[schaum - Murray.r.spiegel] Analisis Vectorial 65xg

SERIE DE COMPENDIOS SCIIAUM TEORIA Y PROBLEMAS DE ANALISIS VECTORIAL y una htroducción ¡l ANALI$S TENSORIAL MURRAY R. SPIEGEL, Ph.D. Prcfessor of Maúernatict ReñstelaerPolYkclnic Institu¡e Ltns GürÉrPiz Dftz I¡sdierc d¿ AMto ANc{. GtÍú¡¡z VIzqr¡z Idgdi¿ro .t AMto L¡.@¡a¿o d CiMiü FÉlM Dlplo"ado I lñtú¡¿rid Nuhar qYA4q McGRAW-HILL xÉxcq.-BocorÁ o guEttlos¡tngs . GUATEMALA. t-tsBoa. MAoRtD NUEVAyoRK . PANAMA. saN JUAN . saNTtAGo . sÁo paulo AUCKLAND' HAMBURGO! JOHANNESBURGO' LONDRES' MONTREAL NUEVA DELHI . PARÍS . SAN¡FRANcISco. SINGAPUR ST, LOUIS . SIDNEY. TOKIO . IORONTO

:, .r . i 1 ' : ' ' l'r ': , .. rLi i;' :: :1 .'..¡ :'. .' ' ':;''ilil A¡IALISISVECÍOFIAL Prohlbidala reproduccióntotato parcialde66laobra, oorcualoulerm dlo.sin autor¡zaciónescrltadel editor DERECHOSRESERVAOOS 1970,respectoa lá /iméra edlc¡ónenespañorpor i LIBROSIVCGRAW.HILL S.A.d

C.V

DEMÉxrCO, atlaoo¡fulco499.501,Fracc,lndustrialsan, Andrésatoto 53500NaucalDandéJuárez.Edo.de Méx¡co Mlembrod la CámaraNaclonalds ls Indusrla Edttorial,Reg.NúrA.455 lsBN96&451-068.3 fladucido de la prlmsraedlción n lnglésde VECÍOB ANAIYSIS Copydght@ 1967,by Mccraw-HlltBookCo.,U.S.A. tsBN 0{7.000228.x 2209476543 LINSA-70 80123467S5 l"Y"r'".,,,, ",'l,io Estaobrasetermlnóds q:LT: ,,LTqllTt1:l,l-t"r: s,a u;c.v. No.944

tn'uitr.gi¿tica Cállé CálléCállél3 l3l3 No. Oélegaclón|napalapa 09310Méxlco,D.F. F F Set¡¡aron8 200ejsmpláres

Pro logo El análisis vector;al, queseinicióa mediados del siglopasado,constituye hoy día una pa rteesencial las matenrátjcas nccesariaparamatemáticos,fhicos, ingeniefos y demás científicos y lécnico s.Esta tidad no escasuali el análisis v ctorial no soloconstituyeuna notación concisa y clam par¿ presentar ,cuacionesdelmodelomatcrnáiicod lassituacionesfísicasy problemas geométricos,sinoque,ade más, rcioná una ayudainefimable en la formación de las imágcnes men¡ales dc los conceptosfisi cos ométricos- En resrmcn, el análisisveclorialpücdeconsiderarse,sin Iugara düdas,como cl más rico uajey forma d l pe¡samientod las cicncias flsicas. Po¡ la foma y mancra de cxposición, este libro se pücdertilizar como tcxto en un curso dc ¿nálisis riai o omo un m¡gnifico libro complcmentáriode cualquier otro texto. Asirdsmo, puedes erdc valor para todos los alumnos de las asignaturas de fisica, mecánica, electromagnet jsmo, aerodi, a e inEnidad de otras correspondientes a los distintos campos de la cienciay de la tóc¡ica cn qüe nplean los métodos vecroriales. Cadacapitulocomienza cxponicndo claramentc las dcfiniciones, principiosy tcor másp rii nent s, ejcmplos ilxstrativos y descriplivos. A cont;nuació¡¡sc presentarna colecció¡ de problemas totaltc resucltos y otros suplcmentarios con r spucsta pero sin resolver, todos ellos de p rogresiv¿difi. Losproblemasrcsueltosaclarany amplian la teoria. evidencianlospuntosesencialcssi n los que l diante sc sentiria conti¡uamente poco scguroy proporciona¡ la repctición de los princi piosfun. tales tan nccesarios rara conoce¡ la materiaa fondo. Asimismo. en los Droblemasres ucltosse uycn nunerosas dcnrostraciones de teo¡crnasy dedüccionesde fómrulas. Los ¡r¡merosos prob)e mas lnentarios siñ,en dc conpleto raso dcl tema de cada capitulo. Los temas tfatados son, a grandcsrasgos, el álgebra y el cálculo difcrencial c integúl de vectores, d la divcrgencia, del rotacional y de¡nis t oremas integrales.hacicndo much¡simas aplic acrones ¡ruy divcrsos. Atención especial mereceDlosoapítulosrclativosa las coorden¿das curvilínéas I análisis tensorial, quetan cvidenles ventajas p.oporcionanen cl estudio dc ingcn ie¡ía, fisicay mateEl libro conticnemucho nás m¿terial de lo usual en ¡a mayo.ia dc los primcros cürsosde c imci3

genieri¡.Con ello la obra seba hecho más completa, constituyendoun libro de consulta muy útil la vez. catalizador del interésrcr tc¡nasmá! elevados. El autoragradeccla colaboración dcl seño. H nry Haydcn en la preparacióntipográficay dibuj o ligüras.El realisn¡o de las figuras realza cl valor de la obra en la quc la crposición vis'ral.jueBa papcltan R, SPTEGEL

Indicede moterios ¡ TTTORf,S Y ESCALARES. k6r. Esc¡lar. Al8ebra tccao.ial- ¡¡Fs del Algebr¡ vectorial. V ctor uoiiario. yecroEs lira¡ios trirrecl¿ngulares. Vccto¡es compon ntc!, C¡mpo scala¡, Ca¡nDo lectorial. I. TTODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAI. r6 hod¡¡clo cacal¿Lro intono. Producto y ctorial o exlcmo. Productoc triot s. Sistemas & A dFTRENCIACION WCIORIAL 35 Düivad¿ do ú v.ctor. Curvas n el ospacio. Conlinuidad y dc¡ivabiliüd. Fórmulas de dcri?! ión. D rivadas p¡rciales de ull v.ctor. DifeÉncial de un voctor, c onetría dif r ncia¡. OPTRACIONES DIFERXNCIAIES: GRNTE, DIWRGENCIA Y ROTA CIONAL.. 51 Operado¡ difer ncial vecto¡i¿l nabla. CEdie¡te, Diverg ncia, Rotacional.Fórmulason la! q¡¡. inlcnie¡c cl opc¡ador ¡¿bla. Invariaúa. L\TIECRACION VECTORIAI. lnlegr8l de un i ctor. Inüe8¡al cuwillnea. Integral de sup ¡fici . Inlogr¿l d6 volumen. ¡,JoPERAcIoT\Ts TNTEGRALES:TEoREMA Df, LA DIVERGENCIA, TEoREMA ! \r' DEL ROTACIONAI Y OTROSTEOREMASINTf,GRALr,S....... l0ó V -....,,..... Teorcmadc !a divcrspncia de Gáuss.Teoromádcl rot¿cion¿lde Stokés.Teorema de Gr en ar el pl¿no.Ot¡os teorcrnas int glal$. Fofma irtcgr¿l del op r¿dor nabl¡. CttRVrr,rNEAS. .................

Ttusfo¡trl¡ción dq coor&nad¡s. Coo¡dcnadas cuNilfrc¿s ofogon¿! s. VectorÉ! unit¿rios en sistcdra d coord ¡ad¿r curvilín ¿s. El.ñentos de llnea y de volurnen. G¡adi.nte. d¡vergcn y ¡otacio¡al. Caso3pa¡ticular s de sistemas de coord n.dÁs ortoAonales. Coordc¡adas cilíad¡jcas. Cm¡dcnadar sfáica!. CoordoDad^ cilíndricas pa¡abólicas. Coord nad¿s p¡r ¿bolo¡d¿l s. coord.nad¡s cillndrica¡ cliptic¡s. coorden¿das .lferoidales alargada!. coordenad csfe¡oidale acll¿tada. Coord.íadás cliGoidal s. c,oo¡denadas biDolar6, f" cooRDEN¡DAS .. .. . . . 135 r ANAIISIS TENSOnIAL t6ó fr) s fisica.. Espa.ios dc N dineftlones. Transfonnació¡ d coordenadas. Convenio de sunaalótr dc los ¡ndicca r.pctidos. Vcctorc3 contrava¡iant s y coyar¡aotes. Tensorcs con tr¿va¡ iartcs, coErian&s y mixtos, Delta & KroDeckcr. Tcnsor g de orden supc¡ior, Escalarcs o invarlsntes. C¿mpos te¡Boriales. T nsores simét¡icos y hcmisi¡nétricos. Op racior6 fu¡daÍF¡ úrles con iensor s. Matriacs. Algebra matricial. EI clomenlo dc linea y cl tensor ñétric o.

T nso¡ r clproco. Te¡sor s asociados. Módulo de un vector. Angulo entre dos v ctor s. Co6Don6Ls ftuic¡s dc un v .tor. Slrobolos de Cbfistoffel. Iry s dc imnsfomació¡ dc 106 sÍlrlboloc de Clristoffcl. Llncas eeodésic¿s,D rivada covariante do un t.nsor. Simbolos y t nsons altor¡antca. Fo¡ma t nsorial del iradiente, divergencia, rotacional y laplacia na. Dedvad¿ ab3olut{ o intrlns ca. Tensorls rclativo y ¿b6oluto. itDIcE. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2lE

-'Vectores y escolores \ICTOR. Es üna magnitud cüya determinación exige el conocimiento d un módulo, una direc: i¡r r :n sentido. Ejemplos de magnitud s vectorial(s son cl desplazam¡enro, la acelera ción, la velocidad, l¡! 'rÉ.;3. el imoetu. erc C.áñcameñte, ün vector se representa por un segmento orien¡¡ I,: OP (Fig. i); la longitud del segmento es el módulo del vector, la úr.J:.on de seCmento es la correspondiente del vector y Ia flecha indica a ;e.¡rdo del vecior. El puílo O s llama oigen o punto de aplica:: tt -:P el extrcno del vector. La r cta en ques apoyael segmento E :¿.ma dirc¿rriz del vecror. lnaliticam nte, un vector se representa por una lelra con una '.sj-r encima.porejemplo Á en la l-ig. I. el módülo *".,.'¡¡. Á r :¡en A. Otros autores pre6ereremplear una letra negrilla, por : :rpio A, con 10 que lA o A indica su nódulo. En esle libro emplea''= ri esta última notación. El vector OP también se pu deesc¡ibir j¡. o bien, oP; en este caso su nódulo es -oP, 1óF¡,o ti"n, or. ESCALAR. Es una magnitud cuya determinación solo requiere.el conocimientade u¡r número r. .antidad respecto de ci rta unidad de medida de su rnisma especie. !-emplos tip icos de escalares :i¡c la longitud, la masa,el tiempo,Ia temperatura, l tfabajo, la energia, etc.,y c ualquier número real. is escalar sseindicanpo! una letra de tipo ordinario. Las op racionescon scalares obe decena las nl.úas reglas del álgebrí elemental. ALGEBRA Vf,CTORIAL. Las operaciones de adición o suma, difercncia o resta, multipl icación x l.rodu todel álCebra lsmental entre números ¡eales o escalar s, sepuedengeneralizar,intro duciendo .ié¡rrminadasdefiniciones,al álg bra entre vectorcs. Veamos las defniciones fundamentale s. ./. Dos vectores A y B.son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección e idéntico sentido.Si además tienen el mismo origeno punto de aplicación, son ¡gral¿r. Tanto la equ ipolenci¡ como la jgualdadentrelos vectores dados la representaremos B (Fig.2). Ceofnó por A : tricamentese reconoce que dos vectores son equipolentes si el polígono que resulta al unir sus

orígenespor una parte, y sus

xtremos por otra es un paralelogramo:

2. Dado un vector A, el vector opuesto,-A, es senrido con(rario (Fig. lr.

l que tiene

l mismo módulo y direc¿iónp ro

VECTORES Y ESCALARES Su a o rcsultant¿ de dos veotores y B cs otro ^ B al vector C obtenido trashdando el orig n d. cxtrcmo de A y ünicndo cl odgan de A con cl cxtr. mo B (Fig.4). Anallticam ntes expresa A+B : C, Observ$e quc trasladando los dos yeotorcs a ün origen común, el veclor süma co¡¡ spotd a la diagonal dcl p¡relelogramo con l orig n en cl o¡igcn co¡nún-Por ello s dic¿ quc la suÍra de vcctores obedecc a lz ley del paralelogrumo (eéasc c=¡i! Prob. 3). La generalizació¡ a la suña de varios vectores Fla.{ es inmediatosin riás que iI sumando de dos n dos succaivamenta (ve¡sa Prob. 4). 4. La dtferencia de los tectores A y B, que se reprcs nta an¿lÍlicamcnte por A -8, es otr o vector C, t¿l quesumadoa B produc el vector A. Dicho de otra Íranera, para rast¿rdos vectoras se sunra al vcctor minuendo el opuesto sl \'ector sustraendo, es dccir, C : A -B : A + (B). Ls dio simplememte 0. 5, El produ.to de un esc¡rlar tn por un vector Á es otro veotor, h1A, de la misma di rec¿ión q pcro con un módulo l,rl vecesel de A y un senlido igual u opu sto al de A scgún queel lar ñ seaposiLivoo negátivo. Si ,n : 0. |'¡A es el vectornulo. LEYFS DEL ALGEBRA VECTORIAL. SeanA, E y C lras vectores y ñ y ¿ dos escalares estascondiciones s verifica: ,. A+B:B+A Propicdad conmutativ¿ dc la slma 2. A+(B+C):(A+B)+C Propiedad asociativa de la swÍa Propiedad conmutstiva del producto por un cscalar 1. n(nL\: (nn)A Propiedad asociativ¿ del producto por un s.alar t, (m + n'r[: nA + nA Propiedad dislributiva del producto por un escal¿r peoto de la sur¡a de escalar s \ ó. n(A + B): nA +,ñB Propicdad dbtribotiva dcl producto por un csc¿l¡r pccto de la sume de vcctores

Obs rvcs quc no ¡parecÉn más las propiedades dcl producto de un escalar por ün v ctor. lcap. 2 d finiremos los prodüctosentr v ctores. Étss lcyes p rmiten considetar y lratar las ecr¡acior¡ca vectoriales da la misma for¡na qu e si fucr¡l escalares(ciuacionesalgcbraicas).Por ejgmplo, si A *B: C, transponiendo términos, A: C-B VEC¡OR UNITARIO. Es todo vector de módulo unid¿d. Si Acs un v ctor de módulo distinto de cero,/ + 0, cl vcctoi Al,{ es un vector unitario de la mivn¿ dirección y sentidoque ^. Todo vcctor A sepu d repr s nt¿rpor el productodc un vector ünit¿rio ¡ dc ls dirección y s ntidoque aquel mul_ tiplicadopo¡ sl módulo de A, que es ün escalar. Analític¿m nt ,Pues,se esc¡ibe, A : ,l¡. VECTORf,S UNITARIOS TRINRf,CTANCULARE¡I l, j, t. Un sisten¡ tllúy importanE de vecto¡es unitarios son los que tienenPordircccioncslas corresPondientes a los ejes da un sistema de coordenadas cartesi¡¡as.n 1 csp¿cio, ¡, y, z, con scntidoslos positivosde stos ejesy qüe sc llarran veclorcs unitarios t, ¡, k (Fig. 5). Mientras ro sc diga lo contrario, supordremos que cl sisteña dc coordcü¿das trir¡ecBngularcs es 4alextrorsun>

VECTORESY ESCALARES , r bcchos. Ests dcnominación deriva d l h cho que un E:illo con ros.a a der ch¿s gi.ando 90' d sde O¡ a Ol, rnfz ctr cl scntido poshivode Oz. como sc mues¡¡aen r F!- 5. En gencral,trcs vcctores A, B y C oon el mismo origcn t fr coplanatios, fofÍnan tn sisteÍ\ <dexlrofiuh, o a derc,. iñ si un tornillo dc rosca a derechas girandode A a B po¡ i Éor ángulo avanz¿ eD Ia di¡eccién y sentido dc C, ^{ Es s. reprcscnb cn l¡ Fig. ó. vECTOnES COMPONENTf,S. Todo v ctor A en i :spacio (3 d¡mcnsioncs) s püede repres ntar con sü fc, ,r!-::cn en el conespondiente O de un sistema dc coorde¡ d15 trirrcctangul¡rcs (Fig. 4-Sean(,{r, ,1,, ,lJ las coordediEdrs cartesiaDa3dcl punto extrEmo del veclor cuyo ori' !!3 es O. Los vectores lri, A;, y 4k se llLma ^ vectorct r0, fi*pwnles rcatangulareso simplemenfeveclorcs .onponente[ ü -.{s gún l¿s direcciones x, y y z, resp ctivam¿nte, Los ,{¡, Ar y At 6c ll^r al coñponenlet rcclanguldr$ ofA -l¡rB companerit sdel vector A según las dircocioncs ¡,t y z respaolvamanE, -d.nent La suma o resultanti de los tres vector s,4¡i, ,1J, y ,4sk iEn ¿r cl vector A. ¿sto as. tt:AiiAziiA.} E módulo de A es Ftr. ? a:l^l:a/Ai+A.,+Ai E^ p¿trlic¡tlar,el y.ctor deposicíóno rudio recto¡ r cuyo origcn es el punto O y cuyo ertr emo es cl ponlo 'r-/, z), sa cscribc cr Ia forma f:n+r+zk {É tienede ñódulo t: rj: I x'¿+ f + z'. ¡ lcran CAMPO ESCALAR. Si en cada punto (x, y, z) de una reSión R d l espacio se le pu deadoci ar FB.

I rn escalar É(r,,,, z), hemos definido ün cdrnpo escalar $ cn R. L¿ funció¡ d dep nde,pu¿s,d l nto

y, por ello, 6e llama /¡rción es&lat de posición, o bi¿r, luicün de punto escalat. I Eje|nDt6. (r) I¡s tcmperatnras en cada punio int rior o sobr to

l¡ superficie de la aierra,

o un cier

I ¡nst¿nte,d fircn un campo cscolar. (2't ó (t, t, z\ : zr defne u¡ campo cscala.. * Si un oampo cscafar cs independiente del ti mpo, se llama pcnnaneñteo estacíoñatio, CAMPO VECTORIAL. Si e\ cada punto (¡, /, z) de üna región R del espaciose l puedeasocia r |d vector V(x, /, z), hemos d finido un .anpo wctotial V e^ R. I-a firnciónV depende , pucs,del punto y, por ello, se llama fuacün vectorial de posictón, o bi.n fuhción de pmto vectoial. Ejenplo¡. (J) Las velocidades en cada pünto (¡,),2) cn 1 interior de un flüido en movimiento, en un ci rto instante, definen un campo vectorial. (2) V(x,y,z): xt'í-2yz't + xtzL dcfinc un campo vectorial Si un o¡mpo vcctodal es iDdependiente del tiempo se llama perñdnenteo ettacionatio.

VECTORES Y ESCALARES Problemas resueltos l, Dé las nugnitudcs dadas a cont¡nuac¡ón irdic¿r las de caiáctefresl¿i y tas de e¡ácter

tor

f¿l ¡-.áa¿ (l) potÉncia ,r, "o,u^"n Ut eneryíA (,/, distanci¿ (j) intensidad del campo ñasnético -1f.. t Sot. (¿) veclorial s@le tu') eslár U) esc¿la¡ (r¡) es.ala¡ 0) yeclor¡al 2. Represent¿rgráficamentc:(¿) una füer!& de l0 n wtons eÍ la dir cció¡ Ét 30'Norte, ' (ó) u¡a fucrza dc l5 ¡cwtons m la dirección Norle 30" Este. Frs.{ú) Con la un¡dad d

ñódulos indicada, los vector spedidosaparecen rresentadd en las 6gura¡.

3. Un aulomóvil recorre 3 kilóñ tros hacia el Norte y lü go 5 kilómelros hac¡a el Nord6tc. R a rcstos ddplazamicnto y h¿llar cl desplazmiento Gultanter (¿) gráficamente (á) analiticameoto. El vector OP o A reprcsenta l dcspiazamiento dc I km hacia el Nort . El v ctor PQ o B reprcs¿nla l desplazamiento do 5 kñ El r ctor OQ o C rreent¿ el d splazamien@ resultaDteo sum¿ de los vcctores A y B,.s decir,C : A + B. Pu de observar8e la /e/ d¿l r/¡¿¿r'!1o dc Ia süma dc vcctors. El vector r sultantc OQ t¿mbiér s. puede obtcn¿r ttaz¡ ndo l¿ di¡gonal del par¡lelosramo OPOR construido co¡ los véctoresOP : A y OR (isual al vcctor PQ o R). Esra es b le! del patulelostMo & la suma do v.ciores. es d cir, de (a) Deteminoción etdlca d¿ l¿ ¡¿r¿r¿¿r¿. Se mid Ia lonsitud dc la diagon l cod la mi!¡na unid¿d de long¡tud dÉ I k¡n adoP t¿d¡ par¿ los olros vectons. Así sE deduce el valor dc ?,4 km sproxitradam.nle. M dianlc un trasport¿dor o schicircülo 8r¡duado s mide f ángrJlo EOQ 61,5'. Por lo tanto, el vcctor OQ ti no de rródulo 7,4 *m, y di.ección y s ¡tido E3tc61,5" Nortc. (b, D¿t.,ninaci¡jn anolítica de la rctultant.. En el triánsulo

OPO,llamado A, B, Ca los ¡bódulos do los v ctore3A, B, c, rdpectivam nüe, el teorc¡n¿ del coseno D ín¡t

scribir:

C' = At + B'-2ABcos L OPQ:tr + 5,-2<3N5)co6135. 34+ r5/t-55,2r d. donde C = 7,4J(aprorim¿damenlcj,

VECTORESY ESCALARES ahora l teo.ema de los s¿nos s

deduce l¿ dirección y el s ntido:

-{9liándo AC ser L OQP senL OPQ A*n oPO I (0,70?) *n oQP -:. 0.285s, LoQP : \6'35' a 7.41

E¡ v cior OQ, en consecuencia, ti ne de módulo 7,43 km y una d¡re.ción qúe forma un ángulo co a ¡irrEión Este de (45'+ 16'35') :61"35', esto es, su direcljón y senridoquedandefin¡dospo r Este 61"35, .{ 5¿¡á¡ la suma o resullante.de los siguient s dsplazamidtosi r-lo trtros haciael Noroestej B, 20 metros,Este 30' No¡te; C, 35 meüos hacia el Sur. (F¡g. a.) E¡ E¡ l¿ A

l xtremo de A s sitú¿ el oriepn de B. el extremo de B se sitúa el origen de C. resultant D se obtiene unierdoelorig n O del v cto¡ A con el extrerno deC, es d cjr, D : + B + C.

Sigüiendoel método e¡áficose dedu@ que el vecto¡ D tienede módulo 4,1 unidades:20,5 m y und rtF rión y s¿nüdo defrnido por Este 60 Sur ¡fs.(d) F¡s,(¿) S" Draost¡ar qu l¿ suma de vectores sozade ¡a propiedadconmutativa!A + B: B + A (Fis, (r )). OP+PQ:oQ, o bie¡, A+B:C, OR+RQ: OQ, o bien, B+A:C. For lo le!o, A-B B A. ¡5 Dcñostrar qu la suftra de v .tores goza de Ia p¡opiedad aso iativa: A + (B + C) : (A + B ) + C. ¡, ( .{ OP+PQ:OQ:(A+B), Y PQ+QR:PR:(B+C). O¡ + PR : OR : D, e,sd cir, A +(B + C) : D. oQ + QR : oR : D, esd.¡ir, (a +B) +C : D. f¡to¡ces, A +(B + C) : (A +B) + C

G neraliza¡do los resuli¡dos de los probleñas5 t ó s al muestraqueen la sum¿ de cualquier lme¡o é \ ctores la resultantc cs indepcndient del orden en o qE s. tofmn,

6 VECTORES Y FSCALARFS . . .,F".Ha,,a¡raruerza esne@sario np ' ;:if,ili1i1i¿3H'#:,i",Xi::"¿;¡;¡-* que ap,ica¡ "" ", ilTi:,ifii:t:1'"J,::,'?.:'#j,: ::iJü14:1{:"{ fi":tTá,,i":""1T::,":, rlll{"i;::::f henre. con to que s obtieneet potigonode plgli;il"lr*.i;; ";."'#;':T"f'.:H$::i*á.,i1""'fi",l'"'1ii"3ii.l*'.'.,,.:":'j1ii":L T-th?l'r;1;:1i.":lll'¿,,,"#: * -*, esro s,e,v c,of ffÁ:?TffllJ,?,::: 8. Dadoslos vector sA, B y c (Fi8. 1a),consrruirtosvectores(a) A _ B + 2C,(b\ 3c _ ,1.e^ _ B) (bt -i(2^-a) f.

VECTORES Y ESCALARES |' I. ¡L { 'ial IL ¡rih * aué! cn la dirccción y s¿ntido dcl Nor¡ ú¡ rclocidad, rolatirr ¡ l¡ Ti.rr¿, do 250 krvh --r l¡ cr¡t -t ¿¡b ¡rci¡ d. un vicnto h¡cia GI O 6te con -*-d¿ 50 tm/ll rEl¡üva a l¡ Tirt¡ lámblh. -üdd.d h v!¡ocida4 dirtccitu y sc¡iido d.l i,ccto¡ ycloEr Ét l o¡¡c ll.i?rla cl avión si no hubicac vi.nto. / il s.á¡ w : vetocid¿d d l vicnro a' -¡r v. : volocid¿d del ¿vión con üento V! : vclocidad d.l ¡vtón rin üGDto l'I F¡ 6t&! co¡dbidcs, ¡. : v. + w, do don¡lo v, v. -w : v. + (-lV). Midiondo I¿ ¡oogitud dol \¡ccto! Vó se obfen 6,5 unidades quc equivalcn¿ É.llo vicncndadospor Oest! 33' Nortl.

I¡do6 doo vatorEs ¡ y I dc dilint¡ di¡Ección, h¡llar la crptlsión dc o¡¡lquic¡ véctor r dd pl o F ¿qucllo3. Los vrctoÉs d¡dos no ticÍcn l¿ rnis¡¡á dircctriz. Por lo rúto, &tarmiÍa! un pla¡o. S6a r cu¡lquicr vectordo d¡cho ll¡o y r¡8sladomoslos \ ctorc! r, b y r dc quct.ng¿n 'naoe¡¿ d ori¡pn com¡ln O. por el xt¡oño X do r ú¡cemos partlole¡ ¡ bs diraccloüa! dc ¡ y b, Elpccti$rnrnt , forná¡do l para. , r

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| _'L" oD -¡(oa):.n, : 4., OC : r()B) )ó, ,,. ondordcxcrso¡.¡ cal¡tB Ahora bion, rógún l¿ lóy do compo¡ición del paralclognmo, ¡/-\{ :) 1trr OR:OD+Oc, o bi.¡L r:¡¡+,t , . á/ 1 u

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rgúr 106 ati!6 dé lo3 icclo.la. Dc l¿ const¡r¡cción gcométrica s d.spr ndc q*.t c / son único e ., b y ¡ (hdos. los vcctorEs a y h *¡ lo. ve.toret ¿n la á¿tt d l tístema dc coord$adrs dcñni por ¡ut dircccioDc on ol plano quc délrfiin¡n.

Dddo! trqt t torai no copla¡¡rio! ni paralclos ¡, b y c, h¡llr¡ l¡ expresión dc cuslquie¡ v c l 6pacio t¡idimc¡¡don4 s.e ¡ rl vdor cu¿lsui!¡¡ d.l.spacio de origi¡ o d qoc tr¿slad.Eos lor trc6Elorrs d¡do¡ .' D y c. Por cl .xtrlso i dc r t ¡..mo6 pl¡ir6 par¿Lto3,rca!.c¿ivamt , ¿ lo3 qu. rtct!¡min¡n . y b, b y c, y. y., forñó¡dos! cl paratcllpodo ¡Ox,Y¡Utl. Dc h fieu¡a sc doduco, . .u ov = ¡(oA):r¡ ) I OP : ÍOB) : ),b ) on dond! ¡, /, .¿ son e!.¿¡¡rcs on loc): zc) Alor¡bi.|| OR:Ov +vQ +QR -oV+OP + OT, o bicn, r -.ü +}n+ ,cLlc Ie con trucción g.or¡¿!¡icá$ d.6pr.nde quo¡ /, y t ron único6pamr, b, c, y r d,¡dos.

.-''---.-' VECTORES Y ESCAIA¡ES

Los ! ctorcs ¡.,lb y zc sollas componútet v¿ctoiales, o v clorts coftponcntct, de r.según I¡s dirlcciones de ¡, b y c, repecrivam nte. Los vscto¡cs .' b y c son los w.to'* ¿n la bas¿ d.l sisttroa d. coor' denadas d nnido por sus direc.io.ca cn el spacio.

