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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA PROVAS DA OBMEP 2010-2017

TODAS RESOLVIDAS

PROFESSOR. MS. LUÍS FARIAS

Nível

Ensino Médio 1ª FASE – 8 de junho de 2010

3

Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________ INSTRUÇÕES 1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, data de nascimento, série e turno em que estuda, e não se esqueça de assiná-lo. 2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos. 3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta. 4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo correspondente a lápis ou a caneta esferográfica azul ou preta (é preferível a caneta). 5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta. 6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta. 7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho. 8. Ao final da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta. É com grande alegria que contamos com sua participação, de seus professores e de sua escola na 6ª OBMEP. Encare as questões desta prova como quebra-cabeças interessantes e divirta-se com a busca de suas soluções. Desejamos que você faça uma boa prova! SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Ministério da Ministério Ciência e Tecnologia da Educação

1. Cada quadradinho na figura deve ser preenchido com um 3. Carmem tem duas caixas, A e B, cada uma com 4 bolas sinal de adição (+) ou de multiplicação (×). Qual é o maior brancas e 10 bolas pretas. Se ela retirar 6 bolas da caixa valor possível da expressão obtida depois de preenchidos todos os quadradinhos?

2 A) B) C) D) E)

3

0

8

9

77 78 79 80 81

2. Para qual valor de x a igualdade 3 − verdadeira? A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

1

3 4 5 6 7

6 8 4− 1+ x

A e as colocar na caixa B, qual será o menor percentual possível de bolas pretas na caixa B? 50% 55% 60% 65% 70%

4. A estrada que a pelas cidades de Quixajuba e =0 é

Paraqui tem 350 quilômetros. No quilômetro 70 dessa estrada há uma placa indicando Quixajuba a 92 km. No quilômetro 290 há uma placa indicando Paraqui a 87 km. Qual é a distância entre Quixajuba e Paraqui? A) B) C) D) E)

5 km 41 km 128 km 179 km 215 km

2

NÍVEL 3

5. O gráfico mostra a temperatura média e a precipitação de chuva em Quixajuba em cada um dos meses de 2009. Qual das afirmativas abaixo está correta?

OBMEP 2010 30

300

20

200

10

100

A) O mês mais chuvoso foi °C mm Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out NovDez também o mais quente. B) O mês menos chuvoso foi também o mais frio. C) De outubro para novembro aumentaram tanto a precipitação quanto a temperatura. D) Os dois meses mais quentes foram também os de maior precipitação. E) Os dois meses mais frios foram também os de menor precipitação.

8. João vai de bicicleta ao encontro de sua namorada Maria. Para chegar na hora marcada, ele deve sair às 8 horas e pedalar a 10 km/h ou sair às 9 horas e pedalar a 15 km/h. A que horas é o encontro dos namorados? A) B) C) D) E)

10h 10h30min 11h 11h30min 12h

9. O gráfico mostra a operação de três trens na cidade de Quixajuba de 8h às 8h30min. O eixo horizontal mostra o horário e o eixo vertical mostra a distância a partir da Estação Alfa. Qual das alternativas é correta?

6. Saci, Jeca, Tatu e Pacu comeram 52 bananas. Ninguém ficou sem comer e Saci comeu mais que cada um dos outros. Jeca e Tatu comeram ao todo 33 bananas, sendo que Jeca comeu mais que Tatu. Quantas bananas Tatu comeu? A) B) C) D) E)

16 17 18 19 20

7. Na figura, x é a média aritmética dos números que estão nos quatro círculos claros e y é a média aritmética dos números que estão nos quatro círculos escuros. Qual é o valor de x − y ? A) B) C) D) E)

0 1 2 3 4

49

5

3

x

y

16

23

24

A) O trem de ageiros leva 6 minutos para ir da Estação Beta à Estação Alfa. B) O trem expresso para na Estação Beta. C) Entre as Estações Alfa e Beta, o trem de carga é mais rápido que o trem expresso. D) O trem expresso ultraa o trem de carga quando este último está parado. E) O trem de ageiros para 10 minutos na Estação Beta.

10. Na figura ao lado os pontos destacados sobre a reta estão igualmente espaçados. Os arcos que ligam esses pontos são semicircunferências e a região preta tem área igual a 1. Qual é a área da região cinza? A) B) C) D) E)

15 18 25 30 36

OBMEP 2010

11. Adriano, Bruno, Carlos e Daniel participam de uma brincadeira na qual cada um é um tamanduá ou uma preguiça. Tamanduás sempre dizem a verdade e preguiças sempre mentem. • Adriano diz: “Bruno é uma preguiça”. • Bruno diz: “Carlos é um tamanduá”. • Carlos diz: ”Daniel e Adriano são diferentes tipos de animais”. • Daniel diz: “Adriano é uma preguiça”.

14. Carolina tem três cartões brancos numerados de 1 a 3 e três cartões pretos, também numerados de 1 a 3. Ela escolheu, ao acaso, um cartão branco e um preto. Qual é a probabilidade de a soma dos números dos cartões escolhidos ser par? A)

3 5

B)

5 9

C)

1 2

D)

2 3

E)

3 4

Quantos dos quatro amigos são tamanduás? A) B) C) D) E)

3

NÍVEL 3

0 1 2 3 4

15. A figura 1 mostra um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Com 27 desses dados montou-se um cubo, como na

12. Joana tem 10 pares diferentes de meias, guardados figura 2. Qual é a maior soma possível de todos os números dentro de uma gaveta. Três meias estão furadas, sendo duas do mesmo par. Quantas meias ela deve tirar da gaveta, uma de cada vez e sem olhar, para ter certeza de que entre elas haja um par sem defeito? A) B) C) D) E)

5 6 10 11 13

que aparecem nas seis faces do cubo? A) B) C) D) E)

162 288 300 316 324

12 Figura 1

? ? ?

? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

Figura 2

16. Os círculos que formam as figuras A, B e C são 13. Uma tira de papel retangular, branca de um lado e todos iguais. Os comprimentos dos contornos das cinza do outro, foi dobrada como na figura. Qual é a medida do ângulo α ? 110º 115º 120º 125º 130º

1c

1 cm

A) B) C) D) E)

2c

m

m

figuras, indicados com linhas mais grossas, são a, b e c, respectivamente. Qual das alternativas é verdadeira? A) B) C) D) E)

a=b=c a
Figura A

Figura B

Figura C

4

NÍVEL 3

OBMEP 2010

17. Tio Paulo trouxe cinco presentes diferentes, entre os 19. Duas folhas de papel, uma retangular e outra quadrada, quais uma boneca, para distribuir entre suas sobrinhas Ana, Bruna, Cecília e Daniela. De quantos modos ele pode distribuir os presentes entre as sobrinhas de modo que todas ganhem pelo menos um presente e a boneca seja dada para Ana?

foram cortadas em quadradinhos de 1 cm de lado. Nos dois casos obteve-se o mesmo número de quadradinhos. O lado da folha quadrada media 5 cm a menos que um dos lados da folha retangular. Qual era o perímetro da folha retangular?

A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

20 32 60 72 120

48 cm 68 cm 72 cm 82 cm 100 cm

18. A figura mostra três circunferências de raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos destacados. Qual é o comprimento do segmento AB?

20. Na figura, ABCD e AEFG são retângulos e o ponto F

A) 1

a

C)

1+ 5 2

D)

3 2 3

A

B

1

da área do retângulo AEFG. Qual é o valor de

18

A)

3 5

A

B)

3 8

E

C)

8 13

B

D)

11 18

E)

3 4

AF ? AC

G

D

F C

Operacionalização:

2

B)

E)

pertence à diagonal AC. A área do triângulo cinza é igual

Nível

Ensino Médio 1ª FASE – 16 de agosto de 2011

3

Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________ INSTRUÇÕES 1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, endereço eletrônico, data de nascimento, ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo. 2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos. 3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta. 4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo correspondente a lápis ou a caneta esferográfica azul ou preta (é preferível a caneta). 5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta. 6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta. 7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho. 8. Ao final da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta. É com grande satisfação que preparamos essa nova edição da OBMEP e que podemos contar com a sua participação, de seus professores e de sua escola. Desejamos que você se divirta buscando as soluções das questões dessa prova e que ela sirva de estímulo para que você goste cada vez mais de Matemática.

SBM 1. A figura mostra dois homens erguendo um piano com 3. A tartaruga e o coelho disputaram uma corrida de 800 uma corda. Se um dos homens puxar 15 m de corda e o outro puxar 25 m, quantos metros o piano vai subir? A) B) C) D) E)

15 20 25 30 40

2. Na malha retangular ao lado, o perímetro da figura A é 156 cm e o da figura B é 144 cm. Qual é o perímetro da figura C? A) B) C) D) E)

125 cm 144 cm 160 cm 172 cm 175 cm

metros e o coelho ganhou. Os gráficos representam a relação entre a distância percorrida e o tempo para cada um deles. Pode-se afirmar que A) durante o primeiro minuto e meio, a tartaruga ficou sempre na frente do coelho. B) a tartaruga ficou atrás do coelho por pelo menos dois minutos. C) o coelho terminou a corrida em dois minutos e meio. D) a tartaruga ficou à frente do coelho por pelo menos 30 segundos. E) o coelho cruzou a linha de chegada 50 metros à frente da tartaruga.

2

NÍVEL 3

OBMEP 2011

4. Quatro times disputaram um torneio de futebol em 7. Na figura, os dois semicírculos são tangentes e o lado do que cada um jogou uma vez contra cada um dos outros. Se uma partida terminasse empatada, cada time ganhava um ponto; caso contrário, o vencedor ganhava três pontos e o perdedor, zero. A tabela mostra a pontuação final do torneio. Quantos foram os empates? Time Cruzínthians Flameiras Nauritiba Greminense A) B) C) D) E)

Pontos 5 3 3 2

2 3 4 5 6

quadrado mede 36 cm. Qual é o raio do semicírculo menor? A) B) C) D) E)

8. Tia Geralda sabe que um de seus sobrinhos Ana, Bruno, Cecília, Daniela ou Eduardo comeu todos os biscoitos. Ela também sabe que o culpado sempre mente e que os inocentes sempre dizem a verdade. • Bruno diz: “O culpado é Eduardo ou Daniela.” • Eduardo diz: “O culpado é uma menina.” • Por fim, Daniela diz: “Se Bruno é culpado então Cecília é inocente.”

5. Pedro tem dois cubos com faces numeradas, com os quais ele consegue indicar os dias do mês de 01 a 31. Para formar as datas, os cubos são colocados lado a lado e podem ser girados ou trocados de posição. A face com o 6 também é usada para mostrar o 9. Na figura ao lado, os cubos mostram o dia 03. Qual é a soma dos números das quatro faces não visíveis no cubo da esquerda? A) B) C) D) E)

15 16 18 19 20

6. Márcia cortou quatro tiras retangulares de mesma largura, cada uma de um dos lados de uma folha de papel medindo 30 cm por 40 cm. O pedaço de papel que sobrou tem 68% da área da folha original. Qual é a largura das tiras? A) B) C) D) E)

1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm

8 cm 9 cm 10 cm 11 cm 12 cm

Quem comeu os biscoitos? A) B) C) D) E)

Ana Bruno Cecília Daniela Eduardo

9. Com os algarismos 1, 4, 6 e 8 pode-se formar vários números de três algarismos distintos. Qual é a soma de todos esses números? A) B) C) D) E)

12654 12740 13124 13210 13320

OBMEP 2011

NÍVEL 3

3

10. A figura representa uma pirâmide de base quadrada cujas arestas medem 1 m. Uma formiga e uma aranha estão nas posições indicadas, a 25 cm dos vértices A e B, respectivamente. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer para chegar até a formiga, andando somente sobre as faces triangulares da pirâmide?

13. Na figura, AEFD é um retângulo, ABCD é um

A)

2

A) 1 m

B)

3 2

B)

1+ 3 m 2

quadrado cujo lado mede 1 cm e os segmentos BF e DE são perpendiculares. Qual é a medida, em centímetros, do segmento AE?

C) 2

C)

3 m 2

D)

8 5

D)

5 m 3

E)

1+ 5 2

E)

4 m 5

14. Alberto, Bernardo e Carlos disputaram uma corrida, 11. Um grupo de crianças quer comprar pizzas com 12 na qual cada um deles correu com velocidade constante pedaços cada uma. Três pizzas não são suficientes para que cada menino coma 7 pedaços e cada menina coma 2 pedaços. Por outro lado, quatro pizzas são suficientes para que cada menino coma 8 pedaços, cada menina coma 4 pedaços e ainda sobrem pedaços. Quantas crianças há no grupo? A) B) C) D) E)

9 8 7 6 4

durante todo o percurso. Quando Alberto cruzou a linha de chegada, Bernardo e Carlos estavam 36 e 46 metros atrás dele, respectivamente. Quando Bernardo cruzou a linha de chegada, Carlos estava 16 metros atrás dele. Qual é o comprimento da pista? A) B) C) D) E)

96 m 100 m 120 m 136 m 144 m

15. Uma caixa contém 105 bolas pretas, 89 bolas cinzentas 12. Três amigas possuem, cada uma, três blusas: uma e 5 bolas brancas. Fora da caixa há bolas brancas em amarela, uma branca e uma preta. Se cada amiga escolher ao acaso uma de suas blusas, qual é a probabilidade de que as cores das blusas escolhidas sejam todas diferentes? A)

1 9

B)

1 8

C)

2 9

D)

3 8

E)

3 4

quantidade suficiente para efetuar repetidamente o seguinte procedimento, até que sobrem duas bolas na caixa:

• retiram-se, sem olhar, duas bolas da caixa; • se as bolas retiradas forem de cores diferentes, a de cor mais escura é devolvida para a caixa; • caso contrário, descartam-se as bolas retiradas e coloca-se na caixa uma bola branca. Sobre as cores das duas bolas que sobram, pode-se garantir que A) B) C) D) E)

as duas serão brancas. as duas serão cinzentas. as duas serão pretas. exatamente uma será preta. exatamente uma será cinzenta.

4

NÍVEL 3

OBMEP 2011

16. A figura mostra um retângulo de área 42 cm2 com os 19. Escreva os algarismos de 0 até 9 em uma linha, pontos médios dos lados em destaque. Qual é a área, em cm2, da região cinza? A) B) C) D) E)

8 10 12 14 16

na ordem que você escolher. Na linha de baixo junte os vizinhos, formando nove números novos, e some esses números como no exemplo: 2

1 21

3 13

7 37

4 74

9 49

5 95

8 58

0 80

6 06

21 " 13 " 37 " 74 " 49 " 95 " 58 " 80 " 6 ! 433

Qual é a maior soma que é possível obter desse modo? A) B) C) D) E)

506 494 469 447 432

17. Dois carros saíram juntos de Quixajuba pela estrada em direção a Paraqui. A velocidade do primeiro carro era 50 km/h e a do segundo carro era 40 km/h. Depois de 30 minutos um terceiro carro saiu de Quixajuba pela mesma estrada, também com velocidade constante, e alcançou o primeiro carro uma hora e meia depois de ultraar o segundo. Qual era a velocidade do terceiro carro? A) B) C) D) E)

30 km/h 45 km/h 60 km/h 70 km/h 75 km/h

20. Uma aranha encontra-se no ponto A de sua teia e quer chegar ao ponto B sem ar mais de uma vez por um mesmo segmento da teia. Além disso, ao percorrer um segmento radial (em traço mais fino), ela deve seguir o sentido indicado pela flecha. Quantos são os caminhos possíveis? A)

23 × 5

B)

113 ! 5 2

C)

53

3 18. Na divisão indicada na figura, os asteriscos representam D) 11

algarismos, iguais ou não. Qual é o algarismo representado pelo asterisco apontado pela flecha?

2 × 53

8 7 6 3 0


A) B) C) D) E)

E)

Nível


3

Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________ INSTRUÇÕES 1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, endereço eletrônico, data de nascimento, ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo. 2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos. 3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta. 4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo correspondente a lápis ou a caneta esferográfica azul ou preta (é preferível a caneta). 5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta. 6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta. 7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho. 8. Ao final da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta. É com grande satisfação que preparamos essa nova edição da OBMEP e que podemos contar com a sua participação, de seus professores e de sua escola. Desejamos que você se divirta buscando as soluções das questões dessa prova e que ela sirva de estímulo para que você goste cada vez mais de Matemática.

SBM 1. Um quadrado de lado 1 cm roda em torno de um 2. Renata montou uma sequência de triângulos com quadrado de lado 2 cm, como na figura, partindo da posição inicial e completando um giro cada vez que um de seus lados fica apoiado em um lado do quadrado maior.

palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Um desses triângulos foi construído com 135 palitos de fósforo. Quantos palitos tem um lado desse triângulo? A) B) C) D) E)

posição inicial

posição após o 1º giro

posição após o 2º giro

Qual das figuras a seguir representa a posição dos dois quadrados após o 2012º giro? A)

B)

C)

6 7 8 9 10

3. Júlio escreveu todos os números de 1 a 1000. Depois ele apagou o número 3 e, em ordem crescente, prosseguiu apagando os números que eram soma de dois números não apagados. Quantos números restaram quando Júlio terminou a tarefa?

1 2 3 4 5 6 7 8 ... D)

E)

A) B) C) D) E)

333 335 337 340 345

2

NÍVEL 3

OBMEP 2012

4. Cinco cartas, inicialmente

6. Dois pontos na superfície de um cubo são opostos se

dispostas como na figura, serão embaralhadas. Em cada embaralhamento, a primeira carta a a ser a segunda, a segunda a a ser a quarta, a terceira a a ser a primeira, a quarta a a ser a quinta e a quinta a a ser a terceira. Qual será a primeira carta após 2012 embaralhamentos?

o segmento de reta que os liga a pelo centro do cubo. Na figura vemos uma planificação de um cubo, na qual as faces destacadas em cinzento foram divididas em nove quadradinhos iguais. Quando o cubo for montado, qual será o ponto oposto ao ponto P?

B)

A)

D)

A) B) C) D) E)

C)

7. Quantas vezes 172 deve aparecer dentro do radicando na igualdade 172 + 172 + ... + 172 = 172 + 172 + 172 para que ela seja verdadeira?

E)

distância (km)

5. Dois carros A e B

B)

100

100

50

50 4

5

1

h

D)

100

100

50

50 1

2

3

4

5

h

1

2

3

4

5

h

100 50

A) B) C) D) E)

9 51 289 861 2601

8. A figura mostra um retângulo ABCD decomposto em dois quadrados e um retângulo menor BCFE. Quando BCFE é semelhante a ABCD, dizemos que ABCD é um retângulo AB é chamada razão de prata. Qual é AD D F C o valor da razão de prata? de prata e a razão

2

3

4

5

h

km

3

km

E)

2

km

1

C)

km

km

partem de Quixajuba, ao mesmo tempo, B 150 pela estrada que vai para Pirajuba. No 100 gráfico ao lado, a linha contínua e a linha 50 A pontilhada representam, respectivamente, a 1 2 3 4 5 tempo (h) distância de A e B a Quixajuba, ao longo da estrada, em função do tempo. Qual dos gráficos abaixo representa a distância entre os dois carros, ao longo da estrada, em função do tempo? A)

A B C D E

A) 1 B)

2

C) 1 + 2

1

2

3

4

5

h

D)

3

E)

1+ 3

A

E

B

OBMEP 2012

3

NÍVEL 3

9. No quadriculado 5 × 5 ao lado colocam-se os números 12. A figura mostra um trapézio ABCD de bases AB e CD; de 1 a 25, um em cada casa, de modo que a soma dos números que aparecem em cada linha, coluna e diagonal é a mesma. Sabe-se que a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas é 104. Qual é o número que aparece na casa central? A) B) C) D) E)

13 14 15 16 17

o ponto E é o ponto de encontro de suas diagonais. Os triângulos ABE e CDE têm áreas a e b, respectivamente. Qual é a área do trapézio? D

(

a+ b

A)

2

B)

3 (a + b) 2

C)

(

? D) E)

a+ b

2 (a + b )

)

)

2

C

E

A

B

2

ab

10. Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1 e os arcos 13. Para fazer várias blusas iguais, uma costureira (

(

BD e AC têm centros A e B, respectivamente. Os círculos tangenciam esses arcos e um lado do quadrado, como indicado. Qual é a razão entre os raios do círculo maior e do círculo menor? D C A) B) C) D) E)

4,5 5 5,5 6 6,5

A

gastou R$ 2,99 para comprar botões de 4 centavos e laços de 7 centavos. Ela usou todos os botões e laços que comprou. Quantas blusas ela fez? A) B) C) D) E)

2 5 10 13 23

B

14. Na figura, os segmentos AC, CE e EB têm o mesmo 11. Dois trens viajam com velocidades constantes. Em comparação com o trem mais rápido, o trem mais lento demora 5 minutos a mais para percorrer 6 km e, num intervalo de 20 minutos, percorre 4 km a menos. Qual é a velocidade, em quilômetros por hora, do trem mais rápido? A) B) C) D) E)

21 27 30 33 36

^ ^ comprimento, os ângulos ACE e BCD são retos e a área do triângulo CDE é 1. Qual é a área do triângulo ABC?

2 A) B) 2 C) 2 +1 D) 2 2 E) 3

C

A

D

E

B

4

NÍVEL 3

OBMEP 2012

15. Para a decoração da festa junina, Joana colocou em fila 25 bandeirinhas azuis, 14 brancas e 10 verdes, sem nunca deixar que duas bandeirinhas de mesma cor ficassem juntas. O que podemos concluir, com certeza, dessa informação?

18. Seis amigos, entre eles Alice e Bernardo, vão jantar em uma mesa triangular, cujos lados têm 2, 3 e 4 lugares, como na figura. De quantas maneiras esses amigos podem sentar-se à mesa de modo que Alice e Bernardo fiquem juntos e em um mesmo lado da mesa?

A) Nas extremidades da fila aparecem uma bandeirinha azul e uma branca. B) Há cinco bandeirinhas consecutivas nas quais não aparece a cor verde. C) Há pelo menos uma bandeirinha branca ao lado de uma verde. D) Pelo menos quatro bandeirinhas azuis têm uma branca de cada lado. E) Não existe um grupo de três bandeirinhas consecutivas de cores todas diferentes.

A) B) C) D) E)

16. Três casais fizeram compras em uma livraria. Vitor comprou 3 livros a mais do que Lorena e Pedro comprou 5 livros a mais do que Cláudia. Cada um dos homens comprou 4 livros a mais do que a respectiva esposa. Lorena e Cláudia compraram mais livros do que Bianca, que só comprou 3 livros. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? A) Vitor comprou mais livros do que Pedro. B) Pedro é marido de Cláudia. C) Pedro foi o marido que comprou o maior número de livros. D) Cláudia comprou um livro a mais do que Lorena. E) Vitor é marido de Bianca.

17. Na figura, as retas r e s são paralelas e a distância entre elas é 2 cm. A reta t forma um ângulo de 45° com a reta r. Os círculos com centro em A e C tangenciam a reta t nos pontos B e D, respectivamente, e tangenciam as retas r e s. Qual é a área, em centímetros quadrados, do quadrilátero ABCD?

19. André partiu de Pirajuba, foi até Quixajuba e voltou sem parar, com velocidade constante. Simultaneamente, e pela mesma estrada, Júlio partiu de Quixajuba, foi até Pirajuba e voltou, também sem parar e com velocidade constante. Eles se encontraram pela primeira vez a 70 km de Quixajuba e uma segunda vez a 40 km de Pirajuba, quando ambos voltavam para sua cidade de origem. Quantos quilômetros tem a estrada de Quixajuba a Pirajuba? A) B) C) D) E)

A)

1 4

B)

1 3

A

C) 1 + 2

C

D) 2 2 E) 3

B t

3 8 5 D) 12 C)

s

E)

1 2


A) 2 B) 2

120 145 150 170 180

20. Pedro vai participar de um programa de prêmios em que há uma urna contendo quatro bolas com valores diferentes e desconhecidos por ele, que serão sorteadas uma a uma até que ele decida ficar com uma delas. Ele observa o valor das duas primeiras bolas sorteadas e as descarta. Se o valor da terceira bola sorteada for maior que os das duas primeiras, ele ficará com ela e, caso contrário, ficará com a bola que restou. Qual é a probabilidade de Pedro ficar com a bola de maior valor?

r

D

288 6720 10080 15120 60480

Nível


3

Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________ INSTRUÇÕES 1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, F, endereço eletrônico, data de nascimento, ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo. 2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos. 3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta. 4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo correspondente a lápis ou a caneta esferográfica azul ou preta (é preferível a caneta). 5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta. 6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta. 7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho. 8. Ao final da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta. Visite nossas páginas na Internet:

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1. O pai de Carolina mediu o comprimento da mesa da 3. O gráfico mostra o número de casos notificados de sala com sua mão e contou 8 palmos. Ela também mediu a mesa do mesmo modo e contou 11 palmos. Qual é o tamanho do palmo de Carolina, se o palmo de seu pai mede 22 centímetros? A) B) C) D) E)

12 cm 13 cm 14 cm 16 cm 19 cm

2. Quantos sinais de adição foram utilizados na expressão 2 + 0 + 1+ 3 + 2 + 0 + 1+ 3 + 2 + 0 + 1+ 3 +

A) B) C) D) E)

dengue, a precipitação de chuva e a temperatura média, por semestre, dos anos de 2007 a 2010 em uma cidade brasileira. Podemos afirmar que:

503 1342 2012 2013 2016

+ 2 + 0 + 1 = 2013 ?

A) O período de maior precipitação foi o de maior temperatura média e com o maior número de casos de dengue notificados. B) O período com menor número de casos de dengue notificados também foi o de maior temperatura média. C) O período de maior temperatura média foi também o de maior precipitação. D) O período de maior precipitação não foi o de maior temperatura média e teve o maior número de casos de dengue notificados. E) Quanto maior a precipitação em um período, maior o número de casos de dengue notificados.

2

NÍVEL 3

OBMEP 2013

4. Elisa empilha seis dados em uma mesa, como na 7. Gabriel ou com seu triciclo ilustração, e depois anota a soma dos números de todas as faces que ela consegue ver quando dá uma volta ao redor da mesa. As faces de cada dado são numeradas de 1 a 6 e a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. Qual é a maior soma que Elisa pode obter? A) B) C) D) E)

89 95 97 100 108

sobre uma faixa de tinta fresca pintada no chão. O diâmetro da roda dianteira do triciclo é 50 cm e o das rodas traseiras é 20 cm. Qual das alternativas a seguir melhor representa as marcas deixadas no chão após a agem do triciclo? A)

B)

C)

D)

5. Dois quadrados de papel se sobrepõem como na figura. E) A área não sobreposta do quadrado menor corresponde a 52% da área desse quadrado e a área não sobreposta do quadrado maior corresponde a 73% da área desse quadrado. Qual é a razão entre os lados do quadrado menor e do quadrado maior? A)

3 4

B)

5 8

C)

2 3

D)

4 7

E)

4 5

6. A figura mostra quatro circunferências, todas de comprimento 1 e tangentes nos pontos indicados. Qual é a soma dos comprimentos dos arcos destacados em vermelho? A)

3 2

B) 2 C)

9 4

D)

8 3

E) 3

8. Marcos fez cinco provas de Matemática. Suas notas, em ordem crescente, foram 75, 80, 84, 86 e 95. Ao digitar as notas de Marcos na ordem em que as provas foram realizadas, o professor notou que as médias das duas primeiras provas, das três primeiras, das quatro primeiras e das cinco provas eram números inteiros. Qual foi a nota que Marcos tirou na última prova? A) B) C) D) E)

75 80 84 86 95

9. Iara gastou R$10,00 para comprar açúcar e chocolate. A relação entre as quantidades desses ingredientes que podem ser compradas com essa quantia é dada pelo gráfico. Qual das seguintes afirmativas é verdadeira, independentemente das quantidades compradas? A) Iara comprou mais açúcar do que chocolate. B) Iara comprou quantidades diferentes de açúcar e chocolate. C) Iara gastou mais em chocolate do que em açúcar. D) O preço de um quilo de chocolate é maior que o preço de um quilo de açúcar. E) Iara comprou duas vezes mais chocolate do que de açúcar.

OBMEP 2013

NÍVEL 3

10. Uma escada com 2,9 metros de comprimento e uma articulação central C possui a extremidade B fixa no chão e a extremidade A móvel, conforme a figura. A escada, inicialmente estendida no chão, foi dobrada de tal forma que a extremidade A deslizou 2 centímetros. A quantos centímetros do chão ficou a articulação C? A) B) C) D) E)

2 4 8 11 17

11. Ana quer fazer duas aulas de natação por semana, uma de manhã e a outra à tarde. A escola de natação tem aulas de segunda a sábado às 9h, 10h e 11h e de segunda a sexta às 17h e 18h. De quantas maneiras distintas Ana pode escolher o seu horário semanal, de modo que ela não tenha suas aulas no mesmo dia nem em dias consecutivos? A) B) C) D) E)

96 102 126 144 180

12. Duas formiguinhas partiram ao mesmo tempo e em direções diferentes de um mesmo vértice de um triângulo equilátero de lado 2 cm. Elas andaram sobre os lados do triângulo à velocidade de 1 cm/s, até retornar ao vértice inicial. Qual dos gráficos abaixo descreve a distância d entre as duas formiguinhas em função do tempo? A)

C)

E)

B)

D)

3

13. Durante a aula, dois celulares tocaram ao mesmo tempo. A professora logo perguntou aos alunos: “De quem são os celulares que tocaram?” Guto disse: “O meu não tocou”, Carlos disse: “O meu tocou” e Bernardo disse: “O de Guto não tocou”. Sabe-se que um dos meninos disse a verdade e os outros dois mentiram. Qual das seguintes afirmativas é verdadeira? A) B) C) D) E)

O celular de Carlos tocou e o de Guto não tocou. Bernardo mentiu. Os celulares de Guto e Carlos não tocaram. Carlos mentiu. Guto falou a verdade.

