Probabilidad- Axiomas De Probabilidad 515k5h

PROBABILIDAD 100402A_471 AXIOMAS DE PROBABILIDAD

UNIDAD 1: FASE 3

Presentado a: FRANCISCO JAVIER PEREIRA LÓPEZ Tutor

Entregado por: SULEYMA FIORELLA LOPEZ Código: 1020821353 MIGUEL VALERO BEDOYA Código: 1020740664 WILMAR ALEXANDER PORRAS Código: WILSON DAVID SOSA MUÑOZ Código: 1020801058

GRUPO:287

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA MARZO 2018 BOGOTÁ

INTRODUCCION

Por medio del siguiente trabajo se verá expresado y aplicado los términos de axiomas de probabilidad en casos que podemos encontrar en nuestro diario vivir, lo cual nos dará a entender este tema de una forma más precisa y que facilitará la dinámica a estos conocimientos. En cada uno de los casos se verificará los valores de probabilidades por medio de funciones que nos dará a conocer los resultados en cada pregunta y claridad de cómo se dan estos por medio de los conocimientos adquiridos en las bibliografías estudiadas de la unidad 1 y en las cuales nos explican los términos fundamentales de la probabilidad. En nuestra vida cotidiana la mayoría de actividades que realizamos a diario no pueden ser pronosticadas con exactitud, pero pretendemos que no nos tomen descuidados influenciándonos con elementos externos y en situaciones ya pasadas para así guiarnos y orientarnos hacia una posible situación que nos pueda ocurrir a futuro, ya que no tenemos la seguridad de que ese suceso pueda ocurrir, pero sin embargo hay la probabilidad de que acontezca, por ello es importante conocer y aplicar la probabilidad.

¿Qué es la probabilidad? Resumen Suleyma López La probabilidad es utilizada para cuantificar nuestras creencias de que ocurra un acontecimiento determinado Existen 3 formas de estima probabilidades, el enfoque clásico, el de frecuencia relativa o probabilidad empírica. Y el enfoque subjetivo Probabilidad clásica la de place Cuando en un experimento, los sucesos elementales son equiprobables (todos tienen la misma probabilidad), entonces dado A un suceso cualquiera:

P(A) = Para calcular la probabilidad de un suceso A, basta con contar cuántos sucesos elementales componen el suceso A (cardinal de A) y dividirlo por el nº de sucesos elementales total (cardinal de E). Probabilidad frecuentista o de von mises Se entiende por probabilidad como frecuencia que por cuantas más veces se repita el experimento, al final las posibilidades de que ocurra cada uno de los sucesos será regular. Aunque cualquier comportamiento sea aleatorio, por proceso empírico llegaremos a una regularidad. Es cuando se lanza un dado y suponiendo cuantas veces cae el número que se seleccionó. 𝑝(𝐴) =

𝑁(𝐴) 𝑁

Concepto clásico de Probabilidad Una de las características de un experimento aleatorio es que no se sabe qué resultado particular se obtendrá al realizarlo. Es decir, si A es un suceso asociado con un experimento aleatorio, no podemos indicar con certeza si A ocurrirá o no en una prueba en particular. Por lo tanto, puede ser importante tratar de asociar un número al suceso A que mida la probabilidad de que el suceso ocurra. Este número es el que llamaremos P(A).

Probabilidad Clásica o a Priori Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables, y m de ellas poseen una característica A

Probabilidad empírica o frecuencial Una teoría de mayor aplicación y muy sostenida es la basada en la frecuencia relativa. Puede atribuirse a este punto de vista el adelanto registrado en la aplicación de la probabilidad en la Física, la Astronomía, la Biología, las Ciencias Sociales y los negocios. Esta teoría está estrechamente relacionada con el punto de vista expresado por Aristóteles: “lo probable es aquello que ocurre diariamente”. Notamos a través de gran cantidad de observaciones acumuladas con los diversos juegos de azar una forma general de regularidad que permitió establecer una teoría. Supongamos que efectuamos una serie de n repeticiones del experimento E, intentando mantener constantes las condiciones pertinentes. Sea f el número de repeticiones en las que se presenta el suceso A, de forma que en las restantes n – f no se presentará. Obtendremos así una serie de frecuencias relativas para n1, n2 ….

