Polinomios v2a6g

POL LINOMIOS mios y Tecnoloogía: Polinom Existen n unas fun nciones, deno ominadas spliness, que son utillizados para aproximar a curvas.. En variios program mas de compu utadoras se usan para construir gráfico os en 2D (dos dimensiones), 3D (tres dimenssiones), anima aciones, ondas de audio y otro os. Estas fun nciones se co onstruyen uniend do puntos, yuxxtaponiendo trozos t de polinom mios que pasa an por estos puntos. p A los splines se les asigna un grado g de acuerd do al grado de los polinomio os que se utilizan n.

Matheema ática tal 10. Sea f una expresión matemá que f ( xy + 1) = x. f ( y ) + 2 ; ∀x, y ∈ , hallee el valor de f (2003) . Rptta: 4006 11. Si

se

cumple

1 x 2 −2 f ( x) = f ( ) , x

deterrmine el valor de f ( 2) . PROBLEMAS S

R Rpta: 7/2

1 Si la expressión 1. P( x; y ) = 3x5 y n + mx a − 2 y 6 + bx5 y b +1 se reduce a un monomio o de coeficientte 10, halle ell valor de m + n + a + b .

12. Sea f una expreesión matemáttica que f ( x) verifiica f ( xy) = ; ∀x, y ∈ + y y

f (50 00) =3, calculee el valor de f (6000)

Rpta: 20 Spliness de grado 1: Yuxtaposición de segmen ntos de polinom mios de grado o 1.

de trozos Y Spliness de grado 2: Yuxtaposición de pollinomios de grado g 2. Por cada c tres puntoss en cada uno de estos cuad dros pasa la grafiica de un polin nomio de grado o 2. En el caso del sp pline de grad do 3, se yuxtap ponen los polin nomios de grad do 3 que unen grupos g de 4 pu untos. La utiliidad de estas funciones f radicca en que son fácciles de manipu ular, ya que pa ara hacer modificcaciones de las mismas, basta b con alterar los coeficien ntes de los trrozos de polinom mios que está án interconecta ados. De esta manera m podeemos editar graficas, animacciones u ondass sonoras. Audio:: Los programas de edición de audio usan los splines pa ara aproximar la onda sonora a y luego pro oducir efectos sobre el audio como: c modificcar el volumen n, agregar eco, reverberación, r , distorsión, eliminar ruidos, ecualización, entre otros. nimaciones se crea una Animaación: En las an malla basada b en spliines sobre la fiigura que se deesea animar. Al modifficar los coeficieentes de los polinomios p se crea un efecto de movimiento o. De igual ma anera, los mas de diseño o gráfico utiliza an splines program para diibujar curvas.

x −4 e + 2 − x , calcule el x+2 valor de f (10)+ f (20).

2 Dado f ( x) = 2.

2

Si de

Rpta: 0

Rptta: 2004

x − 2 , halle el 3 Si P( x − 3;; y + 1) = x 2 + xy 3. e valor de P ( − 1;4).

14. Sea P una expresión matemá ática tal 1 + P ( x) . Si P(1) =2, que P( x + 1) = 1 − P( x)

4 Si f (2 x + 1) = x 2 + 3 , ha 4. alle el valor de d f (4) − f (2). 5 Si 5.

H ( x)

=

F ( x + 2)

+

G ( x − 2)) ,

además F ( x − 1) = x 2 + 1 y G ( x + 1) =

x − 1 . Callcule le valor de d H (3) .

calcu ule el valor de P(2003) . 15. Si

1 1 f ( x + ) = x19998 − 1998 , calcule el x x

valorr de f ( 3) .

2

Rpta: 36 6 Dado P( x − 1) = ( x + 1)2 y 6. Q( x + 1) = 2( x − 2 ), indique el valor de d P(Q(5)) .

16. Dado o el polinom mio Pn ( x) = nx + α , si adem más

Pn [ Pn (0 0)] = nα ;

∀n ∈ Z + ,

calcu ule el valor de P3 ( P2 (1)) . Rpta: 6 a las expresion nes 17. Dada

Rpta: 36 7 Sea el polin 7. nomio 5 P( x) = x −4 x3 +(2 − 2 ) x +3, calcule el valor v de P ( 2 + 2 + 2 ) . 8 Dado 8. ; x ≥1 ⎧ x + 5P ( x) P( x) = ⎨ , − x + P x + 3 ( 2) ; x <1 ⎩ halle el valo or de P(1) + P(2) .

9 Siendo f ( x) un polin 9. nomio tal qu ue f ( x) = f ( x − 1) + f ( x − 2) , ademá ás f (1) =3, f (2) =4, calcu ule el valor de d f ( f ( f (0))) .

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P( x; y ) = x11 + y11 + 11 y f ( z ) =

z +1 ; z −1

n ⎞ ⎛ m calcu ule el valor de P ⎜ f ( ); f ( ) ⎟ . m ⎠ ⎝ n

Rpta: 7

Prof.: Christiam Hu uertas R.

mio tal que 13. Sea P un polinom P(a + b) = P(ab) ∀a, b ∈ . P(20 003) =2004, halle el va alor P(20 004) .

