Resumo Hayt 695f3x

3: 12

ρS 10 −8 an = a =30az 2 × 6 × π × 10 −9 z 2ε 0 36π para z<3 E= − 30az E=

2) 2.25 Hayt superfície quadrada z=0 ; 1 ≥ x≥ −1 ; 1 ≥ y ≥ −1 densidade superficial de cargas |x|nC/m2 E=? no ponto (0; 0; 1) Divide-se o plano em "n" cargas dQ=ρSdydx. Só existem componentes do campo E na direção z porque as demais direções se anulam por simetria: z

P(0;0;1) dE =

dQ aZ 4πε 0 R 2

-1;-1;0

ρS

dQ=ρSdydx.

-1;1;0

y

1;-1;0

1;1;0 x nulas por simetria

nulas por simetria

R= − xax − yay + az

R= R = x 2 + y 2 + z 2

;

;

a R = a 12 =

− xa x − ya y + za z x 2 + y2 + z2

com z=1 vem: Ez =

2 × 2 × 10 −9 4 × π × 8,854 × 10 −12

usando-se:

∫

(ax

3 2

+ b)

2

1

1

0

2

E z = 35,95∫ usando-se

xdx

y +1

2

ax ± b

(

0 0

=

(x

a ax + b

y +2

3

+ y 2 + 1)2

2

2

=

2

−1

1

−

dx

∫

xdxdy

1 1

∫∫

com a=1 e b=y2+1

dy

1 ln[ x a + ( ax 2 ± b)] a

) (

Ez = 35,95 ln y + y 2 + 1 − ln y + y 2 + 2

) = 35,95(0,881−1,005+0,347) 1

0

E=8,01az V/m

13

CAPITULO 3 DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 1-Experiência de Faraday −

• esfera exterior separada em dois semi - hemisférios e descarregada através de conexão momentânea com a terra e manipulada com luvas isolantes • esfera interior carregada positivamente. • entre as duas um isolante.

− −

−

++ − ++ − −

dielétrico

−

• a esfera exterior que estava descarregada fica carregada com uma carga em módulo igual a da esfera interior e de sinal contrário. Houve portanto um fenômeno de deslocamento entre as esferas o qual independe do meio entre as esferas. Esta fenômeno foi denominado por Faraday como "fluxo elétrico de deslocamento" ou "fluxo elétrico" sua notação é ψ ,sua unidade é o Coulomb. Como ele é função da carga temos a igualdade: ψ = Q Na experiência de Faraday Q seria a carga total na esfera interna. 2- Densidade de fluxo elétrico D É a relação entre o fluxo elétrico e a área total S da superfície atravessada pelo mesmo: D=

ψ Q = S S

C/m2

D constitui um campo vetorial com: - direção e sentido igual a das linhas de fluxo do campo elétrico - Módulo igual a carga total dentro da superfície fechada dividida pela área da mesma. Na experiência de Faraday teríamos em coordenadas esféricas raio das esferas a e b e centradas na origem: na esfera interna: D =

Q1 ar 4πa 2

Para uma esfera: E =

Q1 a r portanto D = ε0E 4πε 0 r 2

E( r ) =

∫

V

ρ (r ' )dv ' 4πε 0 r − r '

'

3

na esfera externa: D =

r − r logo também D( r ) =

∫

V

Q1 ar 4πb 2

entre as esferas: D = Q=ρ(r)dv

r − r' r − r'

r-r’

ρ (r ' )dv ' 4π r − r '

3

r−r

'

Q1 ar 4πr 2

D(r)

r’ r

Origem do sistema de coordenadas

EXEMPLO:

E3.1 Hayt carga pontual em (0; 0; 0) com Q=15π nC. Qual o fluxo total em uma esfera de raio 5m e centro em (1; −1; 2). Como a esfera engloba a carga: ψ = Q =15π = 47,12 C 14

3 - Lei de Gauss “O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é igual a carga envolvida pela mesma” Q = ∫ D. ds S

onde: ds tem sentido para fora do volume que contém Q Q é a carga envolvida que pode ter qualquer configuração ou seja reta, planos etc... superfície r = 4,5 e − 3,5 < z < 3,5 ; ψ = ?

EXEMPLO: E3.3 Hayt

z

a)linha de cargas no eixo x com ρL= 2cos(0,1x) C/m Ψ = Q = ∫ ρ L dl = ∫ 2cos(0,1x)dx = L

4,5

4 ,5

4,5

-4,5

4 sen( 0,1x ) = 17,4 C 0,1 −4 , 5

3,5 y

c) plano em z=0 com ρS = 0,1r2 C/m2 Ψ = Q = ∫ ρ S ds = ∫

4,5

0

S

∫

2π

y 4 ,5

0,1r rdφdr = ∫ 0,1r φ 2

3

0

0

2π −0

3,5

4 ,5

dr = ∫ 2π 0,1r 3dr = 64,41 C 0

4- Superfícies Gaussianas. Q = ∫ D. ds A expressão matemática da Lei de Gauss é uma equação diferencial de 1ª ordem em que a S

incógnita D esta dentro do sinal de integração (quando estamos usando a Lei de Gauss geralmente deseja-se conhecer D). Uma equação deste tipo pode ser impossível de ser resolvida se a superfície de integração não for bem definida. A idéia é retirar D de dentro do sinal de integração ou anular a integral. Assim: D e ds tem que ser em qualquer ponto da superfície escolhida: ⇒ D ⊥ ds anulando a integral ou ⇒ D ⁄⁄ ds resultando em um escalar. Neste caso D tem que ser constante para ser retirado da integral, restando uma integral de superfície fechada. Não é possível o uso desta Lei para encontrar a densidade de fluxo de duas cargas pontuais porque neste caso não existe uma superfície Gaussiana. 5 - Aplicação da Lei a algumas cargas. a) carga pontual Em coordenadas cilíndricas a superfície Gaussiana é uma esfera centrada na origem e a integração é sobre a superfície de uma esfera. Q = ∫ D. ds = ∫ S

2π

0

π

∫ Da . r 0

r

2

sen θdθdφa r = 4πr 2 D r

D= 15

Q ar 4πr 2

(não precisa integrar) b)Linha infinita de cargas Em coordenadas cilíndricas. E e portanto também D só varia com r, logo a Gaussiana tem que ser um cilindro. z

Q = ∫ D. ds = D r ∫ ds = 2πrLD r Coulombs S

Dr =

ds

S

ρ L ρ Q = L = L C/m2 2πrL 2πrL 2πr

Densidade linear de carga

ds Dr ds

c) Dois cilindros concêntricos ou o cabo coaxial Colocando-se em coordenadas cilíndricas centrado no eixo z e supondo-se densidade de cargas positivas no condutor central, por simetria só existe a componente de D na direção r. z

As superfícies Gaussianas são cilindros. r < a não existe carga envolvida Q=0 logo D =0

b

a

a
L

0

2π

∫ρ 0

S

adφdz = 2πaLρ S

Dr =

2πaρ S L aρ S Q = = 2πrL 2πrL r

D=

aρ S ar r

Com a carga por unidade de comprimento no condutor central: ρL= 2πaρ S vem: D=

aρ S ρ ar = L ar r 2πr

No condutor externo devemos ter pela experiência de Faraday cargas de igual módulo e sinal oposto logo considerando-se que se tem cargas positivas no condutor interno: − 2πbLρs,cond.ext. = 2πaLρs,cond.int.

ρs,cond.ext. = −

a ρs,cond.int. b

r>b a carga envolvida é igual a zero logo D=0 nesta região e deste modo o campo elétrico fica todo confinado dentro do cabo. 6 - Divergência Duas das Equações de Maxwell são formuladas com esta operação vetorial. A divergência é uma operação sobre um vetor que resulta em um escalar e simplesmente indica a variação da grandeza dentro do volume sem indicar direção ou sentido de saídas ou entrada da mesma no volume. A sua aplicação em um campo vetorial qualquer é ilustrada por dois exemplos práticos: v v

v v 16

volume de cano em que a água com representação da velocidade de suas partículas por vetores

Como a água não pode ser comprimida em todo os pontos dentro do cano a velocidade das partículas é a mesma e toda a água que entra sai do cano. Não existe divergência. v v

volume de cano com ar sobre pressão e tapado inicialmente com representação da velocidade de suas partículas por vetores

v v

Ao ser destampada uma das extremidades as moléculas do ar terão velocidades diferentes em cada ponto dentro do cano e sai mais partículas de ar do cano do que entram. Existe divergência. A analise destes dois casos nos mostra que: • No primeiro caso as fontes e sumidouros do campo que provocavam o deslocamento das partículas (bomba de água e torneira) estão fora do volume. O campo não sofreu variação de intensidade no mesmo sentido dele. • No segundo caso as fontes do campo que provocavam o deslocamento das partículas (pressão) estavam dentro do volume. O campo sofreu variação de intensidade no mesmo sentido dele. Portanto: ♦ Quando houver fontes ou sumidouros dentro do volume existe divergência. Neste caso o valor da grandeza que entra é diferente da que sai do volume. ♦ Uma divergência: positiva indica que sai mais do que entra dentro do volume (denuncia a existência de fontes do campo dentro do volume) negativa indica que entra mais do que sai de dentro do volume (denuncia a existência de sumidouros do campo dentro do volume). O campo que não tem fontes nem sumidouro é chamado de “solenoidal” um exemplo é o campo magnético, portanto Div H =0 Em qualquer livro sobre análise vetorial temos que a divergência de um vetor pode ser expressa por: divD = lim

∆v → 0

cartesianas divD=

cilíndricas: divD=

∫ D. ds S

∆v

∂D x ∂D y ∂D z + + ∂x ∂y ∂z

1 ∂ ( rD r ) 1 ∂Dφ ∂D z + + r ∂r r ∂φ ∂z

1 ∂ (r2Dr ) 1 ∂ ( Dθ sen θ ) 1 ∂Dφ esféricas: divD= 2 + + r r sen θ ∂r ∂θ r sen θ ∂φ 7 - Aplicação da divergência no eletromagnetismo - 1ª equação de Maxwell. 17

Seja um volume diferencial e aplicando-se a Lei de Gauss conhecendo-se o seu valor no centro do volume e como a superfície é pequena podemos considerar D aproximadamente constante na superfície deste.

∫ D.ds = D

x,frente

frente

a x .∆S frente a x ∆y∆z

D0=Dx0ax+Dy0ay+Dz0az (valor conhecido no centro)

z ∆z

D x,frente a x = D x0 +

D x,frente = D x0 + 

∫ D. ds = D

x0

∆x ×(taxa de variação de Dx com x) 2

∆x  ∂D x    2  ∂x  −

atraz



∴

∫ D. ds = D

x0

+

frente

∆x  ∂D x     − ∆y∆z 2  ∂x  

∆v ∆y ∆x y

x

∆x  ∂D x     ∆y∆z 2  ∂x    ∂D x   ∆x∆y∆z ∂x 

∫ D. ds + ∫ D. ds = 

∴

atraz

frente

de modo semelhante teríamos para todas as outras faces e o resultado final é:

∂D y ∂D z  ∂D y ∂D z   ∂D  ∂D Q = ∫ D. ds =  x + + ∆x∆y∆z =  x + +   ∆v S ∂y ∂z  ∂y ∂z   ∂x  ∂x Q = ∆v

∫ D. ds = ∂D S

∆v

DivD = ρ =

x

∂x

+

∂D y ∂D z + = DivD ou no limite com ∆v →0: ∂y ∂z

∂D x ∂D y ∂D z + + ∂x ∂y ∂z

1ª Equação de Maxwell que é a forma pontual da Lei de Gauss

A divergência de D resulta na fonte deste campo que são as cargas positivas. Com DivD=0 não existe fontes (cargas positivas) nem sumidouros (cargas negativas) de D no volume. 8 - Uso do operador nabla no eletromagnetismo. Por definição ∇ ≡

∂ ∂ ∂ ax + a y + a z ∂x ∂y ∂z

assim Nabla escalar D resulta em:

∂ ∂ ∂D x ∂D y ∂D z ∂  ∇.D ≡  a x + a y + a z .D x a x + D y a y + D z a z = + + =ρ ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x Logo

∇.D = ρ

9 - Teorema da divergência Relaciona uma integral dupla de superfície com uma integral tripla de volume. Muito importante em diversas demonstrações. 18

Q = ∫ D. ds

; Q = ∫ ρdv ; V

S

∫ D.ds = ∫

V

S

ρdv = ∫ ∇. Ddv logo: V

∇.D = ρ ∴

∫ D.ds = ∫ ∇. Ddv V

S

Fisicamente podemos analisar este resultado como sendo preferível se preocupar com as conseqüências do que ocorre na superfície de um volume sem se importar como o fenômeno esta se desenvolvendo dentro dele. Só contribui para o total o que diverge pela superfície

O que diverge em uma célula converge na adjacente

EXEMPLO: E3.9 Hayt G=2r2(cos5φar − sen5φaφ + az)= 2r2cos5φar − 2r2sen5φaφ + 2r2az região r ≤ 5 ; 0 ≤ φ ≤ 0,1π ; 0 ≤ z ≤ 10. Efetuar ambos os lados do teorema da divergência . z

ds=rdrdφaz

2

2r az φ

ds=drdzaφ

ds=drdz(−aφ)

−2r2sen5φ aφ

r 2

2r cos5φ ar

ds=rdφdzar ds=rdrdφ(−az) 1 ∂ ( rG r ) 1 ∂G φ ∂G z 1 ∂ ( r × 2r 2 cos 5φ ) 1 ∂ ( −2r 2 sen 5φ ) ∂ ( 2r 2 ) + + = + + ∇.G = r ∂r r ∂φ r r ∂z ∂r ∂φ ∂z ∇.G =

∫

V

3 × 2r 2 cos 5φ 5 × 2r 2 cos 5φ ) − = −4 r cos 5φ r r

∇. Gdv = ∫

10

0

0 ,1π

5

0 ,1π

5

0

0

0

0

∫ ∫ −4r cos 5φrdrdφdz = ∫ ∫

5

−40r cos 5φdrdφ = ∫ −8 r sen 5φ 2

0

2

0,1π 0

−8r 2 dr = 3

5

=− 0

1000 3

∫ G.ds = ∫ face com φ = 0,1π + ∫ face com r = 5 ; apenas porque: S

•

topo e base com áreas iguais e ds opostos e o valor da componente de G na direção sobre as faces igual desde que Gz = f(r) apenas.

•

Na face em que φ=0 temos G.ds= (2r2cos(0)ar − 2r2sen(0)aφ + 2r2az).drdzaφ=0 5 10

∫ G.ds = ∫ ∫ S

0 0

10

− 2 r 2 sen(0,5π )dzdr + ∫

0

∫

0 ,1π

0

2 × 52 cos(5φ )5dφdz = − 19

1000 3

CAPITULO 4 ENERGIA E POTÊNCIAL 1-Energia utilizada no movimento de uma carga pontual em um campo elétrico E

y

onde: + Q carga a ser deslocada de x2 para x1

FE

Fapl é a força aplicada no percurso para vencer o campo elétrico (agente externo)

aL x1

FEL é a força produzida pelo campo elétrico na direção do movimento

+Q

Fapl x2 FEL

x

FE=+QE ∴ FEL= FE.aL = +QE.aL ∴ Fapl= − QE.aL O trabalho a ser produzido é: dW = FapldL= − QE.aLdL = − QE.dL ∴ W = − Q ∫

fim

E. dL

inicio

Joules

que é uma integral de linha com dL é sempre positivo ! o sentido da integração determina o sinal: como dW = − QE.dL o trabalho só se verifica para a componente de E no sentido do deslocamento.

