Mke-1 4vs6f

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email: [email protected]

Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Sadržaj

1

Metoda konačnih elemenata Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

2

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Sadržaj

1

Metoda konačnih elemenata Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

2

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

Osnovni podaci o predmetu Naziv: Metoda konačnih elemenata Semestar: VI Fond časova: 2+2 Studijski program: Građevinarstvo (OAS) ESPB: 5 Status predmeta: obavezni

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

Osnovni podaci o predmetu Uslov za sticanje potpisa: - Uredno pohađanje nastave - Uspešno položena 2 kolokvijuma

Uslov za polaganje ispita: - Dobijen potpis - Položen ispit iz Otpornosti materijala 2, Statike konstrukcija 1,2 nije uslov, ali je veoma korisno

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

Osnovni podaci o predmetu Način polaganja ispita: - Pismeni ispit u trajanju od 3 ÷ 4h - Usmeni ispit

Informacije o nastavi i predmetu: - posle predavanja - www.np.ac.rs, Departman Tehničkih nauka, Nastavni materijali - asistent Emir Maslak

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata - Literatura Metoda konačnih elemenata - Literatura M. Sekulović: Metoda konačnih elemenata, Građevinska knjiga, Beograd, 1988 M. Sekulović: Teorija linijskih nosača, Građevinska knjiga, Beograd, 2005 M. Petronijević: Teorija konstrukcija 1, Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2013 O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor: The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics, 6th Ed., Elsevier, 2005 T.J.R. Hughes: The Finite Element Method, Prentice Hall, Inc., 1987

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata - Literatura Metoda konačnih elemenata - Literatura G.R. Liu, S.S. Quek: The Finite Element Method: A Practical Course, Butterworth-Heinemann, Elsevier Science, 2003 R.D. Cook: Finite Element Modeling for Stress Analysis, John Wiley & Sons, Inc., 1995 D.V. Hutton: Fundamentals of Finite Element Analysis, McGraw Hill, 2004 R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.J. Witt: Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 4th Ed., John Wiley & Sons, Inc., 2002 itd . . .

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Literatura Softverski paketi od interesa Tower 7 (Demo) . . . Radimpex Software, URL: www.radimpex.rs AxisVM (Student Study, Student Thesis - 180 dana) . . . Structural Analysis & Design Software URL: www.axisvm.eu SAP2000, ETABS, CSiBridge . . . Computers & Structures, Inc. URL: www.csiamerica.com MATLAB The Language of Technical Computing . . . URL: www.mathworks.com itd . . .

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Sadržaj

1

Metoda konačnih elemenata Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

2

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata MKE - uvodne napomene Metoda konačnih elemenata (MKE) ili The Finite Element Method (FEM) je numerički postupak za približno rešavanje graničnih i početnih problema, odn. običnih ili parcijalnih diferencijalnih jednačina sa datim graničnim i početnim uslovima

Granični problem (Boundary value problem, Field problem) određen je sa parcijalnom diferencijalnom jednačinom definisanom unutar nekog domena V ili Ω i sa odgovarajućim graničnim uslovima na konturi Γ . . . statički problem

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

MKE - uvodne napomene Na primer, može da se traži raspodela temperature, ili intenziteta magnetnog polja unutar neke oblasti, ili raspodela pomeranja i sila u preseku u linijskom nosaču, ugiba u ploči i sl. U matematičkom smislu, takvi problemi se definišu diferencijalnim jednačinama ili u obliku integralne formulacije Obe matematičke formulacije problema mogu da budu osnov za (približnu) numeričku formulaciju primenom MKE

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata MKE - uvodne napomene Domen definisanosti problema, odnosno nepoznate veličine, može da bude linijski (1D), površinski (2D) ili prostorni (3D) Odgovarajuće koordinate koje definišu domen su nezavisno promenljive veličine (koordinate), dok je tražena veličina nepoznata funkcija koordinata Ako je domen problema linijski (1D), granični problem je definisan sa običnom diferencijalnom jednačinom U slučaju kada je domen 2D ili 3D, problem je definisan sa parcijalnom diferencijalnom jednačinom Rešenje graničnog problema je poznata raspodela tražene veličine unutar posmatranog domena Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata MKE - uvodne napomene Početni problem (Initial value problem) određen je sa parcijalnom diferencijalnom jednačinom definisanom unutar nekog prostornog domena V ili Ω, kao i u vremenskom domenu t > 0 . . . dinamički problem U slučaju problema početnih vrednosti, osim graničnih uslova na konturi Γ domena, neophodni su i odgovarajući početni uslovi u početnom trenutku t = t0 Početni uslovi pretstavljaju poznate vrednosti funkcije problema i njenih izvoda po vremenu, u svim tačkama domena definisanosti, uključjujući i granicu, u početnom trenutku vremena t = t0 Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata MKE - uvodne napomene Suština MKE je diskretizacija (podela) posmatranog domena na izabrane pod-domene, odn. na konačne elemente, usvojenog oblika, pri čemu su ti pod-domeni konačnih dimenzija i sa izabranim čvornim tačkama na granici, a moguće i u unutrašnjosti konačnog elementa Konačni elementi su jednostavnih oblika: linijski segmenti, trouglovi, četvorougli, paralelopipedi i sl. Cilj je da se stvarni fizički domen problema izabranim konačnim elementima što bolje prikaže u računskom domenu prikazanom preko usvojene mreže konačnih elemenata Cilj je da se postigne što bolje poklapanje fizičkog i računskog domena Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata MKE - uvodne napomene Pojedinačni konačni elementi mogu da se shvate kao mali delovi posmatranog domena i u pitanju su mali konačni delovi, a ne infinitezimalni (beskonačno mali) delovi Konačni elementi su međusobno povezani samo u čvornim tačkama Nepoznata veličina unutar konačnog elementa izražava se preko poznatih funkcija raspodele unutar elementa i nepoznatih vrednosti funkcije u čvornim tačkama konačnog elementa Često se za nepoznate vrednosti u čvornim tačkama konačnih elemenata, osim glavne nepoznate veličine, biraju još i prvi izvodi nepoznate po koordinatama koje definišu domen Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Diskretizacija računske oblasti

