Principales Leyes Del Magnetismo Y Electromagnetismo 4a5z46

VICTOR MANUEL BLAS REYES

PRINCIPALES LEYES DEL MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO 

LEY DE BIOT- SAVART Poco después que Oersted descubriera en 1819 que la aguja de una brújula era desviada por un conductor que llevaba corriente, Jean-Baptiste Biot (1774 – 1862) y Félix Savart (1791 – 1841) realizaron experimentos cuantitativos sobre la fuerza ejercida por una corriente eléctrica sobre un imán cercano. A partir de sus resultados experimentales, Biot y Savart llegaron a una expresión matemática que proporciona el campo magnético en algún punto en el espacio en términos de la corriente que produce el campo. Dicha expresión está basada en las siguientes observaciones experimentales para el campo magnético dB en un punto P asociado con un elemento de longitud ds de un alambre que conduce una corriente estable I  El vector dB es perpendicular tanto a ds (que apunta en la dirección de la corriente) como al vector unitario

dirigido de

ds a P.  La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia desde ds hasta P.  La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud ds del elemento de longitud ds.  La magnitud de dB es proporcional a sen , donde

es el ángulo

entre los vectores ds y .

Estas observaciones se resumen en la fórmula matemática conocida en la actualidad como ley de Biot – Savart

VICTOR MANUEL BLAS REYES

dB Donde

………. (1)

es una constante conocida como permeabilidad del

espacio libre: ……….

(2)

Es importante observar que el campo dB en la ecuación (1) es el campo creado por la corriente solo para el pequeño elemento de longitud ds del conductor.

………

(3)

Para encontrar el campo magnético total B creado en algún punto por una corriente de tamaño finito, debe sumar las contribuciones de todos los elementos de corriente Ids que conforman la corriente. Es decir, debe evaluar B integrando la ecuación (1) Donde la integral se evalúa sobre toda la distribución de corriente. Esta expresión debe manejarse con especial cuidado debido a que el integrando es un producto cruz por tanto una cantidad vectorial. Aunque se ha desarrollado la ley de Biot - Savart para un alambre que conduce corriente, también es válida para una corriente que consta de cargas que fluyen a través del espacio, como el haz de electrones en una televisión. En este caso ds representa la longitud de un pequeño segmento del espacio en el cual fluyen cargas. 

CAMPO MAGNETICO QUE RODEA A UN CONDUCTOR La figura muestra la geometría que es necesario considerar para calcular el campo magnético B en un punto P debido a la corriente en el segmento de conductor que se indica en la figura. Escojamos el conductor de modo que coincida con el eje x y del tal modo que el eje y sea perpendicular al mismo pasando por el punto P. se indica un elemento de corriente Id situada a una distancia x del origen. El vector r señala desde el elemento hasta el punto del campo P.

VICTOR MANUEL BLAS REYES

Figura N° 01

La dirección del campo magnético en P debido a este elemento está dirigida hacia el lector según queda determinada por la dirección del producto Id

r.

Obsérvese que todos los elementos de corriente del conductor dan contribución en esta misma dirección y sentido y así solo necesitamos calcular la magnitud del campo. El campo debido al elemento de corriente indicado tiene el valor

Más

conveniente

es

escribir esta expresión en función de en lugar de (4)

Para sumar los campos elementales de todos los elementos de corriente necesitamos relacionar las variables , r, x. lo más sencillo es expresar x y r en función de. Así tenemos: Por tanto

En hemos tenido en cuenta que sec

donde . Sustituyendo esta

expresión en lugar de dx en la ecuación (4), resulta

VICTOR MANUEL BLAS REYES

Calculemos primeramente la contribución procedente de los elementos de corriente a la derecha del punto de x= 0. Se suma respecto a todos estos elementos integrando desde , siendo

=

el ángulo comprendido entre la línea perpendicular al

conductor y la línea que va desde P hasta el extremo derecho del conductor, según esta indicado en la figura (b). Tenemos para esta contribución:

Análogamente, la contribución procedente de los elementos a la izquierda de x = 0 es

