Probabilidad 111w5t
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Andrés Agual Álvarez 1. ANÁLISIS COMBINATORIO – TEORÍA DEL CONTEO – APRENDER A CONTAR TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEO Si un evento puede realizarse de maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento un segundo evento puede realizarse de maneras diferentes y así sucesivamente entonces el numero de maneras que los eventos pueden realizarse en el orden indicado MÉTODO DE LAS CASILLAS EJEMPLOS: 1. Si una persona tiene 4 camisetas, 5 pantalones y 3 pares de zapatos, de cuantas maneras diferentes puede vestirse, si utiliza una de estas prendas a la vez. Solución: C P Z 4 5 3 . 2. A cuantos automotores se les puede asignar un numero de placa, en la provincia de pichincha, si se utiliza: a) El método muy antiguo (una letra y 5 dígitos) b) El método anterior (3 letras y 3 dígitos) c) El actual (3 letras y 4 dígitos) Solución: a) 1 Letra Números 1 10 10 10 10 10 . b) 3 Letra 3 Números 1 26 26 10 10 10 . c) 3 Letra 4 Números 1 26 26 10 10 10 10 . 3. Hallar cuantos números enteros diferentes de 2 cifras se pueden formar con los dígitos (1,2,4,7,8), si: a) No se permite la repetición b) Si se permite la repetición Hallar el número de enteros pares e impares que puedan formarse en cada caso. Solución: a) D U D U Par 4 3 5 4 D U Impar 4 2 De esos 20 números 12 serán pares y 8 impares
1
Andrés Agual Álvarez b) D 5
U 5
Par
D 5
U 3
Impar
D 5
U 2 De esos 25 números 15 serán pares y 10 impares
4.
Hallar cuantos números enteros positivos, menores de 5000 se pueden formar con los dígitos (0,1,3,6,8,9), si: a) No se permite la repetición de cifras b) Si se permite la repetición de cifras 1 cifra ⏞ a)
Sin repetición 1 cifra: U 5 . 2 cifras: D U 5 5 . 3 cifras: C D U 5 5 4 . 4 cifras: UM C D 2 5 4 .
2 cifras ⏞
3 cifras ⏞
4 cifras ⏞ b)
U 3
ORDEN:
Con repetición 1 cifra: U 5 . 2 cifras: D U 5 6 . 3 cifras: C D U 5 6 6 . 4 cifras: UM C D 2 6 6 .
{
}
U 6
{
}
2. PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES 1. 2. 3.
Permutaciones Variaciones Combinaciones
SI importa el orden SI importa el orden NO importa el orden
PERMUTACIONES Formulas: * Permutaciones: * Permutaciones circulares: *
Intervienen TODOS los elementos. Intervienen PARTE de los elementos. Intervienen TODOS O PARTE de los elementos.
(
)
Permutaciones con repetición: 2
Andrés Agual Álvarez EJEMPLO: 1. Cuantas “palabras” no necesariamente pronunciables, se pueden formar combinando las letras de las palabras: a) Árbol b) Alcabala Solución: a) 5 4 3 2 1 . b) VARIACIONES (
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
COMBINACIONES ( )
(
)
EJEMPLO: 1. Una bolsa contiene; 4 bolas blancas, 2 negras y 3 rojas. Calcular el numero de formas en que se pueden seleccionar 5 bolas de modo que: a) 2 sean blancas, 1 sea negra y 2 sean rojas b) Por lo menos 3 sean blancas DATOS: 4
Blancas
2
Negras
3
Rojas
. a)
B
B
B 4B
(
)
B
N
2N (
R
R
3R )
(
)
. b) 3b 3b 3b 4b 4b
1n 2n
1r 2r
1n 1r
.
3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
24 4 12 2 3 45
Andrés Agual Álvarez 2.
De cuantas formas puede escogerse un comité de 5 personas, entre 12 personas si: a) No hay ninguna restricción. b) Dos personas determinadas, siempre deben estar juntas. c) Dos personas determinadas, no pueden aparecer en el mismo comité. Cuantos comités (grupos), diferentes hay: a)
(
b)
)
2 juntos +3 + ninguno de los 2
(
)
(
)
120 252 372
. c)
3.