diskretizacija računske oblasti konačnim elementima (veća i manja gustina mreže) konačni elementi su međusobno povezani samo u čvornim tačkama Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata MKE - uvodne napomene Unutar svakog konačnog elementa (kao male oblasti računsokg domena) usvaja se jednostavna raspodela nepoznatih, npr. u obliku polinoma (linearnog, kvadratnog ili kubnog) i nepoznatih vrednosti u čvornim tačkama Stvarna raspodela nepoznatih veličina unutar konačnih elemenata je drugačija, odn. komplikovanija, pa je zato rešenje dobijeno primenom MKE približno Što je mreža konačnih elemenata kojom se opisuje računski domen problema gušća, to je odstupanje između tačnog i približnog rešenja manje

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Diskretizacija računske oblasti

Određivanje broja π preko pravilnih poligona upisanih u krug

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Diskretizacija računske oblasti

Sa povećanjem broja stranica poligona upisanog u krug dobija se bolja aproksimacija broja π

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

MKE - uvodne napomene Usvojene funkcije raspodele nepoznatih unutar elementa zovu se interpolacione funkcije (shape functions), dok su vrednosti nepoznatih u čvorovima elementa čvorne nepoznate (nodal unknowns) Osim osnovne nepoznate veličine (npr. komponente pomeranja), za čvorne nepoznate mogu da se usvoje i izvodi osnovne nepoznate po prostornim koordinatama

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

MKE - uvodne napomene Na primer, u analizi ploča primenom MKE, za čvorne nepoznate biraju se veličine w,

∂w , ∂x

∂w ∂y

gde je w ugib ploče (pomeranje u pravcu ose z upravno na ∂w ploču), dok su ∂w ∂x i ∂y obrtanja oko osa u ravni ploče

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

MKE - uvodne napomene Unoseći prikazivanje nepoznate veličine u svakom konačnom elementu (preko poznatih interpolacionih funkcija unutar elementa i nepoznatih čvornih vrednosti) u diferencijalne jednačine graničnog problema, i “sabiranjem” doprinosa pojedinih konačnih elemenata, dolazi se do sistema algebarskih jednačina po čvornim nepoznatim Proces “sabiranja” pojedinih konačnih elemenata u cilju prikazivanja kompletnog računskog domena zove se “assembly”

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata MKE - uvodne napomene Rešavanjem sistema algebarskih jednačina dobijaju se čvorne nepoznate, odn. vrednosti traženih veličina (osnovnih nepoznatih) u svim čvorovima usvojene mreže Imajući u vidu poznatu interpolaciju nepoznate veličine unutar svakog konačnog elementa, koja se izražava preko već određenih čvornih vrednosti nepoznate, dobija se (približna) raspodela nepoznate veličine unutar cele računske oblasti Ukoliko je mreža konačnih elemenata gušća, odn. ukoliko je veličina konačnih elemenata manja, dobijeno približno rešenje manje odstupa od tačnog

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

MKE - uvodne napomene Ako se posmatra dinamički problem, odn. problem početnih vrednosti, primenom MKE vrši se diskretizacija domena (diskretizacija po prostoru), pa se dolazi do sistema običnih diferencijalnih jednačina po vremenu po čvornim nepoznatim Prema tome, posle prostorne diskretizacije domena posmatranog problema primenom MKE dolazi se do: - sistema algebarskih jednačina . . . za statički problem - sistema običnih diferencijalnih jednačina po vremenu . . . za dinamički problem

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Diskretizacija računske oblasti

(a) diskretizacija računske oblasti konačnim elementima (b) u jednačini za čvor “i” sadržan je doprinos svih konačnih elemenata oko čvora “i” Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Sadržaj

1

Metoda konačnih elemenata Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

2

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata Računski modeli realnih problema Posmatrani realan fizički problem treba da se (dobro) razume Za fizičke pojave i probleme od interesa postoje odgovarajuće matematičke formulacije Ako može da se odredi analitičko rešenje matematičke formulacije problema, problem je (načelno) rešen Ako je matematička formulacija problema suviše kompleksna, analitičko rešenje (često) nije moguće U takvim slučajevima matematička formulacija se uprošćava i/ili se traži numeričko rešenje

