Rectas Alabeadas 6m5b5r

Rectas, distancias y lugares geom´etricos con Mathematica Mariano Gonz´alez Ulloa [email protected] Pontificia Universidad Cat´olica del Per´ u

Departamento de Ciencias 18 de agosto de 2013 Resumen En esta presentaci´ on se desarrolla procedimientos para construir e identificar lugares geom´etricos que involucran la distancia de un punto a una recta y la distancia entre dos rectas. Especialmente se trata de identificar el lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de dos rectas alabeadas, el cual resulta ser una superficie. Para ello se trabajar´ a con una representaci´on vectorial de las rectas y se usar´a el software Mathematica para obtener una parametrizaci´on de la superficie y a la vez construir las gr´ aficas correspondientes.

1.

Introducci´ on

Si bien es cierto que los lugares geom´etricos (LG) en el plano, generalmente, son f´ aciles de visualizar, eso no ocurre cuando se trata de lugares geom´etricos en el espacio tridimensional. Por ello, discusiones como la que se presenta en esta publicaci´on son de interes, ya que con la ayuda del software Mathematica es posible conjeturar las posibles soluciones y luego visualizar los lugares geom´etricos bajo las condiciones del problema planteado. En esta presentaci´ on se propone la construcci´on e identificaci´on del lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de dos rectas abaleadas. El procedimiento seguido consiste en identificar el punto, de cada una de las rectas, que proporciona la m´ınima distancia entre un punto fijo y cada recta, luego se igualan estas dos distancias para obtener la ecuaci´ on cartesiana del LG que resulta ser una superficie. Luego, usando bases de Gr¨ obner de un ideal en el anillo de polinomios R[x, y, z, s, t], se obtiene una representaci´ on param´etrica para dicha superficie

2. 2.1.

Nociones preliminares Lugar geom´ etrico

Definici´ on 2.1. Un lugar geom´etrico (LG) es el conjunto de puntos que satisfacen cierta o ciertas propiedades.

1

Si el lugar geom´etrico es definido por la propiedad P, entonces: Todo punto de LG satisface la propiedad P. Todo punto que satisface la propiedad P pertenece al LG. Por ejemplo, una esfera con centro en el punto O ∈ R3 y radio r > 0 es el lugar geom´etrico de todos los puntos P ∈ R3 cuya distancia al punto O es igual a r. El punto O es el centro de la esfera y r su radio. Tambi´en, dado un punto fijo P0 ∈ R3 → → y un vector fijo v ∈ R3 , la recta que pasa por P0 y es paralela al vector v es el lugar geom´etrico de todos los puntos P ∈ R3 tales que el vector P − P0 es paralelo al vector → v , es decir → P = P0 + t v , t ∈ R

2.2.

Distancia de un punto a una recta

Previamente describiremos la manera como hallar la distancia de un punto a una → recta. Para ello consideremos una recta L generada por una funci´on vectorial α (t) = → → P0 + t v , t ∈ R, donde P0 ∈ R3 es un punto fijo y v ∈ R3 es el vector direcci´on de L, y un punto P ∈ R3 , la distancia de P a L est´a dada por →

d(P, L) =

k v ×(P − Po )k

(1)

→

k v k

expresi´ on que solamente vale en R3 debido a que depende del producto vectorial de dos vectores. De manera equivalente, para hallar la distancia del punto P a la recta L bastar´ a encontrar el pie de la recta perpendicular a L trazada por el punto P (punto Q, ver figura 1) y luego, simplemente, calcular la distancia entre los puntos P y Q. El punto Q se obtiene mediante →

Q = P0 +

v ·(P − P0 ) → v kvk2

(2)

En consecuencia, la distancia del punto P a la recta L est´a dada por (figura 1) d(P, L) = d(P, Q)

(3)

La funci´ on DistaPuntoRecta[P , P0 , V ] definida en el programa 1, permite obtener la distancia de un punto P a la recta que pasa por el punto P o y tiene la direcci´on del vector V .

