Monte Carlo Simulacije U Evaluaciji Projekata 2ij3s

3. MONTE CARLO SIMULACIJE U EVALUACIJI INVESTICIJSKIH PROJEKATA Simulacija je svaka imitacija funkcionisanja nekog realnog sistema. Korisna je u situacijama kada je analiza nekog sistema matematički kompleksna ili teška za kompletno reprodukovanje. Simulacija ima za cilj da pruži različite scenarije rezultata sistema ili modela. Monte Karlo simulacija (engl. Monte Carlo simulation - MCS) je metod koji ima za cilj da ocijeni raspored vjerovatnoća zavisne varijable (u ovom slučaju to je vrijednost, tj. NPV projekta) na bazi rasporeda vjerovatnoća većeg broja nezavisnih ulaznih varijabli (tražnja, cijene, troškovi, investicije i slično)1. Monte Carlo simulacija je tehnika analize rizika u kojoj se vjerovatni događaji simuliraju na računarima uz izračunavanje procijenjene stope prinosa i indeksa rizika. Primjenom ove simulacije dobija se informacija o opsegu i očekivanoj vrijednosti ulaganja u izabranu investicionu strategiju. Ova simulacija, razvijena za rješavanje različitih problema u kojima je uključena vjerovatnoća, a koji se rješavaju postupcima simuliranja, počela se koristiti u budžetiranju kapitala 1964. godine, a danas se koristi za direktnu simulaciju slučajnih događaja. Omogućuje generiranje pojedinačnih stohastičkih veličina u slučaju kada je poznata njihova raspodjela, npr. transformaciju slučajnih brojeva s jednolikom raspodjelom (koje je jednostavno generirati) u slučajne brojeve s nekom drugom raspodjelom. Stohastičke veličine s bilo kojom raspodjelom nije moguće generirati direktno, dok se bez problema mogu generirati jednolikom raspodjelom, upotrebom različitih „kockarskih“ metoda (kao što su npr. kocka, rulet i sl.), odatle i naziv Monte Carlo simulacija. Ova tehnika se koristi pri razmatranju velikih i dugoročnih rizičnih projekata i sastoji od nove upotrebe staroga postupka. Stari postupak je neograničeno slučajno uzorkovanje elemenata iz skupa na takav način da svaki element u skupu ima istu vjerovatnoću da će biti izabran. Taj novi zaokret sastoji se od upotrebe slučajnog uzorkovanja igrajući igru s prirodom ili sistemom izgrađenim po čovjeku u kojem je simuliran eksperiment. U suštini, Monte Carlo tehnika sastoji se od simulacije eksperimenta, kako bi se utvrdila vjerovatnoća nekih osobina skupa (ciljevi, događaji i sl.) upotrebom slučajnog izbora. Ključni faktori Monte Carlo simulacije su2:  analiza tržišta (veličina tržišta, učešće na njemu, stopa rasta, prodajna cijena),  analiza investicionih troškova (visina i vrijednost investicije),  fiksni troškovi,  varijabilni troškovi.

1

Kako unaprijediti metodologiju vrednovanja projekata i donositi kvalitetnije investicione odluke, http://edukacija.ekof.bg.ac.rs/tema-meseca.php?temaId=6 (pristupljeno: 10.03.2013.) 2 Upravljanje projektima, http://www.idoub.com/doc/14252797/Seminarski-UPRAVLJANJE-PROJEKTIMA (pristupljeno: 09.04.2013.)

