un número infinito de muestras (con I/ 25) sacadas al azar

:

de una muestra infinitamente grande. h. Mediciones efectuadas por un gran grupo de'irersonas de la intensidad de la luz de cierta estrella.

'lerjollpa el op A sorolne sol sp ugroezuolne uoc opronpordau 'qolnqurpf ''pn pÁog A ranr¡g lodopellpa'qJJe -esaq poeary pue '¡en1¡ncu6V '¡ecóo¡o1g ro! salqef prltsltels 'sale^ 'l A raqsr3 'V'U ap Al elqel e¡ ap erdoc sa O a3rpu?de E :llN3nl

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90'0

I

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06'0

96'0

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