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata Računski modeli realnih problema MKE je najpoznatija i najviše korišćena metoda za numerička rešavanja posmatranih realnih problema MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeričke postupke: - MKE može da se primeni na bilo koji granični i/ili početni problem: prenos toplote, naponsku analizu, analizu magnetnih i elektromagnetnih polja, analizu kretanja fluida, probleme interakcije fluida - konstrukcije, tla - konstrukcije, itd - u primeni MKE nema geometrijskih ograničenja: MKE može da se primeni na domen bilo kakve geometrije, odn. oblika - nema nikakvih ograničenja po pitanju graničnih uslova i opterećenja koje deluje

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata Računski modeli realnih problema MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeričke postupke (nastavak): - materijalne osobine nisu ograničene, npr., na izotropiju (jednaka fizička svojstva u svim pravcima), već mogu da budu proizvoljne, uključujući i različite u svakom elementu - u istom računskom modelu mogu da se istovremeno primenjuju konačni elementi koji su međusobno različitog ponašanja (konačni elementi za proste štapove, za gredene elemente, za kablove, za ploče i ljuske itd) - primenom MKE mogu da se posmatraju i nelinearni problemi: geometrijski i/ili materijalno

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

Računski modeli realnih problema MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeričke postupke (nastavak): - računski model formiran primenom MKE najviše odgovara realnom prototipu - numerička aproksimacija može da se poboljša povećanjem gustine mreže konačnih elemenata: globalno, ali i lokalno, u zonama gde je veći gradijent promene nepoznatih veličina - imajući u vidu sve veće mogućnosti računara, računski modeli mogu da budu jako veliki: n × 106 nepoznatih

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata Računski modeli realnih problema MKE ne može da se realizuje “pešice”, bez računara Postoje brojni komercijalni programi zasnovani na MKE, kao i slobodni (Open Source) programi za istraživačke potrebe MKE računarski programi mogu da budu - opšte namene (praktično, za bilo kakav problem) - specijalizovani, za neku konkretnu klasu problema (npr. za uticaje zemljotresa na konstrukcije, za analizu mostova, zgrada, za analizu fluida (CFD - Computational Fluid Dynamics), za geotehničke probleme, . . . )

Praktično da nema oblasti u inženjerstvu i fizici (pa i hemiji Computational Chemistry) gde se ne koristi MKE

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata Računski modeli realnih problema Vrhunski MKE programi opšte namene: MSC Nastran, NISA, FEMAP/NX Nastran, ANSYS, ADINA, ABAQUS Vrhunski programi orjentisani na dinamičke probleme: MSC Marc, LS-DYNA, Extreme Loading for Structures (AEM) MKE programi orjentisani na analizu konstrukcija: Sofistic, SAP2000, Robot Millennium, Advance, AxisVM, Tower, Lisa, Diana, STAAD MKE programi orjentisani na analizu zgrada i mostova: ETABS, SAFE, CSI Bridge, Lusas

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata

Računski modeli realnih problema Open Source FEM programi opšte namene: FreeFEM++, GetFEM++, OOFEM Open Source FEM programi specifične namene - za seizmičku analizu: OpenSees, SeismoStruc, SASSI - za analizu fluida i interakciju fluida i konstrukcije: OpenFOAM - za analizu dinamičke interakcije tla i konstrukcije: SASSI

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

ANSYS - primena MKE na razne oblasti

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

ANSYS - mogućnosti u primeni na konstrukcije

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Numerički model automobila

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Numerički model kontakta točak - šina

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Numerički model složene pojave

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Numerički model složene pojave

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Numerički model složene pojave

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Fasade od (perforiranog) bakarnog lima

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Perforirani bakarni lim Tecu-Oxid-Mesh

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Fasada od perforiranog bakarnog lima

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Numerički model fasade

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Numerički model fasade

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Numerički model čelično-betonske hale

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Numerički model stambeno-poslovne zgrade

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata Računski modeli realnih problema Program zasnovan na MKE može da koristi svako ko dovoljno nauči “ interface” Međutim, takvom korisniku nameću se razna pitanja, npr: -

koji konačni elementi treba da se koriste i sa kojom gustinom da li treba na nekim mestima domena da bude gušća mreža koji nivo detalja fizičkog problema treba da bude prikazan da li je značajni aspekt ponašanja posmatranog problema linearan ili nelinearan / statički ili dinamički koji parametri u dijalogu za neki algoritam treba da se usvoje kolika će da bude tačnost dobijenih rezultata kako da se proveri da li su rezultati dobri itd . . .

