Producto Vectorial (definicion) 4e454z

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo llama también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior). Definición [editar] Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial ℝ3. El producto vectorial entre a y b, como se mencionó antes, da como resultado un nuevo vector, al que llamaremos c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:  El módulo de c está dado por

donde θ es el ángulo entre a y b.

 

La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b. El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla del sacacorchos.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a ∧ b cuando escriben a mano. El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde es el versor ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha. Base del espacio vectorial [editar]

Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ3. Se dice que S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

1.

, es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí;

2.

, es decir, los vectores son ortonormales (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son versores);

3.

; ; , es decir, siguen la regla de la mano derecha (también llamada "regla del sacacorchos").

En la primera propiedad,

denota producto interno.

Producto vectorial [editar]

Sean y afín tridimensional según la base anterior.

dos vectores concurrentes de

, el espacio

Se define el producto

, y se escribe

, como el vector:

En el que

, es el determinante de orden 2. O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

Que da origen a la llamada regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de

es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

Ejemplo [editar] Sean los vectores:

y

El producto vectorial entre a y b se calcula como:

Expandiendo el determinante:

Por lo tanto

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b utilizando el producto escalar y verificando que éste da cero como resultado (condición de perpendicularidad de vectores).

Propiedades [editar] Cualesquiera que sean los vectores 1.

,

y

en

:

, (anticonmutatividad)

2.

(el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),

3.

Si cero).

y

entonces

4.

(el producto cruz de dos vectores paralelos es ,

5. Otras propiedades [editar] Continuando con los vectores del apartado anterior y con la norma vectorial habitual:



. El valor absoluto de esta operación corresponde al volumen del paralelepípedo formados por los vectores , y . A esta operación se la conoce como producto mixto, pues combina producto escalar y producto vectorial.



, siendo θ el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.



El vector

es el vector normal al plano que contiene a los vectores

y

.

Vectores axiales [editar] Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico. Dual de Hodge [editar] Artículo principal: Dual de Hodge En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

Donde

denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

El producto vectoral sólo es definible en tres dimensiones no existe ninguna extensión posible a otras dimensiones, cosa que puede probarse examinando la dimensionalidad del espacio de las (d-2)-formas y el de las 1-formas que solo coinciden para d = 3. Otras operaciones vectoriales [editar] Los vectores tienen definida la operación interna de adición de forma sencilla y casi evidente pero para el producto de dos vectores se definen tres operaciones externas:

  

producto escalar producto vectorial producto tensorial.

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias (ver operador norma) de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz, encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto. El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, vectorial es una operación interna.

, el producto

Por ello el producto vectorial se define en ℝ3. Producto Vectorial Se acostumbra definir tambien una segunda clase de producto entre vectores, cuyo resultado es esta vez un vector. Partiremos con la definición geométrica primero, llamemos

. El producto

es tal que:

i) Es perpendicular al plano generado por los vectores derecha.

y

. La dirección es la dada por la regla de la mano

ii)

, en que

Como los vectores unitarios

y

es el ángulo que forman los vectores

y

.

forman un trío ortonormal derecho, se tiene:

De esta manera, podemos escribir el producto entre dos vectores cualquiera en la forma

donde Juntando todo, tenemos: De acuerdo a las reglas de cálculo de determinantes, es posible reescribir los resultados anteriores en la forma

Hay algunas combinaciones de productos que son interesantes, y que aparecen con alguna frecuencia en los cálculos, como por ejemplo el llamado triple producto escalar (como ejercicio, demostrar la igualdad que sigue)

Finalmente, el triple producto vectorial aparece tambien con frecuencia demostrar la igualdad que sigue)