DistaPuntoRecta@P_, Po_, V_D := FullSimplifyBNormBP - Po -

V . HP - PoL Norm@VD2

Programa 1

2

VFF

Y

L P Z

Po

Q

X

Figura 1: Distancia de un punto a una recta Por ejemplo, para hallar la distancia del punto P = (1, 1, 1) a la recta L que pasa → por el punto P0 = (0, 0, 0) y tiene la direcci´on del vector v = (1, 0, 0), ingrese la funci´on DistaPuntoRecta[{1, 1, 1}, {0, 0, 0}, {1, 0, 0}] que al ejecutarla tendr´ a √

2

Observaci´ on 2.1. Los par´ ametros en la funci´ on DistaPuntoRecta pueden ser vectores de dos o tres componentes. Esta es una caracter´ıstica de Mathematica, la definici´ on de una funci´ on no est´ a ligada, necesariamente, a la dimensi´ on del espacio que contiene a su dominio. En el programa 2, usando la expresi´on (3), se define la funci´on DistaPuntoRectaGraf[P , Po , V , a , b ] para calcular la distancia de un punto a una recta en R3 y construir las gr´aficas correspondientes. Los par´ ametros de esta funci´on son: P el punto desde donde se calcular´ a la distancia, P o el punto de paso de la recta, V el vector direcci´on de la recta; y a y b los extremos del intervalo donde toma valores la variable para construir la recta.

3

DistaPuntoRectaGraf@P_, Po_, V_, a_, b_D := ModuleB8to = a, t1 = b<, HP - PoL.V

V; H* punto en la recta *L Norm@VD2 DistanciaPL = Simplify@Norm@P - QDD; GRecta = Parametrilot3D@8Po + t V<, 8t, to, t1<, Axes ® True, Boxed ® True, AxesLabel ® 8"X", "Y", "Z"<, PlotStyle ® 8Blue, Thick
Po - 2 V + 8.6, .6, .8 F;

F

Print@"distanciaH", P, ",", Q, "L=", DistanciaPL, "=", N@DistanciaPLDD; Show@GRecta, GPuntosPQ, TextoD

Programa 2 Con la finalidad de verificar la buena definici´on de la funci´on DistaPuntoRectaGraf, considere el punto P0 (−1; 2; 3), el vector direcci´on V = (2; −1; −1) y el punto P (6; 1; 5). Ingrese

DistaPuntoRectaGraf[{6,1,5},{-1,2,3},{2,-1,-1},-5,5] al ejecutarla obtendr´ a el resultado que se muestra en la figura 2:

L

6 4

Po

P 2

v

-5 X

0 6

Q

®

Z

4 2

0

Y

0 5

10 distanciaH86, 1, 5<,:

1 ,-

3

5 ,

6

→

6

-2

>L=

155 =5.08265 6

Figura 2: Distancia de P (6, 1, 5) a L : α (t) = (−1, 2, 3) + t(2, −1, −1)

4

2.3.

Distancia entre dos rectas

Si las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de cualquier punto de una de ellas a la otra recta. De manera que se puede asumir que las rectas son no paralelas y tampoco se intersecan. Definici´ on 2.2. Dos rectas en R3 que no son paralelas ni se intersecan se denominan rectas alabeadas. →

→

Sean L1 y L2 rectas alabeadas generadas por las funciones α (s) = P1 +s u , s ∈ R

→

→

y β (t) = P2 + t v , t ∈ R, respectivamente. → → → → Los puntos P1 , P1 + u , y P1 + v no son colineales ya que los vectores u y v son no paralelos, en consecuencia dichos puntos determinan el plano π1 que contiene → → a la recta L1 . De la misma manera, los puntos P2 , P2 + u , y P2 + v determinan el plano π2 que contiene a la recta L2 . Adem´as los planos π1 y π2 son paralelos puesto → → que tienen el mismo vector normal, u × v . De aqu´ı se concluye que existen dos u ´nicos planos paralelos, π1 y π2 , que contienen a las rectas alabeadas L1 y L2 , respectivamente (figura 3). El argumento desarrollado prueba la siguiente proposici´on.