• W positivo o agente externo produz o trabalho • W negativo o campo produz o trabalho (o campo elétrico perdeu energia) O caminho dL não é especificado: qualquer caminho conduz aos mesmos resultados desde que quando se perde energia em um determinado percurso ganha-se energia ao se retornar.

No caso tem-se: W = − Q ∫

fim

x1

E. dL = − Q ∫ (E x a x + E y a y + E z a z ). dxa x = − QE x ( x1 − x 2 )

inicio

x2

com x1 < x2 tem-se x1− x2= − L ∴ W = − QE x ( x1 − x 2 ) = QE x L A fonte externa neste caso tem que produzir trabalho, e este resultado foi conseguido pelos limites de integração estabelecidos. EXEMPLO: O campo elétrico na região é E=2xax−4yay.Qual o trabalho necessário para deslocar uma carga de 2 C do ponto A(2 ;0 ; 0) para B(0; 2; 0) a) ao longo de um trajeto ando pela origem. entre (2;0;0) e (0;0;0): dW = − QE.dL ∴ dW= −2 (2xax−4yay).dxax = −4xdx entre (0;0;0) e (0;2;0): dW= −2 (2xax−4yay).dyay = 8ydy 0

2

2

0

W = ∫ −4xdx + ∫ 8 ydy = 24 Joules b) Por uma reta ligando os dois pontos 20

Para integrar sobre a reta tem-se que obter a equação da reta entre dois pontos. Isto é dado pela interseção de pois planos que contenham os pontos A(2 ;0 ; 0) e B(0; 2; 0): y − yb x − xb y−2 x−0 = ∴ = 0−2 2−0 ya − y b x a − x b

∴ x + y = 2 e dx + dy = 0 ∴ dy = − dx

dW = − 2(2xax−4yay).dxax + dyay + dzaz = −4xdx + 8ydy = −4xdx + 8(2 − x)( − dx) = (4x − 16)dx 0

W = ∫ ( 4x -16)dx = 24 Joules 2

2-Trabalho em torno de uma linha infinita de cargas. Campos conservativos. a)carga positiva Q em um caminho circular de raio r1 centrado na linha e em um plano perpendicular a mesma. Pela geometria do problema vamos usar coordenadas cilíndricas. z

x

dL= drar+ r1dφaφ+ dzaz y r1

W = −Q∫

fim

r2

E. dL = − Q ∫

inicio

2π

0

ρL a r . r1dφaφ= 0 2πε 0 r1

portanto qualquer que seja o caminho adotado o resultado é o mesmo e nulo. Nestes casos diz-se que o campo é “um campo conservativo” e uma integral de linha de percurso fechado ∫ A.dL nestes campos

resulta sempre em zero. Os campos conservativos não produzem trabalho.

• O campo elétrico gerado por cargas é conservativo. • O campo elétrico gerado por campos alternados (do tipo “fem”) não é conservativo!! b)deslocando-se a carga de r1 para r2 no sentido radial com r2>r1. Como independe do percurso escolhe-se um percurso direto entre os pontos. W = −Q∫

r2

r1

Qρ L  r2  ρL a r .dra r = − ln   2πε 0 r 2πε 0  r1 

Joules, o campo fornece energia, perde energia portanto.

c)deslocando-se de r2 para r1 Qρ L  r1  Qρ L  r2  ρL a r .dra r = − ln   = ln   Joules r2 2πε r 2πε 0  r2  2πε 0  r1  0 inverte-se a fração para permitir uma comparação, e comparando-se e vê-se que o campo ganhou energia. W = −Q∫

r1

3-Diferença de potencial e potencial “Diferença de potencial V é o trabalho realizado por uma fonte externa ao mover uma carga unitária positiva de um ponto a outro em um campo elétrico”: 21

VAB =

fim A W Newton × m Joule =Volt = − ∫ E. dL = − ∫ E. dL volt = = inicio B Q Coulomb Coulomb

A = ponto final de potencial mais elevado, sendo o ponto onde esta a carga. B = ponto de referência inicial de potencial menos elevado, sendo considerado geralmente como o infinito. Com V = 0 no infinito e colocando-se B também no infinito tem-se um potencial absoluto, caso não seja especificado B desta forma deve-se indicar onde esta a referência para os potenciais. Esta referência pode ser o chassi de um computador no caso de cabos coaxiais o condutor de fora é a referência zero porque esta geralmente aterrado. Se VAB > 0 será realizado trabalho pela fonte externa para deslocar uma carga de B até A. No exemplo da linha de cargas o ponto r2 > r1 e o campo decresce com r, assim a diferença de potencial entre r2 e r1 é: r1 ρ r  ρ L a r .dra r = L ln 2  V12 = − ∫ r2 2πε r 2πε 0  r1  0 Se o potencial de um ponto é VA e de outro é VB e ambos tem obrigatoriamente a mesma referência zero: VAB=VA-VB 4 - Princípio da superposição. Potencial em torno de uma carga e de um sistema de cargas. O potencial também segue o “princípio da superposição” portanto uma estrutura mais complicada pode ser decomposta em uma série de cargas pontuais e calcula-se V em um ponto (a exemplo do que foi feito com E) pela soma de V neste ponto provocado por cada carga individual. Assim torna-se importante calcular-se o potencial em torno de uma carga. Colocando-se a carga na origem de um sistema de coordenada esférica para facilitar o trabalho desde que o campo é esférico em torno da carga, calcula-se a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer A e B. Como independe do percurso faz-se ele o mais genérico possível: A

Q Q a r . dra r + rdθa θ + r senθdφa φ = 2 B 4πε r 4πε 0 0

VAB = − ∫ E. dL = − ∫ B

A

(

)

1 1  −   rA rB 

Deslocando-se o ponto B para o infinito ( potencial absoluto) tem-se potencial absoluto de uma carga pontual: Q  1 1 Q Q V= generalizando-se V( r ) =  − = 4πε 0  rA ∞  4πε 0 r 4πε 0 r − r ' Em um sistema de n cargas pontuais que podem ser representadas por um elemento contínuo de carga volumétrica de dimensões infinitesimais:

Q1=ρ1(r’)dv

r1’

Qm=ρm(r)dv com m=1 até n

r − r1' r-r1’

r − r1'

Q2=ρ2(r’)dv

V( r)=?

r2’

r Origem do sistema

22

r-r2’

n

Qm

V( r ) = ∑

4πε 0 r − rm

m=1

'

ando-se o somatório para uma integral: V( r ) =

ρ (r')dv '

∫

4πε 0 r − r '

V

Se as cargas estiverem dispostas em uma reta ou um plano: V( r ) =

∫

L

ρ L (r' )dL'

; V( r ) =

4πε 0 r − r '

ρ S (r')ds '

∫ 4πε S

0

r − r'

EXEMPLOS: E 4.5 Q=1,6×10−9 C; V=? em r = 0,7 m (pt. A)

VA =

a) referência no infinito

VAB =

Q 4πε 0

1 1  −   rA rB 

1,6 × 10-9  1    =20,5 V (potencial absoluto) 4πε 0  0,7 

1,6 × 10-9  1 1  −   =20,5 − 28,7= −8,22 V (referido a um zero que não esta no 4πε 0  0,7 0,5  infinito logo não é um potencial absoluto). b) 0 em r = 0,5 m ∴ VA =

c) VB = 5 V em r =10 m ∴ VAB =

1,6 × 10 -9  1 1 −  = 6,17 V o potencial absoluto em r =10 é 5V logo:  4πε 0  0,7 10 

VA=6,17+5=11,7 V (potencial absoluto) R= − rar+zaz= − rar+ 10az

E4.6 P(0; 0; 10) V=?

z

a) anel com largura infinitesimal com r=4 em z=0 e ρL= 5×10-9 C: V( r ) =

∫

L

ρ L (r')dL' 4πε 0 r − r '

R

=

2π

5 × 10-9 × 4dφ '

0

4πε 0 4 2 + 10 2

∫

ds=rdφdr

P

dL=rdφ y

= 104,9 V x

b) Disco 4 ≥ r ≥ 0 em z=0 e ρS= 2×10-9 C: V( r ) =

ρ S (r' )ds '

∫ 4πε S

0

r − r'

=∫

4

0

∫

2π

0

2 × 10 −9 rdrdφ ' 4πε 0

1000 4 rdr ' 1000 = = ∫ 2 2 2 2 0 8,854 8,854 r + 10 r + 10

c) Anel 4 ≥ r ≥ 2 em z=0 e ρS= 3×10-9 C:

23

r 2 + 10 2

4 0

= 86,97 V

V( r ) = ∫

4

2

2π

3 × 10 −9 rdrdφ '

0

4πε 0 r 2 + 10 2

∫

=

3000 2 × 8,854

r 2 + 10 2

4 2

= 97 V

5-Gradiente e Gradiente do potencial ♦ divergência é uma operação sobre um vetor que tem como resultado um escalar ♦ gradiente é uma operação sobre um escalar que resulta em um vetor. Seja uma região com taxas de variação de altitude em metros quando caminhamos um quilometro nas direções x = 4m/km e y = 3m/km. Para saber-se a elevação em qualquer ponto podemos exprimi-la em termos de x e y por uma função do tipo P=1000+4x+3y metros. onde: 1000 é a elevação do seção do mapa em relação ao nível do mar 3m/km

Y

P=1000+4x+3y Gradiente P

∂P ay ∂y X

4m/km

∂P ax ∂x

Coloca-se um vetor que denomina-se “Gradiente” com componentes nas duas direções tendo como módulo as declividades em cada direção x e y. Como a declividade é a maior taxa de variação da elevação em uma dada direção elas serão ∂P ∂P ax e a y e assim ele esta na direção mais íngreme: respectivamente: ∂x ∂y ∂P ∂P GradienteP= a x + ay ∂x ∂y Duas características são muito importantes no gradiente

• A direção do vetor gradiente faz sempre angulo reto com às curvas isométricas.

A inclinação mais íngreme pode ser encontrada descendo a elevação na distância mais curta e isto é conseguido tomando-se uma direção perpendicular às curvas isométricas.

• O modulo do vetor gradiente será proporcional ao espaçamento das linhas de contorno. Quanto menor o espaçamento maior será a declividade e a taxa de variação da função e conseqüentemente o módulo do vetor gradiente.

Na região considerada: P=1000+4x+3y metros logo GradienteP=4ax+3ay Isto indica que a inclinação em qualquer direção é a mesma porque as componentes do gradiente não são função de x e y. Para três dimensões temos:

Gradiente P=

∂P ∂P ∂P ax + ay + az ∂x ∂y ∂z

24

ou usando-se o operador Nabla

matematicamente tem-se:

∂ ∂ ∂   a x + a y + a z  P = ∇P = GradienteP ∂y ∂z   ∂x

 ∂P ∂P ∂P  ay + a z  .(dxax+dyay+dzaz) ∇P. dL =  a x + ∂y ∂z   ∂x ∇P. dL =

∂P ∂P ∂P dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

a igualdade da direita é a derivada total da função que exprime o campo escalar e portanto é a variação da função P para um movimento em uma distância dL logo:

∂P ∂P ∂P dx + dy + dz =dP ∴ ∂x ∂y ∂z

∇P. dL = dP =|∇P||dL|cosφ

♦ φ = 90° ⇒ dP=0 logo para deslocamentos em qualquer distância não existe variação e só pode ter se dado em uma curva de nível ou superfície equipotencial e Gradiente P é normal a esta. ♦ φ = 0° temos o valor máximo de dP e Gradiente P esta na mesma direção de dL. Portanto a direção do gradiente é a direção de maior valor de variação da função. Portanto o gradiente tem a direção e módulo da maior taxa de variação positiva de um campo escalar em um ponto. Estes mesmos raciocínios valem também para coordenadas cilíndricas e esféricas. A

ando agora para o campo elétrico tem-se: VAB = − ∫ E. dL B

Para um elemento muito pequeno de comprimento em que E seja essencialmente constante vem: dV = − E cos φ dL φ=180° temos o máximo da função, e isto é conseguido quando os deslocamentos dL são opostos a direção de E φ=90° resulta V=0 e como nem E nem ∆L são iguais a zero conclui-se que os vetores são perpendiculares e que o deslocamento se deu em uma equipotêncial. ∇ V= − E.∆L=|E||∆L|cosφ no limite:

Definindo-se um unitário aN perpendicular as equipotenciais e na direção dos potenciais mais elevados E=−

dV dV aN = − aN dL max dN

onde a notação dN lembra que dL é normal às equipotenciais. Ou seja o módulo de E é dado pela máxima taxa de variação espacial de V e a direção de E é normal à superfície equipotencial no sentido decrescente do potencial, portanto: E= − ∇ V

ou

 ∂V ∂V ∂V  E= −  ax + ay + az ∂y ∂z   ∂x 25

nos demais sistemas de coordenadas vem: ∇V=

cilíndricas:

esféricas:

∇V=

1 ∂V ∂V ∂V ar+ aø + az r ∂φ ∂r ∂z

1 ∂V 1 ∂V ∂V ar+ aθ + aø r ∂θ r sen θ ∂φ ∂r

Os denominadores tem a forma do vetor deslocamento dL em cada sistema. EXEMPLOS: Campo elétrico de uma reta infinita carregada Colocando-se a origem no infinito e considerando um valor de potencial nulo no infinito temos os potenciais absolutos em torno da reta com r2 > r1: V12 = − ∫

r1

r2

 ρ ln r ρ L ln ∞  ρL ρ ρ ln r ρ ln r dr = − L (ln r1 − ln r2 ) = − L − +0= − L  =− L 2πε 0 r 2πε 0 2πε 0  2πε 0 2πε 0  2πε 0 z

r2

∇V

Potenciais se afastando da reta

ρ ln r V=− L 2πε 0

r1

 ρ ln r  E ∂ − L   2πε 0  ρL ρL ar = − a r ; E= − ∇ V ; E = ar ; ∇V = 2πε 0 r 2πε 0 r ∂r

y x

V=f(r) logo as superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos com a reta. E4.8 do Hayt V=50x2yz+20y2 V=? no vácuo. Z

a) no Pt (1; 2; 3) V=50×12×2×3 + 20×22 = 380 V b) EP = ?

6 4 10

 ∂V ∂V ∂V  EP= − ∆V= −  ax + ay + az ∂y ∂z   ∂x

6 3 10

Y

6 2 10

30 20

6 1 10

EP = −100xyz ax−(50x2z+40y) ay−50x2y az

10 0

EP= −600ax−230ay−100az ∇.D=∇.ε0E = ρ

c) ρP=?