3.1. Postupak Monte Carlo simulacije Sam postupak simulacije se može podijeliti na više faza u kojima je neophodno uraditi slijedeće3 :  sačiniti listu ključnih faktora od uticaja na novčane tokove u vijeku trajanja projekta,  procijeniti distribuciju vjerovatnoće njihovog dejstva na novčane tokove projekta,  procijenjene distribucije vjerovatnoće uključiti u za tu priliku pripremljene kompjuterske programe,  odabir u kompjuteru po jedne vrijednosti za svaki faktor i njihovo kombinovanje u NPV projekta i  proces testiranja ponoviti mnogo puta dok se ne dobiju distribucije vjerovatnoće ili dijagram distribucija vjerovatnoće NPV projekta. Monte Carlo simulacija daje dimenziju dinamike analizi procjene projekta čineći je mogućom i kreirajući slučajan izbor konzistentnih scenarija sa analitičkim ključnim pretpostavkama rizika. Pri tome se koristi bogatstvo informacija u obliku objektivnih podataka ili mišljenja eksperata da bi se kvantitativno opisala neizvjesnost obuhvaćenih ključnih varijabli projekata i ukalkulisao njihov mogući uticaj na očekivani povrat projekta. Krajnji rezultat analize rizika nije jedinična vrijednost već distribucija svih mogućih povrata tj. dijapazon mogućih rezultata sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama, a ne samo jedna procijenjena vrijednost NPV. Potencijalni investitor je na taj način snabdjeven svim potrebnim mogućim rješenjima koja mogu rezultirati od ulaganja u određeni investicijski projekat. Treba istaknuti, osim u investicijsko projektnim proračunima veliku primjenjivost Monte Carlo tehnike, odnosno procesa simuliranja i na mnogim drugim područjima ekonomskog djelovanja, pa i šire u društvenim aktivnostima. Ovi postupci simuliranja mogu se naime, upotrijebiti za rješavanje različitih problema kao što su: oblikovanje komunikacijskih, distribucijskih i informacijskih sistema, predviđanje ponašanja potrošača, finansijska predviđanja, planiranje kadrova, planiranje prometa na cestama, itd. Simuliranje praktično nema granice primjene, na što je presudno uticao kontinuirani razvoj simulacijskih jezika i programa, kako opšte, tako i specijalne namjene, što omogućava otvaranje širokog procesa kreiranja simulacijskih modela, kao osnove za donošenje odluke. Jedan od razloga zašto Monte Carlo simulacija nije ranije korištena je taj što mikrokompjuteri nisu bili dovoljno moćni i u skladu sa zahtjevima ove analize pa je tek ubrzani razvoj kompjuterske tehnologije omogućio razvoj programa za ovakve analize. Rezultati se pri ovoj simulaciji skupljaju i statistički analiziraju pa se na taj način dolazi do distribucije potencijalnih rješenja projekta i procjene različitih nivoa projektnog rizika. Taj proces se može grafički predstaviti na jednostavan način:

Slika 1. Proces analize rizika po Monte Carlo simulaciji 3

Krasulja, D., Ivanišević, M., Poslovne finansije, Beograd, 2000., str. 356 citirano u Izet Ibreljić, Investicije II d.o.o. Harfo-graf, Tuzla 2008., str. 204

Izvor: Savvakis, C. Savvides, Risk Analysis in Investment Appraisal, Project Appraisal and Management at Harvard University, 1994., str. 122 citirano u Izet Ibreljić, Investicije II, d.o.o. Harfo-graf, Tuzla, 2008., str. 205

Simulacijom stohastičkog sistema pokušava se doći do rješenja problema kojeg je nemoguće riješiti analitičkim putem. Uzevši u obzir karakteristike nekog sistema, ovdje se varijablama tog sistema dodjeljuju slučajni brojevi, te se nizom simulacija i odgovarajućom statističkom obradom rezultata izvlače odgovarajući zaključci. Korištenje Monte Carlo tehnike u investicijskim proračunima može se rezimirano prikazati i slijedećom šemom4:  modelizirati račun NPV ili IRR po odgovarajućem kriteriju,  utvrditi distribucije vjerovatnoća različitih mogućih vrijednosti svakog parametra,  selekcionirati nasumce vrijednost svakog parametra,  efektuirati račun rentabiliteta za takvo utvrđene kombinacije,  ponoviti dvije prethodne etape veliki broj puta (100 ili 1000) i  konstruisati grafik koji izražava vjerovatnoću svake NPV i svake IRR. Ova šema se može predstaviti na slijedeći način.