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata Računski modeli realnih problema Numeričko modeliranje konstrukcija (posmatranog problema) nije jednostavan posao Potrebno je dovoljno poznavanje puno toga vezano za fizički problem koji se posmatra: - teorija konstrukcija (statika, dinamika, stabilnost, . . . ) - specifičnosti materijala (beton, čelik, drvo, opeka, . . . ) - specifičnosti odgovarajućih konstrukcija (AB, prednapregnute, čelične, spregnute, zidane konstrukcije, . . . ) - načine prikazivanja pojedinih opterećenja: uticaj vetra, zemljotresa, uskladištenog materijala u silosu, vodotornju, rezervoaru za naftu, . . . - detalja raznih postupaka i algoritama u specifičnim nelinearnim i/ili dinamičkim analizama Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

Metoda konačnih elemenata Računski modeli realnih problema Podrazumeva se da onaj ko vrši numeričku analizu u dovoljnoj meri poznaje i računarski program koji koristi, kao i mogućnosti i ograničenja programa Osim toga, potrebno je da se dovoljno poznaje i sama metoda konačnih elemenata, kao i aproksimacije koje su usvojene i sadržane u samoj MKE Naravno, i pored svega veoma lako mogu da se naprave razne greške u opisivanju problema računarskom programu Računari rade onako kako je napravljen program, a ne onako kako bi korisnik želeo da računar radi

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Sadržaj

1

Metoda konačnih elemenata Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

2

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača Matrična analiza konstrukcija je postupak analize linijskih nosača zasnovan na primeni matrica Osnovna ideja matrične analize je da se linijski nosač posmatra kao skup određenog broja elemenata (štapova) koji su međusobno vezani u čvorovima nosača U svakom elementu nosača sile i pomeranja unutar elementa izražavaju se preko izabranih parametara u čvorovima nosača Ti parametri u čvorovima nosača pretstavljaju osnovne nepoznate veličine u matričnoj analizi

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača Za nepoznate parametre u čvorovima nosača (u ravni) mogu da se izaberu: 1

2

generalisanja pomeranja (komponente pomeranja i obrtanje) . . . u, v, ϕ sile u čvorovima (komponente sile i spreg) . . . H, V, M

Za određivanje nepoznatih parametara u čvorovima koriste se dve grupe jednačina: 1 2

uslovi ravnoteže sila u čvorovima uslovi kompatibilnosti generalisanih pomeranja u čvorovima

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača Ako se za nepoznate izaberu pomeranja u čvorovima onda se takva varijanta matrične analize naziva metoda deformacije (direct stiffness method) U tom slučaju, nepoznata čvorna pomeranja određuju se iz uslova ravnoteže sila u čvorovima Ako se za čvorne nepoznate usvoje sile u čvorovima nosača, onda se takva varijanta matrične analize zove metoda sila, metoda fleksibilnosti Nepoznate čvorne sile se u tom slučaju određuju iz uslova kompatibilnosti pomeranja u čvorovima

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača U matričnoj analizi linijskih nosača dominantna je metoda deformacije (direktna metoda krutosti), dok se metoda sila praktično ne koristi Matrična analiza linijskih nosača sastoji se iz tri celine: 1

2

3

analize štapa . . . uspostavljaju se matrične veze između sila na krajevima štapa, čvornih pomeranja i opterećenja duž štapa analize nosača . . . matrične relacije za svaki štap “sabiraju” se i formiraju se uslovne jednačine za ceo sistem rešavanja jednačina . . . uslovne jednačine sistema se reše, pa se, sa određenim osnovnim nepoznatim čvornim pomeranjima, određuju sile u preseku i pomeranja duž svih štapova nosača

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača Prve ideje o matričnoj analizi konstrukcija javile su se još 1938.

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača Matrična analiza konstrucija počela je da se šire primenjuje tek sa razvojem računara Metoda deformacije (direct stiffness method) se pokazala znatno pogodnija za primenu zbog jednostavnije formulacije i bolje konvergencije, tako da se u analizi linijskih nosača isključivo ona primenjuje Naziv “direktna metoda krutosti” potiče od matrice krutosti koja povezuje sile i pomeranja na krajevima štapa i načina njenog određivanja

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača Matrična analiza linijskih nosača (u ravni) je osnov metode konačnih elemenata MKE se brzo razvila u znatno širi postupak od matrične analize linijskih nosača (koja je zasnovana na linearnoj teoriji štapa) MKE se brzo proširila sa linijskih (1D) na 2D i 3D nosače, kao i na dinamičke probleme i probleme stabilnosti Paralelno, razvijali su se i prvi računari: - 1951 . . . Univac I - 1953 . . . IBM 701

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize linijskih nosača Takođe, pojavio se i prvi programski jezik za programiranja u nauci i tehnici: FORTRAN, 1957 Osim toga, razvili su se postupci za analizu nelinearnih problema, kako u domenu geometrijske, tako i u oblasti materijalne nelinearnosti Naravno, MKE se vremenom razvila i na primene u (praktično) svim drugim oblastima inženjerstva, fizike, hemije, medicine (analiza krvotoka, kostiju, . . . ) itd.

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Nastanak MKE iz Matrične analize

MSA - Matrix Structural Analysis DSM - Direct Stiffness Method

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Sadržaj

1

Metoda konačnih elemenata Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

2

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Matrična analiza štapa u ravni Međusobne veze štapova u čvorovima mogu da budu krute ili zglobne U zavisnosti od toga, razlikuju se štapovi: - tipa k . . . na oba kraja štapa (i,k) je kruta veza - tipa g . . . na jednom kraju štapa (i) je kruta veza, na drugom (g) je zglobna - prost štap . . . na oba kraja štapa je zglobna veza i nema opterećenja duž štapa

Zglobna veza znači da je omogućena relativna rotacija zglobno vezanog štapa u odnosu na osu u zglobu ⊥ na ravan nosača Na zglobno vezanom kraju g štapa obrtanje ϕ nije nepoznata veličina (može da se odredi iz uslova Mg = 0) Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Tipovi štapova kod linijskog nosača

