Resonancia 5i6al

RESONANCIA Circuitos Resonantes o Sintonizados El circuito resonante es una combinación de elementos R, L y C con una característica de respuesta en frecuencia similar a la que aparece en la fig 1 AV 0 db - 3db

Fig 1

f1

fr

f2

f(Hz)

Bw

1

RESONANCIA Observe en la Fig. 1 que la respuesta es máxima para la frecuencia de resonncia fr Las frecuencias para el extremo izquierdo o derecho tienen niveles de voltajes muy bajos y, para todos los propósitos prácticos, afectan muy poco la respuesta del sistema. Existen dos tipos de circuitos resonantes: serie y paralelo Bibliografía:  

Análisis Introductorio de Circuitos - Boylestad - Capítulo 20 Electrónica – Allan Hambley – Capítulo 11

2

LA RESONANCIA SERIE El Circuito Resonante Serie Un circuito resonante (serie o paralelo) debe tener un elemento inductivo y uno capacitivo. Siempre estará presente el elemento resistivo debido a la resistencia interna de la fuente (RS). La resistencia interna del inductor (Rl) y cualquier resistencia agregada para controlar la forma de la curva de respuesta (Rdiseño). La configuración básica aparece en la fig 2 Bobina RS

RS

Rl

L

I

L

+

+ C

ES

R

ES

C ZT 

-

Fuente

Fig. 2 3

LA RESONANCIA SERIE La impedancia total de esta red en cualquier frecuencia se determina mediante

ZT  R  JX L  JX C  R  j(X L  X C ) Las condiciones resonantes descritas anteriormente ocurrirán cuando:

XL  XC

Lo cual elimina el componente reactivo de la ecuación de la Impedancia total. En tal caso la impedancia total de la Resonancia es simplemente

ZTS  R

Lo cual representa el mínimo de ZT en cualquier frecuencia 4

LA RESONANCIA SERIE En resonancia XL=XC

La s en subíndice se utilizará para indicar las condiciones resonantes serie

1 wL  wC  1 wS  LC 1 fS  2 LC 5

LA RESONANCIA SERIE La corriente a través del circuito en resonancia es: 0 E 0 I     E 0 0  R 0 0  R

Puesto que XL=XC la magnitud de VL es igual a VC en la Resonancia, lo que significa que:

VL  VC S

S

6

LA RESONANCIA SERIE El Factor de Calidad (Q) El factor de calidad Q de un circuito resonante serie se define como la proporción de la potencia reactiva del inductor o el capacitor entre la potencia promedio del resistor en la resonancia, es decir:

QS

potencia reactiva potencia promedio

 El factor de calidad también es una señal de cuanta energía se almacena (una transferencia continua de un elemento reactivo al otro), en comparación con la que se disipa. Entre más bajo es el nivel de disipación para la misma potencia reactiva, más grande es el factor Q, y más concentrada e intensa es la región de la resonancia 7

LA RESONANCIA SERIE La sustitución para una reactancia inductiva en la ecuación anterior da como resultado:

I2XL QS  2 I R

y QS 

X L WS L  R R

y si la resistencia R es sólo la resistencia de la bobina (Rl), podemos hablar del Q de la bobina, en donde

Qbobina

XL  Ql  Rl

(R  Rl )

8

LA RESONANCIA SERIE Si sustituimos wS=2fS

fS 

1 2 LC

En la resonancia

VLS  QS E



o

wS L 2f S L  2  1 L QS   R  2 LC  R R     L L 1 L     R  LC   L  R LC

VCS  QS E

QS 

1 L R C

Debido a que Q por lo general es mayor que 1, el voltaje a través del capacitor o el inductor de un circuito resonante serie, puede ser significativamente mayor que el voltaje de entrada. 9

LA RESONANCIA SERIE Ejemplo: El circuito del ejemplo está en estado de resonancia. Calcular VC o VL. R= 6

XL= 480 XC= 480

E=10 V 

Circuito resonante serie, con Q alto

QS 

XL



480

 80

R 6 VL  VC  QS E  (80)  (10v)  800v 10

LA RESONANCIA SERIE ZT en función de la frecuencia Bobina RS

RS

Rl

L

I

+

+

ES

ES

R

L C

ZT 

C -

Fuente

La impedancia total del circuito serie RLC, en cualquier frecuencia se determina por:

ZT  R  jX L  jX C  R  j(X L  X C )

ZT  R2  ( X L  X C ) 2

11

LA RESONANCIA SERIE LA SELECTIVIDAD I

BW 

I max=E/R 0,707Imax

fS QS

o f 2  f1 1  fS QS f

f

f

1

S

2

f(Hz)