Estas frecuencias relativas diferirán poco entre sí cuando las ni sean grandes y tenderán a acumularse en la proximidad de un valor fijo. Debemos señalar que la estabilidad, a la larga, de las frecuencias relativas se aplica a una amplia clase de experimentos aleatorios, de los que el juego de azar constituye un caso en particular, casi insignificante.

Probabilidad subjetiva Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en la experiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo. En este caso después de estudiar la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir. ¿Cuál es la probabilidad de que haya vida en Marte? ¡Analiza esta probabilidad! Estos ejemplos ¿a qué definición de probabilidad corresponden? Ejemplo 1 E: Tirar un dado A = que salga el n° 3 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(A) = 1/6 AXIOMAS DE PROBABILIDAD Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933. Primer axioma La probabilidad de un suceso es un número real mayor o igual que 0. Segundo axioma La probabilidad del total, es igual a 1, es decir, Tenemos un resultado de x1 Tercer axioma Si son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersecció n vacía dos a dos), entonces: Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes

Para entender los postulados de Kolmogórov se realiza el siguiente cuadro sinóptico.

ACTIVIDAD COLABORATIVA

ESTUDIO DE CASO 11 La publicidad en televisión es indiscutiblemente la más poderosa forma de publicidad. Anunciarse en televisión implica llegar a cientos de miles o a millones de personas al mismo tiempo, y hacerlo a través del medio publicitario más relevante y prestigioso. La publicidad en televisión aporta notoriedad y credibilidad, y ayuda más que ninguna otra a conseguir el posicionamiento deseado. Una empresa de publicidad desea determinar en qué canal es más probable que sus anuncios sean vistos y realiza una encuesta entre 400 personas de varias ciudades del país para determinar cuáles son los canales más vistos y el horario en el que más audiencia tienen. Canal preferido Horario en el que preferiblemente ve TV

Caracol Sony Fox Home & Health Discovery City Tv RCN TOTAL

Mañana

Tarde

Noche

Total

39 11 6 10 9 12 28 115

12 8 5 13 2 10 15 65

58 32 26 24 18 20 42 220

109 51 37 47 29 42 85 400

Con base en esta información y haciendo uso de los axiomas de probabilidad, prepare para la empresa de publicidad un informe en el que debe incluir como mínimo lo siguiente:

1

Tomado y adaptado de Díaz, A. (2015) Estadística aplicada a la istración y la Economía.

1. Canal en el que hay mayor Probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa. R/: Revisando los datos podemos concluir que el canal en el que hay mayor probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa es: CARACOL, ya que tiene la mayor cantidad de personas que ven ese canal con una probabilidad de 27,25%. 109 = 0.2725 = 27,25% 400 2. Horario en el que hay mayor probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa. R/: El horario en el que hay mayor probabilidad de que una persona vea los anuncios de la empresa es: Noche, ya que es el horario donde mas gente tiende a ver los anuncios, con una probabilidad de: 55% 220 = 𝟎. 𝟓𝟓 = 𝟓𝟓% 400 3. Probabilidad de que una persona prefiera ver T.V en la tarde. R/: la Probabilidad de que una persona prefiera ver T.V en la tarde es de: 16,25 65 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟐𝟓 = 𝟏𝟔, 𝟐𝟓% 400 4. Probabilidad de que una persona prefiera el canal RCN o Caracol. R/: La probabilidad de que una persona prefiera el canal RCN o Caracol es de:48,5% 85 + 109 = 0.485 = 48,5% 400 5. Probabilidad de que una persona prefiera ver TV en la mañana o en la tarde. R/: La probabilidad de que una persona prefiera ver TV en la mañana o en la tarde es de: 45% 115 + 65 = 0,45 = 45% 400 6. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Caracol en la mañana. R/: La probabilidad de que una persona prefiera ver el canal caracol en la mañana es: 9,75% 39 = 0.0975 = 9,75% 400 7. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Fox en la Noche. R/: La probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Fox en la noche es: 65% 26 = 0.065% = 6,5% 400