Coño casopadicular,si aj b y c aón los vector6s uritárioi i;l y k, respectlvañcntb, rirt rtu¡lncnte p r_ p ndicuiares,cu¿lquier veclor. se pücdcexpresar!d fo¡m¡ única. cn fünción d li)s vcctor s ün losejespo.. ¡i + / + zL. -. Asimismo,si c 0, el e¿tor r peno¡ .eráal planofo¡madopor ¡ y b, obtcni¿nd@

l

problema10. = que¡:/:o. Supongamosque ¡ I O. Ertoncls, de ¡. + /b : O s d ducc ¡¡ : /b, s dcci. ¡: --(//¡)b. E-slo quiere d cir que a y b ricner la misma di@ión, lo cu¿l es cont.a.io a la hipót sis. Por co nsiguienle, ¡ 0, v de vb 0 se desprende que y O. 12. Demostrarqnesi los vectorcs, y b no tienen lamisr a di¡ cción,la igualdadv ctoriai ¡a +/b 0 implica r3. Demostrar que si ¡ y b son dos veclores cuyas dir cciones se cortan, la igu¡ldad v @torial ¡,a "l-),¡b : rú + /¡b implic¡qu ¡¡ ¡, e r' : ,r. ¡,¡+/,0:¡!¡+/:b ¡,r + /,b (¡,¡+v¡b):0, o bidt, (¡¡-xJ¡ +Cv'-./¡)b=0, Po¡ lo ranro, sesúnelproblema12. .t, -¡' : 0' ,' -t: : 0. o bien, ¡, -,,'Y':!,. 14. Demorrar que si ¡, b y c no son coplanariosni paralelos,la iSualdad vecto¡i¿l x¡ +/b +zc 0 implicá oue.i:y:z:0' Supongamosque ¡ + 0. Enlonces, de ¡s +zb + zc:o sc deduce ¡¡ = -)'6 + -:c, es decir, ¡ : -<-yl¡)b (z/x)c. Aho.¡ bien, -Olx)b -(?/¡)c es un veclor del plano qüe forma b v c(pto blema | 0), estocs,¡perleoe alplanodebyc,locualescontr¿rioalahipótesisdeqi¡ ¡,bycnosorcoplana.ios, Porlotan¡o,¡:0-Razonandodcanálos¿manera,süponiendo/*oyluegoz+o,selle8¡ascndascon' kadicciones,cor lo que queda derhoslradolo pcdido

15.Denosrra.quesi¡, b y cson tres vectores no coplan¿rjos ¡iparalelos,la igFldad i ctoli ai tia.+ Iib + z,c = ¡¡. hb r.c implica que \, :Í /, ,., z' : zt. La ccuació¡ dada * puedeescr¡bi¡ en l¡ fo¡¡na (¡r -¡rh + O, -y)b + (2,-2). : o. segúnefprobfemaf 4, ¡, -at : 0,lt y' : O,y zt o,o bien, ¡, : ¡¡, /\ : t^ 2| : z. -:r f-ió\Derilorrar quelasdiagon:lis de un paralelogramo so cortan cnsupuntomedio S¡,a;EC, el pamlelosramodadocuyas diasonales s / \ / \--l cort¿n cn el puntoP. ComoBD :r : b,BD b-e. Entonces BP : ¡(D ¡), ComoAC : a b, AP : .y(¡ + bi. Aho.a bien, AB AP I PB = AP -BP, con lo que, ¡ /á +.b) -¡(b a) : (¡ + /)¡ r L! -r)b. Como las direcciones de ¿ y b se corla¡. según el pro_ blcma 13,¡+/'l , ¡ :0, es deir, ¡:¡-',/" Por lo tanto, ¡ csol punto medio dc las dos diagonales. t7. Demorrarqueel pollgonoquercsultaal unir lospuntosmcdiosde los ladosdcuncuadr iláteroecunpara rerogr¿mo. Sea ,rBCD l cuad.¡láterodadoy P, O, rRy S los puntosmediosdésus lados (Fig.¿). En¡onces, == c), Rs:'r(c sP: rL(d+ ¡). PQ: '/,(¡ + b), QR '/lb + d), Ahorabi.n,s + b+c.l d : 0. Porlo tanto, PQ -' :(a -b) -"/c + d) SR y QR : '/'(b + c) : -'/,(d,+ ¡) -PS Como los lados opúesros del f'olieo¡o formado son igualesy pa.¿lelos, dicho poligonoee logr¡mo.

VECTORESY ESCALARES II o v11'r,..,.susrcsprcrivos deposic,ón. vectores 3""; i;ii*ll1llli';:,::: ':f"i'-o: "l "'9* D mos ^ ^: -",.:: o'.;'ürd;;;';.;i::;i;ü;HT'.:?ü[[?:Ti; g*,:' li TlTfi'T"'.:::::: ¡=q1 O' si,y soto si, se verifici¿, + ,, + ., 10. vvervecrordeposicióndco'r6s. rJ);'iF1::1".'"'Ti:':-oj,:::':lóle-f,r:f',{{rrespecbdeo enquéco¡diion s o. ve¿nos * *,¡i"."rá.i,iiíJi-,,ir;;,.,.;;;:i,H,i".ii,."í.#;: =de rl l la.Fis. (ó) deduce qu9.,:i +r,r, ¡¡:y +l!, ¡.:y _D. +r,!, con lo quc la ccuac¡ón ¡tr ¿,r! + ¿rr¡ : -se 0 se transfo¡md en a¡\+ a{, + a,r1: a(v + ri) + ¿lr + ri, * *.,, _ "*' (a,+ a, + a,:)r+ a¡,, + oii + a,¡,, : O La condición n .esaria y süficienre pa.a que ¿,! ¡ i ¿,r., + ¿r.i : 0 es (a,+a,+a¡ esdc.ir, a,+ar+a,:o. -0. Este resultado puedegeneralizane sin dificutrad. o). ü quepasa por dospuntos7 y a cuyosvectores :l deposición¡65p ctocrcror¡scno

{:. :,",;:::."".1T,1.-:1.,:ra y D, respecnvamente. S.a r el vector deposiciónde un ¡ punto ge¡érico P de la Dc Ia ñgur¡ adjunrasededuce, D\-AP.-OP, o bien,s + Ap : r, de donde Ap : r _ ¡ 01 -AB : OB, o bien,a + AB : b, de do¡deAB : b_s Ahora bicn como AP y AB son colinealcs, Ap : rAB, (b ¡). po¡ lo ranr¡, ta euación ped¡dacs r: ¡ + (b-a), o bic¡, r:(t _r)¡ + rb S.6'¿ ecuac'ónsce$ribeenta fofma(¡ 4a , /b_r. 0, o i-rtud susco ñ.irnLesdea.byr6 | _ | ¡r_ I =O -:-.: ionstSutente.según et p¡oblena 18. el punroppertcncce ¿ : re.ta qu une"4y A, jndep ndientem nte de ta clección ,J¡o néla¿o, Corno Ap y pB soa colin al s, siendo h1y ,, :!r escalarassc verifica: nap np['. o bjen, n(r-¡.) = n^ nn ! oonoesededucer , quese ttama farha rinérica. rr ¡ ,

VECAORESY ESCAI,ARES 20.(^4d pos¡ción4 y r, de rospuDto! Ylllr !:.vc¡r9y r\..1,rt I urt. -r.1, cf' un s6tom¡ dc coor&n¡d¡3

trirrecr¿nguhr.n fudctónde tos rlctorcs unit¡ridl, L. (ó) D.t rminar gráñc¿ y am tic¿tncnt le l, o rE6ülr.¡rc dc dirrc3 r c-roÉ Q{r,-t,2) (¿) ¡r=OP : oc + cB+Bp 2l+ 4t+ 3¡ r¡ oQ:oD +DE + EQ t_51 +2r (bl ctófcank,t.,la rcsulratrrc d. r, y .r !. oor¡!.E .!¡ ot¡soml OR dcl paralclosramo oPiO. 4t Anan cañ¿nt¿ vtcn d^d^ ñr ¡,+ r' = (¡ + aJ+ 3r)+(l-5, + 2¡):3t-l + Jr quc cl r¡ódulo ,,1dd vocaor A vi de d¡do por Ai+AJ+ A¡cca:llJ4¡1. Porcl t orcna dc pitágo¡as, (oP)': (oor'+@b" er do¡deO-P s et módulod l vecror Op, erc. Análosü'Ent, (oO)': (oT)'+ (iO)'. Po¡Io !¿nro. (-p)' . ro,nl. + riOy -tO¿). o A, -Al + AZI ,ri. ca deci', ,r : ,/ /? + 4=/l ¿. Dadd lo3v.c.or* rt : 3i-21 + t, r, : Z-4r-3r, r,:-r+2r+2t, b¡ll¡r lo. ñódulo3 (¿)r,, (á)r¡ + r' + r.. (.) 2r¡-3q-5r,. t.t lr"l ,r-¡r4+zrl = vljt1 tzf+6 = c. (ó)q+.2i.. = (3r-2,+r)+(a-{t-3t)+(-t+2t+zr) at-{J+ot = 4t-i, -

Porto t¡nto, l!+r,+."l = ll¡-+l+orl . /(8;7:&, to] = ,6 = *6=s,ec (¿) al -3.2-&3 = 2(3t-4 +t) 3(21-r, -!¡t) i(-t + zJ + z¡) = 0l-4t +21-6t +tA +9¡ +í = -roJ -tor 5¡-2, +¡. Porlo r¡nto. l2r1-3r,-s,"1. ¡r-zt*¡l -/(R;(8; (# =,6=s.qz Dado.loj v.ctoE! f, : 21-l + t , h : ¡ + l¡ -2r, r, : -2t +l -3r, t ¡¡ : 3r* 2i * 5r, h¡[¡¡ va6¡os oc ¡os c .3lar s¿. ó y . d0 múéra quc ¡. ¿rr r áf¡ r d.. 3r+2¡+5r = ¿(21-l+r) +r0+3t-2¡) +c(-2r+r_a¡) = (2.+b-2c)t + ({ +3ó +c)., + (¿-2ó -3.)r. Ahoú bi.n, los yétores i, L k no son ni coplanarios ni par¿telos,sc$l.n el probldra 15 , 2t + b-2c:3, <+3b+c:2, o,7.b-3.:5. Resolvicndocstcsisi.f¡¡de.cu¡cio¡.s,s:--2,b:t,c:-1cútloquor.:-24+r¡

El ve.\or r. d¿pcndclínealrurr¿ dGlos vccrorts rL r, y r.; cn otru pal¡bras, ¡,, r,, rr y ¡. , forn¡n sist r¡a dc vcctorcs l¡r¿¿,r¿nte ¿lepeüleúe. Sin .mba¡go, tres (o renoo d. cao3 cuatro v cror n¿.p.a¿ientes. Ir Ir ED Acncral, los v<.rorcs A, B, C, . . . sod lincaLEnto defEndbntes si .risten u cohjulto dé a4.,...,notodos¡¡ulos,deba¡cr¿que¿A+óB+.C+...:0,c¡tcásocoDtr¿;osonli T

VECTORESY ESCALARES II

L úÉ ü¡ !.rcto¡ udtario con la dircc.iór y sentido do la rGulranL dc los \ ctores r, : 2l + 4¡*:i;2i+3I. ¡rs¡lt¿¡tc R : !+ 12 = {21+4J-5k) + (r +2j +3}) = 3i + 6j _ 2[. r. lnl = l¡r-o¡-zr, /o7-tat'-,.-= t. + For lo tanto, un vector unitario .on Ia dire.ció¡ y sentidodéR es ! ¡ 31+ 6i -2L 6. 2_ = !, * 71 r3. 6, Comprob¡ción : + =
¡. Sobre u sólidoactúa¡ trÉs fu rzas A, B y C que,e¡ fu¡ciód dc sus componcntes,vieneÍdadaspor l cio¡

s vectorialca A : ,1ri + AJ + A¡, B:¿,i + 4¡ + A,r, C: C,i * CJ * C"x. Hallar el módulo de b tue.z¿ resült¡n¡c. B (/4r+41+c1)t+ (42+82+c')t+ (/3+8.+ca)k. Fuer¿a¡c3u¡t¿nlr = a+B+c: Módufodc la rcsulrante = ffi Este r sül¡ado se puede gÉncraliz¿r fácilment al c¿so de varias fue¡z¿s. tl. Detcmi¡a¡ 1o3 áogulor .! Py / quccl v.ctor r : xi+r4 +rt lorma cotr los scntidospositivosdc 1o3 cjc,sde coo¡denaal¡s, y _ co8!a+cos"É+cos¡?=1. El triángülo O?lP de la figura ca ¡.ctángulo er ,r; por lo r-t" *" {. Análogrm.nte,d. 106 tri¡ir$los ñcrán " tft ¡ulG OdP y O s! deduc¡¡. , : I v c,os/ = "o, ,,, 1.. --. rcspetúvaÍren&, Asimisrño, r, -r : \/t'-t yt ror lo urnto, co3 d /.co3p: .,cosy=-i, alcdóDdese deduc.n loc valor s dc los ¿n8ülos o, f y / pcdidos. D estls c¡prEiones se obti ¡¿ _xt+r'+2' {osia+cocr+cos'/ :1. ¡63 ¡¡¡¡¡6¡6¡ ¡6s z, cos f, cog ? !

llaman los .or¿roJ dtr¿.tores del rf;¡tot OP,

t, DctcrmirA¡ rm con uúto dc c1¡acion.s dc la rccla quc p¡sa por 106punaosP(¡¡, ¡, z) t Q(4 !6

VECTORES Y FSCALARES sL¡rqyr.106v.ctort dc Do3iclóndc Py O,tspetiv¡ment , y r .l conondic¡rt ¡ un punto EÉnéricoX d. l¿ recta PO. rt +PR rr o bisr¡, PR = t -rr rt+PQ o bi.tt, PQ : rr-¡r -r} Ahor¡ bicn, PR : ¿PO,lkndo r un c6calar. Ibr lo tento, r-¡r : (!' rJ qlrces l¿ óc1¡!cióúyrctorial d. h r!c-ta" En coordonadasIectangularcr,co¡no r-: ¡l + , + .t, kl'lr-¡¡)-{¡rl .rrl +tr¡, ' tllr2t.r2t..2¡) -(¡rl .t1t'¿r¡)l . (¡-¡r)t+(r-t)l+('-,r)¡ = tlt'2-';,t + 9a-t)t+ k2-zr'trl Cúro l, L t Do ror coplan¡rioc ¡i pardcloc (¡on lineal¡Eerti¡drp.ndi.ntes), s.gún .t t-r t(yr-r), ,-4 4\-z'\ de l¡ rcct¡, si6do , el psráúfro. Elii r !6 obtidi., f-tt fc-\ ,. D¿dod cúipo g calardefinidopo¡ {(¡, /, z) 3¡': -.ry' + 5, haÍ¡r .l vdor d. { (b, (t, -4,2r, (c) (-t, -4, -3t. = (¿) C(o,0,0) 3(o)2(o (oxof+ 5. 0-0+5 6l Q6,-2,21 = 3{rffl}-(1)(-2f + 5 6 + 8+ 5 =19 -

o lós punüor

(c) ó(-r,-z.-i) = 3(-1f(-s) (-¡)(-2f + 5 = --e-8+ 5 = -12' \ \ $, R Fascnt¡r¡¡áÍ!¡rste lo! si5¡i.[ta3 c¡spo¡ vlctof¡sba i (¿)v(¡,r)-.d+/r, (ó)v(ar: -¡t-r,|, (¿) v(.r,/,r)-.l+ ,i+*, (¿) En cad¡ F¡nto (r,r), cr(6pto d .l pun¡o (0, O dcl pl.no r/ ..tÁ dd¡ilo lm r¡dor ún¡co ¡I nódub y'FT¡', cuya rtiÉcción Dasapor .l ori¡ar y *r.ido ¡!.j¡¡dos dc é1. P¡.d .iopli6 rnétodos3¡áfico!. obs¿rv.ñro!qua lodos lo¡ v.ctor6! ¡sociadoi o lo¡ ltuntos do l¡! c r.un¡ tt + lt a', .o¡ a > 0, ti6n n d. Dodulo ¿. En ls Fig. (¿)8p¡¡oéD rÉprclontado cl c.¡npo c1¡asüótra uD¡ drtcroí¡¡d¡ clcal¡. ,

VECTORES Y ESCALARES l3

t¡4 F, cste caso.c¿da v ctor cs i$ial y opr¡csro ¿l co¡rqlpordiente de (4). En la Fig. (ó) se pr$ nta .l c mpo rEtorial en cuestión. En l¡ Fig. (¿) cl cafipo ticrF cl asp.cto d un flüido qüc cmerg. do üna fuénre puntu¿l ¿n O, iendohs dire.c¡ones y se.¡tidd qu apa. cen. Por 6sta ¡arón el @mpo sa lla¡n¡ dc tipo ¡uehte al. En l¡ Fig. (á) cl c¡mpo parecc fluir hacia O, por lo que sc llad. de ripo r4ntil¿¡o Dunlua ,. En el espacio de t es d¡mc¡sioncs la interpfctación co( sponale a un ffuido que eúor8e (o d$¡gua) Edialmente de ü¡1a fu nte fo sumid.ro) line¿1. El campo vecto¡ial s¿ ll¿Íu bidirEnional porque cs ind6ndiente d ,. It4 Corlro et módufo dc c^da e.ctor.s \/i¡lir, todos lo5 puntos de l¿ sup.rficie esféric 6:1.+ /, + z'

: ¿:, con a > O,tiend el mismo vcctor d. posición uyo módulo es, pr cisamente,¿. Por co¡sigü te, .l campo vectorial prqs ntael aspccto de un fuido qu en r8e de üna fülnte puntuat cn O se gt¡n ¡od¡s l¿s dircacioncs. Es u¡ ca¡npo d! t¡po /¿¿Ír, puntual cn tr . dincN¡oncs. Problemas propueEtoe JK

E¡dc lar ÍraAnitud6 quese citan dccir cüálcs so¡ csc¿lar.s y cuáles vectoriales. (¿)Enc¡glaci ntenirád d l campo cléd'ico, (c)entropfa,(d) trabqio,(¿)fucrzaccntrírus¿,(t tcmpc.atur¡,(a) por.nc¡al ravilaerio, (r) carga lódnca, (l) esf¡¡ rzocorrante,U) frecuencia.

sot (a)esc¿l¿r,(ó)vectorial,(c)esc¿lar,(d).sc¿lar,(¿)vccto.i¿1,(/) cscalar,(s) cs{:¿lar,(}) .sc¿l \ ctorial, U) es.alar. L_n av¡ón rccon 2m km haci¡ l O.st lr) erÁf¡.¡¡nn&, (¿)anali¡icam.rte.

y luelo lJo km Oestc ó0' No.tc. Ha lazamien¡o r sulCmt

i iof. Módülo 304,rknr, dirccción r sentido Oesre 25'17' Nortc. r Hallar l dcsplazañ¡c¡to rcsultant A, 20 km Estc 30" Sur; B, 50 krn hácia el O.6to; C, de los sigui Dtcs: { tm h¿cia el Noresk:D. l0 km Cresl. 60' Sul lr¿ Módulo m,9 km, dir..rión y sentido Oest¿ 2l'39' Sur. Dcmost¡a.sáñcrt[Ént¿ q¡¡e-{A -B) : -A + B.

Sob.

tln sól¡do pr¡nt¡al en P actúanlas tres fuer¿s coplanaria! qr¡ mü $trala Fig. (¿).Hall¿

.s ne.csario aplic¡r cn P paramantcDcr n ¡oso al sólidodado, So¿ 323lV di&crarnrntc opuost¿a la de i 50 ¡ú. D¡do3 1o3 Écton3 A, B, C y D Épr.sertadoó dr le Fig. (ó), construir ol vcctor (?) 3A-28 (C -D) ¡r;c+;(a-B+2D). t I I k I

l4 VECTORES Y ESCALARES 31. Sea ABCDEF los v¿rlic s de un s(ágono regular, halla. Ia result¿nte de las fu rz¡s reprE s@Éq¿spor vecto. s AB, AC, AD, AE y AF. S¿/. 3 AD. 38, siendo A yB dos v ctores dcmostrarlas d.siguald¿des(¿) lA + B I= la l+ lB ¡,(ó) l -B l¿ tA l

39. Demostr¿r l¿ dcsigualdad IA + B + C I S I A | + |B | + |C l. /¡0. Dos cindades.! y A e$án siruadas üna frente a la olra en las dos o¡illas de una ria de 8 km dc archo. si ndl velocidad del agua de 4 krn/h- Un hoñbre cn ,.{ qui reir a Ia ciudad C quese encuenh a a 6 kn aSuas de, y en su misña ribe¡a. Si la mb¿rc¡ció¡ qu utilüa tiene u¡a velocidad ¡¡áxiÍrz d l0 km/ a Cen l menor tiémpo posibl ,¿quédir ccjón debe torEr y cuánto tiempo emplea.¡ conseSuirs-

s¿/. Deb seguir un¿ ¡rayectoriarectilln aformaddoun ánsulo de 34'28'con l¿ di. eión dc l¿ co I h 25 min. 41. U¡ hombreques dirige hacia cl Sur ¿ 15 km/h observa qüeel vierto sopla del Oesto. A um.nt¡ su a 25 krí/h y le parece que cl vicnto sopla del Suroeste. Det minar la v locidad det vi nto asi co mo su d s¿/. El vionto vien en la di. cción Oeste 56'18'None a 18 krn/h. 42. U¡ sólido de 10ON depesopendedclcentro de unacu rda como se obsera en la figura. Halla¡ la tensión 7 en ;a ,sol. 100 N. ,t3. Simplifica. la expresión 2A + B + 3C {A - 28 2 (24 lB C)1. So/.5A-38+C. 44. S anayb dos veclo.es de distinta dhecciónyA : (¡ +4/)a + (2x+ / + l)byB : (y-, + 2)a+ l2x-3r-l)b. Hallar los valorcs d. : y d .y d manera quc3A : 28. lmN Sol. r:2-r:-t. ¡¡5. EntE lc vatores d las bas¿sde dos sistetl6 de coordemdaE s,, ¡, rr y b,, b,. b, n las rcl¡cionca ¡,:2h + lb'-b¡, ¡':b'-2h+2b', &: 2ü!+|''-2b, E¡p.esar

l v@tor F : 3b,-br + 2b, cn fu¡ción de r,, s", s". Sot. 2¡' + 5.' + 3¡¡.

4ó. Seá¡¡, b, c ires vectores niparalelos, ¡¡ : -3¡ noco!,lanarios det mi¡ar si los v ctores 2r 3b+ c, r¡ = + 2c,y 13: 4a-5b+ c son lin.almente independi nles.

xist

S¿/. Como se ve.iñca Iá r lación r. : 5r,-2¡,,solr li¡e¡lmeÍte indep ndientes. 47. Consruir el paralelográñodados sus vcctor sdiagonalesA y B. 48. Demostrarque la rect¿ que une los puntosmedios de dos lados de un triángulo es p aralelaal t.rcar igual a su rnitad (paralelamedia). 49.(¿) DemostrarIa ¡gualdad vectorialO^ + OB + OC : OP + OQ + OR, siendo O un punto interio¡al 1riá¡sulo,4rC y P,0, I lospuntosmediosd los ladd ,rr, ¿C, C,{, resp ctivsment . (ó) ¿Esci rtala igualdad si O esLrnpuntoexterior ¿l triáneuio d¿dd? Demostrarlo. So¿ SI. 50. En Ia figura adju.to, ,44C, es un'paralelog¡amo y ? y O lospuntosm dios de los lados rCy CD, respeclivame¡te. Demostrarque,{P y,{O dividcn a la di¿sonal t en tres partes iguales m diante los puntos ¡ y ñ 51. Demostra¡qu.l¡s ñedianasde un triánsulo s. cort¿¡ en ür punto. que e llamá baricentro, a l/l del lado y 2/3 del vértice opuBto s8ún cu&lqu¡eradecllas. f¿. Defilostrd qü las bis¿c¡.iccadc 1o3 áncrtlos dc u¡ triiá¡gulo s co¡td en un puDto, quc 3a llá¡¡ra ilrccDtroy @ffesponde al c ¡t¡o de la circunfcrcnci¡ ioscri¡a al a¡á¡gulo. 53. Dado un lriángulo cu¿lquicra, d.morrar quc exist otro triángulo cuyos lad6 son iSualcs y paralelos a la! ñe dianas d aquel. l* -.tru

VECTORESY ESCALARES

:l S.ú t y q los y ctoresde posición, ¡especto ale u¡ orig n O, de los punros P y 0, respecr ivamenre.por otra trE, 3.a R un punto que dividc al segr¡rento PO on la rcl¿ción a : r. Demoslra¡ que e¡ v lor de posición rD -f ¡¡q ' t viÍc dado por r in&p ñdicnbenentc del oflsen elesido. -; ;: :It o r¡,!., ...,I, los vectorcsalosición!respecio de un oigen O, de las rnasaspu.tu ate52,,, ah, .,., n,, .E5Í.íivamcnte. Deñostrar qu .l vector de posición del contro de nasas vi ned¿doDo¡ |liatLs.a ñ7r| + ñ2r2 + ,.. + nn n rod.p.odiontemcntldel origon elcgido. Í. E¡ Los vérticrs d un cuadril¿tcro, A(-L -2,2r, D(3,2,-l). C(t, -2,4t. y D(3, t,2), se c olocan .nasa3 é l,2,3 y 4 unidades, respectivamcntc. Hallar las coordcnadas del cenl¡o de masas de dicho sisterna. 5!¿_ (2,0,2). !fD.f,osuar qu la cuación do un plano que pas¿ por lres punlos dados ,-1, r; C, no aline ados, d veclofes dc ¡oslión rcsp ctivos r, b, c resfrecto deuD orin o, viene dada por p.+,b+pc rl. l li. ¡ l._L.l*,]*l^-l Li\+:

) \ , ¡¡¡do ,1, tr, p esqlares cualesquicra. Comprobarquedicha .uación es independi.nlc d l o¡ican elegido. / ' i¡'Lo.v ctorcsal posicióndelospuntosPyOso¡,r.spcctivameóle,r,r-2i ]j3l+k,y¡,:4'i:lj+2k. Derermina¡ l v ctor PQ en función de i, j, k y hallar su módulo. so/. 2l-ól +¡k,7.' f Seo¿o¡.::¡-l-4k, B = + 4j 3k, C: i + 2J-k, hall¡r h"i"*' -2t {') 2A-E + 3c, (ó)|A + B + C l,(c)I 3A-28 + 4c l,(d)un vecto¡ unilario conla

28+4C d f 3A-28+4c. Sor. (¿)lti-sL lbt\./ü e.u (.)/lss = 19,9t ,^la t9.95 1sobrc un sólido puntualenP actúan las fuerz¿sF,:2i + 3j-5k' F -5i + J+ lk, F,: i -2j + 4k, r. : 4t-3i-2k,riedidas en n *tons (N). Hallar(¿)la fuerza ¡esultante, (¿)el ¡nódulo de dic ha resultante. sol (a)2t-L Q\2,uN. ¡En cada uno de los dos casos determinar dadosson o no lin almente ¡ndependiontes sigui ntos, silos vector s 1d)A : 2l +l-3lqB : i-4I'C = 4i + 3j k'(ó) A : t-3i + 2I'B : 2l-4j k'C 3i + 2i-k. Sor. (¿)line¡hut dendientls,(ú)li¡ alEnre indep nd¡entes. C- Demost.ar qu cadacuatro vectores cn ües dim nsiones d b n ser linealmentcd p ddi nl s. lt g-Dernosirarquela condicrón ¡ec$aria ysuficientepara¡¡uclo3v ctoresA : ,41i+ /¡l _l_,'1.k , B : 4i + ¿,i + ,¡k, si. li, !",1"\ c:c¡l+CJ+csk, sea¡li¡ealmentc esqueclderermina independieñres n r lál i, i" | '*al't.t"cccero. ar (¿) Democt¡arque106iEctoresA :3i +t-2k, B: -l + 3¡+ 4¡, C:4¡ -2i-6¡ puedens$loslados de un triárliulo, (á)HaUa.laslongiauddde las & dianas de dicho triángulo sol.2.45;5't4t6 .12. G, Dado el cámpo escalar4Q, t, 4 4rz'+ 1ry2-z' + 2, hallar (a)d(1,-1,-2),(á) /(0, -3 , l). s¿r. (¿)36,(ó) ll. fRepre¡cntargráñcanentelos cañpos vectoriales definidos po. (¿)v(!.r);r¡-'J. (ó)v(t.r)=/l-rj, (.)v(r.t,,). ##3

Capítulo Productos escqlqr y vectoriol PRODUCTO ESCALAR O INTERNO. Dados dos vec¡ores A y B, sr¡ p.oducto o int rno,A' B, s define como el productode süs módulospor el coseno del ángulo 6 que Por lo lanto. L,B AB cÁrs9, OS0=" Obsérvcscque A B es un escalar, un número,y no ün v clor. Las propiedadesdel produclo escalar son: = ¡. A.B B.A Propiedadconmutativa P¡opiedáddislribü1ivadelproductocscal¿r 2, A.(B+C) A.B + A.C ¡espcctode la suma. 3. a{A B) -(nA) B -A (ng). (A'B)' sie¡Jo,, un cscalar 4. t.l = j.j =L.t 1, 1., = J,¡ = l.i =0 = = S.DadosA 4t+lei+4t y B 8ri + AJ + 8.t, se v rifica, AA = Ag, + A,B2+483 =a2=a2+Á'+a2 A'A =a'-ni+ai+ai B 'B ó. Si A'B : 0 y ninguno de los vectoreses nulo, ambos son perpendicula¡es. PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO. Dados los vectoresA y B, su producto e,(tcrnoes otro vectorC: A x B. El rnódulode A X B es el produclo de módulos por el seno ángulo I queforman. La direccióDdc C A ),8 es la p rpendicularal plano que fo¡man A y B, y sentido es tal queA, B! y C fornun un triedro a derechas. Por tanto,

'o A xB 0303n -,.{3sen09, siendo u un vector unitario que indicala direc.ión y sentidodel prodücloA x B. Si A: B, o si A ti ne la mismadirección qr.¡e B, sen0 0, co¡ lo que A x B 0. Las propi dadesdel productovectorial son: .1.axa -BxÁ (No gozade l¿ pfopiedad oonmutatila.) Propiedaddistribuliva del producto vcctorial 2. Ax (B+c) AxB + Axc respectode l¿ suma 3. n(AxB) = ('A)xB = Ar (DB) = (Ax B)n , siendo,) uD cscalar. 4, ixl = jxj = krk .0, lxj=k, jxk-i, k:i=j 5. Dados A =l1i + Á; +,\k r B Bii 1B,i+4k, s¿\,cfiric¡. l6

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAI L7 itk AtB = a1 A2 A3 B1 82 B. El roódülo de A x B repr senta el ár adelpáralelogramode ladoA y B. '] _ Í A x B -0, y nirguno de los vecloreses nulo. ambos tjenen ia misma di¡ección. IIODUCTOS TRIPLES. Por medio dc productos escalares y vectoriales de tres vcctor es, L 3 c. s püedenformar p¡oductosde la forma(A-B)C, A'(B x C) y A x(B x c). se vcrific¡¡ |¡qicdades siguientes: :'{r.B)c+A(8.C) deunparaleleplpedo A, By C : -r.(B x C): B'(C x A): C. (A x B): volumen de aristas .Dn signo positivoo negativo según qucA,By C formen un triedro á dereohas o ¿ izquierd as. s A :,11¡+,r'i +,{g|(,B:4i +4l +tL y c : qi + crj + c¡' A1 A2 A3 A.(Bxc) = 81 82 B. c! c, c. :-,^x (Bxc) I (AxB) xc (El producto vcctorial no gozadc la propieded asoc¡lriva.) (Bxc) = (A.c)B-(A.B)c ! -4' 'i-{xB)xC = (A.c)B -(B.c)A q producto A . (B x C) se l1¿Í]á tt¡ple ptoducto escalary se rep¡csenta por [AnCl: El prod ucto ,l x C) recibe el nombre de liple prcrlLtto vectoríal. ¡¡ el producto A .(B x c) se püeden omiti¡ los paréDtesis y esc.ibi¡ A 'B x c (Problema 4l). ábargo, sto no se puedehacar en el productoA x (B X C) (véanselos Problcmas 29 y 47). S¡STEMAS DE VECTORES RECIPROCOS. Dos sistemasde vectores ¡,b,c y ¡',b',c' sc ¡'¡' b'b'= c'c'= l -

= = = = = C.¡ a'.c b'. a b'.c c'. a c'.b 0 l¿ condición ¡eccssria y suficie¡tepara que los sisteúas de veclores a,b,c y ¡',b',c', sean recl. , b/c cva i. bx. a bvc t 0. (problernas53 y 54) ; r,": f i,l -J ¡ i"1 = .