14. Um dado foi construído usando a planificação da figura. Qual é a probabilidade de obtermos dois resultados diferentes quando jogamos esse dado duas vezes? A)

1 2

B)

11 18

C)

2 3

D)

5 6

E)

31 36

15. Em um mesmo dia, Cláudia partiu de Quixajuba para Pirajuba, enquanto Adílson partiu de Pirajuba para Quixajuba. O gráfico mostra a distância de cada um deles ao respectivo ponto de partida durante todo o trajeto, em função do tempo. A que horas eles se encontraram na estrada? A) B) C) D) E)

8h45min 10h15min 10h30min 11h00min 11h45min

4

NÍVEL 3

OBMEP 2013

16. Na figura, as retas DE e DF são paralelas, 19. Duas circunferências são tangentes internamente, respectivamente, aos lados AC e BC do triângulo ABC. Os triângulos ADF e DBE têm áreas 16 e 9, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero CFDE? A) B) C) D) E)

18 21 24 25 27

como na figura. Os segmentos AB e CD são perpendiculares e o ponto O é o centro da circunferência maior. Os segmentos AP e CQ medem, respectivamente, 4 e 3 centímetros. Qual é a medida do raio do círculo menor? A) B) C) D) E)

2,25 cm 2,5 cm 2,75 cm 3 cm 3,5 cm

17. Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. De quantas maneiras ele pode pintar as regiões da bandeira da figura, cada uma com uma única cor, de modo que cada cor apareça pelo menos uma vez e que regiões adjacentes sejam pintadas com cores diferentes? A) B) C) D) E)

20. Adão gosta de construir sequências de quadriculados 3x3, de acordo com as seguintes regras: • o primeiro quadriculado tem todos seus quadradinhos pintados de cinza; • para ar ao quadriculado 3x3 seguinte, escolhese um quadriculado 2x2 e, neste quadriculado, os quadradinhos cinza am a ser azuis, os azuis am a ser amarelos e os amarelos am a ser cinza.

336 420 576 864 972

Veja um exemplo de uma das sequências do Adão, na qual os quadriculados 2x2 escolhidos aparecem em destaque.

A) B) C) D) E)

3150 3180 3240 3300 3350

Um dia, ao construir uma sequência, Adão foi interrompido e o quadriculado que ele estava pintando ficou incompleto, conforme a figura. Os pontos de interrogação indicam os quadradinhos que Adão não teve tempo de pintar. Qual das alternativas abaixo representa o preenchimento correto desse quadriculado?

A)

B)

D)

E)

C)


18. O número de alunos matriculados na Escola Municipal de Pirajuba permanece o mesmo desde 2011. Em 2012, foram construídas 5 novas salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 6 alunos em relação à média de 2011. Em 2013, foram construídas mais 5 salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 5 alunos em relação à média de 2012. Quantos alunos tem a Escola Municipal de Pirajuba?

Nível

Ensino Médio 1ª FASE – 27 de maio de 2014

3

Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________ INSTRUÇÕES 1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, F, endereço eletrônico, data de nascimento, ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo. 2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos. 3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta. 4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo correspondente a lápis ou a caneta esferográfica azul ou preta (é preferível a caneta). 5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta. 6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta. 7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho. 8. Ao final da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta. Visite nossas páginas na Internet:

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1. Após lançar 2014 vezes uma moeda, Antônio contou 3. Cinco meninas não estão totalmente de acordo sobre a 997 caras. Continuando a lançar a moeda, quantas caras seguidas ele deverá obter para que o número de caras fique igual à metade do número total de lançamentos? A) B) C) D) E)

• Andrea diz que será em agosto, dia 16, segundafeira; • Daniela diz que será em agosto, dia 16, terça-feira; • Fernanda diz que será em setembro, dia 17, terçafeira; • Patrícia diz que será em agosto, dia 17, segundafeira; • Tatiane diz que será em setembro, dia 17, segundafeira.

10 15 20 30 40

2. Dois números x e y estão localizados na reta numérica como abaixo. x !1

0

y 1

Onde está localizado o produto xy? A) B) C) D) E)

data da prova de Matemática.

À esquerda de 0. Entre 0 e x. Entre x e y. Entre y e 1. À direita de 1.

2

Somente uma está certa, e as outras acertaram pelo menos uma das informações: o mês, o dia do mês ou o dia da semana. Quem está certa? A) B) C) D) E)

Andrea Daniela Fernanda Patrícia Tatiane

2

NÍVEL 3

OBMEP 2014

4. Guilherme precisa chegar em 5 minutos ao aeroporto, 7. Um retângulo ABCD de papel branco, com área de 20 cm2, que fica a 5 km de sua casa. Se nos 2 primeiros minutos seu carro andar a uma velocidade média de 90 km/h, qual é a menor velocidade média que ele terá que desenvolver nos próximos 3 minutos para não chegar atrasado ao aeroporto?

é dobrado como mostra a figura, formando o pentágono BCD’EF com área de 14 cm2. Se pintarmos de azul os dois lados do papel dobrado e desfizermos a dobra, o retângulo ficará com uma região não pintada. Qual é a área dessa região? D’ D’

A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

35 km/h 40 km/h 45 km/h 50 km/h 60 km/h

5. Na figura ao lado, ABCD e EFGC são quadrados de áreas R e S, respectivamente. Qual é a área da região cinza? B A R +S F E A) 2 R −S B) 2 RS 2

D)

RS

E)

R2 + S2

D

6. Todos os números de 1 a 24 devem ser escritos nas faces de um cubo, obedecendo-se às seguintes regras: • em cada face devem ser escritos quatro números consecutivos; • em cada par de faces opostas, a soma do maior número de uma com o menor número da outra deve ser igual a 25. Se os números 7 e 23 estiverem escritos no cubo como na figura, qual é o menor número que pode ser escrito na face destacada em cinza? A) B) C) D) E)

1 5 9 11 17

C

D

A

B

A

E

C

E

C

B

F

F

B

8. Começando com um quadrado de 1 cm de lado, formamos uma sequência de figuras, como na ilustração. Cada figura, a partir da segunda, é formada unindo-se três cópias da anterior. Os contornos destacados em vermelho das quatro primeiras figuras medem, respectivamente, 4 cm, 8 cm, 20 cm e 56 cm. Quanto mede o contorno da Figura 6? A) B) C) D) E)

88 cm 164 cm 172 cm 488 cm 492 cm

G

C

D

Figura 1 Figura 2

...

Figura 4

Figura 3

9. O professor Michel aplicou duas provas a seus alunos e divulgou as notas por meio do gráfico mostrado abaixo. Por exemplo, o aluno A obteve notas 9 e 8 nas provas 1 e 2, 10 respectivamente; já o aluno B A obteve notas 3 e 2. Para um aluno ser aprovado, a média 5 aritmética de suas notas deve ser igual a 6 ou maior do que 6. B Qual dos gráficos representa a região correspondente às notas 5 0 10 de aprovação? Prova 1 Prova 2

C)

10 cm2 12 cm2 14 cm2 16 cm2 18 cm2

A)

B)

10

5

10

C) 10

5

5

7 0

23

D)

5

E)

10

5

10

5

10

10

5

5

0

0

10

5

10

0

0

5

10

OBMEP 2014

NÍVEL 3

10. Gustavo possui certa quantidade de moedas de 1, 10, 25 e 50 centavos, tendo pelo menos uma de cada valor. É impossível combiná-las de modo a obter exatamente 1 real. Qual é o maior valor total possível para suas moedas? A) B) C) D) E)

86 centavos 1 real e 14 centavos 1 real e 19 centavos 1 real e 24 centavos 1 real e 79 centavos

A) B) C) D) E)

18 20 21 22 24

13. Em uma orquestra de cordas, sopro e percussão, 23 pessoas tocam instrumentos de corda, 18 tocam instrumentos de sopro e 12 tocam instrumentos de percussão. Nenhum de seus componentes toca os três tipos de instrumentos, mas 10 tocam instrumentos de corda e sopro, 6 tocam instrumentos de corda e percussão e alguns tocam instrumentos de sopro e percussão. No mínimo, quantos componentes há nessa orquestra? A) B) C) D) E)

11. Quatro circunferências de mesmo raio estão dispostas como na figura, determinando doze pequenos arcos, todos de comprimento 3. Qual é o comprimento de cada uma dessas circunferências?

3

3

31 33 43 47 53

14. Na cidade de Isabel e Talia, o preço de uma corrida de táxi, registrado no taxímetro, é calculado multiplicandose um certo valor pelo número de quilômetros percorridos, acrescentando-se R$ 4,00 a esse total. O taxímetro sempre inicia a corrida marcando esses R$ 4,00. Elas pegaram um mesmo táxi e combinaram dividir o valor total da corrida de forma proporcional à distância que cada uma percorreria. Quando o taxímetro marcava R$ 28,00, Isabel desceu sem pagar nada. O táxi prosseguiu com Talia, que pagou no final o valor de R$ 44,00 registrado no taxímetro, correspondente a todo o percurso. Quanto Talia deve receber de Isabel? A) B) C) D) E)

R$ 4,00 R$ 9,00 R$ 13,50 R$ 14,00 R$ 16,50

12. O símbolo n! é usado para representar o produto dos

números naturais de 1 a n, isto é, n ! = n ⋅ (n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⋅ 1 . Por exemplo, 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 . Se n ! = 215 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 11⋅ 13 , qual é o valor de n? A) B) C) D) E)

13 14 15 16 18

15. Quantos números inteiros e positivos de cinco algarismos têm a propriedade de que o produto de seus algarismos é 1000? A) B) C) D) E)

10 20 25 30 40

4

NÍVEL 3

OBMEP 2014

16. O paralelogramo ABCD tem área 24 cm2 e os 19. Dois dados têm suas faces pintadas de vermelho ou pontos E e F são os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero EFGH? A) B) C) D) E)

4 cm2 5 cm2 6 cm2 7 cm2 8 cm2

A

D H

A) B) C) D) E)

E G

B

azul. Ao jogá-los, a probabilidade de observarmos duas faces superiores de mesma cor é 11/18. Se um deles tem cinco faces vermelhas e uma azul, quantas faces vermelhas tem o outro? 1 2 3 4 5

C

F

17. Mônica tem três dados nos quais a soma dos números em faces opostas é sempre 7. Ela enfileira os dados de modo que as faces em contato tenham o mesmo número, obtendo um número de três algarismos nas faces superiores. Por exemplo, o número 436 pode ser obtido como mostrado na figura; já o número 635 não pode ser obtido. Quantos números diferentes ela pode obter? A) B) C) D) E)

72 96 168 192 216

18. Um triângulo equilátero ABC gira uma vez em torno do vértice C e outra vez em torno do vértice B, sempre se apoiando em uma reta, como na figura ao lado. Qual das alternativas representa a trajetória descrita pelo ponto A?

20. Rodrigo brinca com uma fita de dois metros, com marcas de centímetro em centímetro. Começando pela ponta de marca 0 cm, ele dobra a fita várias vezes em zigue-zague, como na figura, sobrepondo pedaços de fita de mesmo tamanho até dobrar um último pedaço, que pode ser menor do que os demais. Ele observa que as marcas de 49 cm e de 71 cm ficaram sobrepostas em pedaços vizinhos. Ele observa também que a marca de 139 cm ficou alinhada com elas. Com qual marca do penúltimo pedaço a ponta final da fita ficou sobreposta?

B

A

C B

A) B) C) D) E)

A C A

A) C

160 cm 176 cm 184 cm 190 cm 196 cm

B

B)

A C

C)

B C

B

A

E) A lista de classificados para a 2ª Fase será divulgada a partir de 13 de agosto. A prova da 2ª Fase será realizada no dia 13 de setembro. Fique atento!


D)

Nível

Ensino Médio 1a FASE – 2 de junho de 2015

3

Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________ INSTRUÇÕES 1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, F, endereço eletrônico, data de nascimento, ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo. 2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos. 3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: A), B), C), D) e E) e apenas uma delas é correta. 4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo correspondente, a lápis ou a caneta esferográfica azul ou preta (é preferível a caneta). 5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta. 6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta. 7. Não é permitido o uso de celulares, tablets ou quaisquer outros equipamentos eletrônicos. 8. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho. 9. Ao final da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta. Visite nossas páginas na Internet:

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1. Para assar um frango são necessários 15 minutos para 3. Os números inteiros positivos foram escritos em aquecer o forno e mais 12 minutos para assar cada meio quilo de frango. Paula comprou um frango de 2,5 kg. A que horas ela deve ligar o forno para que o frango fique pronto às 20 horas?

sequência, como indicado na figura. Observe que na primeira linha foi escrito o número 1 e que nas seguintes há dois números a mais do que na linha anterior. Em qual linha foi escrito o número 2015?

A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

18h 18h15min 18h30min 18h45min 19h

2. Na reta abaixo, a distância entre dois pontos consecutivos é sempre a mesma. Qual é o valor dessa distância?

43 44 45 46 47

linha 1 linha 2 linha 3 linha 4 linha 5

1 2 5 10 17 .. .

3 6 11 18

4 7 8 9 12 13 14 15 16 19 20 21 22 23 24 25

4. O retângulo da figura possui área igual a 640 cm2. Os pontos B e F são pontos médios dos lados AC e AE, respectivamente. Qual é a área do triângulo BDF?

x

A)

3 4

B)

x

1 4

2

3x

C)

2 3

D)

2 5

E)

1

A) B) C) D) E)

100 cm² 120 cm² 160 cm² 220 cm² 240 cm²

A

B

C

F

E

D

2

NÍVEL 3

5. Em uma Olimpíada de Matemática, foram distribuídas várias medalhas de ouro, várias de prata e várias de bronze. Cada participante premiado pôde receber uma única medalha. Aldo, Beto, Carlos, Diogo e Elvis participaram dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. De quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premiação? A) B) C) D) E)

20 30 60 90 120

6. Joãozinho tem um tabuleiro como o da figura, no qual há uma casa vazia, uma casa com uma peça preta e as demais casas com peças cinzentas. Em cada movimento, somente as peças que estão acima, abaixo, à direita ou à esquerda da casa vazia podem se movimentar, com uma delas ocupando a casa vazia. Qual é o número mínimo de movimentos necessários para Joãozinho levar a peça preta até a casa do canto superior esquerdo, indicada pelas setas? A) B) C) D) E)

13 21 24 36 39

OBMEP 2015

8. Marcelo gasta 24 minutos para ir andando de casa até o ponto de ônibus, ou 12 minutos, se for correndo. Ele sai de casa andando, às 15 horas, para pegar um ônibus às 15h30min. No caminho, percebe que esqueceu a carteira e volta para casa correndo. Ele perde 3 minutos para encontrar a carteira e retorna correndo para o ponto de ônibus, chegando exatamente às 15h30min. A que horas Marcelo percebeu que estava sem a carteira? A) B) C) D) E)

15h08min 15h10min 15h12min 15h15min 15h18min

9. Júlia dobrou várias vezes uma tira retangular de papel com 3 cm de largura, como na figura. Todas as dobras formam um ângulo de 45º com os lados da tira. Qual é o comprimento dessa tira? 3 cm A) 21 cm B) C) D) E)

27 cm 30 cm 33 cm 36 cm 4 cm 5 cm

10. Maria desenhou duas circunferências e duas retas, 7. A soma de dois números é 3 e a soma de seus cubos é 25. Qual é a soma de seus quadrados? A) B)

77 9 99 7

C)

7

D)

9

E)

7 9

determinando 11 pontos de intersecção, como mostra a figura. Se ela desenhar mais três retas distintas entre si e também das demais, qual será, no total, o maior número possível de pontos de intersecção? A) B) C) D) E)

17 24 32 40 54

OBMEP 2015

11. Uma sequência de números é definida por a1 = 3 e an +1 = an + a

2 n

para todo número natural n ≥ 1 . Por exemplo: a2 = a1 + a12 = 3 + 32 = 12 . Qual é o algarismo das unidades de a2015 ? A) B) C) D) E)

3

NÍVEL 3

13. Um quadrado ABCD tem área 1. Um ponto P deslocase ao longo da semirreta AB, partindo do ponto A para a direita, conforme mostra a figura. Se S é a área da região compreendida entre os quadrados ABCD e APQR, destacada em cinza, qual é o gráfico que melhor representa a variação de S em função de x?

Q

R

2 6 7 8 9

D

C

D

R

Q

A

P B

A

C

x

12. Na figura, o círculo das centenas está dividido em três setores, um semicircular e outros dois de mesma área. Cada um dos outros dois círculos está dividido em setores de mesma área. As setas nesses círculos, quando giradas, param ao acaso em algum setor, determinando um número de três algarismos. Por exemplo, na figura elas determinaram o número 331.

P

B x

A) S

B) S

C) S

1

1

1

x

x

1

1

D) S

E) S

1

1

x 1

x

x

1

1

14. Abaixo temos três figuras pentagonais: a primeira Qual é a probabilidade de que o número determinado pelas setas, após serem giradas, seja maior do que 260?

com 5 pontos, a segunda com 12 pontos e a terceira com 22 pontos. Continuando esse processo de construção, a vigésima figura pentagonal terá 651 pontos. Quantos pontos terá a vigésima primeira figura?

A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

45% 55% 60% 65% 70%

656 695 715 756 769 5

12

22

4

NÍVEL 3

OBMEP 2015

15. Daniel e mais quatro amigos, todos nascidos em estados diferentes, reuniram-se em torno de uma mesa redonda. O paranaense sentou-se tendo como vizinhos o goiano e o mineiro. Edson sentou-se tendo como vizinhos Carlos e o sergipano. O goiano sentou-se tendo como vizinhos Edson e Adão. Bruno sentou-se tendo como vizinhos o tocantinense e o mineiro. Quem é o mineiro?

18. Três amigas foram a uma livraria com seus namorados.

A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

Adão Bruno Carlos Daniel Edson

16. João colocou 100 moedas iguais em um pote e pediu a seus filhos, de idades distintas, que cada um deles colocasse no pote uma moeda para cada irmão mais velho e retirasse do pote duas moedas para cada irmão mais novo. Quando todos os filhos terminaram de fazer isso, restaram no pote 22 moedas. Quantos são os filhos de João? A) B) C) D) E)

5 7 10 13 15

Coincidentemente, cada pessoa pagou, por livro, um preço em reais igual à quantidade de livros que comprou. Além disso, cada mulher gastou 32 reais a mais que seu respectivo namorado. Ao final das compras, as mulheres compraram, ao todo, oito livros a mais que os homens. Quantos livros foram comprados no total? 32 36 40 44 48

19. Dado o conjunto A = {1, 2, 3, ..., 2015}, forma-se um subconjunto B, com a maior quantidade possível de elementos, tal que todo elemento de B é múltiplo ou divisor de qualquer outro elemento de B. Quantos elementos há no conjunto B? A) B) C) D) E)

9 10 11 12 13

20. Uma lata cilíndrica, fechada embaixo e aberta na 17. Na figura, ABCD é um trapézio inscrito numa parte de cima, tem altura de 17 cm e sua borda é uma

B)

25 3

C)

35 3

D)

40 3

E)

50 3

A

B

circunferência de comprimento 30 cm. Na superfície interna da lata, a 4 cm da borda superior, há uma mosca parada (ponto M). Na superfície externa da lata, a 1 cm da base e no mesmo plano que a pela mosca e que divide a lata em duas partes iguais, encontra-se uma aranha (ponto A), como na figura. A aranha anda pela superfície da lata até chegar à mosca, fazendo o caminho mais curto entre elas. Quantos centímetros a aranha anda pela superfície interna da lata? A) B) C) D) E)

1 2 3 4 5

A lista de classificados para a 2a Fase será divulgada a partir de 12 de agosto. A prova da 2a Fase será realizada no dia 12 de setembro. Fique atento!


circunferência. A base maior do trapézio mede 16 cm, a base menor 10 cm e a altura 9 cm. Qual é a medida, em centímetros, do raio da circunferência? D C 7 A) 3

Nível

Ensino Médio 1a FASE – 7 de junho de 2016

3


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1. A soma dos números das faces opostas de um dado é 3. Na figura, as áreas dos quadrados P e R são iguais sempre 7. O dado da figura é girado sucessivamente sobre o caminho indicado até parar na última posição, destacada em cinza. Nessa posição, qual é o número que está na face superior do dado? A) B) C) D) E)

1 2 3 4 5

a 24 cm2 e 168 cm2, respectivamente. Qual é a área do quadrado Q? A) B) C) D) E)

4.

2. Em uma fila com 30 pessoas estão Ana, Beatriz e Carla. Há 19 pessoas à frente de Ana e 12 pessoas entre Ana e Beatriz. Entre Beatriz e Carla há uma pessoa a mais do que entre Ana e Carla. Em que ordem elas estão na fila? A) B) C) D) E)

Ana está à frente de Carla, que está à frente de Beatriz. Beatriz está à frente de Ana, que está à frente de Carla. Beatriz está à frente de Carla, que está à frente de Ana. Carla está à frente de Ana, que está à frente de Beatriz. Carla está à frente de Beatriz, que está à frente de Ana.

96 cm2 100 cm2 121 cm2 144 cm2 156 cm2

R Q P

O gráfico representa o percentual de aumento do preço de dois produtos, A e B, em uma mercearia no primeiro e no segundo semestres do ano ado. As afirmativas abaixo referem-se ao período completo do ano ado. Qual delas é a correta?

7%

7% 6% 5%

A B

A B

1º semestre 2º semestre

A) O aumento percentual do preço de B foi maior do que o de A. B) O aumento percentual dos preços dos dois produtos foi o mesmo. C) O aumento percentual do preço de A foi de exatamente 13%. D) O preço de A diminuiu e o de B aumentou. E) O aumento percentual do preço de B foi maior do que 12%.

2

NÍVEL 3

OBMEP 2016

5. No refeitório da escola de Quixajuba, na hora do almoço, 8. Na figura, os pontos C e F pertencem aos lados BD e 130 alunos comeram carne e 150 comeram macarrão, sendo que 1/6 dos alunos comeram carne e também macarrão. Além disso, 70 alunos não comeram carne nem macarrão. Quantos alunos comeram carne mas não comeram macarrão? A) B) C) D) E)

80 90 100 120 130

AE do quadrilátero ABDE, respectivamente. Os ângulos B e E são retos e os segmentos AB, CD, DE e FA têm suas medidas indicadas na figura. Qual é a área do quadrilátero ACDF? E A) 16 7 B) 21 D C) 31 2 D) 33 E) 40 C F

6. A figura mostra os cartões com as respostas de Ana,

6

Beatriz e Cecília para uma prova de múltipla escolha, com cinco questões e alternativas A, B, C, D e E. Ana acertou quatro questões, Beatriz acertou uma e Cecília acertou três. Qual foi a questão que Ana errou? A) B) C) D) E)

1 2 3 4 5

B

A

10

9. Joãozinho distribuiu bolas em caixas numeradas de 1 a 2016. Ele fez isso de forma que o número total de bolas, em quaisquer cinco caixas consecutivas, fosse sempre o mesmo. Na figura abaixo estão indicadas as quantidades de bolas em algumas caixas; a figura também mostra que Joãozinho colocou 3 e 7 bolas em duas caixas vizinhas. Quantas bolas ele colocou na última caixa?

? 5 9 1 ? ... 3 7 ... ? bolas

bolas

bola

Caixa 1 Caixa 2 Caixa 3 Caixa 4 Caixa 5

A) B) C) D) E)

bolas

bolas Caixa 2016

1 3 5 7 9

7. Numa corrida de 2 000 metros, André, Bento e Carlos correram com velocidades constantes. André chegou em primeiro lugar, 200 metros à frente de Bento e 290 metros à frente de Carlos. Quando Bento cruzou a linha de chegada, quantos metros ele estava à frente de Carlos? A) B) C) D) E)

80 85 90 95 100

10. O quadrado da figura está inscrito no semicírculo e o círculo está inscrito no quadrado. O círculo tem área igual a 10 cm2. Qual é a área do semicírculo? A) B) C) D) E)

25 cm2 30 cm2 35 cm2 40 cm2 45 cm2

OBMEP 2016

11. Os quadrados da figura têm lados paralelos e o mesmo centro. O quadrado maior tem lado 10 e o menor tem lado x. Qual é o gráfico que expressa a área da região cinza em função de x?

14. Na figura, ABEF é um retângulo e BC = CD = DE. Qual é a razão entre as áreas do pentágono CDGHI e do retângulo ABEF? A F x

A)

2 15

B)

1 6

C)

1 8

D)

3 10

E)

1 12

10

A)

B)

x

C)

x

D)

x

E)

x

x

12. Dois triângulos retângulos, ambos com catetos de medidas a e b , com a rel="nofollow"> b , são sobrepostos como na figura. Qual é a área do quadrilátero sombreado? A)

a (a 2 + b 2 ) a+b

B)

b (a 2 + b 2 ) a+b

C)

b 2 (a − b ) a+b

D)

a2 b2 (a + b )2

E)

a b2 a+b

13. Uma função f é tal que f (1 − x ) + 2f ( x ) = 3 x , para todo x real. Qual é o valor de f (0) ? A) B) C) D) E)

–2 –1 0 1 2

3

NÍVEL 3

H G

I B

C

E

D

15. O retângulo ABCD foi dividido em nove retângulos menores, alguns deles com seus perímetros indicados na figura. O perímetro do retângulo ABCD é 54 cm. Qual é o perímetro do retângulo cinza? A) B) C) D) E)

15 cm 19 cm 20 cm 22 cm 24 cm

A

B 16 cm 18 cm

14 cm

26 cm

D

C

16. A professora decidiu premiar, por sorteio, dois dentre os 20 alunos da turma de João. Para o sorteio, 20 bolas com os números dos alunos foram colocadas em uma caixa. A primeira bola sorteada pela professora caiu no chão e se perdeu, sem que ninguém visse seu número. Ela decidiu fazer o sorteio com as bolas restantes. Qual é a probabilidade de que João tenha sido um dos dois alunos sorteados? A)

1 10

B)

2 19

C)

19 200

D)

39 380

E)

37 342

NÍVEL 3

17. Quantos são os números naturais n tais que é também um número natural? A) B) C) D) E)

5n − 12 n −8

4 5 6 7 8

24 36 48 60 72

19. Bruno tem 5 figurinhas idênticas com a bandeira da Alemanha, 6 com a bandeira do Brasil e 4 com a da Colômbia. Ele quer fazer um pacote com pelo menos 3 dessas figurinhas. De quantas maneiras ele pode fazer esse pacote? A) B) C) D) E)

18. O símbolo proposto para os Jogos Escolares de Quixajuba é formado por seis anéis entrelaçados como na figura. Cada um dos anéis deve ser pintado com uma das três cores da bandeira da cidade (azul, verde ou rosa), de modo que quaisquer dois anéis entrelaçados tenham cores diferentes. Quantas são as maneiras de pintar esse símbolo? A) B) C) D) E)

OBMEP 2016

110 120 200 201 210

20. João tem cinco saquinhos de balas. Escolhendo-se, de todos os modos possíveis, quatro desses saquinhos e contando o total de suas balas, obtêm-se apenas quatro resultados: 23, 24, 26 ou 29. Qual é o maior número de balas em um saquinho? A) B) C) D) E)

8 9 10 11 12

A lista de classificados para a 2a Fase será divulgada a partir de 10 de agosto. A prova da 2a Fase será realizada no dia 10 de setembro. Fique atento!


4

Nível

Ensino Médio 1.ª FASE – 6 de junho de 2017

3


1. Na figura abaixo, D, E e F são pontos médios dos lados do triângulo ABC, e G, H e I são pontos médios dos lados do triângulo FBE. A área do triângulo ABC é 48 cm2. Qual é a área da região destacada em amarelo? C A) 16 cm2 B) C) D) E)

18 cm2 20 cm2 22 cm2 24 cm2

I

G F

H

2. Se a − b = 1 e ab = 1, qual é o valor de a2 + b2 ? A) B) C) D) E)

1 2 3 4 5

3. Um ponto está a 1 cm de uma figura quando a menor distância desse ponto aos pontos da figura é 1 cm. Celinha traçou com uma caneta vermelha todos os pontos que estão a 1 cm de distância do círculo da Figura 1. A seguir, ela fez o mesmo para a região quadrada da Figura 2. Qual é o desenho que ela vai obter se traçar todos os pontos que estão a 1 cm de distância da região poligonal da Figura 3?