Slika 2. Logika Monte Carlo simulacije 4

Izet Ibreljić, Investicije II, d.o.o. Harfo-graf, Tuzla, 2008., str. 209

Izvor: Kako unaprediti metodologiju vrednovanja projekata i donositi kvalitetnije investicione odluke? http://edukacija.ekof.bg.ac.rs/tema-meseca.php?temaId=6 (pristupljeno: 10.04.2013.)

Simulacija rizika Monte Carlo tehnikom posebno je korisna u analizi situacija koje uključuju rizik u dobivanju približnih odgovora kada je upotreba analitičkog pristupa previše mukotrpna ili pak nije izvodljiva. Posebno je prilagodljiva u računanju sa digitalnim kompjuterima. Ustvari, kompjuterski jezici su razvijeni posebno za olakšavanje Monte Carlo simulacije. Tehnika je ponekad opisna i naziva se metoda statističkih pokušaja. Naredna slika šematski prikazuje ovaj proces primijenjen u investiciono projektnim analizama u nešto savremenijoj verziji.

Slika 3. Primjer algoritma Monte Carlo analize

Izvor: Upravljanje projektima, http://www.idoub.com/doc/14252797/Seminarski-UPRAVLJANJEPROJEKTIMA (pristupljeno: 10.04.2013.)

Ključni zahtjev Monte Carlo tehnike je da rezultati svih promjenljivih učešća budu stohastički selektirani tj. da mogućnost selekcije svih mogućih rezultata bude u egzaktnoj saglasnosti sa njihovom vlastitom mogućnošću raspodjele. Ovo je moguće postići upotrebom tabela stohastičkih brojeva i relacijom ovih brojeva sa raspodjelom promjenljivih. Stohastički brojevi su brojevi koji su napravljeni tako da je jednaka mogućnost pojavljivanja brojeva u bilo koje vrijeme, bez obzira na iskustva iz prethodnog vremena.

3.2. Monte Carlo simulacija kao numerički metod Kao numerički metod, Monte-Carlo simulacije imaju mnoge prednosti kao što su lakoća računanja više od jedne nesigurnosti, lakoća uključivanja različitih stohastičkih procesa i nestandardnih struktura isplate, itd. Monte-Carlo simulacije su numerički integracione tehnike koje se mogu koristiti za nalaženje riziko-neutralne vrijednosti opcije uzorkovanjem opsega integracije. Fundamentalna teorema bezarbitražnog vrednovanja govori da je vrijednost derivata jednaka diskontovanoj očekivanoj vrijednosti isplate tog derivata pod rizikoneutralnom mjerom. Dodatno, očekivanje se računa pomoću integrala u odnosu na adekvatnu mjeru. Pretpostavimo da važi riziko-neutralna mjera Q i da imamo derivat D čija isplata zavisi od seta osnovnih instrumenata S1, S2,..., Sn. Neka je ω uzorak iz prostora vjerovatnoće Ω. Tada je vrijednost derivata

(1.1.)

Sadašnja vrijednost derivata se dobija, računajući očekivanje za sve moguće uzorke i diskontovanjem istih sa bezrizičnom kamatnom stopom. Ovo je prezentovano slijedećom

formulom (1.2.) gdje je dfT je diskontni faktor [He07]. Aproksimacija integrala se vrši tako što se generišu putanje uzoraka i uzme njihova aritmetička sredina. Ukoliko je N broj uzoraka, jednostavniji način za dobijanje D₀ bi

izgledao

(1.3.)