':-= IE ?RODUCITOS ESCALAR Y VECIORIAL Problema¡ resueltoe PRODUCTOESCA¡JAR l. Deftostr¿rqueA.B : B. A. A.B:/Acos0:A/co 0:B'A Por consiguiente, et productoos.al¡r gozade Ia propiédadconmut¡tiva. 2, Dcmosúar qw A.b cs igual ¡ l¡ proyeccióndc A sobrBB, siendob el véctor ur¡¡taio cn Ia di¡Ección v senr¡dode B. Co¡üo indic¿ la fisur¿, los plaros pcrpe¡diq¡lares ¿ B trazado3por l origa y cl ¿lt¡ mode A corr¿n a aquA Gn bs puntosGy ¡I, ¡.sp ctivañ nt , po¡ lo tanto, -i PfoyeccióndcAsobroB:Cn:EF-Ac¡60:A.b i 3. DemostrAr +A.C, quoA.(B + C):A'B | 'r---.-á 54¿ ¡ el v.4tor ünirario en la dir c¡ión y s.ntido de A, Proye4ciónde(B + C) sobre A : proy cciónd

B sobr

A

+ proy .cióndeC aobre A (B+C).r :B r +C.¡ Multiplicado por ,,1, (B+ c) ,!¡ : B' ,,{¡+ c .,{s (E+C).A:B,A +C,A Teniendo m cü.nl¡ !¡ propiedaal conrhubriva dcl prodr¡cto A.(B + C) : A,B + A.C luego .l produclo esc¿lar goza dc la propicdad disiributiv8 f sp cto de la suma. 4. I}mostr¿rqw(A+ B),(C+ D) A.C + A.D + B-C + B.D. -

3,(A+ B).(c + D) : = Luogo el productoe!.ala¡ sozad la propiedadosdel ágebm ordin.ria. Dolproblena A.(c+D)+8.(c+D) A.C+A.D +B C+B' 5. Halla¡losprodr¡ctos s.alarcssiguié¡rbs: r'l r.r = lrl lrl o' = (l){r)(1) 1 -. j (ó) l.I ll L cos 90- -(l)(r)(0) . 0 . . r.lr.l l.l lll m' = (r)(r)(o)o -" = = (d) l.{2i-3J+I) 2j l-3J.J +l.lt = 0-3+0 -3 (¿) (2t-l).{3i+I) = 2l .(3r+r.)-,. (31+r) = l.t + 2t.| -3l' I -,' t = 6 +0-0-0 = 6 A,r+ A,t + A¡ = + 4k, deinostra. A$r+ A2B2+ Az ,6.)i A = y B 8,t + 4i q\. l ^.R \-,/ A,B = (¡11+,42j +,t.[).(ali +a2j +83¡) ,,{1t.(alt +,a!t.(8rr+¡,,+S3k) +8J +a3[) + 4J.(¡1r+8+4r¡) Arqrt +,\%r.r + a,BJ-t + a2B2r,, + 4831.¡ + A.B!r't + 4B2r'.t + ajB.r' + 1B'.r l, = t

PRODUCTOSESCALARY VECTORIAL l9 = A&r+ /t282+ a.B. r F i. i = I' j : k. k I y todoslos dcñft produclotcsc¡lar sson nulos, !-oA:,lri +,{t, + .r'r, ricooctr¿r q¡¡,r : y'T.r : \/-A'J,+,+,1'. ' ri-''> -, A ' A (,1) (,1, co3a' = A'. l"tryD, A -yti A. ¡ Ta.nbién,A.A : (/tl +,rJ + A*),(Ai + )tl + I,tt : (A)(a')+ (A')(A'\+ (A)(A,) Ai+ ,ti + s" ! Foblefna 6, ton¡ndo B A. : .r It lo-¡ano, ; VT \/4:+ 4+4es elrtódulo d6 A. Alsünas vÉces A.A 36 r$s nt¿ por A.. / ¿'6 ¿ -'1 A"-ü E rhr et ánsuto foÍn¡do po¡losv ctorcsa : !i l2r-L y a-6i -tt-?' AR.60, ,t \/6 +@¡ eÚ : t, B + (-3r' + (21:1 -^//(6r' ^.8: : (2)(O+ e)(-3) + (-r)(2) : 12- 6 -2= 4 ^.8 Porror¿nto, =o,uos. : * a. co!,- +P óOr: f t s¡ A .B : 0 y ,1y ¡ so¡ dbtintos dc cÉro, demolr¿¡ qu. A ca p rlendiculara B.

Si A.B :,{acor t cos0 sir B:0. 0, mtonccs 0, osóa,0:9O'. Reclprocament , 90', A a-Ha.ll¡r.lv¡lord.¿dcform¡q'¡cA:2i+d+ry8-41-2¡-2¡s ¡np.rpcrdicul¡¡t6. Del probleñ¡ s¡ A 'B = 0. l' 9, A y B ton F¡p o.liorlat6 t t Por lo t¡Dto, A'B (2)(4) + (d) (-2) + (I)(-2) 8-2o-2 o,.lG do'tdÉ, ¿ t. l* tt. DÉúostra¡ quc 106 itaiolü A:3i-2r+k' B:l-3r+5k' C:2i+¡-41 tonn¿nün triángr¡lo Dcmoatremo.,onprioar lüg¡r, quolosv.clor$ for¡Bn triángülo. ¿ B'D (¿) (ó) De las ngr¡ras 66 déduc¿queello ocü.re si \ i\ i. ;1 t.-¿L ls (¿) uro.te los r ctorcs, por cjdnplo (3), s la ¡¿sultá¡t dc los otros dos (1) y (2).

(ó) I¡ Esult¡rl. dc los vcctorB (l) + (2) + (1) ér cl vector nulo. Co¡no i¡di@ lás figurás, p . ocuri¡ quc doc v ctorB tcnlM cl sctmo cotntrn, o bien, quc ninSuno de los extrE nos co¡ricid¿n ' Er ¡u st.o i4-ca¡o 6 t¡ivial qu. A : b I c y, por lo tanto, los v.ctore, forfná¡ triá¡8¡tlo coño A .B = (3) (l) + (-2) (-3) + (r) (s) : 14, A . C : (3) (2) + (-2) (l) + (r) ( --4) : 0, y .J, B'c:(l)(2)+(-3)(l)+(t(--4':-2l,scd.duccqueAvcsoÍperPendicular$vqueelkiánsulo. ]

es r cEnsuro. Fur'¡ I

--'-'-'PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAL Hallar los ánsulos qucformael vecror A : 3i-ó¡ + 2k con los ejas coo¡denados, _rá1, Soan o, É, / los ángülos quefo¡rñ¿n A con los somicj s positivos¡, /, ", r sp crivañenrc. A t: (A)(t) cosa = ",/ a¡ 11-e¡ 1 1z¡cosa : 7coso A.¡ :(3¡_6i +?k).i : 3i.l_ój.l * 2k.t : 3 Por lo t¿nlo, cosd : 3/7: 0,4286,d. dond a : 64,ó.r aproxim¿damente, Análoraft nt ,cosÉ = -617, P : I49",dedonde.cosy : 217,r = 73,4o. Los cos.nos d. d,B,y ,,3¿llatuar,.osenosdircctotet de A (problerna27,CapíauloI). J 13. Halfar la f'rorcccióndel ilctorA: t-2i + k sesún la di¡ección deB:41-4i + jk, El v ctor udr¡'ioenradif.cciónrsertidodcBeb: : f iaffi-f, r-f, ; + !*. proyección dc a sobn el vécror B: A. b : (t-A + D. (+t +t + +k) -or(f)+t-a(-*) nor(l) :'r1 :''" ,,/4. o"¡n**, .l t or rha itel coseno ile un t¡iánsulo En la Fis. (¿)inferior, B+C-/{, o bi n, C : A-8, Lu.go c. c: (A-B).(A-B): A.A + B B-2A.B cr: Ar + B._L1Bcos0.

uarqu¡e¡.

AU Ftg.(d) Fl¿. .)rs-Dedlostrar que las diiasonalas do un rombo son perpendicula¡G. (Fis. (¿).) oQ...OP+PQ-A+B oR+RP obie¡, B+RP:A, dedonde, RP:A-B -OP, Luoso oQ-RP: (A + B) (A-B):,{:-a!:o. yaqueA:B. Po¡ consieuie¡t!, Oq ¡s pcrpendicula¡a Rp. -/ 16. Hall¡r el vector u¡ritario perp ndicular at plano formado por A : 2i -6j -3k y B : _4i + 3j k. Se¡ C = .rl + c't J-cakun vector pe.pendicula.&l pl¡no form¡do por A y B. El vec(orC p rpendicularaAyaB.

s

Lu.eo, ¡ C'A 2c,-6c, -3.¡ : 0, o s a, (1) 2¿,-6., : 3., e .B:4.¡+3.rtf c,:0, o sca, (?)4c,+ 3c¿: cj l' r ¡41 ü.&.

PRODUCTOSESCALARY VECTORIAL ffi¡do.l sircma romado por (.¿) y (2) :q = .r , ¿,= _ !" . = rlr-|; -rr. ; "" ú4r d i.ctor un¡lario en la di¡ec.ión y s ntidodc C es ¿3(;r-á,+¡) .¡ ¿J c 1(;¡ -;l +;r). I c ."'trlf.r-{r+rrf) ,f. &.t l¡abaio rBlir¿do po.la fuer¿aF:2i -l -k al desplazar unsólidopuntuala lo larsodel vc ctor f: r:?i-5r. (Fis. (¿),) Tabajo Ealizado = (nódülo de la fuez¡ en la dirección y sentido dol movimiento) (d.splazami&to) :(rcos,)(/)=F ¡ : (2i-j-k).(3r + 2j_5r) + 5 : 9. 6 '2 't,') E lbr la ocu¡ción delpla¡op¿rpendícülar 2l + 3j + 6ky quc pssa po¡ el extntfio detv ctor al r ctor A : f: i + 5¡+ lk, (Fig, (r),) Sea r el vectord posicióndel punto P, y O cl ertrerho de BComo PQ: B-..s p rDondicula¡.A,(B-r).A 0, o s.¿, r.A B.A csta ecuaciónvectorial ¡H planobuscado.En coord ¡adas rc.tangula.es, (ri+/,+zk) (2¡+3j+6k): (i + 5J+ 3k)-(2i + 3j+ 6k) 2x+3r +62: O)(2)+(5)(3) + (3)(6) : 35 En cl probleña 18, hall¿r la distancia del o.iepn ¿l plano. La dista¡cja del oris n al pla¡o os isual a la proyecaión de B sobre A. A 2i 3i | 6k 2 El v ctorunit¡rio er Ia dir ccióny senridoarcAes¡ = ' : ^

= )= Jo¡, *.ir, |-i+ 1:ia;-t. 'rd" Lueso,proyección B.¡ : (i+5j +3tt\ '(2111*3171+617 dcBsobreA t(2/7)+ 5i3/?)+3(ófD:5. -l \ ...--\ Sicndo A un vcctorcualqui m, demostrar queA : (A Di + (A j)l + (A . k)(. Como A:,4¡i *,4,i * A,k, A i= A;.1+ Ai.í+ A,y.i: Al A¡áloga¡rert ,A l:,r¡ y A.¡:r! Lueso, A .=lJ + ,lJ + ,,{,1: (A , i)t l-(A 'u + (A 'k)k.

22 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL PRODUCTO YECIORIAL 21, f,)cñostra¡qüeA x B: -B x A, Flc.(ó) ElmódulodeAxB:Ces,4Asen,ysudirecciónysenridosonraiesqueA,ByCfo¡manunried¡ a derechas (Fig. (a)). Elmódulo deB x A: Dest4 sendy su di¡ cción y sentidoson tales queB, A y D forman un trie dn a izquierdas (Fie. (,t)). Por lo tanto D tiene el mismo modulo y dirección que C p ¡o 6 de scotido contrario, es d ci¡, C -f) osea,AxB:-BxA. El produclovectorial no gozade la propiedadconmutativa. ,/r2. SicndoA x B 0 y A y B no rulos, d mostrar queA es paral loa B. Si AxB:á8seo0u:0, sctierc, sn 0 :0 y 0:0' ó 180'. .r23. Demostrarque AxBl+ A.Bi¡:lA' B¡. lA xB 1+ A'B:: ,4, s nÚu + I ,44cosÚ ' : ,a't' : lA :" iB r¡ /l¡1. Hallar losproduclosvectorialessiguientesl ',. ,lc) ¡xj = *. (f) jxj 0 (ó) jxr, = ¡ (s) rx¡'r= -rxi -j (.) rtt = J (¡) (2j)x(3h) 6jxl : 6l (d) kxj = -jxl = -l (i) (3i)x(-21) = -6lxk = 6J re.¡!j-0 I 2lli-31{, -2t-3[ --5r ,-/2s.DemorrarqueA r (B+c) : A x B +A x c en r aBy támbiéncuando ..lcasoeóqueAes perpe¡dicülar

\-lo sea a C. Como A es perpendicularaB, A x B es un vector perlendicularal plano fo.mado por A y B y cuyo móduloes,jA sen 90' : -lr, o s a, el mód¡lo de ,{8. Estoequilale e mulriplic¿r el lsror B po¡ I y girar el vcclór resulrante u¡1 ¡¡8ulo de 90' hasta la posicióÍ queseindic¡ en l¿ ñgura. Análos¡menle, A t C es el vector quese obtiene mL¡lliplicandoC pof A y gi.ar el vcctor rcsult¿¡te un ángulod 90' has¡r l¿ polición indrcadaen la figura. r¡

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 2t

M úisa forma, A x (B + C) esel vccto¡ qr¡. s¿ oblicne al ñutr¡plicarB+orAygir¿rclú Éhante u o dc 90o hast¿ la posiciónind¡mdaen ta figu.a. CE A x (B + C) es la diagon¡l del p¡¡alelosrsmocuyos la¡os sonA^ByA C. se deducó, ¡.C:O:AxB+AxC, brÉ¡r qw A x (B+c) :A x B +A x c en el !ú¡l c¡ qüe A, B y C no ! an coplaDários ni parah D6.omporiendo B ensw compon ntes, perpendicuhaA, Br, y paralclo ¿A, B , seticns, A: Br * 4,, | ¡-ñ-rdo, alángulo fofli¿do porA yB,rl s nr. -a k lo tanto, el módl¡lo de A x Br s ,,{, sen ¿, es decir, a¡r q!¿ cl de A x B. lá dircc.ió. y scntido dc A x B, E Eñbién la mbm¡s qu6 l¿s de A . B, Por consiti¡ ic,AxBr:AxB. A¡á:logar¡rente, 3i se descompo¡é C e¡ los v ctorcs lc y Cr paral:lo y F¡pendicul¿r, r sp c{iv¡ñcn@, a A, robtiene, A Cr:A C, = Tanbien,comoE+c B¡+Bl+c,+cÍ (Br+c!) +(Br,+cr,) se dedK , = ax (81+ct) Ax(R+C)' A¡or¿ bi¿n Br y Cr son vecior s perp ndicularesá A y, scaún el problema 25, Áx (Br+Cr) = AxBr + ^xC1 = AxB+Axc ^x(B+C)

$É cxprcs¡ qr¡ d p¡odüc[o r lorial goz¡ do la pmpidad disr¡ibutiva .6Fcro dc l¡ surha. Muhipt -l,y&niendoencuenlaclproblcma2l,(B+C)xA:BxA+CrA.Obsé.ve3 queenel prodl¡cto ve torial h¿y quc te¡ r on cuent¿ l ord.n d loq facto¡ s. Las propi dad susu¿les del n ¿plicar ú¡icar¡dnie 3i s toman los vectores e¡ el orde¡ élablecido.

II v-Si.ndo A =^1i+A2i+hk 9 = Bl + B.l I R¡, d mostrarqueAx B = AxB (r1i +/21+,4t) x (Arl+ArJ+B3t) : l1tx(A1t+A2l+r3t) + ,lrt x (8it + Brj I A3t) + ,la¡ x (Arl + B2j + 8oh) AlB¡xl +qB.lxl + Al¿ Lxr+ A2Bút1+ A28dxi +A28.txÍ +&B\kxt + qB'ttx! +A!¡ txt tj¡ = (4,4 A.B,)t+ (h4-Ai.)t + UrB, A2R!)k 8t A2 B. Dsdos a-2t-3J-l y B = r + 4J 4, hallar (d) A x B, (¿)BxA, (c)(A+B) x (A-B). 't. a. ll l r | /t. -) l' (o\ a/8. (21-31:*t (r+4j-2t) = l2 -3 -l ^ | 4-2 = -,li -ll. -:l=,oi+sr+11r 'if: , 'l-i :il -Ii (2¡-3t-r) x (l +aJ-2¡) = 2r x 0 +4j -3¡) -3Jx(t +4j-2r) -¡ x (t +{.,-2¡) = 2¡ xl + Etxt -4ix¡ 3Jxt -r2j xf + 6jxI ¡xr 4tx j + ztx r = 0 + 8¡ + 4' + 3r_ 0 +61_J + 4i +0 = 10t+3J+l1l

A PRODUCTOS ESCATáR Y VECTOR'^¿ ., ¡ I = ll (¿)BxA=(r+{¡-2Dx,rr-rr-r, 4 -21 -,l-1 -,ll:?l' j.-ll . -ror-o-rr:. -11 ' Conpa¡¿n.to oon (¿),A x ! -B x A. ()¡6¿rr r. qu. ato rquiy¡¡! ¿l @Éd¡ jsuirnt t Si d&EiDantc scFfmot¡¡.¡ür d doc Í!.¡r (fiIaso coluDD.t), .l dltct!¡üim!! canbi¡ d.-tf¡no. (.) A+r : (21-3t:t)+(l+4J-2t) : 3t+J-31 A-l = (21-3t-t)-(t+{l-2¡) = I -lj +¡ tl h¡c8o(A+B)x(A-B) = (31+J-3Dx(r-1+r) . ¡t -3 . I -31 -lS -!l I = -l rl36, 24. -201--'l-z rl-¡lr rl* It (A+a) x (Á-l) : ax(a-B)+Bx(a-a) r AxA-AxE + Bx^-Arl . a-ArE-rtxl!-0 = (a). aplicendo -2(r0t+¡r+rlD = -20r-8r-2r¡, Jp. t¡i A:l[-r+2t, B-2!+¡-t, y C=i-X+rt, h¡I¡r (a) (AxB)xC, (¿)ax(Bx (.) l'.j, 2 = -l+?r+5¡. ^'" = t I ,¡ t¡!¡o (Axa)xc (-t+tl+!t) x0-2t+2r) : =2+r+1t-rl. -

I I r It (ó)ExC = r -1 0l-ü -5h -5r-5¡. -l2 ' \t -2 2 l, r IrE¡o AXOxc) = (U-l+t)x(-5r-5D = l8 -¡ zl= l5l+tiJ-l!ü. 0-5-5 Ad pu.* (A x B),x C # A x (E x C} rr.in.lral¡ ¡ar¡¡ir¡d d. t¡dülrr loraor..L c¡ A x¡ !.rf clib¡ .mbigi¡od¡d... / 30. Dqr¡o.t¡¡¡ qu. cl áf!¡ dr un pñ¡lolotrá¡ro dc tadosA y¡.. lA x¡1. ¡l¡a r¡¡ p.nlclolr.Do -!E*Ls,$¡ tAls, iB¡ : lA )''E-| h.A-+'¡ ' i! Obúrt-qpc d ¡ñ d.l trl¡ryüb qr tinc po. i h¡lorAy t..ilml ¡,/. IA x I l. ¡t¡¡l¡r .l ¡n &¡ triÁ¡&do q¡ro. v¿rtic.! lon 106 Fudor 4t, f, 4, 4¡¿-t¡¡, ¿ f¡:, 4f, 3),+(r:-2)L rQ-(2-r)r+(-t -r-41-L Ia' (-¡ -l)¡ +(2-3)l'+(3¡:2)I l¡-l +r

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL 25 E For*Eá 3,O, {,,} bA ui¡¡$¡lo = ¡lPe i PRI jl(i-ar-r)' (-2r-j +k)l ij !l l-4-r | ":l-5r*r-ekt = r.,G#;1¡F;<-sP-¿lw. l -2 -t briÉ. el veclo¡ unilario porp ndicularal plano fo¡mado por A : 2i -6j * 3k y B 4l +3J -t . B cs un vector perpc¡dicular al plano formado por A y B, -l ! , k ,axB = li _6 -g = 15i -10j + 301¡ l2 14 3 -l ,{Fe D } El vccior ünitario en la dircccióny sentidodc A x B s ,a stst¡oTrcA '1, I rnulur.rss.fr +:+ $=1,?'.?' "^ la(Bt y/{15r+(-10r+(30)_ -¿ Fl *ctor üni.ario de la misma d¡É.c¡6n y sentidocont¡arioe$(-3l + 2i -6t)/7 Cc'oDarar con cl ¡ óultrdo dcl problcrna 16. Eir el teorerla de los s.nos en trián!¡¡lo plano. S.a¡ ¡, b y c los lados del t¡i¡h8ülo ,8c que 6erlÉla en ¡añgurai cn ést¿s condiciones ¡ + b + c : 0. Hiplic¿rdo por ¡ x, b I, y c x, sucesivam nt,s. ¡xb:bxc:cx¡

abeiC:bcsfnA sé¡ C !¡ib, C,Gidcrando un tctrecdro d. caras F,, F,, F,F., y sean r: Vb V& V. 106 wcto.e6 cuyoa ñódulos soll, rEspccüv.Et ¿, l¡3 áre¡s ds F¡, ¿, F¡, F¡, cüyas dircccion s son Fp.{dicul¿rcs a dich¿s caras y de séntido haci¿ el .xt ' i. del tel¡aedro- Domootrar qu¿Vr+Vr+V¡+V. = 0. seSrtn .l proble¡úa30, cl á¡!¡ dG u¡ triá¡8ulo do rdosRyS$'/'lRxS Lo3vectorosa¡ociados con cada un¿ d

lasc¿ras d.l

v' ' j e'r' y¡..r¡,c, y"= lcxe, v4= á(c-a)x(!-A) Luep v1+V2+Vr+V4 * [¡'r + ¡'c + c,¡ + tc-^)¡(B-^)] i [.r'r + r"c + c,aa* c'¡ -c'¡ -a'¡ + ¡,.¡] = ¡. Esto r lult&do !e puedr gÉncralizar s Dnpoliedro c r¡adoy, cn io cer¡ada

l caso lfifito, a un¡ suporfc

Atgün¿e v!co6, cono h.mcr visto c¡ cs& c¿!o, r.sulta conwnicnto asigna¡ dtu cción y sentido a un ár ¿, s dccir, consid6rar cor caráctcr vectoria¡ a un¿ supcrftie. Se pü nehablar, en ¿3aas condici nc. d.l Ect¿t &.a o v.cto¡ superfrcí.,

I{aih. cl n¡omcoto tlc üna fr¡cr¿a F Especto dc ün punto¡. EI rnaub ilel mo¡nento M d¿ una fi¡cr¿a F resp cto dc un punroP 6s igual ¿l módülo de la fuer F,

-,É-++' 26 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL multiplicando po¡ la disiancia dcl pünto P r l¿ di¡Ect¡iz de F. Por Io tanto, Iláma¡üo r al v ctor quo une P con cl origpd 0 de F. result¡, M : ¡(r sen 0) : /Fsen 9\ F,

: lr x Í |

El sentido de r x F correspo¡d al avan@ de un dacacor '\ Lchos cn ¡ con el s ntido alc ¡ot¡ción tal quc llcvc ¿ coincidircl prirncr vector con el sogundo por el ñenor de los ángulos que \---" forn¿n (r gla d.l triedro a dercchas que heños visto ¿nterio¡fncnte), El momento de un veclof se rr santa, ntorces, por M:rxF. at) 6d. Uo sóli.to rlgido gir¡ alredédor de un

je que pasa por O con

u¡¿ volocidld angular @. D mostr¿r qüe la v.locidad lineal y de utr pr¡oto P del sólido cuyo vcctor d

posición

s r vi ¡e daila por

v : {, x r, siendo @ un vector de módulo o y orya direcció¡ y s ntido son ¡as &l ¡yanoc de !n sacacorchosque gira en el sentidodel movimienro. Como l punto P dcscribe urla circunfe¡encia do radio . s n,, el ñódulo de la velocidad l¡leal v es @(¡ s¡ ,) : lo x.l. Pñ¡ co6igüie¡tc, v es pe.pcndicul¿r ¡ o y e r dc foúa quc r, o y r fo¡men uri tri dro a d r ch¿s. Lu go v tienc l misrno módulo, dirección y rcrtido que o x r, es clcci¡, i : o x r. El v ctor o se ll¡ma rd¿.¡Z¿¡d ¿¡f!PRODUCTO, S TRTPLFS. ../¡1. Oemostr¿r quecl valor absoluto ile A .(B x C) 6s igual al volu¡ber de u! pe¡alebptpcdodc ¿rÉtas A,B y C. Sca n cl vector unitario pcrpcndicüla.al pa¡a. lclosramo I con la misma dire¡ción y sentidoq e B x C, y á la dislarci¡ del cxlrlmo de A al pa¡aI I Voluñ n del par¿lelspípodo: (alrura,) (ftla delpar¿lclosr¿mo¡)

: (A.n)( lB x C L) : A'{ BxCl'¡}-A (BxO I SiA,By cr|ofonna¡ün tncal¡oa dclr.lE, A.¡ < 0 yelvolurrloD:lA'(B x C) I. qu s¡ ¡-A,t*Aoln/ok, c =crt+caj +cak de¡nostrar '/ts. B -Blt+Bri+8.k, AL A, 4l A. (Bxc) = 81 8' 831 c, c. c.l I ¡l ' L A" arl c\ c2 cal = (a¡ + A2!+ /{,r\. k¿'c"-¡"c")r + (&c'-¡1c.), + (81c'-&c)ll ,t¡ le A¿l . 4lB2C.-¡ C2t + A.@sCt-B/C.\ + ,tei¿$r-82C!) = L 82 B.l

PRODUCTOSESCATÁR Y VECTOR¡AL 27 .i,rd{ . [(i + j-k)x(3i-k)] (2 -3j) . t,'.' [-,I 2 -3 0l ' ,'( D.l Drobl ma 18. s obliene r I -ll =4. 7ü 'lq ¡ o -rl Olro nétodo- Haciendo oDereionos, (21-3J). [ix(31-t) + tx(3i-t) ]x(3r-r)l : (2r-3t. [¡ixr ix[ + 3jxt jx¡ -3¡xt + Ixrl = (21-3J).(0+ j 3¡(-¡ 3j + 0) t o, = (21-3t.(-t-2J-3r) = (2)(-1)+ (-3)(-2)+ (0)(-3) = 4. --t-. f\. l} D.f,ostrarqueA (Bxc) = B.(cxA) = C.(AxB). t-1='A 4arhl t'('r Del problefn¿38, a'(BxC) = ¡r82¿¡l c1 c' cal Teni ndo cn cuentaque n un det rminante si se p.ínut4n u valor A1 A, 4l L B. B"l B\ B, B'

ntn sl dos.llne¿! (filas o colun¡ad

LB"B"l=-t, ti ^.1 t" c"l cr c. cal ", I q c2 ctl ct c2 c. @ B1 82 83 o, a" a.l = c1 c2 ca B\ 82 8. -Dcm6rrarqüeA. (B x C) = (AxB) C. 7 Del problcma zl0, A-(txC) = c.(AxD). (AxB).C

En l prodüctoA (B x C) s pu ne$¡primir el paiént.sisy oscribirA .B x C, ya que.tr estocas ono xisa ambisii dad; e¡ ef cto, l.s úni@sint ¡prclaciones poliblcs ion dc A . (B x C) y (A B) x C, p.ro esta úlr¡nr¿ carec de 3crtidoya quc no stád ñnido el pfoductovcctoí5l de u¡ es.al¿rpor u vc La igu¿ldad A (B x C):A xB C sep¡.¡.deexprcsardiciendoquolosproductoses.al¡ry voctoris¡, en estas condiciones, sonp rmutables, a. Dcmstra. que A.(A x C) = oDelprobleña41. A (A x C) = (A x A) 'C : 0. .6. Deñctmr qu la @ndición ¡ec sária y suficbntepar¿ qr¡c los rctorEs A, B y C se3o coplan¡rios c A B C=0. Obs:¡ves que A B x C no puede8ilnifi*r otÉ cosaqr¡eA (B x C). Si A, B y C aod coplan¡rioa, cl volüñen dcl paraleleplpodo fomado por cllo6 6s igual ¿ c cro. Lucge, según el problema37, A BxC=0. R cípro@ftente, si A'B x C : 0, el volum |l del p¿ral leplpcdo fodnado po¡ lo3 vccaolEs A, B y C es ccro, y, por Io lanto, Ios v6cior$ son coplandios. {"1. Sean r':¡'i+¡j+¿,k, r¡:¡J+/¡l +4k y r.:¡J+rJ+:,k Ios wctoros d

posiciónd los

i ! I I 2E PRODUCTOS ESCAT.AR Y VECIORTAL luntos Pl¡t, /¡, z,), Pd¡!, ¡, zJ, y Plx,. .,¡.:,). Hal'ar lá ecuación dcl pla¡o qüepasa por A, & y &. SuporSamosqueP,, ¿ y ¡! Do esún ¡lineados, es dccir,quede¡ermi¡ra¡un plano. Sca r : ¡i +, + zt el veclo. do posiciónde un pünto senérico del plano-Considerddo los v ctoro3 PrP,: ¡:-r,, PrPj: rj-.r y P,P : r-r,,queson Dcl problem¡43. P,P PrP' x PlP¡ '= O ó (.-¡J G,-r,) x (r¡-rr) --o En coordenádas rcctangulares, .[(¡,-"1)l + (73-rl), + ('s-'r)¡] l('-.\)t + g-y1Jl +k-,i)rl Ll r [G3-'1)t =0 o bien, seeún el problema18. /V/r'rs,r pl2,-1, Iraüd la cuadóndolplanofonnadopo¡lospunros t), ¿:(3,2. -t) y pl-1,3,2). r,=zt-j+¡, rr : ll + 2i-k, .¡: -i + li-f 2k y.:-ri-l-.}i +2k. I-os v¡itores r-rr. F2pr= r?-ri, pal'r= rs-t éstánsiruadosenolplano pedido,luego ¡pt= (r-tt). (r2-rr)x(rs-.1) = 0 = [(,-2)r+(t,+1)r+(z-r)¡] -[i +3r-2r] x[-3i+ar+k] o = [('-2)l+(/+1)j+(¿-1)r]. [¡u+5¡+13¡] o u(¡-2)11(7+t)+13(,-1) = o obien,U¡+t+13' = 30.