Tipovi štapova kod linijskog nosača u ravni i odgovarajuća generalisana čvorna pomeranja Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Matrična analiza štapa u ravni Analiza štapa podrazumeva uspostavljanje veza između pomeranja i sila na krajevima štapa, odn. između pomeranja na krajevima i opterećenja štapa Imajući u vidu proizvoljnu topologiju linijskih nosača u ravni, geometrija nosača definiše se u izabranom globalnom koordinatnom sistemu OXY Takođe, za svaki štap se definiše lokalni koordinatni sistem ixy, gde je i početni čvor štapa, osa x je osa štapa (sa smerom od čvora i ka čvoru k), dok je osa y upravna na pravac štapa u ravni nosača

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Matrična analiza štapa u ravni Oba koordinatna sistema, globalni i lokalni, su desne orjentacije U analizi pojedinačnog štapa izvode se prvo veze između sila i pomeranja na krajevima štapa u lokalnom sistemu Imajući u vidu položaj svakog štapa u odnosu na globalni koordinatni sistem, izražen preko ugla α = ∠(X, x), vrši se transformacija iz lokalnog u globalni sistem Veze između sila i pomeranja na krajevima štapa, izražene u globalnom sistemu, “sabiraju” se i dolazi se do globalnih jednačina sistema

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni Čvorna pomeranja i čvorne sile Posmatra se, kao najopštiji slučaj, štap tipa k (kruta veza na oba kraja) Čvorna pomeranja na krajevima štapa u lokalnom sistemu obeležavaju se sa: - na kraju i . . . ui , vi , ϕi (pomeranja čvora i u pravcima osa x i y i obrtanje čvora oko ose z) - na kraju k . . . uk , vk , ϕk

Alternativno, koriste se oznake qi (i = 1, 2, . . . , 6) i naziv generalisane koordinate: - na kraju i . . . q1 , q2 , q3 - na kraju k . . . q4 , q5 , q6

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni Čvorna pomeranja i čvorne sile Čvorne sile u lokalnom sistemu obeležavaju se takođe na dva načina - na uobičajen način . . . čvor i: Ni , Ti , Mi , čvor k: Nk , Tk , Mk - alternativno, sa oznakom Ri . . . čvor i: R1 , R2 , R3 , čvor k: R4 , R5 , R6

Napominje se da su pozitivni smerovi čvornih sila i čvornih pomeranja, na oba kraja štapa, u pozitivnim smerovima lokalnih osa Čvorna pomeranja i čvorne sile, izražene u globalnom sistemu obeležavaju se sa gornjim indeksom (..)∗ : qi∗ , Ri∗ , (i=1,2 . . . ,6)

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni koordinatni sistem

Sile i pomeranja na krajevima štapa izražene u (a) lokalnom i (b) globalnom koordinatnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni

Čvorna pomeranja i čvorne sile Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila na krajevima štapa tipa k, izraženo u lokalnim koordinatama ixy, prikazuju se u obliku vektora kolona:         Ni  ui  R1  q1                          Ti  vi  R2  q2                          ϕi R3 Mi q3 = q= = R= N  u  R   q          k      k    4   4                 T  q v R      k    5     k    5  R6 Mk ϕk q6

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Osnovni tipovi štapova u ravni

Sile i pomeranja na krajevima štapa izražene u lokalnom koordinatnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni

Matrica krutosti štapa u ravni Prema tome, štap tipa k ima šest stepeni slobode: po tri u svakom čvoru Štap tipa g ima pet stepeni slobode: tri u čvoru i, kao i dva u čvoru g Prost štap ima samo dva stepena slobode: po jedno pomeranje u svakom čvoru Redosled čvornih pomeranja (kao i čvornih sila) u vektorima čvornih pomeranja q i sila R uvek je isti

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni

Matrica krutosti štapa u ravni Veza između vektora čvornih sila i čvornih pomeranja prikazuje se u obliku (1) R=Kq gde je sa K označena matrica krutosti štapa Relacija (1) pretstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K može da se posmatra kao preslikavanje vektora čvornih pomeranja q na vektor čvornih sila R

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni

Matrica krutosti štapa u ravni Za štap tipa k, sa 6 stepeni slobode, matrica kvadratna matrica reda 6  k11 k12 · · · k1j · · ·  k21 k22 · · · k2j · · ·   .. .. ..  . . .  K=  ki1 ki2 · · · kij · · ·  .. .. ..  . . . k61 k62 · · · k6j · · ·

Stanko Brčić

krutosti K je k16 k26 .. .



     ki6   ..  .  k66

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni Matrica krutosti štapa u ravni Ako se relacija (1) R = K q napiše u    k11 k12 · · · k1j R1          k21 k22 · · · k2j R2         . .. ..    ..   .. . . .  =    ki1 ki2 · · · kij  Ri    ..   ..  .. ..      . . . .       R6 k61 k62 · · · k6j

razvijenom obliku:   · · · k16 q1      · · · k26    q2  ..    .. . .  ·  · · · ki6    qj  ..    .. . .      q6 · · · k66

                  

vidi se da je sila Ri jednaka Ri =

6 X

kij qj

j=1 Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

(2)

