Respuesta En Frecuencia 65a

1

Respuesta en Frecuencia

“Respuesta de un sistema en estado estacionario a una entrada sinusoidal, cuando varía la frecuencia”

Métodos de respuesta en frecuencia: • 1930 y 1940 • Nyquist • Bode Nichols

2

Respuesta en Frecuencia Salida en Estado Estacionario:

Si:

3

Respuesta en Frecuencia Salida en Estado Estacionario:

4

Respuesta en Frecuencia Salida en Estado Estacionario:

Para entradas sinusoidales:

= Función de transferencia sinusoidal

5

Respuesta en Frecuencia Ejemplo 7-1:

6

Respuesta en Frecuencia Representación Gráfica

1. Diagramas de Bode (o logarítmico) 2. Diagrama de Nyquist (o polar) 3. Diagrama de Nichols (o de magnitud logarítmica vs fase)

7

Respuesta en Frecuencia Diagramas de Bode 2 Gráficos: •

Logaritmo de la magnitud de la Función de Transferencia sinusoidal |G(jω)|

•

Ángulo de fase de la Función de Transferencia sinusoidal

Factores básicos de G(jω)H(jω): 1. Ganancia: K 2. Factores integradores y derivativos: s±1 = (jω)±1 3. Factores de primer orden: (1 + sT) ±1 = (1 + jωT)±1 4. Factores cuadráticos: [1 + 2ζ(s/ωn) + (s/ωn)2] ±1 = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2] ±1

8

Diagramas de Bode Ganancia: K

G( s)  K G ( j )  K Magnitud dB  G ( j ) dB  20 log G ( j ) (dB) G ( j ) dB  20 log K G ( j ) dB  20 log K

(Constante)

Ángulo (G(s)) = Ángulo (G(jω)) = Ángulo (K) = 0°

9

Diagramas de Bode Factores integradores y derivativos: s-1 = (jω)-1

G (s) 

1 s

1 G ( j )  j 20 log G ( j )  20 log G ( j ) dB  20 log( G ( j ) dB

1

1 j

)

  20 log(  )

(recta con pendiente de -20dB/década)

1 Ángulo (G ( j ))  Ángulo ( )  Ángulo (1)  Ángulo ( j ) j Ángulo (G ( j ))   Ángulo ( j )  90 10

Diagramas de Bode Factores integradores y derivativos: s = jω Para (jω):

|G(jω)| = 20 log(ω) (dB) Ángulo(G(jω)) = 90°

(recta con pendiente +20dB/década)

11

Diagramas de Bode Factores de primer orden: (1 + sT)-1 = (1 + jωT)-1

Para frecuencias muy bajas

:

Para frecuencias muy altas

:

Para la frecuencia

(frecuencia esquina): √2 = -3.01 dB

En ω = 0:

Ángulo:

φ = 0°

En ω = 1/T: En ω = ∞:

φ = -90° 12

Diagramas de Bode Factores de primer orden: (1 + sT)-1 = (1 + jωT)-1

13

Diagramas de Bode Factores de primer orden: (1 + sT) = (1 + jωT)

G ( j )  20 log 1  (T ) 2 Ángulo (G ( j ))  tan 1 (T )

14

Diagramas de Bode Factores cuadráticos: [1 + 2ζ(s/ωn) + (s/ωn)2] -1 = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2] -1

Magnitud:

Para

:

Para

:

(Recta con pendiente -40 dB/década)

Para ω = ωn (frecuencia esquina): Pico de Resonancia

15

Diagramas de Bode Factores cuadráticos: [1 + 2ζ(s/ωn) + (s/ωn)2] -1 = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2] -1 Ángulo:

Para ω = 0: φ = 0° Para ω = ωn: φ = -tan-1(∞) = -90° Para ω = ∞: φ = -tan-1(2ζωn/-ω) = -180°

16

Diagramas de Bode Factores cuadráticos: [1 + 2ζ(s/ωn) + (s/ωn)2] -1 = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2] -1

17

Diagramas de Bode Factores cuadráticos: [1 + 2ζ(s/ωn) + (s/ωn)2] = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]