Pretpostavimo sada da osnovna aktiva prati geometrijsko Braunovo kretanje. Ukoliko bi se vremenski interval [0,T] podijelio na M dijelova dužine t i Braunovo kretanje aproksimiralo u intervalu t sa jednom promjenljivom koja ima normalnu raspodjelu čija je srednja vrijednost 0, a varijansa t, to bi dovelo do putanje uzorka

(1.4.) gdje je k = 1, 2, ... , M, a Pretpostavimo da je D(S,t) funkcija isplate jedne opcije sa osnovnom aktivom S. Generišući uzorak od NxM normalnih promjenljivih, kreira se N putanja, a samim tim i N vrijednost od D. Tada je sadašnja vrijednost opcije računata preko Monte-Carlo metode

(1.5.)

Kako smo u mogućnosti da izračunamo srednju vrijednost, maksimum, minimum ili bilo koji drugi statistički podatak iz simuliranih putanja, Monte-Carlo metod je veoma pogodan za računanje opcija koje zavise od putanje. Sa druge strane, dobro poznata mana Monte-Carlo simulacijaje velika „računarska cijena“. Tačnost rezultata raste sa povećanjem broja simulacija, a vrijeme potrebno za izračunavanje raste eksponencijalno sa dimenzijom problema. Monte Karlo simulacija uključuje vještačko generisanje veoma velikog skupa događaja (korelisanih promjena cijena sredstava) iz kojih se izračunava VaR. VaR je statistička mjera rizika koja ocenjuje maksimalni gubitak koji se može ostvariti na nekom portfoliu sa nekim datim nivoom povjerenja. Generiše se veliki broj događaja pomoću slučajnih brojeva; ovi događaji se zatim primenjuju na neki portfolio, a VaR se određuje iz rezultujućeg skupa promjena vrijednosti portfolia5. 3.3. Primjena Monte Carlo simulacije, prednosti i slabosti Monte Carlo simulacija je najjednostavniji i najpopularniji alat za simuliranje vrijednosti projekata. Njegova osnovna prednost leži u unapređenju kvaliteta projekcija bitnih inputa finansijskog modela. Umjesto fiksnih projekcija nepoznatih varijabli, njihove projektovane vrijednosti se sada prikazuju rasponom mogućih vrijednosti, što je mnogo bliže realnosti. Na taj način, analitičari značajno smanjuju prostor za nastanak tzv. garbage-in-garbage-out problema, kada loše projekcije ulaznih varijabli daju loše rezultate vrednovanja projekata. Osim toga, ova alatka postaje sve značajnija kao sastavni i kompatibilni dio savremene metodologije za vrednovanje projekata pod nazivom Analiza realnih opcija. Uprkos svoje očite privlačnosti, Monte Carlo simulacija se ipak ne koristi tako puno u privredi onoliko koliko bi to čovjek mogao očekivati. Jedan od najvećih problema je u ovim proračunima specificiranje distribucije vjerovatnoće nesigurne varijable i korelacija između distribucija. Mehaničko ugrađivanje bilo kog tipa korelacije među varijablama u analizu simulacije je jednostavno što nam omogućava specificiranje kako međusobno promjenljivih tako i međuvremenskih korelacija. Međutim, nije lako specificirati kakve bi korelacije trebale biti. Jasno je da ovaj problem nije nesavladiv pa se Monte Carlo simulacija u posljednje vrijeme sve češće koristi u procesu investiranja i biznisu uopšte. Ipak je važno u ovim računicama ne podcijeniti teškoće sa dobijanjem validnih procjena distribucija vjerovatnoće varijabli i korelacija među distribucijama. Poseban problem sa analizom scenarija i simulacije proizilazi iz činjenice da se čak i kad je analiza završena, ne pojavljuje nikakvo pravilo za jasnu, dobro definisanu odluku. Na kraju se dobije očekivana NPV i distribucija oko te očekivane vrijednosti koju možemo koristiti za procjenu rizika na projektu. Međutim, analiza ne obezbjeđuje nikakav mehanizam koji bi ukazao na to da je vjerovatnoća projekta izmjerena pomoću njegove očekivane NPV dovoljna da nadoknadi njegov rizik. Osim toga, Monte Carlo simulacija ignoriše uticaj diverifikacije kako među projektima u okviru firme tako i diverifikacije kod investitora u njihovim ličnim investicijskim portfolijima. Usljed toga, 5