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni Matrica krutosti štapa u ravni Iz relacije (2) dobija se fizičko značenje elemenata matrice krutosti: Element kij matrice krutosti pretstavlja silu Ri usled pomeranja qj = 1, pri čemu su sva ostala pomeranja jednaka nuli qi = 0, i 6= j To znači da elementi kolone j matrice krutosti: k1j , k2j , . . . , k6j pretstavljaju sile R1 , R2 , . . . , R6 usled jediničnog čvornog pomeranja, odn. usled stanja qj = 1

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni Matrica krutosti štapa u ravni Matrica krutosti je simetrična: kij = kji usled stava o uzajamnosti reakcija (odn. Maxwell-ovog stava o uzajamnosti pomeranja) Matrica krutosti je singularna: od 6 sila na krajevima štapa 3 su linearno nezavisne, dok ostale 3 mogu da se odrede iz uslova ravnoteže Kada se totalno uklještenom i neopterećenom štapu zada generalisano pomeranje qj = 1 i odrede reakcije oslonaca Ri (i=1,2,. . . , 6) usled tog pomeranja, tada reakcije pretstavljaju elemente kolone j matrice krutosti

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni

Matrica krutosti štapa u ravni Ako se ovakav postupak ponovi za sva generalisana pomeranja qj , j=1,2,. . . ,6, dobijaju se sve kolone matrice krutosti, a time i svi elementi matrice K Ovakav način određivanja matrice krutosti štapa naziva se direktan postupak (metoda) Relacija (1) je osnovna jednačina neopterećenog štapa Ako je štap opterećen duž svoje ose, uticaj opterećenja se prikazuje preko vektora ekvivalentnog opterećenja

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni

Vektor ekvivalentnog opterećenja Ekvivalentno opterećenje je koncentrisano opterećenje na krajevima štapa kojim se zamenjuju spoljašnji uticaji duž ose štapa Ekvivalentno opterećenje Q u čvorovima datog nosača jednako je negativnim vrednostima reakcija oslonaca i uklještenja deformacijski određenog sistema datog nosača Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca opterećenog štapa kome su sprečena pomeranja krajeva

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Vektor ekvivalentnog opterećenja

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni

Vektor ekvivalentnog opterećenja Kao što je rečeno, nepoznata čvorna pomeranja nosača određuju se iz uslova ravnoteže sila u čvorovima Sile u čvorovima potiču od spoljašnjeg opterećenja, t.j. od: - spoljašnjih sila koje deluju direktno u čvorovima - ekvivalentnog opterećenja u čvorovima koje zamenjuje raspodeljeno ili koncentrisano spoljašnje opterećenje duž ose štapova

Osim toga, prema vezi (1), nepoznate čvorne sile prikazuju se preko matrice krutosti i nepoznatih čvornih pomeranja

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrična analiza štapa u ravni Vektor ekvivalentnog opterećenja Sve matrice i vektori prikazuju se u globalnom koordinatnom sistemu (vrši se transformacija iz lokalnog u globalni sistem) Posle odgovarajućeg “sabiranja” po pojedinim čvorovima nosača dolazi se do globalnih uslova ravnoteže celog nosača: K ∗ q∗ = S ∗

(3)

(sa gornjim indeksom (..)∗ označene su matrice i vektori u globalnom sistemu OXY U jednačine ravnoteže (3) uneti su odgovarajući granični uslovi Rešavanjem jednačina (3) dobija se vektor nepoznatih čvornih pomeranja u globalnom sistemu Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni

Tri tipa štapova u ravni Štapovi nosača u ravni, u zavisnosti od veza na krajevima, mogu da budu - štapovi tipa k . . . kruto vezani na oba kraja (i,k) - štapovi tipa g . . . na kraju i je kruta veza, a na kraju g zglobna veza - prosti štapovi . . . na oba kraja (i, k) je zglobna veza (i nema raspodeljenih sila duž štapa)

Podrazumeva se da važi linearna teorija štapa

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Osnovni tipovi štapova u ravni

Sile i pomeranja na krajevima štapa izražene u lokalnom koordinatnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni

Tri tipa štapova u ravni Na zglobnom kraju štapa obrtanje ϕ nije nepoznata veličina, jer može da se odredi iz uslova da je momenat savijanja u zglobu (odn. ∞ blisko zglobu na strani štapa) jednak nuli Prost štap je zglobno vezan na oba kraja i nema sila duž svoje ose Zbog toga je izložen samo uticaju osnovnog ravnotežnog ~ i = −N ~k sistema sila na svojim krajevima: N Nepoznata pomeranja na krajevima prostog štapa su pomeranja ui i uk u pravcu ose štapa

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni Matrica krutosti prostog štapa Posmatra se prost štap konstantnog poprečnog preseka F , modula elastičnosti E i dužine ` Koordinatni početak lokalnog sistema xy je u čvoru i Čvorna pomeranja i čvorne sile su, redom, q1 , q2 , kao i R1 , R2

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni

Matrica krutosti prostog štapa Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila dati su sa q1 ui R1 Ni q= = R= = q2 uk R2 Nk Veza između čvornih sila i čvornih pomeranja (1), u ovom slučaju, je R1 k11 k12 q1 = R2 k21 k22 q2