Diagramas de Bode son iguales al factor [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2] -1, pero con signo cambiado

18

Diagramas de Bode Frecuencia de Resonancia y Pico de Resonancia Frecuencia de Resonancia: Para ζ > 0.707 (1/√2), no hay pico de resonancia Magnitud del pico de resonancia:

Si ζ → 0, entonces Mr → ∞

Ángulo de fase a la frecuencia de resonancia:

19

Diagramas de Bode Frecuencia de Resonancia y Pico de Resonancia

Para ζ > 0.707, Mr = 1 20

21

Diagramas de Bode Procedimiento General para dibujar Diagramas de Bode El diagrama de Bode puede ser dibujado al añadir curvas de factores individuales

G( s) 

Ejemplo 7-3:

10( s  3) s( s  2)( s 2  s  2)

En forma normalizada (Forma de Bode):

Factores: 1

2

3

(Frecuencia esquina = 3)

4

(Frecuencia esquina = 2)

5

(Frecuencia esquina = √2) 22

Diagramas de Bode Procedimiento General para dibujar Diagramas de Bode

Algebraicamente añadimos las curvas individuales

23

Determinación de la Constante de error de posición estática

x= F. T. en lazo abierto:

En función de la frecuencia compleja:

K p  20 10 x

Si N = 0 → Sistema Tipo 0 Kp = lims→0G(s) = limω→0G(jω) = K Bode: Magnitud de G(s) (en dB) = 20 log|G(jω)| = 20 log (Kp) dB (cuando ω→0) Asíntota en baja frecuencia es línea horizontal en 20 log (Kp) dB

24

Determinación de la Constante de error de velocidad estática

Si N = 1 → Sistema Tipo 1 Kv = lims→0sG(s) = limω→0(jω)G(jω) = K

Cuando ω→0 : limω→0G(jω) = K/jω Magnitud de G(jω) = 20 log|G(jω)| = 20 log |Kv/jω| En la intersección con la línea ω = 1: 20 log|G(jω)| = 20 log |Kv/jω| = 20 log Kv En la intersección con la línea 0 dB:

20 log|G(jω1)| = 20 log |Kv/jω1| = 0 dB → Kv/ω1 = 1

→

Kv = ω1 25

Determinación de la Constante de error de aceleración estática

Si N = 2 → Sistema Tipo 2 Ka = lims→0s2G(s) = limω→0(jω)2G(jω) = K Cuando ω→0 : limω→0G(jω) = K/(jω)2 Magnitud de G(jω) = 20 log|G(jω)| = 20 log |Ka/(jω)2| En la intersección con la línea ω = 1: 20 log|G(jω)| = 20 log |Ka/(jω)2| = 20 log Ka En la intersección con la línea 0 dB:

20 log|G(jωa)| = 20 log |Ka/(jωa)2| = 0 dB → Ka/(ωa)2 = 1 → Ka = ωa2 26

Diagramas de Bode con MATLAB Para graficar directamente:

Para obtener los vectores de datos:

“mag” está en valor absoluto, para convertir a dB: Rango de variación de frecuencia: (genera 50 puntos entre 10-1 y 102) (genera 100 puntos entre 100 y 103)

27

Diagramas de Bode con MATLAB Ejemplo 7-5

ωn = 5 2ζωn = 4 ζ = 0.4

Ver MATLAB/Ejemplo 7-5

28

Diagramas de Bode con MATLAB Ejemplo 7-6

Ver MATLAB/Ejemplo 7-6

Comando w=logspace(-2, 3, 100)

29

Diagramas de Bode con MATLAB En espacio de Estados:

Ejemplo 7-7

Ver MATLAB/Ejemplo 7-7

30

Diagramas de Nyquist o Polares Gráfica de la magnitud de |G(jω)| con respecto al ángulo de fase de G(jω), cuando ω varía de 0 a ∞

Ventaja: Representa en un solo gráfico las características de la respuesta en frecuencia.

Desventaja: No indica en forma clara la contribución de cada factor individual.