E

D

A


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Figura 1

B

Figura 2

A)

C)

Figura 3

B)

D)

E)

2

NÍVEL 3

OBMEP 2017

4. Zequinha tem três dados iguais, com letras O, P, Q, R, S 8. Na figura, o arco AC é um e T em suas faces. Ele juntou esses dados como na figura, de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. Qual é a letra na face oposta à que tem a letra T? A) B) C) D) E)

S R Q P O

P Q ST

5. Ana, Beatriz e Cristina treinam numa pista de corrida. Ana corre sempre com o dobro da velocidade de Beatriz e com o triplo da velocidade de Cristina. Um dia, Ana partiu do fim da pista, correndo em sentido contrário ao de suas amigas, no mesmo instante em que Beatriz e Cristina partiram do início da pista. Após o treino, Ana disse para suas amigas que tinha percorrido 20 metros desde o momento em que cruzou com Beatriz até o momento em que cruzou com Cristina. Quantos metros tem a pista? A) B) C) D) E)

200 metros 220 metros 240 metros 300 metros 360 metros

múltiplo de 11. Subtraindo 1 desse mesmo número, obtemos um múltiplo de 8. Qual é o resto da divisão do quadrado desse número por 88? 0 1 8 10 80

7. Se f ( x ) = 5 x + ax + b , com a ≠ b , f (a ) = b e f (b ) = a , qual é o valor de a + b ? 2

A)

−5

B)

−

1 5

C)

0

D)

1 5

E)

5

quarto de uma circunferência de centro D e o arco AB é um oitavo de uma circunferência de centro C. O segmento AD mede 2 cm. Qual é a área em cm2 da região verde? C A) 2 B) π C) 4 D) 2π E) 4π

A

D

9. A maior potência de 2 que divide o produto

1× 2 × × 2023 × 2024 é 22017. Qual é a maior potência de 2 que divide o produto 1× 2 × × 4047 × 4048 ?

6. Somando 1 a um certo número natural, obtemos um

A) B) C) D) E)

B

A) B) C) D) E)

22018 24034 24041 26051 28068

10. No interior do quadrado ABCD de lado 9 cm, foram traçadas as semicircunferências de centros E, F e G, tangentes como indicado na figura. Qual é a medida de AG? A)

11 cm 5

B)

18 cm 5

C)

19 cm 5

D)

11 cm 4

E)

27 cm 8

D

F

C

E G

A

B

OBMEP 2017

3

NÍVEL 3

11. Em uma competição,

14. Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas,

as partidas têm duração de 60 minutos, e cada time tem sempre 5 jogadores em campo. Em determinada partida, um time inscreveu 8 atletas e foram feitas várias substituições de modo que cada um deles jogou a mesma quantidade de tempo. Quanto tempo cada um deles jogou nessa partida?

10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que Joãozinho deve retirar da caixa?

A) B) C) D) E)

27 minutos e 30 segundos 30 minutos 37 minutos e 30 segundos 40 minutos 42 minutos e 30 segundos

A) B) C) D) E)

11 14 21 22 23

12. Por duas vezes Benício juntou, como na figura, três 15. Na figura abaixo, BHEG é um retângulo com BG > BH , dados com faces numeradas de 1 a 6, de tal modo que faces em contato tivessem o mesmo número. Em cada uma das vezes ele somou os números de todas as faces que não ficaram em contato entre si. A diferença entre as somas obtidas foi 16. Quais são os números das faces que nunca ficaram em contato entre si? A) B) C) D) E)

1e4 1e6 2e5 3e4 2e6

e A, C, D, F são pontos médios de seus respectivos lados. Um ponto P desloca-se ao longo da poligonal ABCDEF, partindo de A até o ponto F. H

D

E

P C

F

B

A

G

Qual é o gráfico que melhor representa a área R(x) do triângulo APF em função da distância x percorrida pelo ponto P ao longo dessa poligonal? B) R

A) R

ˆ medem 120°, o ˆ e BCD 13. Na figura, os ângulos ABC

ˆ é reto, e os segmentos BC e CD medem 4 cm ângulo BAD e 8 cm, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero D ABCD em cm2?

A)

14 3

B)

28 3

C)

32 3

D)

36 3

E)

40 3

D) R

C) R

x

x

8 cm

E) R

120°

C x

4 cm 120°

A

B

x

x

4

NÍVEL 3

16.

João tem 148 copos dispostos em fila, cada um contendo um grão de feijão. Em etapas, João reduz a quantidade de copos da fila da seguinte maneira: • se em uma etapa a quantidade de copos for par, ele coloca os feijões do último copo no primeiro, do penúltimo no segundo, do antepenúltimo no terceiro e assim por diante, descartando os copos vazios; • se em uma etapa a quantidade de copos for ímpar, ele coloca os feijões do último copo no segundo, do penúltimo no terceiro, do antepenúltimo no quarto e assim por diante, também descartando os copos vazios. Quando a fila se reduzir a dois copos, quantos feijões estarão no primeiro copo? 4 10 16 20 36

17. Ana e Beto foram os únicos candidatos na eleição para a presidência do grêmio estudantil da escola em que ambos estudam. Nessa eleição, votaram ao todo 1450 alunos. Durante a apuração, houve um momento em que Ana teve a certeza de que, ao final, ela teria pelo menos a metade dos votos válidos. Naquele momento, os percentuais eram os seguintes: • • •

votos não válidos: 20% dos votos apurados; votos em Ana: 60% dos votos válidos; votos em Beto: 40% dos votos válidos.

Quantos votos tinham sido apurados até aquele momento? A) B) C) D) E)

1110 1150 1200 1250 1300

19. Uma caixa contém nove bolas idênticas numeradas de 1 a 9. Uma primeira bola é sorteada, seu número é anotado e a bola é devolvida à caixa. Repete-se esse procedimento mais duas vezes, anotando-se também os números da segunda e terceira bolas sorteadas. Qual é a probabilidade de que a soma dos números nas duas primeiras bolas sorteadas não seja um múltiplo de 3 e a soma dos números nas três bolas sorteadas seja um múltiplo de 3? A)

2 9

B)

1 3

C)

2 3

D)

6 9

E)

7 9

20. Sérgio quer numerar de 1 a 16 os triângulos da Figura 1 de tal modo que números consecutivos fiquem em triângulos que têm um lado comum. Por exemplo, ele pode numerar os triângulos como na Figura 2. De quantas maneiras Sérgio pode fazer isso? A) B) C) D) E)

16 32 48 56 64

Figura 1 15

2 4

13

5

12

6

8

9

{a, b, c}

naturais é verdade que a × b × c = 2310 ? A) B) C) D) E)

de três números

11 10

7

18. Para quantos conjuntos

16

1 14

3

Figura 2

24 30 32 36 40

A lista de classificados para a 2.ª Fase será divulgada a partir de 11 de agosto. A prova da 2.ª Fase será realizada no dia 16 de setembro. Fique atento!


A) B) C) D) E)

OBMEP 2017

Solução da prova da 1a fase OBMEP 2010 − Nível 3

1

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA C Como ao multiplicar qualquer número por 0 o resultado é 0, não contribuindo assim para maximizar o resultado da expressão, devemos colocar sinais de adição dos dois lados do 0: 2

3

+

0

+

8

9

1

Entre multiplicar por 1 e somar 1, o maior resultado é obtido no segundo caso, logo devemos também colocar um sinal de adição antes do 1: 2

3

+

0

+

8

+

9

1

Finalmente, 2 × 3 é maior que 2 + 3 e 8 × 9 é maior que 8 + 9 , de modo que a expressão que fornece o maior valor é 2

×

3

+

0

+

8

×

9

+

1

cujo valor é 2 × 3 + 0 + 8 × 9 + 1 = 79 . QUESTÃO 2 ALTERNATIVA A 8 ; vemos então que devemos ter 4 − = 2. 8 1+ x 4− 1+ x 8 Reescrevendo essa última expressão como 2 = , segue que devemos ter 1 + x = 4 , ou seja, x = 3. 1+ x

Vamos reescrever

3−

6

8 4− 1+ x

= 0 como 3 =

6

3−

6

= 0 como 8 4− 1+ x Simplificando essa expressão obtemos 2( x − 1) = x + 1 , que nos dá x = 3 .

Podemos também reescrever a igualdade

3=

6(1 + x ) 6(1 + x ) = . 4(1 + x ) − 8 4( x − 1)

QUESTÃO 3 ALTERNATIVA C Ao acrescentar 6 bolas à caixa B, ela ficará com 20 bolas. O menor percentual possível de bolas pretas corresponde ao caso em que, entre as 6 bolas que vieram da caixa A, há o menor número possível de bolas pretas. Como há 4 bolas brancas na caixa A, a retirada de 6 bolas que tem o menor número de bolas pretas é 4 brancas e 2 pretas. Nesse caso a caixa B ficará com 12 bolas pretas e o percentual dessas bolas será 12 × 100 = 12 × 5 = 60% . 20 QUESTÃO 4 ALTERNATIVA B Na figura a seguir, itimos que a estrada de 350 km começa à esquerda e termina à direita; também não faz diferença supor que Quixajuba esteja à esquerda de Paraqui.

Vamos explicar como foi feita a figura. Notamos que Quixajuba não pode estar à esquerda do quilômetro 70, pois nesse caso ela estaria antes do início da estrada. Logo ela está à direita do quilômetro 70 e fica no quilômetro 70 + 92 = 162 da estrada. Do mesmo modo vemos que Paraqui está à esquerda do quilômetro 270 e fica no quilômetro 290 − 87 = 203 . Portanto, a distância entre as duas cidades é 203 − 162 = 41 quilômetros.


2

QUESTÃO 5 ALTERNATIVA E Vamos analisar cada uma das alternativas a partir da observação do gráfico. A) O mês mais chuvoso foi fevereiro e o mês mais quente foi março. Logo (A) é falsa. B) O mês menos chuvoso foi agosto e o mês mais foi frio setembro. Logo (B) é falsa. C) De outubro para novembro a precipitação aumentou e a temperatura caiu. Logo (C) é falsa. D) Os dois meses mais quentes foram janeiro e março e as maiores precipitações ocorreram em fevereiro e março. Logo (D) é falsa. E) Os dois meses mais frios e de menor precipitação foram agosto e setembro. Logo (E) é verdadeira. QUESTÃO 6 ALTERNATIVA A 1ª solução: Como Jeca e Tatu comeram juntos 33 bananas, concluímos que Saci e Pacu comeram juntos 52 − 33 = 19 bananas. Como Saci foi quem mais comeu e Pacu comeu pelo menos 1 banana, Saci comeu no máximo 19 − 1 = 18 bananas. Portanto, Jeca comeu no máximo 17 bananas e, como Jeca comeu mais que Tatu, concluímos que Tatu comeu no máximo 16 bananas. Como 33 = 17 + 16 , não é possível que Jeca tenha comido menos que 17 ou Tatu menos que 16 bananas. Vemos assim que Jeca comeu 17 bananas e Tatu comeu 16 bananas; além disso, Saci comeu 18 bananas e sobrou apenas 1 banana para o Pacu. 2ª solução: Vamos denotar por s, j, t e p o número de bananas comidas por Saci, Jeca, Tatu e Pacu, respectivamente. Os dados do problema podem ser escritos como 1. s + j + t + p = 52 (juntos eles comeram 52 bananas) 2. s, j , t , p ≥ 1 (ninguém ficou sem comer) 3. s > j , t , p (Saci comeu mais que todos os outros) 4. j + t = 33 (Jeca e Tatu comeram, juntos, 33 bananas) 5. j > t (Jeca comeu mais que Tatu) De (1) e (4) segue que s + p = 52 − ( j + t ) = 52 − 33 = 19 . Como p ≥ 1 temos s ≤ 18 e de (3) segue que 33 = 16,5 e segue que 2 j ≥ 17 . Temos então 17 ≤ j < 18 ; logo j = 17 e t = 16 , ou seja, Tatu comeu 16 bananas. j < 18 . Por outro lado, de (4) e (5) segue que 2 j = j + j > j + t = 33 ; logo j >

QUESTÃO 7 ALTERNATIVA E 5 + 49 + 16 + y 70 + y 3 + 24 + 23 + x 50 + x = e y= . Dessas equações = Temos x = 4 4 4 4 tiramos 4 x − y = 70 e 4 y − x = 50 . Subtraindo essas duas últimas equações obtemos 5 x − 5 y = 20 , donde x − y = 4 .

QUESTÃO 8 ALTERNATIVA C Seja h o horário do encontro. Se João sai às 8 horas, ele pedala durante h − 8 horas e se sai às 9 horas ele pedala h − 9 horas. Como a distância percorrida é a mesma nos dois casos e distância = velocidade × tempo , temos 10(h − 8) = 15(h − 9) , donde tiramos h = 11 .


3

QUESTÃO 9 ALTERNATIVA D Vamos analisar cada uma das alternativas a partir da observação do gráfico. A) Para fazer o percurso entre a Estação Beta e a estação Alfa o trem de ageiros leva 8 minutos, portanto (A) é falsa. B) O trem expresso não para entre as estações Alfa e Delta, logo (B) é falsa. C) O trem de carga faz o percurso entre as estações Alfa e Beta em 6 minutos, enquanto que o trem expresso o faz em 4 minutos; logo (C) é falsa. D) O trem expresso ultraa o trem de carga quando este último está parado na estação Gama, e portanto (D) é a verdadeira. E) O trem de ageiros permanece parado na estação Beta por 6 minutos, logo (E) é falsa. QUESTÃO 10 ALTERNATIVA E Na figura escrevemos, ao longo das semicircunferências, quantas vezes seu diâmetro é maior que o diâmetro da semicircunferência de área 1. Como a proporção entre as áreas de duas figuras planas semelhantes é igual ao quadrado da razão de proporcionalidade, segue que as áreas das semicircunferências rotuladas com 3, 5, 4 e 6 são, respectivamente, 9, 25, 16 e 36. Logo a região cinza tem área (25 − 9) + (36 − 16) = 16 + 20 = 36 .

QUESTÃO 11 ALTERNATIVA D Temos duas possibilidades para Adriano: ele é um tamanduá ou uma preguiça. Vamos primeiro supor que ele é um tamanduá e fazer a tabela a seguir, linha por linha, de acordo com as falas dos amigos: 1 2 3 4

Adriano Bruno Carlos Daniel

é um tamanduá (diz a verdade) uma preguiça (mente) uma preguiça (mente) um tamanduá (diz a verdade)

diz que Bruno é uma preguiça Carlos é um tamanduá Daniel e Adriano são tipos diferentes de animal Adriano é uma preguiça

logo Bruno é uma preguiça Carlos é uma preguiça Daniel e Adriano são o mesmo tipo de animal Adriano é uma preguiça

As casas sombreadas mostram que nesse caso Adriano, além de ser um tamanduá, é também uma preguiça, o que não pode acontecer pelas regras da brincadeira. Logo Adriano não é um tamanduá, ou seja, ele é uma preguiça. Fazemos agora outra tabela do mesmo modo que a anterior: 1 2 3 4

Adriano Bruno Carlos Daniel

é uma preguiça (mente) um tamanduá (diz a verdade) um tamanduá (diz a verdade) um tamanduá (diz a verdade)

diz que Bruno é uma preguiça Carlos é um tamanduá Daniel e Adriano são tipos diferentes de animal Adriano é uma preguiça

logo Bruno é um tamanduá Carlos é um tamanduá Daniel e Adriano são tipos diferentes de animal Adriano é uma preguiça

e vemos que Bruno, Carlos e Daniel são tamanduás. QUESTÃO 12 ALTERNATIVA E Seja n o menor número de meias que a Joana pode retirar da gaveta com a certeza de que entre as meias retiradas haja um par sem defeito. Então n − 1 é o maior número de meias que podem ser retiradas de tal forma que, entre elas, qualquer par seja defeituoso. O pior dos casos ocorre quando se retiram os dois pares defeituosos (o par de meias furadas e o par com uma das meias furada) e uma meia de cada um dos outros oito pares, num total de 12 meias. Portanto n − 1 = 12 e então n = 13 .


4

QUESTÃO 13 ALTERNATIVA C Consideremos o triângulo ABC na figura ao lado. Ele é retângulo com AB = 1 cm e BC = 2 cm, ou seja, um cateto é metade da hipotenusa. Segue que DCB = ACB = 30o e, analogamente, CBD = 30o . Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o, segue que BDC = 180 − 30 − 30 = 120o . Como BDC e α são opostos pelo vértice, concluímos que α = 120o . QUESTÃO 14 ALTERNATIVA B A tabela mostra a paridade dos possíveis resultados da soma dos números dos cartões; a primeira linha indica os números dos cartões brancos e a primeira coluna os números dos cartões pretos.

1 2 3

1 par ímpar par

2 ímpar par ímpar

3 Par Ímpar Par

Temos então 5 possibilidades de soma par entre 9 possíveis, ou seja, a probabilidade de a soma ser par é

5 . 9

QUESTÃO 15 ALTERNATIVA B Vamos observar o cubo maior, conforme a figura ao lado. Nele aparecem • 8 cubos do tipo A, que exibem três faces com um vértice comum; • 12 cubos do tipo B, que exibem duas faces com uma aresta comum; • 6 cubos do tipo C, que exibem apenas uma face. Nosso interesse é colocar os maiores números possíveis nas faces do cubo maior. Para isso, basta colocar os dados do tipo A mostrando 4, 5 e 6, os dados do tipo B mostrando 5 e 6 e os dados do tipo C mostrando o 6. É possível fazer isso pois a figura 1 nos mostra que 4, 5 e 6 têm um vértice em comum. Nesse caso a soma dos números que aparecem é máxima e seu valor é 8 × (4 + 5 + 6) + 12 × (5 + 6) + 6 × 6 = 2 88 { 144244 3 14243 8 dados A

12 dados B

6 dado s C


5

QUESTÃO 16 ALTERNATIVA A Nas figuras A, B e C traçamos segmentos que unem os centros dos círculos, como na figura a seguir. Marcamos também o valor de alguns ângulos centrais.

Para simplificar a exposição, vamos chamar o raio comum das circunferências de r e o comprimento comum das circunferências de l. O perímetro da figura A é igual ao perímetro do retângulo interno mais quatro vezes 1 o comprimento do arco do círculo correspondente a 90º, ou seja, a = 12r + 4 × l = 12r + l . O perímetro da 4 figura B é igual ao perímetro do triângulo equilátero interior mais três vezes o comprimento do arco do 1 círculo correspondente a 120º, ou seja, b = 12r + 3 × l = 12r + l . Finalmente, o perímetro da figura C é 3 igual ao perímetro do paralelogramo interno mais duas vezes o comprimento do arco do círculo correspondente a 120º e duas vezes o comprimento do arco do círculo correspondente a 60º, ou seja, 1 1 c = 12r + 2 × l + 2 × l = 12r + l . Logo a = b = c . 3 6 QUESTÃO 17 ALTERNATIVA C Temos dois casos a analisar: (a) Ana recebe dois presentes ou (b) Ana recebe apenas a boneca. No caso (a), Ana recebe a boneca e Tio João deve distribuir os quatro presentes restantes de modo que cada criança, inclusive Ana, receba exatamente um desses presentes. Para isso, ele pode numerar os presentes (que são distintos) e escolher qual das crianças vai ganhar o primeiro presente (4 escolhas), depois qual vai ganhar o segundo (3 escolhas), depois qual vai ganhar o terceiro (2 escolhas) e finalmente qual vai ganhar o último (1 escolha). Isso pode ser feito de 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneiras diferentes. No caso (b), Tio João deve distribuir os presentes entre as outras três crianças, de modo que cada uma receba pelo menos um presente. Desse modo, uma das crianças vai receber dois presentes e as outras duas apenas um. O Tio João deve escolher quem vai receber dois presentes (3 escolhas). Depois disso ele dá um presente para cada uma das crianças que vão receber apenas um presente ( 4 × 3 = 12 escolhas) e entrega os presentes restantes à criança que vai ganhar dois presentes (1 escolha). Isso pode ser feito de 3 × 12 × 1 = 36 maneiras diferentes. No total, Tio João pode distribuir os presentes de 24 + 36 = 60 maneiras diferentes. QUESTÃO 18 ALTERNATIVA B Lembramos primeiro que se duas circunferências são tangentes então a reta que a por seus centros a também pelo ponto de tangência. No nosso caso, chamando de P, Q e R os centros das circunferências (como na figura), isso mostra que PR = 3 , PQ = 4 e QR = 5 . Como 32 + 42 = 52 , segue que o triângulo PQR é retângulo em P. E como temos PA = PB = 1 , vemos que AB é a diagonal de um quadrado de lado 1, ou seja, AB = 2 .


6

QUESTÃO 19 ALTERNATIVA D Sejam m e n as medidas dos lados do retângulo e l o lado do quadrado (em centímetros); supomos que l = m − 5 . Da igualdade das áreas segue a expressão ( m − 5)2 = mn , donde tiramos (m − 5)2 m 2 − 10m + 25 25 = = m − 10 + . m m m 25 também seja inteiro; isso só acontece quando m é Como m e n são números inteiros, é necessário que m um divisor de 25, ou seja, quando m é igual a 1, 5 ou 25. Os casos m = 1 e m = 5 não podem acontecer n=

pois l = m − 5 é positivo. Logo m = 25 , donde l = 20 e a área do quadrado é l 2 = 202 = 400 . Como essa é também a área do retângulo temos mn = 25n = 400 e segue que n = 16 . Logo o perímetro do retângulo é 2m + 2n = 2 × 25 + 2 × 16 = 82 cm. QUESTÃO 20 ALTERNATIVA A Como a área do triângulo RFS é igual a

1 da área do retângulo AEFG, ela é 18

1 da área do triângulo EFG. Como esses triângulos são semelhantes e a 9 razão entre suas áreas é o quadrado de sua razão de semelhança, segue que 1 1 2 1 1 essa última razão é = . Logo FR = EF e então ER = EF − EF = EF . Como os triângulos FRS e 3 3 3 9 3 EBR são semelhantes, isso nos mostra que sua razão de semelhança é 1 EF FR 3 1 = = . RE 2 2 EF 3 AE 3FS 3 Temos então AE = GF = 3FS e EB = 2FS , donde AB = AE + EB = 3FS + 2FS = 5FS e = = . Pelo AB 5FS 5 AF AE AF 3 teorema de Tales temos e obtemos = = . AC 5 AC AB

igual a

Solução da prova da 1a Fase OBMEP 2011 – Nível 3

1

! QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B O comprimento da parte da corda que fica entre as polias fixas diminuirá 15 + 25 = 40 metros depois que os homens puxarem a corda.! A polia móvel imediatamente acima do piano distribui ao meio esses 40 metros; assim, o piano subirá 40 ÷ 2 = 20 metros. QUESTÃO 2 ALTERNATIVA B Sejam b, h e d, respectivamente, os comprimentos da base, altura e diagonal dos retângulos da malha. O perímetro da figura A é igual a 12d , 156 donde concluímos que d = = 13 . 12 O perímetro da figura B é igual a 8h + 8d , donde concluímos que 144 − 8d 144 = 8h + 8d e h = = 5 . O teorema de Pitágoras diz que 8 d 2 = b2 + h2 e segue que b = 132 − 52 = 144 = 12 . Finalmente o perímetro da figura C é igual a 6b + 4h + 4d , ou seja, 6 × 12 + 4 × 5 + 4 × 13 = 144 cm. QUESTÃO 3 ALTERNATIVA D O gráfico mais claro atinge a horizontal correspondente a 800 m antes do gráfico mais escuro. Logo o gráfico mais claro é o gráfico do vencedor da corrida, o coelho, e o gráfico mais escuro é o gráfico da tartaruga. • O coelho terminou a corrida em 2min15s; logo a alternativa C é falsa. • Quando o coelho termina a corrida, a tartaruga está entre 650m e 700m; logo a alternativa E é falsa. • Entre o início da corrida e 1min, o gráfico do coelho está acima do gráfico da tartaruga (trecho marcado com I na figura), indicando que o coelho está na frente; logo a alternativa A é falsa. • A tartaruga ficou atrás do coelho entre 0min e 1min e entre 1min45s e 2min30s (trecho marcado com III na figura), num total de 1min45s; logo a alternativa B é falsa.


2

! •

Por fim, a tartaruga ficou à frente do coelho entre 1min e 1min45s (trecho marcado com II na figura), num total de 45s; logo a alternativa D é verdadeira.

QUESTÃO 4 ALTERNATIVA D Cada time jogou três vezes. Com 5 pontos, o Cruzínthians só pode ter vencido uma partida e empatado duas, pois se tivesse vencido duas partidas, teria pelo menos 6 pontos e se não tivesse vencido nenhuma, teria no máximo 3 pontos. O Greminense não venceu nenhuma partida, pois obteve apenas 2 pontos; logo empatou duas partidas e perdeu uma. O Flameiras, em segundo lugar com 3 pontos, não venceu nenhuma partida, pois se isso tivesse acontecido ele teria que ter perdido duas; como o Greminense não ganhou nenhuma e o Cruzínthians apenas uma, ele teria perdido para o Nauritiba. Por outro lado, o mesmo raciocínio mostra que então o Nauritiba deveria ter perdido para Flameiras, o que não é possível; logo, o Flameiras e o Nauritiba empataram suas três partidas. Segue que o número de empates foi 3 + 3 − 1 = 5 ; o −1 aparece nessa expressão pois o empate entre Flameiras e Nauritiba deve ser contado apenas uma vez. Cruzínthians Flameiras Cruzínthians 1 Flameiras 1 Nauritiba 1 1 Greminense 0 1

Nauritiba Greminense 1 3 1 1 1 1

Outra solução é notar que em cada jogo disputado são distribuídos 2 pontos, no caso de empate ou 3 pontos, caso não ocorra empate. Como cada um dos quatro times jogou uma única vez com seus três adversários, foram disputados ao todo seis jogos, nos quais foram distribuídos 5 + 3 + 3 + 2 = 13 pontos. A única maneira de parcelar 13 em seis parcelas de 2 ou 3 é 13 = 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ; logo, cinco dos seis jogos terminaram empatados. Uma outra solução a seguinte. Observa-se, como acima, que o Cruzínthians venceu uma partida e empatou duas. Se ele tivesse vencido o Flameiras, a tabela poderia ser parcialmente preenchida como segue. Cruzínthians Flameiras Nauritiba Greminense Cruzínthians 3 1 1 Flameiras 0 Nauritiba 1 Greminense 1 Segue que o Flameiras deve ter perdido mais uma partida e vencido a terceira para totalizar 3 pontos. Nesse caso, como o Greminense empatou


3

! duas partidas, ele empatou uma com o Nauritiba e a tabela pode ser refinada para Cruzínthians Flameiras Nauritiba Greminense Cruzínthians 3 1 1 Flameiras 0 Nauritiba 1 1 Greminense 1 1 Logo, para que o Nauritiba totalizasse 3 pontos, ele deveria ter empatado com o Flameiras, o que não pode acontecer. De modo análogo vemos que o Cruzínthinas não pode ter empatado com o Nauritiba; logo a tabela parcialmente preenchida deve ser Cruzínthians Flameiras Nauritiba Greminense Cruzínthians 1 1 3 Flameiras 1 Nauritiba 1 Greminense 0 A partir daí é imediato completar a tabela. QUESTÃO 5 ALTERNATIVA E O número 0 deve aparecer nos dois dados, para que seja possível formar as datas de 01 a 09, 10, 20 e 30. Os números 1 e 2 também devem aparecer nos dois dados, para formar as datas 11 e 22. Desse modo no dado da direita aparecem os números 0, 1, 2, 3, 5, 6 (que também é 9) e no dado da esquerda aparecem os números 0, 1, 2, 4, 7 e 8. A soma das faces não visíveis do dado da esquerda é então 1 + 4 + 7 + 8 = 20 . Outra solução é a seguinte. Como acima, os números 0, 1 e 2 devem aparecer nos dois dados; os números 4, 7 e 8 também devem aparecer. Assim, a soma dos números nos dois dados deve ser 2 × (0 + 1 + 2) + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 39 . Os números que aparecem no dado da direita são 0, 1, 2 (ocultos) e 3, 5, 6 (visíveis); os números 0 e 2 estão visíveis no cubo da esquerda. Logo a soma dos números não visíveis no cubo da esquerda é 39 − (0 + 2 + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6) = 39 − 19 = 20 .


4

! QUESTÃO 6 ALTERNATIVA C Seja x a largura, em centímetros, das faixas cortadas por Márcia. As dimensões do pedaço retangular que sobra após o corte das tiras são 30 − 2x e 40 − 2x ; sua área é então (30 − 2x ) × ( 40 − 2x ) = 1200 − 140x + 4x 2 . Como a área desse pedaço corresponde a 68% da área da folha original, temos ou seja

1200 − 140x + 4x 2 = 0,68 ×1200 = 816

x 2 − 35 x + 96 = 0 Essa equação tem as soluções x = 32 e x = 3 ; como 2 × 32 = 64 supera os lados da folha original, a solução x = 32 deve ser descartada. Logo a largura das tiras é 3 cm. QUESTÃO 7 ALTERNATIVA E Sejam R e r os raios dos semicírculos maior e menor, respectivamente; o lado do quadrado tem então medida 2R = 36 , ou seja, R = 18 . Como os centros dos semicírculos e o ponto de tangência estão alinhados, o triângulo destacado na figura é um triângulo retângulo de catetos R e 2R − r e hipotenusa R + r . O teorema de

Pitágoras nos dá (R + r ) = R2 + ( 2R − r ) . Simplificando, obtemos 6Rr = 4R 2 2 2 e segue que r = R = × 18 = 12 cm. 3 3 2

2

QUESTÃO 8 ALTERNATIVA E Primeiro notamos que a afirmativa de Daniela é verdadeira, pois há apenas um culpado; logo a culpada não é Daniela. Se Bruno mentiu, então ele é culpado e Eduardo diz a verdade. Mas Eduardo disse que a culpada é uma menina, logo ele também estaria mentindo, o que não satisfaz o enunciado. Então Bruno diz a verdade e, portanto, Eduardo é o culpado.