.,/4ó.Seana,lyctosvectoresdeposicióndctospü¡ros¿Oyrtnoaline¿dos.D mosrrarque¡xb,fbxc+esun voc perp.trdiculs¡al pl¿nofo.rnadopor ¿ O y -R. LlamernosI al voctor d! posiciónde un pünro8enéricodetpleo form¿dopor P, O y R. lrs vcct ores

r-¡, b-¡ y c-¡ son coplan¡riosy, segúnel problema43. (r-¡) (b-¡)x(c-r) = 0 obien. (r-.).(¡xh+txc+cx¡).0. Luego.xD+Dxc+cx¡ espe¡pe¡dicular por¿ O yR ¿ r-r y tañbiénalp'ano formado , i. 47.Demosrra. = B(a.c)-c(A.B), =B{A.c)-A(B.c), que:(a) Ax(BxC) (¿) (AxB)xc (¿)Se¿na -¡1t +,.{,t+,t.¡, E=Alt+B2r+&¡. c=Crl+C,¡+car. r i rl Scticn Ax(Bxc) . (Atl+A2t+út) x Br B, 4l (A!t+A2t+&r,xt[B2ca-&c2]t + l4c1-Brc.lt + lBlc2-82cLlt) -

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL rr*l LA"A"l 4r"-r"r, ,"",-u,r" ",""- ",",1 (A2B'C2-AzB2C\-/9¡,3C\ (4B2Ca-&&Cr-laBrc.+ AL82C!)t +'l3Alca)l I + (A$.Cr-A,B{a- A2a2ca +A2B.C2>\ T¡Dbién, B(A. c) c{Á. B) (alr + 8r, +8s¡)(,.{icr+l,c, + -(CL\+Cá+cartúlal+ A2B2+&h) ^!C., (A2BLCe+!l3B$o-,14C$2-| + (B2trCr+B214Cs-C2trB\-AhBslt &C$) + t4Agr+ hA2C,-CaAl8r-CaA2B,)h :r taxB)xc = (^xB) = {A(c, E) -B(c. A)} = B(^.c)-A(a.c) habiendosutiruidoA,B s C de(¿) por C, A y B r spectivarE¡f . Obsérves qu6 A x x C) r¿ (A x B) x C, esd.cir, cl producto rcctorial no go2ad. la prop iedad 3--ciativ¿ psra todos los v ctor$, A, B, C' -cx D}-:r-..r¡arqu. (AtB)'(cxD) = (A'c)(B D) -(a'D)(B c). u lprobleña41, X.(CxD): (xxc).D. S aX = AxB¡ luego (^xB).(cxD) D = {a( ,c)-a(B.c)}'t) {(AxB)xc}. (A.c)(8. D)-(^. D)(B.C). s gúnolp¡obtema 47á). = ¡l lloostrarque:Ax(BxC) + Bx(CxA) + cx(AxB) 0. Delp¡oblern¿47(¿), Ax(Dxc) B(^.c)-c(A.B) = Bx(cxA) : e(a,A) -A(B.c) Cx(axB) A(C.B)-B(C.A) soa¡do mi mbro a ¡r¡iérnbm seobtilnc el tesutiado D.¡ido

= Desostra(que: (AxB) x(cxD) B(A.cxD) -A(B.cxD) = C(A.BxD) D(A.Bxc). Dcl pmbL¡n¡41¿), Xx(CxD) : C(¡.r¡) -D(X.c). S.¡ X=AXB; entonoos, (axB)x(cxD) = c(a )( B. D) -D(A x B. c) c(a. B xn) -D(4. a xc) 47(¿),(AxB) xY ' Dclproblems = A(4.!)-A(B.y). S ¿ Y=cxDi *roo"*,/. (Ax!) x ¿Cxrr) = B(A.CXD)-A(B.Cxn)

. 3 a PC¡ ün triáItsub aeféfico o¡yoa haLos?, {, . sor .rco6 ab clrculo má¡i¡no. Dcdodt¡ar q¡ seno s.n ¡R senP se¡I saú¡t

SupoDg¿mosqucla clfor¿ s d. r¡dio unid¡d, y scaí A, B y C los vccloEs unit¿¡ios traz¡do! d s c.Dtro O de l¿ $f6ra a lo¡ pu¡tos P, 0 y -R,Blpactivam nte.Del problem¡ 50, Q) (A x B) x (A x c) (4.! x C)A -

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL Elvóctor ünitario p rpendiculara A x ByA x CesA, por lo qucde(-l)se obliene (2t s¿o. s ¡q s nP A (A.B x C)A (3) senI sen4 ser'P = A.B x c Porpcrmutációnclctica de p. q, 4 P,Q,R y A,B, C se (4) scnpson¡scno: B CxA (J) sebq scnp san¡ : C'A x B Coño sesundos miemb¡os de (3), (4) y (J) son isualcs (problema4O), se¡ ¡r sEng s¿oP:san, scnr senO:sen4 s¿n p scn.¡R lonP seno senA Eat, s. el teor.na d. lot s.¿or de l¡ trigonomctria 6férica. quc:(AxB).(BrC)x(CxA) (A BxCf. .:'52.Dcfnoslra¡ Delprobl na4?(¿), Xr(cxA) = c(X.A) -A(x.c). Sc¿¡ X=Bxc; entonces, (Exc)x(cxA) c(B ic. A)-A(BxC.C) = = = c(A-axc) -a(D.cxc) c(^.Bxc) (AxB).(RxC)x (CxA) = (AXB).C(A.BxC) = (A: B. c)(A.B x c) = (e.sxC)2 -/s3. Dadosrosv {lores u'-Y c'= , dof¡ostfa¡quc si a' bx c I 0 ,I "' ifi. = = (a¡ a'.a b'.b c'.c l, = = = = (ú) erb a'.c 0, d.¡ l.c o, c'.a

= = (c) si ¿.bxc ¿GntoncesC.dx c' 1/I/, (d) a', b', y c' no son coplana¡ios si !, b, y c no lo son. :1 ..lrr. ¿.bxc bxc b.brc b,b.c = (0) ¡.D o.r Los otros $lllados se dcducen de forma análoga. También s pueden hallar obs¿rvando, ejemplo, que ¡' tienc la misma dir@ción y sentido que b x c y qu , por lo tanto, debe ser pcrpendic'¡ a b y a c, con lo cual, r'.ü : 0 y ¡"c : o.

De (¿) y (á) se innere qu los sistems de-v ctores¡' b, c y ¡', b', c' son r cíprocos. (Probl propuestos104y 106.)

PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIA! 3t v v rtr.go J. ú' c' (ax !). (bx c)x(c x ¡) --7i (a.bxc), v2 7 = = = seeúnel problcrna52. v" v. I rdr Delprobi ma43, si a, by c no son coDt ' o x c É o Lucsodc(')$deduccque¡"b'xc'+0 con iocuar ¡', b' y c' no *" " "oot-i;:1'.'" tr l>moslrar quc todo vector r se pucdeexprcsa.en función de los vectofes ¡ ciprocos d tp¡oblemaj3 enIo r = (r.d)¡+ (r.b,)b+ c.C)c. Delp¡obterna 5 B(a.cxD)_a(B.cxD) = C(r.Bx¡r)_D(a.sxc) coronce\. D = !18-{g' B(^ c\ D . crA B, D 4.BrC {.8.C A.B^c SeaA=¡, D=b, c=c y D=r. Enes|¿scondiciones, r'b,c i.¡rlt ..¡¡c ¡.b¡._ rx b \ -..,",.r."'", ¡.(a.;.crb_ r.,".¡;,. (r.d)¿ .r.ú,b + a.d'c i

-.4,' .'7 : \") 's ¡!.\j :\:/ Problemas propue;tog it '/ ' ( r^,) l. fallarir )¡.{t+ j).,(h1¡ -2k).{¡rlL). (.,(2t_ ¡r r(,.(3t+2i k)-\ : " , ,":;:','?_-,:;::4¡_4_4k,h¿'hf: ( (at^ 8. \b A. B,\dt ,o -," .-,1, ,r^ - .r"r. ! b , sot. U t0)bl -t.t\/ t4 t9r'! krt \/ tn k, _ A ",.,n 9a t'l';l';'g*'yo'-'o"BiJl1l;;¡' r-u* vB:4r ri+k, tbrc''4i-2i+4k vD=3/:6t 2t^. -"^ -', _./,, /'"'... "-r. \ +¿j-ai pc.rr n.licura.es? So!.a ,YLPa]acsévaloresd.¿sonA,dt-2jlkyB=.2di 2,_l 59, H¿lla.r los á nsu¡os. agL¡dosforrudos por ta @ta queuñe los pu¡rc {t. -3,2) y (l, j,l)co n tos ejes cooFs¿/. arc c6 2l:t. arc cos 2/1. a.ccos Ul ó 4a t2, 4A t2 .70 J¿ 6{).Halla.loscosnos directoresde la recra quc pasa por tospunros(1,2,,--4) 2,-4) 'J(\, Sol. 217,317. -617 ó -zfi,-317,6t7 ó1. Dos l¿dos de ün r.idnsulo sontosvectoresA li+61--2k, y B .4t_ji3k. Haltarlosángutosdct

triá¡au¡o. So/. arc c'x 7tl-3, ü. cos\/ ir/15,90., o bi n, 36.4,, 51.56,, m, 62. Lasdiasonalesdc un paratelosramoson A:l¡ o¡-¡,, U:t, t-lj -ót. Demosrr¿rquedrchoparaI log.año es u¡ rornbo y h¿ilar süs ánsulo. y Ia toñgrrud d( \u\ trdos: 3ol, 5{i12, arc cos 2ll75, 180.-arccos23/75. o bien, 4,33, 72.8,.107'j2,

-1 12 PRODUCÍOSESCALARY VECTORIAL ' ,(;.. *dg Hallar Ia p¡oyeccióndclv.¿tor 2i 3j + 6I sobr el v ctori + 2i +-,2k. Sot.8l3 -

f4.¡ Hall¿rla proy ccióndalv ctor4i 3J+ k sobr l. rc¡ia quep¿sapo. lospuntos(2,3,-1) y (-2, 3,. I S¿¿. t rF:.,siA:4i-J+3kyB:-21+l-2k,hallarclv ctorunilariop rpendicular¡AyB. .\ f¿/. +(i 2j*2ky3 óó. Hallarel ánsuloasudoformadopor dosdiagonalca Sol. arccosl/3, o bi n,?o'32' dcuncubo. al vector 3¡+ k. ó7. Hallarelve.lorunita.ioparaloloal plsno¡/ y porpcndicula. 4i s¿/. + (3i + 4j)/5 óE.Demost.arqu A : (2i-2l + Xy3,B : (t .f 2J+ 2h)/3y C : (2i t-j 2k)/3 son vectoresu nilarios mutuamente! .pendiculares. ó9. Halla.elrabajorealizadoparadespl¿zer alo larsodela¡ ctaquepasapor(3,2,-1) y (2, I, 4 ) uncuorpo enel campodefuerzasdadopor F : 4l-3l + 2k. S¿/. 15 70. S aF un canpo defuen¡s conslanie.Demost¡arquc.l trabajorealiradoparadesplazarun cu erpoa lo l¿rgo deun poligoñoceradoen.stccampocsc¿ro. 71. Demoska.queu¡ ánguloinscrilo n unascmicúcunfcroncia csrecto. 72. s a,racD un paralelosrarno. co, AC" , BD'. Dcmorrrarquc71, + a7, DA, 73, Siendo,arCDun cuadri¡átero y ¡ y O lospunlosnediosdesusdiagonales, quo cu¿lquiera demostrar m'-BV-éD'+Di,-Ac I aD' -4Pe, Esto es una gprEmlizacióndcl problem¿anterior. 7a. (a) Halla. l. c¡nciónve.torialdel planopcrpcñdicularaunvelor dadoA yquedistap unida

desdelo.igen.

(r) Epresar la ecuaciónd (¿)cn coordcnad¡sr clangula6. sol. (¿)r'¡ -p. si ndon = A/,,1I \bl Aé + 4, I Ar Ap ?5. Scanrr y r' v ctoresünnariosdcl plano¡/ qücformanlosángxlloso y t con l sdn¡ej ¡ p6itivo(¿)Der¡roslrar rt =co6ri +scn/j. que.¡:cosol+sln¿1, (ó) A pani¡ d .1.rr, r ducnhs fórmulastrigononélicas cos(q-l) : cosocos, + s.n4 sénp, cG(q + t) : cosd cost wn d senÉ

?ó. Simdor el vecto.dos'.ióndcun puntod¿do(¡,,r,, r,),y r l vectordeposicióndéun pbto cual era(¡,r,r), hallarellusarsoornétrico (ó)G-a).a:0. (c)c-a) r:0. d. ¡ si (a) 1r-¡1-3, so¿ (a) Esfera,centro n(¡,, t¡, r,) y radio 3. (b) Planoperpendicular a e quasaporsulxtremo. (c) Esferade ceÍt.o cn (rtl2, r'12,,'12) y .adio '¿t/V +-yi i )i, o s a,L¡na srerade diámet. o(¿). 7. Sio¡doA:3i I i + 2I y B: i-2j-4t losv ctor sde posiciónde los puntos?y O resp ct¡vamente: (a) HaUa¡l¿ ecuacióndcl plano que rrasapo¡ O y sporpendicular l^ re.ta PQ. (ó) ¿Cuálas la disranciadel punto (-1, l, l) al plano? ^ so/. (¿)(r B) (A-B):0, (b) 5 o bien,2t +3t +6,: -JEt 78. Efegtuarlos productosindicados: pl zi Bi +xt,tb.(i+2,r.k,(c)(2t-4k).(+2t,(d){4t+l-2k)\(3i+k),(¿)(2i+j-r)x{li 2j+4r ) So1.so1.(¿) (¿)(¿) 8i 8i8i ót.6k, (]¡t(D 2l-1.2t-1, (c)(c)8t-4j+4k,8t-41 4k. t¿' ¡(l)i-10j-3k,. loi -ll. (er2i -lll -7k (e)2i-111-7k 79.SiA:3i-j-2kyB:21+31+k,ha¡lal (o)lAxBl, (¿)(A+28)x(2A-B), (.) l(A+B):(A B). s¿/. r¿ry'1e5. ró)-2Jl -351-55k, (.)2v195 E0.SiA-i-2j-lk, B:21 +l-k y C-i+3j-2k, hallar: (¿)L(AxB)xC, (.) A.(B x C), (.)(A xB) x(BxC) (¿)lA : (B x C) , (d)(a x B).C, (/) (A x B)(B.c) sor. (a) 5\/ 26, (ó) 3 1/ lO, (c) -m, Q, -20, (¿)-40i -20j+ 2Ot, (/) 35i-35i+ 35k Sl.Demosk¡rque!isev.¡iñcánsimuháncamcntclascondicion.s:(¿)A.B:A.Cy(ó)AxB-AxC, .r-. siendoAt 0, se1icn.qu. B = C, pcroqucsi solos cumpl unadeeltas,e¡.o¡cs B + C nec sa riamenc. '!| -El Hallarelár a cuyas sonA:3i y B: + 4k. delparal.losramo diasonales +J-2k i-3j Sol.5\,/3

PRODUCTOS ESCA¡.AR Y VECTORTAL ffir.l ¡¡ta ó.f¡riángulocuyosvérriccasonlospunros(3,-1,2),(1, *1, _3) y(4,_3,.D. Sot.U2,J¡6s t:l-¡-3kyB:i-2j+k,halla¡u¡v ctordcmóduto5p rpendicular¿losvecroresAyB. rd ==fi +i + k¡ fei*lo en cuenta cl problema 75, d.dlcn Ia fómülas scn{d-}3): sendcos, -cosos nr, scn(a + r) : s ndcosp + cosds np L ¡dD la fuerz¿F : 3t + 2i-4k 6n el punro(1,-t, 2), Hatlarel mom nrodeF respectod.t pu nro )r¡l.J). Sot.2i-7i-2k l¡-Ehcidad anrular de un sólido rls¡do qu giB-'¿-lrcddor d

un e.¡ fii, ü ne dadapo¡ o : _

4i + , 2k.

Éd-la velocid.d llne¡l de un pünto p dcl sót¡do cuyo \4.tor dépoi¡cion nspccro ¿e un punro'dc *r_3i _r. s¿¿5i Bt_t4r. I ,J¿ .l t -: tq a_l l, ' h¡i6ca¡(A.r.B).(B+c)h¡i6ca¡(A.l.B).(B+c) x(C+A).x(c+A). so¿ so¿so¿2A 2A2A BxcBx.l | '-i,r r iI '-'i,'l I la.¡ A.ba.ol 1i ,-i:)>* , hGuar quc(^.8¡c)r¡.b\c) . B.b u.cl ,r lB.¡ i í , I lc.. c.r c.ol _j l, í I Éi¡.¡_efvolume¡dcrpaBlefepipedocuyasaristassonA = zt-\ +&,cj.+ f,i, c: ¡i-l r:r,t¡¿ 7 bdrA-BxC:0,demostrarquc,o(a)A,ByCaoncoplanariosnosicndocolin alesdosdocllos, ¡.úrdosdelosvcctoresA,ByCsoncoli¡eales,o(.)lo3!rcsv.croresA,ByCaoncolineales. &ta¡ lacor3t8nt ¿ deformagueloswcro.es2¡ i*k,i *2i-jly 3l+aj +5k s ¿ncopEnanos. 5.¿ ¿ --4 f.¡ lrciorcsdosiciór,con¡especto¡l orisen,d6tospunt6¿ Oy,Rsonr,: 3t-21_k,., : i + 3!+4r! .' : 2¡+ J-2k,resp ctivam nt!.Ha¡l¡¡la distanciadeP sl pla¡oOOa. So¡. 3

t¡Irar ladistanciadesdeelponto(6,--4,4)¿lare.taquepas&por(2,I,2)y(3,-1.4), Sot 3 lLd6 fospünlos.(2, ¡,3), OU,2,t),R(-1. -\ -2) y S(t, ---4,0),balta¡lanfnim¡ dista¡ciaent¡! t a! r.ctas ,!y ¡S. Sol, \/2 Ihlostfa¡ quelasalturasdeun l¡iángüiosr coTraneDün p\ñto (ortoc.ntrc). D.dost¡ar quole3medialricesdeün triÁngulosecorta¡ cnun punto(clf./r¡c¿rrf¿). rñostrar que(A x B).(c x D) +(B x c).(A x D) + (C x A).(B x D) = 0. b POnu¡ ar¡Ángulo sféícocuyos,ados¿ 4 . sona.cosdccircutomáxi¡Ío.Dcducir lte¡)En¡ dclcoscoo é 106iriársulos sféricos, cosp= cos4cos.-sen4sanr cosP &r Frñrut¿ciónclclicad laslelras.sod ducenlórnulassnáloga\params4 y cosr. [¡'d: ln¡erprcter¡osdosmiepbrosdeIaidcDtidad(A x B).(A x c) : (B.at(A.A) -(A . c)(B ,A ).1 ,

PRODUCTOS ESCALAR Y \'ECTORIA! t4 102.Hallar ün sislcfnade rlctores r ciprocos¿l foÍnado por 2t+3J-t, l-l-2ü, -t+4+21, -it'r-ir, -:r+r-ár s¿¿ír 'ir. tor.si ¡'= r-.::ro* , dcnrosúa¡ J=;l*, que ".0,".!!1, bxc c'.f C'; = o=¡o1d' ' " "'.r'*" "'.b!"' 104. Siendo ., b, c, y r', b', c', tal s $to a'.¡=b1b=c"c=l = ¡'.¡ = r'.c = D'.¡. b1c = c1¡ = c1b 0 demosÍa¡ quc s t riñ@: bxc .l!, ¡, -r,= "Io ¡. brc a.Dxc ",=

105.Demostra¡quc el único s¡stema d. vectores quecsÉiproco de sl mismo s cl fo.mado por l oc unitar¡osi,i, k, 106.DeEGtrar quosolo ¿xiste un sist r¡a dc ! ctores rcclprcco dc uno dado de ! ctoÑs ¡o copla ariosni ü r

Capírulo3 Diferenciociónvectoriol ¡DA DE UN VECTOR. Sea Rlr) un lEi6 de la variablee,cálaru: e¡ esLas co! aR=n(¿+^¿)-n(r) jx R(&+A¿)-R(¿) _ Ae li ^resel i¡cr mento de la variable ü, como .D la fisur¿ adjunta. &F.¿ca del veotor R(¡r) respecto del escalar r se definepor d limit . dü ar-o a¿ R(! +A¿) A¿ R(¿) ¡tR dependf tanbién dez, se puedehalla¡ de forma análoga, su derivada rcspectode ,r ; ." ,.nr"r"nr" W. ffi. enálogam nte definir las deriva¿las sepue¿len d

orden sr¡perior.

gItI--rS EN EL ESPACIO. Si, en particular, R(r) es el vector de posición(r) qüe une el odgsr i5¡.ma de coorde¡adas co¡ un pu¡to (jr, L z),cualquiera, r(¿) =,(¿)i + ylu)i + z
"r ;1 f *" un u."to, la dir cción de la tangente f,-", "n ,:eaa en el punto (.!, ), z) y viene dado por d\ tl¿ du du' du" ¡tú 'c .aso de quela variable ¿ sea el trempo r, -4 Ia wlocidad inslanfánea \ con la queel ext¡emo de r describ * * **acün insta tátaa L to taryo de di ha curv¡. , * #

la curva en cuestión. Análo:

3ó DIFERENCiACIONVECTORIAL CONTINUIDAD yDERTVABILTDAD.Unafunciónescalard(r) escr,¡¡?,raen¿sj tim ó(u : é(r), o bien,si paratodonúmeropositivo<existeotro ó detormaque . ló(u+¿u)-ó (,)l< paratodo l/r <ó. Unafunción\e.roriatRll,r . R,tuti . | c\,anrind en, lin xtu + ¿ut:R(u) Dichoge otra manera, (scaj¡¡es/(r{,). Rf,) y ,c.rrl, o ¡¡en,ij R¿tu.t¡ Rswtk ¡i to sontasrre\I .,-o R(r) ,;ñr,.é-,..: . , . paralodon¡imeroporirj,o, erisre -_, olro ¿deformaque IR(r + /r) -R('])i < . paratodo 1lu
Conrespeclo al ordendelost¡ctores,hayquerenerencuentaqueelproducrovectorialnoesconm DERIVAXIASPARCIALIS Df I]N V¡ lli,lffi; 'l:::í"'":i;'Tl:,.i::¿::i:'J:',1ffi1i..; ';ü;;',;:: *t.:,li:l,jl ¿A 1q!'5¡¡i1¿' o';1, siexistc esteljmite. Anátogarne¡te, AA A(r, T +Ly, zl * =Um A(.,y,2)a). a!'o Aa Al¡,i, z +A¡) = -A(¡.y.¡) lim é; ¡ so' lasderivadasparciares deA rcspeclodc , y de:, respectivanenr , siemprequelos¡imiresexhtan_

DIFERENCIACIONYECTORTAL d continuided y dcrivabilidad de funciones de una varieblesepued n generalü¡r ó. dos o más variables.Por cjcmplo, unad(¡, /) asconlinuaen un punto(.x,/) !i .ú¡-_r--l,v): C(¡, J,), o bicn, si par¡ todo núrie¡o positivo . existc otfo ó dc forma t\! < r pararodollx y l/¡ l< ó. Análogas deñniciones ¿t\-ó(x,r\l | <6 s Gn cl caso dc funciones vectorial s. &fu¡oones de dos o más varieblcsel t¿rmino indicrqu. ls función deriv¿ól¿ ticneprimems de orden sup.rior 6e dc6¡lcn dc la misme form¡ quccncl cÁlculo difercncial ordin¡.io. a'A a.aA. a'?A a .aa- aza a .¿a. oz' ot ot of' of oy a'A ¿.aa-a'A a . a^. a"^ a.!1t-, _ ot o, ot of ot ot ot o2' ot o2' parcisl scontinuss de s gundo orden se vcriñca = 4-csdcc¡r,el ordcn ¡;" cs ¡ndifcrcntc. d-* d. la derivación paro¡aldevectorcsson análogas a las dcl élculo diferenci¡l ordinerio pqr¡ llcalar s.Por lo üán(o.6¡ A y B soÍ funcioncsdc x. /, :. se lienc -rr=,r.F*S.¡ ."r=^'$-$'" i, ztl: ,i t,i: ¿'t '\)' a ,- aB {r|.B) 3{3t,r.¡r} $.¡l AAaB ?a aa _ .

^.9. -s+.s. DE UN VECTOR.Las fórmulas dcdifcrcnciac¡óndc un vcclor3onaráloras a la3 difcrcncblordinario. Por ejemplo, dA= dA¡+¿A;l+d'l.l ^=AJ+Azl ¿¡-B).A.dA+dA.B +41, enlonces Ja¡B)-AxdB+¿AxB r A= A(¡,y,,),scricDcdA , -*¿' #¿ !a,, "t". DI¡ERENChI. Constituye el cstudio de l¡s cuías y supcrfici4 cn el cap¿cio. curvacn el espacio dcñnidaporla función (t¡)¡ seerlnhenrosvisro. es un veclorm l¡ di. $ & la tang ntea c. Considerando ¡l escalsr ¿ como l¡ longilüd dc arco r medida a partir da un de C de la curva $ es un vecto¡ tanglnte a cy quallamarlmosT coño sc obs.fta a¡ la ñgur¡, ¿lu

:+' 3E DTFSRENCIACION VECTORIAL La v¿riacióD d. T respecto de r es una medida da la ,f¡ cürv¡tu¡a de C y vGne dsd¿ por +. k direcriórt .= de en un pruntocu¡iquicra de C ec l¿ correspon dienta a la trofmal ¿ la cuwa en dicho punto (Probleme 9). Et vcctor ünitario N er la dirección dc la nonnal se llama ¡o¡mal princípal ta c\rt.la. Asl p\cs, ^ ,(\. siendor la .r¡r¿rr¿rd de C en el punb dado. ; El ¡rclproco de ls olrlvaturo, e : llr sellÁúta. rudío de EI vccto¡ unitario B definido por cl productovccto¡ialB : T x N, perpendiculsral por f y N s llam¡ óü¿D¡a, a la cuna. Los vectoresT, N; B to¡maD ur riedro triñectángulo en cu¡lqui r punto de C. Este sistemÁ dc coordenad¿s recibe el nomb¡e de triedrc itlttlnse co en Como a medid¿ que varla r el sist mas desplaza, s le co oce oon la denoÍun ci6n de ttied ro r L6s fó¡mulat de heñetseftet qüe rclacionan los vecto¡És T, N y B con sus dcrivadas, güre¡@l: ¿TdN dB = rB -}(T, = -7N ¿" ;; eDdo¡de

l esc¡la¡ r se ll,ama to¡r¡idr. El r cíproc¡ dc l¡ tonión o : l/r es el rudia d. tor

Bl plarc osculadot E lunagurva en un punto ¡ $ el que contien a la tangente y ¡ I¿ en P. El plano ñotmal es el que pasa po¡ P y esperpendicular sl plaro tsngente. El p /dro que pasA por P y sDerp trdicula¡a Ia rormsl principal. MECAMCA. El estudio del movimiento de uDa pa.tlculaa lo l¿rgo deunacürvoesun¿ mecárica que sc denomi¡s chertuúticay e c¡ryo cstudio se ¡plican ¿lgonos conctos de fereüc¡I. l.¿,dinóñica c6la. Darle de la mecánica oue estudia las fuerzas aolic¿das ¿ los ¡ólid<¡s en dovimi nto. L¿ ley fu¡daür ntal da la !trecáúic¡ es debids a Newton y exprcsaque la actúa sobrc üD sólido de m¿s¿ r¡, desplszándolo s u¡r¿ velocid¿d v¿¡i¡b¡c v, üene dad¿por

r =fro"t ricndo ,,f el lmpctu o cantidad de movimie o del solido. Si m cs constant , l¡ fórmu l¿ a E m bt , siendor Ia ac¡leració¡ del sólido. -;; t

DIFERENCTACION VECIORTAL Problemae resueltos -<¡)l+r,(")j+r(z)ky¡,,,yzfüncionesd .iv¿bl sdeun.scal¿r¡rdemostrarqu ¡ f-&' )'h dz')' PfPf¡¡ lA lltirl!!tirl\('N' ' . "A I E -&" l;' 7;^' ¡{' +A{ -R(!) ¡ [.(¿[.fu+4")t+A"lr+r('¡* r(u+4")t +,G +Aü)r][,(ult +rt,ll + ¿tull] r(u.A¡.)-¡(¡)t+ r(¡+41)-/(¿){. .t¡+A,t-¡t¡1, h -----^¡-É:-* A. A" '-" & ¿a .lz -Ét + t;t + 7;r -otn&, rdBl t s.n¿l+ cosr¡ + rf ,rrakrlo¡f , at1ff|.ot . jt*'4,-,ar"*or = -s.a.,+k * ,3r,rr "*, r J = jt-o, cosr, = f,tfft -*it.o,)I*r1ttt.: -.on.| = /G;'Í r-¿*"')\ tL\"= '5 it-u =l = /é,-'rT-i*,j. t [.i,'Q"" !:fi¡¡l¿ se mücw a to largo de rDa cuna cuys3 ccuacioncapamméFic¡s son x : e-t, j = 2 cos 3t , Lr 3r. siendo t cl ti mDo. h¡ su velocidad y sr ac.le.ación cn fuició¡ dcl ticmpo (lcy.ic ¡, locidad sy ¡ccL.¿cion s). trü¡ cl ¡nódülo de la velocid¿d y de ¡s ac leracióncn el ifftenio r : 0.

g iclor d

posició¡ r de l. partlcula .3 r : ¡l + rl + rx .il + 2cos 3r¡ + 2 !6n 3rt,

¿r L! v locidadcsr = +{-ólen3/l + 6cos3tt 7i ! h a.¿lención . = d¿i=r-,i-18cos3r¡-18sc¡lrl¡ ¿. ,tt¿ hclirsra¡te¡:0. i | 6Yyfr ¡-18j. Por Ioranro, --l Írffufo do fa r focidad cn t = O,1/ (-rr, + @, : \/t d la ac le¡ación en¡ : 0, Viit +Fl8t: V-32r 'nódulo ¡ panicüfasem¡¡.rc ¿ lo I¿rgo dé la curv¿ x:2r', r: t -U, z:3, -5, tundo r el tidrpo. HalI¡¡ ¡úponcriLs d la rblocidad y dclaacclcració¡ en cl instúte t I y n la dir cción l-=ji#*ii.:. -

40 DIFERENCIACIONVECTORIAL Velocidad = L = ! ¡2r,1+ (2-4t\! r 1rr-5)rJ d¿ d¿ = = 4l-2J +3¡. atr=1. 4¡l+(2r-4)J+3t = t-3r+21 . El t¡cctor unitario

n la dir cción t -3J + 2t :J..::]]].&

"s y'qt¡2+q-t¡2+12¡2 /n ,zl-uegola componentc d Ia velocidad on la dirección dada es (4t-a +3¡)'(i-3J+2t) (4)(1)+ (-2)(-3) + (3)(2) 18 alÁ ---_-=--= ----_ y'14 r'A {14 1 )'-¿ ¿r ¿. = Aceteración= = at?l = *Lr¿l+(2t-{)J+3ll 4l+2t + 0t. d.z d.'dt d, ./La componcnte de Ia acel ración en la dirccción d¿da cs ({t + 2l + ot).o 3J+ 2t) (4)(l) + (2)(-3) + (0)(2) -i/14 fn /-tt vt4 Las ecuaciones para¡tétricas de una curva C son ¡ : ¡(¡), y : Ásr, z: z(s), siendo t la long itud de C medida d sde un punto 6jo de lla, Llamando r al vector d posición de un punto gpnér icod C, trar quc at/d.r es un vcctor unitario tangpnte a C, ¿¿¿ú
su módulo es la unidad, tencmos

et = re|,#f r(:.f= M,d,f = , 45 V dS dt tts v (¿s J. ya que (dr)r = (dt)' + (dy), i (dz)¡ según se estudia en cálculo.