31

Diagramas de Nyquist o Polares Factores Integral (jω)-1 y derivativo (jω)

(Eje imaginario negativo)

G(jω) = jω = ω ∟90°

(Eje imaginario positivo)

32

Diagramas de Nyquist o Polares Factores de Primer Orden (1 + jωT)±1 (a)

ω=∞

G(j∞) = 0 ∟-90°

(b)

G( j )  1  jT  1   2T 2  tan 1 (T )

33

Diagramas de Nyquist o Polares Factores Cuadráticos

(a)

34

Diagramas de Nyquist o Polares Factores Cuadráticos

(b)

35

Diagramas de Nyquist o Polares Ejemplo 7-8

36

Formas Generales de Diagramas Polares

1. Sistemas tipo 0: λ = 0 ω = 0: valor finito y sobre el eje real positivo. La tangente al gráfico en ω = 0 es perpendicular al eje real. ω = ∞: curva termina en el origen y es tangente a uno de los ejes. 2. Sistemas tipo 1: λ = 1 ω = 0: G(jω) = ∞ ∟-90°, asintótico a una línea paralela al eje imaginario negativo. ω = ∞: |G(jω)| = 0, tangente a uno de los ejes. 3. Sistemas tipo 2: λ = 2 ω = 0: G(jω) = ∞ ∟-180°, asintótico al eje real negativo ω = ∞: |G(jω)| = 0, tangente a uno de loa ejes

37

Formas Generales de Diagramas Polares Diagramas polares en el rango de alta frecuencia:

38

Formas Generales de Diagramas Polares

39

Diagramas de Nyquist con MATLAB

40

Diagramas de Nyquist con MATLAB Ejemplo 7-10

Ver MATLAB/Diagramas de Nyquist/Programa 7.5 y 7.6

41

Diagramas de Nyquist con MATLAB Ejemplo 7-11

Ver MATLAB/Diagramas de Nyquist/Programa 7 y 7.7

Si sólo queremos graficar para ω ≥ 0: Programa 7-8

42

Diagramas de Nyquist con MATLAB En Espacio de Estados

Ejemplo 7-12:

Ejemplo 7-12/Programa 7-9

43

Diagramas de Nyquist con MATLAB Ejemplo 7-13:

Ejemplo 7-13 / Programa 7-10

44

Diagramas de Magnitud Logarítmica vs Fase Gráfico de magnitud logarítmica (en dB) vs Ángulo de Fase Llamado también Gráfico de Nichols

Diagrama de:

Bode

Nyquist

Nichols

45

Diagramas de Magnitud Logarítmica vs Fase

46

Criterio de Estabilidad de Nyquist Determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado, a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto y los polos de lazo abierto.

Ecuación característica: Un contorno cerrado en el plano s, le corresponde una curva cerrada en el plano F(s):

Si:

→ 47

Criterio de Estabilidad de Nyquist Mapeo conforme de las líneas ω = 0, ±1, ±2 y líneas σ = 0, ±1, ±2

48

Criterio de Estabilidad de Nyquist

Contornos cerrados en el plano s y sus correspondientes curvas en el plano F(s) para:

49

Criterio de Estabilidad de Nyquist

Teorema del Mapeo: Si F(s) es una división de polinomios en s. P es el número de polos y Z el número de ceros de F(s) que están dentro de un contorno cerrado en el plano s. El contorno cerrado en s se mapea al plano F(s) como una curva cerrada. El número total de rodeos al origen del plano F(s) , en el sentido horario, N, cuando un punto s en el plano s recorre el contorno en la dirección horaria, es igual a: N=Z–P 50

Criterio de Estabilidad de Nyquist Aplicación del Teorema del Mapeo al análisis de Estabilidad • Escogemos que el contorno cerrado en el plano s sea el semiplano derecho de s. Éste es llamado Contorno de Nyquist:

• Entonces, el número de ceros de la función que están en el semiplano derecho del plano s es igual al número de polos de F(s) en el semiplano derecho de s más el número de rodeos (en sentido horario) del origen del plano F(s) por la curva correspondiente. Z=N+P 51

Criterio de Estabilidad de Nyquist Rodeos del origen por el contorno en el plano 1+G(jω)H(jω) es equivalente a rodeos del punto (-1+j0) por el contorno en el plano G(jω)H(jω).

