Muestreo Y Estimacion 2g1x

13. MUESTREO Y ESTIMACIÓN MUESTREO Muestra Aleatoria de tamaño n es una colección de n variables aleatorias, todas con la misma distribución y todas independientes. La colección de donde extraemos la muestra aleatoria, se denomina Población. Nuestra intención al tomar una muestra, es la de hacer Inferencia. Este término lo usamos en estadística para denotar al procedimiento con el que hacemos afirmaciones acerca de valores generales de la población mediante los números que observamos en la muestra. A un valor calculado con los datos de una muestra es el Estadístico. Al valor del parámetro en la población es el Estimador. Y es Estimador Puntual cuando se estima el parámetro poblacional a partir de un valor único). Características probabilísticas de un estimador. Cuando se tiene una fórmula para estimar y se aplica a una muestra aleatoria, el resultado es aleatorio, es decir los estimadores son variables aleatorias. Por ejemplo si se recibe un embarque de objetos que pueden estar listos para usarse ó defectuosos. Podemos seleccionar, al azar, algunos de ellos para darnos una idea de la proporción de defectuosos en el embarque. El parámetro de interés es la proporción de defectuosos en toda la población, pero lo que observamos es la proporción de defectuosos en la muestra. Valor esperado de un estimador y sesgo. El valor esperado de un estimador nos da un valor alrededor del cual es muy probable que se encuentre el valor del estimador. Para poner un ejemplo, si supiéramos que el valor esperado de un estadístico es 4, esto significaría que al tomar una muestra: No creemos que el valor de la estadística vaya a ser 4, pero tampoco creemos que el valor de la estadística vaya a estar lejos de 4. Ya que es muy probable que el valor del estimador esté cerca de su valor esperado, una propiedad muy deseable es que ese valor esperado del estimador coincida con el del parámetro que se pretende estimar. Al menos, quisiéramos que el valor esperado no difiera mucho del parámetro estimado. Por esa razón es importante la cantidad que, técnicamente llamamos sesgo. Convención, para efectos del estudio de ahora en adelante se presentan la siguiente convención,

θ y θˆ

representan, el parámetro que estamos midiendo y el valor

obtenido en la medida o muestreado, respectivamente

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El sesgo es la diferencia entre el valor esperado del estimador y el parámetro que ˆ estima. E ( x −µ) , Sesgo = E (θ) −θ Si el sesgo 0, se dice que el estimador es insesgado y ésta es una característica buena para un estimador. Un estimador que es insesgado tiene una alta probabilidad de tomar un valor cercano al valor del parámetro. Varianza de un estimador. Otra propiedad importante de un estimador es su varianza. La importancia de la desviación estándar es que nos permite darle un sentido numérico a la cercanía del valor del estimador a su valor esperado. Entre menor sea la desviación estándar de un estimador, será más probable que su valor en una muestra específica se encuentre mas cerca del valor esperado. Para aclarar esto, considere dos estimadores T1 y T2, suponga que ambos son insesgados y suponga que la varianza de T 1 es menor que la de T2, lo cual quiere decir que los valores de T1 son más probables que los de T2. O sea que vamos a encontrar a T1 más cerca del valor del parámetro que a T2. Esto hace que nuestras preferencias estén con T1. Cuando un estimador tiene una varianza menor que otro decimos que el estimador es más eficiente. La distribución de probabilidad de un estadístico. Quizá el resultado más importante para la estadística es el Teorema del Límite Central. Este resultado nos indica que, para el estadístico promedio de la muestra - el valor esperado es la media de la población. - la varianza es igual a la de la población dividida por el número de elementos de la muestra. - la distribución de probabilidad es la normal. Este teorema es muy importante porque permite calcular probabilidades acerca de dónde se encuentra el valor promedio muestra. Es sólo cuestión de usar la tabla normal teniendo cuidado al estandarizar de usar la desviación estándar adecuada que es la de la población dividida por la raíz cuadrada del número de elementos de la muestra. Estimación del error de una medida directa. La estimación del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena aproximación cuál es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de

