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1. Un empleado se encuentra supervisando los elementos que pasan por una cinta transportadora. Por dicha cinta pasan bolígrafos siguiendo un proceso de Poisson con parámetro 1= 60 bolígrafos por minuto. También pasan lápices siguiendo un proceso de Poisson con parámetro 2=70 lápices por minuto. a) Si en un momento aleatorio el empleado va a tomar café y el tiempo que tarda en tomárselo está exponencialmente distribuido con media 0.5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que pase un lápiz antes de que acabe de tomarse el café? ¿Y de que pasen dos lápices? b) Si un segundo empleado se dirige a tomar café cuando el primero lleva ya un minuto tomándolo, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo empleado acabe el café antes que el primero? Razona tu respuesta, suponiendo que el tiempo que tarda el segundo empleado en tomarse el café está también exponencialmente distribuido con media 0.5 minutos. c) Si cada bolígrafo que pasa por la cinta es con probabilidad 1/4 rojo y con probabilidad 3/4 azul, entonces: d) ¿Con qué probabilidad entre el primer y el tercer minuto habrán pasado como mucho 1000 bolígrafos rojos? e) ¿Cuándo esperamos que aparezca el octavo bolígrafo azul? f) Si entre el paso del décimo y undécimo bolígrafo azul han transucrrido 30 segundos, ¿cuánto tiempo esperamos que transcurra entre el paso de los bolígrafos azules 18 y 19? g) Sabiendo que han pasado por la cinta 8 bolígrafos azules entre el minuto 2 y el minuto 3, ¿con qué probabilidad van a pasar 9 bolígrafos rojos entre esos mismos minutos? h) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre entre el primer y el segundo bolígrafos rojos sea mayor que el que transcurre entre el tercer y cuarto bolígrafos rojos? 2. Dados Ni(t), t0 procesos de Poisson independientes con parámetros i,i=1,2, de tal forma que N(t), t0 es un proceso de Poisson con parámetro 1+2 donde N(t)=N1(t)+N2(t). ¿Cuál es la probabilidad de que el primer suceso del proceso combinado proceda del proceso N 1? 3. Una centralita telefónica tiene s líneas. Las llamadas telefónicas llegan según un proceso de Poisson con parámetro , y la duración de las llamadas sigue una distribución exponencial de parámetro µ. Si la centralita está ocupada, se envía un mensaje de ocupado. Todas las líneas están ocupadas en este momento. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue una nueva llamada mientras el sistema continua ocupado?. 4. Ciertos sucesos ocurren de acuerdo con un proceso de Poisson con parámetro =2 por hora. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran sucesos entre las 20:00 y las 21:00 horas?. (b) Comenzando al mediodía, ¿cuál es el tiempo esperado para que el cuarto suceso ocurra?. (c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más sucesos ocurran entre las 18:00 y las 20:00?. 5. Ciertos pulsos llegan a un contador Geiger de acuerdo con un proceso de Poisson con una frecuencia de tres llegadas por minuto. Cada partícula que llega al contador tiene una probabilidad 2/3 de ser registrada. Sea X(t) el número de pulsos registrados durante t minutos. (a) P(X(t)=0)=?. (b) E[X(t)]=?. 6. Los vehículos pasan por un punto de una autopista con una frecuencia de Poisson de uno por minuto. Si el cinco por ciento de vehículos en carretera son furgonetas, entonces (a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una furgoneta pase durante una hora? (b) Dado que han pasado diez furgonetas en una hora, ¿Cuál es el número esperado de vehículos que han pasado en el mismo tiempo?. 21. Los clientes que entran a una tienda siguiendo un proceso de Poisson de =10 por hora, independientemente uno de otro, deciden comprar algo con probabilidad 0.3 y salen sin comprar nada con probabilidad 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de que durante las primeras dos horas 9 personas entren en la tienda, y de que 3 de éstas compren algo y 6 no?