52

Criterio de Estabilidad de Nyquist

Criterio de Estabilidad: Si la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) tiene P polos en el semiplano derecho de s, entonces el sistema es estable si el contorno cerrado en el plano G(s)H(s) rodea P veces al punto (-1 + j0) en la dirección anti-horaria. Z=N+P donde: Z : Número de ceros de 1+G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s. N : Número de rodeos al punto (-1 + j0) en sentido horario. P : Número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho de s. Para sistema estable: →

Z=0 N = - P (sentido anti-horario) 53

Análisis de Estabilidad Ejemplo 7-14:

K>0 T1 > 0 T2 > 0

Polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho: P=0 Rodeos al punto (-1 + j0): N=0 Ceros de la ecuación característica en el semiplano derecho: Z=N+P=0

Sistema estable para cualquier valor positivo de K, T1 y T2.

54

Análisis de Estabilidad Ejemplo 7-15: Determine la estabilidad del sistema para dos casos: (a) K es pequeña

Polos: s1 = 0 s2 = -1/T1 s3 = -1/T2 P=0

Z=N+P=0 Sistema Estable

55

Análisis de Estabilidad Ejemplo 7-15: (b) K es grande

Z=N+P=2

2 polos en lazo cerrado están en el semiplano derecho de s Sistema Inestable

56

Análisis de Estabilidad Ejemplo 7-16:

N=0 Z=N+P=0 Sistema Estable

Polos en lazo cerrado en el eje jω

Polos: s1 = 0 s2 = 0 s3 = -1/T1

P=0

N=2 Z=N+P=2 2 polos en lazo cerrado en el semiplano derecho Sistema Inestable 57

Análisis de Estabilidad Polos: s1 = 0 s2 = 1/T

Ejemplo 7-17:

P=1

N=1 Z=N+P=2 Sistema Inestable

58

Análisis de Estabilidad Polos: s1 = 0 s2 = 1

Ejemplo 7-18:

P=1

N = -1 (Sentido anti-horario) Z=N+P=0 Sistema Estable

59

Sistemas Condicionalmente Estables

Sistema se puede volver inestable al variar la ganancia de lazo abierto

60

Análisis de Estabilidad Ejemplo 7-19: Determine el rango de ganancia de K para estabilidad del sistema

K ( s  0.5) G( s)  3 2 s  s 1 61

Análisis de Estabilidad Ejemplo 7-19: Criterio de Routh:

2 polos de G(s) están en el semiplano derecho: P=2

Vamos a graficar el Diagrama de Nyquist de G(s)/K

62

Análisis de Estabilidad Ejemplo 7-19:

Para K = 1:

Para estabilidad: Z=N+P=0 N = -P = -2 El punto (-1 + j0) debe estar en el centro de los dos lazos, entonces requerimos que:

(Ver MATLAB/Ejemplo 7-19)

63

Análisis de Estabilidad Relativa Consideramos que todos los sistemas se pueden transformar en uno con realimentación unitaria:

64

Análisis de Estabilidad Relativa mediante transformación conforme

La proximidad del lugar geométrico de G(s) al punto (-1 + j0) es un indicador de la estabilidad relativa. 65

Análisis de Estabilidad Relativa mediante transformación conforme Polos en lazo cerrado

Sistema más estable

Sistema menos estable

66

Análisis de Estabilidad Relativa mediante transformación conforme

Transformación conforme: mientras más cerca del eje imaginario están los polos en lazo cerrado, más cerca del punto (-1 +j0) estará el lugar geométrico G(jω)

67

Márgenes de Fase y de Ganancia

K grande: Sistema Inestable K pequeño: Sistema Estable K mediano: Sistema Críticamente Estable

68

Márgenes de Fase y de Ganancia Margen de Fase: Es la cantidad de retardo de fase adicional, en la frecuencia de cruce de ganancia, requerida para traer al sistema al borde de la inestabilidad. Frecuencia de cruce de ganancia: Es la frecuencia a la cual |G(jω)| es unitario. Margen de fase: φ es el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto en la frecuencia de cruce de ganancia Sistema estable: γ > 0 69