8. Probabilidad de que una persona prefiera ver el canal Fox SI prefiere ver Tv en la noche. R/: La probabilidad de que una persona prefiera ver el canal fox SI prefiere ver TV en la noche es: 11.82% 26/220 = 0.1181*100% = 11.81% 9. Probabilidad de que una persona prefiera ver Tv en la noche si prefiere el canal Fox. R/: La probabilidad de que una persona prefiera ver TV en la noche si prefiere el canal Fox es: 70.27% 26/37=0.7027*100% = 70.27% 10. Que le sugiere a la empresa de publicidad sobre sus anuncios en TV. (tenga en cuenta las probabilidades aquí encontradas). R/: las sugerencias que le daría a la empresa de publicidad sobre sus anuncios en TV, son: En las horas de la noche debería poner sus anuncios en los canales Caracol y Rcn, en la mañana en el canal Caracol también sería una buena opción, seguido por el canal Sony, pero tendría menos aceptación.

ESTUDIO DE CASO 2 Una pareja de jóvenes acaba de casarse, ambos tienen 20 años y viven en lo profundo de la Patagonia comiendo pescado crudo, lo que imprime un carácter fuerte: NADIE SE DIVORCIA y todos tienen BUENA SALUD. La mitad de la población de esa región, en efecto, vive hasta los 110 años, una cuarta parte vive hasta los 100 años, y el último cuarto de la población vive hasta los 90 años. Los jóvenes esposos se preguntan: “Lo más probable es que nuestro matrimonio dure…?” Haciendo uso de los axiomas de probabilidad y en especial de la probabilidad para eventos independientes, ayude a los jóvenes esposos a responder la pregunta, y encuentre como mínimo lo siguiente: EVENTOS: A1. 110 años 50% A2. 100 años 25% A3. 90 años

25% 100%

110 años (1/2)

100 años (1/4) 90 años (1/4)

1.- Probabilidad de que ambos vivan 90 años: H-¼ M–¼ P = (A3)(A3) 1 1 1 P= 4 ∙ 4 = 16 2.- Probabilidad de que ambos vivan 100 años H- ¼ M–¼ P= (A2)(A2) 1 1 1 P=4 ∙ 4 = 16 3.- Probabilidad de que ambos vivan 110 años H–½ M–½ P= (A1)(A1) 1 1 1 P= 2 ∙ 2 = 4 4.- Probabilidad de que el esposo viva 90 años y la esposa 110 años H–¼ M–½ P= (A3)(A1) 1 1 1 P= 4 ∙ 2 = 8 5.- Probabilidad de que la esposa viva 90 años y el esposo 100 años. H- ¼ M–¼ P=(A3)(A2) 1 1 1 P= 4 ∙ 4 = 16 6.- Finalmente, la respuesta a la inquietud de los esposos es: “Lo más probable es que el matrimonio dure _90_ años”.

R/. De acuerdo a las respuestas anteriores de probabilidad de vida, vemos que en la pregunta 3 la respuesta es de ¼ de probabilidad en que ambos vivirán 110 años es decir un 25%, siendo la respuesta con más porcentaje de viabilidad de que este evento ocurra. Si actualmente tienen 20 años y lo más probable es que vivan hasta los 110 años, les resta 90 años de matrimonio.

Para resolver el estudio de caso se sugiere completar el siguiente diagrama: El Esposo vivirá hasta: (probablemente) 90 años 100 años 110 años

La Esposa vivirá hasta: (probablemente) 90 años 100 años 110 años 1⁄ 1⁄ 1⁄ 16 16 8 1⁄ 16 1⁄ 8 ¼