X 0

10

20

30

Z=3

E = −100xyz ax−(50x2z+40y) ay−50x2y az ∇.ε0E =

d)

∂ε 0 E x ∂ε 0 E y ∂ε 0 E z + + ∴ ρP = −100ε0zy − 40ε0= − 5,66 nC/m3 ∂x ∂y ∂z

dV =? dN

E=−

dV aN dN

EP= −600ax−230ay−100az ∴ 26

dV = 600 2 + 230 2 + 100 2 = 650 V/m dN

esta resposta corresponde à máxima taxa de variação da função potencial. e) aN em Pt (1; 2; 3) = ? − aN =

dV a N = −600ax−230ay−100az ∴ dN

600;230;100 600 2 + 230 2 + 100 2

= 0,923ax+ 0,35ay + 0,154az

6 - O dipolo elétrico São duas cargas pontuais, iguais sinais contrários e separadas por uma distância "d" muito pequena. O estudo desta configuração de cargas se deve, a necessidade de termos elementos para estudar os materiais dielétricos mais adiante. Em coordenadas esféricas e com o dipolo na origem temos V em um ponto P com R1 e R2>>>>>>> d. R1 θ ar r

+Q

Q  1 1  Q R 2 − R1 VP = −  = 4πε 0  R 1 R 2  4πε 0 R 1 R 2

d

V=? em P

R2

−Q

dcosθ

considerando-se a diferença entre R2 − R1=dcosθ e desprezando-se a diferença entre R1 e R2 e r VP =

∇ V=

1 ∂V 1 ∂V ∂V ar+ aθ + aø r ∂θ r sen θ ∂φ ∂r

;

Qdcosθ 4πε 0 r 2

E= − ∇ V

 Qdcosθ Qdsenθ  Qd E = − − ar − aθ  = (2cosθa r + senθaθ ) 3 3 3 4πε 0 r  2πε 0 r  4πε 0 r Definindo-se um vetor d dirigido de −Q para +Q e também um “momento de dipolo” p = Qd C.m como d.ar=dcosθ (dipolo na origem): VP =

p. a r Qdcosθ Qd. a r = = 2 2 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 r 2

Centro do dipolo

+Q

Generalizando-se

V( r ) =

4πε 0 r − r '

(

p. r − r

1 2

r − r'

'

)=

(

p. r − r

'

)

4πε 0 r − r '

d 3

−Q r’

r-r

’

V( r)

r − r' r − r'

r Origem do sistema de coordenadas

EXEMPLO:

E4.9 p = 400πε0(0,6ax− 0,75ay+0,8az) C.m em um dipolo centrado na origem. V=? em PA(0; 0; 5) 27

r − r’ = 5az V( r ) =

z

400πε 0 ( 0,6a z − 0,75a y + 0,8a z ). (5a z ) 4πε 0 53

= 3,2 V

+Q

P y

x

−Q

7-Energia total no campo eletrostático, em uma região. 7.1 Energia em um sistema de cargas pontuais O trabalho realizado por uma fonte externa para trazer uma carga de um ponto distante até um ponto mais próximo de uma outra carga fica acumulado na forma de energia potencial que seria liberada no caso de desligamento da fonte externa. Portanto a energia potencial de um sistemas de cargas será a soma dos trabalhos realizados pela fonte externa para posicionar cargas. Em um universo vazio e sem cargas para trazer a primeira carga não trabalha contra nenhum campo portanto não é realizado trabalho pela fonte externa. pont

O trabalho para trazer a segunda carga e coloca-la no ponto é: W2=Q2V21 Para uma terceira carga a energia acumulada é:

Carga que provoca o potencial

WE= W1+ W2 +W3=0 + Q2V21 + Q3V31+ Q3V32 Para obter simplificações computa-se o trabalho para trazer as cargas em ordem inversa e pelo principio da superposição podemos somar estas duas ultimas expressões: WE= W3+ W2 +W1=0 + Q2V23 + Q1V13+ Q1V12 2WE= Q2V21 + Q3V31 + Q3V32 + Q2V23 + Q1V13 + Q1V12 = Q1 (V12 + V13) + Q2 (V21 +V23 ) + Q3 (V31 + V32) V2 V1 como o trabalho foi computado duas vezes o seu valor é dividido pela metade: 1 WE= Q1V1 + Q2V2+ Q3V3 2 1 n Para “n” cargas a energia total dentro do volume é: WE = ∑ Q m Vm Joules 2 m =1 WE J E a densidade de energia: = 3 volume m

V3

7.2 Energia em um sistema de contínuo de cargas Em uma região com distribuição contínua de cargas: dQm=ρdvm e o somatório se transforma em uma integral: 1 WE = ∫ Vρdv Joules 2 V fazendo-se uso da identidade vetorial : ∇.(VD) ≡V(∇.D)+D.(∇V) e ∇.D = ρ 28

WE =

1 1 1 Vρdv = ∫ V(∇. D)dv = ∫ [∇. (VD) − D. ∇V]dv ∫ V V 2 2 2 V

∫ ∇. (VD)dv = ∫ VD. ds

• A primeira integral pelo teorema da divergência resulta:

V

S

E= −∇V

• A segunda integral resulta: −

1 1 1 1 D. ∇Vdv = ∫ D. Edv = ∫ ε 0 E. Edv = ∫ ε 0 E 2 dv ∫ 2 V 2 V 2 V 2 V logo: WE =

1 1 VD. ds + ∫ ε 0 E 2 dv ∫ 2 S 2 V

Em torno de uma carga pontual, em um volume esférico de superfície com raio b vem: 1 WE = 2

2π π

Q Q 2 1 ∫0 ∫0 4πε 0 r × 4πr 2 r sen θdθdφ + 2 WE =

Q2 Q2 + 4πε 0 b 4πε 0

2π π a

Q2 2 ∫0 ∫0 ∫b ε 0 4 2 π 2ε 02 r 4 r senθdrdθdφ

1  − a

1 Q2 =  b  4πε 0 a

logo o resultado independe da superfície do volume pois a primeira integral diminui na mesma proporção que a segunda aumenta. Calculando-se para um volume com superfície infinita a integral de área é nula portanto: WE =

1 1 D. Edv = ∫ ε 0 E 2 dv Joules ∫ V 2 2 V

EXEMPLOS: 1-Calcular a energia acumulada por metro de um cabo coaxial: E=

ρSa 1 a r (a < r < b) ; WE = ∫ ε 0 E 2 dv ; dv = rdrdφdz 2 V ε 0r

WE =

πa 2 ρ S2 b 1 1 2π b ε 0 a 2 ρ S2 rdrd dz = ln φ 2 ∫0 ∫0 ∫a ε 02 r 2 a ε0

Joules/m

2-Quanto vale a energia acumulada em um sistema de duas cargas pontuais Q1=3nC e Q2= − 3nC separadas por 0,2 metros. Q2 Q1 2WE= Q1 + Q2 4πε 0 d 4πε 0 d

∴

(

)

2

3 × 10-9 Q1Q 2 W E= = = −405 nano Joules 4πε 0 d 4πε 0 0,2

Porque negativa?

E4.11 coordenadas esféricas 10 ≥ r V=100r2 WE = ? é uma esfera porém deve-se integrar a variável junto com o volume E= − ∇V= ∂(− 100r2)/∂r = − 200r 1 WE = 2

2π π 10

2 2 ∫ ∫ ∫ (−200r) ε 0 r senθdrdθdφ 0 0 0

∴

WE =

ε 0 4 × 109 2×5 29

∫

2π

0

π

− cos θ o dφ = 44,51 mJ

CAPITULO 5 CARGAS ELÉTRICAS EM MOVIMENTO, CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 1-Corrente elétrica Cargas elétricas ando por um ponto ou superfície constituem uma corrente elétrica. A corrente elétrica não constitue um campo vetorial, e isto porque não seria possível representar uma corrente por um vetor dentro de um condutor de seção reta variável tal como por exemplo uma esfera, visto que ela teria uma direção diferente em cada seção da esfera. Quando a razão das cargas que am por uma determinada superfície for 1 coulomb/segundo teremos um Ampère. 1 Ampère=1 Coulomb/1 segundo Nos metais as cargas são os elétrons que tem cargas negativas ( nos condutores líquidos as cargas são conduzidas por íons ). Entretanto mais uma vez vamos utilizar cargas positivas para uma definição dentro do eletromagnetismo e como resultado disto a corrente terá o sentido contrário ao movimento dos elétrons em um condutor. I=dQ/dt Assim o campo elétrico e a corrente tem o mesmo sentido em um condutor fluindo portanto dos pontos de maiores potenciais para os de menores potenciais. EeI -

elétron

2- Corrente de condução e corrente de convecção. • Corrente de condução é o movimento dos elétrons dentro de um fio metálico que é feita de átomo a átomo • Corrente de convecção é um movimento de elétrons transportados de um ponto para outro como por exemplo dentro de um tubo de raios catódicos de um monitor de computador em que os mesmos bombardeiam uma película de substâncias fosforescentes com um feixe de elétrons. • Na corrente de condução o limite é o condutor. • Na corrente de convecção o limite é o espaço de movimento das cargas • Na corrente de convecção o movimento das cargas tem o mesmo sentido dos elétrons. Algumas definições que veremos não se aplicam a ambos os tipos de correntes. 3- Densidade de corrente Definição: com a área suficientemente pequena para se considerar a corrente uniformemente distribuída, para uma corrente incremental ∆I que atravessa uma área incremental ∆S temos: ds ∆I no limite temos Jn= lim logo dI=Jnds ∆I=Jn∆Sn Jn ∆S n →0 ∆S onde: Jn densidade de corrente com direção normal ao plano S e medida em A/m2. Integrando-se e com o conceito de se achar a componente de um vetor em uma dada direção vem: I = ∫ J.ds S

onde: ds é o vetor área.

No espaço livre J=0 (não existe cargas) 3.1-Relacionamento pontual entre J e ρ. Tem-se um volume com uma carga incremental Qt, conforme figura, posicionado em t=0 com uma das faces colada na origem tendo um plano colado na sua face mais distante da origem e portanto perpendicular ao eixo x e a uma distancia ∆L desta.Em um tempo incremental ∆t a carga moveu-se de uma distância ∆x. 30

∆Qt=ρ∆v

t=0

∆S

t=∆t

∆x

∆x ∆S

∆L

∆L

vx componente da velocidade na direção de x

A carga total no volume é ∆Qt=ρ∆V=∆S ∆Lρ em um tempo logo ∆t ou pelo plano ∆I=ρ ∆S vx segue finalmente:

∆I =

∆I = ρvx = Jx ∆S

∆Q X ρ∆S∆x = ∆t ∆t

mas: vx= lim

∆t →0

∆x ∆t

J=ρv

Generalizando-se:

onde: v é o vetor velocidade de deslocamento das cargas. Logo J = f(densidade volumétrica de cargas e velocidade de deslocamento) assim como a quantidade de veículos que am em um túnel depende da proximidade entre eles e de suas velocidades. Isto se aplica a qualquer tipo de corrente. 4-Equação da continuidade - continuidade da corrente. O princípio da conservação de cargas estabelece que as cargas não podem ser destruídas nem criadas, embora quantidades iguais de cargas positivas e negativas possam ser criadas nas mesmas quantidades. Assim em uma região confinada dentro de uma superfície fechada: I = ∫ J.ds que pelo teorema da divergência vem I = ∫ ∇. Jdv S

V

onde I é a corrente que atravessa a superfície fechada saindo dela a carga dentro dela decresce na razão negativa de − dQi/dt onde Qi a carga inicial, assim: I = ∫ J.ds = − dQi/dt S

que é a forma integral da equação da continuidade.

Se as cargas fossem elétrons (negativas) teríamos uma taxa positiva ou seja acréscimo de cargas dentro da superfície fechada. Vamos deduzir agora a forma pontual usando o teorema da divergência: d I = ∫ J.ds = I = ∫ ∇. Jdv ; Qi= ∫ ρdv temos ∫ ∇. Jdv = − ∫ ρdv S V V V dt V com o volume constante a derivada transforma-se em parcial e podemos levar ela para dentro da integral: ∂ρ ∂ρ ∫V∇. Jdv = − ∫V ∂t dv integrando-se em um volume: ∇. J = − ∂t que é a forma pontual Usando-se a interpretação física do resultado de uma operação de divergência que é o quanto de uma grandeza esta “deixando” ou “entrando” em um volume vemos que existem sumidouros dentro do volume pois a divergência é negativa. Este sumidouro é a corrente para fora do volume que é alimentada pelas cargas. 31

EXEMPLO: E5.2 Haytt a) I=?

superfície esférica centrada na origem com r=1mm com J=10r−1,5ar Não precisa integrar porque é a superfície de uma esfera

I = ∫ J.ds = ∫

π

0

S

∫

2π

0

10r

−1,5

a r . r sen θ dθdφa r =10r−1,5 4πr2=40π r =40π 0,001 =3,97 A 2

c) Qual a taxa de variação de ρ? ∇. J = − ∇. J =

1 ∂r 210r −1,5 = 5r −2,5 r2 ∂r

−

∂ρ ∂t

∂ρ ∂ρ = 5r −2,5 com r=1mm = −1,58 × 108 C/m3 ∂t ∂t

d) com que taxa esta variando a carga no interior da esfera de r=1mm? Como existe corrente através da superfície de 3,97 Amp a carga esta diminuindo − 3,97 C/seg. 4- Condutores metálicos átomo

E

Banda de condução Zona proibida Banda de valência

condução valência

condução

condução

Zona proibida valência valência

condutor

dielétrico

semicondutor

Os átomos tem os elétrons em orbita conforme os níveis de energia sendo que os elétrons dos níveis mais altos estão na "banda de valência". Estes elétrons da banda de valência são os elétrons de condução ou ainda livres que podem se liberar do átomo em determinadas circunstâncias.. Acima desta faixa existe uma em que a energia é proibida podendo: ∗ não existir:neste caso teremos um condutor ∗ ser bastante larga:neste caso teremos um isolante ∗ ter um valor intermediario:neste caso teremos um semicondutor Acima desta faixa temos a "banda de condução". Sob ação de um campo elétrico externo os elétrons da banda de valência podem atravessar a faixa proibida e atingindo a banda de condução onde fica frouxamente ligado ao átomo podendo migrar de um átomo para o outro constituindo uma corrente elétrica. • No caso de condutores este campo elétrico pode ter um valor moderado e nos bons condutores (cobre, alumínio, prata, etc.) ele pode ser ainda mais moderado. • No caso dos dielétricos (mica, asbestos, derivados do petroléo, etc) este campo deve ser bastante intenso para que os elétrons atravessem a banda proibida e neste caso se diz que rompeu-se o dielétrico. • No caso intermediário dos semicondutores (silício, germanio, etc) sob condições controladas eles podem se tornar condutores, sendo portanto úteis na fabricação de componentes eletrônicos. Do acima exposto podemos tirar duas conclusões: ♦ Dentro de um condutor E=0 em condições estáticas, caso contrário não haveria a condição estática. ♦ Dentro de um dielétrico não pode haver cargas livres provocadas por campos elétricos, apenas poderiam existir se provocadas por trabalho mecânico tal como atrito. 4.1-Velocidade de arrastamento (drift) e mobilidade do elétron. J=ρ v mas dentro de um condutor v tem uma notação vd e se denomina “velocidade de arrastamento” O campo elétrico submete o elétron a uma força: F=QE como no caso Q é um elétron F= − eE 32

onde "e" é a carga do elétron = − 1,609×10−19 Coulombs O elétron acelerado por F começa a se chocar com a estrutura cristalina gerando calor e uma força de atrito Fa. Quando F= Fa ele adquire uma velocidade constante vd. Para poder-se tabelar vd em diversos materiais, portanto com diferentes estruturas cristalinas, em função de um determinado E foi criada a grandeza µe que é a “mobilidade do elétron” (positiva por definição) e tem unidade m2/Volts.segundo: vd= − µeE (sinal negativo devido ao sentido de deslocamento do elétron) µe é também diferente para cada temperatura devido a maior ou menor vibração desta estrutura causando mais choques do elétron com a mesma e portanto maior força de atrito. Valores típicos da mobilidade dos elétrons são na temperatura ambiente: Al 0,0012 m2/Volts.segundo Cu 0,0032 m2/Volts.segundo Ag 0,0056 m2/Volts.segundo Finalmente para um condutor podemos escrever:

J=ρevd= − ρeµeE

onde: ρe é a densidade de carga elétrons, que é negativa e assim J e E apresentam orientações iguais tal como ocorre em um condutor. Mais adiante no estudo do campo magnético é mostrado como se calcula vd e µe de forma indireta em um condutor com o auxilio do efeito Hall. EXEMPLOS: 1-Seja um fio de cobre com área de 1,5 mm2 e extensão 1000 metros submetido a uma ddp entre os dois terminais de 220 V. Qual a velocidade de arrastamento dos elétrons? esta é uma corrente de condução logo E=220/1000=0,22 V/m vd= − 0,0032×0,22= − 0,000704 m/seg ou seja 2,534 m/h ou ainda 22km por ano. 2-Um elétron de um feixe de raios catódicos esta submetido à um potencial de 1000V. Se o elétron parte do repouso qual a sua velocidade? esta é uma corrente de convecção E Tela do tubo de raios catódicos do monitor

Canhão do tubo

q= − 1,6×10−19 C m = 9,1×10−31 kg V=1000 V =Vab

Va=1000 V

a

Vb=0 V

Wab = −q ∫ E.dL = −qVab b

considerando-se a variação de energia na fonte externa temos: Wab=(1/2)m(vb)2 − (1/2)m(va)2 e como va=0 (repouso) logo − qVab=(1/2)m(vb)2 2 7 −19 −31 − (− 1,6×10 )×(1000)=(1/2)×9,1×10 (vb) ∴ vb=1,88×10 m/seg=18800 km/seg Comparando-se estes dois exercícios: 18800 km/seg>>>>>0,00074 km/seg ou seja muito maior que a velocidade da corrente de condução. a

5- Resistência

− ∫ E.dL V R= ab = b I ∫ J.ds S

• J e E são uniformes no interior de um condutor com corrente não variável no tempo. • E é constante ao longo de um condutor com mesma direção de dL e ds. Assim com b>a: 33

a

a

a

− ∫ E.dL − ∫ EdL − E ∫ dL EL V b R= ab = b = b = = I JS J.ds Jds J ds ∫ ∫ ∫ S

S

R=

S

EL JS

6-Condutividade Visto que a resistência de um condutor depende do tipo do material, forma e tamanho torna-se necessário definir uma grandeza que varie só com a substância. Esta grandeza é a condutividade σ (sigma). A unidade é mho/metro com 1mho=ampère/volt=1Siemens (que é a unidade mais moderna). mho é ohm ao inverso por isto o símbolo também é o omega ao inverso Ω. O relacionamento entre J e E a a ser dado por: J=σE (que é a forma pontual da lei de Ohm) Pode-se conseguir agora uma forma mais simples de cálculo da resistência baseada na σ: R=

EL EL L = = JS σES σS

R=

L σS

Valores típicos de condutividade: Al-->3,82×107 mho/metro Cu-->5,80×107 mho/metro

Ag-->6,17×107 mho/metro

O valor inverso da condutividade é a resistividade com unidade ohm/metro. Não usaremos a resistividade por isto não vamos atribuir símbolo para ela.

como ρe é negativa σ é positiva.

J= − ρeµeE ; J=σE logo σ= − ρeµe

Com temperatura mais elevada µe diminui devido a maior vibração da estrutura cristalina em conseqüência: • condutividade → diminui (sentido contrário ao dos semicondutores!!) e portanto: • resistividade → aumenta • vd (velocidade de arrastamento) → diminui • J → diminui 7-Condições de contorno em condições estáticas. Em condições estáticas em um condutor: • E=0 no interior do condutor. • Qualquer carga que exista dentro do condutor é forçada pela atração ou repulsão com os elétrons para a superfície, sendo retida pela estrutura cristalina do mesmo, constituindo em uma ρS que pode alterar os campos externos. Deve-se verificar quais são estas alterações e estas verificações são denominadas “condições de fronteira” ou “condições de contorno”. Serão feitas outras verificações similares mais adiante sempre usando-se a mesma técnica e ferramentas. Condições de contorno condutor× ×vácuo: Vácuo Dn

D Dt

Condutor E=0

∆s ++++++++++

a

∆w

b ∆h

∆h ++++++++++ d ∆w c

E

En

Fronteira Infinita

Et

Cargas livres dentro do condutor expulsas para a superfície

legenda: n = normal e t = tangencial Decompondo-se o campo externo em duas componentes onde os índices indicam as direções: 34

Componentes tangenciais No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem:

b

c

d

a

a

b

c

d

∫ E.dL =0= ∫ + ∫ + ∫ + ∫

Dentro do condutor E=0 portanto resta apenas o trecho do percurso fora do condutor: Et ∆w −En,em b(∆h/2) + En,em a(∆h/2)=0 ⇒ ∆h→0 e ∆w pequeno e finito ⇒ ∆Va,b=0 desprezando-se as diferenças de potencial devido a presença de cargas na superfície Et ∆W=0, como ∆W≠0 logo Et=0 e também Dt=0 Componentes normais Aplicando-se no pequeno cilindro a Lei de Gauss: Q = ∫ D.ds = ∫ S

topo

+∫

base

+∫

lado

⇒ Et=0 logo a integração no lado é igual a zero ⇒ E=0 dentro do condutor (condições estáticas) logo a integração na base é também igual a zero ⇒ No topo com Dn constante ∆sρs=Dn∆s portanto Dn = ρs e En= Dn/ε0 Resumindo: Et=0

En= Dn/ε0

Dt=0

Dn=ρs

Logo: Em condições estáticas uma superfície condutora é uma equipotencial pois Et=0 Generalizando-se a última expressão: D=aNρs

vácuo condutor

aN

EXEMPLO: E5.5 do Haytt P(−2 ; 4 ; 1) superfície condutor×vácuo com E=400ax −290ay+310az V/m a) |EN| em P=? D=aNρs logo |EN| = |E| = 583 V/m b) ρs em P=? |D|=ρs |D|=|E|ε0= 583×8,854×10−12 = 5,16 nC/m2 8- Semicondutores Estes materiais seguem a lei pontual de Ohm J=σE, isto significa que sua σ não se altera com o aumento da corrente e com a direção da densidade de corrente. Nestes materiais dois tipos de portadores de cargas estão presentes: • elétrons • buracos Os "buracos" são estados de energia na banda de valência que se localizam nas posições vagas deixadas pelos elétrons que atingiram a banda de condução após atravessar a banda proibida (que neste caso é um pouco maior que nos condutores). Os buracos se movem também de átomo para átomo na rede cristalina. Os buracos podem ser tratados como tendo: • uma carga positiva "e" de igual módulo da carga do elétron 35

• uma mobilidade µh≠µe • uma densidade volumétrica ρh≈ρe (eles se originam das "vagas" deixadas por estes) • movimento em direção oposta a do elétron por ter cargas de sinal oposto O elétron e o buraco contribuem para a corrente total logo: σ = − ρeµe+ρhµh Os valores de µh aumentam muito mais com a temperatura do que µe diminui com esta. Esta uma característica importante destes materiais, que os fazem ter um comportamento oposto ao dos condutores no que se refere a condutividade porque com aumento da temperatura µh>>>>µe e assim σ cresce. Por exemplo: Germanio na temperatura de 27° C temos: |ρe|=|ρh|=4,0 C/m3 (igual), µe=0,36 m2/volts.seg, µh=0,17 m2/volts.seg σ27 = − (− 4)0,36+4(0,17)=2,12 mho/metro • com temperatura de 87°C ⇒ σ87=10σ27 σ • com temperatura de −18° C ⇒ σ−18= 27 10 Para componentes eletrônicos esta realimentação do fenômeno pode ser fatal: mais temperatura →mais corrente → mais temperatura → mais corrente... até queimar o componente. Uma solução adotada no projeto de U mais modernas consiste em baixar a tensão de alimentação de 5 V na linha 486 para 3,5 V na linha dos Pentium e até 3,3 V na linha Pentium MMX. Outra solução é aumentar o tamanho das U’s. 10-Dielétricos As características principais destes materiais são: • Pouca ou nenhuma condutividade: ∗ nos casos reais é baixa (banda proibida é larga logo existem poucos elétrons livres) e denomina-se neste caso o dielétrico de “dielétrico real”. ∗ Se σ=0, ρ=0, ρS=0 e se também for constituído de material isotrópico (as propriedades são independentes da direção pois a estrutura molecular esta orientada aleatoriamente) denomina-se neste caso o dielétrico de “dielétrico perfeito”. • Capacidade de armazenar energia elétrica. O modelo matemático é o dipolo: Pela ação de um campo elétrico externo, a energia potencial é armazenada como uma mola pelo deslocamento das posições das cargas positivas e negativas contra as forças atômicas e molecular do átomo. Núvem de elétrons

E +

Centro (-) deslocado constituindo um dipolo

Este deslocamento das moléculas podem ser de duas formas dependendo do dielétrico: ◊ moléculas polares - que já possuem um dipolo permanente ocasionado pela existência de um centro de gravidade de cargas positivas e negativas constituindo dipolos. 36

◊ moléculas não polares - não tem previamente o dipolo porém na presença de um campo elétrico externo que desloca suas cargas em direções opostas é formado um dipolo. Na presença de um campo elétrico externo suficientemente forte estes dipolos se alinham com uma só direção. Os dipolos assim constituídos são denominados de cargas ligadas ou cargas de polarização porque os elétrons não são livres, não se liberam dos átomos e apenas se afastam do núcleo do átomo. Momento de dipolo p=Qd C.m

d

+

-

Para um volume ∆v com "n" dipolos temos a soma vetorial pi: n∆v

ptotal= ∑ p i C.m i =1

por unidade de volume no limite temos a “polarização” P: n∆ v

P = lim ∆1v ∑ pi ∆v → 0

C.m/m3=C/m2

P mesma unidade de D !!!

i =1

np

C/m2

P = lim ∆v ∆v → 0

tomando-se o valor médio p de pi:

11 - Densidade de fluxo elétrico D incluindo-se os materiais dielétricos.

P(r; θ; φ)

E (UNIFORME)

PONTO QUALQUER FORA DO VOLUME ONDE CALCULA-SE V +

-

+

+

-

+

+

+

-

+

-

+

-

DIELÉTRICO REAL (COM CARGAS LIVRES)

-

+

VOLUME DENTRO DO DIELÉTRICO CARGAS LIGADAS QUE ATRAVESSAM A SUPERFICIE DO VOLUME É

Em coordenadas esféricas, os potenciais V produzidos por cada uma das cargas ligadas no ponto P situado a uma distância r (coordenada esféricas), com r de um valor tal que o ponto se situe fora do volume, é dado por: p.a r dVP = onde p=Qd C.m 4πε 0 r 2 np

Para "n" dipolos e tomando-se o valor médio destes por unidade de volume P = lim ∆vi logo: ∆v → 0  1  1 P. ∇  ∂   r  r P.a r a  1 a r = 2r ∴ VP = ∫ VP = ∫ dv mas dv ∇  = 2 V V 4πε r  r r 4πε 0 ∂r 0 utilizando-se ∇.(NA)≡A.∇N+N(∇.A) com N=1/r e A=P temos: ∇.(P/r)=P.∇(1/r)+(1/r)∇.P 37

VP =

1  (∇. P)dv  P  ∫V ∇.   dv - ∫V   r 4πε 0  r  Teorema da divergência

VP =

 (−∇. P )  1   P  P  P ∇.   dv = ∫   .ds logo VP =  ∫   .ds + ∫   dv  V S r  V  r 4πε 0  S  r  r  

∫

(1)

O potencial no ponto P devido a ρ de cargas livres dentro do volume, dividindo-se ρ em ρS e ρV é: Q ∫ ρdv = 1   ρ S ds +  ρ dv VP = (2) = V  ∫V  r   4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0  ∫S  r  Comparando-se (1) e (2) vemos que quando temos polarização é formada no volume uma densidade volumétricas de cargas ligadas ρP ρP= −∇.P C/m3 e QP= ∫ (−∇. P )dv C V

e sobre a superficie do volume é formada uma densidade superficial de cargas ligadas ρPS: ρPS=|P| C/m2 e QPS= ∫ P.ds C S

Dentro do volume temos então uma densidade volumétrica de cargas total ρT ρT=ρ+ρP=ρ −∇.P C/m3

Por outro lado quando foi definida a 1ª equação de Maxwell:

Div. é uma operação que envolve apenas as cargas dentro de um volume

∇.D=∇.Eε0=ρ (cargas livres)

Redefinindo a 1ª equação de Maxwell em função desta densidade de cargas totais dentro do volume: ∇.Eε0=ρT=(ρ −∇.P) ∴ ∇.(ε0E+P)=ρ (cargas livres) fica mais conveniente manter a 1ª equação de Maxwell conforme já formulada e exprimir o vetor D por: D=ε0E+P onde: D é a densidade de fluxo em quaisquer dielétricos. E é o campo provocado no ponto P pelas cargas livres dentro do volume mais o campo externo que é provocado por cargas livres. Portanto ε0E é a densidade de fluxo provocado por estas cargas livres. P é a densidade de fluxo provocada pelas cargas ligadas (C/m2). Quando não houver polarização teremos de novo D=ε0E 12 - Relação entre P, E e D A susceptibilidade elétrica é uma relação adimensional entre P e E que é que tem como notação χe (chi): P=χeε0E

(1)

em um dielétrico D≠ ≠ε0E porque D=ε0E+P logo não vale P=χeD!! Para simplificar as fórmulas tornando-as mais parecidas com as anteriores define-se também uma “permissividade relativa εR” (adimensional): χe =εR−1 D=ε0E+P=ε0E+χeε0E=ε0E+(εR−1)ε0E=εR ε0E

D=εR ε0E 38

adota-se uma “permissividade” ε: ε=εRε0 F/m, e assim nos dielétricos:

D=εE

Verificando-se vem: em (1) vem P = χeε0E = (εR−1)ε0E = εRε0E− −ε0E=D − ε0E ∴ D = ε0E+P (mesmo resultado) Usando-se a permissividade relativa que é tabelada em qualquer manual não precisamos fazer considerações sobre dipolos, momentos de dipolos, polarização e susceptibilidade. 1 Quanto maior o valor de εR mais o dielétrico tem capacidade de acumular energia WE = ∫ D. Edv 2 pois para um mesmo E, o módulo de D é maior e portanto melhor é o dielétrico. Para o ar atmosférico a εR=1,0006 logo ε=8,854×10−12 F/m para fins práticos. EXEMPLO: E5.8 HAYTT P=? no interior de um dielétrico? a) D=1,5 µC/m2 e E=15 kV/m D=ε0E+P 1,5×10−6=ε015000+P P=1,328 µC/m2 b) D=2,8 µC/m2 ; χe=1,7 χe =εR−1 ∴ εR=2,7 ε=εRε0=2,7ε0=23,90×10−12 F/m 2,8 × 10 −6 D=εE ∴ E = = 0,117×106 23,9 × 10 −12 D=ε0E+P 2,8×10−6=0,117×106ε0+P ∴ P=1,764 µC/m2 c) 1020 moléculas/m3 cada com p=1,5×10−26 C.m e E=105 V/m (então é bastante forte para polarizar) P=1020×1,5×10−26=1,5×10−6 C/m2 d) E=50 kV/m e εR=4,4 D=εRε0E ; D=50×103×4,4×8,854×10−12=1,947×10−6 C/m2 D=ε0E+P ∴ 1,947×10−6=8,854×10−12×50×103+P ∴ P=1,504 µC/m2 13-Condições de contorno para dielétricos perfeitos a - dois dielétricos perfeitos diferentes b - dielétrico perfeito×condutor a- Contorno de dois dielétricos perfeitos diferentes