Márgenes de Fase y de Ganancia Margen de Ganancia: Es el recíproco de la magnitud |G(jω)| en la frecuencia de cruce de fase. Frecuencia de cruce de fase: Es la frecuencia a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto es igual a -180°. Margen de ganancia:

ω1: Frecuencia de cruce de fase

en decibelios: Sistema Estable: Kg(dB) > 0 70

Márgenes de Fase y de Ganancia

(a)Diagramas de Bode (b)Diagramas de Nyquist (c)Diagramas de Nichols

71

Márgenes de Fase y de Ganancia Sistemas Condicionalmente Estables

Margen de fase se mide en la frecuencia de cruce de fase/ganancia más alta

72

Márgenes de Fase y de Ganancia

• Ambos márgenes deben ser positivos para que el sistema sea estable • Para rendimiento satisfactorio:

γ = 30° - 60° Kg > 6 dB

73

Márgenes de Fase y de Ganancia Ejemplo 7-20 Obtenga los márgenes de fase y ganancia del siguiente sistema, para los casos cuando K = 10 y K = 100.

G(s) =

Ver MATLAB/Ejemplo 7-20



K s 3  6 s 2  5s

(F.T. lazo abierto)

K = 10: ωcg = 1.2 rad/s; γ = 25° ωcf = 2.2 rad/s; Kg = 10 dB K = 100: ωcg = 4 rad/s; γ = -20° ωcf = 2.2 rad/s; Kg = -10 dB

74

Cálculo de Márgenes de Fase y de Ganancia con MATLAB

Margen de Ganancia

Ejemplo 7-21:

margen de fase

frecuencia de cruce de fase

frecuencia de cruce de ganancia

Analizar en lazo abierto:

Ver MATLAB/Ejemplo 7-21 75

Relación entre Margen de Fase y Factor de Amortiguamiento

Para 0 ≤ ζ ≤ 0.6:

(línea recta)

76

Frecuencia de Corte y Ancho de banda

ωb : Frecuencia de Corte Frecuencia a la cual la magnitud de la respuesta en frecuencia es 3 dB por debajo del valor a la frecuencia 0.

Ancho de Banda: Rango de frecuencia en el cual la magnitud de

≥ -3 dB

Ancho de banda decrece con el incremento de ζ. Ancho de banda es proporcional a la velocidad de respuesta: para decrementar el tiempo de subida en un factor de 2, el ancho de banda debe ser incrementado en un factor de 2. 77

Frecuencia de Corte y Ancho de banda Ejemplo 7-22

Compare los dos sistemas:

Respuesta a paso unitario:

Anchos de banda: Sistema I: 0 ≤ ω ≤ 1 rad/s Sistema II: 0 ≤ ω ≤ 0.33 rad/s El sistema I, cuyo ancho de banda es mayor que el sistema II, tiene mejor velocidad de respuesta y puede seguir mejor a la entrada

Respuesta a rampa unitaria:

78

Pico de Resonancia, Frecuencia de Resonancia y Ancho de Banda Uso de MATLAB Para calcular el pico de resonancia y frecuencia de resonancia:

Para calcular el ancho de banda:

79

Pico de Resonancia, Frecuencia de Resonancia y Ancho de Banda Ejemplo 7-23: Uso de MATLAB Obtener el Diagrama de Bode del sistema en lazo cerrado siguiente y calcular: • Pico de Resonancia • Frecuencia de Resonancia • Ancho de Banda

Ver MATLAB/Ejemplo 7.23

80

Respuesta en Frecuencia en lazo cerrado de Sistemas con Realimentación Unitaria Respuesta en Frecuencia en lazo cerrado

G ( j ) OA  1  G ( j ) PA G ( j )     1  G ( j )

Midiendo las magnitudes y ángulos de la curva G(jω) en diferentes puntos de frecuencia, se puede obtener la curva de respuesta en frecuencia 81

Respuesta en Frecuencia en lazo cerrado de Sistemas con Realimentación Unitaria Lugares geométricos de Magnitud Constante (Círculos M)

magnitud:

G ( j ) M 1  G ( j )