1⁄ 16 1⁄ 8 1⁄ 4

1⁄ 8 1⁄ 4 ½

1⁄ 4 ¼ 1⁄ 2

ESTUDIO DE CASO 32

Colombia ha clasificado al Mundial de Rusia 2018; así que muchos aficionados han comenzado los preparativos para el viaje. Teresa quiere ir al mundial y decide utilizar una aerolínea de bajo costo por lo que es importante que decida que va a llevar para que no le toque pagar más por sobrepeso. Teresa decide hacer una lista de lo que podría llevar: una maleta, una mochila, una cámara, y unas lindas gafas que lleva a todos sus viajes. Al revisar en algunas páginas de internet sobre viajes, encuentra que hay una posibilidad sobre siete de que pierda la maleta, una sobre cinco de que pierda su mochila, una sobre tres de que pierda la cámara y una posibilidad de tres sobre diez de que pierda sus preciosas gafas. Teresa se queda preocupada y decide calcular la probabilidad de que su viaje no sea tan perfecto como lo tiene previsto si por alguna razón se pierden sus cosas. Haciendo uso de los axiomas de probabilidad, su tarea es ayudar a Teresa y para eso debe encontrar como mínimo lo siguiente: 1. Probabilidad de que no pierda la maleta. 2

Tomado y adaptado de Giovanangelli, B., 100 Enigmas de Probabilidad. Juegos divertidos para potenciar tu monte, Editorial Planeta, 2009

2. Probabilidad de que pierda la maleta y pierda el bolso de mano 3. Probabilidad de que pierda la maleta o pierda el bolso de mano 4. Probabilidad de que NO pierda ninguna de sus cosas 5. Finalmente, Determine la probabilidad de que el viaje de Teresa no sea tan perfecto como lo tiene previsto, si por alguna razón se pierden todas sus cosas. Para resolver el estudio de caso se sugiere completar el siguiente cuadro: Probabilidades que tiene Teresa de Perder No perder 1/7 6/7 La Maleta 1/5 4/5 La Mochila 1/3 2/3 La Cámara 3/10 7/10 Las Gafas

Desarrollo

Probabilidad de que no pierda la maleta (0.85)∗(0.6)

0.51

P(x)=(0.8∗(0.4)+(0.66)∗(0.2)+(0.7)+(0.7) = 0.942 = 0.5414 P(x)= 54.14% de no perder la maleta Probabilidad de que pierda la maleta y pierda el bolso de mano (0.2)∗(0.1)

0.02

P(x)=(0.14)∗(0.1)+(0.33)∗(0.1)+(0.3)∗(0.3) = 0.137 = 0.1459

P(x)14.59% de perder el bolso

La probabilidad que tiene de perder teresa la maleta y el bolso de mano es de 24,29%

Probabilidad de que pierda la maleta o pierda el bolso de mano Probabilidad de que pierda la maleta 54.14% Probabilidad de que pierda el bolso 14.59% Probabilidad de que NO pierda ninguna de sus cosas La probabilidad de no perder la maleta 54.14% Probabilidad de no perder la mochila (0.8)∗(0.4)

0.3

P(x)=(0.85)∗(0.6)+(0.66)∗(0.2)+(0.7)∗0.7) = 1.132 = 0.2650 Probabilidad de no perder la mochila 26.50% Probabilidad de no perder la cámara (0.66)∗(0.2)

P(x)=(0.85)∗(0.6)+(0.8)∗(0.4)+(0.7)∗(0.7) =

0.132 1.32

= 0.1

Probabilidad de perder la cámara es de 1% Probabilidad de perder las gafas (0.7)∗0.7

0.49

P(x) =(0.85∗(0.6)+(0.8)∗(0.4)+(0.66)∗(0.2) = 0.962 = 0.5093 Probabilidad de perder las gafas 50.93% Probabilidad de no perder ninguna de las cosas es de 131.67% Finalmente, Determine la probabilidad de que el viaje de Teresa no sea tan perfecto como lo tiene previsto, si por alguna razón se pierden todas sus cosas. Probabilidad de perder la maleta 0.7% Probabilidad de perder el bolso 14.59% Probabilidad de perder la mochila (0.2)∗(0.1)

0.02

P(x)=(0.14)∗(0.1)+(0.33)∗(0.1)+(0.3)∗(0.3) = 0.203 = 0.0985 Probabilidad de perder la mochila 09.85% Probabilidad de perder las gafas (0.3)∗(0.3)

