Representation D'etat 6b3n51

REPRESENTATION D’ETAT

SYSTEME

La

relation

entrée-sortie

nous

permet

de

définir

le

comportement d’1 système, mais cette technique est incomplète pour commander

ou contrôler les systèmes

complexes pour cela on a recourt a la représentation d’état qui permet de modéliser un système dynamique sous forme matricielle en utilisant des variables d’état. La connaissance de ces variables appelée aussi variables internes permet d’1 part de deter miner l’état du système l’état du système et d’autre part de faire évoluer le système à un autre état final. Variable d’état : Les variables d’état sont des grandeurs physiques regroupés dans un vecteur appelé : vecteur d’état de l’espace :

Schémas fonctionnel : Dans la représentation d’état

on considère souvent des

systèmes ou l’entré est un vecteur fonction de temps et non un scalaire. Soit U(t) cette entrée agit sur les sorties du système par une action intermédiaire sur l’état de ce système. On peut dire que les composantes de vecteurs d’1 sys représentent les informations qu’il faut connaître sur le é de ce système en fonction des commandes qui lui seront appliquées on a ainsi les équations :

⇒Dans le cas continu

Equation de transition Equation de mesure

⇒Dans le cas discret

A : matrice d’état B : matrice de commande C : matrice d’observation D : matrice d’action direct X : vecteur qui représente les n variable d’état S : vecteur qui représente les q mesures U : vecteur qui représente les p commandes

Exemple (circuit RLC) :

U1 et U2 sont les entrées de commande. Les variables d’état seront : i1 et v2 V1 = Ldi1/dt=u1 – (u2 + v2)

I2=Cdv2/dt=i1-i=i1-V/R=i1-u2+v2/R Alors : d i1/d t=u1/L-u2/L-V2/L Et

dv2/dt=i1/C-u2/RC-v2/RC

D’où l’équation de transition :

dx/dt =

A

X

+

B

U

La sortie v=v2+u2

Y

=

C

X

+

D

age de la représentation d’état à la représentation entrées-sorties : Soit :

U

La représentation d’état des systèmes continus linéaires stationnaires se présente sous la forme:

où: u = vecteur de commande, dim = r x = vecteur d’état, dim = n y = vecteur de mesure, dim = p t = variable temps continue Et D est égale à une matrice nulle pour les systèmes physiques. Avec des conditions initiales nulles et en appliquant la transformée de Laplace on obtient : p X(p) = A X(p) + B U(p)

Exemple: On considère le système linéaire à temps continu décrit par la représentation d’état suivante :

On déduit les deux équations différentielles :

Forme canonique de la matrice d’état : La représentation d’état n’est pas unique :

Forme de jordon : a-forme diagonale(modale) :

On cherche à diagonaliser A :

Si on prend x=TZ

Calculons T

⇒Pour déterminer les valeurs propres

b- forme de jordon :

 a11   0  0 

0 a22 0

0   0  a33 

Si H(p)= 1/(p+1)(p+1) + 1/(p+1) La forme de jordon sera :

a 1 0    0 a 1   0 0 a  1  age de F .T a la représentation d’etat H (p) = (Y(p) /U(p)= a1/(p+b1)+ a2/(p+b2)+ a3/(p+b3) X1(p) = U(p) /(p+b1) X2(p) = U(p) /(p+b2) p X1(p) + b1 X1(p) = U(p)

p X1(p)= - b1 X1(p) + U(p) x’1(t) =- b1 x1(t) + u(t) x’2(t) =- b2 x2(t) + u(t) x’3(t) =- b3 x3(t) + u(t) y(t) =[ a1 a2 a3]

 x1   x2    x3 

la représentation d’etat sera :

x’=

0  0 a  1

1 0 − a2

0   1  − a3 

1   x(t) + 1 u(t) 1

y(t) =[ a1 a2 a3]x(t) H(p)= 1/(p+1)(p+1)(p+2)= 1/(p+1)(p+1) -1/(p+1) + 1/(p+2) Y(p) =E(p)/(p+1)(p+1) + E(p)/(p+2) - E(p)/(p+1) X1(p)= E(p)/(p+1)(p+1)= X2(p) /(p+1) X2(p)= E(p)/(p+1) X3(p)= E(p)/(p+2) x’1 = -x1+x2 x’2= -x3+e(t) x’l= -x3+e(t) y(t) =[ 1 -1 1] x(t)