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni Matrica krutosti prostog štapa Element matrice krutosti kij je sila na mestu i usled jediničnog pomenranja uj = 1, pri čemu su sva ostala pomeranja krajeva štapa jednaka nuli Elementi prve kolone matrice K su sile na krajevima prostog štapa usled pomeranja q1 = 1 i q2 = 0, dok su elementi druge kolone matrice krutosti sile na krajevima za pomeranje q1 = 0 i q2 = 1

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni Matrica krutosti prostog štapa Promena dužine tetive (prostog) štapa jednaka je razlici pomeranja krajeva štapa: ∆` = q2 − q1 Dilatacija ose štapa je jednaka ε=

∆` q2 − q1 = ` `

Imajući u vidu relaciju teorije elastičnosti σ = E ε, normalna sila u prostom štapu data je sa N = σ F = EF ε = EF Stanko Brčić

∆` EF = (q2 − q1 ) ` `

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni

Matrica krutosti prostog štapa Sile na krajevima prostog štapa R1 i R2 jednake su normalnim silama, sa odgovarajućim znakom: - normalne sile su pozitivne za zategnut štap - čvorne sile su pozitivne kada su u pozitivnom smeru lokalne ose (na oba kraja štapa)

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni Matrica krutosti prostog štapa Prema tome, dobija se EF (q1 − q2 ) ` EF R2 = N = (q2 − q1 ) ` R1 = −N =

Napisano u matričnom obliku, ove relacije postaju: EF R1 1 −1 q1 = −1 1 R2 q2 `

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni Matrica krutosti prostog štapa Imajući u vidu osnovnu relaciju za neopterećen štap R = Kq, matrica krutosti prostog štapa data je u obliku EF K= `



1 −1 −1 1



Matrica krutosti aksijalno napregnutog (prostog) štapa je kvadratna matrica reda 2 Kao što se vidi, matrica krutosti je simetrična i singularna (determinanta je jednaka nuli): detK = 0 Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

(4)

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrica krutosti prostog štapa u ravni

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa Osnovna jednačina opterećenog štapa data je u obliku R=Kq−Q

(5)

gde je Q vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca opterećenog štapa kome su sprečena pomeranja krajeva Prost štap može da bude opterećen silama u pravcu ose štapa i uticajem temperaturne promene duž ose štapa t

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni

Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa U slučaju temperaturne promene duž ose štapa dodatna dilatacija je data sa εt = αt t gde je αt koeficijent temperaturne dilatacije materijala štapa Prema tome, normalna sila je data u obliku N = EF ε = EF (

∆` EF + αt t) = (q2 − q1 ) + EF αt t ` `

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa Imajući u vidu konvenciju o pozitivnim smerovima sila na krajevima štapa u matričnoj analizi, dobija se EF 1 −1 q1 −1 R1 − EF αt t = q2 −1 1 1 R2 ` Prema tome, vektor ekvivalentnog opterećenja aksijalno opterećenog štapa, za slučaj temperaturne promene u osi štapa, dat je sa −1 Q = EF αt t 1

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

(6)

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa

Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa za uticaj temperaturne promene u osi štapa: −1 Q = EF αt t 1

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni

Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa Ukoliko je štap opterećen proizvoljnim raspodeljenim opterećenjem u pravcu ose štapa, komponente vektora ekvivalentnog opterećenja dobijaju se kao reakcije obostrano oslonjenog štapa, sa promenjenim znakom:

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Matrice krutosti štapova u ravni

Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa Prost štap kod koga su sprečena pomeranja u pravcu ose štapa na oba kraja je jednom statički neodređen nosač Reakcije oslonaca se određuju primenom metode sila Ako je aksijalno opterećenje konstantno, px (x) = p = const, reakcije veza su jednake 1/2 rezultante opterećenja: p`/2, pa je vektor ekvivalentnog opterećenja u tom slučaju jednak p` Q1 2 Q= = p` Q2 2

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa

Vektor ekvivalentnog opterećenja prostog štapa za uticaj konstantnog aksijalnog opterećenja px (x) = p = const: p` 1 Q= 1 2

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Sadržaj

1

Metoda konačnih elemenata Napomene o predmetu Uvodne napomene o MKE Računski modeli realnih problema

2

Rekapitulacija matrične analize konstrukcija Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni sistem Osnovna jednačina neopterećenog, (1), ili opterećenog štapa, (5), formulisana je u lokalnom koordinatnom sistemu Lokalni sistem štapa ixyz ima koordinatni početak u jednom čvoru, čvoru i, osa x je u pravcu ose štapa, u smeru i − k, dok je osa y upravna na štap u ravni nosača, tako da ose xyz čine desni koordinatni sistem Topologija nosača (u ovom slučaju ravne rešetke) određena je u odnosu na globalni koordinatni sistem OXY Z desne orjentacije, pri čemu je XY ravan nosača

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni sistem

Čvorne sile i čvorna pomeranja prostog štapa prikazani u (a) lokalnom i (b) globalnom sistemu