Bw

Si se hace un gráfico de la magnitud de la corriente I= E/ZT en función de la frecuencia para un voltaje aplicado fijo E, se obtiene la curva mostrada en la figura, La cual se eleva de cero un valor máximo E/R (en donde ZT es mínima). Se define fS como la media geométrica de f1 y f2

fS 

f1  f 2

12

PROBLEMAS RESUELTOS RESONANCIA SERIE

13

14

15

16

17

18

19

21

22

25

LA RESONANCIA PARALELO El circuito básico paralelo, tiene una combinación paralelo R-L-C con una fuente de corriente aplicada

+

YT 

I

R

L

C

VC

-

Red ideal resonante paralelo

+

R

YT  1 ZT



l

XC XL

V C

-

Red práctica L-C paralelo

24

LA RESONANCIA PARALELO Rl RP 

R2  X 2 l

L

RL

X LP 

R2  X 2 l

L

XL

XL

RED EQUIVALENTE PARALELO PARA UNA COMBINACIÓN R-L SERIE

25

LA RESONANCIA PARALELO +

R l

X C

XL

Red práctica L-C paralelo

V C

-

+

ZT 

I

RS

RP

XLP

XC

V P

-

YT  Fuente Sustitución de la red equivalente paralelo para la combinación R-L serie de la fig anterior

Se define

R= RS//RP

26

LA RESONANCIA PARALELO +

ZT  R

I

XLP

X C

YT 

VP -

Sustitución de la red equivalente paralelo para la combinación R-L serie de la fig anterior

Las ecuaciones que se escribirán a continuación están definidas para el circuito equivalente real mostrada en la figura. Se define

R= RS//RP 27

LA RESONANCIA PARALELO itancia de entrada (YT)

YT  1  j 1  1  R  X C X L  En resonancia XC = XL Tarea: Deducir expresión para fp

L  R2 fp  1 l 2L C

O

2 R lC f p 1 L 2 LC

1

f p  fS

Rl2C 1 L 28

LA RESONANCIA PARALELO La impedancia máxima, fm En f=fP la impedancia de entrada de un circuito resonante paralelo estará cerca de su valor máximo, pero no al máximo debido a la dependencia de la frecuencia de RP. La frecuencia en la cual ocurrirá la máxima impedancia se defina mediante fm y es ligeramente mayor que fP.

fm  fS

1  Rl2  1   4 L 

fS  fm  fP

29

LA RESONANCIA PARALELO Definiciones QP: Q del circuito Ql : Q de la bobina fr : frecuencia resonante

RS // RP QP  XL P

si

RS  R P

RP QP  X LP

o bien

XL QP   Ql Rl

y

fr BW  f 2  f1  QP 30

LA RESONANCIA PARALELO Cálculo de f1 y f2 Se define R= RS//RP

1 1 1 4C  f1      2 4C  R R L 

1 1 1 4C  f2      2 4C  R R L  31

LA RESONANCIA PARALELO El efecto de Ql ≥ 10

fm  fS

f p  fS

1 1 2 Ql

con Ql 10 f p  fS 

1 2 LC

1 1  1  2  4  Ql 

con Ql 10 fm  fS  

1

2 LC

fP  fm  fS 32

LA RESONANCIA PARALELO Cálculo de RP

Cálculo de QP

L R  Q R  P l l RlC 2

Cálculo de ZT P

QP 

R  X LP

RS Ql2 Rl Xl

QP  Ql Cálculo del BW

ZTP  RS RP  RS Q Rl 2 l

1  Rl 1  fP BW  f 2  f1      QP 2  L RSC  con RS   BW  f 2  f1 

Rl 2L 33

LA RESONANCIA PARALELO  IT RP

IL

IC

+

XL

XC

VC -

Z TP  RP  Ql2R l

En resonancia

I C  Ql IT

I L  Ql IT

36

TABLA RESUMEN El circuito resonante paralelo

fS 

1 2 LC

37

PROBLEMAS RESUELTOS RESONANCIA PARALELO

36

37

38

40

41

42

43

44

45

47

48

49

50

Respuesta en frecuencia y Diagramas de Bode Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC Este tipo de gráficas es mejor hacerlas en forma logarítmica en lugar de lineales, para cubrir un mayor rango de representación. En tal caso, se denominan “diagramas de Bode”, en honor a quién les dio popularidad a través de sus trabajos.

Los “diagramas de Bode” consideran trabajar con escalas logarítmicas en las frecuencias. Por otra parte, las magnitudes se grafican en “decibeles” mientras que las fases en forma lineal.