Para finalizar, indiquemos que la diferencia entre el punto de vista matemático y físico respecto a los vectores consiste en que, en física usamos una definición algo más restringida, pues los vectores que se consideran tienen una medida (euclídea). Para los vectores del espacio, entonces, existe siempre una cantidad que es invariante bajo rotaciones, que es la longitud del vector. Tambien, y muy importante, las ecuaciones físicas que escribimos son invariantes bajo este grupo de rotaciones; dicho en otras palabras, una igualdad entre vectores es indpendiente del sistema de coordenadas utilizadas. Producto vectorial Introducción. Dados los vectores a y b linealmente independientes de E3(R) deseamos calcular todos los vectores que que son simultáneamente perpendiculares a a y b. En todo momento nos referimos a la base ortonormal { e1, e2, e3 } Sean { a1, a2, a3 } y { b1, b2, b3 } las coordenadas de a y b respecto de la base dada y (x, y, z) las coordenadas de un vector genérico x que deseamos cumpla las condiciones de perpendicularidad que se han indicado. Si dicho vector ha de ser perpendicual a a y b el producto escalar de cada uno de ellos por x es cero. Por tanto

siendo pues a y b linealmente independientes. Teniendo esto en cuenta resulta que el sistema anterior es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Resolviéndolo, por ejemplo por el método de Crámer, resulta

Para el valor

una solución es

que es una base del conjunto de vectores que son perpendiculares a a y b. (Evidentemente la dimensión de dicho subespacio es 1). Definimos , teniendo en cuenta lo anterior, el producto escalar de los vectores a(a1, a2, a3) y b(b1, b2, b3), referidos a una base ortonormal { e1, e2, e3 } por

Las propiedades del producto vectorial enunciadas a continuación son inmediatas teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes:  el producto escalar no es conmutativo;

   

el ortogonal a a y a b (por construcción) (siendo || a || la norma (o módulo) del vector a) a y b son linealmente dependientes



Si a y b son linealmente independientes entonces a, b y

forman una base.

El producto vectorial tiene una sencilla e importante interpretación geométrica que resuelve bastantes problemas. La norma (o módulo) del vector producto vectorial es igual que el área del paralelogramo determinado por los vectores que lo definen. Si el águlo determinado por los dos vectores es agudo resulta S = || a || h = || a || || b || sen() Por otra parte || a b || 2 = || a || 2 || b || 2 - (a b) 2 = || a || 2 || b || 2 - (|| a || 2 || b || 2 cos 2()) = = || a || 2 || b 2 || (1 - cos 2()) = || a || 2 || b 2 || sen 2()) || a b || = || a || || b || sen 2()) = S (Si el ángulo es obtuso, entonces  =  -  y tendremos h = || b || sen ( - ) = || b || sen () como en el caso anterior). Dos aplicaciones geométricas interesantes son:  el cálculo del área de un triágulo;  la distancia de un punto a una recta. Ejemplo 1 Para calcular el área del triángulo de vértices A(0,0,0), B(1,2,3) y C(1,0,-2) basta calcular el producto vectorial de los vectores AB y AC y dividir el resultado por 2. (Como puede desprenderse intuitivamente de la figura adjunta)

Ejemplo 2 Para calcular la distancia del origen de coordenadas O(0,0,0) a la recta r basta elegir un punto de la recta, por ejemplo A(0, -1,2) y considerar el vector AO. La distancia buscada es la altura del paralelogramo determinado por los vectores v y AO. La base de dicho paralelogramo es el módulo de v. Tendremos por tanto

4.10. Producto vectorial . Sea

un espacio vectorial sobre

vectores le asocia un vector

. Se denomina producto vectorial a toda aplicación que a cada par de

ley de composición interna. Sean

y

dos vectores no nulos de de

,

y B una base ortonormal ,

. La expresión del producto vectorial es :

El producto vectorial es el vector nulo si los vectores son paralelos o linealmente independientes ,

.

El módulo del producto vectorial es

.

El sentido del vector resultante del producto vectorial es el de llevar el primero sobre el segundo por el camino más corto . El producto vectorial es anticonmutativo ,

.

El producto vectorial es distributivo respecto de la suma de vectores, . . Calcula productos vectoriales con Vectorlab:

=(

=(

4

3

,

,

5

-7

,

,

Productos vectoriales

2

-6

)

)

Si tienes alguna duda o sugerencia a con nosotros: Departamento de Matemáticas de Ciencialab. Ciencialab, tu sitio para aprender. Fecha Tue Mar 18 17:38:52 2008