0.09

P(x)=(0.14)∗(0.1)+(0.2)∗(0.1)+(0.33)∗(0.1) = 0.067 = 1.34 Probabilidad de no perder las gafas = 1.34% Probabilidad de perder todas sus cosas es de 26.48%

ESTUDIO DE CASO 4 Los exámenes de selección están asociados principalmente con exámenes médicos de diagnóstico, pero ahora están encontrando aplicaciones en varios campos de actividad. Estos exámenes se evalúan sobre la probabilidad de un falso negativo o un falso positivo y éstas dos son probabilidades condicionales. Un falso positivo es el evento de que el examen sea positivo para una condición determinada, dado que la persona no tiene la condición. Un falso negativo es el evento de que el examen sea negativo para una condición determinada, dado que la persona tiene la condición. Se supone que una cierta prueba detecta cierto tipo de cáncer con probabilidad del 85% entre gente que lo padece, y no lo detecta el 15% restante. Si una persona no padece este tipo de cáncer la prueba indicará que no lo tiene un 95% de las veces e indicará que lo tiene un 5% de ellas. Por estudios realizados se supone que el 5% de la Población padece este tipo de cáncer. Con base en esta información y usando el Teorema de Bayes, elabore un informe que como mínimo, debe incluir: Solucion C: Población que padece de cáncer C: Población que no padece de cáncer D: Prueba detecta cáncer D: Prueba no detecta Cáncer

1. Probabilidad de que una persona NO tenga este tipo de cáncer P( C )=0,95 : 95%

2. Probabilidad de que el examen indique que la persona tiene cáncer

P(D)=P(C)P(D/C)+P( C )P(D/C ) =0,05*0.85+0,95*0.05 =0,09 : 9%

3. Probabilidad de que el examen indique que la persona no tiene cáncer P( D )=1-P(D)=1-0,09=0.91 : 91% 4. Probabilidad de un falso positivo, es decir que el examen indique que la persona tiene cáncer dado que la persona no lo tiene. P(D/C )=0.05 :5% 5. Probabilidad de un falso negativo, es decir, que el examen indique que la persona no tiene cáncer dado que la persona tiene la enfermedad P(D/C )=0,15 :15% 6. De acuerdo con las probabilidades encontradas, que tan confiable es este examen para detectar este tipo de cáncer 𝑫 𝑪

𝑷(𝑪)𝑷( )

P(C/D )=

𝑷(𝑫)

=

𝟎,𝟎𝟓∗𝟎.𝟖𝟓 𝟎,𝟎𝟗

= 𝟎, 𝟒𝟕𝟐𝟐 ∶ 𝟒𝟕, 𝟐%

La probabilidad de que la prueba detecte canceren los que realmente lo padecen es del 47,2% es poco confiable el examen Para resolver el estudio de caso se sugiere realizar un diagrama de árbol, que represente las probabilidades utilizadas para resolverlo.

CONCLUSIONES    

Los Axiomas de Probabilidad nos ayudan a identificar las condiciones mínimas de unos sucesos, determinando la posibilidad que se den resultados esperados. Se afianzan términos de la probabilidad por medio de casos que son estudiados y solucionados por los estudiantes. Se logra tener en cuenta los términos de probabilidad en casos que son de la vida real y que nos ayudan a ver la importancia de estos en campos reales de nuestra vida cotidiana. Los axiomas de probabilidad de Kolmogórov nos refleja la alta variedad de eventos en donde los podemos aplicar en nuestra vida.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

Monroy, S. (2008). Estadística Descriptiva. Editorial: Instituto Técnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=151&docID =10436604&tm=1470688991083

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Axiomas de probabilidad, probabilidad condicional, Teorema de Bayes. Gil, M., Gonzales, A. J Salagre, M. (2014). Ejercicios de estadística teórica: Probabilidad e inferencia. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=10995669 &ppg=19

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Rodríguez, F. & Pierdant, A. (2014). Estadística para istración. Página 177 a 200. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=110 13767&ppg=177