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reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cómo se ha obtenido un error como su propio valor. Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite objetivar en gran medida la estimación de errores aleatorios. La estadística permite obtener los parámetros de una población (en este caso el conjunto de todas las medidas que es posible tomar de una magnitud), a partir de una muestra (el número limitado de medidas que podemos tomar). Mejor valor de un conjunto de medidas. Supongamos que medimos una magnitud un número n de veces. Debido a la existencia de errores aleatorios, las n medidas ( x 1, x 2 ,..., x n ) serán en general diferentes. El método más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente, y este es el valor que deberá darse como resultado de las medidas. x=

1 n x ∑ i =1 i n

Tipos de estimación estadística. Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros de la población, brevemente parámetros (tales como la media y la variación de la población), de los correspondientes estadísticos muéstrales, o simplemente estadísticos (tales como la media y la variación de la muestra). Estimaciones sin sesgo. Si la media de las dispersiones de muestreo con un estadístico es igual que la del correspondiente parámetro de la población, el estadístico se llamara estimador sin sesgo o insesgado del parámetro; si no, si no se llama estimador sesgado. Los correspondientes valores de tal estadístico se llaman estimación sin sesgo, y estimación con sesgo respectivamente. Ejemplo, la media de las distribuciones de muestreo de medias μ x o µ , media de la población. Por lo tanto, la media muestral es una estimación sin sesgo de la media de la población. Ejemplo, las medias de las distribuciones de muestreo de las variables son

n −1 2 σ n En donde, s 2 sea una estimación sin sesgo, sin embargo, s es una estimación µs 2 =

sesgada, pues, en términos del valor esperado es insesgado E(X) = µ

E (S 2 ) = σ 2

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Estimación Eficiente. Si las distribuciones de muestreo de dos estadísticos tienen la misma media (o esperanza), el de menor varianza se llama un estimador eficiente de la media, mientras que el otro se llama un estimador ineficiente, respectivamente. Si consideramos todos los posibles estadísticos cuyas distribuciones de muestreo tiene la misma media, aquel de varianza mínima se llama a veces, el estimador de máxima eficiencia, ósea el mejor estimador. Ejemplo, Las distribuciones de muestreo de media y mediana tienen ambas la misma media, a saber, la media de la población. Sin embargo, la varianza de la distribución de muestreo de medias es menor que la varianza de la distribución de muestreo de medianas. Por tanto, la media muestral da una estimación eficiente de la media de la población, mientras la mediana de la muestra da una estimación ineficiente de ella. De todos los estadísticos que estiman la media de la población, la media muestral proporciona la mejor (la más eficiente) estimación. En la práctica, estimaciones ineficientes se usan con frecuencia a causa de la relativa sencillez con que se obtienen algunas de ellas. Estimaciones de punto y estimaciones de intervalo, su fiabilidad, una estimación de un parámetro de la población dada por un solo número se llama una estimación de punto del parámetro. Una estimación de un parámetro de la población dada por dos puntos, entre los cuales se pueden considerar encajado al parámetro, se llama una estimación del intervalo del parámetro. Las estimaciones de intervalo que indican la precisión de una estimación y son por tanto preferibles a las estimaciones de punto La Inferencia Estadística comprende los métodos que son usados para sacar conclusiones de la población en base a una muestra tomada de ella. Incluye los métodos de estimación de parámetros y las pruebas de hipótesis. La Estimación de parámetros comprende a su vez la Estimación Puntual, en donde se estudian los diversos métodos de encontrar estimadores y las propiedades óptimas que deben tener éstos, y la Estimación por Intervalos de Confianza, en donde se estima un parámetro usando un intervalo centrado en un estimado del parámetro y de longitud igual a dos veces el error de estimación. El Error de estimación depende del nivel de confianza deseado, usualmente, 90, 95 ó 99 por ciento. En este texto solamente se tratará el cálculo de intervalos de confianza. Los diversos métodos de encontrar estimadores y, las propiedades de estimadores óptimos son discutidos en un curso de Estadística Matemática. Una Hipótesis Estadística es una afirmación que se hace acerca de un parámetro poblacional. La afirmación que está establecida y que se espera sea rechazada después de aplicar una prueba estadística es llamada la hipótesis nula y se