5

! QUESTÃO 9 ALTERNATIVA A Com os números 1, 4, 6 e 8 podem-se formar 4 × 3 × 2 = 24 números de três algarismos distintos, pois temos 4 possibilidades para escolher a centena, depois 3 possibilidades para escolher a dezena e por fim 2 possibilidades para escolher a unidade. Nas unidades desses números irão aparecer seis vezes cada um dos algarismos 6, 4, 2 e 1, pois cada um deles aparece o mesmo número de vezes entre os 24 números e 24 ÷ 4 = 6 ; o mesmo irá ocorrer nas dezenas e nas centenas. Como 6 × (8 + 6 + 4 + 1) = 114 , a soma desses 24 números será 114 + 10 ! 114 + 100 ! 114 = 111! 114 = 12654 . QUESTÃO 10 ALTERNATIVA A As faces laterais da pirâmide são triângulos equiláteros de lado 1. Planificando as faces que contém como aresta comum o segmento que liga o ponto A ao vértice superior da pirâmide, obtemos um losango com a aranha (ponto C) e a formiga (ponto D) em lados opostos, conforme a figura. O trajeto mais curto que a aranha deve percorrer para chegar até a formiga corresponde ao segmento CD. Como AD = BC e lados opostos de um losango são paralelos, segue que ABCD é um paralelogramo. Logo CD = AB = 1 m. QUESTÃO 11 ALTERNATIVA D Seja x o número de meninas e y o número de meninos no grupo. Como 3 pizzas de 12 pedaços cada não são suficientes para que cada menino coma 7 pedaços e cada menina coma 2 pedaços, temos 36 < 2 x + 7 y . Por outro lado, como 4 pizzas de 12 pedaços cada são suficientes para que cada menino coma 8 pedaços e cada menina coma 4 pedaços, com sobra, temos Como 2x + 7y < 4 x + 8y e tanto 2x + 7y < 4 x + 8y e 4 x + 8y < 48 . 2x + 7y < 4 x + 8y são números maiores que 36 e menores que 48, temos (4 x + 8y ) − (2x + 7y ) = 2x + y < 48 − 36 = 12. A desigualdade 2 x + y < 12 mostra que x ≤ 5 . Vamos agora testar a desigualdade 36 − 2x < 7y < 8y < 48 − 4 x para os possíveis valores de x. Quando x = 1 temos 34 < 7y < 8y < 44 , que tem a solução y = 5 ; os valores 2, 3, 4 e 5 para x levam, respectivamente, às inequações 32 < 7y < 8y < 40 , 30 < 7y < 8y < 36 , 28 < 7y < 8y < 32 e 26 < 7y < 8y < 28 , todas sem solução inteira para y. Segue que a única solução do problema é x = 5 , y = 1 e assim a quantidade de crianças é x + y = 5 + 1 = 6 .


6

! QUESTÃO 12 ALTERNATIVA C As amigas podem escolher suas blusas, sem restrição, de 3 × 3 × 3 = 27 maneiras diferentes. Por outro lado, se elas devem escolher blusas sem repetição de cores e uma delas já escolheu a sua entre as 3 possibilidades, uma outra terá apenas 2 possibilidades e a última apenas 1, num total de 3 × 2 × 1 = 6 possibilidades sem repetição de cores. Logo a probabilidade em 6 2 questão é igual a = . 27 9 QUESTÃO 13 ALTERNATIVA E Como BF é perpendicular

a DE e EF é ! e EFB ! são perpendicular a AE, os ângulos AED iguais. Logo os triângulos AED e EFB são BE AD semelhantes e temos . Fazendo BE = x e = EF AE x 1 = lembrando que AD = EF = 1 , segue que , ou seja, x 2 + x − 1 = 0 . A 1 1+ x −1 + 5 1+ 5 solução positiva dessa equação é x = , donde AE = 1 + x = . 2 2 QUESTÃO 14 ALTERNATIVA A Seja x o comprimento em metros da pista. Quando Alberto cruzou a linha de chegada, a distância entre Bernardo em Carlos era de 10 metros, e era 16 metros quando Bernardo cruzou a linha de chegada. Vemos assim que Bernardo correu 36 metros enquanto Carlos correu 30; logo velocidade de Carlos 30 5 = = . Como Bernardo cruzou a linha de velocidade de Bernardo 36 6 5 x − 16 chegada 16 metros à frente de Carlos, temos a equação , cuja = 6 x solução é x = 96 .


7

! QUESTÃO 15 ALTERNATIVA D Quando se retiram duas bolas pretas da caixa, elas não retornam; mas quando as bolas retiradas são uma preta e outra de cor distinta, a preta retorna. Isso mostra que o número de bolas pretas na caixa diminui de dois em dois. Observamos que o número de bolas na caixa diminui de um a cada retirada, de modo que eventualmente sobrarão duas bolas na caixa. Como o número inicial de bolas pretas é ímpar, sempre haverá um número ímpar de bolas pretas na caixa; desse modo, exatamente uma das duas bolas que sobrar na caixa é preta. QUESTÃO 16 ALTERNATIVA D Considere a decomposição do retângulo indicada na figura, e seja a a área do retângulo. As áreas B1 e B2 são iguais, pois correspondem a áreas de triângulos com mesma medida de base e altura; o mesmo ocorre com B3 e B4 . O triângulo retângulo formado por B1 , B2 e B3 tem como catetos um lado do retângulo e metade a a do outro lado; sua área é então e temos B1 + B2 + B3 = ; o mesmo ocorre 4 4 com B2 + B3 + B4 . Logo B1 + B2 + B3 = B2 + B3 + B4 , o que implica em B1 = B4 . a a Logo B1 = B2 = B3 = B4 e segue que B1 + B1 + B1 = 3B1 = , donde B1 = . 4 12 Por simetria, todas essas conclusões se aplicam a C1,C2 ,C3 e C4 . Logo a a 42 A = a −8× = = = 14 cm2. 12 3 3 Nas figuras ao lado, apresentamos outra solução Na primeira, observamos que o quadrilátero em vermelho, é um paralelogramo, pois seus lados horizontais são paralelos e congruentes. O teorema de Tales mostra que os lados não horizontais desse paralelogramo dividem a diagonal destacada na segunda figura em três segmentos congruentes, conforme a segunda figura. Finalmente, os três triângulos destacados na terceira figura e cujas bases são esses segmentos de mesma medida, têm o terceiro vértice em comum;

!

desse modo tem todos a mesma área, que é

1 de 3

metade da área do retângulo, ou seja, 7 cm2. Logo a área da região cinza é 14 cm2.


8

! QUESTÃO 17 ALTERNATIVA C No instante em que o terceiro carro saiu de Quixajuba, o segundo estava 40 × 0,5 = 20 km e o primeiro 50 × 0,5 = 25km à sua frente. Seja v a velocidade, em km/h, do terceiro carro e t o tempo, em horas, que ele levou 20 + 40t para alcançar o segundo; temos então vt = 20 + 40t , ou seja, v = . t Como o terceiro carro alcançou o primeiro 1,5 horas depois de alcançar o 50t + 100 segundo, temos vt + 1,5v = 25 + 50(t + 1, 5) = 50t + 100 , donde v = . t + 1,5 20 + 40t 50t + 100 Logo ; essa igualdade se reduz a t 2 + 2t ! 3 = 0 , cujas = t t + 1,5 raízes são t = 1 e t = −3 . Logo t = 1 e v = 20 + 40 = 60 km/h. QUESTÃO 18 ALTERNATIVA E Observamos que ao multiplicar 8 pelo divisor obtemos um número com dois algarismos. Como o divisor também tem dois algarismos e 8 ! 13 = 104 , as possibilidades para o divisor são 10, 11 e 12. Observamos agora que ao multiplicar o algarismo das centenas do quociente pelo divisor, obtemos um número de três algarismos. A única maneira possível de multiplicar um número de apenas um algarismos por 10, 11 ou 12 de modo a obter um número de três algarismos é 9 ! 12 = 108 . Como a primeira subtração efetuada na conta armada tem como resultado 000, os três asteriscos à esquerda no dividendo correspondem a 1, 0 e 8, nessa ordem. Assim, o asterisco indicado em vermelho corresponde ao algarismo 0. O(a) leitor(a) pode prosseguir essa análise e mostrar que a conta armada corresponde à expressão 10897 = 12 ! 908 + 1 .


9

! QUESTÃO 19 ALTERNATIVA B Para qualquer disposição dos algarismos, a soma dos vizinhos “juntados” terá sempre nove parcelas, sem repetição de algarismos nas unidades ou nas dezenas. O único algarismo que não aparece nas unidades é o primeiro e o único que não aparece nas dezenas é o último. Para que a soma seja máxima, o algarismo 0 não deve comparecer nas dezenas e, portanto, deve ser o último; além disso, o menor dos algarismos 1, 2,..., 9 não deve aparecer nas unidades e, portanto, o 1 deve ser o primeiro. Concluímos que a soma é máxima para qualquer escolha onde 1 é o primeiro algarismo e 0 o último. Nesse caso, a soma das unidades será 0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 e a soma das dezenas será 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 450 ; a soma máxima é então 450 + 44 = 494 . Algebricamente, podemos escrever esse argumento como segue. Seja a1, a2 ,K , a10 uma disposição qualquer dos algarismos de 0 até 9 na primeira linha. Na linha de baixo da tabela aparecerão os números a1a2, a2a3 ,K , a9a10 . Usando a representação decimal, a soma desses números pode ser escrita na forma S = a1a2 + a2a3 + L + a9a10 = (10a1 + a2 ) + (10a2 + a3 ) + … + (10a9 + a10 ) = 10 × (a1 + a2 + L + a9 ) + (a2 + L + a9 + a10 ) = 10 × (a1 + a2 + L + a9 + a10 ) − 10a10 + (a1 + a2 + L + a9 + a10 ) − a1 = 11× (a1 + a2 + L + a9 + a10 ) − 10a10 − a1 = 45 ⋅ 11 − 10a10 − a1 = 495 − 10a10 − a1

Logo o valor de máximo de S é atingido quando a10 = 0 e a1 = 1, como vimos. QUESTÃO 20 ALTERNATIVA D Antes de chegar ao centro, a aranha tem as seguintes escolhas em cada vértice de um pentágono: • • •

ir direto para o próximo nível, sem ar pelas arestas do pentágono em que se encontra; caminhar no sentido horário pelas arestas do pentágono em que se encontra por no máximo 5 segmentos, ando então para o próximo nível, e caminhar no sentido anti-horário pelas arestas do pentágono em que se encontra por no máximo 5 segmentos, ando então para o próximo nível.

Assim, em cada pentágono a aranha tem 11 escolhas para ar para o próximo nível; como são três os pentágonos, a aranha tem um total de 11× 11× 11 = 113 caminhos possíveis para chegar ao centro da teia.

a

Solução da prova da 1 Fase OBMEP 2012 − Nível 3

1

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA A Basta verificar que após oito giros sucessivos o quadrado menor retorna à sua posição inicial. Como 2012 = 8 × 251 + 4 , após o 2012º giro o quadrado cinza terá dado 251 voltas completas no quadrado maior e mais quatro giros, parando na posição que corresponde à alternativa A. QUESTÃO 2 ALTERNATIVA D O primeiro triângulo da sequência é formado por três palitos. Para n ≥ 2 , o triângulo que ocupa a posição n na sequência é formado acrescentando n triângulos iguais ao primeiro ao triângulo precedente. Logo, o total de palitos utilizados para construir o triângulo que ocupa a posição n na 3n(n + 1) sequência é 3 ⋅1+ 3 ⋅ 2 + +…+ 3n = 3 ⋅(1+ 2 +…+ n) = . Para saber em qual triângulo foram 2 3n(n + 1) usados 135 palitos, devemos resolver a equação = 135 , ou seja, n(n + 1) = 90 . Por inspeção, 2 vemos que a raiz positiva dessa equação é n = 9 ; logo o triângulo que estamos procurando é o nono triângulo da sequência, cujo lado tem 9 palitos. QUESTÃO 3 ALTERNATIVA B Apagando alguns números a mais, obtemos a figura acima e notamos o seguinte padrão: os números que não são apagados são 1, 2 e os da forma 3n + 1 para n ≥ 1. Para verificar que esse padrão se estende até 1000, distribuímos os números de 1 a 1000 na seguinte tabela: n 0 1 2 3 4 ! 332 333

3n + 1 1 4 7 10 13 ! 997 1000

3n + 2 2 5 8 11 14 ! 998

3(n + 1) 3 6 9 12 15 999

A primeira coluna lista os números que deixam resto 1 quando divididos por 3, isto é, os números da forma 3n + 1; analogamente, a segunda coluna lista os números que deixam resto 2 quando divididos por 3 e a terceira lista os múltiplos de 3; as casas de cor cinza indicam número apagados. O padrão indicado até n = 4 se repete até o final da tabela. De fato, para n = 5 , o número da primeira coluna só será apagado caso ele seja soma de dois números não apagados anteriormente; mas isso não pode acontecer, pois • a soma de um número anterior da primeira coluna com 2 está na terceira coluna: (3n + 1) + 2 = 3(n + 1) e • a soma dois números anteriores da primeira coluna está na segunda coluna: (3m + 1) + (3n + 1) = 3(m + n) + 2 . Assim, o próximo número da primeira coluna, que é da forma 3n + 1, não será apagado e os números 3n + 2 = (3n + 1) + 1 e (3(n + 1) = (3n + 1) + 2 , à sua direita, serão apagados. Usando esse argumento linha após linha, vemos que os números não apagados na tabela serão exatamente os números da primeira coluna. Na tabela vemos que há 333 números da forma 3n + 1 entre 4 e 1000, incluindo os extremos. Acrescentando os números 1 e 2, obtemos 335 números não apagados.

a


2

QUESTÃO 4 ALTERNATIVA E Vamos listar as posições das cartas fazendo embaralhamentos sucessivos: • • • • • •

posição inicial: A2345 após o 1o embaralhamento: 3A524 após o 2o embaralhamento: 534A2 após o 3o embaralhamento: 4523A após o 4o embaralhamento: 24A53 após o 5o embaralhamento: A2345, a posição inicial

Assim, de 5 em 5 embaralhamentos retornamos à posição inicial. Como 2012 = 5 × 402 + 2 , a posição das cartas após o 2012º embaralhamento é a mesma que a posição após o 2o embaralhamento, quando a primeira carta é a de número 5.

QUESTÃO 5 ALTERNATIVA A De acordo com o gráfico do enunciado, no instante t = 0 os carros estão juntos, pois partem do mesmo ponto. Até t = 1 , os dois carros se afastam de Quixajuba; como a velocidade de A é maior que a de B, a distância entre eles aumenta. Quando t = 1 , a distância entre os dois carros é igual a 100 − 25 = 75 km. De t = 1 a t = 4 , o carro A fica parado, enquanto o carro B mantém sua velocidade inicial, diminuindo a distância entre eles. Quando t = 4 , o carro B alcança o carro A, o que significa que a distância entre eles é 0. De t = 4 a t = 5 , o carro A volta para Quixajuba, enquanto o carro B continua se afastando, a uma velocidade um pouco maior. Quando t = 5 , a distância entre os carros é igual a 150 – 50 = 100 km. Em cada um dos intervalos considerados, as velocidades dos carros são constantes, de modo que as distâncias entre eles variam linearmente com o tempo. O único gráfico coerente com esses fatos é o da alternativa A). QUESTÃO 6 ALTERNATIVA B Na planificação original, à esquerda na figura, observamos que os segmentos destacados formam uma aresta do cubo; desse modo, podemos substituir essa planificação pela que aparece à direita. Observamos então que, ao montar o cubo, os pontos P, D e C ficarão à mesma distância da face I, logo nem C nem D são opostos de P. Do mesmo modo, os pontos P e A ficarão à mesma distância da face II, logo A não é o oposto de P. Finalmente, o ponto E é o oposto do ponto central da face onde aparece o ponto P; assim, o oposto de P é o ponto B. QUESTÃO 7 ALTERNATIVA E A expressão dada pode ser escrita como n ⋅17 2 = 3 ⋅17 2 , sendo n o número de parcelas 17 2 que aparecem dentro do radical. Elevando os dois lados dessa expressão ao quadrado, temos

n ⋅17 2= 9 ⋅17 4 , donde n = 9 ⋅172 = 2601.

a


3

QUESTÃO 8 ALTERNATIVA C Da semelhança dos retângulos ABCD e BCFE temos AD BE AB − 2AD AB AB = = = − 2 . Fazendo = x (a razão de prata) temos AB BC AD AD AD 1 = x − 2 , ou seja, x 2 − 2x − 1 = 0 . A raiz positiva dessa equação é x = 1+ 2 . x QUESTÃO 9 ALTERNATIVA A Notamos primeiro que a soma dos números de 1 a 25 é

25 × (25 + 1) = 325 ; a soma dos números em 2

325 = 65 . As casas brancas do tabuleiro consistem de uma linha, 5 de uma coluna e das duas diagonais, todas se cruzando na casa central. Denotando por x o número da casa central e lembrando que a soma dos números das casas cinzentas é 104, temos 4 × 65 − 3x = 325 − 104 e segue que x = 13 . uma linha, coluna ou diagonal é então

QUESTÃO 10 ALTERNATIVA D Na figura, marcamos o centro O do círculo maior e o ponto de tangência M desse círculo como lado AB. Por simetria, M é também o ponto médio de AB 1 e assim AM = . Marcamos também o ponto de tangência T do círculo 2 maior com o círculo de centro A; é sabido que os pontos A, O e T estão alinhados. Seja r o raio do círculo maior. Então AO = 1− r e o teorema de 2

 1 Pitágoras aplicado ao triângulo AMO nos dá (1− r ) = r +   ; segue que  2 3 r = . O raciocínio análogo, aplicado ao triângulo BMP, onde P é o centro do círculo menor, mostra que 8 2

2

2

 1 1 r e logo = 6 . (1+ s) 2= (1− s)2 +   , onde s é o raio do círculo menor. Segue que s = 16 s  2 QUESTÃO 11 ALTERNATIVA E Sejam r < s as velocidades dos dois trens em km/min e t o tempo, em minutos, que o trem mais rápido leva para percorrer 5 km. O enunciado diz que r t + 5 = st = 6 e 20r = 20s − 4 . Da primeira expressão

(

)

6 6 1 6 6 1 e s = ; da segunda tiramos s − r = . Substituindo, temos − = , ou seja, t +5 t 5 t+5 t 5 6 3 t 2 + 5t − 150 = 0 . A raiz positiva dessa equação é t = 10 ; logo s = = = 0,6 km/min, que é o mesmo 10 5 que 36 km/h. tiramos r =

a


4

QUESTÃO 12 ALTERNATIVA C Vamos denotar por (ABC) a área do triângulo ABC, e analogamente para outros triângulos. Primeiro observamos que (ABD) = (ABC) , pois esses triângulos têm a mesma altura e a base AB comum. Logo (AED) = (ABD) − (ABE) = (ABC) − (ABE) = (BCE), ou seja, os dois triângulos brancos na figura têm a mesma área, que denotamos por x. Por outro lado, como os triângulos AED e ECD têm a mesma altura relativa às bases AE e EC, x ( AED ) AE a ( ABE ) AE a x temos = = e, analogamente, temos = = . Logo = , donde x = ab . b (DCE ) EC x (BCE ) EC x b Finalmente, a área do trapézio é dada por a + 2 x + b = a + 2 ab + b =

(

a+ b

)

2

.

QUESTÃO 13 ALTERNATIVA D A costureira gastou 299 centavos. Como as blusas são iguais, em cada uma foi gasta a mesma quantia; logo, o número n de blusas é um divisor de 299. Como 299 = 13 × 23 e tanto 13 quanto 23 são primos, as possibilidades para n são 1, 13, 23 e 299. O enunciado exclui a possibilidade n = 1 (são várias blusas) e a possibilidade n = 299 é excluída observando que, como um botão custa 4 centavos, a quantia gasta em qualquer blusa é maior que 1 centavo. Se n = 23 , o total em botões e laços gasto em cada blusa seria 13 centavos, o que não pode acontecer pois não é possível gastar exatamente 13 centavos com botões de 4 centavos e laços de 7 centavos. Resta a possibilidade n = 13 ; nesse caso, o total gasto em botões e laços em cada blusa é de 23 centavos, que corresponde a 4 botões e 1 laço. QUESTÃO 14 ALTERNATIVA C Seja AC = CE = EB = x . Como o triângulo ACE é retângulo em C obtemos, pelo teorema de Pitágoras, 2 2 2 2 AE = x + x = 2x , donde AE = x 2 . Observamos agora que o triângulo EBC é isósceles de base BC; segue que seus ângulos em B e C são iguais. Vamos denotar a medida desses ângulos por γ ; marcamos também os ângulos α e

β como na figura. Do fato do triângulo BCD ser retângulo em C, obtemos α = 90° − γ e β = 90° − γ , ou seja, α = β . Logo o triângulo CED é isósceles e DE = EC = x . Os triângulos ABC e CDE têm suas bases AB e DE sobre a mesma reta AB, logo as suas alturas AB relativamente a essas bases são iguais. Portanto, a razão entre suas áreas é igual a . Como DE AB = AE + EB = x 2 + x = x 2 + 1 e DE = x , segue que essa razão é

(

)

área ( ABC ) AB x = = área (CDE ) DE

(

)=

2 +1 x

2 +1

e como a área do triângulo CDE é igual a 1, concluímos que a área do triângulo ABC é

2 + 1.

a


5

QUESTÃO 15 ALTERNATIVA B Para simplificar, no parágrafo a seguir “azul” significa “bandeirinha azul” e analogamente para as outras cores. Para que não haja azuis juntas, é necessário que entre duas azuis haja pelo menos uma bandeirinha de outra cor. Para isso, são necessárias pelo menos 24 bandeirinhas não azuis; como há exatamente 14 + 10 = 24 bandeirinhas brancas e verdes, concluímos que a fila de bandeirinhas começa e termina com uma azul e que entre quaisquer duas azuis há exatamente uma branca ou uma verde. Em particular, as alternativas A) e C) são falsas.Usando as letras A, B e V para as cores azul, branco e verde, a fila abaixo mostra que a alternativa D) é falsa: ABABABABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABAVABA Vamos agora pensar em uma fila qualquer como uma sequência de blocos de duas letras dos tipos AB e AV, com uma letra A na extremidade direita. Pelo menos um bloco AB deve estar ao lado de um bloco AV, criando assim um bloco maior ABAV ou AVAB. Em qualquer dos casos, vemos uma sequência (BAV ou VAB) de três bandeirinhas de cores todas diferentes, o que mostra que a alternativa E) é falsa. Finalmente, notamos que uma fila da Joana há 14 blocos AB e 10 blocos AV, além do A à direita. Com esses 10 blocos AV é possível separar no máximo 11 blocos AB uns dos outros; assim, há pelo menos dois blocos AB consecutivos, seguidos de uma letra A. Logo em qualquer fila da Joana há um bloco do tipo ABABA, ou seja, há pelo menos cinco bandeirinhas consecutivas nas quais não aparece a cor verde.

QUESTÃO 16 ALTERNATIVA C Vamos representar as informações do enunciado no diagrama ao lado. Nele, a letra H indica o único homem cujo nome não aparece no enunciado. A flecha que vai de Cláudia a Pedro, indicada com +5, quer dizer que Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia, e analogamente para as outras flechas. As flechas que saem de Bianca para Lorena e Cláudia indicam que ambas compraram mais livros que Bianca. Mais abaixo vamos explicar as flechas que não correspondem a dados do enunciado. Como Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia e cada homem comprou 4 livros a mais que sua esposa, segue que Pedro não é o marido de Cláudia. Por outro lado, Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia, que comprou mais livros que Bianca; logo Pedro não é o marido de Bianca, ou seja, ele é o marido de Lorena. Indicamos essa conclusão no diagrama colocando os nomes de Pedro e Lorena em vermelho e marcando a flecha que os liga com +4. Como Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia e 4 livros a mais que Lorena, segue que Lorena comprou 1 livro a mais que Cláudia, o que nos dá a flecha que liga Cláudia a Lorena. As flechas que ligam Cláudia a Vítor ando por Lorena mostram que Vítor comprou 4 livros a mais que Cláudia; como Cláudia comprou mais livros que Bianca, segue que Vítor comprou pelo menos 5 livros a mais que Bianca. Logo Vítor não é o marido de Bianca, ou seja, ele é o marido de Cláudia; indicamos essa conclusão colocando seus nomes em verde. Logo Bianca é a mulher de H; assim, ligamos esses dois por uma flecha com +4 e colocamos seus nomes em azul. Notamos ainda que Pedro comprou pelo menos 6 livros a mais que Bianca; como H comprou 4 livros a mais que Bianca, segue que Pedro comprou mais livros que H. Finalmente, observamos que como Pedro comprou 4 livros a mais que Lorena e Vítor comprou 3 livros a mais que Lorena, segue que Pedro comprou 1 livro a mais que Vítor, conforme indicado. Podemos agora analisar as alternativas: A) B) C) D) E)

Falsa, pois Pedro comprou 1 livro a mais que Vítor. Falsa, pois Pedro é o marido de Lorena. Verdadeira, pois Pedro comprou mais livros que Vítor e que H. Falsa, pois Lorena comprou um livro a mais que Cláudia. Falsa, pois Vitor é marido de Cláudia.

a


6

QUESTÃO 17 ALTERNATIVA B A diagonal AC do quadrilátero ABCD é paralela à reta r, pois A e C estão à mesma distância (1 cm) de r. Como r e t fazem um #D = 45° . Como CD #E = 90° o ângulo de 45° , segue que CE , triângulo CDE é isósceles e temos ED = DC = 1 cm. Do mesmo modo obtemos AB = BE = 1 cm e segue que ABCD é um losango de lados 1 cm. As diagonais AC e BD dividem esse losango em quatro triângulos de mesma área; como a área do triângulo AEB é

ABCD é 4 ×

AB × BE 1 = , a área de 2 2

1 = 2 cm2. 2

QUESTÃO 18 ALTERNATIVA C Há 6 possibilidades para escolher dois lugares juntos no mesmo lado da mesa: 1 no lado com 2 lugares, 2 no lado com 3 lugares e 3 no lado com 4 lugares. Uma vez escolhida uma dessas possibilidades, Alice e Bernardo podem se sentar de duas maneiras diferentes nesses lugares. Os quatro amigos que ainda estão em pé podem se sentar nos 7 lugares vazios de 7 × 6 × 5 × 4 = 840 maneiras diferentes. No total, os amigos podem se sentar-se à mesa de 6 × 2 × 840 = 10080 maneiras diferentes. QUESTÃO 19 ALTERNATIVA D Seja x a distância entre P e Q, em km. O primeiro encontro entre André e Júlio ocorreu quando André tinha percorrido x − 70 km e Júlio, 70 km (figura 1). O segundo encontro ocorreu quando André tinha percorrido x + (x − 40) = 2x − 40 km e Júlio, x + 40 km (figura 2). Em cada um dos casos, eles levam o mesmo tempo para fazer esses percursos. Logo, representando por v1 e v2 as velocidades de André e Júlio, respectivamente, temos: x − 70 70 • tempo até o 1º encontro: = v1 v2 2 x − 40 x + 40 • tempo até o 2º encontro: = v1 v2 x − 70 70 Dividindo as equações membro a membro, obtemos = . Isso leva à equação 2 x − 40 x + 40 x 2 − 170 x = 0 , cujas raízes são x = 0 e x = 170 . Como Pirajuba e Quixajuba estão separadas por pelo menos 70 km, a raiz apropriada é x = 170 km.

a


7

QUESTÃO 20 ALTERNATIVA D Numeramos as quatro bolinhas de 1 a 4, do menor para o maior valor. Há 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ordens possíveis para a retirada das bolinhas, todas igualmente prováveis. Dessas retiradas, Pedro fica com o prêmio de maior valor nos seguintes casos: 1. a bolinha 4 sai na 3ª retirada; neste caso, seu número é necessariamente maior que os das duas primeiras; 2. a bolinha 4 sai na 4ª retirada, desde que a bolinha 3 saia em uma das duas primeiras retiradas (caso contrário, ou seja, se ela sair na 3ª retirada, Pedro ficará com ela, por seu número ser maior que o das duas primeiras). O número de possibilidades para o primeiro caso é 3 × 2 × 1 = 6 . Para o segundo caso, há 2 possibilidades para a posição em que sai a bolinha 3 (1ª ou 2ª), 2 possibilidade para a bolinha que sai na 3ª posição e 1 possibilidade para a bolinha que sai na 4ª retirada, num total de 2 × 2 × 1 = 4 possibilidades. Logo, o número de casos favoráveis é 6 + 4 = 10 e a probabilidade de que Pedro tire o 10 5 prêmio de maior valor é = . 24 12 Outra solução é como segue. Pedro tira o prêmio máximo em duas situações: quando a bolinha 4 sai na 3ª posição ou quando ela sai na 4ª posição e a bolinha 3 sai em uma das duas primeiras. A 1 1 2 1 probabilidade do primeiro evento é e a do segundo é × = . Logo, a probabilidade de ele tirar o 4 4 3 6 1 1 5 prêmio máximo é + = . 4 6 12

a

Solução da prova da 1 fase OBMEP 2013− Nível 3

1

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA D O comprimento da mesa é 8 × 22 = 176 centímetros; logo, o palmo de Carolina mede 176 ÷ 11 = 16 centímetros. QUESTÃO 2 ALTERNATIVA B Observemos que 2 + 0 + 1 + 3 = 6 , ou seja, a soma dos algarismos do número 2013 é igual a 6 . Como 2013 = 6 × 335 + 3 , concluímos que o lado esquerdo da igualdade dada no enunciado, que pode ser reescrito como 2 0 3$ +2 0 3$ +2 0 3$ + …2 0 3$ +2 + 0# + !+# #+ "1+ ## !+# #+ "1+ ## !+# #+ "1+ ## !+# #+ "1+ ## !" # $1 4

4

4

4

2

é formado por 335 blocos da forma 2 + 0 + 1 + 3 + , cada um contendo 4 sinais de adição, e um bloco da forma 2 + 0 + 1 , que contém 2 sinais de adição. Portanto, o número total de sinais de adição que foram utilizados na igualdade é igual a 4 × 335 + 2 = 1342 . QUESTÃO 3 ALTERNATIVA D Vamos analisar as afirmativas uma a uma, de acordo com a figura ao lado. a) falsa: o período de maior precipitação (1º semestre 2008) teve o maior número de casos notificados de dengue, mas não foi o período de maior temperatura média (2º semestre 2010). b) falsa:o período com menor número de casos notificados de dengue (2º semestre 2007) não foi o de maior temperatura média (2º semestre 2010). c) falsa:o período de maior temperatura média (2º semestre 2010) não foi o de maior precipitação (1º semestre 2008). d) verdadeira:o período de maior precipitação (1º semestre 2008) não foi o período de maior temperatura média (2º semestre 2010) e teve o maior número de casos notificados de dengue. e) falsa: basta comparar o 1º semestre de 2007 com o 2º semestre de 2009: no primeiro a precipitação é maior do que no segundo, mas o seu número de casos de dengue é menor.

a


2

QUESTÃO 4 ALTERNATIVA A Por um erro de revisão, a solução enviada às escolas não correspondia a essa questão. Pedimos desculpas por essa falha. A soma de todas as faces de um cubo é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. A soma das faces visíveis é então igual a . Logo, para que a soma 6 × 21 = 126 − (a soma das faces escondidas) das faces visíveis seja máxima, devemos posicionar os cubos de modo que a soma dos números das faces escondidas seja mínima. Vamos minimizar essa soma considerando um cubo de cada vez, de acordo com a numeração da figura ao lado. • Cubo 1: há apenas uma face escondida, que deve ser a de número 1. • Cubos 2 e 4: em cada um há três faces escondidas. Dessas faces, duas são opostas e somam 7; a terceira face deve ser a de número 1. A soma dessas faces é 2 × (1 + 7) = 16 . • Cubos3 e 6: em cada um há duas faces vizinhas escondidas, que devem ser as de número 1 e 2 (como esses números não somam 7, as faces correspondentes não são opostas, logo são adjacentes). Essas faces somam 2 × (1 + 2) = 6 . • Cubo 5: há dois pares de faces opostas escondidas, que somam 14. Logo, a soma máxima possível é 126 ! (1+ 16 + 6 + 14) = 126 ! 37 = 89 .