ε1

D

Dn Dt

ε2

∆s

a

∆w

∆h ∆w

b ∆h

E

En Et

Fronteira Infinita dentro de dielétricos perfeitos

ρS=0 (não existem cargas livres dentro de um dielétrico perfeito em condições estáticas)

componentes tangenciais: No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem:

Et1∆w−Et2∆w − En,em b∆h + En,em a∆h=0 sem cargas na superfície Va,b=0 e portanto: Et1∆w−Et2∆w=0 ou: Et1=Et2 39

b

c

d

a

a

b

c

d

∫ E.dL =0= ∫ + ∫ + ∫ + ∫

Ou seja a diferença de potencial entre dois pontos na superfície da fronteira é a mesma nos dois lados. A densidade de fluxo elétrico entretanto varia: D t1 ε 1 D t1 D ou = E t1 = E t2 = t2 = D t2 ε 2 ε1 ε2 componentes normais: Considerando-se o cilindro com lados infinitesimais: Q = ∫ D.ds = ∫ + ∫ + ∫ S

topo

base

lado

Nos lados Dt .ds se anula em cada metade devido a direção de ds No topo e na base: Dn1∆s − Dn2∆s=∆Q=ρS∆s ∴ Dn1 − Dn2=ρS mas ρS=0 em um dielétrico perfeito assim:

Dn1=Dn2

A densidade de fluxo elétrico é portanto contínua na direção normal. ε1En1=ε2En2

O mesmo não acontece com E que desta vez é descontinuo: D t1 ε 1 = D t2 ε 2

ε1En1=ε2En2

Resumindo: Et1=Et2

Dn1=Dn2

No caso de D ou E fazerem um ângulo com a superfície da fronteira podemos decompor o vetor em suas componentes normais e tangenciais conforme figura obtendo-se: (1) Dn1=D1senß1=D2senß2=Dn2 D t1 D1 cos β 1 ε 1 = = D t2 D 2 cos β 2 ε 2 (2) D1cosß1=

D1 Dn1 D2 β2 Dt2

ε1 D2cosß2 ε2

β1 Dt1 Dn2

ε1 tgß2 ε2 b- Contorno entre um dielétrico perfeito e um condutor dividindo-se (1) por (2) vem: tgß1=

Dielétrico Dn

∆s

D

++++++++++

Dt Condutor E=0

a

∆w

b ∆h

∆h ++++++++++ ∆w

E

En

Fronteira Infinita

Et

Cargas livres dentro do condutor expulsas para a superfície

Tem portanto a mesma configuração de cargas na fronteira que a fronteira entre um condutor×vácuo, assim a demonstração é a mesma e os resultados também exceto que Dn é dentro de um dielétrico perfeito. Resumindo:

Et=0

En=

Dn ε

Dt=0

Dn=ρs

Generalizando-se a última expressão para este contorno: 40

EXEMPLO E5.9 do Haytt a) En1=?

z<0 ⇒ εR1=2,5 z>0 ⇒ εR2=4 En1=Ez1az=70az V/m

b) Et1=?

E1−Ez1az=(−30 ; 50 ; 0) V/m

c) |Et1|=?

aN

dielétrico á condutor

D=aNρs

E1= −30ax+50ay+70az V/m

|Et1|=(−302+ 502)1/2=58,3 V/m

d) |E1|=?=91,1 V e) β1=?

E1cosβ1=Et1 ∴ β1=cos−1(|Et1|/|E1|)=50,21º

E5.10 a) Dn2=? Dn2= Dn1=ε1E n1=ε0 εRE n1=8,854×10−12×2,5×70,3=1,549 nC/m2 b) Dt2=?

Lembrando que E t2=E t1 tem-se Dt2=ε2E t2=ε2E t1= 8,854×10−12×4×58,3=2,064 nC/m2

c) D2=?

D2=ε2E t1+ε1E n1=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) nC/m2

d) P2=?

P2=D2 − ε0E 2=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − ε0(D 2/ε0εR)=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − (D 2/εR)

P2= (−0,797 ; 1,328 ; 1,162) nC/m3 e) β2=?

D2cosβ2=Dt2

∴ |(−1,062 ; 1,771 ; 1,549)| ×10−9 cosβ2=2,064×10−9 ∴ β2=37,059º

14 - Capacitâncias e capacitores Condutor Só existem estas cargas logo: carga total zero

−Q1

-

D E

+

+ + + +

Condutor +Q2

Dielétrico perfeito

V0

Neste sistema temos : • As cargas estão todas na superfície do condutor porque as condições são estáticas. • De acordo com as condições de fronteira só existe componente do campo elétrico na direção normal às superfícies condutoras e cada condutor é uma superfície equipotencial (Et=0) • O fluxo e campo elétricos estão dirigidos de +Q2 para − Q1 Se transferirmos uma carga +dQ (positiva) do condutor carregado negativamente para o outro condutor carregado positivamente: ⇒ realiza-se trabalho contra o campo elétrico aumentando o potencial na região com carga +Q2. ⇒ pela Lei de Gauss, a densidade de fluxo elétrico aumentaria na superfície carregada positivamente em conseqüência o campo elétrico. 41

⇒ a ddp entre as duas superfícies condutoras aumentaria na mesma proporção da carga transportada logo podemos escrever uma relação constante: ∫ D.ds = Q 1C/Volt=Farads C = S+ − ∫ E.dL V0 −

15 - Energia no Capacitor A energia necessária para carregar um capacitor até uma tensão V que eqüivale a energia para transferir de uma placa para outra uma carga Q. Pelo principio da conservação da energia esta energia fica acumulada no capacitor. Em termos de infinitésimos temos dW=Vdq ; V=

Q C

logo dW=

Q dq C

Se o processo começar com uma carga zero e continuar até que uma carga Q seja fornecida o trabalho total que corresponde à energia acumulada no capacitor será WE: Q2 1 Q WE = ∫ Qdq = Joules C 0 2C

CV 2 QV que eqüivale a: WE = Joules = 2 2

z Exemplo: Capacitor de duas placas paralelas condutoras e um dielétrico perfeito entre elas. z=d -ρS En Condição de fronteira

∫ D.ds = ∫ ρ a . dsa C= − ∫ E.dL − ρ a . dza ∫ ε S

S

+

0

−

d

S

S

z

z

z

z

z=0

+ρS

y

ρ S S εS Q 2 ρ 2S S 2 Sdρ S2 Farads ; W Joules = = = = E = 2εS ρSd d 2C 2ε d ε

Condição de fronteira

42

CAPITULO 7 EQUAÇÕES DE LAPLACE E POISSON 1-Equação de Poisson ∇.D=ρ ; D=εE ;

E= −∇V ⇒ ∇.D=∇.εE= − ∇.(ε∇V)=ρ ∇. ∇V = −

ρ ε

que é a equação de Poisson.

A equação de Poisson só é válida para uma região homogênea em que a permissividade é constante. Expandindo a expressão da esquerda em coordenadas cartesianas: ∂D ∂D y ∂D z ∂V ∂V ∂V ; ∇V= ax+ ay+ az ∇.D= x + + ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z  ∂V  ∂  ∂V   ∂V  ∂    ∂y  ∂  2 2 2 ∂x   +  ∂z  = ∂ V + ∂ V + ∂ V ∇.∇V =  +  ∂x ∂y ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Nabla dois ou Laplaciano ∇2 ∇2V= −

ρ ε

com ε = constante (região homogênea)

2-Equação de Laplace Em uma região sem cargas (ρ=0), porém sem que isto implique não existir cargas grupadas de quaisquer formas nas fronteiras, como fontes de campos no interior da região. ∇2V=0

cilíndricas: esféricas:

que é a equação de Laplace.

∂V 1 ∂ [r ( ∂r )] 1 ∂ 2V ∂ 2V + 2 + ∂r r r ∂φ 2 ∂z 2 2 ∂V ∂ [sen θ (∂V ∂θ )] 1 ∂ [r ( ∂r )] 1 1 ∂ 2V 2 + 2 + 2 ∇ V= 2 ∂r ∂θ r r sen θ r sen 2 θ ∂φ 2 ∇2V=

A equação de Laplace é uma equação diferencial parcial do segundo grau. A equação de Laplace fornece um meio de se obter a função potencial dentro de um volume limitado por superfície condutoras. A função potencial neste caso fica sujeita às condições de contorno estabelecidas e a solução desta equação depende destes valores nas fronteiras. “Aplicando-se a equação de Laplace em uma região em que não existe cargas para qualquer configuração de eletrodos ou condutores possíveis nas fronteiras o campo produzido deverá ser tal que ∇2V=0” Cargas nas fronteiras gerando V dentro da região

Região fechada +

V=?

ρ=0

+ + + +

43

V conhecido em fronteiras equipotenciais (superfícies condutoras)

3-Soluções da equação de Laplace Como a equação de Laplace é uma equação diferencial parcial do segundo grau. O método mais simples de resolver esta equação é o da integração direta mais só serve se a variação for com apenas uma das coordenadas, ou seja variações unidimensionais. Para variações com duas ou três coordenadas o método é a solução produto que necessita, dependendo do sistema de coordenadas adotado, utilizar ferramentas matemáticas avançadas tais como funções de Bessel e Fourrier, harmônicos esféricos e cilíndricos e decomposição por séries infinitas. 4-Solução por integração direta. Nos três sistemas de coordenadas esta solução se resumem em cinco casos porque: ♦ no sistema de coordenadas cartesianas só existe um caso: tanto faz a variação com x,y ou z porque existe simetria. ♦ no sistema de coordenadas cilíndricas só existem dois casos: a variação com z é igual à variação com z em coordenadas cartesianas. ♦ no sistema de coordenadas esféricas também só existem dois casos: a variação com Ø é igual à variação com Ø em coordenadas cilíndricas. 5-As cinco soluções da equação de Laplace por integração direta. 5.1-Sistema de coordenadas cartesianas ∂ 2V Com V=f(x) unicamente vem: ∇ 2V = 2 = 0 que a para uma derivada total: ∂x 2 dV d  dV  dV = 0 ou = A ∴ dV=Adx e V=Ax+B   = 0 integrando-se duas vezes vem: 2 dx dx  dx  dx Generalizando-se: V=Ak+B onde: k=x,y ou z A e B são as constantes de integração Para se levantar as constantes de integração precisamos das condições de contorno. EXEMPLO: V=f(x) segue que: ⇒ com x constante V também é constante o que determina uma superfície equipotencial que eqüivale em condições estáticas uma superfície condutora. ⇒ a superfície em que x é constante é um plano infinito perpendicular ao eixo x. ⇒ dois planos como este podem ser considerados fronteiras de uma região sem cargas (podendo existir cargas nestas fronteiras gerando os potenciais dentro da região). ⇒ fixando-se os valores de potencial nas fronteiras com auxílio da Equação de Laplace pode-se determinar a variação de potencial no volume limitado pelas fronteiras. Isto é o que existe em um capacitor de placas paralelas nos quais todas as cargas estão na superfície dos condutores e não existe cargas entre as placas. Fixando-se valores nas fronteiras: V1 V=V1 em x=x1 V=V2 em x=x2 V2 x1 substituindo-se em V=Ax+B tem-se um sistema de equações do primeiro grau: x2 V1=Ax1+B V2=Ax2+B resolvendo-se o sistema levanta-se as constantes de integração A e B:

44

V (x - x 2 ) − V2 (x - x1 ) V1 − V2 V x − V1 x 2 ; B= 2 1 e V = Ax + B = 1 x1 − x 2 x1 − x 2 x1 − x 2 Fixando-se os valores de V1 e V2 na fronteira, calcula-se a função potencial no interior de um volume. A=

EXEMPLO: Usando-se a Equação de Laplace calcular a capacitância de um capacitor de placas paralelas: fazendo-se: V2=0 em x=0 (referência dos potenciais ) V1=V0 em x=n V1=Ax1+B V2=Ax2+B

0=A(0)+B V0=An+B

∴ B=0 ∴ A=(V0 − 0)/n

V1=0 z y V2=V0 x

x=n +ρS

aN

−ρS

aN

V0 x n onde: V a função que indica a variação do potencial entre as placas do capacitor com referência na placa situada em x=0. V0 é a ddp entre as placas  V x d 0   n  εV D=εE= − ε∇V ; D = εE = −ε ax = − 0 ax dx n Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=DnaN e Dn=ρs onde: aN é um unitário que aponta do condutor para o dielétrico. logo em V=Ax+B temos V =

Na placa situada em x=n temos: εV εV εV0 ax logo Dn= − 0 aN= − 0 (−ax)= n n n

εV0 significando que em x=n temos cargas positivas n εV0 εV S A cargas na placa com cargas positivas é: Q = ∫ ds = 0 s n n εV0S εS logo C= = nV0 n εS ou C= com “d” a distância entre as placas (mesmo valor encontrado anteriormente usando-se a Lei d de Gauss e potencial entre dois pontos). ρS=

Teorema da unicidade “Se uma resposta satisfaz uma condição de contorno também satisfaz a equação de Laplace ou seja: qualquer outro método aplicado diferente da equação de Laplace dará o mesmo resultado para os valores da função V na região”. 5.2-Sistema de coordenadas cilíndricas 5.2.1-Variando V somente em função da coordenada r V=f(r) com r constante temos V constante, logo isto gera superfícies equipotenciais cilíndricas concêntricas com o eixo z ou seja cabos coaxiais ou capacitores coaxiais. Podemos escrever com derivadas totais: 1 d[r( dV dr )] =0 r dr como r esta no denominador r≠0 e permite que se multiplique ambos os lados por r. 45

d[r( dV dr )] dr

= 0 integramos r( dV dr ) = A ou dV=A(dr/r) portanto V=Alnr+B

EXEMPLO: Usando-se a Equação de Laplace calcular a capacitância de um cabo coaxial: Coloca-se o potencial zero de referência na capa externa do cabo ou no cilindro de raio maior igual a "b" e ite-se que ρ=0 no dielétrico entre os cabos (dielétrico perfeito). V=V0 em r=a V=0 em r=b com b>a Substituindo-se em V=Alnr+B temos: 0=Alnb+B ∴ B= − Alnb V0=Alna+B ∴ V0=Alna −Alnb=Aln(a/b) V=V0 z ou logo: V0 V ln b A= B = − Alnb = − 0 a ln a b ln a b V=0 b agora podemos escrever : ln b r V0 ln r V0 ln b V0 V= − = (ln r - ln b) = V0 b D d (ln u ) = 1 du ln a b ln a b ln a b ln a dx u dx b   ln  d  V0 r   ln b  r   dV V0 d ln b εV0 a D=εE= −ε∇V D = −ε ar = − ar = ε ar = ar dr dr dr ln b a rln b a O sentido de D determina cargas positivas em r=a Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=Dnan e Dn=ρs εV0 εV 2πaL εV0 2πL 2πεL Q a,comp L = ∫ ρds = ∫ C= = 0 = aln b a aln b a ln b a ln b a

(

)

5.2.2-Variando V sómente em função da coordenada φ V=f(φ) as superfícies equipotenciais para cada valor de φ serão planos radiais em torno do eixo z 1 d 2V =0 E r 2 dφ 2 V=V0 em φ=β como r esta no denominador tem valor diferente de zero. Neste caso isto também significa que os planos não se tocam. ρS 2 d V Multiplicando-se por r2 ambos os lados =0 β dφ 2 V=0 em φ=0 Integrando-se duas vezes dV=Adφ e finalmente: V=Aφ+B EXEMPLO: Calcular a capacitância deste sistema (que seria mais difícil pelos métodos anteriores) Fixando-se valores nas fronteiras e itindo-se não haver cargas livres entre os planos: V=V0 em φ=ß V=0 em φ=0 Levantando-se os valores das constantes de integração: V V=Aφ+B ; B=0 ; V0=Aβ+B logo: A= 0 β 46