Hallsr el ve tor tangcnte unitario en un puntocualquiera de lacurya x : rr + I,y : 4t -3,2 : ,¡.r16)(.r '.:,-:'(á)Hallar. cl v ctor tangpnte unítario en el punto co[espondiente al instante, : 2, (q) El vector tangente a la curva cn uno de sus puntos es 4;, = + 0r2-6r)t] = 2tt + 4! + ({r-6)t i[(¿2+t)t+ (r¡-s), El módulo dcl vcctor * = l:ll Luegool voctor tanganieunitariopcdidocs T = ffi t¿.t ds quo, . , Obséncse comoI il r=1'/,7t =*. s i 4SlCa att _ {t+{¡+21 2¡*?¡*!¡. (á) En , : ¿ Gl v6tor t¿¡rgpntcunitario cs T = 3 3 3 /G). ,G; Qf y'1. Sicndo A y B funciones derivablcs dc un cscal¡r u, demostrar: Ir Ir (ot =A.P . 14.s. = * 1!*" át¡'s) ¿m (t)t(axB) ^t* dtt 4v tt¡t ü,. *y

DIFERENCIACIONVECTORIAL 4l (4 1.r -¡t = rn '44):iEl4!)-:-4:-P Al¡-O Au o4E-i#@ ¿g o+." = a.^i ¡.dB* 44.¡ ^rim " a¿-{ aü -Au -éi)= du du \!_7 túo métorlo,Sean A = A].l+ A2l + {t, n = Brl + Bzt + Bsl. Entonces i,r.ol = * A2B2+ AsBsJ ! !,@t, =a,!#, o,'*, afft, ,#r,, ff+ , rfat =n''i "*'" Jr+, {t,r'nr =Um (¡+M)x(g+Ag) -lxn I A¿-0 Aü rt. = lim axAg+AAx¡+AAxAg A¿-o A¡ = =¡"8 *!!,s ¿:loo"* . f'" -@ Ot¡o mélodo. lJk

9<,r's)= + al a2 A3 4u ítt 81 82 Bs Tcniendoen cuentael teorema do ta de¡ivaciónde determinantes. dA d.42 ¿rl3 Aa A2 A3 *.fi*¿f,t du dt du lL ¿-P2 d-23 BL 82 Bg du du du +rj-¿3ky B=sen¡i-cosrJ,ha[ar(a) A =5121 *rO. rr, (ólr1<exs), G¡tA,U. f ro."¡= ^.*, #." . (5t21+ rJ -,et).(cosrl + senrj) + (10!t + J _ -3r2t).(senrl coE¿r) = lÍeoEt + ,senr + lors nr "o", = f1sr.-rl cosl1-ii-sen r¡ Orro métofu, A. B = 5r2 s n, -por lo tantol r coa, . ¿ d,-6 = ¿(A'8, -;it(Dr-sent -r cosr) 5r'Co8r + 10rs nf + rS nt -Cou, (5¡2-t) cos , + tl, sent I J rl I , rl ,,¿{a*t)= *d} * ff"n, . 5t2 r -Fl + 10, t -grrl cosr sent 0 | scn, 0 -coa, |

DTFERENCIACION VECTORIAL : [f¡s nrl-f¡cos/l + (5rts nr -r cos,)k] + [-3r'costi-3rrsenr¡ + (-lO, cosr-s nr)k] : (t¡ scn t -3rr cos r)i -(rt cos f + 3r' sen r), + (5r¡scn,-s nt -I l, cos r)k Otrc m¿todo. I J rl AxB = 5t2 = t -1,3l -r3qosri -r3s n/J+ (-srzcosr -rsen/)ks n¡ -cos, 0 | Ueeo,S6 x B) : (r's nr-3r'cosr) i -(r.cosr + 3/r s n r)j + (5rrsen, I Ir cosf= @ *e.^) n.'* * *La.t = ze.df = 2(s.21+ rJ -¿3t).(1011 +J -3r2k) = 10019+2t+1tB Otro útétodo. t .s, = Ftzf + + q-t3¡2 = 2slr. + c2+ta 1tf Luego, +f+r! = 1s¡¿o+ 2t + 6t6. fipilf ,/ 9. Siendo A de módulo constante,demostrar que A y dA/d, sonperpendicula¡es,siempr eque I d\ldt | + O. Como A s de módulo constante,A. A : constante. beso, :o. ${A..A.t: * #.o:^'# ".+ .l ..$ : Asfnues, oy A es F,rp ndtcutar siemprequel#l .t a$ 40.Demostrarque x c): A.B ,f +n.fr xc+fi'n x c,siendoA,B,c *ro." rivablcs de un escalar u. D los problemas .n,.c

?(a)y7(b),4e.fn,,c) = e.Íufs,c¡ * f = n.tn'jf,* jf 'cl * jf .n'c = e.r'f * e'f "c * df.n,,c /rl. H"ll"t i,"'#'#,. ¿v d"y ¿"v d'v dt ¿v d'v fr fr _i-.'-x dt" da-dt-4t dt aI ta Derprobf ma ,fi', t'¿r' -. -:-;ro,f,tv = + -, Y'--; x -:'; dv d"v dv fv -. -. u+u=Y.-:_x..:_ dt dté cll .la¿ 12. U¡a partfcula s mucvo de forma que su vector de posición viene dado por r : cosrr,ti + s ena,tj, una const¿nto. Demost¡ar que (a) la velocidad v de la panlcula sperpendicular a r, (ó) la

' DIFERENCIACION VECTORIAL hacia l origen y su módulo es p¡oporcional a su distanci¿ al mismo, (c) r x v : vector constant . -ilila df 1.1 r: 7 -@s n@ri + @cosortj S tiene r.v: lcos@ti + s nr4rr],[-ro senroli -f úrcos.orl] : (sos @r)(-{, senqrt) + (s n@r)(¿,cos úrr) : 0 luego, r y Y son pcrpendiculares, d\ dt : -Al : -t" co" tt i -@rs na" j 'lll 77 or) : -@¡ lcosúr,i + senúr,I I : ---<,,t La acele¡ación tiene, pues, la misma dirección que r p ro sentido contrario, es decir, e stá dirigida hacia el origen. Su módulo es p¡oporcional a I r l, que es la distancia al origen. L) ¡ x v: lcosúrrl + s n@r¡] x [-@sen@tl +@cos@rll cos @t s n @, 0 : @(cos¡@/+ s nrar/)k: @L,vcctof constantc, -ú, s n (l)/ @cos @, 0 Flsicamente, se trata del ñovimi nto de una partlcula alrededor de una ci¡cunferencia con una vclocidad angufar constante @.L¿ aceleración, dirigida hacia el centro de la circunfe¡encid, I l l"Ía-centrípera. ^"+03," -= 4ro'P-4'ur. d,t-dI' dt dt dt = 1¡o"#-#'r, ft
(l¿ .la :rn?tn1,,f"r'/"ee,.* -¿4" ¿A^ dA^ hd;+A2i+Asi 6l+,e1,+ei¡a/z Otro método. comoA.A = f, ft6,'l.t = ftU't n*.¡, = zr'# v ud/ fto.rt = ^.# -fiu"t = l""egozr,.ff=u# n.#=n#. " Obsérvcsequesi A esun v@tor constan n, = 0, como en el problema9. ^'#

DIFERENCIACIONVECTORIAL 15, Si A = 12r2y-ra¡t+ @x!-, sen¡)j+ (r2cosy)k,hallar,+, +, +, +, =?4, ot oy dr' dy. dx dy Er o, &,uo, -+ !é! -y*n x¡¡+ S 1,2cosT)r ^, (4ry -4é)l + (y&! -y cosr)J + 2, coay g, aa + aran-rsenx)¡+ ¿/ &ru"r-^, $l,2cos7)r 2,t2| + eerY -sürx) j -:2 seny) k ^2 ÓA :--: * j
= 4x| + (zyex! ¡ ¿xl --zxsenyI "*rl! 12 \2 Obsérvesequ" ' ** = <9* , decir, qu el ord n de la dedvac¡ón no altera el resultado. dt dz dzü ", cierto, en general,sieñpre que A 'tengaderivadasparciales,de primero y segundoorde n, continuas. = y = si SQ,y,zl rl2z a rzi-zy2! + yz2tr,,trattar cnelpunto (2,-L,L). ¡f fóel ox oz = Q¡, 1zy2z\(*z| -xy21+yz2L¡ . z2y2z2| -r2!1" ! ! zt3 z3lt = = i(+A) d1x2y2zz1-a2,1azt+tfszeu zt2l2z 1-r"f , + 3xlsz2| Ozd2' tOol = j
dF ?E ?r Dpdy = Ir Ir '1' ,tt 7t '¿;¿-¿yl.á;¿, suponicndo que lasderivaciones seanDosibles. J

DIFERENCIACIONVECTORIAL s-Tngamos que F = Fl(r,/,¿,¡)t + FlPr,r',z,c)l + 4(',y,z,r)k. Enronces dD = dFri + d,F2l+ d\k ,?4 a¡, a¿ = [--: dr + +dr + a=d/ , t*0, ,!t, ,lay , pa,l1 ot ot of * $a"lr + ,ln"tr t$a,* !n",{', ¿r.pJ (-¡j t * P¡ * *r,r, r*r +3&¡,r" o, Ot. Ot ' Ot ót dt + r$r * }&r * P¡ * $.u,r,* 19-&, Fr,r" o, oy ór dz oz dz = !E r, oa * $a" * $a, * $a. ou ol oz dF ?r ?rd.z.7¡¿l .}s¿z = . . hp, ----i-r <--: d. Ol Ot dt Oa .t, Oz da ----+ DIFERENCIAL IEoostrar las fórmutas deFrenct-s net@r+ : rN, (á) :,p1N, G) # : .tB-rT. + {d Como T .T : l, dcl problema9 se deduce queT . : O,es aecir, esperpendiculara T, $ $ Soa N GI vectorunitario en la di¡eccióny sentidode : rN. El vcctor N es la

$; "o,on**, $ rcrmalpfincipal,K csla cwvatura y Q: l lK.asel radio de curvatura. e) s aB.:rx N,entonces, *#-t.# x N:r *"* t n:,, #:, x $ $. I-ueso,r.$: T.T x es decir, a T es oeruendicular $:0, $. DeB.B:lscdeducequeB.$(oroblemag),esAecir,$esneroendicularaByestÁsituado enol planofornado por I y N, # aT, esparaleloa N; luego S -r0,. ** p rtcnc¡ealplanodeTyNyes perpendicular : Fl vectorB es la órhormal, t esla torsió\y o : llt csal radio dc torsión. (c) Como T, N y B forman un triedro a dere ha, también lo fomnn N, B y T, es decir, N : B x T, ¡, I ,t ru"go,$:B. # +ff,rlpX r¡-'N xr:-, +,B:,B-.r(T. /lr// U .2V'1í1 , ./¡\)/ ,Íl*, ..1 ..,.,,.-1. Representar J3.*r,, y -.3se¡,i, (a)et l-,.., 'lll¡ f,l'' lacurv¿.¡ !':4r y haltar ¡ tit -' '.i :riT,ffi,}f,5'f¿'Í?Jn:ffiifff:ffi1ux,1",":T1'o?i: -.t2 E-D torsióno. 1. "TIfl| tj Esta curva e, llaña h¿ltce circular y se r9prcf¡ta en ta figura. | tsR 0 ;*H:*#Í#r#.::ifiÍ:;:,?T?"/xi,s::1,1h::""i": hcietateraldelcilind;;;,.+ii.:9.,*...,,','lE¡!!r¡gg¡9rrqU4su[,cr.rffia,L w___1u n o (a) El v cto¡deposicióndc un punto genédco dela cuna os \ ,, ,, ,i. ,

D¡FERENCIACIONVECTORIAL ¡ Ssosrl + 3 s nrj + {rt ¿r -3s ntl+ScoBrJ+4¡ ds Itil = = ,Gtscn,)t+(3.*,)t;? =.5 i; EE" Asl puco,T ='# = -$senrr+$cosrr+fr. * $r# = +|coart *f rl = -$coeir -f scnrt $r-$*"rr tf tf# = = -fr"o",r ds -*¿senrl = comojf =rn, lrSl= l'll¡rl x conxlo. Lucgo,x =l#l =GE.*IT[E;" =* y p=*=+ Do# = r ,soobtim

II =:# = -cosrl -sotrrr.

rrr (c) B = TxN = l-i*,', t"o", ál = fsenrr**1"o"rt * $r cct s n, 0 da= =t#= L.o.rr+fsenrt dt "o"rt*f.*rt, f 4 4 .--4 t -7N -T(-costl -s nrJ) = + y o=+ ñcoscl i;s¿trrJ,obie['7=tE

20.Dernostr¿rquoel radio de curvatura crr¡ras paramétrlassor r = =y(s de la ca¡rva ecrraciones r(sl, y =z(¡)vicncdadopo, p = k*f , 1{4¡' * (*ff'h 'ds2' 'ds2' ' ¡ls2' El vcctor deposicióndo un punto genérico de la curv& es ¡ = r(s)t + y(¡)J + z(s)¡. Lngor= , *=Xt*?"t*t*t #=#r*8¿t*#r. *. ,
DIFERENCIACIONVECTORIAL oi.,.i,,. küldo en cuentael problrma 20,el rcsultado,sepuedeescribir n la forma \A\iX,\ -' xyz .,d*'\' T = + (y')2 + qz"¡21-1 [(r'f ttz A''cit rt dc las primas representanLasderivadasres¡rectode r E h cr¡rvax=c, !=t', ,hallar(a) lacurvaturax, (ó) l¿tonión 7. "=]f d E rrctordeposición = tl es r + t2'1+!t"t.'' -, ,_ \t = At ^ PorIo ianto, , * v1 + 2r'k ' 'i ''n-'t' + = l+ I = y' dt Qt'+(nf.@T = rr*o ¿t dt 'dt.' EÁo= ¡ { \'/ y T =rie"=t#=t+-ul!uzt'Í, ü ?t q 0+zt2)(ü+ +tt't -(\Izrl+u2u$t) = -q¡i+ Q-4t2)!+ 4tl \f, \ dt olEV-(l;-tT-{rv ¿T/¿' -: fJ:A--ú!:-A 1t r'\ Eotonces4I --

' \ir-. ds ds/d¡ -71+-lz9-'r (l-zt')i + ++ \ .2¿l + ++ (l-zt2ri \, tt Dc (o). N=14! --2¿l ., ,\'-, \ K¿s -l 1+ r! (\' \--' 2t2 l --F--.l,\, I ^t' trrl po¡rotanto, = B.=rxN= lrt,o, 3-o" #"1 HF 1-2c2-2c 1+2É t+2tz l+2t' ds _ +tt + (+t2-2\!--Ety = 0."14-t 4tl + (4t2-2)i -4r¡ ' -2 Deaqufouc 1 =---1r;Ef dt (l + 2t'\' "-.ts ctslcat + (!=4;lt + 2tr = También,-7N = -r[-2tt l.crn,o fi = -TN ,scobticn T _ 0bsérvcsc que r ?-en estecaso. ,-U, *f = E[a¡ las cuacion$, \¡ectorial y cartisiana, de la (a) ta¡¡g ¡ttc,(ó) norm¿l principal y (c) mal a la cuwa

ü problema 22 en l punto corr spondicntea f : l. SeanTe, Ne, y Bo los yectorestgngent ,normal principal y binormal enel punto dado. Del problcm¿ 22, To o r _r+2!+*. ., = -2t-Jl2k o = == ?¡=¿jI ¡b = -----¡-Ño ------, oo -3 '

DIFERENCIACIONVECTORIAL Si A es un voctor dado y ro y r son, rsspectivamente, los vectores de posicióndel origen y deun g néricode A,el ve tor r-¡o csparaleloa A y la ecuaciónde A es(r-ro) x A :0. La ecuación de la tangent es (r -ro) xTo:0 Por lo tanto: La ecuación de la normal principales (r -ro) X:Nd: O La ecuación de la normal es (r -ro) t úo",¡ o En coordenadas ¡ectangulargs,para ¡: xi * ¡j + ?k, ¡o :i ¡,* 2n, estas ecuaciones son, f , tivamente, y-1 z-2/3 x-l r-1 z -2/3 x-t "t-7 z-2/3 1 2 2t-2 2' que también se puedenescribir on forma paramétricá.(problema28, Capítulo1). 24. Hallar las ecuaciones, vectorialy cartisiana,del plano (a) osculador,(á) norma l y(c) rectificante de la curva losproblemas22 y 23 en el punto correspondientea / : l. (a) El plano osculador es el que contiene a la tangente y a la normal principal.Si r es el voctor d de un punto genérico del plano y rq el vector de posicióndel punto correspondientea / : I, r * ro es perpendiculara la binormal Bq en dicho punto, es decir, (r -ro) 'Bo : 0. (ó) El plano normal es perpendicularal vector tangente.erl el punto dado. Luego la e cuación pedida (r-ro)'To:0. (c) El pla¡a rectificanteosperpendiculara la normal en el punto dado. La ecuación pedidaes(r -re) 'No : 0.. Las ecuaciones de (a),(b) y (c) en coordenadas rectangulares son, respectivamente, = 2(x-l\-2(y-1)+ 1(z-2/3) 0, = 1(¡-l) + 2(y-1) + 2(z-2/3) O, = -2lr-r)-r(Y-1\ + 2(2-2/s) o. En la 6gura están representados losplanos osculador, normal y rectifrcantea la curva C en el punto P.

2s. (a) Demost¡arque la ecuación ¡ : r(2, v) es la correspondiente a una superficie. _Atar (ó) Demostrarque ---X ¡epresenraun vectornormal a la superficie. 'ouóv' -: (c, Hallar un yectorunita¡io no¡mal a la siguienta superficie, siendo a > 0, r : acosll sen yi + as n|]s nyi + acosvk \o) Si consideramos quea toma un valor fijo 29, entonces r : r(ro, r) representa una curva que la ¡opresentamospor |l : ¡lo. Análogamente, 4 : at define otra curva r : r(zr, v). .d.l variar r, r : r(¿¡,y) representauna curva que sa mueve en el espacio generandouna sup rñcic^5..Así pues,r : r(¡¡,v) representa una superficie como se indica en la ñgura. I-ascufvasu:uo,u:¡-,r,...,p rtenecenaestasuperficieasícomolasr:vo,v-vb,,. A cada valor de ay v le correspondeun puntodela superficie. Asl pues,las curvas z : uoy v: por ej6mplo, se cortan en el punto (¡.o, vo)dc la superficie. El par de números (¡.r,v ) se llaman

DIFERENCIACIONVECTORIAL 49 ¿úca¡ sobre la superficie. Si las familias de curvas a : constantey v : constantesonpe rp ndiculares ú suspuntosde intersección,el sistema coordenado curyilíDeo se llama ortogonql,En el C apítulo 7 rr ECrx un estudio más detallado de las coordenadas curyillneas. t--idcremos un punto P de la superficies cuqó @¡denadas son (riq,rq), como se indic¿ en I t¡¡ra. El reclor Arl Au en el punto P seobderivando r respecto de ¿ manteniendo -¡ :@nstante: roi este vector ar/ ¿¿ en 9l Ero P, es tangente a la curva y : yoen dicho r@¡o- Análogamente, ¿r/Ayen P es un vector ¡4Erite a la curva ? : constante: ¡o. Como rüos vectores, A¡lAu y arlav, son tangentes ,ú .¡ punto P a dos curvas de la superñcie,se úduc que también son tangentes a la supe¡Ar Ar t¡ en dicho Dunto. Lueso- --: r -es un ' -ou 7t or normal a S en P. i : -as n r]seny i + acos¡¡s nyi i -= : a cos¡.lcos !' I + 4senll cosr,j -c sen vk ij k ¿r Ar Entonces, -¿senasbnv acos4sent 0 4 COS¡l COS v 4 Sen.¡¡ COS v -4 Sen v I : -a! cos¡/ sen¡ y i -a2 sen ¡¡ s n' v ¡ -a, sen ycosuk r(presentaun vector norrqal a la superficie en un punto cualquiera(¡l,v). EI vector normalunitariose obtiene divi 0 v 4'sen' v(sen'v + cos'v) : I

1-a'sen y si senr < 0 Luegoson los vectores normales unitarios dados por + (cos¿ sen v I + s n a sen v j + cos v k) : * n La superficie en cuestión está definida por las ecuaciones ¡ : ¿cos r s n vel : a sen tsen y,z : ccos r, de lascuales se obtienex' + y" + z' : ¿'que es la ecuación de úna esfera de radio a. C omo r : an, s deduceque n:cos¿senvi + senrsenv j +cosrk f ,! -,4 to'\i'J cs el vector unilario nonnal exterior N la esf ra en el punto (a, ,). I No,tz,_t ,2'I l 'r'2' i)l Eallar Ia cuación del plano tangente a la superficie z:x2+y.enelpunto(1,-1,2), -l* l lPro¡ru6rl¡5!rl.v.l4Jql'l¡Erv¿_¡rJ'wrrvlrJgulv\r'_r'!/'ñ.1.,.1,1 r"'s*¿'--+L , tn't--t')-tI I Seanx:¡.t, y:v,z: a¡ + y¡ lasecuaciones de la superficie. ' I fraramétric¿s El vectordq posiciód\ú ,/ ,. -ú punto cualquiera de ella es | \. ., r: y')k ¡¡i* ¡,j*(u" *

¡ I . It l¡ I ,l -l I til 50 DIFERENCIACIONVECTORIAL Ar af :i+2uk:i+2k. en el punto (1,-1,2), siendo Entonces +:i+2¡tk:i-2k Au ov Del problema 25, la normal n a la superficie on este punto es Ar Ar 2k)x(i-2k): -2i+2i+k 6u:6+ ":á " El vector do posición dcl punto (1, -1,2) es Ro : i-i * 2k El v ctor de posición de un punto genérico del plaoo es R:¡i*ri*zk Como indica la figura, R-Re es perpendiculara |r, luego la ecuación del plano pedido es (R -Ro) ' n : O, j +2k)l.t-2i+2i+k] o bien, [Gi+r+zk) -(i-: 0 es decir, -2(x -l) + 2(t + l) * (z*2) : 0, o sea, 2x-2y-z:2. MECANICA

27. Demostrar que la aceleracióna de una partlcula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio-con velocidad v vieoe dada por ,=*r*4x dtp siendo T el v ctor tangente unitario a la curva, N la normal principal y p el radi o dc curvatura. Velocidad v : módulo de v multiplicadopor el vector unitario tang nte T o bien, v:YT D dvando, dt= 9ar¡=*r*,4 dtaI aa d¿ dT dl DGIprob¡emal8(¿), * = xuN = 4 dt ds cla cll, "n* d/ Pof lo tanto, r * ,1$¡ =T +:=N Esto indica que la compon nte de la acaleración en ta dirección d la tangente a la curv a es dvldt, y la ponentesegltn la normál principal esy!/e. Esta última recibe el nombré de aceleración ce ntrípe¿a. En blema 12 v rcmos un caso particular de este que nos ocupa. 2E, Sea r el vecto¡ de posiciónrespecto de un punto O, de una partfculademasarr y F la fuerza ext lio¡ que sobre la misma; el mom nto de F resp cto do O vien dado por M:r x F. Demostrar que M: r siendo H : t x nñ y a la velocidad dc la partfcula. ,l = M TXF segúnla ley de Newron. r x fi{nt) )) = Pero ;(rx¿v) ¡xf ¡rnv) 4,^, aú dt ¿¿ =

rxt(,r¡v) + vxmv = r x;(nv) + 0 esdecir, u = i rr"r"l = * 4¿ att Obsérvesoque la fórmula s puedc aplicar tanto cuando nt s a const¿nte como cuaJrdo no lo s ca, El

DIFERENCIACION VECTORIAL cin¿tic¿y es el montcnto dcl fmpctu. La relación expresa que cl momento aplicado es ig ual -rro del momento cinético f,or unidad de tiempo. -rlui[ Ed sesogareraldeun sistema de, partfculasde masas nr,mr,..., mny vwtores deposic iónrr, rr,. . ., rn d sist ma do fuerzas exterioresR, F¡,,.., F,, el momento cinético resultante esH: b v, ¡:t ^rr*x -o rdtaDte es M: Z akX Fryse\ ,on¡.^. ^,'--4! "'^" dt' &-l un vector A : A,i + A,l * ,4¡k referido ¿ de coordenadas ¡/z de origen O. Su derivada rnd.r tiempo t + # ""ff t * #k.calcular de A en un sistema de coordenadas XfZ de oriO-¡abiendoque el p¡imer sistemagira con respe{to a que se mant¡ene fijo en cl espacio. in -rdo, *" las derivadas de deA¡especto # l, t |# l" b fijo y móvil, res¡rcctiva.1ente, demostrar que ür v ctor (o tal oue -!mas dAt dAt +a,xA ¿;1.= 7;l tT I

ll l4tesentando por D, y D,' los operado¡esderiv¿da sn los sisüemas fijo y móvil, respectiv ament , dlmosr¡¡ la equivalencia = D¡ D, + otx Ea la rotación del primer sisteria respccto del segundo, los vcctores I, j, k varf an con el tiempo. Por lo mto, la derivada de A es (r) ='#, + A,# + e,¿j + 4ff esd cir, * *r , *r {2) 'ilr= #[ * ',# * n,f,. n"# Como i es un vector unitario, di/d, s perpendicul¿r a i (problerná 9) y, en consecuen cia, está situado rD el plano formado por j y k. Luego, dl (3) dl aJ + c'k Análogamente, (4) dt dt a¡k + dri (t dk dt c"i * a¡j Derivandoi .i : 0, se obtiene t. $ .i : o. neroi.fi: a¡de(l),t #.t : c, de(i); + ff luego o. : -6t. Análosamonte de i .k : o,i. dtÜ o,vd¡: -a¡idei,k :0, t.ff + aj.* : o + fi.u: Porlo tanto, a4: ol+"*, *:o"t-oJ, S:-..i-".t

DIFERENCIACION VECTORIAL ¡4!+tdJ*04!=t_A.-3¿, l\42-d2As')l + (d,!Ar-dsls)J + (d2A1+ ds42|k t dt 2d¡ ' qr,esepuede poner en la forma % -da dr Ar A" A3 Haciendo d," =(D!, -ú2=o)2, ú7=o4 el determinante se reduce a rjI (D1 (D2 Cü3 A! A2 As Siendoar = @11+ (D2!+ ¿c'1'{ móvil , La magnitud ¿, esel vecto¡ velocidadangular del sistema pectodel fijo. (ó) Po¡ definición, DIA = = ¿"r¡nu¿uen cl sisterna ñjo # I Dra dAl =
vierte. Haciendo esto en (2) se deduc Ytñ: \oÍ-tt Xrr o bien, Yrrl: vrla+o Xr que coincide con el ¡esultado anterio¡. 'r¡-i\

DIFERENCIACIONVECTORIAL ¡¡ & la partícularespectod l sistema ñjo es Dfu : Dr(D¡r).AplicandoD/ a los dos miem b {L r¡, !'¡.¡¡ndo en cuenta la equivalencia demostradaen el problema29(ó)rejulta -Tfñ DADtr): Dr(Dñr+.,t x.) : (D,+ox)(D,¡+o xr) : D^(Daf+ox¡) +oX (D,r + o x.) : Dz^rI D,,(o x r) +o x DDr+o x(o x ¡) rb-Dlr : D2^r+ 2@ x Dñ¡ +(D-or) x r +o x ((,, x r) S.z¡ Dlr : aceleraciónde la partícula r sp ctodel sistcma ñjo, aPl^ : Dlr : aceleraciónde la partícularespectodel sistema móvil. E¡oces. t 2@ x Dtur+ (Dno) x ¡-l-o x(o x r) "^ : acele¡acióndel sistema móvil respecto del fijo I res an lo que attt : tdñ + añl| . En ñuchos de los casosque se presentanen la práctic¿,o es un vector constante,esdecir, se trata & un movimiento de rotación uniforme de velocidad aogular constante,En estascondic iones,Daq, : 0 y t.t : 2
Galment aplicada sobre la particula desde el exterior. Los dos últimos términosdel scg undo miembro & (4) son despreciables y en la mayoría de los casos no habrá necesidad de tenerlos en cuánta. La leoría de la relatividad de Ei¡stein ha modiñcado ¡adicalmente los conceptosde movimi ento absoluto y, como consecuencia de ella, las leyes de Newton están hoy en día en estado de revi sión, perfeccio¡ amiento o adaptación. Problemas propuestos .. dR ,,. drR lEndo R: e-ti +t¡(t' + l)i-tag,k, hallar \a) I, ro) ZF \c) para¡:0. ' Sot (a) -i -k, (á) i + 21, (d \/1, @) 1/ s ",l#l llallar la le-y de velocidades y d aceleraciones de una partícula que se mueve a lo largo de la curva x : 2 sen 3r, = 2cos 31, z : 8r. Idem, de los módulos do Ia velo idad y acelcración. -¡ 5o/. v : 6 cos 3¡ i -6 s n 3t j *8k, ¡:-l8s n3f i-18cos3ti, Ivl:t0, lsl:18 tHallar ef vectorunitario tangente en un punto de la curva x : ctcos@t, y : 4 sen @r,z : b, síeado a, b, e, -qn*nr/.rti + a@cosúrrt+ók constantes. .Sol, SiendoA : ,¡ i -rj + (27+ 1)k y B:(2f -3)i*f hallar -rk, o I o' n¡,b {
¿' -r'F--)¡ D¡FE¡RENCIACION VECTORIAL 35.SiendoA:sen ¡¡l + coszi + ¡k, B:cos ¿i- sen rd- 3k,y C:2i+3j -k, hatlar d (Bx C)) ¿(Ax Sol. 7l * 6j -6k, 36.Hallar -#.B) siendo funciones de¡. .io/. #-#. AyB de¡ivables *".* ^ L' 37. siendoA(r):3¡¡i-(r+a)t+(¡i*2tkyB(t:son,i*3e-'i-3cosrk,frattar${,1 x n)en Sor. -30i + l4j + 20k : 3S,Siendo : 6, i -24t,i+ 4 sen t k, hallar A sabiendoqueA : 2i + ty + : -i -3ken, : O, $ So/. A : (r! -, + 2)i + (l 2r.I + (f -4 sen t)k 39, Demostrar quer : ¿-t(Cr cos 2t + q s n 2r), siendo Cr y C' vectores constantes, es una solución de la ,ítr )¡ diferencial +5r:0. * -r; 40, Demostrarque la solución generalde la ecuación diferencial +2"ff + alh :0, siend o@y ú, fr tes. es (a) r: (á) r: ' siendo d2¡ i¡

ed(C, ¿ { "'-,' l Crs-y'-"'-or r) si or-a.¡!> 0 ed(Cr *n 1/ a,-a, t * C.cos y'7Z7 t) si o¡-úrr < O. Cr y C! vectores arbitrarios constantes. ¡tz¡ ¡tr d,r

(c) r : e{¡(C1 + C¡r)si a'-ú¡r: 0. 41.Resolver *--5r:0,(ó) iV +z *-*r:0,(c) fi +t :0. (a)#-O So/. (a)r: Cr¿ú* C,B-t,(b)t:e-'(q+ Crr),(c)r : Cr cos 2f +C'sen2t i 42.Resolver :*,# : -t. Sol. X: C,cost+ Cr senr, Y: Crsenr-C¡cost S './. 43.Siendo ¡/ i * (3xy--(3x* 2y)k,h^tt^,-T,+, A: cos zx')i +, #, #, ;+ a^ AA S"l. -J, senxyi+ (3,-4x)¡-3k, t ;: fi:-xsanxti+3xi-2k, atl .. ae{ a,A ¿'A : -y' cos xy i -aL -Ax : -$il : -1xt cosxy +'e¡¡ ax, ay,:-r'cosxli, ay A' ¡14.SiendoA : xryz i-2x2. ! +xztkyB:2zllyi-x*.¡ltallar -5fo; (A x B) en el punto(lp, Sor. -4i -8¡ ,15.Siendo C' y C' vcctor s constantesy I un escalar constantc, demostrar qucH : ¿-¡¡(Cr senll * C¡ es la sofución de la ccuacióndiferencialen derivadas parciarc" * :o. ff # '/ ^^.t@
GEOMETRIA DIFEREI\¡CIAL 47. Hallar (a) el vector unit¿rio tangonteT, (ó) la curvatura 4 (c) la normal princi pal N' (d) la binomal torsión z de la cu¡vz x : t -t 13,l : t,, z : | + f.13. ('I-l)¡-?j+(rr+l)k (ü) ¡(:a+} rr)B: + t') ^/-2(r

DIFERENCIACIONVECTORIAL ü c$¡cio visne dada, en función de la longitud de arco s, por lasecuacionesparamétrigas x: arctags,y: ll2\/zln(¡'* l), z: r-arc tagr d\¡ , ¡r, -'zr¡ ú,1r = -(r-;:_,J'v¿sr G, f = @ o="É ;+ = f-!-:-..:á"JJ t ¡1 ¡ u¡ p= "';,i, rt ¡ cn la cúbicaalabeada¡ : I, y : t,, z : t' *=@r-iP*t-,3 ' (9s1+ 4¿2+ l\3t2 9r4+9r2+1 que la torsión n el caso de una curva plana gs z : 0. que el radio de curvatura d rfla curva = l\'g'fl"t'

una curva plaDa dc eeuacionesy : f(x), z : 0, es deci¡,

,,,|lÚco etplanor/ vienodadopor o r¡:acosr¡l+ós nrlelvectordeposicióndelospr{ltosdeunacurvay4yóconstantospositivas, l¡ curvatura y el radio dc curvatura de [a misma. Interprüar el casoen que a : á. qbl -----:; si ¿ : á, la curva dada, que esuna elipse,s transforma en una (a'scn'r + b'cos'u)'t' e ci¡punfe¡encia de radio a y radio de curyatura p : ¿. quelasfórmulasdcFr?net-serrcts pu d ncscribirenlaforma : o xr,$:.o x N.4 f; 'ds x Byhallaro. ,9o1,r,¡: ,T +,(B -c" oue la curvatuf¿ do ta curvar d0 vicnedadopor i<= , ta quetospunrosindi -i:T;t ' lrl ü &rivadasconrcsp ctoa ,.