 0 1 0  0 0        x’=  0 0 0  +  0  + 1  e(t)  0 0 a  1  1        cas generale

a 1 0    x’= 0 a 1 x +  0 0 a  1 

0  1    e(t) 1 

forme de compagne a-forme de compagne commendable: systeme H(p)=N(p) /D(p)=

bn − 1P n −1 + bn − 2 P n − 2 + ....b1P + b0 P 0 P n + an − 1P n −1 + ....a1P + a 0 On pose V(p)/U(p)=1/D(p) et X1= V X2= V’

y(p)/V(p)= N(p)

X3= V’’ . .

dv n −1 Xn= n −1 dt On aura X’1=x2 X’2=x3 . . X’n= a 0 X 1 − a1X 2 + ....an − 1Xn + u (t ) Y=

b0 X 1 + b1X 2 + ....bn − 1Xn

0  X’=  0 a  1

1 0 −a2

0   x1  0   1   x 2 + 0  e(t) −a3   x3  1 

Y(t)= [ b0 b1 b2] x(t) Forme compagne observable :

y ( p ) / U ( p=)

Y ( p)(1+ n−a1 − 1P

........ + 0 b P ....... + a0n P

+......0n a P − )

Y ( p)= − Y ( pn)(−1 a− 1 P

n 1

=a −1 y( t)

n

−

− n ....... + ) 0b P

U ( pn)(+1 b 1 P

=a1 − Y ( np)

b −1 u(+ t)

−

b1 U+( p) +

x2( t)

: : d xn / d =t − 0 a y( t) 0+b u( t) fin a lem en t d x1 / dt= − n− a

x ( t)

1 1

n

+b −1 u( t)

x2(+t)

: : d xn / d =t − 0 a y( t) 0+b u( t) 0  − an−11 0 K  d x1 / dt=  M O M  −a 0 L 0  0 y ( t) = ( 10 ..........0 ) x( t)

Forme cascade :

−

−

−

n ....... 0 b P +)

−

b +− U ( 1 (pa)n− 2 YP ( p++) −bn 2 U− ( p −) + P 1(..........) P− +1(a0 Y ( p

p o so n s Y ( p)= 1X ( p) etp Y ( p) n− n−

−

U (= p)(n b1 1P

n − ...... 0+ a P )

Y ( p)= −P1 ( n−−1a Y ( p)

⇒ d x1 / d t

−n

b n − 1 P− 1 H ( p) = −1 1 + an−1 P

 b  n−1  x( t)  b0 

 + 

u( t)

X2 ( p) +

EXERCICES : EXERCICE1 : Soit un système définit par une fonction de transfert qui possède 3 pôles réelles distincts : H ( p) =

Y ( p) α = 1 U ( p) p+ λ1

α + 2 p + λ2

α + 3 p + λ3

1-déterminer une représentation d’état du système.

2-on donne : Hp ( )

p2 + p+ 4 5 = ( p1 ++ )( p 5 + p26)

,en déduire une

représentation d’état. Hp ()

3-si

1 = 2 ( p1 )( + + p2 )

,

déterminer une représentation d’état. Comparer les formes des deux représentations ; EXERCICES 2 : On considère la représentation d’état suivante :

0 dx  = 0 dt  0

 0  1+  −4  −5

1 0

0   x0  u 1 

Y=[4 4 1]x Représenter le schéma de cette forme compagne . Calculer la fonction de transfert H(p)= Y(p) /U(p) .

les commandes utilisées sur Matlab : la fonction de transfert : toute représentation d’un système linéaire à temps invariant par fonction de transfert sera sous la forme : H(p)= B(p) / A(p) . Connaissant H (p), on utilise la commande tf (Transfert Function)

Pour définir le systéme sous Matlab . Sys= tf(num,den) ; on note que le num et den contient les coefficients du polynôme B(p) et A(p) dans l’ordre décroissant de la variable de Laplace p . Exemple : Pour une fonction de transfert F(p)= 3 (p+2) / p²+2p+4 , on écrit sous Matlab : num= 3*[1 2] ; den = [1 2 4] ; Sys=tf(num,den) Representation d’état: Cette représentation se fait à partir de la fonction ss.m(State Space). On connaît qu’un système linéaire continu à temps invariant peut être modélisé par :

Dans le cas ou le système serait mis sous cette forme et que les matrices A , B ,C et D sont connues numériquement , on définit le système par : Sys=ss (A,B,C,D)

age de la fonction de transfert à la représentation d’état et inversement : supposons qu’on a déjà définit un systém par sys = tf(num, den) alors on peut er facilement à la représentation d’état par : sys_ etat=ss(sys) .

De même si un système a été défini par la représentation d’état : Sys_ft = tf (sys).