1 Cristian 1 Anita Ni Anita
No Anita No Cristian Ni Cristian
(
)
(
)
(
)
210 210 252 672
. Un club tiene 12 y se va a elegir un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero, cuantas candidaturas diferentes puede formarse si: a) Cualquier miembro del club es elegible para cualquier cargo. b) Si solamente dos determinados son elegibles para presidente, pero también son elegibles para los demás cargos. c) Si solamente dos determinados son elegibles para presidente, pero no son elegibles para los demás cargos. a)
(
)
P 12
V 11
S 10
T 9
P 2
V 11
S 10
T 9
S 9
T 8
. b)
(
)
(
)
. c)
(
)
(
)
P 2 4.
V 10
. En cuantas formas diferentes pueden ordenarse en un estante, 5 textos diferentes de Algebra, 4 textos diferentes de Cálculo y 3 de Química, si: a) No hay ninguna restricción. b) Los libros de cada materia deben estar contiguos. Datos: 5 Algebra 4 Cálculo 3 Química 12 Libros Importa el orden 4
Andrés Agual Álvarez a)
Permutaciones de 12: 12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
. b)
Algebra 3
Cálculo 2
Química 1
Algebra
Cálculo
Química
A A C C Q Q
. 5.
Q C Q A C A
.
En un estante hay 12 libros diferentes. a) Calcular el número de selecciones de 8 libros que pueden hacerse. b) Determinar el número de estas selecciones que incluyen a un libro determinado. c) Hallar el número de estas selecciones que incluyen a dos libros determinados. a) ( ) ( ) b) c)
6.
C Q A Q A C
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Hallar el numero de “palabras” que contienen 2 consonantes y 2 vocales, que pueden formarse tomándolas de entre 5 consonantes y 3 vocales. a) no hay ninguna restricción. b) Si las consonantes y vocales deben ir alternadas. a) Primera acción: Escoger las letras: (
)
Segunda acción: Escoger las letras: 4 letras: 4 3 . (
b)
)
(
(
2
)
1
)
. Primera acción: Escoger las letras: (
)
(
)
Segunda acción: Escoger las letras: C 2
V 2
C 1
V 1
V 2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
5
C 2
V 1
C 1
Andrés Agual Álvarez 7.
Siete personas van a sentarse en 1 fila. Hallar el numero de formas diferentes en que esto puede hacerse, si: a) No hay restricciones b) 2 personas determinadas deben quedar contiguas. c) 3 personas determinadas deben quedar contiguas. d) Si 2 personas determinadas no deben quedar contiguas. e) Si las 7 personas van a sentarse en círculo. a) b) c) d) Cr. 1 5 5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
5
Cr. 1 ult.
5
Cr. 1
4
4
3
2
1 Total:
. e) 8.
Un estudiante debe contestar 5 de 7 preguntas de un examen, ¿De cuantas maneras diferentes puede escoger las preguntas?, si: a) No hay ninguna restricción. b) Si las dos primeras son obligatorias. c) Si debe contestar de las 4 primeras. a)
(
)
b)
(
)
(
)
c) 9.
En una carrera de 400m participan 8 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los 3 primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? (
10.
1 8
)
2 7
3 6
. En un restaurante de comida rápida se indica al cliente que su hamburguesa, a más del pan y la carne, puede ir con todo lo siguiente, o sin ello: salsa de tomate, mostaza, mayonesa, lechuga, cebolla, tomate o queso. ¿Cuántos tipos de hamburguesas son posibles? (
)
(
)
(
)
(
)
(
6
)
(
)
(
)
(
)
Andrés Agual Álvarez 11.
Un bus consta de 6 filas de asientos, con un pasillo intermedio, 2 asientos a cada lado y una fila ultima con 5 asientos. ¿De cuantas maneras diferentes puede sentarse 25 personas, si siempre se ocupan los puestos de las ventanas? Datos: Ventanas: 14 Pasillos: 15 Variaciones: (
12.