Figura 3: Planos que contienen a las rectas alabeadas Proposici´ on 2.1. Dadas dos rectas alabeadas L1 y L2 existen dos u ´nicos planos paralelos π1 y π2 que contienen a L1 y a L2 , respectivamente. Proposici´ on 2.2. La distancia entre dos rectas alabeadas L1 y L2 est´ a dada por →

d(L1 , L2 ) =

→

|(P2 − P1 )· u × v | →

(4)

→

|| u × v ||

Prueba. La expresi´ on 4 se obtiene observando que el volumen del paralelep´ıpedo P → → (figura 4) determinado por los vectores u , v y P2 − P1 es →

→

vol(P) = |(P2 − P1 )· u × v | →

(5) →

que tambi´en es igual al producto del ´area de su base, k u × v k, por su altura, h, es decir que → → vol(P) = hk u × v k (6)

5

Figura 4: Distancia entre dos rectas alabeadas L1 y L2 en consecuencia, de (5) y (6) resulta que →

h=

→

|(P2 − P1 )· u × v | →

→

ku× v k

= d(L1 , L2 ).

La funci´ on DistaRectaRecta[P 1 , U , P 2 , V ] definida en el programa 3, devuelve la distancia entre dos rectas en R3 . DistaRectaRecta@P1_, U_, P2_, V_D := ModuleB8<, Paralelas = Solve@U - Λ V Š 0, ΛD ¹ 8<; IfBParalelas, FullSimplifyBNormBP2 - P1 -

V. HP2 - P1L Norm@VD2

Abs@HP2 - P1L. Cross@U, VDD

VFF,

Norm@Cross@U, VDD

FF

Programa 3 Los par´ ametros de esta funci´on son P 1, U (punto de paso y vector direcci´on de la recta L1 ) y P 2, V (punto de paso y vector direcci´on de la recta L2 ). Para verificar la buena definici´on de la funci´on DistaRectaRecta, considere L1 : (0, 0, 0) + t(1, 3, 4), t ∈ R y L2 : (1, 1, 1) + s(3, 4, 6), s ∈ R e ingrese DistaRectaRecta[{0, 0, 0},{1, 3, 4},{1, 1, 1}, {3, 4, 6}] luego de ejecutarla obtendr´ a 3 √ 65 que es la distancia entre las rectas L1 y L2 .

6

3.

Rectas, distancias y lugares geom´ etricos

En esta secci´ on se describe un procedimiento para construir e identificar el lugar geom´etrico de los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto y de una recta y tambi´en el LG de los puntos que equidistan de dos rectas.

3.1. LG de los puntos que equidistan de un punto y de una recta →

→

Consideremos una recta L : α (t) = P0 + t v , t ∈ R y un punto fijo F . Sea P un punto que equidista de L y F . La recta perpendicular a L que pasa por P interseca a L en el punto

→

Q = P0 +

v ·(P − P0 ) → v, kvk2

luego, la ecuaci´ on del LG de los puntos que equidistan de L y F est´a dada por

d(P, Q) = d(P, F )

La funci´ on

LGDistaPuntoRecta[P aso , V ector , F oco , a , b ]

definida en el programa 4, permite obtener la ecuaci´on cartesiana del LG de los puntos que est´ an a la misma distancia de un punto fijo F y de una recta fija L. Los par´ ametros de esta funci´on son: el punto de paso de la recta (Paso), el vector direcci´ on de la recta (Vector), el punto fijo (Foco) y los extremos del intervalo de la variable para construir la recta (a y b, respectivamente).