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Za razliku od vektora čvornih sila i pomeranja u lokalnom sistemu, koji imaju po dve komponente (jer su u pravcu lokalne ose x), ti isti vektori izraženi u globalnom sistemu imaju po četiri komponente, po dve u svakom čvoru u pravcima globalnih osa X i Y :  ∗   ∗  q    1  ∗   R1∗       q2 R2 ∗ ∗ q = R = q∗  R∗       3∗    3∗   q4 R4

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni sistem

Transformacija čvorne sile R1 u čvoru i iz globalnog u lokalni sistem: R1 = R1∗ cos α + R2∗ sin α i obratno, iz lokalnog u globalni sistem: R1∗ = R1 cos α Stanko Brčić

R2∗ = R1 sin α Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Ugao koji definiše položaj lokalne ose štapa x u odnosu na globalni sistem XY određen je sa orjentisanim uglom između globalne ose X i lokalne ose x: α = ∠(X, x) Projektovanjem komponenti u globalnom sistemu R1∗ i R2∗ na pravac lokalne komponente čvorne sile, dobija se R1 = R1∗ cos α + R2∗ sin α Slično se dobija i za sile u čvoru k: R2 = R3∗ cos α + R4∗ sin α

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni sistem Napisano u matričnom obliku dobija se relacija

R1 R2



=

 ∗  R     1∗   cos α sin α 0 0 R2 ∗ 0 0 cos α sin α   R3    ∗  R4

ili u skraćenom obliku: R = T R∗

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

(7)

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Sa T je označena matrica transformacije: cos α sin α 0 0 T = 0 0 cos α sin α

(8)

Analogno izrazu (7) dobija se i za čvorna pomeranja q = T q∗

(9)

Matrica transformacije prostog (rešetkastog) štapa pretstavlja transformaciju čvornih veličina (sila i pomeranja) iz globalnog u lokalni sistem

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni sistem Imajući u vidu razlaganje sila u čvoru i, relacije kojima se prikazuju sile u globalnom sistemu preko sila u lokalnom sistemu, za čvor i, date su sa: R1∗ = R1 cos α

R2∗ = R1 sin α

Analogne relacije važe i za čvor k: R3∗ = R2 cos α

Stanko Brčić

R4∗ = R2 sin α

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Napisano u matričnom obliku, ove relacije postaju  ∗      cos α 0 R1  R1 cos α         ∗      sin α 0 R R2 R1 sin α 1  = =  0 cos α  R2 R3∗  R2 cos α         ∗    0 sin α R4 R2 sin α Ova relacija može da se napiše u obliku R∗ = T T R

(10)

i pretstavlja transformaciju čvornih sila iz lokalnog u globalni sistem Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Analogna relacija važi i za čvorna pomeranja q∗ = T T q Posmatra se osnovna jednačina neopterećenog štapa, odn. veza između generalisanih (čvornih) sila i generalisanih pomeranja u lokalnom sistemu, (1): R=Kq Unoseći u ovu relaciju vezu (9): q = T q ∗ i množeći sa leve strane sa transponovanom matricom transformacije T T , dobija se T T R = T T K T q∗ (11) Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Izraz na levoj strani (11) pretstavlja vektor čvornih sila u globalnom sistemu, dat sa (10): R∗ = T T R, tako da se dobija: R∗ = T T K T q ∗ (12) Relacija (12) može da se napiše u obliku R∗ = K ∗ q ∗

(13)

gde je K ∗ matrica krutosti štapa u globalnom sistemu K∗ = T T K T

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

(14)

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Dakle, relacija (13) pretstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog prostog štapa u globalnom sistemu Ako je prost štap opterećen duž svoje ose aksijalnim opterećenjem ili temperaturom u osi štapa, osnovna jednačina opterećenog štapa, u lokalnom sistemu, data je sa (5): R=Kq−Q

(15)

Vektor ekvivalentnog opterećenja Q pretstavlja čvorne sile koje zamenjuju opterećenje duž ose štapa, izražene u lokalnom sistemu štapa

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Prema tome, i za vektor ekvivalentnog opterećenja važe relacije transformacije iz lokalnog u globalni sistem: Q∗ = T T Q

(16)

Ako se jednačina (15) pomnoži sa leve strane sa transponovanom matricom transformacije štapa, dobija se T T R = T T K T q∗ − T T Q odn. dobija se osnovna jednačina opterećenog štapa u globalnim koordinatama R∗ = K ∗ q ∗ − Q∗ Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata

(17)

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Matrica krutosti prostog štapa u globalnim koordinatama data je sa (14) Ako se uvedu oznake λ = cos α, µ = sin α, matrica krutosti (14) može da se prikaže u obliku: ∗ k −k∗ K∗ = T T K T = −k∗ k∗ gde je EF k = ` ∗

Stanko Brčić



λ2 λµ λµ λ2



Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata Rekapitulacija matrične analize konstrukcija

Osnovna ideja matrične analize Rešetkasti štapovi u lokalnom sistemu Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Rešetkasti štapovi u globalnom sistemu

Lokalni i globalni sistem Vektor ekvivalentnog opterećenja Q∗ , dat sa (16), dobija se u obliku     λ 0 λQ1        µ 0  Q µQ 1 1 ∗ T  Q =T Q= =  0 λ  Q2 λQ2       µQ2 0 µ

Stanko Brčić

Metoda konačnih elemenata