El campo magnético total debido al segmento conductor, es la suma de B1 y B2. Sustituyendo y por R, distancia perpendicular desde el segmento conductor al punto del campo, tenemos

(5) Campo a segmento de

magnético debido conductor recto

Este resultado expresa el campo magnético producido por un segmento de conductor en función de la distancia R perpendicular, y los ángulos subtendidos en el punto del campo por los extremos del conductor. Si este es muy largo, los ángulos indicados son próximos a 90°. El resultado correspondiente a un conductor muy largo se obtiene de la ecuación (5) haciendo

=

°

(6) Campo magnético conductor largo

debido a un rectilíneo

En cualquier punto del espacio, las líneas del campo magnético de un conductor rectilíneo que trasporta una corriente, son tangentes a un circulo de radio R alrededor del conductor, en donde R es la

VICTOR MANUEL BLAS REYES

distancia perpendicular desde el conductor al punto del campo. La dirección de B puede determinarse aplicando la regla de la mano derecha como se indica en la figura 2 (a). Las líneas de campo magnético rodean al conductor como se indica en la figura 2 (b).

Figura N° 02



CAMPO MAGNETICO EN UNA ESPIRA CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A UNA ESPIRA DE CORRIENTE Un cálculo relativamente directo es la determinación del campo magnético en el centro de una espira circular. La figura (3) muestra un elemento de corriente Id de una espira de corriente de radio R y el vector unitario

dirigido desde el elemento al

centro de la espira. el camp magnetico en el centro de la espira debido a este elemento esta dirigido a lo largo del eje de la misma y su magnitud viene dada por

En donde

es el ángulo que forman Id

y

que vale 90° para

cada elemento de corriente, de modo que sen

= 1. El

campo magnético debido a la corriente total se obtiene integrando para todos los elementos de corriente de la espira. Como R es constante para todos los elementos, se obtiene

VICTOR MANUEL BLAS REYES

La integral de d alreddor de la espira completa es la longitud total 2 R o circunferencia de la espira. El campo magnético causado por la espira completa es por tanto. (7)

Figura N° 03

La figura (4) muestra la geometría para calcular el campo magnético en un punto del eje en una espira circular de corriente a la distancia x de su centro. Consideremos en primer lugar el elemento de corriente situado en la parte superior de la espira. Aquí, como en todos los puntos de la espira, Id es tangente a la misma y perpendicular al vector r dirigido desde el elemento de corriente al punto del campo P. el campo magnético dB debido a este elemento se encuentra en la dirección mostrada en la figura, perpendicular a r y también perpendicular a Id . La magnitud de dB es:

En donde se ha tenido en cuenta que perpendiculares,

de

y que Id modo que

son

VICTOR MANUEL BLAS REYES

Cuando sumamos para todos los elementos de corriente de la espira. Los componentes de dB perpendiculares al eje de la espira, tal como dB, en la figura suman cero, quedando solo los componentes dB que son paralelos al eje. Por tanto, debemos calcular solo el componente x del campo. Según la figura, tenemos.

Para determinar el campo debido integraremos dB alrededor de la espira

a

la

espira

completa,

Como x y R no varían al sumar para todos los elementos de la espira, la expresión anterior puede escribirse de la forma

La integral de d alrededor de la espira es 2 R. Por tanto

(8) Campo magnético sobre el eje de una espira de corriente

A grandes distancias de la espira, x es mucho mayor que R, de modo que

. Por tanto,

O sea (9)

VICTOR MANUEL BLAS REYES

En donde

es la magnitud del momento magnético de la

espira. 