(
)
. Se tienen 12 puntos coplanares de manera que 3 de ellos no son colineales. a) Calcular el número de rectas que pueden trazarse por estos puntos. b) Hallar el número de rectas que pasan por un punto determinado de los 12 puntos dados. a) ( ) ( ) b)
13.
)
(
)
(
) ( )
Hallar n, si:
( (
)
(
(
)(
)( (
)( )
)
(
)
(
)
)(
)
(
(
)
)(
7
)
)
( (
(
(
)
( (
)
(
) ) )(
)
)
)( (
)( )
)(
)
Andrés Agual Álvarez (
)
(
)
{ (
)
(
)
PROBABILIDAD:
EJEMPLOS: 1. De una baraja de 52 cartas, se saca 1 carta al azar. Calcular la probabilidad de que salga de trébol. { }
2.
3.
De una baraja de 52 cartas, se sacan 2 carta al azar. Calcular la probabilidad de que salgan de trébol. { } ( ) ( ) De una baraja de 52 cartas, se sacan 3 cartas al azar. Calcular la probabilidad de que: a) Todas sean de corazones. b) Todas sean del mismo palo. c) Una sea de corazones negros y 2 sean de diamantes. d) Haya exactamente 2 cartas de la misma denominación. DATOS: Casos totales: ( ) a)
A={salgan 3 de corazones} Casos favorables: ( ) ( )
b)
(
)
(
)
B={salgan 3 cartas del mismo palo} Casos favorables: 3 tréboles 3 diamantes 3 corazones rojos 3 corazones negros
( )
c)
( (
8
(
)
(
)
(
)
(
)
)
13 diamantes (
)
)
C={salgan 1 corazones negro y 2 diamantes } Casos favorables: 13 corazones negros
( )
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
Andrés Agual Álvarez d)
D={salgan 2 “iguales” exactamente} 2 Ases + 1 no As 2 dos + 1 no Dos
)
(
)
(
)
(
) (
2 K + 1 no K
(
)
(
(
( )
4.
(
)
(
)
)
(
(
)
)
)
Se compra un Pozo de 25 números y se quiere saber con cual es más probable acertar, con 15 aciertos o con 14 aciertos. (
)
(
)
Para 15 aciertos: (
)
(
)
Para 14 aciertos:
5.
Cinco mujeres y cuatro hombres se sienten al asar en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que hombres y mujeres ocupen lugares alternados? Casos totales: Casos favorables: M 5
6.
M 4
1
M 3
1
M 2
1
1
M 1
Cuatro mujeres y sus esposos se sientan al azar en 1 fila de 8 sillas. Cuál es la probabilidad de que: a) Cada mujer quede junto a su esposo. b) De que las mujeres se sienten juntos y los hombres juntos. c) De que las mujeres se sienten juntas. Casos totales:
a)
Casos favorables: 4 2
b)
3 1
2
2 1
2
1 1
2
1
Casos favorables: 2 4
3
1 2
1
4
9
3
2
1
Andrés Agual Álvarez
c)
Casos favorables:
Otra forma: M 1 H
7.
H
H 4 M 1 H
H
H
M 1 H
H
H
H
H 2 H
H 1 H
H
H
M 1 H
H M 1
Calcular la probabilidad de obtener una suma de 7 puntos en un tiro de 2 dados, y calcular la probabilidad de obtener 7 o menos en 1 tiro de 2 dados. Casos totales:
a)
{(
Sumen 7 Casos favorables:
( ( (
) ) )
) (
( ( (
)
(
) (
)}
) ) )
. Sumen 7 o menos Casos favorables:
b)
8.
H 3 H
Sumen 2
Sumen 5
Sumen 3
Sumen 6
Sumen 4
Sumen 7
. Calcular la probabilidad de obtener una suma de 15 en 1 tiro de 3 dados. Casos totales:
{(
) (
)
) (
) (
)
Casos favorables: sumen 15 ( ( (
) ( ) ( )
) ( ) (
) ) (
10
(
) (
)}
Andrés Agual Álvarez
9.