Milivoje Cvetinović, Upravljanje rizicima u finansijskom poslovanju, Univerzitet Singidunum, Beograd 2008., str. 77

projekat može imati veoma neizvjestan profit ako se procjenjuje samo njegov vlastiti rizik. Ako ovaj profit nije u korelaciji sa profitom vezanim za ostalu imovinu firme tada projekat možda nije rizičan u odnosu na rizik u okviru firme ili u odnosu na tržišni rizik. Ukoliko je pak, prinos od konkretnog projekta negativno koreliran sa prinosima ostalih projekata onda to može uzrokovati smanjenje korporacijskog rizika preduzeća. I pored navedenih slabosti Monte Carlo simulacija nailazi ipak na sve širu primjenu u investicijskim analizama. Informacije dobivene na ovaj način znatno olakšavaju proces investicijskog odlučivanja. Na taj način se izabrana investicijska strategija može prilagoditi određenom scenariju pa investicijski menadžeri mogu ostvariti pregled o budućim rezultatima investicijskih projekata. 3.4. Prikaz Monte Carlo simulacije pomoću programa Excel Prvi korak u kompjuterskoj simulaciji je, kao što je već pomenuto specificiranje distribucija vjerovatnoće svake od varijabli nesigurnog cash flow-a (kao što su npr. prodajna cijena i obim prodaje). U tu svrhu se obično koriste kontinuirane distribucije, koje omogućavaju analitičarima da specificiraju samo srednju i standardnu devijaciju, neki donji limit, najvjerovatniju vrijednost i gornji limit. Nakon što je to urađeno, simulacija se nastavlja na slijedeći način6 : 1. Softver za simulaciju nasumce odabere po jednu vrijednost za svaku varijablu na bazi njene specificirane distribucije vjerovatnoće. Na primjer, odabrana bi bila vrijednost za jedinične prodaje, za varijabilne troškove po jedinici, itd. 2. Vrijednost odabrana za svaku varijablu vjerovatnoće zajedno sa vrijednostima za sigurne varijable (kao što su npr. poreska stopa i troškovi amortizacije) se koristi u modelu za određivanje neto cash flow-a za svaku od godina, a ovi cash flow-i se onda koriste za određivanje NPV projekta za konkretni kompjuterski postupak. 3. Postupci 1 i 2 ponavljaju se mnogo puta, recimo 1.000, što ima za rezultat 1.000 NPV koje sačinjavaju distribuciju vjerovatnoće sa vlastitom očekivanom vrijednošću i standardnom devijacijom. Primjer Monte Carlo metode - Izračun broja π7: Ideju iza Monte Carlo metode pokazat ćemo na vrlo jednostavnom primjeru – pokušat ćemo odrediti iznos Ludolfovog broja π. Grčkim slovom π obilježava se omjer opsega i promjera kruga. Ako nasumce biramo tačku u kvadratu stranice 2r, u kojem se nalazi krug polumjera r, vjerojatnost da se ona nalazi unutar kruga je π/4: Pk/Pč = r2π/4r2 = π/4 (3.4.1) Međutim, tu vjerojatnost možemo i procijeniti. Zakon velikih brojeva govori nam da će omjer broja tačaka koje su završile unutar jedinične kružnice i ukupnog broja tačaka biti približno jednak traženoj vjerojatnosti; naravno, ako izaberemo dovoljno velik broj tačaka. Što je veći