LEY DE INDUCCION DE FARADAY Los experimentos de Faraday, Henry y otros, demostraron que si el flujo magnético a traves de un circuito varía por cualquier medio, se induce una fem que es igual en magnitud a la variación por unidad de tiempo del flujo inducido en el circuito. La fem se detecta usualmente observando una corriente en el circuito, pero aparece incluso aunque el circuito sea incompleto (abierto), de modo que no existe corriente. En nuestras discusiones previas, la fem en un circuito se localizo en una región específica del mismo, por ejemplo, entre los terminales de la batería. Sin embargo, la fem inducida por un flujo magnético variable puede considerarse distribuida a través del circuito. Consideremos una sola espira de un conductor en un campo magnético como se indica en la figura (5). Si el flujo a través de la espira es variable, se induce en la misma una fem. Como esta fem es el trabajo realizado por unidad de carga, debe existir una fuerza ejercida sobre la carga asociada con la fem. La fuerza por unidad de carga es el campo eléctrico E, inducido en este caso por el flujo variable. La integral lineal del campo eléctrico alrededor de un circuito completo es igual al trabajo realizado por unidad de carga, el cual, por definición es la fem del circuito.

(10) Definición De Fuerza

Electromotriz

Figura N° 05

Los campos eléctricos que hemos estudiado previamente eran el resultado de cargas eléctricas estáticas. Estos campos son conservativos, lo cual significa que la integral lineal del campo electrostático alrededor de una curva cerrada es cero. Sin embargo, el campo eléctrico resultante de un flujo magnético

VICTOR MANUEL BLAS REYES

variable no es conservativo. La integral de línea alrededor de una curva cerrada es igual a la fem inducida, la cual es igual a la variación con el tiempo del flujo magnético:

(11) Ley de Faraday

Este resultado se le conoce con el nombre de ley de Faraday. El signo negativo de la ley de Faraday está relacionado con la dirección de la fem inducida, lo cual se verá más adelante.



LEY DE LENZ El signo negativo de la ley de Faraday está relacionado con la dirección de la fem inducida. La dirección y sentido de la fem y de la corriente inducida pueden determinarse mediante un principio general físico llamado ley de Lenz: La fem y las corrientes inducidas poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la variación que las produce. En este enunciado de la ley de Lenz no especifica el tipo de variación que causa la fem y la corriente inducida intencionadamente queda sin concretar para cubrir una diversidad de condiciones. Algunos ejemplos aclararan este punto. La figura 06 muestra una barra magnética que se mueve acercándose a una espira de resistencia R, como el campo magnético correspondiente a la barra está dirigido hacia la derecha emergiendo de su polo norte, el movimiento del imán hacia la espira tiende a incrementar el flujo a través de la espira. (El campo magnético de la espira es más intenso cuando el imán esta mas próximo) la corriente inducida en la espira produce a su vez un campo magnético propio. Esta corriente inducida posee sentido que se muestra en la figura de tal modo que el flujo magnético producido se opone al del imán. El campo magnético inducido tiende a disminuir el flujo que atraviesa la espira. Si el imán se desplaza alejándose de la espira, el flujo producido por el imán que atraviesa la espira disminuirá y la corriente inducida en esta tendría un sentido opuesto al de la figura 6. En este caso, la corriente produciría un campo magnético hacia la derecha, el cual tendería a incrementar el flujo a través de la

VICTOR MANUEL BLAS REYES

espira. Como es lógico, el desplazamiento de la espira acercándose o alejándose del imán produce el mismo efecto que el movimiento del imán. Solo importa el movimiento relativo.

Figura N° 06

La figura 07 muestra el momento magnético inducido de la espira de corriente cuando el imán se aproxima, del mismo modo que se indica en la figura 6, la espira actúa como un pequeño imán con su polo norte a la izquierda y su polo sur a la derecha. Como los polos opuestos se atraen y los polos iguales se repelen, el movimiento magnético inducido de la espira ejerce una fuerza sobre la barra magnética hacia la izquierda que se opone a su movimiento hacia la espira. Así, puede expresarse la ley de Lenz en función de las fuerzas en lugar de los flujos. Si la barra magnética se mueve hacia la espira, la corriente inducida debe producir un momento magnético que se oponga a este cambio.

Figura N° 07

En la figura 8, el imán esta en reposo y la espira se mueve alejándose de el, en la figura se indican también la corriente inducida y el momento magnético. En este caso el momento magnético de la espira atrae el imán, según exige la ley de Lenz, oponiéndose al movimiento de la espira.

VICTOR MANUEL BLAS REYES

Figura N° 08