. Cual es la probabilidad de obtener 1 suma de a lo mas 15 puntos en un tiro de 3 dados. Casos totales:
{(
{ {
) (
)
(
)}
} } ( )
10.
) (
(
)
De 1 bolsa que contiene 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas, se sacan 3 bolas al azar. Cual es la probabilidad de que ninguna de las bolas sacadas sea blanca. 5 3 1 9
Blancas Negras Roja bolas
. Casos totales: (
)
Casos favorables: A={No salga blanca} 3N 1R 3n 2n 1r
(
)
( (
11.
(
)
(
)
(
)
)
(
(
) (
)
(
)
)
)
Se sacan 2 tarjetas al azar de 1 conjunto de 10 tarjetas, numeradas del 1 al 10, calcular la probabilidad, de que la suma de los números en las tarjetas sea: a) Un número par b) Un número impar
11
1
Andrés Agual Álvarez b) D 5
U 5
Par
D 5
U 3
Impar
D 5
U 2 De esos 25 números 15 serán pares y 10 impares
4.
Hallar cuantos números enteros positivos, menores de 5000 se pueden formar con los dígitos (0,1,3,6,8,9), si: a) No se permite la repetición de cifras b) Si se permite la repetición de cifras 1 cifra ⏞ a)
Sin repetición 1 cifra: U 5 . 2 cifras: D U 5 5 . 3 cifras: C D U 5 5 4 . 4 cifras: UM C D 2 5 4 .
2 cifras ⏞
3 cifras ⏞
4 cifras ⏞ b)
U 3
ORDEN:
Con repetición 1 cifra: U 5 . 2 cifras: D U 5 6 . 3 cifras: C D U 5 6 6 . 4 cifras: UM C D 2 6 6 .
{
}
U 6
{
}
2. PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES 1. 2. 3.
Permutaciones Variaciones Combinaciones
SI importa el orden SI importa el orden NO importa el orden
PERMUTACIONES Formulas: * Permutaciones: * Permutaciones circulares: *
Intervienen TODOS los elementos. Intervienen PARTE de los elementos. Intervienen TODOS O PARTE de los elementos.
(
)
Permutaciones con repetición: 2
Andrés Agual Álvarez EJEMPLO: 1. Cuantas “palabras” no necesariamente pronunciables, se pueden formar combinando las letras de las palabras: a) Árbol b) Alcabala Solución: a) 5 4 3 2 1 . b) VARIACIONES (
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
COMBINACIONES ( )
(
)
EJEMPLO: 1. Una bolsa contiene; 4 bolas blancas, 2 negras y 3 rojas. Calcular el numero de formas en que se pueden seleccionar 5 bolas de modo que: a) 2 sean blancas, 1 sea negra y 2 sean rojas b) Por lo menos 3 sean blancas DATOS: 4
Blancas
2
Negras
3
Rojas
. a)
B
B
B 4B
(
)
B
N
2N (
R
R
3R )
(
)
. b) 3b 3b 3b 4b 4b
1n 2n
1r 2r
1n 1r
.
3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
24 4 12 2 3 45
Andrés Agual Álvarez 2.
De cuantas formas puede escogerse un comité de 5 personas, entre 12 personas si: a) No hay ninguna restricción. b) Dos personas determinadas, siempre deben estar juntas. c) Dos personas determinadas, no pueden aparecer en el mismo comité. Cuantos comités (grupos), diferentes hay: a)
(
b)
)
2 juntos +3 + ninguno de los 2
(
)
(
)
120 252 372
. c)
3.
1 Cristian 1 Anita Ni Anita
No Anita No Cristian Ni Cristian
(
)
(
)
(
)
210 210 252 672
. Un club tiene 12 y se va a elegir un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero, cuantas candidaturas diferentes puede formarse si: a) Cualquier miembro del club es elegible para cualquier cargo. b) Si solamente dos determinados son elegibles para presidente, pero también son elegibles para los demás cargos. c) Si solamente dos determinados son elegibles para presidente, pero no son elegibles para los demás cargos. a)
(
)
P 12
V 11
S 10
T 9
P 2
V 11
S 10
T 9
S 9
T 8
. b)
(
)
(
)
. c)
(
)
(
)
P 2 4.