Si M = 1: X = -1/2 82

Respuesta en Frecuencia en lazo cerrado de Sistemas con Realimentación Unitaria Lugares geométricos de Magnitud Constante (Círculos M) Si M ≠ 1:

Círculo con centro en

y radio

M2 X   2 ;Y  0 M 1

M M 2 1

Lugares geométricos de M constante forman una familia de círculos 83

Respuesta en Frecuencia en lazo cerrado de Sistemas con Realimentación Unitaria Lugares geométricos de Magnitud Constante (Círculos M)

84

Respuesta en Frecuencia en lazo cerrado de Sistemas con Realimentación Unitaria Lugares geométricos de Angulo de fase Constante (Círculos N) Ángulo: α

G ( j )  1  G ( j )

α

Definimos: tan (α) = N

85

Respuesta en Frecuencia en lazo cerrado de Sistemas con Realimentación Unitaria Lugares geométricos de Angulo de fase Constante (Círculos N)

 1 1   ,  Círculo con centro en:  2 2 N  Radio en:

1  1    86 4  2N 

2

Respuesta en Frecuencia en lazo cerrado de Sistemas con Realimentación Unitaria Lugares geométricos de Angulo de fase Constante (Círculos N)

87

Respuesta en Frecuencia en lazo cerrado de Sistemas con Realimentación Unitaria Gráfico de G(jω) superimpuesto sobre familias de círculos M y N

Pico de resonancia es el valor de M correspondiente al círculo M de menor radio que es tangente al gráfico G (jω)

88

Carta de Nichols Gráfico de lugares M y N en el Diagrama de Magnitud Logarítmica vs fase se llama Carta de Nichols.

Con la carta de Nichols se puede determinar el margen de fase, margen de ganancia, magnitud del pico resonante, frecuencia resonante, y ancho de banda del sistema en lazo cerrado, a partir del gráfico de la función G(jω) en lazo abierto.

89

Carta de Nichols Ejemplo

Mr = 5 dB ωr = 0.8 rad/s ωcf = 1.4 rad/s Kg = 5 dB ωcg = 1.15 rad/s γ = 25° ωb = 1.3 rad/s

90

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Rendimiento del sistema estará dado por: • Margen de fase • Margen de ganancia • Magnitud del pico de resonancia • Frecuencia de cruce de ganancia • Frecuencia de cruce de fase • Frecuencia de resonancia • Ancho de banda • Constantes Estáticas de error

Dos enfoques de diseño: • Gráfico Polar: no retiene la forma cuando se añade un compensador • Diagrama de Bode: diagrama de Bode del compensador se añade simplemente al de la planta. Además, si varía la ganancia (K), la curva de magnitud sube o baja sin cambiar la forma. La curva de fase permanece sin cambio si varía K. • Es mejor trabajar con diagramas de Bode Compensadores: • Adelanto: Mejora la respuesta transitoria • Retardo: Mejora exactitud en estado estable • Retardo-adelanto: Combina características de los dos compensadores.

91

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto

Gc (s)  (α: factor de atenuación) 

1 1  T T

Diagrama Polar (Kc = 1)

1 Sen(m )  1  Angulo máximo de Gc(s) 92

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto Diagrama de Bode (Kc = 1, α = 0.1)

Frecuencias esquina:

1  T 1  T

(filtro pasa-alto) ωm = Medio geométrico de las dos frecuencias esquina

1 1 1 1 m    2 T T T T 

93

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto: Diseño del Compensador 1.

Definimos:

F. T. en lazo abierto del sistema compensado:

donde: → Determine K para satisfacer el requerimiento de la constante estática de error

94

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto: Diseño del Compensador 2. Grafique el diagrama de Bode de G1(jω) y mida el margen de fase 3. Determine el ángulo que se necesita añadir al sistema para que cumpla con el requerimiento de margen de fase. Añada 5° - 12° adicionales. 4. Determine α de:

1 Sen(m )  1 



1  Senm 1  Senm

Determine la frecuencia donde la magnitud del sistema G1(jω) es igual a

 1   20 log    Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia es:

m 

1 T 

95

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto: Diseño del Compensador 5. Determine: Cero del compensador :

1  T

1 Polo del compensador:   T 6. Calcule:

Kc 

K



7. Verifique el margen de ganancia para estar seguro que cumple con el requerimiento.

96

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto: Ejemplo 7-26 Diseñe un compensador de adelanto de tal manera que la constante de error estático de velocidad Kv sea de 20/s, el margen de fase sea al menos de 50° y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB. 1.