V0φ Volts, que é a variação da função V entre os planos. β 1 dV V D=εE= − ε∇V D= −ε aø= − ε 0 aø pelo sentido de D temos cargas positivas em φ=β r dφ rβ Na fronteira condutor×dielétrico temos: |Dn|=ρs r2 z1 εV r εz r εV z 0 Q φ =β = ∫ ∫ drdz = 0 1 ln 2 C ≅ 1 ln 2 F/m r1 0 βr r1 r1 β β V=

r1 para evitar curto-circuito e r2 e z1 para evitar capacitância infinita 5.3-Sistema de coordenadas esféricas. 5.3.1-Variando V somente em função da coordenada r. V=(r) resulta que as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas com a origem. 2 dV 1 d[r ( dr )] =0 r2 dr r≠0 multiplicando-se ambos os lados por r2 vem: A r 2 dV dr = A ; V= − + B r

(

)

EXEMPLO: Calcular a capacitância entre duas esferas concêntricas Fixando-se valores nas fronteiras e itindo-se não haver cargas livres entre as esferas: V=V0 em r=a b>a V=0 em r=b Levantando-se os valores das constantes de integração: A A 0=− +B V0 = − + B b a V=0 V0 a V0 1 1 − V0 A a = b B= A= B= b b 1 −1 1 −1 b b D b a b a 1 −1 A b V = V0 r V= − + B 1 −1 r a b que é a variação da função V entre os planos.  1 −1  b d  V0 r  1 −1   a b a D=εE= −ε∇V= −ε dV ar D = −ε r dr dr 1 1 εV0 d r − b εV0 D=− ar portanto cargas positivas em r=a = 2 1 −1 1 −1 dr r a b a b Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=DnaN e Dn=ρs

(

(

)

)

Q r = a = ∫ D n ds =Dn4πa2=4πa2 com b→∞

(

)

4πεV0 εV0 = 1 −1 a 2 1a − 1 b a b

(

) (

)

C=

(

C=4πεa Farads esfera de raio “a” solta no espaço 47

4πε 1 −1 a b

)

Farads

V=V0

5.3.2- Variando V somente em função da coordenada θ V=f(θ) como V varia apenas com θ as superfícies equipotenciais são cones concêntricos com o eixo z e com vértice na origem. d[senθ ( dV dθ )] 1 =0 r 2 sen θ dθ Com r≠0, θ≠0 e θ≠π vem multiplicando-se ambos os lados por r2senθ Adθ senθ dV dθ = A ; V = ∫ + B que de uma tabela de integrais: senθ V=A ln[tg(θ/2)]+B

(

)

Fixando-se valores nas fronteiras e itindo-se não haver cargas livres entre os cones: V=V0 em θ=θ1 V=0 em θ=θ2 Levantando-se os valores das constantes de integração: V0=A ln[tg(θ1/2)]+B e 0=A ln[tg(θ2/2)]+B V0 B= −A ln[tg(θ2/2)] e A = θ θ -ρs ln tg 1 2 − ln tg 2 2 +ρs r2 θ1 E substituindo-se na expressão de Laplace : θ θ2 ln tg θ 2 − ln tg 2 2 V=0 V = V0 V=V0 θ θ ln tg 1 2 − ln tg 2 2 que é a variação da função V entre os cones .

r1≠0

EXEMPLO: com θ2=90° calcular a capacitância com θ2=90° temos um plano em z=0, com θ1<90° vem : ln tg θ 2 εV0 ε dV D=− D=εE= −ε∇V= − aθ aθ V = V0 θ θ d θ r 1 1 ln tg 2 r sen θ ln tg 2 θ no intervalo 0º<θ1<90° ⇒ ln tg 1 <0 logo as cargas positivas estão em θ=θ1 2 Temos que restringir r para que a capacitância não seja infinita. Q = ∫ ρ S ds = − C=−

εV0 ln tg θ1

2

r2

2π

r1

0

∫ ∫

1 rsenθ1dφdr rsenθ1

Q=−

εV0 2π (r2 − r1 ) ln tg θ 1 2

2πε (r2 − r1 ) Farads que é positiva no intervalo 0º<θ θ1<90° θ ln tg 1 2

EXEMPLOS: 1) E7.3 Haytt Módulo de E no ponto P(1; 2; 3) a) cabo coaxial V=100V em r=1m e V=20 V em r=3m V=Alnr+B 20=Aln3+B 100=Aln1+B → B=100 ; −80=A(ln3 − ln1) →A= −80/ln3 dV −80 ar E= −∇V V= ln r + 100 ; r = 12 + 2 2 = 5 ; ; E=− dr ln 3 48

E=

80 a r = 32,6a r V/m 5 ln 3

b)dois planos condutores radiais, V=20 V em φ=80º ,V=100 em φ=20º 20=A80º+B onde o angulo foi mantido inicialmente em graus e só depois convertido em radianos 100=A20º+B (para ter um valor mais exato). − 80=A60º 80 240 240 π 380 B=100+ A= − =− × = π π 9 3 π 3 1 dV 240 240 240 380 V= − E= −∇V E= − aø= − aø ∴ E = − aø = −34,2 aø V/m φ+ 3 π πr r dφ π 5 c) Duas esferas concêntricas V=100V em r=1m e V=10 V em r=4m r = 12 + 2 2 + 32 = 14 ; V= − 10= −

A +B r

A A 3A + B e −A+B=100 ∴ −90= − + A = 4 4 4

E= −∇V= −

dV 120 a r = 2 ar dr r

∴ A= −120 e B= −20 logo V=(120/r) −20

| E|=120/14=8,57 V/m

2º Exemplo: calcule a distribuição de cargas em um plano condutor θ=90º com V2=0 V e com um cone em θ=10º com V1=100V  10 0  θ  V=A ln[tg   ]+B → 100=A ln[tg   ]+B  2  2 

r2

V = 100

ln tg50

V2=0 -ρs

1 dV E= −∇V= − aθ r dθ

r1≠0

2θ 100 1 sec 2 1 E=− aθ e d ( tgu) = sec 2 u du com d (ln u ) = du 0 dx u dx dx dx 2 r ln tg5 tg θ 2 1 100 100 41,05 E=− aθ sec 2 θ 2 = =− = 2θ θ θ r( −2,44 ) sen θ r sen θ cos 2 r ln tg50 2 sen cos 2 2

= −2,44

logo as cargas no plano são negativas −ρS= −|D|= −ε0E= − 7- Solução da Equação de Poisson por integração direta.

49

41,05ε 0 r

E θ=10º

V1=100 V

 900  100 0=A ln[tg   ]+B → B=0 e A= ln tg50  2  ln tg θ 2

+ρs

Esta equação é utilizada em regiões onde existem cargas volumétricas e só é válida para uma região homogênea em que a permissividade é constante. Circuitos integrados, junções de semicondutores utilizam esta equação como uma solução satisfatória. As superfícies equipotenciais (ou condutoras) são as mesmas já determinadas para a equação de Laplace e precisamos de valores da função V nestas fronteiras para determinar o valor das constantes de integração A e B. ρ na região pode ser função até das três coordenadas do sistema. Restringindo-se a variação a uma das três coordenadas pode se solucionar a equação diferencial por integração direta. Entretanto ela só poderá ser constante ou variar com a mesma coordenada permitindo que a variação de V de fato no mesmo sentido da restrição. Só será abordada a solução com integração direta. EXEMPLOS (com densidade de cargas constantes): 1) Resolver a Equação de Poisson com ρ e ε constantes: a) No sistema de coordenadas cartesianas com V=f(x) unicamente: ρ x d 2V ρ dV ρ  dV  ; d =− x =− x +A  = − x dx ; 2 dx dx ε ε ε  dx 

ρ xdx dV = − x + Adx ε

ρ x x2 V=− + Ax + B 2ε

b) No sistema de coordenadas cilíndricas b1) V=f(r) somente 1 d[r( dV dr )] ρ =− r r dr ε

ρr r2  dV  r  = − +A  dr  2ε

ρ r  dV  ; d r  = − r dr ;  dr  ε

 ρ r A dV =  − r +  dr  2ε r

V=−

ρr r2 + Alnr + B 4ε

b2) V=f(Ø) somente

ρφ 1 d 2V =− 2 2 r dφ ε V=−

ρφ r 2  dV  d  = − dφ ε  dφ 

dV = −

ρ φ r 2φ ε

dφ + Adφ

ρ φ r 2φ 2 + Aφ + B 2ε

c) No sistema de coordenadas esféricas c1) V=f(r) somente: 2 1 d[r ( dV dr )] ρ =− r 2 r dr ε

r 2 ( dV dr ) = −

ρr r3 +A 3ε

d[r 2 ( dV dr )] = −

ρr r2 dr ε

 ρ r3 A  dV =  − r 2 + 2  dr r   3εr

V=−

50

ρr r2 A − +B r 6ε

c2) V=f(θ) somente: d[senθ ( dV d )] 1 θ = − ρθ 2 r sen θ dθ ε

;

d[senθ ( dV dθ )] = −

ρ θ r 2 sen θ dθ ε

 ρ r 2 cos θ A  dV =  θ +  dθ senθ   εsenθ  ρ r 2 cotgθ  dV =  θ + Acosec dθ ε  

;

V=

ρθ r 2 ln sen θ + A ln tg θ 2 + B ε

EXEMPLO: 2)Schaum 8.34 - Em coordenadas cilíndricas ρ=111/r pC/m3, V=0 V em r=1 m e V=50 V em r=3,0 m, devido a esta configuração de cargas encontre a expressão para E. dV ρ 1 d[r( dr )] =− r r dr ε

;

111 × 10-12 r dV 111 × 10 -12 r  dV  d r dr r +A ; = − = −   dr  rε dr ε

 111 × 10 −12 A  dV =  − +  dr r ε 

111 × 10 −12 r V=− + Alnr + B ε

considerando-se os potenciais na fronteira (entre os condutores do cabo coaxial existe o ar εR=1). 0= −

111 111 × 3 +Aln1+B e 50= − +Aln3+B 8,854 8,854

tem-se B=12,5 (ln1=0) e A=68,27 logo V= −12,5r+68,27lnr+12,5

E= −∇V= −

dV 68,27  68,27   ar= −  −12,5 +  ar= 12,5 −  ar V/m   r  dr r 

51

CAPITULO 8 CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO Neste Capítulo iniciamos o estudo da magnetostática que é o estudo dos campos magnéticos gerados por cargas estáticas. As fontes dos campos magnéticos estáticos são imãs permanentes e correntes contínuas entretanto só nos interessa as correntes contínuas que é o caso que tem maior aplicação na Engenharia. As duas leis destes campos são: ◊ Lei de Biot-Savart → aplicações semelhantes à Lei de Coulomb. ◊ Lei de Ampère → aplicações semelhantes à Lei de Gauss. O campo magnético estacionário segue o “principio da superposição”. 1 - Lei de Biot-Savart É uma lei “não experimental” ou seja como ela é definida por elementos incrementais não pode ser testada experimentalmente. Condutor filamentar é "o caso limite de um condutor cilíndrico quando seu raio tende a zero”. Se no elemento diferencial de comprimento dL de um condutor filamentar estiver circulando uma corrente I, utilizando-se o vetor deslocamento diferencial tem-se IdL que é o elemento diferencial de corrente de um condutor filamentar. IdL é o elemento diferencial usado nas integrações da mesma forma como no campo elétrico se realiza as integrações usando-se as cargas pontuais dQ. Quando tem-se um IdL em um ponto 1 do espaço haverá em um ponto 2 um vetor intensidade diferencial de campo magnético dH com relação entre IdL e dH definida por: dH 2 =

I1dL × a R12 4π R12

2

A/m

IdL

aR12

Pt2 dH2

R12 I

onde: aR12 é um unitário com sentido do elemento diferencial de corrente para o ponto em que se deseja calcular H. R12 é a distância entre o elemento diferencial de corrente e o ponto em que se deseja calcular H dQ a R12 Lei de Coulomb dE 2 = 2 4πε 0 R 12 Forma integral:

H=∫

IdL × a R12 4π R 12

2

A/m

a continuidade de corrente impõe esta integral fechada porém a Lei vale para um trecho do percurso! 3 - Densidade superficial de corrente K Com J uniforme em um condutor tem-se uma densidade superficial de corrente K K=Jda (A/m2)×m = I I x J = TOTAL = TOTAL ISUPERFICIAL = |J|da×b S ab da a

ISUPERFICIAL = |K|×b onde: b é o percurso atravessado pela corrente

I

b 52

z J

K=Jda y

Se a corrente não for uniforme: I SUPERFICIAL = ∫ K db Um elemento diferencial de corrente IdL pode ser expresso conforme uma das igualdades abaixo desde que a corrente seja uniforme no condutor, como ocorre em um condutor filamentar. I×dL =|K|×db×dL = K×ds = J×da×ds= J×dv A.m A.m (A/m).m2 (A/m2).m3 IdL =Kds = Jdv

A.m

Na Lei de Biot-Savart resulta: H=∫

IdL × a R12 4π R 12

Kds × a R12

H=∫

2

4π R 12

S

H=∫

2

V

Jdv × a R12 4π R 12

2

4 - Regra da mão direita e linhas de fluxo do campo magnético. As linhas de fluxo do campo magnético coincidem com as equipotenciais do campo elétrico e desta forma as linhas de fluxo dos dois campos são perpendiculares entre si. A direção das linhas de fluxo do campo elétrico são das cargas positivas para as negativas enquanto as do campo magnético não tem inicio nem fim se fechando sobre si mesmas: "o campo magnético não tem fontes nem sumidouros" um campo deste tipo é denominado solenoidal e a sua divergência é nula. Usa-se a regra da mão direita para acharmos o sentido das linhas de fluxo do campo magnético: "com o polegar voltado no sentido da corrente encontramos o sentido de H pela direção dos outros dedos" 5 - Aplicação da Lei de Biot-Savart Mais uma vez a primeira aplicação será o filamento infinitamente longo. Trabalhando-se com coordenadas cilíndricas e colocando-se o filamento no eixo z vem: I dL × a R12 R=rar−zaz R = r 2 + z2 dH 2 = 1 2 4π R12 a R12 =

ra r − za z

I

r 2 + z2

z aR

dH 2 =

I1dza z × ra r − za z

(

4π r + z

Ir H2 = 1 4π

∫

2

)

2

dza φ

∞

−∞

2

3

(

r 2 + z2

)

3

H2 =

2

=

I1 rdza φ

(

4π r + z 2

2

R

)

3

IdL=Idzaz

2

z Ir = 1 2 2 4π r r + z 2

φ

∞

aφ

x

−∞

I aφ 2πr

Mesmo direção que se encontraria com a regra da mão direita. Generalizando-se:

H=

I aH 2πR 53

P(r1;φ1;z1) y

onde: R é a menor distância entre o ponto em que se deseja H e o filamento. aH=aL×aR12 sendo que aL é um unitário no sentido da corrente e aR12 é um unitário com e na distância R, voltado do filamento para o ponto 2 onde desejamos calcular H. EXEMPLOS: a) Aplicando-se na demonstração acima teríamos: aH=az×ar=aø e R=r logo H 2 =

I aφ 2πr

b) Calcule H na origem com um filamento infinito de corrente de 13ax Amp. em y=4 e z=−2 H=