7

LGDistaPuntoRectaPaso_, Vector_, Foco_, a_, b_ : ModulePo  Paso, V  Vector, F  Foco, t0  a, t1  b, t_ : Po  t V;  Recta L  Clearx, y, z; P  x, y, z;  Punto genérico del LG   punto de ortogonalidad en la recta L  P  Po.V QenL  SimplifyPo  V; NormV2  ecuacion cartesiana de la superficie  EcuacSuper  ExpandNormP  QenL2  NormP  F2 . Abs  Identity;  grafica de la recta  RectaL  Parametrilot3Dt, t, t0, t1, PlotStyle  Red, Thick, PlotRange  All, AxesLabel  "X", "Y", "Z"; Texto1  Graphics3DText"L", 2  0.5, 0.5, .5, Text"F", F  0.5, 0.5, .5; GPuntoF  Graphics3DRed, PointSize  Medium, PointF; GRectaL  ShowRectaL, Texto1, GPuntoF, PlotRange  All;  grafica del LG  GraficaLG  ContourPlot3DEcuacSuper  0, x,  10, 20, y, 10, 20, z, 10, 20, AxesLabel  "X", "Y", "Z", Mesh  4, 4, PlotRange  All;  presentacion  PrintCollectEcuacSuper, x, y, z, Simplify, "0"; ShowGRectaL, GPuntoF, GraficaLG 

Programa 4 Para verificar la buena definici´on de la funci´on LGDistaPuntoRecta, ingrese la expresi´ on LGDistaPuntoRecta[{1,2,4},{-1,0,1},{1,0,1},-10,15] la salida se puede ver en la figura 5

3.2.

LG de los puntos que equidistan de dos rectas

Si las rectas son paralelas, el conjunto de puntos que equidistan de ambas rectas es un plano que se denomina plano mediador. Si las rectas se intersecan, los puntos que equidistan de ambas rectas constituyen los planos bisectores de los ´angulos que forman dichas rectas. En consecuencia podemos suponer que las rectas son alabeadas. Consideremos las rectas →

→

→

L1 : α (s) = P1 + s u , s ∈ R

y

→

L2 : β (t) = P2 + t v , t ∈ R,

(7)

y P (x, y, z) un punto gen´erico del conjunto de puntos que equidistan de L1 y L2 . Sean Q1 ∈ L1 y Q2 ∈ L2 los puntos m´as pr´oximos a P . Por (2) dichos puntos son de la forma →

Q1 = P1 +

u ·(P − P1 ) →

ku

k2

→ →

u,

Q 2 = P2 +

8

v ·(P − P2 ) →

k v

k2

→

v,

(8)

Figura 5: LG de los puntos que equidistan de un punto y una recta respectivamente. Luego la ecuaci´on cartesiana del LG de los puntos que equidistan de L1 y L2 est´ a dada por d(P, Q1 ) = d(P, Q2 ) (9) A partir de la ecuaci´ on (9) podemos encontrar una representaci´on param´etrica de esta superficie, teniendo como par´ametros las variables que se usan para describir las rectas. De (7) y (8) se tiene las ecuaciones →

→

→

→

(P − P1 ). u = s k u k2 y (P − P2 ). v = t k v k2 que junto con la ecuaci´ on (9) se obtiene el sistema de tres ecuaciones polinomiales en las variables x, y, z, s y t  → →  (P − P1 ). u = s k u k2 → → 2 v v  (P − P2 ). 2 = t k k 2 (d(P, Q1 )) = (d(P, Q2 )) La soluci´ on del sistema (10), para las variables x, y, z en t´erminos de s y t,   x = x(s, t) y = y(s, t), s, t, ∈ R  z = z(s, t) constituye una representaci´ on param´etrica del LG.

9

(10)

(11)

El sistema (11) se obtiene construyendo la base de Gr¨obner del ideal generado por los polinomios →

→

→

→

(P − P1 ). u −s k u k2 , (P − P2 ). v −t k v k2 , (d(P, Q1 ))2 − (d(P, Q2 ))2 en el anillo de polinomios R[x, y, z, s, t]. Para ello usamos la funci´on de Mathematica GroebnerBasis.