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representa por Ho. La afirmación que se espera sea aceptada después de aplicar una prueba estadística es llamada la hipótesis alterna y se representa por Ha. Una prueba estadística es una fórmula, basada en la distribución del estimador del parámetro que aparece en la hipótesis y que va a permitir tomar una decisión acerca de aceptar o rechazar una hipótesis nula. Al igual que una prueba de laboratorio para detectar cierta enfermedad, una prueba estadística no es ciento por ciento segura y puede llevar a una conclusión errónea. Hay dos tipos de errores que pueden ocurrir. El error tipo I, que se comete cuando se rechaza una hipótesis nula que realmente es cierta y el error tipo II que se comete cuando se acepta una hipótesis nula que realmente es falsa. El nivel de significación, representada por α, es la probabilidad de cometer error tipo I, y por lo general se asume que tiene un valor de 0.05 ó 0.01.También puede ser interpretado como el área de la región que contiene todos los valores posibles donde la hipótesis nula es rechazada. La probabilidad de cometer error tipo II, se representa por β y al valor 1-β se le llama la potencia de la prueba. Una buena prueba estadística es aquella que tiene una potencia alta. En este capítulo, primero se discutirá el cálculo de intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para la media poblacional, para una proporción y finalmente para la varianza de una población. Luego se tratará los intervalos de confianza y prueba de hipótesis para la razón de dos varianzas poblacionales, para la diferencia de dos medias poblacionales y por último para la diferencia de dos proporciones. Estimaciones de Intervalos de Confianza para parámetros de población. Sean µs y σs la media y la desviación típica (error típico) de la distribución de muestreo de un estadístico S. Entonces, si la distribución de muestreo de s es aproximadamente normal (que como hemos visto es cierto para muchos estadísticos si el tamaño de la muestra es N ≥ 30), entonces, podemos esperar hallar un estadístico muestral real S que esté en el intervalo ( µ s − σ s , µ + σ s ) , ( µ s − 2σ s , µ + 2σ s ) , ( µ s − 3σ s , µ + 3σ s ) en un 68.27%, 95.45% y 99.70 %, respectivamente. En la tabla siguiente, se muestran los niveles de confianza usados en la práctica. Para niveles de confianza que no aparecen en la tabla, los valores Z c se pueden encontrar gracias a las tablas de áreas bajo la curva Normal. Nivel de confianza %

99.70 99.00 98.00 80.00 68.27 50.00

96.00

95.45

95.00

90.00

5

Zc 3.00 1.00

2.58 2.33 0.6745

2.05

2.00

1.96 1.645

1.28

Intervalos de confianza para la media. Si el estadístico es de la media de X de la ± 1.9σ x y ± 2.58σ x , muestra, entonces los limites de confianza respectivamente. Si el muestreo de la población es infinita por lo tanto viene dado por X = ±Z α

σ N

Ejemplo. Halar los límites de confianza de 98% y 90%. Lo anterior tiene la solución, sea Z =Zα tal que, al área bajo la curva Normal a la derecha sea 1%, entonces, por simetría el área del lado izquierdo de Z=-Z α. como el área total bajo la curva es 1, Zα=0.49 por tanto, Zα=2.33, luego el limite de confianza para el 98% es, ± 2.33

σ n

Generalmente, la desviación típica de la población no es conocida. Así pues, para obtener los limites usamos la estimación s o S es satisfactorio si N ≥ 30, si a aproximación es pobre y debe de empleare la teoría de pequeñas muestras. Cálculo del tamaño de la muestra. A la hora de determinar el tamaño que debe alcanzar una muestra hay que tomar en cuenta varios factores, el tipo de muestreo, el parámetro a estimar, el error muestral isible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar algunos casos sencillos de cálculo del tamaño muestral delimitemos estos factores. Parámetro. Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población. Estadístico. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros. Error Muestral. Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigación nos indicará hasta qué medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varían muestra a muestra). Varía según se calcule al principio o al final. Un estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral de un estadístico y su fiabilidad.