V 10
. En cuantas formas diferentes pueden ordenarse en un estante, 5 textos diferentes de Algebra, 4 textos diferentes de Cálculo y 3 de Química, si: a) No hay ninguna restricción. b) Los libros de cada materia deben estar contiguos. Datos: 5 Algebra 4 Cálculo 3 Química 12 Libros Importa el orden 4
Andrés Agual Álvarez a)
Permutaciones de 12: 12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
. b)
Algebra 3
Cálculo 2
Química 1
Algebra
Cálculo
Química
A A C C Q Q
. 5.
Q C Q A C A
.
En un estante hay 12 libros diferentes. a) Calcular el número de selecciones de 8 libros que pueden hacerse. b) Determinar el número de estas selecciones que incluyen a un libro determinado. c) Hallar el número de estas selecciones que incluyen a dos libros determinados. a) ( ) ( ) b) c)
6.
C Q A Q A C
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Hallar el numero de “palabras” que contienen 2 consonantes y 2 vocales, que pueden formarse tomándolas de entre 5 consonantes y 3 vocales. a) no hay ninguna restricción. b) Si las consonantes y vocales deben ir alternadas. a) Primera acción: Escoger las letras: (
)
Segunda acción: Escoger las letras: 4 letras: 4 3 . (
b)
)
(
(
2
)
1
)
. Primera acción: Escoger las letras: (
)
(
)
Segunda acción: Escoger las letras: C 2
V 2
C 1
V 1
V 2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
5
C 2
V 1
C 1
Andrés Agual Álvarez 7.
Siete personas van a sentarse en 1 fila. Hallar el numero de formas diferentes en que esto puede hacerse, si: a) No hay restricciones b) 2 personas determinadas deben quedar contiguas. c) 3 personas determinadas deben quedar contiguas. d) Si 2 personas determinadas no deben quedar contiguas. e) Si las 7 personas van a sentarse en círculo. a) b) c) d) Cr. 1 5 5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
5
Cr. 1 ult.
5
Cr. 1
4
4
3
2
1 Total:
. e) 8.
Un estudiante debe contestar 5 de 7 preguntas de un examen, ¿De cuantas maneras diferentes puede escoger las preguntas?, si: a) No hay ninguna restricción. b) Si las dos primeras son obligatorias. c) Si debe contestar de las 4 primeras. a)
(
)
b)
(
)
(
)
c) 9.
En una carrera de 400m participan 8 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los 3 primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? (
10.
1 8
)
2 7
3 6
. En un restaurante de comida rápida se indica al cliente que su hamburguesa, a más del pan y la carne, puede ir con todo lo siguiente, o sin ello: salsa de tomate, mostaza, mayonesa, lechuga, cebolla, tomate o queso. ¿Cuántos tipos de hamburguesas son posibles? (
)
(
)
(
)
(
)
(
6
)
(
)
(
)
(
)
Andrés Agual Álvarez 11.
Un bus consta de 6 filas de asientos, con un pasillo intermedio, 2 asientos a cada lado y una fila ultima con 5 asientos. ¿De cuantas maneras diferentes puede sentarse 25 personas, si siempre se ocupan los puestos de las ventanas? Datos: Ventanas: 14 Pasillos: 15 Variaciones: (
12.
(
)
. Se tienen 12 puntos coplanares de manera que 3 de ellos no son colineales. a) Calcular el número de rectas que pueden trazarse por estos puntos. b) Hallar el número de rectas que pasan por un punto determinado de los 12 puntos dados. a) ( ) ( ) b)
13.
)
(
)
(
) ( )
Hallar n, si:
( (
)
(
(
)(
)( (
)( )
)
(
)
(
)
)(
)
(
(
)
)(
7
)
)
( (
(
(
)
( (
)
(
) ) )(
)
)
)( (
)( )
)(
)
Andrés Agual Álvarez (
)
(
)
{ (
)
(
)
PROBABILIDAD:
EJEMPLOS: 1. De una baraja de 52 cartas, se saca 1 carta al azar. Calcular la probabilidad de que salga de trébol. { }
2.