H [dB]  20 log 10 H Hendrik W. Bode

Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC Una ventaja adicional de las ganancias logarítmicas es que, cuando una ganancia resulta de la multiplicación de varias ganancias, la gráfica puede obtenerse a partir de la suma de las gráficas de cada una de las ganancias individuales. Para el caso de un circuito de primer orden, la ganancia viene dada por:

H Por lo tanto:

1 1  ( 0 )

H [dB]  20 log H  20 log

2

1 1  ( 0 )

2



 10 log 1  ( 0 )

A partir de esta última expresión, puede hacerse el siguiente análisis:

2



Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC

• Para bajas frecuencias, es decir, para <<0, la ganancia logarítmica resultante será:

H [dB]  20 log H  10 log 1  0 dB

• Para =0 se tiene:

H [dB]  20 log H  10 log  2  3,01 dB • Para >>0 resulta:





H [dB]  20 log H  10 log ( 0 )  20 log   0  2

En un diagrama de Bode de magnitud, la frecuencia para la cual la magnitud cae –3dB respecto de la que corresponde a =0, se conoce como “frecuencia de quiebre” o “frecuencia de corte” del circuito.

Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC

El intervalo entre dos frecuencias cuya razón es 10 se llama “década”. Así, dadas 1 y 2, siendo y 2 =101, el intervalo entre ellas es una década.

Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC Se vio anteriormente que para >>0, se cumple que: H [dB]  20 log   0   20 log 0   20 log    Por lo tanto, la diferencia entre las ganancias de frecuencias separadas por una década, cuando se cumple la condición anterior será:

 

H [dB]  20 log  1   (20 log   2 )  20 log  1   20 log 1  20 dB 10   2  Como conclusión, puede decirse que: • La pendiente de la recta asintótica para un circuito de primer orden, cuando >>0, es de –20dB/década. • La asíntota interseca la línea de 0dB en =0 (frecuencia de corte).

Análisis de circuitos en el dominio de la T.L. En Matlab, se usa el comando “tf” para crear funciones de transferencia.

Ejemplo:

1 G (s)  1  5s

>> num=[1]; , den=[5 1]; >> G=tf(num,den) Transfer function: 1 ------5s+1

Las raíces del denominador se conocen como “polos”de la función de transferencia, mientras que las del numerador como “ceros”. Se determinan como:

>> pole(G) ans = -0.2000

>> zero(G) ans = Empty matrix: 0-by-1

Análisis de circuitos en el dominio de la T.L. Para obtener el diagrama de Bode, puede hacerse:

>> bode(G) obteniendo:

Filtros pasivos Introducción • Los filtros pasivos son circuitos selectores de frecuencias construidos sólo con elementos pasivos (resistencias, condensadores e inductancias).

• Este hecho hace que sean incapaces de

amplificar señales, por lo que atenuan prácticamente las señales en todo su rango de operación (salvo excepciones en torno a la frecuencia de resonancia).

• Por su parte, los filtros activos son dispositivos

que no sólo son capaces de seleccionar frecuencias sino también de amplificarlas. Para que esto sea posible, hay que agregar elementos activos como los transistores o los amplificadores operacionales (que se estudiarán más adelante).

Circuitos Filtro • En la clase anterior se vio que los circuitos pasivos,

•

•

•

con componentes de almacenamiento de energía, presentan características selectivas de frecuencia. Un “filtro eléctrico” es un circuito diseñado para dejar pasar una gama de frecuencias predeterminada, con un cambio de ganancia (o magnitud) y fase característicos para cada circuito particular. Definiendo el espectro de magnitud o respuesta en frecuencia, H(j), que es función de la frecuencia, se pueden determinar las características de las ondas sinusoidales que deja pasar para cada frecuencia en particular. Conforme a lo expresado y al tipo de aplicación que se requiera, un filtro ideal debe presentar las siguientes características:

Circuitos Filtro H(j)

H(j)

1

1

c

c



Filtro pasabajas



Filtro pasaaltas

H(j)

H(j)

1

1 1

2 Filtro pasabandas



1

2

Filtro rechazabandas



Circuitos Filtro Un “circuito filtro” incorpora una magnitud de frecuencia selectiva, para dejar pasar señales que contengan las frecuencias deseadas y eliminar o rechazar las indeseadas. Por lo visto hasta ahora, puede notarse lo siguiente:

• El filtro pasabajos ideal dejará pasar todas las frecuencias hasta c (frecuencia de corte), y rechazará perfectamente las que estén por encima de dicha frecuencia. • Los circuitos de primer orden RL y RC vistos tienen carac-terísticas pasabajos o pasaaltos (según su configuración), con frecuencia de corte c = 1/. • Un filtro resonante RLC tendrá características pasabandas o rechazabandas, según su configuración circuital.

Circuitos Filtro Un circuito rechazabanda puede conformarse como se muestra a continuación:

C R1 L Vent

R2

Vsal

Puede notarse que la impedancia que presentará el circuito será mínima para la frecuencia de resonancia y la banda de frecuencias cercana a la misma.