I aH 2πR

aH=aL×aR12=ax×

(0 − 4)a Y [0 − ( −2)]a Z 2

4 +2

=

2

− 2a Y − 4a Z 20

z aR12 y (0; 4; −2) 13ax

13 −2a Y − 4a Z H= = −0,21a Y − 0,42a Z 2π 20 20

d) E8.2b (Haytt): 3 > z > − 3 e todo x=2 e todo y= −4 com I=0,4 direção az , H=? em P(0 ; 1 ; 0) H=∫

IdL × a R12 4π R 12

Simétrico em relação a origem

2

0,4dza z × −2a x + 5a y − za z

(

4π 2 2 + 52 + z 2

H2 = ∫

− a x − 0,4a y

3

−3

(2; -4; 0) 0,4az (0; 1; 0) R12

R 12 = −2a x + 5a y − za z

IdL=0,4dzaz dH 2 =

x

(

2π 29 + z

2

)

3

dz =

)

3

2

=

− a x − 0,4a y

(

2π 29 + z 2

2 × ( − a x − 0,4a y )

2

2π

∫

3

0

)

3

y

dz 2

0,0168

dz

( 29 + z ) 2

3

2

=

− a x − 0,4a y

z

π

29 z 2 + 29

3

0

H 2 = −5,34a x − 2,13a y mA/m

7 - Lei de Ampère. Lei de Ampère → aplicações semelhantes à Lei de Gauss. Inclusive defini-se uma Ampèriana que neste caso é um percurso. Lei de Ampère→corrente envolvida Lei de Gauss→carga envolvida Em torno de um fio que a corrente na direção az em coordenadas cilíndricas com o fio no eixo z: I H= aφ 2πr Calculando-se uma integral de linha no sentido da regra da mão direita (positivo de φ) em um percurso fechado circundando completamente o fio integrando-se no sentido da regra da mão direita:

∫ H. dL = assim

∫

2π

0

I a φ . dra r + rdφa φ + dza z = 2πr

∫ H.dL = I

∫

2π

0

I rdφ =I (corrente positiva) 2πr

que é a expressão matemática da Lei de Ampère 54

A integração com o sentido da regra da mão direita resultou em uma corrente positiva logo a corrente é considerada positiva quando esta de acordo com esta regra. Lei de Gauss se refere à carga total envolvida a Lei de Ampère se refere à corrente total envolvida Neste caso a corrente envolvida é zero:

+I

−I dL

9 - Percursos Ampérianos Embora na Lei de Ampère o percurso possa ser qualquer um, pelos mesmos motivos que surgem na aplicação da Lei de Gauss ou seja evitar-se uma variável dentro de uma integral em uma equação, devemos usar um percurso de tal forma que: • A direção de H deve ser ⊥ ou // ao percurso. Isto força que a integração seja nula ou de um escalar. • H deve ser constante quando // ao percurso assim sai da integral e ela se reduz a uma integral de percurso. 10 - Exercícios clássicos de aplicação. 10.1 - Filamento infinitamente longo onde flui uma corrente. Neste caso o percurso que satisfaz as regras acima seria um circulo de raio R em um plano perpendicular ao fio. Colocando-se o fio no eixo z: R = r 2π

2π

0

0

∫ H. dL = ∫ H φ a φ . rdφa φ = Hφ r ∫ dφ = H φ 2πr = I

∴

Hφ =

I 2πR

10.2 - Cabo coaxial O sentido da corrente do condutor central como sendo positiva I e do condutor externo como negativa − I e ambas uniformemente distribuídas. Com o condutor centrado no eixo z pode-se trabalhar em coordenadas cilíndricas. Considerando-se os condutores como compostos por inúmeros filamentos cada um dos filamentos só gera campos na direção aφ H 2

+I

Hr2

Hφ

z

Hr1 2

H1

a b H

1

Filamentos simétricos opostos

−I

Na figura o eixo z esta saindo do papel e temos desenhadas as linhas de fluxo magnético em torno dos dois filamentos opostos e sobre um ponto em cima do eixo "r" usando-se a regra da mão direita temos os vetores resultantes. Ve-se que: • as componentes na direção do eixo r se anulam • as na direção ø se somam • como nenhum filamento produz componentes na direção z pois esta é a direção da corrente só resta Hø. • pela simetria vemos que mantendo-se r constante Hø não se altera ou seja Hø=f(r) apenas. I. Com a < b cada um dos "n" filamentos produz em um ponto um campo de 55

dH =

I aφ n 2πr

e o conjunto de todos os "n" filamentos: H =

I aφ 2πr

II. Com r < a (dentro do condutor interno) a corrente enlaçada é proporcional a área abrangida e assim aplicando-se uma regra de três: I envolvida πr 2 r 2 = 2 = 2 I a πa

H=

;

I envolvida aφ 2πr

;

H=

Ir aφ 2πa 2

III. Com r>b a corrente enlaçada é zero e H=0 O cabo coaxial blinda completamente o campo magnético no seu interior e já provamos anteriormente que ele blinda também o campo elétrico. O cabo coaxial não interfere pois com os circuitos adjacentes. IV. Supondo-se agora uma espessura para o condutor externo variando entre b < c vem:

I envolvida

 c2 − r 2  I 2 2 c −b  H= aφ 2πr

 r 2 − b 2   c2 − r 2  πr 2 − πb 2 = I interno − I externo 2 = I1 − 2  = I  πc − π b 2  c − b2   c2 − b2 

10.3 - Película infinita em que flui uma corrente superficial. O retorno da corrente será por uma de duas superfícies distantes em cada lado do plano considerado. Colocando-se a película em z=0 e a corrente no sentido positivo de y ou seja K=Kyay. Dividindo-se o plano em inumeros segmentos em dois segmentos opostos temos: Y Película infinita Z

H2

K

Hz2

Hx1 Hx1

Hz1 X

3 1

3’ 1’

2

2’

2

H1

1

Hx2

Hx2= − Hx1

Filamentos simétricos opostos direção +ay

L

Ve-se que : • H é ⊥ a corrente logo só tem-se direção x • as componentes na direção "x" se somam com direções contrárias em cada lado da película e se z não variar são constantes. Aplica-se a Lei de Ampère em um percurso Ampèriano 1-1’-2’-2-1 conforme figura: ¾H=Hxax e constante em 1-1' e em 2-2' (conforme já visto) ¾H.dL=0 em 1-2 e em 1'-2' (Hx é perpendicular a dL) logo: Hx1(L)+Hx2(−L)=KyL ∴ Hx1 − Hx2=Ky percorrendo agora o percurso 3-3'-2'-2-3: Hx3(L)+Hx2(−L)=KyL ∴ Hx3 −Hx2=Ky também ⇒ Hx1 −Hx2=Ky logo Hx3=Hx1 assim Hx = constante. 56

Da figura tira-se Hx2= −Hx1 logo Ky = Hx1 − Hx2 = Hx1− ( −Hx1) = 2Hx1 Resumindo: H é constante dos dois lados independente da posição no espaço e com: z>0 ⇒

z<0 ⇒ Hx= − Ky/2

Hx=Ky/2

Generalizando-se para qualquer outra posição da folha e sistemas de coordenadas vem: H=(1/2)K×an onde an é um vetor unitário normal à superfície e apontando para a região do espaço em que desejamos calcular H Aplicando-se na demonstração acima teríamos para z > 0: H=(1/2)Kay×az=(1/2)Kax Planos infinitos em paralelo com correntes opostas: Colocando-se uma outra superfície paralela em z=h com corrente na direção oposta a da primeira superfície considerada temos entre as superfícies com 0
Generalizando-se:

para 0

para z > h (fora do intervalo entre os dois planos) H=(1/2)K1×an+(1/2)+K2×an=(1/2)Kay×az+1/2 K−ay×az= 0 para z < 0 (fora do intervalo entre os dois planos) H=(1/2)K1×an+(1/2)+K2×an=(1/2)Kay×−az+1/2 K−ay×−az= 0 Generalizando-se H=0 para z> h ou z<0 10.4 - Solenóide infinito Podemos considera-lo como uma única volta de uma película que conduz densidade de corrente superficial Ka. Colocando-se o solenóide centrado no eixo z e com Ka na direção aφ Z

HZ

Kaaφ

constante a

a

H=Kaaz a

a+∆r

a+∆r

r

Para cada parcela da superfície com um dos lados infinitos e portanto podendo ser considerada infinita, temos outra oposta com corrente oposta logo no interior do solenóide assim temos duas superfícies infinitas com correntes opostas e: No interior do solenóide com r

H=K×an=Kaaφ × (−ar)=Kaaz 57

Fora do solenóide com r rel="nofollow">a:

H=0

10.5 - Solenóide finito de comprimento "d" e formado com "N" espiras bem juntas onde flui uma corrente I. Considerando-se o solenóide com uma única volta de uma película com módulo da densidade de corrente superficial Ka e com N filamentos cada um com uma corrente I temos: NI NI H= az logo: NI=Kad ∴ Ka= d d Esta aproximação e cada vez melhor quando tomamos pontos bem dentro do solenóide, afastado da superfície do mesmo não menos que duas vezes a separação entre espiras. 10.6 - Toróide Podemos imaginar um toróide com N espiras com corrente I como um solenóide dobrado sobre si mesmo em circulo em torno do eixo z. Assim: Ka

r0 a

Hφ b Eixo z Dentro do toróide:

NI=Kab como b é o percurso atravessado pela corrente no caso b=2πr NI nestas condições NI=Ka2πr e Ka= 2πr Para um direção de K expressa por K=Kaaz em r=r0 − a (z = 0 e r = b) Com “a" o raio da seção do toróide e r0 é o raio médio do toróide medido do centro do mesmo até o centro de sua seção apontando deste ponto para dentro do solenóide na direção an = +ar vem: H=K×an=Kaaz×(+ar)=Kaaφ=

NI aφ 2πr

no ponto b = r = r0 − a calcula-se NI ⇒ Ka= substituindo-se H=

H=Kaaφ=

NI aφ 2πr

NI ∴ NI = K a 2π ( r0 − a ) 2πr

NI K 2π ( r0 − a) aφ = a aφ 2πr 2πr H=

K a ( r0 − a) aφ r

Fora do toróide: Pelas mesmas razões já vistas para o solenóide H=0 58

Hφ

r0

r

b+2a+∆r

b

b

r

b+2a+∆r

H× ×r 11 – Rotacional • Rotacional: sobre um vetor que resultando em um vetor. • Divergência: sobre um vetor que resultando em um escalar. • Gradiente: sobre uma função escalar que resultando em um vetor. Em um volume temos: -----------> --------> -----> ---> --> --> ---> -----> --------> -----------> campo que tem rotacional mostrando o rotacional ------------------> ------------------> ------------------>

----> -----> ------> ----> -----> ------> ----> -----> ------> ----> -----> ------> campo que tem divergência

campo lamelar, não tem divergência nem rotacional (denominado “lamelar”)

9"O módulo do vetor proveniente do rotacional de um campo vetorial é proporcional à taxa de mudança da intensidade deste campo em uma direção perpendicular à direção do campo" 9A direção do rotacional é perpendicular ao plano que contem o campo vetorial. 9campo resultante da operação de rotacional é solenoidal pois se fecha sobre si mesmo e como conseqüência direta disto ∇.rotacional A=0 9inverso vale: “Se a divergência de um campo é nula ele é o rotacional de um outro campo”. Se uma roda com pás colocada dentro de um campo vetorial tiver rotação existe rotacional e o seu sentido é aquele indicado pela regra do parafuso de rosca destrógira.

59

No exemplo haverá um rotacional entrando na pagina na parte superior e saindo da mesma na parte inferior. Quanto maior for a taxa de variação do campo na direção perpendicular a do campo mais rápido gira o medidor de rotacional e maior será o módulo do vetor rotacional do campo. CAMPO ROTACIONAL

--------> ------> ----> --> -> --> ----> ------> -------->

MEDIDORES DE ROTACIONAL

Expressões matemáticas para o rotacional. Em qualquer livro sobre operações com vetores encontramos: | ax ay az | rotA= | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| | Ax Ay Az |

OPERADOR logo NABLA

∂H y  ∂H Rotacional H=∇×A=  z − ∂z  ∂y

 ∂H z  ∂H  ax+  x − ∂x  ∂z 

∫ A. dL = (∇ × A).a lim n ∆SN →0 ∆S N

H=∇×A

 ∂H y ∂H x  −  ay+  ∂y   ∂x

  az 

∇×A

an

dL

∆SN

A última expressão indica que ele pode ser definido como uma "circulação por unidade de área" onde: "n" indica que o componente do rotacional é normal a superfície envolvida pelo percurso da integral de linha fechada dL é percorrida na periferia da área.

∫ D.ds = ∇.D lembra-se que lim ∆v→0 ∆v 12 - Aplicação do rotacional ao Eletromagnetismo, 2ª e 3ª Equações de Maxwell. Seja um pequeno percurso fechado de lados dx e dy em coordenadas cartesianas e vamos aplicar nele a lei de Ampère e sabemos que no centro do mesmo temos uma intensidade de campo magnético conhecida e de valor: z

H0=Hx0ax+Hy0ay+Hz0az 1

4 ∆y

3

Sentido da integração

∆x 2

y

x 60

(H.dL)1-2=Hy,1-2∆y

Integra-se na direção 1-2-3-4-1

A variação de Hy com a distância ∆x/2 do centro ao ponto médio do lado 1-2, é + Hy,1−2=Hy0+

∂H y ∆x ∂x 2

∴

∂H y ∆x   (H.dL)1−2=  H y0 +  ∆y ∂x 2  

∂H y ∆x ∂x 2

A variação de Hy com a distância ∆x/2 do centro ao ponto médio do lado 3-4, é −

Hy,3−4=Hy0 −

∂H y ∆x ∂x 2

∴

∂H y ∆x ∂x 2

∂H y ∆x   (H.dL)3−4=Hy,3−4(−∆y)= −  H y0 −  ∆y ∂x 2  

∂H y ∆x  ∂H y ∆x  ∂H y   (H.dL)1−2+(H.dL)3−4=  H y0 + ∆x∆y  ∆y −  H y0 −  ∆y = ∂x 2  ∂x 2  ∂x   e assim sucessivamente nos lados restantes e somando-se tudo:  ∂H y ∂H x − ∂x ∂y

∫ H.dL = 

ou no limite: lim

∆x,∆y→0

onde: lim

  ∆x∆y = I = Jz∆x∆y 

∫ H.dL = ∂H ∆x∆y

∂x

y

−

∂H x = Jz ∂y

∫ H.dL é o rotacional para uma circulação no plano “xy”

∆x∆y As mesmas operações para percursos semelhantes nos outros dois planos “zy” e “xz” resultam: ∫ H.dL = ∂H x − ∂H z = Jy ∫ H.dL = ∂H z − ∂H y = Jx lim lim e ∆x,∆z → 0 ∆z∆x ∆y,∆z →0 ∆z∆y ∂y ∂z ∂z ∂x ∆x,∆y→0

Somando-se vetorialmente estas três ultimas expressões vem:  ∂H z ∂H y  − ∂z  ∂y ∇×H =J

 ∂H z  ∂H  ax+  x − ∂x  ∂z 

 ∂H y ∂H x  −  ay+  ∂y   ∂x

  az=J=∇×H 

segunda Equação de Maxwell também é chamada forma pontual da Lei de Ampère.