Demostrarque7 = !:!r! onlacurvar: r(r). lixÍ|" +.*,* I si et parámeto , esla longituddearcor, d mostrarwe r = 4!-f,!!-jl (d-¡/ d; \ que<= ÉadoQ:r x r, demostrar Q.¡ Edlarry " enlacurva.r--0-*n0, y: I -cos 0,z :4w¡¡(012). ,--* cosd)cos0/2++Zsenssen6Jz2 (3 (3(3+cos0)cos0/2 0seneP 91. x:T t o-¿cosot ^ r: -------------t1/ :-:------'É,r\ 12ms0-4 ,,-LI EAllar la to$ión do la curva ¡ : y : z : t * Razonar la respuesta. #, 1=T' ? sor. r : 0. La curva cstá situada en el plano x -3y + 32 : 5. Demostra¡ que las ecuacion sdc Ia tangentenormal ptincipal y binormal de la curva r: r(f) ( .el punto t:ro ron, rcspoctivamcnt ,r : ro + tTs, t : re * tN¿, r : re + rBo, siÉndot un parámctro. Hallarlas cuacionesdela(a)tanepnle,(ó)normalprincipaly(c)bi¡ormalalacurva¡:3cosr,/:3sonr , z : 4t en el punto corr spondientez t : tr,

DIFERENCIACIONVECTORIAL .sot.(¿)rangente:r:-3i*4"k+t(-|i I *)"0""' x:-3'v -]' ',"-u+ !t' ' (á) Normal:¡:-3i+4r¡+ti ó x : -3 + ,,v : 4", z : o' x :-3,v :+' :}t' (c) Binormar:r:-3iiazi+r{*t-*-) 6 + !t,' y a r: Sol. (a)v-z + l:0'(ó)y + z-7:o'(c\ ó1.Hallar las etuacioncs de los planos(a) osculador,(á) normal,(c) rectificante,a la curvax :3t !" ,:ir+r'enel puntocorréspondiénte l. 62,(a) Demostrarquela dif rencial de la longitud dc arco en la superficier : r(a' v) vicncdadapor ds2 = Edu2 + 2Fdu¿v + c¿t)2 tr=*.* siendo =,*r, =*.*,' =$.$ =,$r. " y suñcientepara que el sistema de coordenadas curvilfneas (ó) Demostrarquela condición necesaria ortogonalesqueF = 0. Halla¡ la ecuacióndel plano tangentea la sup rficie z : x/ n el punto (2,3,6)' Sol. 3x + 2y 63. 64.Halla¡ las ecuaciones del plano tangentey de la normal a la superfrcie 4z : x1y' en el punto (3',1 Sol. 3x-y -22 : 4t x : 3t'l 3,y : 1-t' z : Z-2t },8 = t {EC _ F' deñnidosen el problema62. 65. Demostrarqueelvector unitario normala lasuperfrcier: ¡(¿,v) cs n fi{', siendoE, MECAMCA :

66, Una particulas mueve a lo largo de lacurvar:(t'-4f)i +.G' + 40i + (8r -3¡¡)k' sie ndo , los módulos de las componentei tangencialy normal de su aceleración sn el instante t : 2' So/. Tangencial,i6; normal, l?,1. 67. Demostrarquesi una particu¡areco[e una curya con ufiavelocidadv y una acelerac ión ¡, el radio de .! de la trayectoria es Q: r,^.1 rul, sierl'do 6E. Un sólido os atraido hacia un punto fijo O con una fuerza F : f(r)¡,llamada fuer zace x v : h' siendo h un vector constanle' de posicióndel sólido respecto de O. Demostrar quer el mom nto cinético es constante. 69. Demo3trar que el vector aceleraciónde una partícula que semueve a lo larSo de una cu rva en l situado siempre en el plano osculador' Hallar la aceleración en coordenadas polares(p,{) de una particulaque se tfuev en e l plano 70, (a) iól ¿Cuálessonlas componentes de la acéleración paralelay perpendicular a q? sol. ta) i = l
5" Capítulo4 Operocionesdiferencioles Grsdiente, divergencio y rolocionol DIFERENCIAL YECTORIAL NABLA. Se representa por V y sedefine por -EIADOR v = 3t * 3¡ * pr =rP * l+-13 ot ot oz o, ot -o2 vectorial goz¿de propiedadesanálogas a las de los vectoresordinarios y es de gran ut ilidad ¡lkación de tres [ragnitudes muy importantes en la práctica denominadasgradlente,diver gencia El operador V sele conoce más comrlnmente con el nombre de operadotnabla, GfADIENTE. Sea la función 4{x, y, z\ definida y deñable en cada uno de los puntos (x , y, z) de cirta región del espacio ({ deñne un campo escalar derivable). El gradiente de {, re presentado o grad {, viele dado por vo = <3¡*3¡ * 3*ro = Pi * F¡ * ?ór ou oy oz or oy óz que V{ define un campo vectorial, l: componentede V{ enla direcciónde un vectorunitario a es igual a V{ , ry sellamr de rbada de Qdirecciónde a, o bien, derivada de ó según s. ytk DMRGENCIA. Sea V(.r, y, z) : Ytl * Vrl + una función definida y derivable en cada uno puntos (.x, y, z) de una ciertaregión del espacio (V deñneun campovectorialderivable ). La divergencia de V, representadapor V'V o div V, vienedad¿por V.v = ta¿t*f,i,*v\.ru,t,u.t t 4rt ¿v2 dv3 9!,I + ?¡7y 7z lr rnalogla con cl p¡oductoescalar Obsérvcsc A'B : APL + AzB.* 1"8r. AsimismoV'V + V'V.

ROTACIONAL. Si Y(.r,¡, z) es un c¡mpo vectorial derivable, el rotacional de V, repre sentado V x V o rot V, viene dado por vxv =,*,.*, + 3r)x(lz.t + V-t + Y.\\ o2 I lt J a -1. -tu 6; o la' l, Y. lv'

>*----'-' GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL d a a -tdl aal 7z 3ro'lj * 7roY ú i -lll^ v v, v"l v1 VI 2l ' ¿v".¿v. %tu 'oy -*'".,*-*,t oy a Zndeben Obsérvesequeenel desarrollo del determinante,los oPeradores pr e c e der a \, V", $ oy FORMULAS EN LAS QUE INTERYIENE EL OPERADOR V. Sean A y B dos funciones riales derivables y { y r¿funciones escalares derivablesen todos los puntos(r, /, z) de una regi espacio,en estas condiciones, !o I. V@tr/,) = V{ +V{,obien, srad(é+ry')= cradÓ + sradú n 2. V.(n+S) = V.t +V.B , o bien, div(A+B) = divA + divB t 3.Vx(l+¡) = VxA + VxB , o bien, rot(A+B) t'otA + rot B = V.
/,t"tz. Vx(Vx¡) = VfV.al -V'e En lasfórmula9-12, se supone que{ y A tiene4 segundasderivadasparcialescontinuas' INYARIANZA. Conside¡emosdos sistenas de coordenadas rectangular sde referencia r¡z y (figuraadjunta) con el mismo origen O perogirado uno conresp ctoal otro' Lascoordenadasde un mismopunto P del es (',t,,) pacioson(x, y, z) y (x' y' z') respecto de cada uno de los sist mas. La,s ecuacionesde transformación de unas coordenadas en otras son l¡x + lpy + loz (.¡) l21x+Ioy+lr"z \1x+\ry+1""¿ t I los cosqnos i errdonde I*, j, k : l, 2, 3 representan directoresde los ejes x'. y! y z' respectode .n, ¡l y z *,t \ t'' G..\ ¡iL .l\

CRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL rul,u2 I'n es t 1ñ l/ yx' 5i los origenesde ambossistemasde coordenadas no coinciden,lasecuacionesde trans_ x'= Itx + lpY + lsz *ai T'= lnr + I22y + l,a z ,oL = zt lstr 1-lef + l¡¡z +4 ioi) lascoordenadasdel o¡igenO del sistemaxyz r.sqcto delx,y,z,. nesde.transformación(,1)definen.unarotaciónpura y las ecuaciones(2) una rotación 3l):li-i"*. t¿s generaldeun sólidortgidoesunatiastaciOnieluiaa Oeunarotación.mación (1) se denomina rambién trunErormaciónortogonal.una transfórrnaciónltñ;iü * tadsformación afín. de,punro,o campoescalar4G,y,"), particularizada :l^11y::9i "::it1 enun punto a¡r¡nlqo.Así.po;;je;p6.i;;;;;;;;; A,i:1?^1191":l:-d",1":.g3lg.',"di' ffi;; z)o,(x',t,'..z')delmismo, 1.j":-"::lttotfrr, difo;,"dy",i?i;,;;t;ñ;;;ffi;; d" coordenad¿s ! y,, z,)r la lala remperaturadet mismolnlrnó iúntopunto deá" coordena :-",: (x;y, z) y.g,(x^,,9\x,y,z temperaru-ia \:.f¡¿l !T,f ". .t . : l respecto de otro sistema de referencia, ó(x, y, z\ -_ ,f,(r' . l', * z') nécesariamenle.Si ie '' ú(t,.y,)-:g'(x',y',2'\estando

retacionaáal'i, í,i'y r'';: ffit.iltTiltt:;:: (l)^o (2.),la.función glx, y, y,y, z) es eses tn tntn invarianti invariantiinvarianti resf*io z2esinvarianrerespecto dárotación(1),yaq;; ;;+

tación (1) o (2), la función óLx, z't resrr.r:í.,¿^"¡¡nr,o r¡qncfnm¡¡ix-d; dicñtt;ansformació dela transformación !_+,rl,f t;+ -lt + z't, "" Sogamente, una función vectorial de punto, o campo vectorial A(x,y, z) es vrLinva ante h¡-;) A'(x' ,y' , z'). Paraello esnecesanoque A\(x,,y,z)i + A2@,y,2)i+ AsQ,y,z')tr,= A:e',,t',i)í + Alrfr',y',lli'+ l',1x,,¡,t¡tt' cepltulos 7 y 8 veremostransformacionesmás generalesy ampliaremoslos conctos¿nteri ores. r puede.demoslrar (problema4l) queet gradientede un campoescalarinvariante.. un *^odil inva¡ianterespectodelastransformaciones(./)o (2).Análopmente,la ¿iuergen"iav et r;añí"| rrmpo vcctorialinvariantesoninvariantesrespectode dicbal transformacionÁ. .a Proble¡nas resueltos bdo d(x,r,z) : 3xzy-y'2,, hatlar V ó (o glad d) en el punto (1,-2, -l). vO = t3-i r5a j + !k\G,ry-7",,¡ o, oy oz = t*o"'y-y",'') + iftolr-13,") + r,$o,'r-t",rl = 6'r i + (s'2 -3f z2\i -2y3zl 6(1)(-2)i + {¡(t)"-s(-z)'(-l)'h -2(-2)3(-l)r -12i-9j-l6k

60 CRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL 2. D mostr¿rque (o) v(F + d) : VF + Vc, (ó)V(FC): .FVG + GVFsiendo .¡cy C funciones esca lares vablesdex,¡yz. = (o)V(r+G) rP¡rP¡*3¡lr¡rcl o, o.t oz ;) l;;(r+c) + Jú(F+G) + I ?: (F+C) rS * rS. ¡$ *¡$**S*rF O, Ot OtAj oz oz )¡ ). ). rP*¡$ruF+ i-+ i-+ k ox Oy ozot ay oz (l+ +l+ +k+)F + rr3*¡P*¡3lc = v¡+Vc Oz Oy Oz Oz Oy oz (¿)V(FG)= rPr *-d ¡ . pr,lrncl ot oy az = P,""t, + SrFcl¡ + plrc¡h ox oy oz = (F++cg)r. r¡1G-r¡ * r¡S *r¡ Qt Ot Oy Oy oz oz = ¡rSi-F¡-Frr¡ + c1$¡+$¡ *$rr = rVc+ cVF o, oy oz ot ol ) 3, Hallar Vg siendo (¿) ó = fn I r l, (ó)é=l (a)t=rl+yt +zk.Entonces y'*+y2+"2 y lrl= ó=Ln lrl = irn(r'ry'*"'\.

! ig = li tnp2+y2+,2¡ = +r2+22, + t& n@'+y'+""\} á{rfr r^(x2 * l}n{,'.ty'rr") !J, 2' 2y 2z t xi,Jl:4 ¡ = z\r;;+-./4..2 ' , x = l r\7+2, rrrr-rtr"I Zry4/, r¿lVe = Vtlt = Vtr/_ ,¡ = P{1,2+rt"¿¡-tht, Vx_+y-+z = t&e. *yrr"")-t/z * 1fi¡"2+"t¡r")-,/' , x!@z+rz+"2\-1/2 = | I-+yz+,")' "h aj + 1\-!62+y2+zr)-"/"zyj + x{-}1,2+y2+"rl-"/'2"} l¡"2 _ _ _r -zl-yJ-¿k G2 +,/2 + 22\312 to 1 n-2¿ rjemostrat que Yr = nr r. -----; tt 'i r-n V G2+y2 + z\n/2 * i] {p" *y, *"r¡"/t } * fr u! {a',r''"'r"/'¡ .1, v -(t!

\¡. l\

GRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL a:.+?-12+z\r/2-1uj + ! llez +rz,*.,n¡z-, + 4j ¡{\¡f +y"r"")n/r-,2,} .;-,2.22\'t/2'! kr + zk) + t! t :,'9-7, = nrn-', 4 lb qc si r : rr& sicndo r! un vecto¡ unitario en la dirección de r, entoncesVr¡ : ,r' -t ¡r. qE V { es un vector perpendiculara la superficio l(xy,z) : c, siendo c una consn nrc,

¡: Á * yi + zk el vcctor de posición de un punto genérico P(¡,Jr,z) de la superñcie. Entonc s dr *, -dzl ..At^situado en el plano tangsnte a la superficie en P. bic = *#0" = o,ouientSr *$ur.rr,t +dy!+ ¿zk)= o ** -#* -ffr Ja. ch :0 de forma que V ó esperpendiculara dr y, por lo tanto, a la superficie. Ector unitario norm¿l a Ia superficie x'y l2xz : 4 en el punto (2, -2,3). 3t :-2xz): (ZxyJ 2z)l f ¡'J * 2¡k : -1i + 4i * 4k en el punto(2,-2,3). lrÉorunitarionormalalasuperñcie = -{l!$. = -1, * *'r. r'e2f *G'f 3 3 3 -Gf " u¡itario normal el*t- f. a" fo misma di¡ección y de sentido contrarioqueel ?.| -I h ecuación dol plano tangenle a la superficie 2xz. -3xy -4x : 7 en el punto (1, -1 , 2). i (2xz' -3xy -4x\ : (/z' -3v -4) i -3x I I 4xz k a la superñcie e¡r el punto (l, -1, 2) es 7i -¡j + Af. I¡ ccuaciónde un plano que pasapor un punto cuyo vectorde posiciónes ro y es pefpendic ularala I N es (¡ -ro) . N : 0. (C¿p.2, Prob. 18.) Luego la ecuaciónpedidaes (xl + rl + zk)-(t-j + 2k)l'(7i- 3j * 8k):6 7(x-r')-3r¿ + 1)+ 8(z-2) :0. a(x, y, z, y í(x * /x,y*Ay,z!/z) las temperaturas en dos puntos muy próximos P(x,y,z ) y Ax, y{ Ay, z* Azl de una cierta región del espacio.

é(x+ ¿x' y+ Áv'Z! lzJ -óG'v'z) Lbrpretar flsicamente la magnitud :y -siendo/sla distanc¡ ent¡e los puntosP y C. Ealfar lim 4:!! e interDretarlo fisicamente. as ats dó .. dr ¿r_,¡ uemosüarquc -¿: ae'A , Como/ ó esla variación detomp raturaentrelospuntosP y B, y /s es la distancia entre di chos puntos, ¿ó repres ntala variación de temperaturapor unidad de distancia enla di¡eccióny sentidode P a 0. ;:

GRADIENTE, DTVERGENCIA Y ROTACIONAL (ó) S g¡tnsc $tudis en dlculo diferencial, Aó = +Ar + ir + infinitésimosdcordon suporior a &,$ y A" 'Orúr'Oa Ay + +A¿ .. Aó .. aó4, aó& ?ó4, Por lo tanto, = AToG A%tE 'iiE 'á;& dó aédx aódy @dz o bien, ;+qf t ds <E d3 d" E;i] ¿ó ¡ros nt¡la v¡riación ds tmpcra¡¡ra con rcspcctoa [¡ dicb¡cb rl punto ¡ co d, sentfulohaci¿ O, S6 dmomin¿ taú¡bldfl dertvafu erccciotul dc í ,-, ¿ó _ aód, . dó¿f . d4.¿z .aó. aó 4 d, dt dz (")d" *Éd, = 6;d"*qi 6;t+6t+t'r)'(ir+-tt+'Er) vo.+. ¿a dt dt Como osutr voctor u¡itario, VC' es la compoocnts do Vl oú¡ l¿ dircetón dc A ¿ unit¿rio 9. Demostrarqucla máxi¡u va¡i¡ción do L dB d cir, l¡ derivad¿ dfu¡ccion¡l náxin¡, c i¡rnl al y ti@o lugar co la dfurcciül do Gsto wtor. ¿t* Sogimelproblcma8(c),# : rl'fr csh proi,eeióndÉVro L + . Bcts máxima cua¡do V I v f; tcnea fe nisoe dtuccción. Luego cl mÁrimo vslot * * prodlp m * ción do Vl y su módulo os I Vl l. t 10, Hallar la derivad¿ diroccional da ó xlz * 4xz' qt el punto (1, -2, -l) y ú la dlrco ción y.¡, -

2l-t-2k. j ó : 9(x'yz * 4xz) : (Zryz + 4z)l + x'zi * (¡? | 8¡:)t : 8l -t -10L on ol puntoO, -2, -l). El vector u¡itcrio Go la dirccción dc 2l -t -t es 1t l= =fr -ár-5r La derimda podfulacc v{.r = (sr-J-rol).ér-}r-rzrl + =

-+-+

Como c6te valor

spositivo, Caumcols en dicha dirección.

ll. (a) Halla¡ la di¡ecciónsog¡n la cua¡osmáximala deriv¿da de la funclón C rr y u¡ en ol pun (á) ¿Cu¿tes el módulo do oste valor máximo ? vl : v(¡!z) Lryz'l I x'z'| * SxUz'L : --4i -,{ + l2l Gn ol punto(2, l,-f). Segúa cl problcma9,

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL L cs máxima cn la direcciónvC : -4t-4t * l2k, -rirda flo dc

stc má¡ir¡o aslY-6¡ :1@lp¡llj2¡ :lne : n,zt.

d {ogu.loquefornanlas superñcies z.:9 x'*r'* y z: x' +),r_3 enotpunto(2,_1,2). E irüo queformanlassuperñcics Gn el puntoes cl quc formanlasnormalesa las superficiesen dicho l¡ uoal ¿ x' + y, + z. : 9 cn ol punto (¿ -1, 2) c.3 V{r: V(¡'ly't z') : 2x i + 2y| + 22k : 4l-2J+4t l¡ oorm¿l a z: x. I yr-3, o bien, .x' I y.-z :3 cn lpuntoe,_1,2\ es VC¡ : V(xr+ y,-z) : 2xl *2yl-L : 4¡-2r-k (Y¿r) .(V CJ llV ó, I lV dr ! co¡i, siendo d cl ángulo ¡redido.Luego ({r .(4i -2r+ 4L) -21-Lr : l4¡_2j + 4LI l4t_2!_L tcos0 16+4_4 : /1a¡rT@irT1a¡ lr(4¡r-@rT¡]I cos¿ -t6 s\/A : : --63-: 0,5E19;cl ángulo agudo os 0 : a¡s cos 0,5819 : 54o35,. " lñ t Llo l-h disranciadesdc un nqqto $o- l(a, á_,c) a otro cualquie¡a p(¡, /, z). Demostrareuc vf, ¿5 r¡¡r yccle¡ E cfl la du ccióhy scntÍdodc AP : R. lEt¿y rp son los v ctorcs dc posicióa a|]-b!I ct y ¡llfi A y p +zkde respectivamente t-., : y'[-l;J$= : (x-a)l +Cy-ó)j * (z-c) L,dsformaquex 6¡.1-[:J¡, ffirT":

(¡-a)l (y-á)l v¡r: v(y'G-¿FTT=D;+(¿=¡1: f *(z-c)k R (x--q>'+bt-b).+ (z-cf i r Ector uritario en l¿ diroccióny sentidode R, t u¡ punto genérico dc una clipsc cuyos focos son lo3 puntos A y B, coÍp so ropr scntacn la ñcuraBl¡ ar que las r ctas ,lP y '8P forman ángulos igualcs con la t¿ngentea la otips cn ci punt o p. ScanRr : AIt y & : BP los vcctores queuncn, rcsp cmtg los focos I y .B con cl puntoP de la olipsoy T ol tang8nteunitario a la olipsc on dicho punto. Como la clipso es cl lugar g3ométdco dc los puntos p suma dc distancias a los dos focos fijos zf y I es cons,, l¡ ocuación dc dicha curva ca Rr + & : r. Scaún ol problema5, V(& + ¡J cs normsl a la clipso, r [V(Xr+ n )1.T : 0, cato cs,(V&). T : -(VXJ .T. Como VrRry V& son vectoros unit¿rios en las direc dc Rr y Rh respectivamentc, (problem¿l3), ol cosono ü ánguloformadopor V& y T os igual al coseno del ángulo hsdo por VXr y -T y, po¡ lo tanto, dichos ángulos son -lcs.El probl ña itc una intcrpretación fftica, Podemos ir¡¡gin¡¡q3 quc so trat¡ dc rayos inosos _ . & ondas sonor¿squc pafcn dc I, por cjr:mplo, y quo al llcgar a la elipse se refl cjan pasan-do por B.

GRADIENTE. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DIVERGENCIA = 15. Siendo A r2z l -+ ry2zl, hallarV.A (div. A) en cl punto (l, -1, l). 4t"'! zysz2 = ?a+¡ * P<-u"*>, ?eyo,\ v.e = r$r -$r * $.1. lx2zr-! + xy2zr¡ O, Of ot = ztz -6y222+ *.y2 = 2q¡'¡11¡-6(-1)2(1)2+ (t)<-rf = -3 en(1.-1,1), = (ó)DemostrarqueV.9ó=9'ó, siendoV' = 12 el operador Laplaciano' t6. sierido ó L""y'"o, (c)H¿lhrV'Vd (diverldC).^, .\2 # # -# (¿)Vó = | ? efy2"a\ + t ? eéfAt + | !@sf 4', dzü-dz = &212¿o l + 4rty"t I + g"3y2"31 Lu go v'v9 = (;zZr * 3¡, ?t). (uny'"ot + 4xsrza! ! gxs!2z'tt) ot oz = ! 6"\",.1 + J 1l/7.n¡* 9re/1,"1 a"'-' 4' 7z' qr3z4 ) ) ) A.A ¡.^ a.A (ó)V.Vé = 1l I +-Y¡ + irl. 1{Ll + i!¡ + {f.r¡ = L?,2r2¿1 + + 24rs12"2 o, oy oz oz oy o2 a aó ¿ aó a ¿ó a"ó ¿"ó ¿'ó ?¡' E¡ ' 7y'7y ' 2z'72 ' 7r2 7y" 722 = 13* !=,!=,,ó = V"O ü dt' dz'

1?.Demostrarque Vtf ll = o. v"111= -,4-4*É-,,\ ,' U2 ---1 ¿x2 dz,'\/F+r2+ 2' .3-, 1 ,, = +?)'t/" = -'(,2 +r2+ ¿;/,\\?' !F'+f '2)-sh d, I = ' 1"2+y' + ¿'2'!Q;/l/' {Í-, "t¡-shf 2.t-!''f = 3st1f +,f +*f6/2 1tz+rz 1"27-s/2 (r2+ 12+ 22\6/2 Análoganente,

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL ?", l ., 4'-rt-i ?', I 222-¡2-12 = ., , q'y'r2+f2+22' d22'y'r2+12+22' @2+,2 +22)6y'2 ' @2+!2 +.\* 12 12 j-^2 lhndo, r * ¿* * t r I = o. --9-tJ{ q' óz' y'r2 +t2 +¿2 -==-!-

I¡ cq¡ación Y'ó = O eellañr, ecuación de Laptace.* dr9d¡uequo C : l/r cs un¿ solución dc cst¿ )( : (d) V.(A+B) = V.A + V.B Y (ó)v.(óA)= (vél.e + é(V.a). ¡rA = ,{1t + A2t + asl, B = 811 + 82t + 83t. E¡roncesV.(¡+¡l = t$i * * . [r4*4¡r + (4+B)t +1,r"+8")rJ $t $rl = +-zU(4+B) 5;(4+81) * É14*41 ¿a, aA" aa" aB. ¿8" 3& =-=-*r-<.r-¡-f=-:f---r O, Ot Oz Ox Oy?: = tf t + + +r2l +4r) üJ ;;r).(,{1r * <$t * * $tl.
= ^/ *,*n¡ + &@A"\ * fr<ót"t/ aó . ¿A^ aó . dA^ aó ,¿A * QÉ * /s + 9-
n ol rssult¿do del probl ria 18(á).