6

Izet Ibreljić, Investicije II (ekonomska analiza, rizik, ekologija), (Tuzla: Harfo-graf, 2008.), p. 206 Stručni članak: Monte Carlo metoda, http://omega-software.hr/DocsImages//radovi/Monte %20Carlo%20metoda.pdf (pristupljeno: 10.04.2013.) 7

broj odabranih tačaka, to je i naš rezultat bliže tačnoj vrijednosti. Dakle, jedina nepoznanica u gornjoj jednadžbi je broj π. Možemo napisati: π= 4n/i (3.4.2.) gdje je n broj tačaka unutar jedinične kružnice, a i ukupan broj odabranih tačaka. Na slici 1.1. prikazan je ishod jedne simulacije uz tisuću odabranih tačaka.Dobiveni rezultat: π= 3,108 govori da ovakav način procjene nije vrlo precizan. Algoritam možemo poboljšati odaberemo li npr. sto hiljada tačaka. Takvim algoritmom dobivamo π= 3,1420, što je već precizniji rezultat. Ako stotinu puta ponovimo algoritam sa sto hiljada tačaka, pohranimo svaki dobiveni rezultat i uzmemo srednji rezultat svih ponavljanja, dobit ćemo vrijednost π = 3,141519, što je vrlo dobar rezultat, pogotovo ako su nam dovoljne prve tri ili četiri decimale.

Procjena zarade Monte Carlo metoda nam može poslužiti kao pomoću donošenju poslovnih odluka. Primjerice, ako proizvodimo čestitke, kroz istraživanje tržišta saznali smo da su šanse za prodaju tačnog broja čestitki u sljedećim postocima:

Prodajna cijena čestitke je 4 kn, a trošak izrade je 1,5 kn. Čestitke koje se ne prodaju moraju se odbaciti po cijeni od 0,20 kn. Koliko čestitki moramo proizvesti da bismo ostvarili najveću zaradu? Načelno, simuliramo potražnju za svaku od proizvodnih količina (10.000; 20.000; 40.000; 60.000) u 1000 ponavljanja. Nakon toga pogledamo koja od proizvedenih količina daje najveći prosjek u tih 1000 ponavljanja. Izvođenje ovih simulacija obavit ćemo u Excelu. Postavke za ovu simulaciju u Excelu prikazane su na slici 1.3.

U polje „proizvedeno” unesemo broj komada koji želimo proizvesti. Zavisno o nasumičnom broju koji se sam generira u polju C2, sistem odabire broj komada koji će se prodati iz ćelija E3:F6. Na temelju proizvedenih komada u ćeliji C1 i prodanih u ćeliji C3, možemo izračunati očekivanu zaradu u ćeliji C11. Da bismo mogli usporediti rezultate, napravit ćemo 1000 ponavljanja za svaki slučaj koji nas zanima. Nakon toga jednostavno izračunamo prosjek tih 1000 ponavljanja za svaki naš slučaj. Na slici 1.4 vidimo da proizvodnja 40.000 čestitaka uvijek daje najveću dobiti (ćelija D13).

Upotreba Monte Carlo metode za procjenjivanje trajanja projekta S obzirom da se Monte Carlo metoda zasniva na nasumce odabranom broju (slučaju, scenariju), ako uzmemo dovoljno velik broj integracija moguće je dobiti jako dobru procjenu trajanja nekog projekta, kao što se i vidi u gornjim primjerima. Procjenjivanje trajanja projekta pomoću Monte Carlo metode može se uzeti kao pouzdan podatak, ako su ulazni podaci dovoljno točni. Konkretno, to bi značilo sljedeće: na primjer, ako nam poslovni konzultant procijeni posao na n sati, moramo znati koliki je postotak sigurnosti da će se taj posao stvarno napraviti za tih n sati. U obzir treba uzeti i da li isti konzultant koji je dao procjenu radi taj posao. Različitim konzultantima trebat će različit broj sati da naprave isti posao. Ako se mijenja konzultant za kojeg se radila procjena pomoću Monte Carlo metode, mora se izvršiti nova računica s novim ulaznim podacima. Ili, prilikom prvog računanja treba uzeti u obzir da bi zadani posao mogao obavljati i netko drugi, i na osnovu toga povećati postotak optimistične/pesimistične procjene. U obzir bi trebalo uzeti i kvalitetu dokumentacije po kojoj će se procijenjeni posao izvoditi.