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Nivel de Confianza. Probabilidad de que la estimación efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad, así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del parámetro. Varianza Poblacional. Cuando una población es más homogénea la varianza es menor y el número de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, o de la población, será más pequeño. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos. Tamaño de muestra para estimar la media de la población. Veamos los pasos necesarios para determinar el tamaño de una muestra empleando el muestreo aleatorio simple. Para ello es necesario partir de dos supuestos: en primer lugar el nivel de confianza al que queremos trabajar; en segundo lugar, cual es el error máximo que estamos dispuestos a itir en nuestra estimación. Así pues los pasos a seguir son: Obtener el tamaño muestral imaginando que n → ∞ , siendo Z α/ 2 el Z con el valor del nivel de confianza elegido, σ2 varianza poblacional y e el error máximo Z2 σ 2 o aplicar n = α / 22 e n=

n∞ 1 + (n ∞ / n)

Para obtener el tamaño de la muestra si hay grandes diferencias en el tamaño muestral o hay escasez de información Ejemplo, Una población a encuestar tiene 10000 personas y una varianza de 9.648. Trabajando con un nivel de confianza de 0.95 y estando dispuestos a itir un error máximo del 10%, ¿cuál debe ser el tamaño muestral para trabajar? En las tablas de la curva Normal el valor de Z α / 2 que corresponde con el nivel de confianza elegido, Z α/ 2 ±1.96 n ∞ =1.96 2 ⋅ 9.648 / 0.12 = 3.706

Comprobamos que no se cumple, pues en este caso 10.000 < 3.706 (3.706 - 1); 10.000 < 13.730.730, por tanto, usamos n ∞ = 3.706 /(1 + (3.706 / 10.000)) = 2.704

Tamaño de muestra para estimar la proporción de la población. Para calcular el tamaño de muestra para la estimación de proporciones poblaciones hemos de tener en cuenta los mismos factores que en el caso de la media. La fórmula que nos permitirá determinar el tamaño muestral es la siguiente,

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n=

N ∗ Z α2 / 2 ∗ P ∗ (1 − P) ( N − 1) ∗ e 2 + Z α2 / 2 ∗ P ∗ (1 − P)

Donde, Z α/ 2 correspondiente al Z con el nivel de confianza elegido, P es la proporción de una categoría de la variable, e es el error máximo, y N es el tamaño de la población. Una parte fundamental para realizar un estudio estadístico de cualquier tipo es obtener unos resultados confiables y que puedan ser aplicables. Como ya se comentó anteriormente, resulta casi imposible o impráctico llevar a cabo algunos estudios sobre toda una población, por lo que la solución es llevar a cabo el estudio basándose en un subconjunto de ésta denominada muestra. Sin embargo, para que los estudios tengan la validez y confiabilidad buscada es necesario que tal subconjunto de datos, o muestra, posea algunas características específicas que permitan, al final, generalizar los resultados hacia la población en total. Esas características tienen que ver principalmente con el tamaño de la muestra y con la manera de obtenerla. El muestro, implica algo de incertidumbre que debe ser aceptada para poder realizar el trabajo, pues aparte de que estudiar una población resulta ser un trabajo en ocasiones demasiado grande, por tanto, se ofrecen las siguientes razones extras: - Recursos limitados. Es decir, no existen los recursos humanos, materiales o económicos para realizar el estudio sobre el total de la población. Es como cuando se compra un aparato, un automóvil usado (por ejemplo), que se prueba unos minutos (el encendido, una carrerita, etc.) para ver si funciona correctamente y luego se adquiere, pero no se espera a probarlo toda la vida (encendiéndolo y apagándolo o, simplemente, dejándolo encendida) antes de realizar la adquisición. - Escasez. Es el caso en que se dispone de una sola muestra. Por ejemplo, para el estudio paleontológico de los dinosaurios sería muy bueno contar con, al menos, muchos restos fósiles y así realizar tales investigaciones; sin embargo, se cuenta sólo con una docena de esqueletos fosilizados (casi todos incompletos) de esas criaturas en todo el mundo. - Pruebas destructivas. Es el caso en el que realizar el estudio sobre toda la población llevaría a la destrucción misma de la población. - El muestreo puede ser más exacto. Esto es en el caso en el que el estudio sobre la población total puede causar errores por su tamaño o, en el caso de los censos, que sea necesario utilizar personal no lo suficientemente capacitado; mientras que,