Usaremos la ecuaci´ on (9) para definir la funci´on LGDistaRectaRectaParametriza[P aso1 , V ector1 , P aso2 , V ector2 , a , b ] (ver programa 5) con la finalidad de obtener la ecuaci´on cartesiana, una representaci´on param´etrica y la gr´ afica del LG. Los par´ametros de esta funci´on son: el punto de paso y el vector direcci´ on de la recta L1 (Paso1, Vector1), el punto de paso y el vector direcci´ on de la recta L2 (Paso2, Vector2) y los extremos del intervalo de la variable para construir la recta (a y b, respectivamente). Para verificar la buena definici´on de la funci´on LGDistaRectaRectaParametriza ingrese la expresi´ on LGDistaRectaRectaParametriza[{1,1,1},{0,1,0},{-1,0,-1},{1,0,-2},-10,10] el resultado se puede observar en la figura 6

Figura 6: LG de los puntos que equidistan de dos rectas alabeadas 10

Siguiendo el proceso descrito, una representaci´on param´etrica polinomial para la superficie de la figura 6 es  1 2 2   x = 6 (1 + 10s + 5s − 2t − t )  y = 1 + t, s, t ∈ R    1 z = 12 (−5 − 20s + 5s2 − 2t − t2 )

LGDistaDosRectasParametrizaPaso1_, Vector1_, Paso2_, Vector2_ : ModuleP1  Paso1, V1  Vector1, P2  Paso2, V2  Vector2, Clearx, y, z; P  x, y, z;  Punto genérico del LG  t_ : P1  t V1;  Recta L1  t_ : P2  t V2;  Recta L2  P  P1.V1 P  P2.V2 QenL1  SimplifyP1  V1; QenL2  SimplifyP2  V2; 2 NormV1 NormV22  definicion de los polinomios  f1  P  P1. V1  s NormV12 ; f2  P  P2. V2  t NormV22 ; f3  ExpandNormP  QenL12  NormP  QenL22 . Abs  Identity; Gb  GroebnerBasisf1, f2, f3, x, y, z; RepParamet  FlattenSolveGb1  0, Gb2  0, Gb3  0, x, y, z; GRectas1y2  Parametrilot3Dt, t, t, 10, 10, AspectRatio 

1

, PlotRange  All, All, 10, 10,

1 PlotStyle  Red, Thick, Blue, Thick, AxesLabel  "X", "Y", "Z"; GraficaLG  ContourPlot3Df3  0, x, 10, 10, y, 10, 10, z, 10, 10, PlotRange  All, Mesh  4, 4, AxesLabel  "X", "Y", "Z"; Graficas  ShowGraficaLG, GRectas1y2; "t" t SlideView"Rectas: ",  , "s" s "Ecuacion Cartesiana: ", f3  0, "Polinomios: ", f1, f2, f3, "Groebner Basis", Gb, "Parametrizacion: ", FlattenRepParamet, "Grafica de las rectas: ", GRectas1y2, "Grafica de la superficie: ", GraficaLG, "Rectas y superficie: ", Graficas, AppearanceElements  All 

Programa 5

11

4.

Ejercicio Hacer las modificaciones apropiadas para obtener el LG de los puntos P (x, y, z) ∈ R3 tales que k1 d(P, L1 ) = d(P, L2 ), k1 , k2 ∈ Z+ , k1 6= k2 k2

Referencias [1] Cox, David; Little, John; O’Shea, Donal, Using Algebraic Geometry, Springer, (2000) [2] Gonz´ alez U., Mariano, C´ alculo Integral en varias variables, (2013) [3] Pita, Claudio, C´ alculo vectorial, Prentice Hall, (1995) [4] Stewart, James, C´ alculo Trascendentes tempranas, Thomson Learning, (2002) [5] Wolfram Research Inc., Mathematica, v.8.0.4.0, (2011) [6] http://macareo.pu.edu.pe/mgonzal/publicaciones.htm

12