QUESTÃO 5 ALTERNATIVA A Vamos chamar de ! e L, respectivamente, os lados do quadrado menor e do quadrado maior, e de Q a área comum aos dois quadrados. Então Q corresponde a 100 ! 52 = 48% da área do quadrado menor e a 100 ! 73 = 27% 48 2 27 2 ! = L da área do quadrado maior. Segue que ; logo 100 100 2

2

! !$ ! 3 27 9 ! 3 $ #" L &% = 48 = 16 = #" 4 &% , ou seja, L = 4 .

QUESTÃO 6 ALTERNATIVA E Seja r o raio comum das circunferências. Unindo os centros A, D e G de três das circunferências, como na figura ao lado, e lembrando que a reta que a pelos centros de duas circunferências tangentes a também pelo ponto de tangência, vemos que o triângulo ADG é equilátero, pois todos seus lados medem 2r . Logo todos seus ângulos medem 60o; em particular, o ângulo central mede 60o. Segue que o arco preto corresponde ao ângulo central de 1 1 do comprimento da 60° = × 360° , ou seja, esse arco mede 6 6 1 1 circunferência, que é × 1 = ; esse também é o comprimento do 6 6 arco preto . Já o arco preto corresponde a um ângulo central de 120o; seu comprimento é então 1 1 duas vezes o de um arco correspondente a 60o, ou seja, é 2 × = , que é também o comprimento do 6 3 1 1 arco preto . Desse modo, o comprimento total dos arcos pretos é 2 × + 2 × = 1; como a soma dos 6 3 comprimentos das circunferências é 4, o comprimento dos arcos vermelhos é 4 ! 1= 3 .

a


3

QUESTÃO 7 ALTERNATIVA D A primeira marca da roda dianteira será deixada a uma distância de 50! da faixa de tinta, ou seja, quando esta roda girar toda a sua circunferência; as demais marcas serão espaçadas pela mesma distância. Esta observação elimina as alternativas (A) e (B). A mesma observação se aplica às rodas traseiras, nesse caso com o espaçamento de 20! ; em particular, o espaçamento entre as marcas da roda dianteira é igual a 2,5 vezes o espaçamento entre as marcas das rodas traseiras, o que elimina as alternativas (C) e (E) (e também (A)). Segue que a alternativa correta é (D); observamos que ela obedece a todas as condições acima. QUESTÃO 8 ALTERNATIVA C Na tabela abaixo mostramos os restos da divisão das notas por 3 e por 4

resto da divisão por 3 resto da divisão por 4

75 0 3

80 2 0

84 0 0

86 2 2

95 2 3

Como a média das três primeiras notas é um número inteiro, vemos que a soma das três primeiras notas é um múltiplo de 3. A consulta à tabela mostra que a única maneira de somar três restos na primeira linha de modo a obter um múltiplo de 3 corresponde às notas 80, 86 e 95; logo, essas foram (não necessariamente nessa ordem) as três primeiras notas. De modo análogo, o fato de que a soma das quatro primeiras notas é um múltiplo de 4 mostra que essas notas devem ser 75, 86, 95 e uma entre 80 ou 84, que correspondem à única maneira possível de somar quatro números da segunda linha e obter um múltiplo de 4. Mas já sabemos que 80 é uma das três primeiras notas; logo as quatro primeiras notas foram 75, 80, 86 e 95 e a última nota foi 84.

a


4

QUESTÃO 9 ALTERNATIVA D Consideremos primeiro os quatro pontos destacados na figura ao lado. • Ponto P: Encontro da reta dada com o eixo y. Ele nos informa que se Iara resolver gastar os R$ 10,00 só com chocolate ela comprará um pouco menos de 2 kg de chocolate. • Ponto S: Encontro da reta com o eixo x. Ele nos informa que se Iara quiser gastar tudo em açúcar ela comprará um pouco mais do que 3 kg de açúcar. • Ponto R: Encontro da reta dada com a reta y = x . Este ponto nos informa que Iara pode comprar quantidades iguais de açúcar e chocolate. Notamos que, para qualquer outro ponto da reta dada, as quantidades de açúcar e chocolate serão diferentes. • Ponto Q: Encontro da reta dada com a reta y = 2x . Este ponto indica a única situação em que a quantidade de chocolate é o dobro da quantidade de açúcar. Vamos agora às opções. A) Falsa: para pontos entre P e R ocorre exatamente o contrário, ou seja, a quantidade de chocolate supera a quantidade de açúcar. B) Falsa: no ponto R as quantidades são iguais. C) Falsa: por exemplo, no ponto S todo o dinheiro seria gasto em açúcar. Logo, não se pode afirmar que Elisa gastou mais dinheiro em chocolate do que em açúcar. D) Verdadeira: como com R$10,00 Iara pode comprar um pouco mais do que 3 kg de açúcar ou um pouco menos do que 2 kg de chocolate, segue que o quilo do chocolate custa mais que

10 =5 2

10 < 3,4 reais. 3 E) Falsa: a quantidade de chocolate só corresponde ao dobro da quantidade de açúcar no ponto Q. Portanto, não se pode afirmar que isso ocorre. reais e o quilo de açúcar menos que

QUESTÃO 10 ALTERNATIVA E Suponhamos que a escada tenha comprimento AB = x . Na figura, os pontos A1 e D indicam, respectivamente, as posições dos pontos A e C após o movimento. Como C é o ponto médio de AB, o triângulo A1BD é isósceles com A1B = x ! 2 e

A1D = BD =

x . A distância h = DE do ponto D ao chão pode 2 2

2

! x $ ! x ' 2$ então ser calculada pelo teorema de Pitágoras como h = # & ' # = x ' 1 . No problema, temos " 2 % " 2 &%

x = 290 cm e então h = 289 = 17 cm.

<=!! >=!! @=!! a !!# Solução da prova da 1 fase 5 B=!! OBMEP 2013− Nível 3 2#$!(%!#$175!%!$!)2-.$!F!-$.(%G!
<=! ,L! !

No caso (1), ela deve escolher sua aula sábado (3 possibilidades) e depois sua aula à tarde (2 >=!deCJ*! ! possibilidades) em algum dia de segunda@=!! a quinta (4 possibilidades). Temos então 3 × 2 × 4 = 24 horários C*L!! possíveis nesse caso.

<=!

B=!! C??!! No caso (2), ela deve escolher dois diasD=!! nãoCAJ consecutivos da semana (6 possibilidades), escolher um

>=!

deles para ter aula pela manhã (2 possibilidades; automaticamente, no outro dia escolhido ela terá aula à tarde), escolher seu horário da manhã (3 possibilidades) e seu horário da tarde (2 possibilidades). Temos então 6 × 2 × 3 × 2 = 72 horários possíveis nesse caso.

@=!

!(#! B2$&! 8).#0H2017$&! /$.-0.$#! $)! #%&#)! -%#/)! %! %#!

(0.%4M%&!(08%.%1-%&!(%!2#!#%&#)!KN.-0'%!(%!2#!-.0O1H23)! No total, Ana tem 24 + 72 = 96 horários possíveis para fazer suas aulas com as restrições do enunciado. %:203I-%.)! (%! 3$()! *! '#G! D3$&! $1($.$#!&)9.%!)&!3$()&!()!-.0O1H23)! F!K%3)'0($(%!(%!C!'#P&+!$-N!.%-).1$.!

B=!

$&!(2$&!8).#0H2017$&!%#!82145)!()! -%#/);

!

QUESTÃO 12 ALTERNATIVA D As figuras abaixo mostram as posições relativas formiguinhas em diferentes intervalos de tempo de 0s $9$06)!das (%&'.%K%! $! (0&-O1'0$! !" %1-.%! a 6s.

D=!!

!3#!

/$.$ <=! !

•

•

• •

>=

0s a 2s 2s a 3s 3s a 4s 4s a 6s Na primeira figura, observamos que em qualquer instante o ponto de @=!um! triângulo equilátero; desseB= partida e as formiguinhas formam modo, de 0s a 2s, a distância entre as formiguinhas é igual à distância percorrida, ou seja, varia em 1cm/s. Na segunda figura, vemos que as formiguinhas andam uma em direção à outra e que a distância entre elas decresce em 2cm/s; desse modo, elas vão se encontrar no ponto médio do lado do triângulo no instante 3s. D= Na terceira figura elas já estão se afastando à velocidade de 2cm/s. Na quarta figura elas estão retornando ao ponto de partida e, de modo análogo à primeira figura, a distância entre elas decresce em 1cm/s.

Logo, o gráfico que melhor representa a distância entre as duas formigas em função do tempo é o da alternativa (D).

$)! . 8214 %&-.$ <=! >=! @=! B=! D=!

a


6

QUESTÃO 13 ALTERNATIVA B Na tabela abaixo mostramos como analisar as informações do enunciado. Na primeira linha, supomos que Bernardo disse a verdade; na segunda, que Guto disse a verdade e na terceira, que Carlos disse a verdade. Guto Não foi o meu 1

mentiu

2

disse a verdade

3

mentiu

logo O celular de Guto tocou O celular de Guto não tocou O celular de Guto tocou

Carlos Foi o meu mentiu mentiu disse a verdade

logo O celular de Carlos não tocou O celular de Carlos não tocou O celular de Carlos tocou

Bernardo Não foi o de Guto disse a verdade mentiu mentiu

logo O celular de Guto não tocou O celular de Guto tocou O celular de Guto tocou

Nas duas primeiras linhas, chega-se à conclusão de que o celular de Guto tanto tocou quanto não tocou (em vermelho). Essa contradição mostra que o único caso possível é o da terceira linha, ou seja, Carlos disse a verdade e os celulares de Guto e Carlos tocaram. QUESTÃO 14 ALTERNATIVA B As probabilidades de obter um quadrado cinza, um círculo branco ou um círculo 1 3 1 2 1 = , = e .A preto em um lançamento desse dado são, respectivamente, 6 6 2 6 3 probabilidade de obter dois símbolos iguais em dois lançamentos consecutivos é

1 1 1 1 1 1 14 7 × + × + × = = ; segue que a probabilidade de obter dois 2 2 3 3 6 6 36 18 7 11 = símbolos distintos é 1 − . 18 18 então

Uma segunda solução é como segue. Os mesmos dois símbolos distintos podem ser obtidos de duas maneiras diferentes em lançamentos consecutivos. Logo, a probabilidade de obtermos um quadrado cinza

1 1 1 × = , a probabilidade de obtermos um quadrado cinza e um círculo preto é 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 × × = e a probabilidade de obtermos um círculo branco e um círculo preto é 2 × × = . Assim, a 2 6 6 3 6 9 1 1 1 11 probabilidade de obtermos dois símbolos diferentes em lançamentos consecutivos é + + = . 3 6 9 18 e um círculo branco é 2 ×

a


7

QUESTÃO 15 ALTERNATIVA D Observamos no gráfico que a distância total percorrida por Cláudia, e também por Adilson, é de 25 km (Cláudia em 4 horas e Adilson em 5 horas). Logo, para determinar o horário do encontro entre eles, devemos determinar em que momento a soma das distâncias percorridas é igual a 25 km. Os pontos assinalados no gráfico mostram que às 11 horas Cláudia e Adílson haviam percorrido, respectivamente, 20 km e 5 km; logo, foi nesse horário que eles se encontraram.

QUESTÃO 16 ALTERNATIVA C Os triângulos ADF e DEB são semelhantes por terem lados paralelos. A razão entre suas áreas é o quadrado da razão de semelhança; como

16 ⎛ 4 ⎞ 2 , = 9 ⎜⎝ 3 ⎟⎠

4 . Como DECF é um paralelogramo, temos 3 AF AF 4 = = . Os triângulos ABC e ADF são semelhantes; CF = ED e daí CF ED 3 AC AF + CF CF 3 7 = = 1+ = 1 + = . Logo, a área sua razão de semelhança é AF AF AF 4 4 2 ⎛7⎞ do triângulo ABC é ⎜ ⎟ × 16 = 49 e a área de DECF é 49 − (16 + 9) = 24 . ⎝4⎠ segue que essa razão é

Uma segunda solução, que mostra um interessante fato geral, é a seguinte. Os triângulos ADF, DBE e ABC são semelhantes por terem lados paralelos. Sejam A1 , A2 e A, respectivamente, suas áreas. Temos então

A=

(

A1 AD = e A AB

A1 + A2

A2 DB = ; somando essas igualdades, obtemos A AB

) = A +A +2 2

1

2

A1 + A2 A

=

AD + DB = 1. Portanto, AB

A1 A2 e então a área de DECF é A1 + A2 + 2 A1 A2 ! (A1 + A2 ) = 2 A1A2 .

Ou seja, a área do paralelogramo DECF é o dobro da média geométrica das áreas dos triângulos ADF e DBE. No nosso problema temos A1 = 16 e A1 = 9 , logo a área de DECF é 2 16 ! 9 = 24. QUESTÃO 17 ALTERNATIVA A Chamemos de n1 o número de maneiras diferentes que Paulo pode pintar a bandeira, de acordo com as condições do enunciado, usando pelo menos 3 cores dentre as 4 cores disponíveis, e de n2 o número de maneiras diferentes que Paulo pode pintar a bandeira usando 3 cores diferentes, dentre as 4 que ele dispõe. A resposta ao nosso problema será n = n1 − n2 . Vamos supor que Paulo pinte a bandeira na n1 = 4 × 3 × 2 × 3 × 3 × 2 = 432 . Por outro 3 × 2 × 1× 2 × 2 × 1 = 24 maneiras diferentes de escolher trios de cores diferentes, temos que

sequência A1B1C1C2B2 A2 . Pelo princípio multiplicativo, temos lado, para cada trio de cores diferentes temos pintar a bandeira. Como Paulo tem 4 maneiras diferentes de n2 = 4 × 24 = 96 . Logo n = 432 − 96 = 336 .

a


8

QUESTÃO 18 ALTERNATIVA D Vamos representar o número de salas e o número de alunos da Escola Municipal de Pirajuba, no ano de 2011, respectivamente, por s e por a (observe que o valor de a é o mesmo para os anos de 2011, 2012 e

a a = − 6 ou, s+5 s 2 equivalentemente, 6s + 30s = 5a . Analogamente, como número de alunos por sala nos anos de 2012 e a a = − 5 , ou seja, s2 + 15s + 50 = a . Logo 2013 também é o mesmo, temos s + 10 s + 5 2 6s2 + 30s = 5(s 2 + 15s + 50) e concluímos que o número s de salas satisfaz a equação s ! 45s ! 250 = 0 , cujas soluções são s = 50 e s = −5 . Como s > 0 , temos s = 50 . Logo, o número total de alunos da escola é a = 502 + 15 × 50 + 50 = 3300 . 2013). Como o número de alunos por sala nos anos de 2011 e 2012 é o mesmo, temos

a de alunos por sala em 2011; observamos que a = ms . s a Da informação do enunciado sobre 2012 tiramos m − 6 = , ou seja, a = (m − 6)(s + 5) ; a informação s+5 a sobre 2013 é m − 11 = , ou seja, a = (m − 11)(s + 10) . Temos então as equações ms = (m − 6)(s + 5) s + 10 e ms = (m − 11)(s + 10) , que nos dão o sistema linear Outra solução envolve considerar a média m =

⎛ 5m − 6s = 30 ⎜ ⎝ 10m − 11s = 110 cuja solução é s = 50 e m = 63 . O número de alunos da escola é então a = ms = 63 × 50 = 3300 (agradecemos ao professor José Luiz dos Santos por sugerir esta solução).

a


9

QUESTÃO 19 ALTERNATIVA B Sejam r e R, respectivamente, os raios das circunferências menor e maior, e S o centro da circunferência menor. Notamos primeiro que 2r = PB = AB − 4 = 2R − 4 , donde tiramos R = r + 2 . No triângulo retângulo SOQ temos SQ = r , OQ = OC ! 3 = R ! 3 = r ! 1 e OS = OB ! SB = R ! r = 2 . O teorema de Pitágoras nos dá r 2 = (r ! 1)2 + 22 = r 2 ! 2r + 5 ou seja, r =

e segue que 2r = 5 ,

5 = 2,5 . 2

QUESTÃO 20 ALTERNATIVA E Observamos inicialmente que em qualquer quadradinho, quando o número de trocas de cor é um múltiplo de 3, voltamos à cor original. Assim, para saber, em qualquer momento, qual a cor de um quadradinho, basta conhecer o resto na divisão por 3 do número de trocas de cor. Para isso, identificamos cada quadradinho cinza com o número 0 (o que significa que o número de trocas de cor tem resto 0 na divisão por 3, ou seja, a cor pode não ter sido trocada ou foi trocada em um número múltiplo de 3); identificamos um quadradinho azulcom o número 1 (o que significa que o número de trocas de cor tem resto 1 na divisão por 3); e, finalmente, identificamos um quadradinho amarelo com o número 2 (o número de trocas de cor tem resto 2 na divisão por 3). Observamos agora que, sempre que trocamos a cor de um quadradinho da primeira ou da terceira coluna, trocamos também a cor do quadradinho a seu lado na coluna do meio. Portanto, a soma do número de trocas de cor dos quadradinhos de uma mesma linha, que estão na primeira e terceira colunas, é igual ao número de trocas de cor do quadradinho da coluna do meio que está nesta mesma linha. Em particular, o resto da divisão do número de trocas de um quadradinho da coluna do meio por 3 é igual ao resto da divisão por 3 da soma dos restos das divisões por 3 do número de trocas de cores dos quadradinhos vizinhos que estão na primeira e na terceira coluna da mesma linha. Comentário análogo vale para os quadradinhos da linha do meio. Essas observações nos permitem reconstruir o quadriculado completo, conforme a figura abaixo.

O problema não acaba aqui, pois ainda não mostramos que esse quadriculado pode, de fato, ser obtido por uma sequência de Adão. Que isso de fato acontece pode ser visto abaixo.

a

Solução da prova da 1 fase OBMEP 2014 − Nível 3

1

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA C Seja x o número de caras consecutivas obtidas após os primeiros 2014 lançamentos. Então, de acordo com o enunciado do problema, x deverá satisfazer a igualdade 2014 + x , 997 + x = 2 ou, equivalentemente, 1994 + 2 x = 2014 + x , de onde obtemos x = 2014 − 1994 = 20 . QUESTÃO 2 ALTERNATIVA B Como x > 0 , multiplicamos os termos das desigualdades 0 < x < y < 1 por x e obtemos:

x ⋅ 0 < x 2 < xy < x Concluímos que 0 < xy < x .

QUESTÃO 3 ALTERNATIVA D Podemos organizar as informações numa tabela: Andrea Daniela Fernanda Patrícia Tatiane

mês agosto agosto setembro agosto setembro

dia do mês 16 16 17 17 17

dia da semana segunda terça terça segunda segunda

Se Andrea estivesse certa, então Fernanda não acertaria nenhuma das informações. Logo, não é ela que está certa, nem Fernanda (pelo mesmo motivo). Se Daniela estivesse certa, então Tatiane também nada acertaria. Logo Daniele e Tatiane não estão certas. Se Patrícia acertar tudo, as demais também acertarão alguma informação e, portanto, Patrícia é a única que está certa. QUESTÃO 4 ALTERNATIVA B km 90km km , ou seja, Guilherme andou, nos primeiros 2 = = 1,5 h 60min min minutos, 2 × 1,5 = 3 km. Falta percorrer 5 − 3 = 2 km no tempo de 3 minutos. 2km 2km 2 = = km/h = 40km/h . A velocidade suficiente para isto é 1 1 3min 3min⋅ h/min 60 20

Nos dois primeiros minutos, o carro andou a 90

a


2

QUESTÃO 5 ALTERNATIVA A O lado do quadrado maior é R e o lado do menor S . Traçamos o segmento BG e vemos que ele divide a região cinza em dois triângulos ABG e BFG, cujas áreas, somadas, dão a área da região cinza. A área do triângulo

R⋅ R R = e a área do triângulo BFG é 2 2 R +S . da região cinza é 2

ABG é

S⋅ S S = . Logo, a área 2 2

Outra solução: Construímos o triângulo BFH congruente ao triângulo BEF e denotamos por X a área de cada um deles. Se a área da região cinza é Y observamos que A(ADGH) R + S + 2X R + S Y+X= = = +X, 2 2 2 R+S . de onde concluímos que Y = 2

QUESTÃO 6 ALTERNATIVA C Como em cada face aparecem quatro números consecutivos, então na face onde estiver o número 1, obrigatoriamente estarão os números 1, 2, 3 e 4. Logo, na face onde estiver o número 5 estarão os números 5, 6, 7 e 8, e assim, sucessivamente, até chegarmos à face com os números 21, 22, 23 e 24. Sendo assim, no cubo apresentado a face com o número 23 também apresenta os números 21, 22 e 24. Como o enunciado diz que a soma do maior número de uma face com o menor da face oposta é igual a 25, podemos concluir que na face oposta à que contém o 23 estão os números 1, 2, 3 e 4. Na face em que aparece o número 7 aparecem os números 5, 6 e 8, e na face oposta a esta estão os números 17, 18, 19 e 20. Logo, na face destacada (em cinza) pode estar qualquer número de 9 até 16. Como a pergunta é qual é o menor número que pode aparecer na face cinza, a resposta é 9. QUESTÃO 7 ALTERNATIVA B 2 Quando pintarmos o papel em forma de pentágono dos dois lados, a área total pintada será de 28 cm . Esta área pintada inclui a área de um dos lados do retângulo original, que ficará totalmente azul, e a área pintada do outro lado. 2 2 Se da área total de 40 cm , correspondente aos dois lados do retângulo, retirarmos a área pintada de 28 cm , 2 teremos 12 cm de área não pintada. QUESTÃO 8 ALTERNATIVA D Cada figura é formada por 3 cópias da figura anterior, posicionadas de modo a colocar em contato apenas dois pares de quadradinhos das cópias das figuras. Em consequência, o comprimento do contorno da nova figura é igual a 3 vezes o comprimento do contorno da anterior, menos 4 cm (correspondentes aos lados em contato). A tabela abaixo dá o comprimento do contorno das sucessivas figuras. Figura 1 2 3 4 5 6

Contorno (cm) 4 3×4 – 4 = 8 3 × 8 – 4 = 20 3 × 20 – 4 = 56 3 × 56 – 4 = 164 3 × 164 – 4 = 488

Portanto, o contorno da Figura 6 mede 488 cm.

a


3

QUESTÃO 9 ALTERNATIVA E x+y ≥ 6 , ou 2 seja, x + y ≥ 12 . Os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação

As notas x e y obtidas pelo aluno nas duas provas devem ser tais que

12

x + y = 12 pertencem à reta que corta os eixos nos pontos (0, 12) e (12, 0). Os que satisfazem a desigualdade correspondem ao semiplano determinado por esta reta que não contém a origem. A região pedida é a interseção desse semiplano com o quadrado formado pelas notas possíveis (ou seja, satisfazendo às condições 0 ≤ x ≤ 10 e 0 ≤ y ≤ 10 ), representada na alternativa E. 12

QUESTÃO 10 ALT E R N AT I VA C possui pelo menos uma moeda de cada tipo, ele não pode ter 2 moedas de 50 centavos, Como senão formaria 1 real. Ele também não pode ter 2 moedas de 25 centavos. Com a moeda de 50 centavos e

+ QUESTÃO 11 ALTERNATIVA E Devido às simetrias presentes na figura, podemos construir o quadrado ABCD, com vértices A, B, C e D situados nos centros de cada uma das circunferências, conforme mostrado na figura. Observamos que em cada circunferência, os dois lados do quadrado que saem do centro dela determinam um arco cujo 3 3 comprimento é + 3 + = 6 , sendo essa medida a quarta parte do 2 2 comprimento de cada círculo. Logo, o comprimento de cada círculo é 24. QUESTÃO 12 ALTERNATIVA D Como n ! = 215 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 11⋅ 13 , tem-se n ≥ 13 . Por outro lado,

13! = 13 ⋅ (22 ⋅ 3) ⋅ 11⋅ (2 ⋅ 5) ⋅ 32 ⋅ 23 ⋅ 7 ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ 5 ⋅ 22 ⋅ 3 ⋅ 2 = 13 ⋅ 11⋅ 7 ⋅ 52 ⋅ 35 ⋅ 210 , n ! 215 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 11⋅ 13 = = 25 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 14 ⋅ 15.16 . 13! 13 ⋅ 11⋅ 7 ⋅ 52 ⋅ 35 ⋅ 210 Logo, n ! = 13! ⋅ 14 ⋅ 15 ⋅ 16 = 16! , ou seja, n = 16 . E, portanto,

QUESTÃO 13 ALTERNATIVA A As informações sobre os componentes da orquestra estão representadas no diagrama. Seja x o número de componentes que tocam instrumentos de sopro e percussão. É claro que x ≤ 6 . O número de componentes da orquestra é dado pela soma: 23 + 8 + (6 − x ) = 37 − x ; sabendo que x ≤ 6 , temos que o número mínimo de componentes da orquestra ocorre quando x = 6 , ou seja, quando a orquestra tem 31 componentes.