Terceira equação de Maxwell nos campos estáticos E estático é um campo conservativo logo ∫ E.dL = 0

∫ A.dL = (∇ × A). a lim n ∆SN →0 ∆S N

e

∇×E =

∫ E.dL = 0 lim ∆SN →0 ∆S N

Em outros sistemas de coordenadas sem definir nabla nestes sistemas temos: cilíndricas 61

∇×E=0

 1 ∂H Z ∂H φ   1 ∂ ( rH φ ) 1 ∂H r  ∂H z   ∂H  ar+  r −  az − − ∇xH=   aø+  ∂φ ∂ ∂ ∂φ r z r r r ∂ ∂ z r       esféricas 1  ∂H φ sen θ ∂H θ  1  1 ∂H r ∂ ( rH φ )  1  ∂ ( rH θ ) 1 ∂H r    ar+   aθ+  ∇xH= − − −  aø ∂θ ∂φ  ∂r  r sen θ  r  sen θ ∂φ r  ∂r r ∂θ  13 - Densidade de fluxo magnético B É relacionado com a intensidade de fluxo magnético pela permeabilidade no vácuo. A unidade que utiliza-se é o Weber/m2. A unidade oficial é a Tesla, a unidade Gauss é antiga. B=µoH Wb/m2 ou Teslas µo=4π×10−7 Henrys/m 14 - 4ª equação de Maxwell e Lei de Gauss do Campo magnético nos campos estáticos. 4ª Equação de Maxwell nos campos estáticos O campo magnético é solenoidal porque não existem fontes nem sumidouros do campo magnético (as linhas de fluxo deste campo se fecham sobre si mesmas) e assim toda o valor de B que entra sai de dentro do volume logo: ∇.B=0 logo vem:

∫ B. ds = 0 s

que é a Lei de Gauss do campo Magnético

15 - Fluxo magnético Φ(fi maiusculo) É o fluxo que atravessa uma área especificada. A unidade é o Weber. Φ= ∫ B.ds Wb S

Estas grandezas possuem analogia com grandezas do campo elétrico: B=µoH ⇒ D=ε0E ; Φ= ∫ B.ds ⇒ ψ= ∫ D.ds S

S

16 - As quatro equações de Maxwell nos campos estáticos Forma pontual (válida em um ponto) ∇.D=ρ ∇×E =0 ∇×H =J ∇.B=0

Forma integral (válida em uma região)

∫ D.ds = ∫ ρdv ∫ E.dL = 0 ∫ H.dL = I ∫ B.ds =0 V

S

S

Com estas equações e o auxilio de B=µoH ; D=ε0E ; E= −∇V ; Teorema da divergência e Teorema de Stokes pode-se deduzir qualquer uma das fórmulas até agora vistas. 62

16 - Teorema de Stokes Dividindo-se uma superfície qualquer em superfícies incrementais e aplicando-se a definição de rotacional temos: ∇×H

dL

an

dL

∆SN

∫ H.dL = (∇ × H ).a = ∇ × H lim n ∆SN →0 ∆S N Na figura cada lado de uma área ∆S é coberto duas vezes com direções opostas existindo portanto cancelamentos e isto só não ocorre nos lados externos da área ou seja no seu perímetro, logo:

∫

H.dL= ∫ (∇ × H ) .ds

que é o Teorema de Stokes

S

onde:dL tem que ser percorrido no perímetro S tem que ser uma superfície aberta caso contrário dL=0 APLICAÇÕES: 1 - Obter a Lei de Ampère a partir da 2ª equação de Maxwell. ∇×H=J multiplicando-se escalarmente ambos os lados por ds vem: ∇×H.ds = J.ds integrando-se e aplicando-se Stokes: ∫ ∇ × H. ds = ∫ J.ds = ∫ H.dL = I S

S

2 - A divergência do rotacional de um campo vetorial é nula ∇.∇×A=0. Supondo-se que o resultado não é zero e sim um escalar T que seria o resultado da operação: ∇.∇×A=T A divergência é uma operação através de um volume com superfície fechada. Através de um volume fechado: ∫ ∇. ∇ × Adv = ∫ Tdv V

V

usando-se sucessivamente o teorema da divergência (a superfície é fechada) e de Stokes temos:

∫ ∇. ∇ × Adv = ∫ ∇ × Ads = ∫ A. dL = ∫ Tdv S

V

V

Como a superfície é fechada temos dL=0 (é determinado no perímetro), assim a integral é nula em conseqüência ∫ Tdv = 0 e como dv ≠ 0 vem que T=0 e portanto: ∇.∇×A = 0 V

EXEMPLOS: E8.4 HAYTT: Calcular a integral de linha no sentido anti-horário H=4sen0,4πzay−(x2+2)2az. Percurso quadrado centro P(1 ; −3 ; 2), lados = 0,6 unidades, no plano x=1, arestas // eixos coordenados,. Z

4 1

3 2

Y

0,6 (1 ; -3 ; 2) X 63

4sen[0,4π(2 − 0,3)]×0,6 − (12+2)2×0,6 − 4sen[0,4π(2 + 0,3)]×0,6 + (12+2)2×0,6=1,4295 1−2 (ay) 2−3 (az) 3−4 (− ay) 4−1 (−az) b)calcule o quociente da divisão da integral pela área envolvida pelo percurso. 1,4295/0,6×0,6=3,9709 c)Determine (∇×H)x (na direção x) em P(1 ; − 3 ; 2) ; H=4sen0,4πzay−(x2+2)2az (∇×H)x = item b: item c:

d ( 4 sen(0,4πz)) 4 cos(0,4πz) d( 0,4πz) ∂H z ∂H y ax = − − =− = −0,4π 4 cos(0,4πz) = 4,066 dz dz dz ∂y ∂z 2= 3,97 4,066

ve-se que os resultados se aproximaram sendo que a igualdade só seria obtida quando S---->0 devido a própria definição do rotacional. Com os lados do quadrado 0,1 tem-se em b: 4,06388. E8.6 Haytt

π π <φ < ; 1 <1,5. Calcular ambos os lados do teorema de 4 2

A=2r2(z+1)sen2φ aφ com percurso r=2 ; Stokes.

A é perpendicular a 1−4 ( + az) e 3−2 ( − az) resta com dL = rdφ π

π

4 2 2 2 2 2 ∫ A.dL = ∫π 2r (z + 1)sen φrdφ + ∫π 2r (z + 1)sen φrdφ 2

4

π

4 (2; π/2 ; 1,5)

π

4 2 2 2 2 2 ∫ A.dL = ∫π 2 × 2 (1 + 1)sen φ 2dφ + ∫π 2 × 2 (1,5 + 1)sen φ 2dφ 2

4

∫ A. dL = 32∫

π

π

4

2

(2; π/4 ; 1,5) 3

π

sen 2 φdφ + 40 ∫π 2sen 2 φdφ

Aφ

4

π

dL ds=rdφdzar 1 (2; π/2 ; 1)

π

φ sen 2φ 4 φ sen 2φ 2 A. L d 32 40 = − 5,14 = − + − ∫ 2 4 π 2 4 π 2

2 (2; π/4 ; 1)

4

considerando que a normal a superfície esta na direção ar e que só temos Aφ 1 ∂A Z ∂A φ ar ).(rdφ dz ar) − ∂φ ∂z

∫ ∇ × A.ds =( r S

1,5

π

1

π

∫ ∇ × A.ds = ∫ ∫ S

2

4

1, 5

−2 r sen φdφdz = ∫ 3

2

1

∫

π

π

2

4

−2 × 2 sen φdφdz = −16∫ 3

2

1, 5

1

π

φ sen 2φ 2 dz = −5,14 + 2 4 π 4

2 - Calcular o fluxo magnético por metro de comprimento, contido entre os condutores de um cabo coaxial de raio do condutor interno de "a" e do externo de "b". 64

B=µoH ; H φ =

I em a
1 b

Φ= ∫ B. ds = ∫ ∫ S

0 a

µ 0I µ I b . drdza φ = 0 ln Wb/m 2πr 2π a

E8.7 Haytt Cabo coaxial refrigerado à água conduzindo 2000 Amp. condutor interno R=5mm = (a) e 7mm = (b) condutor externo R=19mm = (c) e 20mm = (d) H, B e Φ em 1m dentro dos condutores e entre condutores? a) no condutor interno: r2 − a2 r 2 − 52 × 10 −6 r 2 − 25 × 10 −6 πr 2 − πa 2 I 2000 2000 = = = b2 − a 2 7 2 × 10 −6 − 52 × 10 −6 24 × 10 −6 πb 2 − πa 2

I envolvida = I

2000 H=

B=

Φ=

r 2 − 25 × 10 −6 2 −6 24 × 10 −6 a = 1000  r − 25 × 10  a φ φ r 2πr 24 × 10 −6 π  r 

1000 × 4π 10-7  25 × 10 −6  50  25 × 10 −6  a r r − = −     aφ φ 24 × 10 −6 π  r 3  r  

50 1 0, 007 25 × 10 −6 50 r− drdz = 12 × 10 −6 − 25 × 10 −6 ln 1,4 =59,8 µWb/m ∫ ∫ 0 0 , 005 r 3 3

(

)

b)entre os dois condutores 1 c

∫ B. ds = ∫ ∫

0 b

S

µ 0I µ 0 I c 4π × 10 −7 × 2000 19 × 10-3 . drdza φ = ln = ln = 399 µWb/m 2πr 2π b 2π 7 × 10-3

b)dentro do condutor externo: I envolvida = I interno − I externo

πr 2 − πc 2 πd 2 − πc 2

;

 d2 − r2  Iµ 0  2   d − c2  B= aφ 2πr

 20 2 × 10 −6 − r 2   2000 × 4π × 10   20 2 − 19 2 × 10 −6    4 × 10 −4  20 2 × 10 −6 − r 2  r  −4  10,26 B φ == = −   = 4 × 10  −6 −6   r r 39 × 10  2πr  39 × 10  -7

(

)

r   10,26 4 × 10 −4  −  drdz = 10,50 µWb/m 6 − 0, 019  r 39 × 10 

1 0 , 020

Φ=∫∫ 0

65

17 - Potencial vetor magnético Serve para estudos avançados em eletromagnetismo tais como radiação de antenas, fornos de microondas e irradiação de linhas de transmissão. ∇.B=0 4ª equação de Maxwell ∇.∇×A=0 " o campo que é rotacional de um outro campo é solenoidal e portanto tem divergência nula" Portanto se a divergência de B é nula ele é rotacional de um outro campo que denominaremos de A que é o “potencial vetor magnético”. Ou combinando-se estas equações temos: ∇.B=∇.∇×A ∴ B=∇×A Se este campo A possui rotacional ele varia na direção perpendicular ao seu sentido. Entretanto que não deverá ter fontes nem sumidouros para não criar novas fontes, e assim temos que ter também: ∇.A=0.  ∂H z ∂H y  − ∂z  ∂y

 ∂H y ∂H x  ∂H z   ∂H −  ax+  x −  ay+  ∂y ∂x   ∂z   ∂x

  az=∇×H 

portanto o rotacional implica em diferenciação em relação ao comprimento assim a unidade de A é o Wb/m. O potencial vetor magnético nos da um instrumento semelhante ao potencial V em um ponto, nos campos elétricos. Encontrando-se uma expressão análoga de A com V vem: B=∇×A ∴ H =

1 ∇×A ∴ µ0

∇×H =

1 ∇×∇×A = J µ0

igualdade vetorial ∇(∇. A) − ∇ 2 A = ∇ × ∇ × A ∇(∇. A) − ∇ 2 A = µ 0 J ∴ ∇ 2 A = − µ 0 J =0 por definição desenvolvendo-se o os vetores: ∇2Axax+∇2Ayay+∇2Azaz= − µ0(Jxax+Jyay+Jzaz) igualando-se os módulos, nas três direções, destes dois vetores: ∇2Axax= − µ0Jxax ;

∇2Ayay= − µ0Jyay

;

∇2Azaz= − µ0Jzaz

que são três equações análogas as de Poisson/Laplace resolvidas pelos mesmos métodos: Ax =

µ0 4π

Jx dv ; V R

∫

AY =

µ0 4π

JY dv V R

∫

Que somadas vetorialmente A =

µ0 4π

∫

V

;

AZ =

µ0 4π

JZ dv V R

∫

J dv Wb/m R

onde: R representa a distância de cada elemento de volume dv ao ponto P onde desejamos calcular A J a densidade de corrente em cada elemento de volume. 66

O potencial vetor magnético é proporcional à corrente, portanto ele é tanto maior quanto maior valores de corrente houver nas proximidades, e tem a mesma direção de J. J B

A (mesma direção de J)

Jdv |R| P

Como IdL =Kds = Jdv A.m escreve-se: A =

µ0 4π

I

∫ R dL

e

A=

µ0 4π

K

∫ R ds

Wb/m

S

A referência para A é o infinito "não pode haver uma corrente finita que possa produzir contribuição no infinito" Este conceito é idêntico ao de potencial absoluto no potencial elétrico. • O potencial vetor magnético nos da uma idéia da distribuição de corrente no espaço e assim também dos pontos em que existe maiores intensidades magnéticas no espaço. • O potencial elétrico nos da uma idéia da distribuição de cargas no espaço e dos pontos onde existe maiores campos elétricos no espaço. As expressões destes dois potenciais são semelhantes:

ρL 1 dL Volts e encontramos o campo por: E= −∇V ∫ 4πε 0 R I µ A = 0 ∫ dL Wb/m e encontramos o campo por B=∇×A 4π R ⇒ envolvem características do meio ⇒ são inversamente proporcionais às distâncias ⇒ são integrais de fontes filamentares V=

O fluxo magnético em uma região pode ser encontrado pelo potencial vetor magnético: Φ = ∫ B. ds = S

∫ (∇ × A).ds S

por Stokes Φ = ∫ A. dL

EXEMPLO: Usando-se A calcular dH em um ponto P(r; φ; z) próximo a um filamento diferencial situado na origem: R = R = r 2 + z 2 ; dA =

µ 0 Idz 2

4π r + z

2

a z ; dH =

1 ∇ × dA ; µ0

z IdL x

67

P(r; φ; z) |R| y

 1  d(dA z )   dH =  −  aφ dr    µ0  2 2 3 3 Iµ 0 dz  1 2 Idz  1 2 Irdz  2 − 2 d (r + z ) 2 −2 a aφ r z r z 2 r  aφ = ( ) ( ) + = + φ 3    dr 4π  2 µ 0 4π  2 2 2 2   4π (r + z ) é o mesmo resultado que seria obtido pela lei de Biot-Savart

dH =

E8.9 HAYT Determine A em r=0 ; r=0,4a e r=0,9a no interior de um condutor com corrente I na direção az µ I ln 5 sabendo-se que em r=a: A = 0 . 2π I envolvida πr 2 r 2 = 2 = 2 I a πa

;

H=

I envolvida aφ 2πr

B = µ0

;

Ir aφ 2πa 2

A tem a mesma direção da corrente logo só Az variando só com r e com B=∇×A ∇×A=

−dA z aφ ∴ dr

com r=a: A =

µ0

dA z Ir aφ = − aφ 2 2πa dr

∴

Az = − ∫

µ 0 Ir µ 0 Ir 2 dr = − +C 2πa 2 4πa 2

µ 0 I ln 5 2 4π × 10 −7 Ir 2 1,05 × 4π × 10 −7 I + 4πa 2 π

µ 0 Iln5 µ Ia 2 µ I  ln 5 1  1,05µ 0 I = − 0 2 +C ∴ C= 0  + = 2π 4πa 4 π  2 π

Az = −

 r2  Az = I 4,22 − 2  × 10 −7 Wb/m a  

b) r=0,4a Az=0,406I c) r=0,9a Az=0,341I

a) r=0 Az=0,422I

68

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