Problemas Resueltos De Permutaciones 114d3

Problemas resueltos de permutaciones 1. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.? m=5

n=5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

4. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? m=9

a=3

b=4

c=2

a+b+c=9

Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos. Pág. 1

5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal? La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4. Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

6. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000? Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8

7. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? Sí entran todos los elementos.

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Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

8. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería? Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas. Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

9. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que: Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

10. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: 1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

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2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

11. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

12. Resolver las ecuaciones: 1.

2.

3.

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PERMUTACIONES CON REPETICION 1)

Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.

Solución: n = 6 banderines x1 = 2 banderines rojos x2 = 3 banderines verdes x3 = 1 banderín morado P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes

6

2) a.¿Cuántas claves de a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres? Solución: a. n = 8 números x1 = 3 números uno x2 = 1 número dos x3 = 4 números cuatro P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de

8

b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos) x1 = 2 números uno x2 = 4 números tres 1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de El primer número uno nos indica el número de maneras como es posible colocar en la primera posición de la clave de un número uno, debido a que todos los números uno son iguales, entonces tenemos una sola manera de seleccionar un número uno para la primera posición, el siguiente número uno nos indica el número de maneras como se colocaría en la segunda posición el número dos y la expresión siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible diseñar con los números restantes.

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c. n = 6 (se excluye un número dos y un tres) x1 = 3 números uno x2 = 3 números tres 1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de El número uno inicial nos indica que existe una sola manera de seleccionar el número dos que va en la primera posición del arreglo, mientras que el número uno final nos indica que hay una sola manera de seleccionar el número tres que va al final del arreglo aún y cuando haya cuatro números tres, como estos son iguales al diseñar una permutación es indistinto cuál número tres se ponga, ya que siempre se tendrá el mismo arreglo y la expresión intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con los números restantes. 3) ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? Solución: n = 9 árboles x1 = 2 nogales x2 = 4 manzanos x3 = 3 ciruelos P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los árboles

9

4) Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos? Solución: n = 12 juegos x1 = 7 victorias x2 = 3 empates x3 = 2 juegos perdidos

P7,3,2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos perdidos. 12

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PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN Y VARIACIONES

1. Un vendedor quiere visitar 5 ciudades (por ejemplo Albacete, Barcelona, Córdoba, Denia y Estepona). Si no quiere repetir ciudades, ¿cuántas rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades? (tomado de un examen del curso de a la universidad en la UNED, curso 2008/09) El vendedor puede elegir la primera ciudad que visitará de entre las 5. Elegirá la segunda ciudad que visitará de entre las 4 restantes. Para la tercera ciudad tiene 3 opciones. Para la cuarta, 2. Y para la última, 1. Así que puede elaborar 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 rutas distintas. Podemos

utilizar

también

la

fórmula

de las

permutaciones

y

decir

que

2. ¿Cuántos números de 3 cifras (donde la primera por la izquierda no es un cero) existen cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? (tomado de un examen del curso de a la universidad en la UNED, curso 2007/08) Vamos a calcular cuántos números existen de 3 cifras, y luego restaremos la cantidad de los que tienen las 3 cifras iguales. Podemos elegir la primera cifra de entre 9 posibilidades (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Las siguientes dos cifras podemos elegirlas de entre 10 posibilidades cada una (los 10 guarismos). Así que existen 9 · 10 · 10 = 900 números de 3 cifras. De éstos, un total de 9 tienen todas su cifras repetidas (111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999). Así que la cantidad de números pedida es de 900 – 9 = 891 3. En una carrera de maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses, 1 italiano, 3 alemanes, 2 ses y 1 belga. Si un pódium consiste en 3 personas situadas en 3 puestos distintos, ¿cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera? (tomado de un examen del curso de a la universidad en la UNED, curso 2006/07) Tenemos un total de 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 12 corredores. El primer puesto lo puede alcanzar cualquiera de los 12 corredores. El segundo está al alcance de 11 corredores, y el tercero puede ser para cualquiera de los 10 restantes. Así que existen 12 · 11 · 10 = 1320 distintos pódiums posibles.

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También podemos utilizar la fórmula de las variaciones sin repetición ¡Error! Argumento de modificador desconocido. 4. ¿Cuántos números de 5 cifras son divisibles por 5? Para que un número sea divisible por cinco debe acabar en 0 ó 5, así que: Podemos elegir la primera cifra de entre 9 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, si la primera cifra es 0 no cuenta como número de 5 cifras). Podemos elegir la segunda cifra de entre 10 (nos vale cualquier guarismo). También podemos elegir de entre 10 la tercera y la cuarta cifra. La última cifra solo puede ser 0 ó 5, lo que nos da solo 2 posibilidades. Así que existe un total de 9 · 10 · 10 · 10 · 2 = 18000 números de 5 cifras divisibles por 5.

EJERCICIOS DE VARIACIONES

1.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5? m = 5n = 3 m ≥ n No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? m=5

n=3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

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3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? m = 6n = 3 m ≥ n Tenemos que separar el número en dos bloques:

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares), m=5

n=1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito, menos el inicial. m=5

n=2

4. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? m=6

n=3

Tenemos que separar el número en dos bloques:

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares), m=5

n=1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito. m=6

n=2

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5. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit.¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? m = 10n = 3 No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3. Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista. No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.

6. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados? m=3

n = 15

m

Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

7. ¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos? No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

8. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos? No entran todos los elementos.

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Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

9. Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares? Sí entran todos los elementos: 3 < 5 Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.

10. Con el (punto, raya) del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones? No entran todos los elementos en un caso y sí entran en lo otros Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

11. Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?

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12. Resolver las ecuaciones combinatorias: 1.

2.

3.

4.

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VARIACIONES CON REPETICIÓN

Sea A un conjunto con m elementos. Llamamos variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m a todas a las agrupaciones que podemos hacer con m elementos de A independientemente de que se repita alguno. El número de variaciones con repetición viene dado por: Características: • •

Se consideran grupos distintos aquellos con los mismos elementos en distinto orden. Cualquier elemento se puede repetir.

Observación: En el caso de variaciones sin repetición los grupos que podíamos formar eran inferiores al total de elementos. Ahora podemos tomar conjuntos con más elementos ya que podemos repetir. Ejemplos: •

¿Cuántos números de 8 cifras que empiecen por 6 se pueden formar? Si los números empiezan por 6 sólo queda determinar qué ocurre con las siete últimas cifras que puede cualquier dígito. Se Podrán formar 10.000.000 números.

•

¿Cuántas apuestas distintas se pueden hacer en la quiniela para cubrir todas las posibilidades? Nota: Incluido el pleno al 15. Para rellenar una quiniela usamos tres signos 1,X,2, luego tenemos tres elementos. Se rellenan 15 casillas, por tanto los agrupamos de 15 en 15. apuestas.

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COMBINACIONES

1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos.

2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

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4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices? Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices. No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos. Son , a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

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7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: 1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

9. Resolver las ecuaciones combinatorias: 1.

2.

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3.

27 no es solución porque el número de orden en las combinaciones es menor que el número de elementos.

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