EatoncesV.(¡-3r) = (Vr-").r + 1r-3¡V.r = -3¡-6¡) i-+ 3¡-3 = 0, ta.¡úendoGn cu nt! cl probleo¿,t,

t-66 GRADIENTE, DWERGENCIA Y ROTACIONAL 20. Demostrarque Y-QYV = UfV -V V'U. -VVU\ Del problemal8(ó), siendo ó: U y ¡: Yv, g.tuYvl = lVy¡.1Vr¡+ u(Y.Yv¡ = 1Yu¡.qYv¡+ ug2v Cambiando = tVyl.fVUi + Vi't). IJ por V se obtiene V.ltzVul Restando,Y.gugv¡-V.trVul = V.eVv -vVU\ = (Vul.rVrl * UY2V-lqYv¡'1Yu¡ + v92ul = uV"v -v Y'u 2t.Soay(¡, /, z) la velocidad de un punto cualquierade un ñuido. Demostrar quo el vo lumen de fluido por unidad de volumen y d6 tiempo a través de las superñcies de un paralelepípedo slem ent¿l dc en el punto P(¡, /, z) y aristas paralelas a los ejes coordenados, de dimensiones /x, Ay, /2, víene dado, ximadamentg por div v : V.v. R firiéndonos a la figu¡a, se tiene, componente x de la velocidad y en P II I componcnte ¡ de y cn el centro de ¡¿ cara AFED : componente¡ do y en el cenho de la car¿ C.ilfCB : v, -! * Z-, ^oro*.zo' 1 2vu, + i fi Ax a?tox. Por lo tanto, (1)votumende fluido queatravi sa ,4FED por unidadde tiemp " : <",-| ! Ul (2)volumendc fluido queatnviesa G¡ICB por unidadde tiemp" : (r,+ + fi or¡ O, IncrerDsntode volumen por unidad de tiompo en la dirección ¡ : (2)-(1) : # O, Análogamente,incremcntode volumen por unidadde tiempo on la direcrión y : ff U zy z, incrementode volumen por unidad de tiempo en la dírección z, zt 2". ": ff El ioc¡ernto total d :diYv:V.v lx ly lz

volumen por unidad de volumen y de tiempo es

GRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL 6? Eftado s exacto únicamentg en el límite, es decir, cuando el paralelepípedos considora c ada vez t .ñoo tend¡endo tend¡endotend¡endohacia haciahaciaol olol punto puntopunto ¿ ¿¿ o oo lo lolo que queque es eses igual, igual,igual, cuando cuandocuandoA¡, A¡,A¡, ly lyly y yy Áz ÁzÁz tienden tiendentiendena aa cero. cero.cero. Si SiSi no nono hay hayhayde fluido en punto algunoseverincaque V .v 0. Esta cuaciónrecibeel nombrede ec uación de un fluido incompresible.Como no seoriginani desaparecefluido en ningúnpunto, di rcmos aa¡t n fu ntesni sumid ros.Un vector v o un campo vectorial de divergencianula * llaf a solerroidql "u) "u) la constantea de forma que el vector v : (¡ * 3y) i + (t-Zzli + (¡ + ¿z)k seasol noidal. A \. \ Ó A I ' --.-{*^"-J-( 'i ' Un ve4torV es sol noidalsi su divergenciaes cero (problema2l). --) \r\', V"V lido quc " rtal dc t'dado, = ¡zs i fu"y"! + zyzah,,ballarVxA(o rot A) en el punto(1,

-l -.1,l). V'e = t$i x(xzsr-24rzl+ 2yz4r\ -f,r'S*t l jt ¿ aa dr ly& 3 -2"'y " zyr" l+@"1 -!<-23y"¡lt + li1rz3¡ -+t2r"\lr ,*,-*r"rOy oz oz $t'*rlt (2za + ?j2!)i + 3,22! -4tyzk = 3t + 4¡ st (1i-1, 1). ffudo A: x2y| -2xzl + 2yzk, hzllat rotrotA. rotrotA: Vx qVx e¡ ax) IJI Áx\ Ay ¿a¿ = = Yx lgvt+22y1 (t2+2zlt) Vx av,?¡ ¿y 7z =:' Ax *y -2.xz 2!, I JT AyZz a a a = (zr+2)t E¡7y é" 0 -u" -2" *,,,oa'"ra,r",QllVx(A+B) = VxA +VxB Vx(óA) = (Ve) + é(VxA). '3t¡r "A

GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL (a) S an A = A1I+A2t r l3k, B = BJ+82! +Bsk, Etrtonces: vx (A+B) = r$r * x [(,{r+81)r+ (A2+B)t + (,{s+as)k] f,i -a3nl ¡ jk aa ¿ a,4 ¿, Ar+Bt Az+8, As+Bo ti(i{"+8") ot --: óz(A"+ ' B"\JI' * [J1,r,na,¡ oz --Ptr"*at]¡or -" + L":,<,tr+sS-(,41+Bl)l r ü dA'1, = f4! 194: oy Az ' -*t,. r*-l!t* dzor ó, óy atrl, a83r, ,dB" ?8r]. * fE& _ * ra8l _ -ta, L¡;--a-Jk 'ar ¿,''' a,t'' = V*¡ + Vxn 1a¡Vx1óe¡ = Y x qgArt+óA2,+ ó4k) l J} ¿aa a" a/ ¿" óA, óa, óA. tfi
az óz dt otr* -*r, * 134^ oy óz d¿' * [rP¿"-Pr"r,* oy oz tJ l = SlVxe¡ + ¿ó aé aó Ez ¿y¿" Ar A2 = ó(Vx A) + (Vél e. ' \L.

GRADIENTE, D¡VERGENCIA Y ROTACIONAL V.lAx r¡ sabiendoque Vx A = 0. h .l = lit + A2t + Asl, | = tl + yt + zL. tJt baxr= Ar A2 As xlz = (zA2-!Ae\l + (xAs-zATll + (fAt -¡.A'.\l V.1l r r¡ = -rAs\ + fi(zAz f,ot"-"^,t + !|t,-'t,t ¿A" ¿A" ¿A" ¿A, a,{. ¿A z ----/--+ r -{--.=-+ t -<--¡=Ot Ot et o1 oz oz ¿a" ¿A. ¿A, da" ¿A" a,t. ,(--+ -+ z(=i ---:) =-) t(:{i <=) o! oz oz ot ot o! r ,¿h ¿A2. , .dh ¿As. . ,¿A2 ?¡, [rl + ¡J + rI]' t(---=-)l + (=i -+ {=-= -=-)rl ot 02 oa o, óx ot --:)J = r.(Vx A) r. rot A. Si VxA=¡ r sult¿do s cero. "¡ v .Q\ f \-) (rotera;\\=0), (ó) V.(VxA) =0 (divrotA zó). \ ,,, ¡¡ V 1V6¡ v x(+t+=, *p.l ' ) O, Oy l, I d 7r ¿, ¿"

aó aó aé ir ¿r?¿ .a aó. a ¿ó'. .a aó a aó, .e arÁ a A.ñ. = L+(-) - +(+)lr + L+(+) -+ (=)J, + [:(+) -:(=)l r o! oz oz o! oz ot ot oz ó, óy (, ót 12, n2, \2, ^2, ^2 -2, = (:g -j4rt * 1=!f--39r¡ * 1.j - 39r¡ = o Oy Oz Oz Oy Oz Oa, Ox Oz dx (, Ol dt Toni ndo que Ctiene segundas do¡ivadas parcialescontinuas, con lo cual-clord n de la d erivacióncs indifc -r|G, ¡ aa a el V'(Vxrl = V. 7r at 7z AL A2as AA, ¿a"}tn v.tr* -*rr -É)¡ +( _ é,t, )rl Of Oa oz a, d1 = ¿ a/. ¿a. a .at1 ?,iu.d ,¿a2 7t, + -a ------=-----a \ -E' ?r'E7 ?¡ ' qdz oz oz -r=-4,

/--It r lf ¡+ ¡ .\iü 70 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 12_ \2, -2 ^2 ^2 ó4" dA, oAa -2. óA-dA-o A. ¿rar, ?¡ ?z ¿y¿, }1 ?r ?z ?r ?"8 suponiendoqueA tiene scgundasderivadasparcialescontinuas. Obsérvesela semejanza entre el rosultado anterior y cl de (C x Cr) : (C X C) m : 0 , siendo escalary C'(C ¡ A) :(C x C)'A :0. 28. Hallar rot (r/(¡)) siendo/(r) derivable. = rot (; /(¡)) V x (¡ /(¡)) Vx (x/(r)f + t IO)l + z l(t)l\ tJr aaa ?¡472 rl(t) t lO\ z f(,', ¡f >f >t )f >r = (zl-l+)l ^Í * ('+-¿+)J + (/::-':1)L oy oz oz o7. ot oy fl =,9.¡,$r= = I-:.4n6¡o*n"n"X=+ e,,o tX.

{}c.a;p, +,4,",,,= f'v f'z f'z I'x l', l'' + (f t---: es,=(,+-tllt + ("+ Por fo tanto, l resultado -"+\t '+)l * 29. Demostrarque V x 1V x ¡¡ =-v'n +v(v'A) . I jL a ¿a Vx 1Vx¡¡ = !¡ 7z 7y 7" A2 Ag = Vt | ,¿As * -T')r *-1!,,. r*-1lrrrl ol óz 02 ot ot ot I j I aa a ?¡ly ?z 7A, dA, 7A" éA" éA" ;' ¿z ¿" 7z ot oy ¿ ,AAo ?¡,, a . a,{1 E,{...,. E7'E ¿y' ?,'?" Zx"' ?,!4"-!,e',1, . f3,?4-"'

. r3,* -!4-",-3,* -*,1. Ot Oz O, Oj Ol dz

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL -"#,, "*-*,. ,-"+ .",*-fuu, . ,{*,fu"^r,t ,!,.#r,, ,34.,., -'*"r, ,-#-*-#,,.,-'S$,,,,$-*-".4,, * .,*.*,*,,.,$.*-*,,,,*',*,*,, a2 12 --2 + A2!+ Asr) r*. + *+, #\(A;t ,'*,#.*.*, -,E3.* -"#,*,.**,*,"#."#, -v"e* v1$ ox *, ol -.*. oz = -V'e + V(V.r) quiero simplificar la escritura, sepuedeoperar solaÍronte con la componente i y d du cir luego las otras t¡ smcmalt. El resultado también se exp¡Esa cono c¡r el problom¿ 47(a) del Cap. 2, de la forma sigui enG: r¡l ax (Bxc) = B(A'c) -(A'B)c Li:ldo A=3=! y ¿=¡, Vx ¡px¡¡ = VrV.rl -1V.V¡r= VlV'r¡ -fr tEveso que la fórmula (1) sotiene que escribir de forma que los op radores A y B p¡ece danal op rando C ¡odo v =arx¡, d mosüarqu6 ¿¡ = | rotv siendo (,, un vcctor constante. rotr = Vx v\= V x (¿rxr) "'li');)' --i t f1<,t2"-@sy\i + (.¿st -@tzr! + (oú -@2'\lf r¡t

ó ? d -:-2(
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL Por lo tanto,o: ¡V x Y: lrotv. El ¡otacional de un campo vectorial confierc ¿ éste propiedades dc una rotación' como ve rcnos 'ii cup.?. üiüñno. aJ,.to"idadosd un nuidoerl movimicnto, porci nplo,un¿ru( "iáñpá-r "i Dalerasque se sirúe en ¿iwrsos puntás del mismó' tiende a girar en las reSioncs en las q u rot F .* 0' m¡ '". ri tiii':'o no hay rotación v ii"".pJFé ¿.n orruú lrrotscional'Un campo no imotacion al¡6 rotacional o de tóúices. = Vx (Vxn) = o.',*, = " -# Aniilosam nte, $
El rotacional6s ccro para ¿.4, ü =2, c = -1, de donde s'l b-" + (A + (*t-l +22)l A 2 @ +2t +42\l -3f -.tt v V@ (ó)supongamos= . $t - $r -$. Entonccs, (r) :{= +az, (21da . r,-3f 'dz-2, (3) = = 4t-f +22. ót '+zf ¿tIntegrando(,t) parcialmcnterespeatode ¡, pcrmaneciendo/ y z comtantos, (4), ó = + + b! + 4rz+ l(y,z) sicndo/(/, z) una fu¡¡ción arbitraria d a.

y y z. Análog;amente, e <4 y Q)'

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL = o,-4 + r -fz t@i) ó=4zz-yz + 22 + h (r,t). ceDarando (l), (J) y (ó) sededuce que hay un valor común de C si s .to¡nan ¡1y,"¡= -{, s1z,z¡= ( +¿2, ttn,rl=$-{ "', ,t'=n-Frf*Lxr+4zz-rz I Et¡eseque tamb¡énse puedesumar a d una consla¡te. En general,si V x v :0, antoncess puodc 'x2w2:, ts c de forma que v : un vd. campovectoriat v que aerlvaáe oiio escatard, tal que y : vó. sc a ca,rpo vectori.tl co,sertqdor, si ndo d el potencial escalar, Recfprocamenó, ii ; :; ;, . r:0 (problema274). "*Jil: trar que si ,,(x, y, z) esuna solución de la ecuación de Laplace, V C defineun campo vectorialsole_e irrotacional. ¡or hipótesis,d satisfacsa la ecuaciónde L¿placeV,d :0, es dcc¡r, v,.(vC) : O y, por lo tanto, rs rclenoidal(problemas2l y 23). Del problema27a, V x (i ó): 0, con lo que V d es irrotacional. V,l, o una gosible detinición de grad B. SuponiendoB:^Bri+&i+13k, la expresión degradB vi ne dad¿por

v" = ,*r * $r * $.r rr,,+B?,+Ber) = *t, * P,, o, or * P¡, oP,, * Pr. ot 0! ¿t *$., *$.r*$.. I-as.expresionesi i, i i, etc., se llaman diadas zzrlarr?rs. (Obsérvese qu ¡ i, por e j mplo, no es Io mismoji). Una expresión de la forma orJÍl + ar2lt + d$l¡ + a21tl + aelt + az'll + odll + ¿salJ + o$l¡ siendosuscomponentes o¡, on¡... Disponiendolas nuevecomponentes los co ficientes *#y" (;z;) &rma una matriz cúadradade tercer orden, 3 x.3. Er conceptode diada es una general izacióndel conD de vector. Una posteriornos lleva a las t)¡odo, qu" -generalización ;;¡*it*:LhjJ.;,if*."{;i$h[;rnm#.*nlis#}:-3*:'#:"

i GRADIENTE, DMRCENCIA y ROTACIONAL 35.SeaA un vector deñnido por A :,4, i + A"j + A.k y O una diada dada por o : ¿rrii + a- ij + at3ik * ¿¡¡i i * aojj + d-ik + a3,k¡ + a3!k¡ + ¿,skk Obteneruna posibledefiniciónd A.o. Suponiendo que sacumpl la propiedaddistributiva, A'o : (,{,i+,4,i + A" k) .o :,4,i.o + A,i.q + l3 k.o consideremos,por ejempro,el productoi 'o. se forma efectuandolos productosescala resde i uno de los términos de ,iD,surnandoluego los resultados parciales obtenidoi. Algun os de estos térn i.a,ii, i,a,"ii, i.anit, i'a*kj, eic.Teniendoen iuentaoue l.o11ll = all(¡.i)t = o11t yaque l.l = I I ,oetJ = a12C.tri = arpl ya que l. | = i l.c21jl = aa(t.r)i = 0 yaque t.J =0 t.q2lJ = csr(t.k)j = 0 yaque t.I = 0 y damosuna inúerpretación análogaa los términos de J.rD y I..D,se obtiene A.O = ?41(a11t J+ a13k) + Ai@2:i+a,zt+ k) + ,4s(as1 + ¿12 t+as2J+063k) = (A1a!r+ A2d2r+Asoar]t| + (A1ab+ A2dz + Ards2)t + (Aaqr+ A2a2.+Aa que s un vector. 36. (a) Interprctaret sírnboloA 'V. (ó) f)ar _urposiblesignificadode(A .v) B. (c) ¿Sep uedeescribirlasión antc¡ior de la forma A.V B sin ambigiiedad algiina ? = (a) s a a A1l + A2i + l¡1. Tend¡emos,formalmente. A,9 = e1t + A2!+ Asll't.tr3i $r.$rr ¡ + A-: + A^ -:dx oy oz que 9sun operador. Por ejemplo, a a aó ¿óaó t¡'Vló = ¿¡.3* + @ + Az '"' a, '" t ¿r 's;,) Obsérveseque

stoes lo mismo que A ,Vó.

(á) Sustituyendoen(a) / por B = Br| + B2J+ Bsk,

(A.V)B= tt¡a * erJ * ¡"P)s = ,r1E., lr$ * ,1"$ oy oz o, oy oz ¿8. aB" ¿B^ 78,.. .. aas arg = (,{,*' . A"yL * ,r" +42 *4"É)t * ''o' 'dy '(A' tA'5i * A2i" +A3 a.lt ¿: ¿; (c) Tenie¡do,en cue¡ra la interpretación do V B dada en el problema 34 y, de acuerdo c on elestabtecldoen el problema 35, l. l. A-Va = (A1l + A2! 1 13¡). VB = ALt.VB + lal .Vs + .{st.Vs ,,,p,rP, . P*,*n,,!,*f;, . fu, *¡"r*r ot o, d, -*, -*

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL que el. mismo resultadoque el del ¿partado (ó). se deduceque (A .v) B : _es_ A .v B sin lugar a ambi güedadsiemprequ

el concepto de diadica se considerecon las propiedades indicadas.

= .) (A'V)ó, (ó) A.Vé, (c) (B.V)a, (d) (AxV)O, @) AxVé,. !tuido A 2.yzi -Éyi + r*k, B = x2i + yzj -xyk y ó = 2-"y"", hallar r¡ 1n.V¡@= lqzyz| -t2y!+ ..z2r¡.rPr * 3¡ * SrtlO ot of oz zy, > a {(z,ty'.) = (2r";-*t;. ,"2?, er)r.) _,,--l /Yz (4()¿' dz u*v u"{
ot oy oz ox ol oz = ,2(-L.y i + z2¡¡ + yz(zzl -x2t\ ,l(zy i + 2jrk) = (2122-2ry'\l -(2.rsy+ íy{! + 1}22 - zz2yz¡l Para la comprobación con B'VA, ver l problema36(c). er¡¡xV¡@= l¡zyzr-* *yt , "",r¡,qlL * $i SrrlO k 4z -;r aa a ¿r ¿" _11a1 Li(-*y+ -¡1",2i -zyzil r(2yz+ + fy*lQ """+) Or Oz oz oy oy Ot aó 2.r. ).A aó ^aó ^aó -(x'y-i' + x.¿'--)l 1xz2{ -zyz{¡¡ (2yz--+ fy =¡'¡k oz oy oz oz o1 oz ( &tay2r2 + 2¡3zE)l + ( 4x2yz5-t2t2y2zs¡ 1 ft'rrt + $r

GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL ) ( )AxvO elzi-x2rt+,22h)"rffr -$t -S*l IJ l 22 4z -r t ¿O aó ?4 éy dz aó (-,, ^aó oz -¡z''-.o, ) I ('"'# -zy"!n * tzy"4",* *y4"tt = (6zaf z2 + -zt3z6)t + ( 4z2yz6 -l2?y223¡¡ + ( 4x2yza + 423/2zl\h Comparando con (y') rasult¡ quc (AxV)ó = AxVé. ITWARIANZA 38. Deducir las ecuacionesde transformación de las coo¡denadasde un punto cuando los ejes;r, y, z, del r ctangularal que estáreferido giran, respectodel origen, hasta li posiciónx,,y',2,. Sean r y,r' los vectoresde posiciónde un punto cualquierap en ambos sistemas (6gur ade la página ^ Como r : r', (i) t't' + y'1'+ z'ht = tt + yl + zy Para todo vector A s verifrca (problema 20, Cap. 2), a = (A.t')t' + (A,j')i' + (A.k,) k, Hac¡endo A : i. i, k, succsivamente = | tt.llt' + (t.J')J' + (l.k')h' = t11i, + t21i' +

( h! k' (2\ t = rt.t'ti * rJ.¡'lJ' + (j.L')k' = ter' + ¡n 1' + ts2k' { ( r = (¡.1)f * (k.J')j' + = (¡.I,)k, hsi, + taf, + qBk' Sustituyendolas

cuaciones (2) en(,t) e igualando loscoeficientes

de i,, j,, k, se obtiene (3) x'= l::x t'lp! t ltsz, lzú + lzy + LBz, 2t = f'= l.1x + tg¿y+ Lesz queson las ccuacionesde transformación p d¡das, 3!). flemostrar que i' = lrr i + lpi + 4gk J'= l2\l+122i+hsk k'=Jsri+ls2i+h3k Pararodo vector A s verifica A: (A,i)t + (A.J)J + (A.t)k. Hacie¡do A : i', i', L, sucesiva¡Dente = I' (l'. i) l + (1.J)j -t (r1¡)t = lúl + lr-! + ¿sh = (i'. i) t + (i', i) i + (j"r)r = h\t + b2i + t' , { I' (i'. i) i + (I1j) j + (k'¡.l)I = ¡slt + ¿s2J+ bol =

GRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL t tr,,,hr: lsim:z,y0si¿r * n,endon&my npuedentomar uno cualquiora dc los valo * b c¡¡¡acionos(2) del proble¡n¿ 3E, = = !st'). (&1t¡ + ¿21r'+ ¿s1l') t.t r ltllt'+¿r.¡'+ ,2 ,2 2,'!ra2LlLAl f., = 0 = (¿sl'+ ¡rn¡'+.tutr'¡ . (tpl' + trr.!'+ ls2l') = '2 hrl,e + lá12 + hTla l.l = 0 = (Lll'+ 4oJ'+ hr'). {rtgf+ toJ'+ 6er') = + lalzs + lsLls !1Is &rostrado6n cl caso dcrn: l. Considcrandot'l,l'l'l'k'k'l'k'¡ y k'k se obtiono la d emosÉ$ m:2 Y m :3. ( l¡i¡r:tt '' Eirndo ó-: | cl tlcultado su dcGccribir t lñIto:A'.' I Osim*¡ t-l E slmbolo ó,o¡sc donomina deltq d2 Krcneck.r.

l(¡, & z) u¡ csc¿la¡ invari¿ntcrcspcctoile una ror¡ción do e!:q demotrar qucSrsd Cos u[ vccto rtcÉst Ér-to dG cata transforünción. Por hipótcsis,6@,y,2'): 4'@', v', z)' Ten tnosqucdcmostrarquc P,- Pr * P. = Sr'P,l . Sr' ot oy oz ot or oz Dcdvandoy t nimdo on c-r¡ents los ccr¡acio¡res do transfoÚación (3) del problcma38, !c obt is¡e aó Eó',a,', aó'&' ?ó'?.' ¿d'. aó'. ad. =-; + <-+ .-li-= <-¿f + iJ,21 + i r-hl

' ?, Ót dz Oy' Ót Oz Oa ot oY oz aó' ar' -'t ú' d' ?ó' ?r' ad . aó'. ad. @= = Ar *¿t'8t. ¿/6 a"'4'?t 4'*';jtu aé aó'ar' aó'ay' ?ó'?.' aó'. ú'. aó'. = + lze + ¿sg i-he i E¡ é"t 1, ?t' E¡ ?"' ?, ot or 02 Xu¡t¡plic0ndo sta! ccuacionca por t, L L Fapcctiv¿mte, sumsndoy tenicndoo crmta sl pfobl cm¡ 39, so ótiono ol rcaultsdopcdido.

78 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL Problemae propuestos 42.Siendoó : 2xz.-x,y,hallarVCy lV{ lenelpunto(2, -2, -l). So/. lOi -4J-l6k, 21l 9 3 43. SiendoA : 2x, i -3yzi + xz,k y .5o1 5,7i-i-tlk ,14.Siendo F: x,z I y G :22,y "ttx ,9¿l (a) --4¡ + 9i + k, (ó) -8j _ 45.H¿llarV lr I¡. Sol. 3rr f'ír\r 46. Demostrarque Vf(r) : Li-. 47.Harrar vp,"-tl, + fi\. 6:22-x.y, hallar A.V ó y A x VC en ol punto (1, xy', hallar:(a) V(F+ c) y (ó) v(¡C) en cl punto (1, Sol. (6 -2t--2r'-tt') r 't' ,.. 48. Siendo gU :2r'r, hallar U. Sol. ¡./s + constante 49. Hallar C(/)de forma eueVd : ,.j v d(l) : O. Sol. ó(r)-+ (t -+) 50. Hallar V,psiendo9 : @, * t, ¡ 2t¡¿-l7i7l7 , Sol, (2-r) e-, r 51. Siendo VC: 2xyz, i * x,z,l + 3¡tz'k, hallar C(¡, /,.r)sabiendoq\e {(1,--2,2):4. Sol.$: 52.SiendoV\':(y2-2xyz')l+(3 +2xy-x,z')l + (62'-3x.yz')k, hallar r¿. Sol. 9: aya-*,y2.+3y +(3/2)2. + const¿nto i,l 53, Siendo U una función derivable de x, y, z, demostrar que V U ' d¡ : dU. 54. Siendo Funa función derivable de x,y,z,, y x,/,2, funciones deri'.,ables de r, dcmostr¿r quc i + : + +aF'# 55. Siendo A unvecto¡ constanto, demostr¿rqueV(r'A) : A. : t , |l 56. Siendo A(x,y,z\ : A\i + A,i +,{, k, domostrar quedA : (V4.'dr)i +(VA,'dr)t + (1A"' s7. I)emostrar que o ( ) : ooo;""o siendoc + o. I 58. Hallar un vector unit¿rio p rp ndicular a la superficie del paraboloide de revoluc ión tt-r4j_kpunto (1,2,5). Sol. #' + \/, z : ¡r t 59, Hallar el ve{torunitario normal á la superñcie (x -l)t +y'+(z + 2)r : 9 on el pu nto (3, l, -4). Sot. (2i I i -zk)13 60. Hallar la eruacióndelplanotangentea la superfici xz" * x'y : z-I en el punto (1,

-3,2). : Sol- 2x-y-3zll:O 61. Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la normal a la superñcie z : x2 t yr cn el punto sot. 4x-2y-z: t, ";' :'+: "=t o x:4t i-2,y:-zt-r, z:-t i-5. 62. Hallar la derivadade 6 : Sol. 31617 :53.7 4¡2t-3tzr'z en el punto (Z' -1,2) en la dirección ¡ -3i + 6k. ". Xl:t"'jflP frl.: *--* ^ elpunto(1,l,-l) en dir cción haciaelpunto(-3' 5'O'

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL h di¡ección segúnla cual la derivada de la función ó = 2xz-y" en el punto (1,3, 2) es máxima . =el rÁ",iiulo de este valor máximo? So/. En la direccióndel vector 4i -6j +zki2\/A:'1.4g. r los valoresde las constantes a, b, c de forma que la derivadade la función 4 : axyt + byz ! cz,xl Fnto(l'2'-l)tengaunmáximodemódulo64enladirecciónparalelaalojez. t:6,b:24,c:_8. el ángulo agudo formado por las sup rfcies xyzz : 3x + z, y 3x1 y, + 22 : I 1,-2,1).

n l punto(

3 \/Á .Ic cos arc cos : 79"55' H I¡¡fasconstantesayódeforfIlaquelasuperficieaxr-gyz:(a!2)xse¿o¡togonalzla4xry*23:4 d punto(1,.._1,2). So/. a :512, b : I feodo ri y y funcionesderivables de x, y y z, demostrar que la condición necesaria y suficientepara que r y v estén relacionadas por una ecuación de la forma F(a, y) : 0 esque Va x Vy : 0. Dererminar si u : arctag x + vrctzgy y v relacionadasfuncionalmer¡le. liln:2:: ffi "r,an (á) Si(v : tag ¿). Demostra¡que la condición necesaria y suficientepa¡a que ¡as funciones u(x,y, z), v(t, y , z) y w(x,y, z) 6tén relacionadaspor una ecuación de la forma F(u, v, w) : ¡ es que V¡l x Vv x V', : 0. Frpresar Va. Vy x Vw en for¡na de determinaote. Este deterhinant se llama Jacobiano de ¡]. r. re rcs. A@,v,w) .. ./a,v,w\ pectode x, /. z y se representa por o b¡en. ./ . ¿G, yÁ, \; l, z , D termina¡si u: x 1y + z,v: xs +y" + t, y r.) xy + yz + zx estáÍ rclacio¡adas funcionalmen te. ?¿ ?¿ E¿ 7z éy lz a? ?u ?u

t¿ (b) (c) Si (z!-v-2tr,:0) Ox Oy Oz !4, a, ?p ¿" ¿y ?" doA:3xyz'i+zxy'!-x,yzkyó:3x'z-yz,hallar:(a)V.A,(ó)A.vé,(c)v.(éA),(d)v.(vd), q elpunto (1, -1, l). sol. (a)4, (ó)-15, (c) l, (d) 6 Erllar div (2x'zi -xrzzt + 3yz' k). Sol. 4xz -zxyz+ 6yz krdo d :3x"2-y,z'+ 4x,y +2x-3y-5, halla¡VrC. Sol. 6z I 24xy-2z' -6y'z dr>L. Ballar Vr (ln ¡). Sol. llr'z I>mostrar que V2'' : n(n + l)rn-" siendo r u¡a constant . S¡ ndo F:(3¡r- z)i+(xz'+ y|)i -2rrz'!k, hallar V(V 'F) en el punto(2,-1,0). So¡. -ó¡ + 24j -32k Siendoo un vector constante y v : (' x f, demostrar quediv v : 0. Demostrarquei'(íV) : ÓA"V+ 2A ó'VV + 1t'1"í' Siendo U : 3*y, V : xz' -2y hallar grad(grad U)' (grad I/)1. Sol.(6yz'-l2x) i I 6xz,| * l2xyzk Hallar V '(r" r). So/. 6¡r Hallar V'[rV(l/¡')]. So¡. Hallar V'[v'(d¡')]. Sol. 2r ' SiendoA : r/r, hallar graddiv A. Sol--2r -' r (d)Demostrarquea\a:# +| !*L. Ol Hallarf(r)de formaquev f(r) -o. Sol. f(r): A + Blr siendo,4 y.8 constantesarbit¡a¡ias. s

GRADIENTE. DIVERCENCIA Y ROTACIONAL 84, Demostrar que el v ctor A : 3y.2.i * 4xrz,i -3x,y2 k es solenoidal. 85. Dcmostrarque A : (2¡r + 8xy'z) t + (3x'y -3xy)j -(4y"2,* 2¡!z) k no es solenoida l y que B : cssolenoidal. E6. Hallar la función derivable másgpneral/(¡) do forma que/(/) r s a solenoidal. Sol. f(r) = C/¡3 s¡cndo C una constante arbitraria. E7. Domosttarqu el campov ctorial V : i-'j os un . Dibujarlo e {xr*v2 --t pretarlo flsicamenta, Et. Siendo U y / campos esc¿lares derivables, demostrar qu VU x V Z es solenoidal. 89. SiendoA :2xz'i-yzi I 3xz. k y ó: x,yz, hallar: (a) v xA, (ó)rot(CA), (c)v x (vxA)' (d) vlA'rotA], (e)rot l, l). Sol. (a) i +i, (ó) 5t-3¡-4k, (c) 5i + 3k, (d)-2i *i * 8k, 90. SiendoF: x'yz, G : xy-32\ hallar:(a) V(vF).(vc)l, (ó) (VF)x Sol. (a) (2y'z Í 3x2z-l2xyz) | 1(Axyz -6xtz) j 1(2xy'* x" -6x) (á) 0

grad (óA) en el punto (1, (¿) 0 V .(VF)X(VC)I, (c) V x [ k

(c) (x|z -24xyz) | -(12x,z | 2xyz) j * (2xy" * l2y z, + x') k 91.Ha¡lar v x (r/¡3). s¿/. 0 92. ¿Paraqué valor de l¿ const¿nt a el rotacional del vector tr : (a¡y -zs) i + (a-2) xzi+(l -a) es idénticamente nulo? Sol. a :4. 93.D mostrarque rot (d grad C): 0, 94.Representarlos campos v ctoriales A:¡i +/j y B:t,i-¡i. Hallar la divergencia y el de cada uno d ellos y explicarol significado fisico dc los resultados obtenidos. 95, Siendo A: x'zi I yz'|-3xyk, R: y'i-yzi * 2xk y ó:2r, * yz, hallat (¿) A ' (v C), (ó) (A 'v) d, (c) (A 'v) B, (d) B (A 'v), (¿) (v ' A) B. Sol. (a) 4x.2 + yz. -3xy2, (b) 4x'z + yz, -3xy,(igual que (a)), (c) ZY'z'i + (3xY'-Yz')l +2x'zk' (d) el operador (.r?2zi-x2yz"j + 2x,zU) ! (y'zsí -y,z.i +Zxyz"k){ * * (-3¡y'i ! 3xt'zi-6x'yk) (e) (2xy'zz¡ ytz')i-(2xyz, * yz,)i I Ax,z l2xz')k 9ó. Siendo¡: y2'i-3xz'lI2xyzk, B:3¡i + 4zi-xyk y 4: xyz, hallar (4) A x(Vd), (á)(A xv) d, (c)(V xA)xB, (d)B.vx A. Sol. (a\ -5x.yz2 1+ xy,zt j + 4xyz. k (b) -Sx,yz, i + xy,z, i + 4¡l?3 k (igual que (a)) (c) 162'í + (8xzyz-IUz')l + 32xz! k (dr 24x,z + 4xyz' 9T.HallarAx(VxB)y(AxV)xBenel.pu¡to(1,-1,2),siendoA:xz¿i!2yi-3xzkyR:3xzil2yziSo,

l. A x (VxB) = l8i-l2j + l6k, (AxV) x B:4j +76k 9E. Demost¡ar que (y'V)y : J' ,-v x (V x v). 99. D mostrarque \¡.1.1 x Rt B.(V x A)-A.(V x B). l0O.Demostrarque V x (A x B): (B'V)A-B(V.A)-(A.V)B + A (V .B). l0!. Domostrarque v(A.B):(B.v)A +(A.v)B +B x (v x A) +A x(v x B). 102.DemostrarqueA: (ó.y/+¿3)i I(3x,-z)i * (3¡z' -y) k es i¡rotacional. Hallar Cdeformaqu eA = Sol. 6:3x2y i xzr-yz + consranre