F. T. lazo abierto de la planta:

Compensador de adelanto:

Definimos:

Ajuste de ganancia K:

donde:

97

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto: Ejemplo 7-26 2. Diagrama de Bode de G1(jω):

Ver: MATLAB/Ejemplo 7-26

γ = 17.96° Kg = ∞

3. Requerimos Margen de fase de 50°, por lo que el compensador debe contribuir con un ángulo de 32°. El añadir un compensador hace que la curva de magnitud se eleve y la frecuencia de cruce de ganancia se desplaza hacia la derecha, por lo que el margen de fase va a disminuir. Para compensar esto vamos a escoger el ángulo máximo del compensador en: φm = 38° (6° de compensación)

4.

1  Senm  1  Senm 

1  Sen38  0.24 1  Sen38

98

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto: Ejemplo 7-26 La frecuencia donde la magnitud del sistema G1(jω) es

 1   20 log  = -6.2 dB   corresponde a ω = 9 rad/s (Ver la curva del diagrama de Bode) Entonces, la nueva frecuencia de cruce de ganancia es ωc = 9 rad/s 5.

c 

1

9

T  1 T  0.2268 9 0.24

Cero del compensador :

Polo del compensador:

 

1 T

= 4.41

1 = 18.37 T 99

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto: Ejemplo 7-26 6. El compensador sería: pero:

Ver Diagrama de Bode 7. F. T. en lazo abierto del sistema compensado:

Diagrama de Bode del sistema compensado: MATLAB\Ejemplo 7-26 γ = 50.46° Kg = ∞ 100

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Adelanto: Ejemplo 7-26 Sistema Compensado:

Ver respuestas a entradas escalón y rampa.

101

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo Diagrama polar:



1  1 T T Diagrama de Bode (Kc = 1, β = 10)

Filtro Pasa-bajo

102

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo: Pasos de diseño Paso 1. Asuma el siguiente compensador:

Defina: Entonces: F. T. lazo abierto del sistema compensado:

Donde: Determine el valor de K para satisfacer el requerimiento de Constante estática de error 103

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo: Pasos de diseño Paso 2. Dibuje el diagrama de Bode de G1(jω) y determine la frecuencia a la cual el ángulo es igual a: (-180° + margen de fase requerido + compensación de 5° - 12°) Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Paso 3. El polo y cero del compensador deben estar ubicados a una frecuencia más baja que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por lo tanto, escogemos el cero (-1/T) aproximadamente una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Paso 4. Debemos llevar a 0 dB la magnitud en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. El valor de la atenuación necesaria es (-20 log β). Calcule la atenuación necesaria en el diagrama de Bode y con este valor determine β. Con este valor calcule el polo del compensador: Paso 5. Usando el valor de K calculado en el paso 1, determine Kc:

104

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Ejemplo 7-27 Se desea que: Kv = 5/s Margen de Fase ≥ 40° Margen de ganancia ≥ 10 dB Usar Compensador de retardo

Planta: Paso 1: Compensador: Definimos:

105

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Ejemplo 7-27 Paso 2: Diagrama de Bode de: (Ver MATLAB\Ejemplo 7-27) Margen de fase = -13° (Sistema Inestable) Frecuencia a la cual el ángulo de G1 es (-180° + 40°(γ requerido) + 12° (compensación)) es: 0.5 rad/s (-128°) (Ver Diagrama de Bode) → Nueva frecuencia de cruce de ganancia: ωc = 0.5 rad/s Paso 3:

• Entonces, vamos a elegir la primera frecuencia esquina 1/T como 0.1 rad/s, la cual es menor a 0.5 rad/s.

