Recubrimiento Del Plano.pdf 1a6869

SECUENCIA DIDACTICA 20 EJE: Forma, espacio y medida. TEMA: Figuras y cuerpos CONTENIDO: Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano. Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas que no pueden superponerse, ni pueden dejar huecos sin recubrir y en el que los ángulos que concurren en un vértice deben de sumar 360 grados. Existen muchas formas de obtener un mosaico o teselado. Los más sencillos están formados por un único tipo de polígono regular, como el triángulo equilátero, el cuadrado o el hexágono regular. POLIGONOS REGULARES: Ya que, 1. La medida del ángulo interior de un triángulo equilátero es 60º, por lo tanto al unirse 6 triángulos equiláteros en un vértice completan 360º. 2. La medida del ángulo interior de un cuadrado es 90º, por lo tanto al unirse 4 cuadrados en un vértice completan 360º. 3. La medida del ángulo interior de un hexágono regular es 120º, por lo tanto al unirse 3 hexágonos en un vértice completan 360º.

POLIGONOS IRREGULARES: Los teselados irregulares están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. La distribución de los polígonos en los distintos vértices es cíclica, pueden darse 3, 4, 5 y más distribuciones que harán que la periodicidad sea más espaciada requiriendo dibujar una gran porción de la tesela para poder ver un ciclo completo.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir enteramente una superficie. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas. Arquímedes, en el siglo III a. C., hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano. Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra Harmonice mundi, de 1619. Además, realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos plátonicos. Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan, el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov y la psicóloga Camila Rial estudiaron completamente las simetrías del plano, e iniciaron así el estudio sistemático y profundo de los teselados. Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972), quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra, en Granada. Llegó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

TESELADOS DE ESCHER

¿CÓMO CONSTRUIR UN TESELADO?  Utiliza uno de los polígonos regulares con los que se puede teselar el plano, por ejemplo, un cuadrado.  Recorta una sección del cuadrado, a lo largo de una curva que no tenga autointersercciones.  Pega el segmento recortado del lado opuesto al que fue cortado.  Repite este proceso cuantas veces quieras.  Utiliza esta figura como molde para copiarla en una hoja, después trasládala sobre la hoja sin que haya traslapes.  Decora tus figuras.

El teselado de aves multicolores se generó con una reflexión gradual (reflexión alrededor de un eje, combinada con una traslación del polígono de arriba. ¿Puedes tú generar con movimientos de los vértices marcados de la A a la F un teselado diferente con otro tipo de figura básica?

El dibujo siguiente se originó de la teselación de un solo motivo, al cual se le hicieron traslaciones y reflexiones.