=

a


4

QUESTÃO 14 ALTERNATIVA E Sendo x a distância percorrida com as duas juntas e y a distância percorrida apenas por Talia, fica claro que Isabel deve pagar pela distância x e Talia pela distância x + y . Como os pagamentos são proporcionais a essas distâncias, a fração correspondente a Isabel é

4 + px = 28 4 + px + py = 44

⇔

x x . Seja p o preço por quilômetro rodado. Então = x + ( x + y ) 2x + y

px = 28 − 4 = 24 4 + 24 + py = 44

⇔

x = Portanto, Isabel deve pagar 2x + y Isabel

px = 24 py = 44 − 4 − 24 = 16

24 24 24 3 p = = = do valor total, ou seja, Talia deve receber de 24 16 48 + 16 64 8 + 2⋅ p p

3 ⋅ 44 = R$ 16,50. Observe que não foi necessário conhecer o valor de p. 8

QUESTÃO 15 ALTERNATIVA E Como 1000 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 , os possíveis números são formados pelos algarismos: • 5, 5, 5, 2 e 4, caso em que contabilizamos 5 ⋅ 4 = 20 possibilidades; 5 possibilidades para a posição do algarismo 2 e 4 possibilidades para o algarismo 4 (as demais casas do número devem receber o algarismo 5). • 5, 5, 5, 8 e 1, caso em que, de forma análoga, contabilizamos 5 ⋅ 4 = 20 possibilidades. Logo, existem 20 + 20 = 40 números com tal propriedade. QUESTÃO 16 ALTERNATIVA B Denotaremos por AF a área de uma figura F e por ~ a relação de semelhança de triângulos. Sejam b a medida da base do paralelogramo e h sua altura. Então: 2 2 AABC = 24 cm ⇒ b ⋅ h = 24 cm b h h h 1 DGCF DGDA ⇒ 1 = 2 ⇒ 1 = ⇒ h2 = 2h1 ⇒ 3h1 = h ⇒ h1 = h2 b h2 2 3

b

b h ⋅ b ⋅ h 24 b/2 b/2 = = 2 cm2. Portanto, AGFC = 2 3 = 2 12 12 2 Da mesma forma, também podemos concluir que AAHE = 2 cm . Vamos calcular agora a área 𝐀BEF, lembrando que triângulos semelhantes possuem áreas relacionadas com o quadrado da constante de proporcionalidade: DEBF

AEBF DABC ⇒ = AABC

b

2 b

2

=

1 2

2

=

AABC 12 1 2 ⇒ AEBF = = = 3 cm . 4 4 4

Agora vamos calcular a área do quadrilátero EFGH por diferença: 2 AEFGH = AABC − AGFC − AAEH − AEBF = 12 − 2 − 2 − 3 = 5 cm . 1 1 1 Outra solução: ADFC = ⋅ AABCD = 6 , ADEA = ⋅ AABCD = 6 , ABFE = ⋅ AABCD = 3 . 4 4 8 Daí, ADEF = 24 − 6 − 6 − 3 = 9 . Temos que DDEF DDHG e a razão entre suas alturas é 3BD 4 =3 2 BD 2 4 2 Portanto, ADHG = ADEF = 4 . A área procurada é a diferença 9 – 4 = 5 cm . 9

h

a


5

QUESTÃO 17 ALTERNATIVA C Como as faces opostas somam 7, as faces podem ser divididas em três duplas: {1,6}, {2,5} e {3,4}. Vamos considerar três casos: a) Os algarismos que aparecem no topo dos três dados são todos da mesma dupla. Neste caso, a dupla {1,6} gera 2 × 2 × 2 = 8 números diferentes: 111, 116, 161, 611, 661, 616, 166 e 666. Analogamente, a dupla {2,5} gera outras oito possibilidades e a dupla {3,4} mais oito. Assim, neste primeiro caso temos um total de 24 possibilidades. b) Dois dos algarismos do topo pertencem a uma dupla e o outro pertence a uma dupla diferente. Em dois dados aparecem algarismos da dupla: {1,6} {1,6} {2,5} {2,5} {3,4} {3,4}

No outro dado aparece algarismo da dupla: {2,5} {3,4} {1,6} {3,4} {1,6} {2,5}

Pensemos nas possibilidades de formação de números em cada uma das linhas da tabela acima; por exemplo, no caso em que 1 ou 6 aparece no topo de dois dados e no outro dado aparece 2 ou 5, teremos 3 × 2 × 2 × 2 = 24 possibilidades (a saber: 112, 121, 211, 115, 151, 511, 162, 126, 216, ... , 566). Analogamente, cada um dos casos apresentados nas linhas da tabela produzirão 24 números diferentes. No total, neste caso teremos 6 × 24 = 144 possibilidades. c) Os três números que aparecem no topo dos dados são provenientes de números de duplas diferentes. Este caso nunca ocorre, pois é impossível enfileirar os dados de modo que as faces em contato tenham o mesmo número. Logo, podemos obter 24 + 144 = 168 números diferentes. Outra solução, utilizando o complementar: já que o caso c) não ocorre, basta descontar do total de números obtidos sem restrições de contato (6 × 6 × 6 = 216) os números obtidos que utilizam algarismos das três duplas. Para formar números utilizando algarismos das três duplas, temos 6 escolhas para o primeiro dado (números das 3 duplas), 4 escolhas para o segundo dado (números de duas duplas) e 2 escolhas para o terceiro dado (números de uma dupla). Logo, existem 6 × 4 × 2 = 48 números no caso c). Consequentemente, Mônica pode obter 216 − 48 = 168 números. Uma terceira solução é a seguinte: podemos considerar inicialmente três casos: a) As faces 1 e 6 (ou 6 e 1) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto {2, 3, 4, 5}. Neste caso, no topo dos três dados, podem aparecer 4 × 4 × 4 = 64 números diferentes. b) As faces 2 e 5 (ou 5 e 2) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto {1, 3, 4, 6}. Analogamente neste caso, no topo dos três dados, podem aparecer 4 × 4 × 4 = 64 números diferentes. Entretanto, eles não precisam ser diferentes dos números encontrados no caso a). c) As faces 3 e 4 (ou 4 e 3) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto {1, 2, 5, 6}. Como nos casos anteriores, no topo dos três dados, podem aparecer 4 × 4 × 4 = 64 números diferentes. Entretanto, eles não precisam ser diferentes dos números encontrados no caso a) ou no caso b). Os três casos juntos produzem 3 × 64 = 192 números, porém nem todos distintos. Precisamos retirar desta contagem os números comuns aos casos a) e b), b) e c) e a) e c). Não há algarismos comuns aos três casos. Como {2, 3, 4, 5} {1, 3, 4, 6} = {3, 4}, os algarismos comuns aos casos a) e b) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 3 e 4. A quantidade de tais números é 2 × 2 × 2 = 8 . Analogamente, como {2, 3, 4, 5} {1, 2, 5, 6} = {2, 5}, os algarismos comuns aos casos a) e c) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 2 e 5. A quantidade de tais números é 2 × 2 × 2 = 8 . {1, 2, 5, 6} = {1, 6}, os algarismos comuns aos casos b) e c) produzirão Do mesmo modo, como {1, 3, 4, 6} números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 2 e 5. A quantidade de tais números é 2× 2× 2 = 8 . Assim, Mônica pode obter 3 × 64 − 3 × 8 = 168 números diferentes.

a


6

QUESTÃO 18 ALTERNATIVA A Como em um como, o giro de um ponto em torno de outro é sempre um arco de circunferência. Como o ponto A gira duas vezes, a primeira vez em torno de C e a segunda vez em torno de B, sua trajetória será a união dos arcos de duas circunferências. Logo, somente as alternativas A) e B) podem estar certas. A alternativa B) é facilmente descartada, pois ao terminar o primeiro giro, o ponto A não fica sobre a reta que apoia o triângulo. Assim, a figura que aparece na alternativa A), sendo a união de dois arcos de circunferência de 120º, é a que representa a trajetória do ponto A. QUESTÃO 19 ALTERNATIVA D Podemos supor que o primeiro cubo tem cinco faces vermelhas e uma branca. Seja v o número de faces vermelhas do segundo cubo. Ao se lançar os dois dados, há 6 × 6 = 36 casos possíveis. Para que as faces tenham a mesma cor, devem ser ambas vermelhas ( 5 × v possibilidades) ou ambas azuis (1x(6 – v )possibilidades ) . A probabilidade de se observar faces iguais é, portanto,

Número de casos favoráveis 5v + (6 − v ) 4v + 6 2v + 3 = = = Número de casos possíveis 36 36 18 Para que a probabilidade possa ser igual a 11/18, deve-se ter 2v + 3 = 11, ou seja, v = 4. O segundo cubo deve ter, portanto, 4 faces vermelhas.

a


7

QUESTÃO 20 ALTERNATIVA D Como as marcas 49 e 71 ficaram sobrepostas em pedaços que são vizinhos, houve uma dobra exatamente no ponto médio, isto é, em (49 + 71) / 2 = 60 . Como o processo iniciou-se com a marca 0, o tamanho de cada pedaço, isto é, a distância entre duas dobras sucessivas, deve ser um divisor de 60. Os divisores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e o próprio 60. Mas, estando 49 e 71 em pedaços vizinhos, descartamos os divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 10 pois a distância de 49 (ou 71) até a dobra 60 é 11, maior do que todos eles. Resta decidir qual é o tamanho de cada pedaço dentre as possibilidades 12, 15, 20, 30 ou 60 e, para isto, usaremos a informação de que a marca 139 ficou alinhada com 49 e 71. As distâncias da marca de 139 aos dois pontos anteriores são, respectivamente, 90 e 68. Como a marcação de 139 coincide com as anteriores, uma dessas distâncias deve ser um múltiplo do dobro do tamanho da dobra, ou seja, deve ser um múltiplo de 24, 30, 40, 60 ou 144 120. Mas 68 não é um múltiplo de nenhum desses números, enquanto 90 é múltiplo apenas de 30. Portanto, o tamanho de cada pedaço é 15, o que faz 132 139 com que a última dobra ocorra na marca de 195 cm e, daí, ao dobrar-se o 120 último pedaço, a marca de 200 cm fica sobre 195 − (200 − 195) = 190 cm. 108

As figuras a seguir ilustram o que acontece para os cinco possíveis valores das medidas dos pedaços. Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 12, teríamos a situação descrita pela figura ao lado e a marca 139 não estaria alinhada com 71 e 49. Logo, este caso não ocorre.

96

84

72

60

49

71

48 36

24

12

0 4 1 200

190

195 180 165

139

150 135

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 15, teríamos a seguinte situação:

120

105

90

75 71

60

49 45

30

15

0 4

a


8

Este é o único caso correto. De fato, veremos a seguir que os demais casos não podem ocorrer: 200 180


160

140

Este caso também não pode ocorrer pois 139 não se alinha com 49 e 71.

139

120

100 80

71 49

60

40

20

0 1 10

200


180 150 120 139

90

71

60

30

49

0 11

19

E vemos que também este caso também não ocorre. Finalmente, se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 60, teríamos a seguinte situação: Este último caso também não ocorre.

139 200 180

120

71 60

0

49

19 49

Logo o comprimento de cada pedaço é 15 cm e a última dobra é feita na marca 195; assim a marca 200 alinha-se com a marca 190, a qual está no penúltimo pedaço.

a

Solução da prova da 1 fase OBMEP 2015 Nível 3

1

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA D Como 2,5 = 5 x 0,5, o tempo que o frango deve ficar no forno é 5 x 12 = 60 minutos. Logo, Paula deve colocar o frango no forno às 19 h, mas 15 minutos antes deve acender o forno. Assim, Paula deve acender o forno às 18 horas e 45 minutos. QUESTÃO 2 ALTERNATIVA A 2 Da figura, tiramos que 3x – x = 4(x – x), já que os pontos estão igualmente espaçados.

2

Logo, 2x = 4x – 4x. Há duas soluções: x = 0 (que não serve) e x = 3/2. O valor da distância entre dois pontos 2 consecutivos é, portanto, (3/2) – (3/2) = 3/4. QUESTÃO 3 ALTERNATIVA C 2 2 Observe que o último número da linha 1 é 1, da linha 2 é 4 = 2 , da linha 3 é 9 = 3 e assim por diante. Os números que finalizam uma linha são sempre quadrados perfeitos. Assim, como os quadrados mais próximos de 2 2 2015 são 44 = 1936 e 45 = 2025, o número 2015 foi escrito na linha 45. 2 Observação: A afirmação “A linha n contém 2n -1 termos e termina com o número n ” pode ser facilmente provada usando-se o Princípio de Indução Finita, pois ela é obviamente verdadeira para n=1 e, supondo-a verdadeira para a linha n, a linha n+1 terá 2n-1+2 = 2(n+1) -1 termos, já que ela contém 2 termos a mais do que a anterior; além 2 2 disso, o último termo da linha n+1 é n + (2n-1) + 2 = (n+1) . QUESTÃO 4 ALTERNATIVA E Sendo B e F os pontos médios dos lados AC e AE, respectivamente, podemos dividir o retângulo ACDE usando segmentos paralelos aos seus lados com extremos nesses pontos médios para observar que: 2 - a área do triângulo ABF é 1⁄8 da área do retângulo ABCD, ou seja, igual a 80 cm ; 2 - a área do triângulo EDF é 1⁄4 da área do retângulo ABCD, ou seja, igual a 160 cm ; 2 - a área do triângulo BCD é 1⁄4 da área do retângulo ABCD, ou seja, igual a 160 cm . A soma dessas áreas é igual a 1⁄8 + 1⁄4 + 1⁄4 = 5⁄8 da área do retângulo, ou ainda, 2 2 400 cm . Portanto, a área do triângulo BDF é igual a 3⁄8 da área do retângulo ACDE, ou seja, é 240 cm .

a


2

QUESTÃO 5 ALTERNATIVA D Chamando cada participante pela primeira letra de seu nome, as possibilidades de escolha dos 2 premiados são: AB , AC , AD , AE , BC , BD , BE , CD , CE , DE, ou seja, há 10 possibilidades. As possibilidades de escolha das duas premiações são: Ouro Ouro, Ouro Prata, Ouro Bronze, Prata Ouro, Prata Prata, Prata Bronze, Bronze Ouro, Bronze Prata e Bronze Bronze, ou seja, há 9 possibilidades. Pelo Princípio Multiplicativo, as diferentes formas de premiação são 10 x 9 = 90. Outra solução Existem dois casos a considerar: ou os dois meninos premiados ganharam medalhas iguais, ou ganharam medalhas diferentes. Se as medalhas são iguais, há 3 possibilidades para as medalhas, a saber, ou as duas são de ouro, ou as duas são de prata, ou as duas são de bronze. Além disso, dos 5 meninos, apenas 2 receberam medalhas, o que pode 5×4 ocorrer de maneiras diferentes (são 5 escolhas para o primeiro e são 4 escolhas para o segundo menino, mas 2 precisamos dividir por 2, para eliminar as repetições, uma vez que para determinar a dupla de premiados, não 5×4 importa a ordem de escolha dos meninos). Logo, pelo Princípio Multiplicativo, há 3 × = 3 × 10 = 30 2 possibilidades para a premiação de dois desses meninos com medalhas iguais. No segundo caso, se as medalhas recebidas pelos 2 meninos premiados são diferentes, há 3 possibilidades para os tipos de medalhas: ouro e prata; ouro e bronze; e prata e bronze. Em cada uma dessas possibilidades, a mais valiosa será recebida por 1 dos 5 meninos e a outra por um dentre os 4 meninos restantes. Assim, pelo Princípio Multiplicativo, nesse caso, o número de formas diferentes de premiação é 3 × 5 × 4 = 60. Portanto, pelo Princípio Aditivo, o número total de formas diferentes de ocorrer a premiação é 30 + 60 = 90.

a


3

QUESTÃO 6 ALTERNATIVA E Joãozinho precisa levar a peça preta até o canto superior esquerdo do tabuleiro, indicado pelas setas. Para fazer isso, a peça preta precisa andar para cima e para a esquerda, sem nunca voltar com ela para a direita ou para baixo. Inicialmente, Joãozinho deve andar com a pedra preta para cima, fazendo três movimentos, indicados na figura abaixo:

Ele deve andar com a pedra preta para cima, pois a outra possibilidade (andar com a pedra preta para a esquerda) requereria cinco movimentos, veja:

Como ele quer realizar o menor número possível de movimentos, ele opta em movimentar a pedra preta para cima, realizando três movimentos. Após fazer isto, ele deve andar com a pedra preta para a esquerda, fazendo novos três movimentos.

Se ele optasse por andar com a pedra preta para cima faria cinco movimentos, veja:

Deste modo, sempre optando em realizar o menor número de movimentos, ele escolhe mover a pedra preta para a esquerda, com outros três movimentos. Assim, para levar a pedra preta até o canto superior esquerdo do tabuleiro, com o menor número de movimentos possível, Joãozinho deve andar com a pedra preta sete casas para cima e seis casas para a direita, alternando esses movimentos e começando para cima, gastando sempre três movimentos cada vez que a pedra preta andar uma casa. Logo, o número mínimo de movimentos necessários é 3 × 7 + 3 × 6 = 21 + 18 = 39.

a


4

QUESTÃO 7 ALTERNATIVA A Sejam x e y os dois números. Vamos usar as conhecidas identidades do quadrado da soma (x + y)2 e do cubo da soma (x + y)3 para encontrar uma identidade para a soma dos quadrados x 2 + y 2 : (x + y)2 = x 2 + 2xy + y 2 (x + y)3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 Do quadrado da soma podemos concluir que x 2 + y 2 = (x + y)2 − 2xy e do cubo da soma podemos concluir que 3x 2 y + 3xy 2 = (x + y)3 − (x 3 + y 3 ) Evidenciando o produto 3xy no lado esquerdo da identidade acima 3xy(x + y) = (x + y)3 − (x 3 + y 3 ) e isolando o produto xy (não há problema em dividir por 𝑥 + y, pois 𝑥 + y = 3), temos (x + y)3 − (x 3 + y 3 ) xy = 3(x + y) Substituindo esse produto na identidade da soma dos quadrados temos 2 (x + y)3 − (x 3 + y 3 ) x 2 + y 2 = (x + y)2 − (x + y) 3 Agora, como x + y = 3 e x 3 + y 3 = 25, segue que x 2 + y 2 = (3)2 −

2 (3)3 −(25) 3

(3)

= 9−

2 27−25 3

3

=9−

22 33

4

81−4

9

9

=9− =

=

77 9

.

QUESTÃO 8 ALTERNATIVA B Marcelo saiu de casa às 15h. Ele caminhou durante x minutos, até perceber que esqueceu a carteira. Para voltar a sua casa, correndo, ele levou metade desse tempo, igual a x/2 minutos. Ele permaneceu em casa 3 minutos procurando a carteira e saiu correndo até chegar à estação. Chegou à estação às 15h30min e gastou 12 minutos nesta última corrida. Logo,

x

x 2

3 12

30

3x 2

15

x

10

.

Portanto, Marcelo lembrou-se da carteira às 15h10min. QUESTÃO 9 ALTERNATIVA D A figura ao lado mostra como fica a tira se desfizermos a última dobra realizada por Júlia. Observemos que a fita está com uma sobreposição na região quadrada indicada pela letra A. Para medir o comprimento da tira, vamos medir os segmentos indicados na figura, pelas letras P, Q, R, S e T, que compõem a borda da tira, destacada pela linha preta mais grossa. Para isso, indicaremos o comprimento de um segmento, em centímetros, escrevendo seus pontos extremos. Por exemplo, escreveremos PQ para representar o comprimento do segmento que une os pontos P e Q. Temos: PQ = 3+4+3 = 10 QR = 5 RS = 3+4+3 = 10 ST = 5+3 = 8 Portanto, o comprimento da tira é igual a 10 + 5 + 10 + 8 = 33 cm.

a


5

QUESTÃO 10 ALTERNATIVA C Para obter a maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção, Joãozinho deve desenhar as próximas retas em uma disposição de tal modo que, cada nova reta desenhada, intersecte cada circunferência já desenhada em dois pontos, e intersecte cada reta já desenhada em um ponto, todos distintos entre si e dos já desenhados. A maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção que a terceira reta pode gerar é 2+2+1+1 = 6 pontos. A maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção que a quarta reta pode gerar é 2+2+1+1+1 = 7 pontos. A maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção que a quinta reta pode gerar é 2+2+1+1+1+1 = 8 pontos. Logo, a maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção é 11+6+7+8 = 32 pontos.

QUESTÃO 11 ALTERNATIVA B Para simplificar nossa escrita, vamos escrever un para representar o algarismo das unidades do número a n ; assim, precisamos determinar u2015. Observemos os três primeiros termos da sequência: a1 = 3, a 2 = 3 + 32 = 3 + 9 = 12 e a 3 = 12 + (12)2 = 12 + 144 = 156. Agora, é claro que u2 = 2 e u3 = 6. Por outro lado, poderíamos determinar u3 sem calcular o valor de a 3 . De fato, a 3 é a soma de duas parcelas cujos algarismos das unidades são 2 e 4, respectivamente. Logo, u3 = 2 + 4 = 6. Aplicando essa mesma ideia para a 4 = 156 + (156)2 , vemos que u4 é a soma de duas parcelas cujos algarismos das unidades são, ambos, iguais a 6. Portanto, u4 = 2. Novamente aplicando este raciocínio, concluímos que u5 = 6, pois é a soma de duas parcelas cujos algarismos das unidades são iguais a 2 e 4, respectivamente. Assim, aplicando este argumento sucessivamente, a partir do segundo número da sequência, concluímos que os algarismos das unidades dos números da sequência, determinam uma nova sequência que é formada, alternadamente, apenas pelos números 2 e 6. Mais precisamente, un = 2, sempre que o índice n for par, e un = 6, sempre que o índice n for ímpar. Consequentemente, u2015 = 6. QUESTÃO 12 ALTERNATIVA B Na roleta das centenas, a probabilidade de a seta parar no setor marcado com o número 3 é de 1/2, e a probabilidade de a seta parar no setor marcado com os números 1 ou 2 é de 1/4 para cada um deles. Na roleta das dezenas, a probabilidade de a seta parar num dos setores marcados com os números 1, 3, 4, 5 e 8 é de 1/5 para cada um deles. O número determinado pelas setas, depois de giradas, é maior que 260 quando acontece alguma das situações seguintes: A seta da roleta das centenas para no setor marcado com 3, o que acontece com probabilidade 1/2. Não importa o que ocorre nas casas das dezenas e das unidades. A seta da roleta das centenas para no setor marcado com 2 e a seta do setor das dezenas para no setor marcado com 8, o que acontece com probabilidade (1/4) x (1/5). Não importa o que ocorre na casa das unidades. Assim, a probabilidade de que o número determinado pelas setas, após serem giradas, seja maior do que 260 é 1 1 1 1 1 + ∙ = + 2 4 5 2 20 o que representa uma porcentagem de 50% + 5% = 55% de probabilidade.

a


6

QUESTÃO 13 ALTERNATIVA A O lado do quadrado cuja área é 1 tem comprimento 1. Para calcular a área da região S compreendida entre os ̅̅̅̅, temos que a distância x quadrados ABCD e APQR, no primeiro caso, em que o ponto P está no segmento AB 2 varia entre 0 e 1 e a expressão para a área é S(x) = 1 – x , cujo gráfico é um arco de parábola com concavidade para baixo. 2 No segundo caso, quando o ponto B está no segmento ̅̅̅̅ BP, temos que a distância x é maior do que 1 e S(x) = x – 1, cujo gráfico é um arco de parábola com concavidade para cima. O gráfico que melhor representa a variação de S em função de x, ou seja, o gráfico da função 1 − 𝑥2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑆(𝑥 ) = { é o da alternativa A. 𝑥2 − 1 , 𝑥 > 1

QUESTÃO 14 ALTERNATIVA C Os números de pontos de cada figura formam uma sequência chamada de números pentagonais. Observe que, a partir da figura n, n≥1, a figura n+1 é obtida acrescentando-se à figura anterior 4 novos pontos (vermelhos) que serão os vértices e n novos pontos (azuis) em cada um dos três lados opostos ao vértice fixo, totalizando 4+3n novos pontos. Assim, se a vigésima figura possui 651 pontos a vigésima primeira terá 651 + 3 x 20 + 4 = 715 pontos.

QUESTÃO 15 ALTERNATIVA D O paranaense está entre o goiano e o mineiro. Como o goiano sentou-se entre Edson e Adão, temos duas possibilidades: Edson é paranaense ou Adão é paranaense.

Eliminamos o caso em que Edson é paranaense com a informação de que "Edson sentou-se tendo como vizinhos Carlos e o sergipano", pois se Edson fosse paranaense ele estaria entre o goiano e o mineiro. Portanto, Adão é o paranaense. Como Edson sentou-se entre Carlos e o sergipano, concluímos que Carlos é goiano e o lugar entre Edson e o mineiro é do sergipano. A última informação do enunciado diz que Bruno sentou-se entre o tocantinense e o mineiro. Logo, Edson é tocantinense e Bruno é sergipano. Portanto, Daniel é mineiro.

a


7

QUESTÃO 16 ALTERNATIVA D Considerando cada par de irmãos, o mais velho retira duas moedas do pote pelo irmão mais novo, enquanto o mais novo coloca uma moeda no pote pelo mais velho. Logo, para cada par de irmãos, uma moeda é retirada do n(n−1) pote. Se forem n os filhos de João, há pares de irmãos e, portanto, este é o número total de moedas 2

n(n−1)

2

retiradas do pote no processo. Logo, temos = 100 − 22 = 78. Daí resulta n – n – 156 = 0. Resolvendo a 2 equação do segundo grau, obtemos n = 13 ou n = –12. Logo, João tem 13 filhos. Outra solução: Na tabela, numeramos os irmãos de 1 a n, com idades crescentes: irmão 1 n-1 2x0

moedas que coloca moedas que tira

irmão 2 n-2 2x1

3 n-3 2x

...

irmão n-2 2 2x(n-3)

irmão n-1 1 2x(n-2)

irmão n 0 2x(n-1)

A segunda linha é o dobro da primeira, portanto o que sobra de moedas é igual à soma 1 + 2 + ...+ n - 1 = 𝑛(𝑛−1)

2

𝑛(𝑛−1) 2

e,

portanto, temos = 100 − 22 = 78. Daí resulta n – n – 156 = 0. Resolvendo, como antes, obtemos n = 13 ou 2 n = –12. Logo, João tem 13 filhos. QUESTÃO 17 ALTERNATIVA B Seja O o centro da circunferência, OM a altura do triângulo OAB relativa à base AB e ON a altura do triângulo OCD relativa à base CD. Como AB é paralelo à CD, segue que os pontos M, O e N estão alinhados e que MN é a altura do trapézio. Vamos denotar OA = OB = OC = OD = r, OM = x e ON = y. A altura do trapézio é, assim, igual a x + y = 9 cm. Como o triângulo OAB é isósceles com base AB = 16 cm, segue, pelo Teorema de Pitágoras, que r 2 = 82 + x 2 De forma análoga, como o triângulo OCD é isósceles com base CD = 10 cm, segue, pelo Teorema de Pitágoras, que r 2 = 52 + y 2 Subtraindo a segunda equação da primeira, e usando que y 2 − x 2 = (y + x)(y − x), temos (y + x)(y − x) = 82 − 52 = 39 Embora o desenho indique que o centro da circunferência esteja dentro do trapézio, este fato pode ser confirmado pois se centro da circunferência estivesse no exterior ao trapézio, teríamos as seguintes equações: x−y=9 39 13 { y+x= = 9 3 20 7 que resultariam em x = e y = − , o que é impossível já que y > 0. Assim, o centro da circunferência é interior 3

3

ao trapézio e temos as seguintes equações:

7

20

3

3

que resultam em x = e y =

x+y=9 39 13 { y−x= = 9 3

.

Pelo Teorema de Pitágoras, segue que

e, portanto,

7 2 49 576 + 49 625 r 2 = 82 + ( ) = 64 + = = 3 9 9 9 625 25 r=√ = 9 3

a


8

QUESTÃO 18 ALTERNATIVA C Os dados do problema estão organizados na tabela abaixo:

2

Pessoa

Quantidade de livros que comprou

Preço por cada livro

Quanto a pessoa gastou

Amiga 1

a1

a1

a1

Amiga 2

a2

a2

a2

Amiga 3

a3

a3

a3

Namorado da amiga 1

n1

n1

n1 = a1 - 32

Namorado da amiga 2

n2

n2

n2 = a2 - 32

Namorado da amiga 3

n3

n3

n3 = a3 - 32

2

2 2 2

2

2

2

2

2

2

5

Como ni = ai – 32, i = 1, 2, 3, então (ai – ni). (ai + ni ) = 32 = 2 . Cada uma das parcelas do membro direito da última igualdade é um número inteiro positivo e, portanto, há apenas duas soluções (a i = 9, ni = 7) e (ai = 6, ni = 2), devido à decomposição única em fatores primos. Na primeira solução, a mulher comprou dois livros a mais do que o seu namorado e na segunda ela comprou 4 livros a mais do que o namorado. Como as mulheres compraram oito livros a mais do que os homens, só resta a possibilidade de um casal ter comprado 6 + 2 = 8 livros e os outros dois casais terem comprado, cada um deles 9 + 7 = 16 livros. Deste modo a quantidade total de livros comprada foi 8 + 16 + 16 = 40. QUESTÃO 19 ALTERNATIVA C

QUESTÃO 20 ALTERNATIVA E Fazendo uma planificação da lateral do cilindro (abrindo-o sem distorções), cortando-o pela geratriz que a Borda pela aranha, teremos a seguinte situação:

Q

O caminho de menor distância que a aranha deve seguir para capturar a mosca é o segmento AQ, sendo Q o refletido de M com relação à reta que corresponde à borda superior da lata. O problema pede que encontremos a distância ente os pontos P e M, pois esta é a distância percorrida pela aranha na superfície interna da lata. Como a distância de P a M é igual à distância de P a Q, pela semelhança dos triângulos AQS e PQR, vemos que PR = 3 cm (PR/15 = 4/20). Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, vemos que a distância de P até Q é 5 cm.