T3.- Filtros Activos Comparación entre filtros analógicos activos y pasivos Filtros pasivos: L, C y R L1

Filtros activos: A.O., C y R R2

C1

R1

C1 2

Vs

L2

3

C2

1 Vs

Ventajas de los filtros activos frente a los pasivos 1- NO tienen pérdidas de inserción 2- Aislamiento entre etapas (control Z entrada y salida) - Diseño independiente Z carga - Diseño multietapa sencillo 3- Filtros complejos sin L (menos ideales y caras) 4- Diseño rápido de filtros económicos y estables para amplia variedad aplicaciones

Desventajas de los filtros activos frente a los pasivos 1- Requieren VCC (puede usar la del circuito) 2- Limitación en frecuencia por los A.O. 3- Niveles pequeños potencia (no aptos para altavoces, filtro red,…)

Tipos de filtros según su función de transferencia Tipos de Filtros

Pasa - Baja

Pasa - Alta 10

10

5

5

0

0

-5

-5

-10 modulo

modulo

-10 -15

-15 -20

-20

-25 -25

-30 -30

-35

-35

-40

-40 -45 0 10

1

10

2

3

10

4

10

-45 0 10

5

10

10

1

2

10

3

10

4

10

10

5

10

f(Hz)

f(Hz)

Pasa - Banda

Rechaza - Banda 10

10

0

0 -10

-10

-30

modulo

modulo

-20

-40

-20

-30

-50

-40

-60 -70 -80 0 10

-50 1

10

2

10

3

10 f(Hz)

4

10

5

10

6

10

-60 2 10

3

10

4

10 f(Hz)

5

10

6

10

Orden de los filtros Vi(s)

VO(s) H(s) 10

VO s H(s)  Vi s

0 -10 -20

modulo

-30

Orden N

-40 -50 -60 -70 -80 -90

Pendiente 20N dB/dec

-100 2 10

3

10

4

10 f(Hz)

5

10

6

10

Clase de los filtros analógicos Aproximaciones: Determinan la forma de la banda de paso y de transición 10

1- Butterworth

5

Respuesta moderada en fase y amplitud Caída más rápida de filtros monotónicos Oscilaciones moderadas en pulsos

2- Bessel 1. Filtro monotónico (respuesta suave en la banda de paso) 1. Respuesta de fase lineal 2. Pocas oscilaciones en pulsos

0 -5

modulo

1. 2. 3.

-10

Bessel

-15

Butterworth

-20 -25

Chebyshev 1 dB

Chebyshev 2 dB -35 Chebyshev 3 dB

-30

-40 2 10

3

4

10

10 f(Hz)

3- Chebyshev 1. 2. 3. 4.

Caída inicial muy rápida Pobre respuesta de fase Grandes oscilaciones en pulsos NO monotónico: rizado en banda de paso

4- Elíptico o de Cauer 1. 2. 3.

5

10

Caída inicial ultra rápida Rizado en banda suprimida Se usan en conversión A/D

Clase de los filtros analógicos Filtros de Chebyshev Mayor rizado

Mayor caída inicial

10

10

0

5

-10 0

-20 -30

3dB

-10

modulo

modulo

-5

1dB

-15

-40

Orden 3

-50 -60

Orden 6

-70

-20

-80 -25

-90 -30 2 10

3

4

10

10 f(Hz)

5

10

-100 2 10

3

10

4

10 f(Hz)

5

10

6

10

Filtro activo Pasa - Bajos de 1er orden 1 C1  s VO s   Vi s 1  R1 C1  s

XBP1 in

out

2 R1

3

1kohm

VO s 

O 

1 C1

1uF

C

Vs

3dB

1 R 1C1

 O 

0

1 C1  R 1 Hs  1 s C1  R 1

H(s) 

-20

-10 -40

-20 -60

-30

fase

modulo

1 R 1C1

0

10

-40

-80

-50 -100

-60 -120

-70 -80 0 10

1  Vi s R 1  C1  s  1

1

10

2

10

3

10 f(Hz)

4

10

5

10

-140 0 10

6

10

1

10

2

10

3

10 f(Hz)

4

10

5

10

6

10

O s O

Filtro activo Pasa - Altos de 1er orden

VO s 

XBP1 in

out

2

C1

R1 1  R1 C1  s

Hs 

 Vi s

s s

1 C1  R 1

3 1

1uF

O 

R1 1kohm Vs

10

1 R 1C1

H(s) 

s s O

100

5 80

0 -5

60

40

-15

fase

modulo

-10

-20

20

-25 0

-30 -35

-20

-40 -45 0 10

1

10

2

10

3

10 f(Hz)

4

10

5

10

6

10

-40 0 10

1

10

2

10

3

10 f(Hz)

4

10

5

10

6

10