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por otro lado, el estudio sobre una muestra podría ser realizada con menos personal pero más capacitado. Para calcular el tamaño de una muestra hay que tomar en cuenta tres factores: - El porcentaje de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la muestra hacia la población total. - El porcentaje de error que se pretende aceptar al momento de hacer la generalización. - El nivel de variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis. La confianza o el porcentaje de confianza es el porcentaje de seguridad que existe para generalizar los resultados obtenidos. Esto quiere decir que un porcentaje del 100% equivale a decir que no existe ninguna duda para generalizar tales resultados, pero también implica estudiar a la totalidad de los casos de la población. Para evitar un costo muy alto para el estudio o debido a que en ocasiones llega a ser prácticamente imposible el estudio de todos los casos, entonces se busca un porcentaje de confianza menor. Comúnmente en las investigaciones sociales se busca un 95%. El error o porcentaje de error equivale a elegir una probabilidad de aceptar una hipótesis que sea falsa como si fuera verdadera, o la inversa: rechazar a hipótesis verdadera por considerarla falsa. Al igual que en el caso de la confianza, si se quiere eliminar el riesgo del error y considerarlo como 0%, entonces la muestra es del mismo tamaño que la población, por lo que conviene correr un cierto riesgo de equivocarse. Comúnmente se aceptan entre el 4% y el 6% como error, tomando en cuenta de que no son complementarios la confianza y el error. La variabilidad es la probabilidad (o porcentaje) con el que se aceptó y se rechazó la hipótesis que se quiere investigar en alguna investigación anterior o en un ensayo previo a la investigación actual. El porcentaje con que se aceptó tal hipótesis se denomina variabilidad positiva y se denota por p, y el porcentaje con el que se rechazó se la hipótesis es la variabilidad negativa, denotada por q. Hay que considerar que p y q son complementarios, es decir, que su suma es igual a la unidad: p+q=1. Además, cuando se habla de la máxima variabilidad, en el caso de no existir antecedentes sobre la investigación (no hay otras o no se pudo aplicar una prueba previa), entonces los valores de variabilidad es p=q=0.5. Una vez que se han determinado estos tres factores, entonces se puede calcular el tamaño de la muestra como a continuación se expone. Hablando de una población de alrededor de 10,000 casos, o mínimamente esa cantidad, podemos pensar en la manera de calcular el tamaño de la muestra a través de las siguientes fórmulas. Hay que mencionar que estas fórmulas se pueden aplicar de manera aceptable pensando en

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instrumentos que no incluyan preguntas abiertas y que sean un total de alrededor de 30. Vamos a presentar dos fórmulas, siendo la primera la que se aplica en el caso de que no se conozca con precisión el tamaño de la población, y es: z 2 pq n= 2 e Donde, n es el tamaño de la muestra; z es el nivel de confianza; p es la variabilidad positiva; q es la variabilidad negativa; y e es la precisión o error. Ejemplo: Si se quiere un porcentaje de confianza del 95%, entonces hay que considerar la proporción correspondiente, que es 0.95. Lo que se buscaría en seguida es el valor z para la variable aleatoria z tal que el área simétrica bajo la curva normal desde -z hasta z sea igual a 0.95, es decir, P(-z
z 2 pqN Ne 2 + z 2 pq