P

4 cm R

4 cm M 12 cm

1 cm

A

S

15 cm

superior da lata

15 cm

17 cm

Solução da prova da 1ª Fase O maior número de três algarismos é 999. Se dividirmos 999 OBMEP por 13, temos 2016 –como Nível 3 resultado 76 e resto 11. Logo 999 – 11 = 988 é o maior múltiplo de 13 com três algarismos e a soma de seus algarismos é 9 + 8 + 8 = 25.

1

QUESTÃO 1 QUESTÃO 6 ALTERNATIVA B ALTERNATIVA B O enunciado da questão mostra o dado em suas duas primeiras posições. Continuando O enunciado da questão mostra o dado em suas duas primeiras posições. Continuando os sucessivos os sucessivos giros, observamos que as faces do dado se comportam da seguinte maneira: giros, observamos que as faces do dado se comportam da seguinte maneira: Após o 1º. giro: 3 6

Após o 2º. giro:

2

5

6

Após o 3º. giro:

4

3

Após o 4º. giro:

Após o 5º. giro:

6

5 6

2

6

4

2

3

4

2

6

Após o 6º. giro: 2 6 SOLUÇÕES 1ª FASE N3 4 2016 SOLUÇÕES 1ª FASE 2016 N3 SOLUÇÕES 1ª FASE 2016 N3

QUESTÃO 1 QUESTÃO 1 B ALTERNATIVA QUESTÃO 1 no topo do dado quando este estiver sobre a casa cinza é 2. Assim, o número que aparece ALTERNATIVA B Assim, o número B que aparece o topo do dado quando este estiver sobre a casa cinza é 2. ALTERNATIVA

N1Q6 N1Q6 N1Q6 QUESTÃO 2 QUESTÃO 7 QUESTÃO 2

ALTERNATIVA E QUESTÃO 2 C ALTERNATIVA C Observe ALTERNATIVA QUESTÃO 2 que

a cartela com seis adesivos é idêntica à primeira cartela acrescida dos

ALTERNATIVA C Inicialmente, analisar posição relativa Ana e Beatriz. Observe a posição ALTERNATIVA C. Logo, adesivos evamos o preçoada cartela com seis entre adesivos é igual a 16 reais mais o preço Inicialmente, vamos analisar a posição relativa entre Ana e Beatriz. Observe a posição desses dois adesivos. Por outro lado, esses dois adesivos aparecem na segunda cartela Inicialmente, da Ana na fila:vamos analisar a posição relativa entre Ana e Beatriz. Observe a posição da Ana na fila: juntamente e , mas esses dois últimos adesivos juntos custam 5 reais, da Ana nacom fila:os adesivos como mostra a terceira cartela. Logo o preço dos adesivos e , juntos, é 12 – 5 = 7 reais e, como conseqüência, a cartela com seis adesivos custa 16 + 7 = 23 reais. Observe uma variação da solução:

Como entre há 12Ana pessoas entre Ana tem e Beatriz, Beatriz que estar antes da Ana. Como há 12 pessoas e Beatriz, Beatriz que estar antes tem de Ana. Como há 12 pessoas entre Ana e Beatriz, Beatriz tem que estar antes da Ana.

Como há 12 pessoas entre Ana e Beatriz, Beatriz tem que estar antes da Ana.

Como há uma pessoa a mais entre Beatriz e Carla do que entre Ana e Carla, podemos Como há uma pessoa a mais entre Beatriz e Carla do que entre Ana e Carla, podemos

Como hámais uma pessoa a mais entre e Carla que entre Anaconcluir e Carla,que podemos Como há uma concluir pessoa a entre Beatriz e Carla doBeatriz entre Ana edoCarla, podemos Carla está entre Carla está entre Beatriz eque Ana. Ou seja,que concluir que Carla está entre Beatriz e Ana. Beatriz e Ana. concluir que Carla está entre Beatriz e Ana. Portanto, o preço da cartela com 6 adesivos é igual a 16 + 12 – 5 = 23 reais.

Logo Beatriz está à frente de Carla que está a frente de Ana. Logo Beatriz está à frente de Carla que está a frente de Ana. Logo Beatriz está à frente de Carla que está a frente de Ana.

QUESTÃO 3 Carla, que está à frente de Ana. Logo Beatriz está à frente de QUESTÃO 3 D ALTERNATIVA QUESTÃO 3 ALTERNATIVA D Primeiramente que os triângulos ABC e ALTERNATIVAobserve D

Primeiramente observe que os triângulos ABC e Primeiramente observee,que os triângulos ABC e DEB são congruentes portanto, o segmento DEB são congruentes e, portanto, o segmento DEB congruentes o segmento AB temsão a mesma medidae,doportanto, lado DE do triângulo AB tem a mesma medida do lado DE do triângulo AB tem a mesma medida do lado DE do triângulo Q. Utilizando o Teorema de Pitágoras no Q. Utilizando o Teorema de Pitágoras no Q. Utilizando o Teorema no triângulo ABC, temos que área de RPitágoras = área de P triângulo ABC, temos que área de R = área de P ABC, temos que área de R = área de P +triângulo área de Q.

E E E C C C B

D

Como háque umaCarla pessoa mais Beatriz entre Beatriz concluir estáaentre e Ana.e Carla do que entre Ana e Carla, podemos concluir que Carla está entre Beatriz e Ana. Solução da prova da 1ª Fase OBMEP 2016 – Nível 3

2

Logo Beatriz está à frente de Carla que está a frente de Ana. Logo Beatriz está à frente de Carla que está a frente de Ana.

QUESTÃO 3 QUESTÃO 3 ALTERNATIVA D QUESTÃO 3 ALTERNATIVA D

PrimeiramenteDobserve que os triângulos ABC e ALTERNATIVA Primeiramente observe que os triângulos ABC DEB são congruentes Primeiramente observe que os triângulos ABC e DEB são congruentes e, eportanto, o segmento e, portanto, o segmento AB tem a mesma medida do lado DE do DEB sãoa mesma congruentes e, do portanto, AB tem medida lado DEodosegmento triângulo triângulo Q. Utilizando o aTeorema Pitágoras no ABC,no AB mesmaode medida do lado DE do triângulo Q. tem Utilizando Teorema de triângulo Pitágoras temos que área de R = área de P + área de Q. Q. Utilizando o Teorema Pitágoras triângulo ABC, temos que áreade de R = área deno P 2 Portanto, a área triângulo de Q é 168 – 24 temos = 144 cm . área de R = área de P que + área deABC, Q.

+ área de Q. Portanto, a área de Q é 168 – 24 = 144 cm2. Portanto, a área de Q é 168 – 24 = 144 cm2.

E E C C A A

B B

D D

QUESTÃO 4 ALTERNATIVA E

QUESTÃO 4 ALTERNATIVA E Devemos fazer uma análise das uma a uma. Inicialmente faremos isto com QUESTÃO 4 alternativas ALTERNATIVA E uma abordagem qualitativa.

Devemos fazer uma análise das alternativas uma a uma. Devemos fazer uma análise das alternativas uma a uma. Inicialmente faremos isto com uma abordagem qualitativa. Esta alternativa éInicialmente incorreta pois há dois patamares de A e B de mesmo tamanho (7%) faremos isto com uma abordagem qualitativa. O aumento percentual do preço de oBmaior foi maior do que o de A. de e um patamar dea) B menor do que o de A. Logo, A teve aumento percentual a) O aumento percentual do preço de B foi maior do que o de A. preço. Esta alternativa é incorreta pois há dois patamares de A e B de b) O aumento percentual dos preços dos dois produtos foi o mesmo. mesmo tamanhoé (7%) e umpois patamar de patamares B menor dode que A. Esta alternativa incorreta há dois Ao e de B de Essa alternativa mesmo também é falsa. Como dois patamares iguais o segundo Logo A tamanho teve o maior total dede preço. (7%)aumento e umdos patamar Bsão menor doe que o de A. patamar de A é maior que ooprimeiro patamar de B, então o aumento percentual de Logodo A teve maior aumento total de preço. a) O aumento percentual do preço de B foi maior do que o de A.

A foi maior do que o de B. c) O aumento percentual do preço de A foi de exatamente 13%. Também é falsa. A segunda taxa de aumento do produto A (6%) incide sobre o preço já acrescido do primeiro aumento (7%). Assim os aumentos percentuais não se somam e, com certeza, o aumento percentual anual do produto A foi maior do que 13%. d) O preço de A diminuiu e o de B aumentou. preço do produto A. Os preços de A e de B com certeza aumentaram. e) O aumento percentual do preço de B foi maior do que 12%. primeiro aumento. Todas as conclusões acima também podem ser obtidas quantitativamente. a) O produto A aumentou 7%, depois, 6%, o que dá um percentual total de 13,42%. De fato, se PA é o preço inicial de A, o PA + (7/100) PA + (6/100) (PA + (7/100) PA) = PA + (13,42/100) PA . Do mesmo modo, se PB é o preço inicial do produto B, o preço de B depois dos aumentos nos dois semestres será PB + (12,35/100) PB . b) Como vimos acima, o aumento de preços não foi igual para os dois produtos. Portanto, esta alternativa é falsa. c) Vimos também que o aumento de preço para o produto A foi de 13,42%. Portanto, esta alternativa também é falsa. d) Pelo exposto acima, os preços de A e de B aumentaram. Houve um decaimento na porcentagem do aumento do produto A de um semestre para o outro. e) O aumento do preço de B foi de 12,35%, portanto, maior do que 12%. Alternativa correta.

Solução da prova da 1ª Fase OBMEP 2016 – Nível 3

3

QUESTÃO 5 ALTERNATIVA A Se considerarmos a soma dos números: 130

alunos que comem carne

150

alunos que comem massa

70

alunos que não comem carne nem massa,

teremos um total de 350 pessoas. Nesta soma contamos duas vezes os alunos que comeram carne e macarrão, ou seja, ela é igual ao número total T de alunos, acrescentado de (1/6)T, que é o número de estudantes que comeram carne e macarrão, fornecido pelo enunciado. Teremos então 350 = T + (1/6) T = (7/6) T. Logo T = 300 e (1/6) T = 50. Assim, comeram apenas carne 130 – 50 = 80 alunos.

QUESTÃO 6 ALTERNATIVA C

A

1 Ana, Beatriz e Cecília

B C

2

3

Ana Beatriz e Cecília

Cecília

4 Beatriz e Cecília

5 Ana e Cecília

Beatriz

D

Ana

E

Ana

Beatriz

A prova tem cinco questões. pelo menos duas questões em comum, e a tabela nos mostra que elas acertaram as questões 1 e 5. Mas Beatriz também acertou a questão 1; logo, , logo, ela acertou também a questão 3. Segue que Ana errou a questão 3.

QUESTÃO 7 ALTERNATIVA E

Após Bento ter corrido 1800 metros,

Outra solução: Sejam t1 e t 2 os tempos que André e Bento demoraram, respectivamente, para completarem a corrida. Vamos calcular quanto Carlos correu decorrido o tempo t 2. Denotaremos essa distância por s(t2) e as velocidades de Bento e Carlos por vB e vC, respectivamente. Então, s(t2) = vC . t2 = vC . (2000/vB). Mas, logo, s(t2

,

M + N = 1357 e M = 10N + b. Portanto, 10N + b + N = 1357 => 11N + b = 1357 Solução da prova da 1ª Fase

Como 1357 deixa resto 4 na divisão por 11, temos que 11N + b = 1353 + 4. Logo b – 4 OBMEP 2016 – Nível 3 = 11 x 123 – 11N . Portanto, b – 4 é múltiplo de 11. Como b é um algarismo, b só pode ser igual a 4.

4

QUESTÃO 8 QUESTÃO 14 Nesta soma contamos duas vezes os alunos que comeram carne e macarrão, ou seja, ela é ALTERNATIVA C ALTERNATIVA C

igual ao número total T de alunos, acrescentado de (1/6)T, que é o número de estudantes A área do quadrilátero ACDF é a soma das áreas dos triângulos ACD e A área do quadrilátero ACDF é a que soma das áreas dosetriângulos ACD e ADF.pelo O triângulo ACD comeram carne fornecido enunciado. ADF. O triângulo ACD tem base CD macarrão, = 2 e altura AB = 10 relativa à base tem base CD = 2 e altura AB = 10 relativa à base CD, enquanto o triângulo ADF tem base FAe==(1/6) Teremos então 350 + (1/6) (7/6) T = 300 CD, enquanto que o triângulo ADF= Ttem baseT =FA = 6T. eLogo altura DE 7 T = 50. Assim, comeram 6 e altura DE = 7 relativa à baseFA. FA.Logo Logo,aa área área do relativa à base dotriângulo triânguloACD ACD é (2 x 10 10 e a apenas carne 130 – 50 = 80 alunos. do triângulo ADF ACDF área do triângulo ADF é (6 x 7) 21. Somando essas áreas, obtemos tem área 31. que o quadrilátero ACDF6tem área 31. QUESTÃO ALTERNATIVA C

QUESTÃO 9 QUESTÃO 15 N2Q6 ALTERNATIVA D ALTERNATIVA D

QUESTÃO 7 N1Q18 Como o número total de bolas em cinco caixas primeira 2000 até a ALTERNATIVA E consecutivas é sempre o mesmo, a quantidade de bolas da 1800 quinta caixa deve ser igual à quantidade de bolas da segunda até a sexta caixa: QUESTÃO 16 200 o (no de bolas na Caixa 5) = ALTERNATIVA B o André Carlos Bento de bolas na Caixa 5) + (no de bolas na Caixa 6)

Consideremos n um número inteiro positivo e, Bento correr 1800 ele vamos fic metros à frente de Carlos. Portanto, seguindo o Após padrão indicado pelas metros flechas, Pelo mesmo motivo, começando da segunda caixa e depois na terceira caixa, quando Bento correr , ele aumentará a distância para acompanhar o preenchimento das mais n primeiras casas da o o de bolas na Caixa 5) + (n de bolas na Caixa 6) = Carlos em mais metros. Logo, ao cruzar a linha de chegada, Bento estará tabela. Observemos que n será um 10 quadrado perfeito o o o de somente bolas na Caixa 5) + (n deque bolas Caixa 6) + (nde depelas bolascasas na Caixa 7). à formada frente Carlos. no caso em a na tabela preenchidas quadrada. Isso ocorre apenas quando a Logo, o número de bolas na for Caixa 7 é 5. Outra solução: Sejam t1 e t2 os tempos que André e Bento demoraram, última casa preenchida estiver na primeira coluna (quando respectivamente, para completarem a corrida. Vamos calcular quanto Carlos correu o mesmo número de bolas que o da Caixa 5 e a Caixa 11, o mesmo número de bolas que o da Caixa 6, o qual é igual ao decorrido o tempo t2. Denotaremos esta distância por s(t2) e as velocidades de Bento e número de bolas na Caixa 1, como vimos acima. As quantidades de bolas repetem-se a cada cinco caixas. Carlos por vB e vC, respectivamente. Então Logo, (no de bolas na Caixa 1) = (no de bolas na Caixa 6).

Na ilustração há a informação de que as caixas contendo 3 e 7 bolas são vizinhas; para que isto ocorra, a Caixa 1 deve conter 7 bolas e as caixas 5 s(t e 62)devem 3 e 7 bolas. Assim, os conteúdos das caixas formam a = vC . conter, t2 = vC respectivamente, . (2000/vB).

Mas,

,

Para descobrir o conteúdo da Caixa 2016, fazemos a divisão de 2016 por 5; o resto é 1 e isto nos diz que o conteúdo da (1710/1800) 20002016 contém 7 bolas. u a linha de s(t2)1,= ou Caixa 2016 é o mesmo que ologo, da Caixa seja, que a .Caixa

chegada, Carlos estava 2000 –

Solução 2: (utilizando Álgebra)

.

Sejam x1, x2, x3, x4, x5 e x6 QUESTÃO 8 ALTERNATIVA C número total de bolas em cincos caixas consecutivas é sempre o mesmo, segue que x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 e, consequentemente,N2Q14 x1 = x6. Assim, caixas cujos números diferem por cinco unidades contêm o mesmo número QUESTÃO 9 da ilustração. Assim, a caixa ALTERNATIVA de número 2016Dcontém a mesma quantidade de bolas que a Caixa 1, a saber, 7 bolas.

N1Q18

QUESTÃO 10 ALTERNATIVA A

QUESTÃO 10 ALTERNATIVA A

Vamos chamar de r e R o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio do semi respectivamente. que o lado do quadrado mede 2r. Observando o triângulo retângulo destacado na

Vamos chamar de r e R o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio do

, podemos escrever:

Como a circunferência está inscrita no quadrado, temos que o lado do quadrado mede 2r. Observando cm2na . figura e usando o o triângulo retângulo destacado

teorema de de Pitágoras, podemos escrever: teorema Pitágoras, podemos escrever: Assim, a

cm2.

é

Assim, a a Assim, QUESTÃO 11

Solução da prova da 1ª Fase

2 2 . . cmcm

é é

OBMEP 2016 – Nível 3

5

ALTERNATIVA B QUESTÃO 11 11 QUESTÃO ALTERNATIVA B B A região cinza pode ser dividida em três regiões, indicadas nas figuras abaixo: ALTERNATIVA QUESTÃO 11

ALTERNATIVA BA região cinza pode ser dividida em três regiões, indicadas nas figuras abaixo: A região cinza pode ser dividida em três regiões, indicadas nas figuras abaixo:

R1 R1 R1 R R3 R3 2 R2

R2

R3 (10 – x)/2

(10 – x)/2

(10 – x)/2 R2 (10(10 – x)/2 – x)/2 R R3 1 (10 – x)/2 (10(10 – x)/2 – x)/2 [10 x)/2] + x (10 – x)/2 (10 – x)/2 R2 R2 x R1 R(10 R=3 R (10 1 (10 3 + x)/2 – x)/2 – x)/2 [10[10 - x)/2] + x+ x - x)/2] x x = (10 + x)/2 = (10 + x)/2

Assim, a área A(x) da região cinza é dada por Assim, a área A(x) da da região cinza é dada porpor Assim, a área A(x) da região éA(x) dada por Assim, acinza área região cinza é dada

Logo, A(x) é representada graficamente, para

, por uma parábola

Logo, A(x) umacom parábola com 1concavidade baixo com com concavidade voltada para, por baixo = - uma 5 e parábola x2voltada = 10 para e vértice de Logo, A(x) é representada graficamente, para , por Logo, A(x) é representada graficamente, para , por uma parábola = 5 e x = 10 e abscissa do vértice coordenadas 1 2

com concavidade voltada para baixo com com concavidade voltada para baixo com coordenadas coordenadas

1

=1 -= 5- e5 xe2 x=2 10 e vértice de de = 10 e vértice

. A(x) da região cinza em função de x é o da alternativa B.

. . Logo, o gráfico que expressa a área A(x) da região cinza em função de x é o da alternativa B. Logo, o gráfico queque expressa a área A(x) da da região cinza emem função de de x éxoéda Logo, o gráfico expressa a área A(x) região cinza função o da QUESTÃO 12 alternativa B. alternativa B.

ALTERNATIVA E QUESTÃO 12 12 QUESTÃO ALTERNATIVA E E ALTERNATIVA


6

QUESTÃO 12 ALTERNATIVA E Na figura, os segmentos auxiliares

FG

e FB são perpendiculares aos catetos

AH e AC , respectivamente. Usaremos a notação AB tanto para indicar o segmento, como para sua medida.

FG FB x , então, ABFG é um quadrado de lado x , logo, FG FB AB AG x . Além disso, dos dados do problema AD a . temos que AC AH b e AI

Usando a simetria da figura, se

Por outro lado, os triângulos BDF e ADH são semelhantes; logo, vale a seguinte relação:

a

x a

x . b x

e

ab . Finalmente, a área do quadrilátero ACFH (ele pode ser decomposto nos triângulos AFH a b

AFC ) é dada por área( ACFH )

2

bx 2

bx

ab2 . a b

CH e DI . Os triângulos DFI

Outra solução:

CFH X

são semelhantes com razão de semelhança

e por Y as áreas dos triângulos

CFH e

DI CH

2a 2b

e

a . Denotando por b

DFI , respectivamente, temos que

2

Y

a X. b2

Por outro lado, temos que área(CDF )

Y

X

( a b) a 2

a2 1 X b2

(a b)b 2

( a b) 2 . Usando que Y 2

( a b) 2 , de onde obtemos que X 2

área( ACFH )

b2 2

(a b)b2 2(a b)

2ab 2 2(a b)

( a b) a Y 2

(a b)b 2

X , ou seja,

a2 X temos a igualdade b2

( a b) 2 b 2 2 a 2 b2

(a b)b2 . Finalmente, 2(a b)

ab 2 . a b

QUESTÃO 13 ALTERNATIVA B Tomando x = 0, obtemos f (1) + 2 f (0) = 3 x 0 = 0. Logo, f (1) = – 2 f (0). Tomando x = 1, obtemos f (0) + 2 f (1) = 3 x 1 = 3. Substituindo f (1) = – 2 f (0), nessa equação, obtemos f (0) + 2. (– 2 f (0)) = 3. Equivalentemente, – 3 f (0) = 3, ou seja, f (0) = – 1.

2

ALTERNATIVABB ALTERNATIVA

2(a b)

2(a b)

a b

Tomandoxx==0,0,obtemos obtemos (1)++22f f(0) (0) =33oxx00==0.0.Logo Logof f(1) (1)==- -2o2f f(0). (0). o Tomando f f(1) de bolas na Caixa 5) = + (n de bolas na Caixa 6) + (n de bolas na Caixa 7). Tomando x = 1, obtemos f (0) + 2 f (1) = 3 x 1 = 3. Substituindo f (1) = 2 f (0), nessa QUESTÃO 13 + 2 f (1) = 3 x 1 = 3. Substituindo f (1) = - 2 f (0), nessa Tomando x = 1, obtemos f (0) ALTERNATIVA equação, obtemos f (0) + 2. (-2f fB (0)) =3.3.Equivalentemente, Equivalentemente, (0)==3,3,ou ou seja,f f(0) (0) Logo, o número de bolas na=Caixa 7 é 5. equação, obtemos f (0) + 2. (-2 (0)) -3-3f f(0) seja, Solução da==prova da 1ª Fase Tomando x = 0, obtemos f (1) + 2 f (0) = 3 x 0 = 0. Logo f (1) = - 2 f (0). 7 1. - 1. OBMEP 2016 – Nível 3 De modo análogo,xvemos que o número Tomando = 1, obtemos f (0) de + 2bolas f (1) da = 3Cx 1 = 3. Substituindo f (1) = - 2 Caixa f (0), nessa QUESTÃO 14 que a Caixa 10 possui o mesmo número de bolas que o da Caixa 5 e a Caixa 11 o f (0) = QUESTÃO 14 equação, obtemos f (0) + 2. (-2 f (0)) = 3. Equivalentemente, -3 f (0) = 3, ou seja, ALTERNATIVA ALTERNATIVA BB número de bolas que o da Caixa 6, o qual é igual ao número de bolas na Caixa 1, mesmo - menor 1. Sejamxxoolado lado doretângulo retângulo ABEF, ABEF,bboo QUESTÃO 14 vimos Sejam menor do como acima. As quantidades de bolas repetem-se a cada cinco caixas. ladomaior maiorde deABEF ABEF ehhaaaltura alturado dotriângulo triânguloBCI BCI ALTERNATIVA B lado e QUESTÃO 14 comrelação relação aolado ladoBC. BC. área dotriângulo triângulo BHE No ao ilustração háAAaárea informação de que as caixas contendo 3 e 7 bolas são vizinhas; para que com do BHE ALTERNATIVA BABEF, Sejam x o lado menor do retângulo b o lado maior de ABEF e h daárea área doretângulo retângulo ABEF, ou seja é igual isto do ocorra a Caixa 1 deve conter 7 bolas e as caixas 5 e b6 devem conter, respectivamente 3 e éé¼¼da ABEF, ou seja é igual Sejam x o lado menor do retângulo ABEF, o a b.x/4. altura A doárea triângulo BCI com relação ao lado BC. A área do triângulo do retângulo ABEF será denotada 7 bo b.x/4. A área do lado retângulo será edenotada maiorABEF deABEF, ABEF h a altura do triângulo BCI BHE ¼ da área do retângulo ou seja, é igual a b.x/4. A área por AéAABEF notações análogas serão utilizadas ABEF ee notações por análogas serão utilizadas relação aopor lado BC. A áreacaixa doanálogas triângulo BHE DeABEF fato,com não pode ocorrer que a primeira contenha 3 bolas, pois isto geraria a sequência dopara retângulo será denotada A ABEF e notações serão outras figuras geométricas. para outras figuras geométricas. é ¼ da área do retângulo ABEF, ou seja é igual 7 seria inco . b.x/4. A área do retângulo ABEF será denotada Comoos ostriângulos triângulos BIC eAIF AIF são semelhantes, ilustração no enunciado. Como os triângulos BIC são semelhantes, Como BIC eeFIA são semelhantes,

por AABEF e notações análogas serão utilizadas

Para descobrir o conteúdo Caixa 2016, fazemos a divisão de 2016 por 5; o resto é 1 e isto para outras figurasda geométricas. nos diz que o conteúdo da Caixa 2016 é o mesmo que o da Caixa 1, ou seja, que a Caixa 2016 contémComo 7 bolas. os triângulos BIC e AIF são semelhantes, Solução 2: (utilizando Álgebra)

Portanto,Sejam x1, x2, x3, x4, x5 e x6 Portanto, respectivamente. Como o número total de bolas em cincos caixas consecutivas é sempre o mesmo, segue que x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 e, consequentemente, x1 = x6. Assim, caixas cujos números diferem por cinco unidades contêm o mesmo número de bolas. os conteúdos das Portanto, , pois a outra possibilidade, 3 , Logo, . Logo, Logo, .. , a caixa de número 2016 contém a mesma quantidade de bolas que a Caixa 1, a saber, 7 bolas. QUESTÃO 15 QUESTÃO 15 QUESTÃO 15CC ALTERNATIVA ALTERNATIVA QUESTÃO ALTERNATIVA C 19 N1Q19

N1Q19ALTERNATIVA C

A

Logo, . 1ª solução:1ª solução: ABCD ABCD é igual ao QUESTÃO 16 forma de cruz pelos cinco retângulos (os que possuem números marcados em QUESTÃO 16 formada ALTERNATIVAAAQUESTÃO 15 ALTERNATIVA (destacados emnão vermelho, na ilustração ao lado). O per metro dessa ALTERNATIVA Comoaabolinha bolinhaque quecaiu caiunão foiC encontrada,nada nadase sepode podeafirmar afirmarsobre sobreela, ela,isto istoé,é,se se Como foi encontrada, igual à soma das medidas de todos os lados dos quatro retângulos externos, menos as figura é igual à soma das medidas de todos os lados dos quatro elaera erade deJoão JoãoN1Q19 ounão nãoera, era,então, então,tudo tudose sea acomo comose seela elaainda aindaestivesse estivessena na ela ou de cada um de seus lados que coincidem com lados do retângulo cinza. A somaque das retângulos externos, menos asosde cada um deem seus lados caixa. Portanto a probabilidade de João vencer é de 2 chances 20, ou seja, 2 /20 = caixa. Portanto probabilidade dequatro João retângulos vencer é de 2 chances 20, ou+seja, /20 medidas decoincidem todosa os lados 16 em + 18 + 26 14 = 2 74de e = comdesses os lados do retângulo externos cinza. A ésoma das medidas 1/10. 1/10. QUESTÃO 16

todos os lados desses ALTERNATIVA A quatro retângulos externos é 16 + 18 + 26 + ABCD. Uma outra maneira de resolver o problema édividi-lo dividi-lo emcasos: casos: nada sepois eleafirmar é Uma outra maneira de resolver o problema énão em a bolinha que caiude foi encontrada, pode sobre ela, isto é, se 2ª solução (exigeComo alguns conhecimentos Álgebra): igual

ABCD. Logo,

D

elaque eracaiu de era João ouJoão. não era, então, tudo se a se de elaÁlgebra): ainda estivesse na 2ª Neste solução (exige alguns conhecimentos Caso1.1.AAbolinha bolinha de Neste caso probabilidade decomo Joãoganhar ganhar Caso que caiu erasão aa(exige de João. caso aaprobabilidade de João 2ª solução alguns conhecimentos de Álgebra): As letras de a até f na figura as medidas dos lados retângulo cinza é 74 – 54 = 20 cm. caixa. Portanto a probabilidade de João vencer é de 2 chances em 20, ou seja, 2 /20 = suabolinha bolinhanunca nuncaserá serásorteada. sorteada. éé0,0,sua 2ª solução (exige alguns dos retângulos menores. AsÁlgebra): letras de a de atéÁlgebra): f na figura são as medidas dos lados 1/10. 2ª solução (exige alguns conhecimentos conhecimentos de

B

C

As letras de a até f na as medidas dos lados dfigura 2bdos 2retângulos 16 são menores.