18. La exxpresión P( x) = x 6 + ax5 + bxx 4 + cx3 + dx 2 + ex + f es u un polinomio que cumple P(1) =1, P(2)) =2, P(3) =3, P(4) =4, P(5) ( =5 y P(6)) =6, entoncess, ¿Cuál es el valor v de P(7)) ? e valor 19. Si P( x 2 − 2 x) = 5 − x 4 , calcule el de P(−2) . Rpta: 9 20. Sea P un polinom mio, tal que

1

POLINOMIOS x+3 ) = 4 x n + x10 + 2n ; donde la 2 suma de coeficientes es 15. Halle el −1 valor de P ( ) . 2 P(

21. Si R( x) es un polinomio tal que R( x + 3) = 2 − R(1) , calcule el valor de R(2) + R(10) . Rpta: 2 22. Si se sabe que el trinomio n2 + 2

P( x) = (n + 2) x + (n − 1) x − n + 1 es de tercer grado, halle el valor de n . 2

Mathema

P( x) =( a a − 250 ) x3 + 7x 2 + (6 − c) x y

P( x + 3) = x 2 + ( x + 3)−2 + 6 x + 8 , halle

F ( x) = 6x3 + ( bb − 20 ) x 2 + 3x , halle

el valor de P( 2001 + 2000) .

el valor de P(a) − F (b + 1) + c 2 .

43. Calcule el grado absoluto del polinomio

31. Si los polinomios P( x) = a( x − 2)3 + b( x − 2)2 + c( x − 2) y Q( x) = x( x + 1)( x + 2) son idénticos, calcule el valor de (b + c) /(a + d ) .

Rpta: 0 24. Dado el polinomio P( x) = a0 x 4 + a1 x 3 + a2 x 2 + a3 x + 2004 de modo que P( x − 1) = P( x − 2) = P( x − 3) = P( x) , calcule el valor de P(2004) . 25. Halle el valor de h si en el polinomio P( x) = (2 x − 1)3 + 4x + 2h se cumple que ∑ coef. + T.I.=12. Rpta: 3 26. Calcule el valor de n en P( x) = n( x − 1)3 + 2( x + 1)2 +7, si se cumple que ∑ coef. + T.I.=28+ n . Rpta: −2 27. Sea P( x) = x − 3 . Si f ( x) = P( P( x)) , halle el término independiente aumentado en la suma de coeficientes del polinomio f ( x) . 2

Rpta: 7 28. De la identidad ( m 2 + n 2 + p 2 ) x + ( mn + mp + np ) ≡ 6 x + 5 , calcule un valor de m + n + p .

( x − 1)( x − 2)( x − 3)… ( x − 100)

≡

a100 x100 + a99 x99 + . . . + a1 x + a0 ,

30. Dado los polinomios idénticos

Prof.: Christiam Huertas R.

Rpta: 10

+ 3x q −1 y 5 es homogéneo de grado 7.

3

23. Si el polinomio cuártico P( x) = (a − 3) x n + 2 + ax + a 2 es mónico, halle el valor de P(2n) − P(a) .

calcule el valor de a98 + a97 + a96 + . . . + a0 .

2

44. Determine el valor de m + n + p si el polinomio P( x; y) = 5 x m + 2 y n + 2 x m +1 y 2 + x 2 p y q

32. Si P( x + 5) = 2 x + 1 y P( F ( x) + 1) = 3x + 5 , calcule el valor de F (2) . 33. Si

P( x) = x 2 − 1 , hallar el valor de

P( P( x)) − x 2 .P( x)

45. Calcule la suma de coeficientes del polinomio homogéneo

P( x; y) = 8ax n

Rpta: −1

29. Si

3

P( x; y) = x n − 2 y − 4 x n y n + y 5 −n .

34. Si P( x + 3) = 5 x + 7 y P[ M ( x) − 3] = 15 x + 2 , calcule el valor de P[ M (1)] .

2

−2

y 4 + 6( a − b ) x a + b +

(20 b − 5 ) x n y 2 n − 6 . 2

35. Sea P( x) = ax + b . Si P(2 + P( x)) = P( x) +5, halle el valor de

b a +1 . 1⎞ 1 ⎛ 36. Si P ⎜ x + ⎟ = x 2 + 2 , halle el valor de x⎠ x ⎝ P(1) + P(3) .

Rpta: 6 37. Si F ( x n + 1) = x − 1 , halle el valor de n si se sabe que F (3) = −7 / 8 .

46. En el polinomio P( x; y) = 2 x n + 3 y m − 2 z 6 − n + x n + 2 y m − 3 se cumple GA( P) =11 y GRx − GRy =5, calcule el valor de 2m + n . 47. Si el polinomio homogéneo P( x; y) = ( x a y b )a + b + ( x3 y)ab tiene grado relativo respecto a x a 48. ¿Cuál será su grado? ⎛ x +1⎞ 48. Si F 2 ( x).F ⎜ ⎟ = x , halle la ⎝ x −1⎠ expresión F ( x) .

38. Sea P(2 x ) = 8 x − 4 x − 1 . Si M ( x) = P( x) + x + 1 , calcule el valor de M (1) . Rpta: 1 39. Sea f una expresión matemática tal ⎛ x +1⎞ x +1 , que f ( x) − 2 f ⎜ ⎟= ⎝ x −1⎠ x −1 entonces, ¿a que es igual f ( x) ? ⎛ ax + b ⎞ a 40. Dado P ⎜ ⎟ = x , halle el valor ⎝ ax − b ⎠ b de P(3) P(5) P(7)… P(99) .

Rpta: 50 ⎛ 5x + 1 ⎞ 41. Si P ⎜⎜ ⎟⎟ = 5x , halle el valor de ⎝ 5x − 1 ⎠ P(2) P (4) P (6)… P(50) . P(3) P(5) P (7)… P (49)

42. Sea la expresión www.xhuertas.blogspot.com

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