Donde, n es el tamaño de la muestra; z es el nivel de confianza; p es la variabilidad positiva; q es la variabilidad negativa; y e es la precisión o error. Ejemplo: Un Colegio desea realizar una investigación sobre los alumnos inscritos en primer y segundo años, para lo cual se aplicará un cuestionario de manera aleatoria a una muestra, pues los recursos económicos y el tiempo para procesar la información resultaría insuficiente en el caso de aplicársele a la población estudiantil completa. En primera instancia, suponiendo que no se conoce el tamaño exacto de la población, pero con la seguridad de que ésta se encuentra cerca a los diez millares, se aplicará la primera fórmula. Se considerará una confianza del 95%, un porcentaje de error del 5% y la máxima variabilidad por no existir antecedentes en la institución sobre la investigación y porque no se puede aplicar una prueba previa. Primero habrá que obtener el valor de Z de tal forma que la confianza sea del 95%, es decir, buscar un valor de Z tal que P(z
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Las técnicas de muestreo probabilística son aquellas en las que se determina al azar los individuos que constituirán la muestra. Estas técnicas nos sirven cuando se desean generalizar los resultados que se obtienen a partir de la muestra hacia toda la población. Lo anterior se dice dado que se supone que el proceso aleatorio permitirá la obtención de una muestra representativa de la población. Los muestreos probabilísticas pueden ser con o sin reemplazo. Los muestreos con reemplazo son aquellos en los que una vez que ha sido seleccionado un individuo (y estudiado) se le toma en cuenta nuevamente al elegir el siguiente individuo a ser estudiado. En este caso cada una de las observaciones permanece independiente de las demás, pero con poblaciones pequeñas tal procedimiento debe ser considerado ante la posibilidad de repetir observaciones. En el caso de poblaciones grandes no importa tal proceder, pues no afecta sustancialmente una repetición a las frecuencias relativas. Los muestreos sin reemplazo son los que una vez que se ha tomado en cuenta un individuo para formar parte de la muestra, no se le vuelve a tomar en cuenta nuevamente. En este caso, y hablando específicamente para el caso de poblaciones pequeñas, las observaciones son dependientes entre sí, pues al no tomar en cuenta nuevamente el individuo se altera la probabilidad para la selección de otro individuo de la población. Para el caso de las poblaciones grandes (por ejemplo la población de un país) dicha probabilidad para la selección de un individuo se mantiene prácticamente igual, por lo que se puede decir que existe independencia en las observaciones. Las técnicas de muestreo probabilística que mencionaremos serán básicamente tres: el aleatorio simple, el aleatorio estratificado y el sistemático. - Muestreo aleatorio simple. Podemos aquí mencionar que para el caso de que se estuviese estudiando un propoción dentro de la población (una elección de candidato, la aceptación o rechazo de una propuesta en una comunidad, la presencia o ausencia de una característica hereditaria), y el en caso de un muestreo aleatorio simple, la estimación que se puede hacer de la proporción buscada a partir de la proporción hallada en la muestra se obtiene mediante la construcción de un intervalo de confianza: π = P ± tolerancia de la muestra Donde π es la proporción buscada en la población y P es la proporción presente en la muestra. Por otro lado, la tolerancia de la muestra está relacionada directamente con el nivel de confianza y se obtiene a partir de la distribución normal al igual que como se obtuvo para el cálculo del tamaño de las muestras. La representaremos con z para obtener,