As letras de As a até f de aretângulos menores. letras f na figura são as o medidas dos lados Umados outraaté maneira de 2b 2d 2aresolver 2e 18 problema é dividi-lo em casos:

16 2b 2d 16 dos retângulos menores. 2a 2e 18 2c caiu 2e era 14a2de um dos retângulos menores, temos:que Caso 1. A bolinha b João. 2d 216 aNeste 2e caso 18 a probabilidade de João ganhar retângulos menores, temos: 2c 2e 14 f sorteada. 2bum 2dos 26 é 0, sua bolinha nunca será a 2e 218 2temos: c 2e 14 um dos retângulos menores, 2b 2f 26 2b 2e ? 2c 2e 14 um dos retângulos menores, temos: 2b 2f 26 2b 2e ? 2b 2f 226 b 2e ? ABCD é ABCD é 2 a b c 2 d e f 2a 2b 2c 2d 2e2b2f 2e54.? ABCD é ABCD é 2 a b c 2 d e f 2a 2b 2cujas c 2d 2e 2f 54. 2 a b c 2 d e ABCD f 2aé 2b 2c tângulo 2d 2ecentral 2f 54. medidas são dadas, temos: tângulo central c 2 a b c 2 d e f 2a 2b 2c 2d 2e 2f 54. tângulo central cujas c2+f 2e2+a 2são b2+b 2dadas, f 2=c2a2+temos: 2b 2d 2a2b2+e2d2+c 2a2+e 2e2+b 2medidas d2b2+e2c 2+f 2d2+b2e2+e2.f + 2b + 2e medidas são dadas, temos: tângulo central cujas 2b 2d 2a 2e 2c 2e 2b 2f 2a 2b 2c 2d 2e 2f 2b 2 medidas são dadas, d 2e2a 22be 22ec 74 2e 54 2b 20 2f 2a 2b 2c 2d 2e 2f 2b 2e . Assim, Assim 16 18 14 26 542b 2b2temos: d 2a 2e 2Assim c 2e 162b 182f 142a 262b 542c 2b2d 2e2e 22bf 2 2e b 2 e . 54 20 74 do retângulo cinza 2éb202cm. Assim 16 18 14 26 54 2b 2e 2b 2e 74 54 20 do retângulo cinza é 20 cm. retângulo cinza Assim 16do18 14 26 54é 20 2bcm. 2e 2b 2e 74 54 20 QUESTÃO 20do retângulo cinza é 20 cm.


8

QUESTÃO 16 ALTERNATIVA A tudo se a como se ela ainda estivesse na caixa. Portanto, a probabilidade de João vencer é de 2 chances em 20, ou seja, 2 /20 = 1/10. Uma outra maneira de resolver o problema é dividi-lo em casos: Caso 1. A bolinha que caiu era a de João. Neste caso, a probabilidade de João ganhar é 0, sua bolinha nunca será sorteada. Caso 2. A bolinha que caiu não é a de João. Neste caso, a probabilidade de João ganhar é

foi a de João (com probabilidade 1/18).

QUESTÃO 17 ALTERNATIVA D Podemos reescrever a expressão somando e subtraindo 40 no denominador, como abaixo:

Logo, os números inteiros n tais que (5n – 12) / (n – 8) é um número natural são aqueles tais que 28 / (n – 8) é um número inteiro igual ou maior do que – 5 . Para 28 / (n – 8) ser um número inteiro, n - 8 deve dividir 28 e segue que (n – 8) = ± 1, ± 2, ± 4, ± 7, ± 14 ou ± 28 E, dentre esses números, para 28 / (n – 8) ser um número inteiro igual ou maior que – 5, segue que (n - 8) = + 1, + 2, + 4, ± 7, ± 14 ou ± 28 Logo,

n são n

Desses, sete são números naturais.

5 segue que (n - 8) = + 1, + 2, + 4, 7 , 14 ou inteiros n são n

28


9

, +10, +12, +15, +1, + 22, - 6, +36 ou -20

QUESTÃO 18 Desses, sete são números naturais. ALTERNATIVA D QUESTÃO 18 de pintura do anel I,ALTERNATIVA dividimos o problema em 3 casos. D

Numerando anéis cor como iniciando 1) O anel III deve ser pintado com os a mesma que o na anelfigura II, o queegarante que osa anéis III e IV contagem pelas possibilidades de pintura do anel I, seguintes possibilidades de escolha das cores: dividimos o problema em 3 casos. I

II

III

IV

V

VI

3

2

1

2

1

2

→24

2) O anel III deve ser pintado com cor diferente do anel II e o anel IV com a mesma cor que o anel III 1) O anel III deve ser pintado com a mesma cor que o anel

II, o que garante que

III VI e IV tenham cores diferentes. Então, pelo princípio multiplicativo, temos as seguintes possibilidades de escolha das cores:

I

II

III

IVos anéis V

3

2

1

1

2

2

→24

3) O anel III deve ser pintado com cor diferente do anel II e o anel IV com cor diferente do anel III multiplicativo, temos as seguintes possibilidades de escolha das cores: I

II

III

IV

V

VI

3

2

1

1

1

2

→12


10

QUESTÃO 19 ALTERNATIVA C

multiplicativo, isso pode ser feito de 6 x 7 x 5 = 210 maneiras diferentes; observemos que o fator 6 nessa expressão

Quantidade de Quantidade de pacotes

para colocar no pacote nada A ou B ou C AA ou BB ou CC ou AB ou AC ou BC Total

1 3 6 1 + 3 + 6 = 10

Segue, Outra solução do número de pacotes distintos que podem ser feitos em cada um desses casos, com atenção para que sempre os 1. Pacotes de figurinhas com as três bandeiras diferentes

será 5 x 6 x 4 = 120. 2. Pacotes de figurinhas com todas as figurinhas com a mesma bandeira

3. Pacotes de figurinhas com bandeiras de exatamente dois países , já que os pacotes devem conter , neste caso, o número de pacotes procurado: (5 x 6 - 1) + (5 x 4 - 1) + (6 x 4 -


11

QUESTÃO 20 ALTERNATIVA B Vamos representar o número de balas em cada saquinho pelas letras x, y, z, p, e q. Após somar as balas de quatro saquinhos escolhidos, temos cinco possibilidades para o total de balas, indicadas abaixo:

Com T = 23, ou T = 24, ou T = 26, ou T

Equivalentemente,

, ou seja,

. Como x é um número inteiro, observando os quatro

T T = 26. Portanto, x = 6. De identidades da última, obtemos os valores de y, z, p, e q:

, subtraindo cada uma das quatro primeiras

Nível a

1. Fase

Ensino Médio 6 de junho de 2017

3

Solução da prova da 1.ª Fase QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B Os quatro triângulos CDE, DAF, FED e EFB são congruentes e, portanto, têm áreas iguais a ¼ da área do triângulo maior ABC; sendo assim, a 2 área do triângulo CDE é 12 cm . Por sua vez, o triângulo EFB também pode ser decomposto em quatro triângulos congruentes, como indicado na figura, e, desse modo, os triângulos EGI e IHB têm áreas iguais a 12/4 2 = 3 cm . Logo, a área destacada em amarelo, sendo a soma das áreas 2 de CDE com EGI e IHB, é igual a 12 + 3 + 3 = 18 cm .

QUESTÃO 2 ALTERNATIVA C Como (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 e como, pelo enunciado, 𝑎 − 𝑏 = 1 e 𝑎𝑏 = 1, então 1 = 𝑎2 − 2 + 𝑏 2 . Portanto, 𝑎2 + 𝑏 2 = 1 + 2 = 3.

QUESTÃO 3 ALTERNATIVA A Como a distância de um ponto a uma figura geométrica é a menor distância desse ponto aos pontos da figura, o desenho que Celinha obtém ao traçar os pontos que estão a 1 cm da Figura 3 é a trajetória do centro de um círculo de raio 1 quando este se move pelo contorno da figura tangenciando-o. Nesse caso, as curvas obtidas são segmentos de retas ou arcos de circunferências. Nos vértices em que a figura se lança para fora, aparecem arcos de circunferências, mas isto não ocorre nos dois vértices em que a figura se lança para dentro (marcados com as setas largas). Outra solução: Uma maneira de obter o traço cujos pontos distam 1 cm da Figura 3 é considerar o contorno da figura formada ao considerar a união dos discos (círculos preenchidos) de raio 1 cm centrados em pontos da Figura 3. O contorno dessa união de discos aparece representado na alternativa A.

QUESTÃO 4 ALTERNATIVA A Como as letras P, Q, S e T estão visíveis na ilustração, essas são as faces adjacentes à face com a letra O, e a face oposta à letra O é a face com a letra R. As faces em contato entre os dados 1 e 2 não podem ser P (visível na ilustração do dado 1), nem Q ou S (visíveis na ilustração do dado 2). Portanto, tem que ser T. Olhando para o dado 2, concluímos que a face com S é oposta à face com T. Outra solução: A letra O possui quatro faces vizinhas com as letras P, Q, S e T. Primeiramente observe que Zequinha juntou o dado 2 com o dado 3 pela face P, pois esta mesma face não pode estar na junção do dado 2 com o dado 1, que possui a face P visível. Logo, os dados 1 e 2 foram juntados pela face T. Assim, S e T são faces opostas, o que responde à questão. É claro também que P é oposta a Q, bem como R, que não aparece na ilustração, é oposta a O.

Solução da prova da 1.ª fase OBMEP 2017 Nível 3

2

QUESTÃO 5 ALTERNATIVA C Chamemos de L o comprimento da pista. Como a velocidade de Ana é o dobro da de Beatriz, quando elas se encontram, Ana terá percorrido 2L/3, e Beatriz L/3. Para que isso fique mais claro, basta observar que, em um mesmo intervalo de tempo, a distância percorrida por Ana é o dobro da distância percorrida por Beatriz. Assim, quando as duas se encontram, as distâncias percorridas estarão nessa mesma proporção 2:1, e Ana terá percorrido, portanto, 2L/3. Um raciocínio análogo mostra que, quando Ana se encontra com Cristina, Ana terá percorrido o triplo de Cristina, pois a velocidade de Ana é o triplo da velocidade de Cristina. Assim, Ana terá percorrido 3L/4 e Cristina, L/4. Como a distância percorrida por Ana entre os dois encontros é de 20 metros, temos (3L/4) – (2L/3) = 20, ou seja, L = 240 metros.

QUESTÃO 6 ALTERNATIVA B Lembramos primeiro que, se 𝑎 e 𝑏 são números naturais, dizer que 𝑎 é múltiplo de 𝑏 (ou 𝑏 divide 𝑎) é dizer que existe outro número natural 𝑐 tal que 𝑎 = 𝑏𝑐. O algoritmo da divisão nos diz que, se 𝑏 ≠ 0, existem únicos inteiros 𝑞 e 𝑟 tais que 𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟 e 0 ≤ 𝑟 < |𝑏|; os números 𝑞 e 𝑟 são ditos, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de 𝑎 por 𝑏 (se 𝑟 = 0, temos o caso em que 𝑎 é múltiplo de 𝑏). Seja agora 𝑛 o número natural do enunciado. Como 𝑛 + 1 é múltiplo de 11, existe um número natural 𝑡 tal que 𝑛 + 1 = 11𝑡; do mesmo modo, existe um número natural 𝑠 tal que 𝑛 − 1 = 8𝑠. Multiplicando membro a membro essas expressões, temos (𝑛 + 1)(𝑛 − 1) = 𝑛2 − 1 = 88𝑡𝑠, ou seja, 𝑛2 = 88𝑡𝑠 + 1. Essa última expressão mostra que o resto da divisão de 𝑛2 por 88 é 1. QUESTÃO 7 ALTERNATIVA B 2 2 Se f(a) = b então 5a + a.a + b = 6a + b = b, logo a = 0. 2 2 Como f(b) = 5b + a.b + b = a, então 5b + b = 0, ou seja, b.(5b + 1) = 0. Portanto, b = 0 ou b = -1/5 e, como a e b devem ser diferentes, b = -1/5.

QUESTÃO 8 ALTERNATIVA A O cálculo da área solicitada pode ser feito em duas etapas. Na primeira, consideramos a figura ABCD formada pela metade do quadrado cujo lado tem comprimento 2 (ou seja, o triângulo ACD) e um oitavo do círculo com centro C e raio CA. A medida de CA é 2√2 , pois coincide com a diagonal do quadrado de lado 2. 4 1 A área dessa figura é: + 8π = 2 + π. 2 8 Na segunda etapa, para calcular a área da região verde, observamos que ela pode ser obtida a partir da figura completa ABCD retirando um quarto do círculo com centro em 1 D e raio DA, o qual mede 2. A área desse um quarto de círculo é 4π = π. 4 Fazendo a diferença (2 + π) − π = 2, temos a área da região verde.


3

QUESTÃO 9 ALTERNATIVA C 2017 Como 2 é a maior potência de dois que divide o produto 1 2 3 2017

produto na forma 2

Já o produto 1 2 3 1 2 1 3 2 2

2023 2024 , podemos escrever esse

I , sendo I um número ímpar. 4047 4048 pode ser escrito da seguinte maneira: 5

2 3

1 3 5

4047

2 1

1 3 5

4047

1 2 3

1 3 5

4047

I 22017

2 2023 2 2

2 3

4047 2 2023

2023 2024

2 2024 2 2024

22024

22024

O primeiro fator da última expressão também é um número ímpar, logo,

1 2 3

4047 4048 T 22017

2024

T 24041 , sendo T um fator ímpar. Assim, o expoente da maior

potência de dois que divide o produto dado é 4041.

QUESTÃO 10 ALTERNATIVA E Inicialmente definimos as variáveis AG = x e DF = y, que são os raios dos semicírculos com centros em G e F, respectivamente. O raio do semicírculo com centro em E é igual a 9/2. Como ele é tangente ao semicírculo com centro em F, EF é igual a (9/2) + y. Como CE = 9/2 e CF = 9 – y, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo CEF, temos: 2 2 2 2 2 ((9/2) + y) = (9/2) + (9 – y) → (81/4) + 9y + y = (81/4) + 81 – 18y + y → y = 3. Como os semicírculos com centros em F e G são tangentes, FG = x + y = x + 3. Além disso, DG = 9 – x e DF = 3. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo DFG, temos: 2 2 2 2 2 (3 + x) = 3 + (9 – x) → 9 + 6x + x = 9 + 81 – 18x + x → x = AG = 27/8.


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QUESTÃO 11 ALTERNATIVA C Durante a partida foram formadas várias equipes de 5 atletas, até o tempo acabar. Observamos que: a quantidade de tempo que o atleta 1 jogou (T1) é igual à soma dos tempos em jogo de cada uma das equipes de 5 de que ele participou (S1), a quantidade de tempo que o atleta 2 jogou (T2) é igual à soma dos tempos em jogo de cada uma das equipes de 5 de que ele participou (S2) , e assim por diante, até o oitavo jogador: a quantidade de tempo que o atleta 8 jogou (T8) é igual à soma dos tempos em jogo de cada uma das equipes de 5 de que ele participou (S8). Cada atleta jogou a mesma quantidade de tempo (T1 = T2 = T3 = T4 = T5 = T6 = T7 = T8); logo, o tempo que cada um jogou é (S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 ) ÷ 8. Agora, notamos que na soma S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 o tempo de jogo de cada equipe de 5 formada é somado 5 vezes. Por exemplo, se os atletas 1, 2, 3, 4 e 5 formaram uma equipe em campo, o tempo que essa equipe jogou foi considerado nas somas S1, S2, S3, S4 e S5. Assim, S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 = 5 x 60 = 300, de onde concluímos que o tempo que cada um jogou é 300 ÷ 8 minutos, o que corresponde a 37 minutos e 30 segundos. Como curiosidade, observe no diagrama abaixo como poderia ter sido realizada uma partida nos moldes do enunciado: Tempo em jogo

→

0 min

7 min 30 s

15 min

22 min 30 s

30 min

37 min 30 s

45 min

52 min 30 s

60 min

Jogador 1 Jogador 2 Jogador 3 Jogador 4 Jogador 5 Jogador 6 Jogador 7 Jogador 8 Outra solução: Imagine que pagamos, em dinheiro, cada atleta proporcionalmente ao tempo que ele jogou. Se ele jogou um tempo T recebe k × T. Como, a cada instante, temos 5 atletas em campo, no fim do jogo, teremos que pagar no total k × 5 × 60 = 300 k. Se cada um deles jogou o mesmo tempo, então receberá o mesmo pagamento que os demais. Como são 8 atletas, o soldo de cada um será 300 × k/8. Para saber quanto tempo ele jogou, basta dividir por k, o que nos fornece (300 × k) / (8 × k) = 300/8 minutos.


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QUESTÃO 12 ALTERNATIVA D Observe que a soma dos números das seis faces de um dado é 21. Assim, a soma de todos os números dos três dados é 63. Consequentemente, a maior soma que Benício pode obter é igual a 57, quando as faces em contato corresponderem aos números 1 e 2. De fato, a menor soma possível para os números das faces em contato garante a maior soma possível para os números das faces que não ficam em contato: 57 = 63 – 6 = 63 – (1 + 1 + 2 + 2). Analogamente, a menor soma possível para Benício obter é igual a 41, quando as faces em contato corresponderem aos números 5 e 6: 41 = 63 – 22 = 63 – (5 + 5 + 6 + 6). Como 16 = 57 – 41, ou seja, 16 é o resultado da diferença entre a maior soma e a menor soma possíveis, essa foi a situação observada por Benício. De fato, as demais diferenças entre as possíveis somas são menores que 16, uma vez que esse é o resultado entre as duas situações extremas. Consequentemente, as faces que não ficaram em contato nas duas observações de Benício correspondem aos números 3 e 4. Outra solução: A soma dos números de cada dado é 21. Se, na primeira montagem, os números em contato são a e b, a soma dos números que não ficaram em contato é S1 = 3 x 21 – (2a + 2b) = 63 – 2(a + b). O fator 2 se explica notando que são sempre pares de faces em contato. Além disso, temos que a e b são necessariamente distintos. Da mesma forma, na segunda montagem, se os números das faces em contato são c e d, a soma dos números que não ficaram em contato será S2 = 63 – 2(c + d). Sem perda de generalidade, podemos supor que S1 ≥ S2. A diferença entre esses números é 16, ou seja: (63 – 2(a + b)) – (63 – 2(c + d)) = 16 → (c + d) – (a+ b) = 8. Vamos analisar as possíveis soluções dessa equação, com a, b, c e d inteiros entre 1 e 6, e a ≠ b e c ≠ d. O valor máximo de (c + d) – (a+ b) é obtido quando c + d é máximo e a + b é mínimo. Isso ocorre com c + d = 5 + 6 = 11 e a + b = 1 + 2 = 3. Assim, a diferença que Benício encontrou é, justamente, a máxima possível. Isso implica que os números que nunca estiveram em contato são 3 e 4.

QUESTÃO 13 ALTERNATIVA A Prolongando-se dois lados do quadrilátero, obtemos um triângulo equilátero de lado 4 cm e um triângulo retângulo grande DAE que é metade de um triângulo equilátero de lado 12 cm, como indicado na figura. Pelo Teorema de Pitágoras, a altura de um triângulo equilátero de lado l é h = √3

l. Logo, 2 área de ABCD = (área do triângulo retângulo DAE) – (área do triângulo equilátero CBE) =

6.6.√3 2

−

16√3 4

2

= 14√3 cm .


6

QUESTÃO 14 ALTERNATIVA E Observamos primeiro que Joãozinho pode escolher 22 bolas sem que nenhum grupo de 7 delas satisfaça as condições do enunciado; por exemplo, ele pode escolher 10 bolas verdes, 10 amarelas, 1 azul e 1 amarela. Por outro lado, se ele escolher 23 bolas haverá, necessariamente, um grupo de 7 delas que satisfará a condição do enunciado. Podemos ver isso como segue. a Ao escolher 23 bolas, pelo menos 6 delas serão de uma mesma 1. cor. De fato, se isso não acontecesse, então haveria no máximo 5 bolas de cada cor, ou seja, Joãozinho teria escolhido no máximo 5 + 5 + 5 + 5 = 20 bolas, o que não é o caso, já que estamos supondo que ele escolheu 23. O maior número possível de bolas dessa cor entre as escolhidas é 10; sobram, então, no mínimo 23 − 10 = 13 bolas para as outras três cores. O mesmo a raciocínio aqui mostra que há pelo menos 5 bolas de uma 2. cor e que sobram no mínimo 13 − 10 = 3 bolas para a as duas cores restantes; finalmente, outra vez o mesmo raciocínio mostra que há pelos menos 2 bolas de uma 3. cor. Mostramos, assim, que, se Joãozinho escolher 23 bolas, entre elas haverá um grupo de 13 bolas com 6 de uma a a a a a 1. cor, 5 de uma 2. cor e 2 de uma 3. cor; em particular, entre essas bolas aparecerão 3 da 1. cor, 2 da 2. e 2 a da 3. . Segue que 23 é o menor número de bolas que ele deve escolher para garantir a condição do enunciado. Observação geral: O argumento empregado nessa solução pode ser formalizado como segue: se a1 , a 2 , … , a n são números reais e sua média aritmética é m, isto é, a1+a2n+⋯+an = m, então, ou a1 = a 2 = ⋯ = a n = m ou existe pelo menos um índice i tal que a i < m e pelo menos um índice j tal que a j > m. No nosso caso, fizemos uma escolha de a1 bolas verdes, a 2 bolas amarelas, a 3 bolas azuis e a 4 bolas vermelhas tal que a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 23; temos 23 a1 +a2 +a3 +a4 = > 5. Segue que existe pelo menos um i tal que a i > 5, e, como a i é um número inteiro, temos a i ≥ 4 4 6; em outras palavras, entre as 23 bolas existem pelo menos 6 de uma mesma cor, e analogamente para o restante da solução. A demonstração do fato geral do início desse parágrafo é inteiramente análoga à do caso particular que acabamos de analisar.


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QUESTÃO 15 ALTERNATIVA E Sejam AB AG a e EF FG b . Estudaremos separadamente a função R(x), dependendo da posição do ponto P na poligonal ABCDEF. Caso 1) P está no segmento AB: 0 x a .

Como mostra a figura, nesse caso a altura do triângulo relativa à base AP é sempre Caso 2) P está no segmento BC: a

x

FG b . Assim, R( x)

b x. 2

a b.

De acordo com a figura, segue que

R( x)

(b s) 2a 2

Caso 3) P está no segmento CD: a

b

as 2 x

ab 2 a b

a

a s 2 a2

ab 2

a2 2

a x 2

a(b a) . 2

b2 .

Na figura, o segmento auxiliar DI é perpendicular aos segmentos paralelos CD e AF. A altura do triângulo AFP relativa à base AF permanece constante, com medida DI , logo, a área do triângulo AFP é constante e seu valor é determinado no momento em que P está em C, ou seja,

R( x)

R(a b)

a(a b) 2

a(b a) 2

ab.

Com as informações coletadas nos casos 1, 2 e 3, percebe-se que os únicos gráficos que podem representar a área R(x) são os apresentados em B) e E). No entanto, observamos que, quando o ponto P chega ao final do percurso (ponto F), ou seja, quando x 2(a b) a 2 b 2 , o triângulo AFP degenera no segmento AF, sendo sua área igual a zero. Assim, o gráfico que melhor representa R(x) é o apresentado em E).


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QUESTÃO 16 ALTERNATIVA D De acordo com a maneira com que João reduza a quantidade de copos da fila, 148 após a 1.ª etapa teremos = 74 copos na fila; após a 2.ª etapa teremos após a 3.ª etapa teremos após a 4.ª etapa teremos após a 5.ª etapa teremos após a 6.ª etapa teremos após a 7.ª etapa teremos

2 74

= 37 copos na fila;

2 37+1 2 19+1 2 10

= 10 copos na fila;

= 5 copos na fila;

2 5+1 2 3+1 2

= 19 copos na fila;

= 3 copos na fila; = 2 copos na fila.

Em cada etapa, a quantidade de feijões no segundo copo sempre dobra. Assim, após a 7.ª etapa, a quantidade de feijões no segundo copo será 27 = 128. Todos os demais feijões estarão no primeiro copo. Portanto, a quantidade de feijões no primeiro copo quando a fila se reduz a dois copos é 148 − 128 = 20.

QUESTÃO 17 ALTERNATIVA D Ana garantirá o empate quando a quantidade de votos que ainda não tiverem sido apurados for igual à diferença entre os votos já apurados em favor da Ana e os votos já apurados em favor de Beto. De fato, para que o empate ocorra ninguém mais deve votar em Ana e todos os votos válidos devem ir para Beto. Votos já apurados = 𝑁 Votos válidos = 80% de 𝑁 60 80 Votos apurados a favor de Ana = 60% de 80% de 𝑁 = × × 𝑁 = 0,48𝑁 100 40

Votos apurados a favor de Beto = 40% de 80% de 𝑁 = × 100 Votos que ainda serão apurados = 1450 – 𝑁

100 80

100

× 𝑁 = 0,32𝑁

Portanto, 0,48𝑁 − 0,32𝑁 = 1450 − 𝑁 ⇒ 0,16𝑁 = 1450 − 𝑁 ⇒ 1,16𝑁 = 1450 1450 ⇒𝑁 = = 1250 1,16


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QUESTÃO 18 ALTERNATIVA E Como {a, b, c} é um conjunto de três elementos, devemos contar quantas são as formas de expressar 2310 como um produto de três fatores distintos, não importando a ordem. A decomposição em fatores primos de 2310 é 2 × 3 × 5 × 7 × 11. Há 4 tipos de decomposição possíveis: 1 × (abcd) × e, 1 × (abc) × (de), (abc) × d × e, (ab) × (cd) × e. Vamos contar separadamente as possibilidades em cada caso. 1º caso: 1 × (abcd) × e Basta escolher o número correspondente a e. Há, portanto, 5 possibilidades. 2º caso: 1 × (abc) × (de) Basta escolher os números d e e. O número d pode ser escolhido de 5 modos e, a seguir, e pode ser escolhido de 4 modos, para um total de 5 × 4 = 20 modos. No entanto, como a ordem dos fatores não afeta o produto dos dois números (ou seja, de = ed), cada possibilidade aparece duas vezes nesta contagem. Portanto, o fator de (em consequência o fator abc) pode ser escolhido de 10 modos. 3º caso: (abc) × d × e 5×4 Basta escolher os fatores d e e. Como no caso anterior, temos = 10 possibilidades. 2 4º caso: (ab) × (cd) × e O fator e pode ser escolhido de 5 modos. Para os demais fatores, basta escolher o par cd, o que pode ser feito de 4×3 = 6 modos, para um total de 5 × 6 = 30 modos. Como não importa a ordem entre os fatores (ab) e (cd), cada 2

possibilidade está contada em dobro. O número de possibilidades, neste caso, é, portanto, Logo, o número total de possibilidades é 5 + 10 + 10 + 15 = 40.

30 2

= 15.

Outra solução: Vamos contar quantas são as possibilidades para colocar cada um dos 5 fatores primos em um dos termos a, b, ou c. Temos três possibilidades para cada fator primo, para um total de 3×3×3×3×3 = 243 casos. Três dessas possibilidades não são válidas (1 x 1 x 2310, 1 x 2310 x 1 e 2130 x 1 x 1), pois correspondem a produtos com termos 1 repetidos. Por outro lado, cada decomposição aparece 6 vezes nas 240 possibilidades restantes (já que são contados separadamente os 6 modos de escrever o produto abc). Assim, o número de possibilidades é 240/6 = 40.

QUESTÃO 19 ALTERNATIVA A O espaço amostral desse experimento é formado pelas trincas (a, b, c) com a, b e c variando de 1 a 9, ou seja, 9 x 9 x 9 = 729 pontos equiprováveis. Observe que um número natural pode ser múltiplo de 3 ou estar a uma distância 1 ou 2 do próximo múltiplo de 3. Por exemplo, 4 está a uma distância 2 de 6, e 5 a uma distância 1 de 6. Assim, a pode ser escolhido de 9 maneiras, e b não pode assumir 3 dos 9 valores, isto é, ou não pode assumir 3, 6 e 9, ou não pode assumir 1, 4 e 7, ou não pode assumir 2, 5 e 8. Assim, b pode assumir 6 valores. Para a escolha de c, utilizamos o mesmo argumento, só que agora queremos que assuma um dos três valores que tornem o resultado da soma a + b + c um múltiplo de 3. Portanto, o número de pontos que satisfazem o enunciado é 9 x 6 x 3 = 162, e a probabilidade é 162/729=2/9.


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QUESTÃO 20 ALTERNATIVA D Vamos dividir o problema em duas situações. Primeira situação: quando o número 1 é colocado em um dos 8 triângulos indicados na figura abaixo pela cor amarela (triângulos centrais).

Escolhido qualquer um dos 8 triângulos amarelos para colocar o número 1, haverá 3 caminhos para se preencherem os números de 1 a 16 atendendo as condições do problema. Portanto, há 8 x 3 maneiras de fazer o preenchimento começando em um triângulo amarelo. Segunda situação: quando o número 1 é colocado em um triângulo branco (triângulo de canto).

Escolhido qualquer um dos 8 triângulos brancos para colocar o número 1, haverá 4 caminhos para se preencherem os números de 1 a 16 atendendo as condições do problema. Portanto, há 8 x 4 maneiras de fazer o preenchimento começando em um triângulo amarelo. Somando-se as quantidades obtidas nas duas hipóteses, obtemos que o número de maneiras é 8 x 3 + 8 x 4 = 24 + 32 = 56.

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