3.
De una baraja de 52 cartas, se sacan 2 carta al azar. Calcular la probabilidad de que salgan de trébol. { } ( ) ( ) De una baraja de 52 cartas, se sacan 3 cartas al azar. Calcular la probabilidad de que: a) Todas sean de corazones. b) Todas sean del mismo palo. c) Una sea de corazones negros y 2 sean de diamantes. d) Haya exactamente 2 cartas de la misma denominación. DATOS: Casos totales: ( ) a)
A={salgan 3 de corazones} Casos favorables: ( ) ( )
b)
(
)
(
)
B={salgan 3 cartas del mismo palo} Casos favorables: 3 tréboles 3 diamantes 3 corazones rojos 3 corazones negros
( )
c)
( (
8
(
)
(
)
(
)
(
)
)
13 diamantes (
)
)
C={salgan 1 corazones negro y 2 diamantes } Casos favorables: 13 corazones negros
( )
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
Andrés Agual Álvarez d)
D={salgan 2 “iguales” exactamente} 2 Ases + 1 no As 2 dos + 1 no Dos
)
(
)
(
)
(
) (
2 K + 1 no K
(
)
(
(
( )
4.
(
)
(
)
)
(
(
)
)
)
Se compra un Pozo de 25 números y se quiere saber con cual es más probable acertar, con 15 aciertos o con 14 aciertos. (
)
(
)
Para 15 aciertos: (
)
(
)
Para 14 aciertos:
5.
Cinco mujeres y cuatro hombres se sienten al asar en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que hombres y mujeres ocupen lugares alternados? Casos totales: Casos favorables: M 5
6.
M 4
1
M 3
1
M 2
1
1
M 1
Cuatro mujeres y sus esposos se sientan al azar en 1 fila de 8 sillas. Cuál es la probabilidad de que: a) Cada mujer quede junto a su esposo. b) De que las mujeres se sienten juntos y los hombres juntos. c) De que las mujeres se sienten juntas. Casos totales:
a)
Casos favorables: 4 2
b)
3 1
2
2 1
2
1 1
2
1
Casos favorables: 2 4
3
1 2
1
4
9
3
2
1
Andrés Agual Álvarez
c)
Casos favorables:
Otra forma: M 1 H
7.
H
H 4 M 1 H
H
H
M 1 H
H
H
H
H 2 H
H 1 H
H
H
M 1 H
H M 1
Calcular la probabilidad de obtener una suma de 7 puntos en un tiro de 2 dados, y calcular la probabilidad de obtener 7 o menos en 1 tiro de 2 dados. Casos totales:
a)
{(
Sumen 7 Casos favorables:
( ( (
) ) )
) (
( ( (
)
(
) (
)}
) ) )
. Sumen 7 o menos Casos favorables:
b)
8.
H 3 H
Sumen 2
Sumen 5
Sumen 3
Sumen 6
Sumen 4
Sumen 7
. Calcular la probabilidad de obtener una suma de 15 en 1 tiro de 3 dados. Casos totales:
{(
) (
)
) (
) (
)
Casos favorables: sumen 15 ( ( (
) ( ) ( )
) ( ) (
) ) (
10
(
) (
)}
Andrés Agual Álvarez
9.
. Cual es la probabilidad de obtener 1 suma de a lo mas 15 puntos en un tiro de 3 dados. Casos totales:
{(
{ {
) (
)
(
)}
} } ( )
10.
) (
(
)
De 1 bolsa que contiene 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas, se sacan 3 bolas al azar. Cual es la probabilidad de que ninguna de las bolas sacadas sea blanca. 5 3 1 9
Blancas Negras Roja bolas
. Casos totales: (
)
Casos favorables: A={No salga blanca} 3N 1R 3n 2n 1r
(
)
( (
11.
(
)
(
)
(
)
)
(
(
) (
)
(
)
)
)
Se sacan 2 tarjetas al azar de 1 conjunto de 10 tarjetas, numeradas del 1 al 10, calcular la probabilidad, de que la suma de los números en las tarjetas sea: a) Un número par b) Un número impar
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