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π= P ±z

pq n

- Muestras aleatorias. Para que las conclusiones de la teoría del muestreo y de la inferencia estadística sean validas, las muestras deben escogerse representativas de la población. El análisis de los métodos de muestreo y problemas relacionados se llaman el diseño del experimento. - Muestras no aleatorias. Cuando el método de extracción de las muestras no asegure a cada individuo de la población o del estrato, igual probabilidad de ser elegido, entonces la muestra obtenida no es aleatoria. A veces, esto se hace por razones de practicidad en el sentido del costo o del tiempo. Si se desea tomar una muestra probabilística de la población argentina no parece razonable usar a cada individuo como unidad de muestreo. Lo mismo cuando se desea hacer un muestreo a los escolares de una provincia, es muy difícil empadronar a todos primero para luego sortear, y se tardaría demasiado para ubicarlos uno por uno hasta terminar el trabajo. - En el muestreo de etapas múltiples se utiliza para el caso de grandes poblaciones humanas. Acá, la unidad de muestreo en la primera etapa son los departamentos de cada provincia. Se los lista y se hace un primer sorteo para la selección. En una segunda etapa se distingue la población rural de la urbana, subdividiendo en fracciones (diferentes superficies con densidad de población semejante). Otra vez se sortea para elegir, y se continúa con otra división en radios dentro de las fracciones, segmentos dentro de radios, y así sucesivamente. La razón es repartir equitativamente el trabajo del encuestador. - En el muestreo por conglomerados se eligen conjuntos donde naturalmente se agrupan los individuos. Es, por ejemplo, el caso de las escuelas para hacer un muestreo alumnos en el sistema educativo, o las facultades para los universitarios. Si se trata de estudiar las condiciones laborales de los empleados de comercio que trabajan en supermercados, primero se empadronan a los lugares naturales de trabajo (supermercados), y luego se sortea entre estos conglomerados para elegir a uno. Luego se entrevista a todos los empleados del supermercado elegido, y se acepta esto como una muestra representativa del sector. - El muestreo sistemático se usa para el caso de sucesiones de elementos. Por ejemplo, el caso de las historias clínicas de pacientes, certificados de nacimiento, tarjetas de catálogo en una biblioteca, etc. Son los casos donde la información está en archivos y hay que trabajar con estos para obtenerlas. Se elige una cifra entera, razonable, tomando en cuenta el tamaño de la muestra y el de la población. Por ejemplo, hay que tomar una muestra de tamaño 25 de un archivo que contiene 488

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fichas; luego, el cociente entre población y muestra es 488 /25, aproximadamente 19. Notar que si se elige 20 el tamaño muestral no llega a 25. Entonces, se cuentan las fichas y a llegar a la décimo novena se la extrae, se sigue hasta la número 38 que será la segunda escogida, y así sucesivamente hasta tener las 25 fichas necesarias. Es también el caso de los soldados que se numeran de 1 en adelante y cada 5 (u otro número cualquiera) dan un paso al frente. Es un método sencillo y rápido de selección. a. Números Aleatorios. Una forma para obtener una muestra representativa es mediante el muestreo aleatorio, de acuerdo con el cual, cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser incluido en la muestra. Un método para lograrlo es asignarle a cada uno un número, escribir cada número en una papeleta, y realizar en una urna un soporte justo en ella. Un método alternativo consiste en recurrir una tabla de números aleatorios. b. Sistemático. Es análogo al anterior, aunque resulta más cómoda la elección de los elementos. Si hemos de elegir 40 elementos de un grupo de 600, se comienza por calcular el cociente 600/40 que nos dice que existen 40 grupos de 15 elementos entre los 600. Se elige un elemento de salida entre los 15 primeros, y suponiendo que sea el k-ésimo, el resto de los elementos serán los k-ésimos de cada grupo. En concreto, si el elemento de partida es el número 6, los restantes serán los que tengan los números: 15+6 ,2x15+6,......,39x15+6 Este procedimiento simplifica enormemente la elección de elementos, pero puede dar al traste con la representatividad de la muestra, cuando los elementos se hayan numerados por algún criterio concreto, y los k-ésimos tienen todos una determinada característica, que haga conformarse una muestra no representativa. c. Estratificado. A veces nos interesa, cuando las poblaciones son muy grandes, dividir éstas en sub-poblaciones o estratos, sin elementos comunes, y que cubran toda la población. Una vez hecho esto podemos elegir, por muestreo aleatorio simple, de cada estrato, un número de elementos igual o proporcional al tamaño del estrato. Este procedimiento tiene la gran ventaja de que se puede obtener una mayor precisión en poblaciones no homogéneas (aunque en este curso no estudiaremos los métodos necesarios) Si decidiéramos hacer una encuesta sobre la incidencia del tabaco en nuestro centro, podríamos razonar de la siguiente forma:

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