106

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Ejemplo 7-27 Paso 4: • En ωc = 0.5 rad/s la magnitud de |G1(jω)| es de aproximadamente 20 dB (ver Diagrama de Bode) • Para llevar la curva de magnitud a 0 dB en 0.5 rad/s (y que sea frecuencia de cruce de ganancia), el compensador debe proporcionar la atenuación necesaria de -20 dB:

1 20 log   20dB     10

La segunda frecuencia esquina es



1 T

Si 1/T = 0.1, entonces: 107

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Ejemplo 7-27 El compensador queda: Paso 5: pero:

1 s  0.1 50s  5 Gc ( s)   2 s  0.01 100s  1 F.T. lazo abierto:

108

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Ejemplo 7-27 Ver: Diagrama de Bode del Compensador Diagrama del Bode del sistema Compensado Margen de fase= 41.6° Margen de ganancia= 14.29 dB Frecuencia de cruce de ganancia= 0.45 rad/s Frecuencia de cruce de fase= 1.31 rad/s Respuestas a escalón y rampa unitarios:

(Ver MATLAB\Ejemplo 7-27)

F.T. en lazo cerrado del sistema compensado: F.T. en lazo cerrado del sistema no compensado:

Si Kv = 5/s: ess = 1/5 = 0.2 s 109

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Adelanto

Compensador:

Red de adelanto:

Red de retardo:

110

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Adelanto

Adelanto

Retardo

Gráfico Polar del compensador 111

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Adelanto

Diagrama de Bode del Compensador

112

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Adelanto: Ejemplo 7-28 F. T. en lazo abierto:

Requerimientos: Kv = 10/s γ ≥ 50° Kg ≥ 10 dB Usaremos el compensador de retardo-adelanto, con γ = β > 1

adelanto

retardo

113

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Adelanto: Ejemplo 7-28 • Como G(s) tiene su propia ganancia ajustable (K), definimos: Kc = 1. • Cálculo de K:

• Diagrama de Bode del sistema sin compensar (con K = 20)

Gc 

20 s 3  3s 2  2s

Ver MATLAB\Ejemplo 7-28

Sistema Inestable 114

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Adelanto: Ejemplo 7-28 • Vamos a elegir una nueva frecuencia de cruce de ganancia: • Si observamos el diagrama de fase de G(jω), vemos que el ángulo es de -180° en la frecuencia aproximada ω = 1.5 rad/s • Por lo tanto, vamos a escoger 1.5 rad/s como la nueva frecuencia de cruce de ganancia: ωcg = 1.5 rad/s • Con esto, el adelanto de fase requerido en 1.5 rad/s es de 50°. • Selección de frecuencia esquina de la parte de retardo de fase: ω = 1/T2 debe ser una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia: ω = 1/T2 = 0.15 rad/s • Cálculo de β: Para el compensador de adelanto:



1  Sen(m ) 1  Sen(m )

Si φm = 50° + 5° (compensación) = 55°

β = 10 115

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Adelanto: Ejemplo 7-28 • Cálculo de

1  T2

1 0.15    0.015 T2 10 • Parte de retardo de fase:

1 s  0.15 T2  1 s  0.015 s T2 s

116

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Adelanto: Ejemplo 7-28 • Parte de adelanto de fase: Si ωcg = 1.5 rad/s, en el diagrama de Bode se encuentra que: |G(j1.5)| = 13 dB Por lo tanto, el compensador debe tener -13 dB de magnitud en la frecuencia ωcg 20dB 20dB/dec 0dB -13dB -20dB 0.7 rad/s (1/T1)

1.5 rad/s

7 rad/s (β/T1) 117

Diseño de Sistemas de Control por el Método de Respuesta en Frecuencia Compensación de Retardo – Adelanto: Ejemplo 7-28 • La parte de adelanto queda:

• Compensador completo: • F.T. lazo abierto del sistema compensado:

• Diagrama de Bode del Compensador: Ver MATLAB\Ejemplo 7-28 • Diagrama de Bode del sistema Compensado: Ver MATLAB\Ejemplo 7-28 • γ = 55° • Kg = 16.9 dB • ωcf = 3.9 rad/s • ωcg = 1 rad/s • Respuestas Escalón y Rampa: Ver MATLAB\Ejemplo 7-28

118