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 8l que E : rt! es irrotacional. Hallar, d de formaque E: -VC y q\e ó(a):0 siendos > 0. t' o : ln (alr) A y B irrotacionales, demostrar quo A x B es solenoidal, /(r) derivable,demostrar que/(¡) r es irrotacional. -h algunafunción derivableV de forma que: (a) rotv:r, (ó) ¡otv:2i+ j+3k? En caso hallar V. --.rivo,la) No, (ó) V:3¡t .f. *(2y-x\k *Vd, siendo/ una funciónarbitrariad ¡ivabledos ve¡ s. hqrt-¿r que las solucio¡resde las ecuacionesde Maxwell o'".=**l o," =-+*. v.x=.0. v.E = 4rp o una función de .r,y, z y c la velocidadde la luz, supuestaconstante,vi nendadaspor -r v,n=|*. o,"=-+*, v.n=0, y.a=mp r hde A y {, sellamanvectoria! poterciql y escalarrcspeati\¿amente, y satisfac nlas ecuaciones ' ':2¿ a )2' ' 1r¡v.n+1P=0. e\Va--#=-n"0, atlt=\ffi c dt Dada.la diadá-o:ii+ji*kk, halla¡r-(o.r) y (r.o).r., (ó) ¿Existcalgunaambigüedadal
(á) Si, p¡eparandoad cuadamcntelasoporaciones, &lrostrar que ó(x, y, z) : x" + y, + z! es un escalar invariante resp ctode una rota ción de ejes, fudo A(x,y., z) un campo vectorial de¡ivable invarianG r spectode una.¡otación de ejes, demostrar que o div A y (á) rot A son respectivamente, camposescalaresy vectorialeslnyanantesres pectode la transfuuación. &sfrjar x, y, z en las ecuaciones(3) del problema3g en función de x', y' , z, . tcl-x : l¡x' * l,,y' * l",z', | : l* x' * lzsy' I L, z', z: l,"x':-hEt. * Iuz, lfudo A y B invariantes resp ctode una rotación, demostrarque A.B y A B son invariantes. ^ hostrar que en una rotación v =rP *¡l-*rP =,'3*¡,3*r,3 =v, ot oy a2 ó, dt. dz Iblostrar que el operador Laplacianaes invariante rgspectode una rotación.

tr-Ca ítulo Integrociónvectoriql INTEGRAL DE UN \aECTOR. Sea R(z) : R(a) i + Rda)j { Xr(r.r)k un vector función de sola variable escalaru, en donde R,(a),R(a), R.(a) se suponen continuajén un inter valo dado.En condiciones,, !**,0, = if n,o¡du, *"*ro, if a,ot¿,,uf sellama integralindefnidadeR(u).Si existe un vector S(z) de forma que Er¡: tS{u)), " f Jfnot¿u = Jf$1st,r) du = S(¡)+ c ou' en donde c es un v¿cro¡ constantearbitrqrio independiente de u. La integral defnida entre los límites ¿ ya:óes .^ *,','" = = s(¿)+ cl-= s(ó)-s(") loo ["0 *'""o" a Est¿integraltambiénsepuededefinir como el límite de una suma, de forma análoqa a como se el concepto en el cálculo integralordinario. INTEGRAL CURVILIÑ-EA. Sea r(u) : x(u) i * y(u)! * z(u) k el vector de posiciónde (¿ de los puntosde una curva C que pasa por Pry P, corrcspondientes a u: Uty z:-a¿, r espectivam Supongamosque C se compone de un número finito de arcos en los que r(a) tienederiv ad¿con Sea_A(x,y, z) : Ari + A2i + Ark una función vectorial de posicióndefiniday continua a lo largo La integral de la componentetangencialde A segúnC desde p¡ hastapr, aP^¡, = l'*a, ln.d, l,t,dr+Azdy+A.d"

.,c es un ejemplo de integral cuivilíneao d,e línea. Si A representala fuerza F aplicada a una partlcula se desplaza a lo largo de C, dicha integral corresponde al trabajo realizado por Ia fuerza. Si C es curva ce¡rada simple,es decir, una curva tal que una recta cualquiera la corta a l o sumo en dos la integral a lo largo de C se representapor ff e.at = Ard"+Azdy+Asdz t I En mecánica de fluidos, electricidad, etc, esta integral recibe el nombre de circu lación de A a.lo lttgo en donde A es la velocidad delfluido, la intensidad de campo magnético, etc. I, I, En general,toda integrala lo largo de una línea se llama integral curvilínea. Estas integfales se definen como el límite de una suma, de forma análoga a como sehaceen el cálculointe gral o En los problemasresueltosveremosalgunos métodos de resolución de estas integrales. Yeamos ahora un teoremamuy importan{e. I 82 t

INTECRACION VECTORIAL lo función de rdado.En )) se Dslímites¡¡ I I ho se i lin de (x, ivada r lo largo ¡ partícula I Si Ces !n 4pt rlo largo pales Fal I¡OlEMA. Si A :.vd_ en.todoslospuntosde una región R del espaciodefinidapor ar= x S az, É á¡ cr5 z 5! cr, siendo {(x, ¡, z) uniforme y con derivada continuaen R. ft fP, A . /r es independiente C enR que'rneP1y P2. de la trayectoria 21 Z. $ A.dr:0 a lo largo de cualquier curvacerradaCen R. Jc condicionesel campo definido por A se llama campo vectorial conservadory es su p otencialescalar deriva. I¿;ondición necesa¡iay suficientepara que un campo vectorial A sea conservadores que V X A fr':Én, que A : vd. En este caso, A. dr : tdx * Ardy * A"dx : dg es una difcrencia

lexada l0-14). RAL DE SUPERFICIE. Sea S una de las dos caras de una superficiecono la represent ada y consideremosa una dc ellas arbitrariamente positiva1:iS esuna superficic cerra¿a se toma Un vector unitario rt normal en un punto cualquierade la cara posltivade S se ll ama vector rj,orma.l exterior. hiemos a la diferencial de superficie d,5 un JSde módulo d,9 y cuya dirección y sentido de n. Entonces, dS : n dS. La integral I I II** =[^,0, rlII ,l ¡emplo de integral de superficie quese llama A a travésde S. Otras integrales de superfto ff ff ods,JJónas. f 53 [!n,0" y'una función escalar. Todas estas integrales como límite de una surna, de igual forma del cálculo integral ordinario(problemal7). L. integrala lo largo de una superficie cerradaS, se representa p* #.. o Ui.n.po, / hra calcular una integral de superficie conviene expresarla como integral doble extendidaa la prode S sobre uno de los planoscoordenados. Ello es posiblesi toda perpendicularal planocoofde clegido corta a la superñcie en un solo punto. Si no fuera asi, tampoco representa ría demasiado ya que sepodrá,enlo general,subdividirS en supcrñcies quecumplan la condiciónanterio¡. NTEGRAL DE VOLUMEN. Consideremosurra superficie cerrada queencierreun volumenZ d el

Las integrales III^,,, [[r,, vv de integrales de volumen. El cálcllo de estas inlegrales lo ve¡enos en los P¡oblemas r esueltos.

INTEGRACTON VECTORIAL Problemas resueltos f *,T -3l , hallarlal Rr'utdu y R(¿)d¿' t. SiendoR(¿) = 1¿-u2¡i + zusi I etl¿u =f tr-*,,.,, '"J ,,f ^,,0, fr = rfo-,\au* tJz;a" +taJ-sdu = r<$-$ * ",1¡, tet * c2) + k(-3u +ca) =tf-frr*i ft -,"* + c1 I + c2J + car 23I * = t!-frt * iJ'"rt -t,u " en donde c es el vector const¿nte * * "r1 ".x. (á)De(¿),Ir'*r,rou= <{-{l it -3¿k + "1, .3 o4 -a2,314 = -,3t(t-?)t+tt -3(2)k+ cl t(;--3(l)L it)l +tJ =-|r*fr-3k Otro método. = ' fi a-,'tr"* 1!'2,"a" , " !'-rru li*r,0" = rrfrl] + h(-r¿)l; -rr, ,(+-*)l', = -*t * ft -

f = 0 vienedada por ?. I-a aceleraciónde una pa lcula o función del tieEpo : : 12cos2r i -8 s n 2ri +t6'k # " hallar Y y r en función d l sabiendoque la volocidad f y el dssplazamiento r con nulos en f :0, (l,ey dc velocidadcsY do spacios., lntesrando, i 8y'jÍ2tdt+k Il&dt v: +i !ncoszrdt I_ : 6sen2ri 14sqs2fi + 8t'k + c, 0 i + 4j + 0 k + cr, de donde c' : --4 i' Haciendov : 0 para I : 0, se obtiene 0 : + 8t¿k Porlo tanto, r 6scn2ti +(4cos2/-4)j conloque fi ). : Ot"n 2t i r-(4cosZt-4)¡ -r 8r'k' ' = 'r osen ' uú v i l@cos2t-4)dt r}-lS:l dr Integrando,¡ rJ -J r : -3cos2ri +(2sen2'-4r)¡ + + |r"l "' + 0k + c,, dsdonde c':3i' Haciendor:0para r:0, 0 : -3i +O¡

; 3 (l)¡ INTEGRACION VECTORIAL trnto, I = (3-3cos2r)t + (2s n2r-4¿)' + $r"r. f ,2| ¡rd.4¿r. J d¿ qA dA dA 1.n" ', = Ax"7F+ = 4, dt. i' ¿, ^r# = 1 O, loterpretar, g ométricamente,el resultado de (a). Relacionar los resultados obtenidos con el movimiento de los planetasen nuesro s lst ma solar. Multiplicandofos dos d. dft : flr)r, por r x, setiene ^ d'r =,r(r)r x ¡r : o x dl

^ ya que r y 11 son colinealesy por l9 tanto, r x rt : 0. Por consigui nte, ,,ffi:o,*F"#l:, .dt fntcgrando, I x Tr : c, siendo c un vector constante. (Comparar con el probloma 3). ¿+ Si/(¡) < 0, la aceleración]| es de s ntido contrario a r,; la fuerza está dírigida hacia O y la partfcula está, siqr\pre qtruídq haaia O. Si /(r) > 0, la fuerza está dirigida desde O a la partfcula y ésta se ncuentra someti da a una fuerza de repulsión. Una fuerza que pasa siempre po¡ un punto ñjo O y cuyo módulo de¡rende únicamente de la dis t¿ncia r al punto O se llama luerza cenlral. En el tiempo elemental /, la partfcula se desplaza de M a N, como se ve en Ia figura adjunta. El área barrida por el vector de posición en ese tiempo e3, aproximadamento, la mitad del área del paralelograÍno de lados r y /r, o sea, I r x /r, Por consiguiente, el área queba¡re el radio vector en la unidad Ar de t¡empo cs ¡ r x con lo 9ue la vclocidad ins 7i, tantán a de barrido es lim jrxf, = = *rx-¿¡xv Al -.tt At-o' siendoy la velocidad instantánea de la pártfcula.La

8ó INTEGRACION VECTORIAL magnitudH : t, #: ¿r x v se llamvyelocídadarcolar.De (a), se deduce que " Velocidadareolar = n = lr'{: consBnte zdt Como I' H : O,el movimiento es plano; en el caso de la ñgura el plano en cuestión s e l plano xy, (1) Un planeta (por ejemplo la Tierra) es atraido hacia el Sol de acue¡do con la l ey de la gravitación de Newton qu estableceque dos cuerpos de masas m y M sg atraen entre si con una f uerza de GMn F: , siendo¡ la distancia entre dichoscuerposy G la constant ión. "

universal de l¿ gravitac

m y M las masas del planeta y del Sol, resp {tivamente, y tomemos un sistema de ej es coordenados origen sea el Sol, La ecuación del movimiento del planetaes, en estas condicioner, / d2¡ CUn ,. d2t CM at' d¿' despreciando la influencia de los otros planetas. De acuerdo con el apartado (c), un planetase mueve alrededor del Sol de forma qu e su posición barre áreas igualesen ti mpos iguales. Esta propiedad y la que se considera e n el son dos de las trgs famosas leyes de Kepler deducidas empi¡icament a partir de las por el astrónomo Tycho Brahe. Estas leyes fueron la basgen la quo se apoyó Newton pa ra ley de la gravitaciónuniversal. La te¡cera ley de Kepler la ve¡emosa propósito del probl ema36. 5. Demost¡arqug la trayectoria de un planetaalrededor del Sol es una elipse, uno d e cuyos focos es dicho De los problemas4(c'ly 4(d), dr CM (1) = ----rl dtr-' -

(2t txv = 2H h como ¡ =,q. =,-oi' con¡ocual. ) ir, (3) h -rxv = t\x (rd:t,frr"l = ,2\*4!L oe Ol, f xh = -4r".¡ = -GM4x qrr'ff1 df¡ = -6,Ml1rr. r, -(h.r1)+l = cM+ dt dl = ".# aplicando la ecuación (J) y teniendoen cuenta que o (problema9, Cap. 3). Como h es un vector constante * = 4rv'nr v ^ ¡ tll dl ltv'hl = 6ll:+ Integrando, vth = CM\+ pt de donde r.(vxh) = GMt.11 + ¡'P = GMr + rr1.p = CMr + rpcosA siendop un vector constantearbitmrio de módulo p, y á el ángulo formado por p y r,. lr lr Como r.¡vxh) = (¡xv).h = h.h = 12, se obtiene ñ2 = GMt + rp cos á,dedonde ,2 h2/cM _ " CM+p cosA 1 + (p/CM) cos e "l !+-, _J.t-i.¡u

INTEGRACION VECTORIAL 87 lrometria analítica puedeverseque la e¡uación de una sección cónica con un foco en el orieen qcentricidad. esr : 0, siendoc una T¡fcos ComDarando esta ecuación con la obtenida se deduce que la órbita es una sección de exc ntricidad ( : plGM. La órbita descrita planetaes una elipse, parábolao hipérbola según . seamenor,igual o mayor, respectivamente, que Como las órbitas de los Dlanetas son cerraforzosam ntesetrata de eliDses. CURVILINEAS do A:(3¡¿ *6y)i-l4yzi + 2bxzsk,trattarf A.ar desde(0,0,0)a (1,l, l) a lo largo de la s intes trayectoriasC: J¿ ,:l,y:I¿,2:t!, L¿s rectas que unen el punto (0,'0, 0) con (t, O; O), y el (1,'1;O),con el (1, í, l) . , \ ,¡ \ I¿ recta queune los puntos (0,0,0) y (1, I, l). t+( !,\+tl,l \ 2/ I r n'0, = [rr""*rr,-rqzr+2o,z2tf f f .@rr+e! + dzk) Yt 4 = Wn*rr¡,, -r4r¿í! + 20,22 + ,, dz f si¡:r,-/:r!,2:r!,losfruntos(q0,0)y(r,l,r)correspondenar:0y/:r,¡espectivamente.Eotonc s fr'

Jn *ar = llrr+ar¡dt -l{(¿?)(¿3)t(¡2)+ 20(r)(rs)2d(¡s) ) ¡:^ = gf . ,,\ | ú 2gto¿t + 6oced, , { ij)r,la) ú=0 fr1 = | 1s/ -z1t6*6ote¡dt = 3¿3-4¿"+6¿D| = s y. * dx-l^ Jo '\= o 1,4. " '4', c ,1" c b¡go de C, A = gt2I -14t6! + 2Ot7t y .=rl+fl+z,.=tl+.2t +¡sI,dedonde¿.-(l+Zt!+g.21)¿r. o df ut', Ií- \ .1 \ ,o ul ,Xl 4 F: d, dy : o,dz: o!"" o""o'"t. * 11"]lp:-d."_fly!1 lle,ln: (0:g,o) con (r,o,o) es[O 1' { "]nn scgun esta parte de trayébtona es -regral l^ f1 (s"*e

| l-*, r.l xJ--o/rtJ=oo A lo largo de la recta queune(1,0,0) con (1,l, 0) s ¡ : l, z : O,dx :0, dz==ocyvaríad e 0 ¿ l. La integral según esta partede trayectoria . "t f7 | {r
INTECRACIONVECTORIAL A lo largode la ¡ cta que une(1,1,0) con (1,l, l) es x: I, y: I, dx:O, dy:O y de 0 a l. t¿ integral s gúnestapa¡te de trayectoria cs ^rr | f1 (3(rf16(1))0 -l4(1)z(o) zo(r)z' dz = | zor' d" =U!1'=zo JJ 3'o3 z=o z=o Sumando, (c) La re.cta que une los puntos(0,0,0) y (l,l,t) vienedada en forma pa¡amétrica por x : ,, ./ : ?-¡ eorlo tanto'f-n.ar --l-,tr"*u,rr, -t4(r)(¿)dt + 291¡¡1¿¡2¿, ¿(1 J = or"*er-rtt2+20t3¡dt = [ot
J'\ t=, = Jr' = or* + lota+ r2ts+3o¿2)d, 303 8. Siendor : 3xr i -r" i, t utlar jrt'dr a lo largo de la curvac del plano¡y de ec uación r: el punto (0,0) hasta el punto(1,2). Como la int gración es en el plano xy (z : O\, hemos de considerar r : ¡ i + ), i. En estas l r.o, -| ,u,, - ,' ,r.,n,,ro,,', J¿ Jc = I*tdx-y2dy Primer m¿todo. Haciendo ¡ : t e¡ ! : 2¡', las ecuaciones paramétricasde C son ¡ : I, y : 2l' . tos (0,0) y (1, 2) corr sponden a / : 0 y, : l, resp ctivamente; por ló t¡nto, frtfr ' = f ¡ = ot = o, -1zt2dqzt2 ter"-ror6) -t l-".a, f' f tlo "u\
INTEGRACION VECTORIAL r d trab¿jo realizado para dar una vuelta a una partfcula alredcdor de una circunf ercncia del plano xy, r:o v z aEtro es el origcn, sabiendo quo el campo de fucrzas corrcspondient

os

20 F = (2.r-y + z)i + (t +y-"2)i + (3r-2y +42)k 3 z=0, F = (b.-y)l+(x.+r)t+(3'.-zyr}' y ¿r--dxl+d!!,con lo cual el trabajo reali ('+7), + (3r-?t)k] [¿"t + ¿rJ] [r.'* = f, t,u-r','* . = = .tCf ,*-rrn"* (t +t) ¿f C-onsiderando como ccuaciones paramétric$ de la circunferoncia I cos t, y : 3 sen t en las que t varía dc 0 a zfl, como se v en la fic integrando, [2(3cosr) -3sen r] [-¡sen¡]¿¿ + [3cos¿+3s nr] [3co6r]dr bcrzas dado \ r :2. 2n (9 -gssri,cos¿) d, = n,-Z**,l'" = ,6n tomado como s ntido de r corrido de la partfcula a lo largo de C al de las agujas del reloj, que es cl que cstabl ceremoscome Si C se hubiera r corrido en s ntido contrario (nogativo) el valor t=tl+!t s rla-lE ¡. =3coa¿i+38en!, fado F : V Cy d uniforme con derivadas parcialescontiDuas, d mostrar que el trabaj o ¡ealizado para Gplazar una partlcula desde un punto Pr = (xr, y,, z) del campo a otro ¿ = (r., ¡, z .) es independientcb trayectoria soguida. kip¡ocam nte, si la integral curvilínea ft f. a, independiented la trayectoria C que un e dos JC ", t¡lor cualesquiera, demostrar que xisteuna función C de forma que F : VC. rcarizado= = I::r.-I'orr.* = .ff*,.(d't+¿rt+¿zr)

t,#,r$, = ü#-'{n' *{" rP, = = = l-¿O ó(p) -óet) óFz,yz,z) -+k1,r1,21\ Por lo tanto, Ia integral dependc rlnicamonte de los puntos inicial ¡r y final Pr, y no de la trayectoria l¡ los une. Evidentemente, esto solo es ciefo si d(¡, /, z) es uniforme en todos los puntos Pr y ¿. 'J^ F.dr es independiente c que une dos F:F,itF,t+F¡k. Por nipotesis, f de ta tr¿yoctoria lrtos cual$quiera (xu yu zt) ! (x¡,l¡ z¡). Por lo tanto, (r,t,z) (t,f ,z'l f f Q@,y,"| = | F.d¡ = | Fldr+F2dy+Fsdz ¿(ztyt,zt) J(tt,yL, z1) ol puúto indepcndiente de la trayectoria que une (i,, y,, z,\ y (x, y, z). For consiguien te,

INTEGRACION VECTORIAL _ S1x+Lt, y, z) -ó@1,2) rQ+^''/'z'lF' dr _ fr',!,2)F.dr r(t\,t7,2L, r(t\ yL,zr) -F'dr F. dr Lo"'.''"' ,I!',i,:]"' = = F.dr ('+ ^x, Fldz+F"dy+Fsdz f r(x,y,z\ l,l,'),'''"' !,2\ Como fa {¡ftima integral debe ser indep ndiente del camino seguido para ír de (x, y, z ) a, (x } podemos lagir como trayectoria la re{ta que une dichos dos püntos,con lo que dy y dz son nulos, condiciones, ó(x+4", y, z) -óe,y,", = * f,lo.o,'''"' "" Tomandolímitescn los doscuandoA¡ o,se obriene, = Fl. -# Análogañcnle,sepuededemostrar = n, = O* # V { n. porforanto.F = Fli+ F2!+ Fst =#;-#r, = Or. #* l'2 Si n.dr es independiente de la trayectoria C que une P, los puntosP¡ y ¿ el campo Jrllama campo conservador. Si se verifica que F : V C, F es conservador, y reclpro cament . Deñostraciónvectorial. Si la integral curvilínea es independi ntede la tray ctoria, e4,y,z\= l(''t''\ ,.0, = l"','" ds n" J1x7,11,t1\ J1x1,y1, z¡ ".*

dg dó a ¿| t¡ Derivando. = o.d, , ero = v@'d::'conlocual' (v@-F)';; = 0' ds ds á Como esto s

debe ve¡iñcar con independencia del valor de resulta F : V C.

ff, ll. (a) SiendoF un carnpo conservador, demost¡arquerot F : V x F : 0 (esdecir,F es un campo(ó) Recíprocamente,si V x F:0(es decir,si Fes un campo irrotacional), demostrar que Fes (a) Si F es un campo conservador, según el problema 10, verificaque F : v{. -.r Por lo tanto, rot F '= V x VC:0 (problema27 (a), Cap.4). tJk ¿ (ó) Si Vx F = 0 , setieneque a ¿ = 0 y por lo tanto ér dy¿" F1 F2 ols 7P" D¡, ?f, ¿f' 9& ;; ' Zx-7y f T nemosque demosÍa¡ que F : V d se deduce como consecu ncia de esto. El trabajo rcalizado para mover una partícula desde(x,, ¡, zr) a (x, y, z'¡ en el camp o de

INTEGRACIoN vEcToRIAL

f J^ rí@,y,2)d' + F2@,y,2\dy + FoG,y,z\¿. 9.,"13 l:n1rra¡3. :."a (.r.,,y.r,zr) con (x, /, z): Tor.nandocomo tray ctor¡a ta qucbrada qu pasaporz), (x, y" z), (x, y, z,) y (x, y, z), y lamando d(¡, y, z) at trauijliáiir"ao'a to targo ¿e'e¡r a,.-ó( z,r,zl = aqui se d duc , * o2 = Fo(¡.v.zl a(¡ + nulos. aó of Fz",,r."i+ f", F2a,!,21)t f""r* oo,", n" olz T (x.r ,z\ d¿ F2¡z,y'z)+ F2ú.t,z')1"",= r"g,y,"t¡ + F2u,,r,.)-Fie,y,"tl = F2e,r,z) = aó F1.1'r,fú zi + F\(z,r!,zL) + Il ,&o','"u',' L,*o,,,rn" [] fi o,r'"'ro,* f"",!or,"'ta" -F(t,!,zi F¡(x,y1,z)+ \(',r,.)\f,, t rr<,na1"", Fa@,!',z') + Fr@,y,zi -F(x,yL,zL) + F1@,y,zl = F1Q,y,z) campo l,{ lo tanto, F = Frt + F2t+ Fsk = irt + ót lügo la condición necesaria y sunciente para que un campoF seaconservadoresque rot F : #,'#* =vé. v x F:0. r que F_: (2xy *.2¡) | * ¡¡ i + 3¡zr.k s. un campo de fucrzas cd¡scrvador. (ó) Hall¿r elcsca del que deriva. (c) Hallar el trabajo realizado p"r" a"rpi.á. un cuerpo en estcci¡m po(t,-2,l) a (3,1,4). ún el problema ll, a ra condición nec .aria y suficiente para que una fuerza sea conse rvadora es queF:V xF:01 Ahorabien, Vx p = ooóa,6t ! * "t z2 3xz2 = 0. Por lo tanto, F es un campo de fuerzasconservador

r 92 INTECRACIONVECTQRIAL (ó) Delproblema o *Pt = +23¡r+ z21+ 3xz2¡.po,1o lo, F=Vd F, qyc.¡ o, o, -P*oz ),^ ),A )-A 1t 1 i:: = vy +23 (2) -,' (3i Y -3,t' o, -:r óy ó¿ lntegrando(.¿), (2) y (J) se obtienen, respectivamente, = Q + xz3 + l1y,z\ "'/ ó = ,'y + 8$,2) xzs + h(z,y\ Esto se ve¡i6ca si tomamosf(y, z) : O,g(x, z) : ¡tt, h(x,y) : ¡tr, con lo cual f : x"y t xz' una constante. Segundo método. Como F es conservador, I R,ar es independiente de la trayecto¡ia C queune(¡r, ¡,, zr)y (¡, ¿c Aplicando el método del problernaI l(ó), ft f.t fz = ae,r,z) Qxyl-z3'¡dx t ,' ay * ur" a" | l' | Jr, ut, JzI ", = qr2 yr+ ,""r) lir, *, l!r, , """li, =

-r'ry, -tr"t, ^ r2y -r'rr + xz' -xzl '"!r ""?, = t2y + ,,t -= x2y + xz3 + constanúe "'rf, "r"l Tercermétodo. =-Vq>.d, = oO F.h = $* -{0, -ffL, Entonces, dQ = F. d¡ = (bty + z3) dx + x2 d! + 3zz2 dz Q = t"y + ¡:3 + constante. 1¡¡ Trabajorealizado= rP2 F.dl .t P -,u, t z3) etxt J dy , t,,2 ,t" l^" . fP, . . 1t\3'7'4) d(x'j" +x¿-\" = r'y-+ xz"",h = x-r + xz-L -| | ' ( 1,-2,1) lr lr Pr Otto ¡tl¿lodo, l)cl apartado(ó), QG,t,z') =,'y r r"" + constante Trabajo realizado= c(3,1,4) -= Q(r,-z,t) zoz. i

INTEGRACION VECTOR¡AL It Cuesi F. dr cs indopendicnlo d Ia trayectoria que une dospuntos cualesqu¡erap¡ y p. c n I f dada, se verifica F'd¡ = I O pars todas las curvas cerradasen dicha ¡cgión, y rccfpre¿mcntc. J b PÁP,B\ la curva cerrada que s

repres nta en la ñgura adjunta. Entonces,

F. dr I ,.*= [r.*.I \AP28P1 l1AP2 P2BP1 tf¡. tf = _ )r,ar JF.dr.=o PatP2 Pr8P2 !E la integral desdeP, a N a lo largo de la rama ,l ec igual, por G¡, que a lo largo de la rama ,8. Lcíprocamente,,i r.a, 0, entonces f [ ,.n, fr.n,-f..r.: o ="I ".*, f ".n, eriP, rrfu, :.-tírap, rrfu, p2lpa n*'r,{r,''* = r,fr,''*' hostrar que la condición necesariay suñcient

parr quc ¡idr I F¡ dy I f, y'2 sea una difc¡enci¿l

.Era s que V x F -0 siendo F:F,i +41+F,t. ho6trar que (yt z¡ cos ¡ -4x' z) dx + 2zty ff,in-i'dy + (3.v!zrs n ¡ -r.) d¿ es una difcr nc ial exactaü tma función C y hallar 6. aÓ a6 lgongamos qre Ftdx +ndy " -aó

+F.' -Ñ dx + 7v dv * -* dz; sca una diferenci¿l exacta' c@ x, vv z son variabres ,ra"J'a;:,: n:#' r,:{' r,-ff crocuarF: F,t+F,J+F,k: # : vt. LuegoVxF:VxVl:0. i + ff t + $x Reclprocahente,si V x F: O s gún el problsma 11, F: , VC conlo queF.dr:1ó.th:cll,¡¡ &cn, Fr d¡ t F¡ dy * Frdz : dC, es una difcrc¡rcial exacta. f : (y:z¡cos.¡4¡.z)| *2z.y*nx| +(3/rz.sen¡-r.)k y V x F debo s r cero, y, scgri,ncl rFrtado (4), (!,2. cosx -4x.z)dx + 2ztyen r dy + (3y,2' sr,rrx _ xrl ¿z : d6 tdi<¡odo uno delos métodosdelprobleña,12 se obticne / : .¡rrz¡sen¡ _ ¡.2 + constanie. f u campode fuerzas cons Ívadorde forma queF : c. supongamos que una partfcuradc mas a -v m se muévl. en este campo. Si I y I son dos puntos cualesqui r¿d¿l espacio, demostrar qu e ó
94 INTEGRACION VECTORIAL d2¡d ,dt, Lueeo,.i = =; f/. ^i.¡F i,G Integrando. .f,t ..0, = E*fn = i^,', -i^q siF--v@, (u ..r" = -fu vo.n = -ft ¿e = ,p(A\-e@\. 'J1 J1 JA Por lo tanto, = como queriamosdemostrar. ó(A\ -ó@J ¿^ú -[^$ El valor d(.{) es lz energía potencial ei A y lmvt^ la energía cin¿f¡ca en dicho punto. EI blecequo la energíatotal en I es igual a la energía total en I (conservaciónde la ener gfa). ha puestoun signo menos en F : -V é. f!'l Siendoó : 2xyz", F .' xy i -zi + x! k y C la curva .t : t', v "-2t, z: r3,des de r -.0 a t: las integrat s curvilineas tol I e dr, (b) | f x dr. J¿ Jc '. = (a) Alofa¡gode C, Ó = Zxyz2 = 2(t2)(2t, (t3 )2 4te, r = ri+f!+zk = t2 l+2t!+tsk, y dr = (2ti + ü + 3t2k\ d¿. Po¡Io tanto' | *o' = t^ nf trtt + 2l + 3t'k)dt ¡ ./c J a f! rr 11 = i | 8rrcdr + ¡ | erear * I I r2t1'dt ffi r ii' tr Jo Ja Jo .!, (ó) A lo lárgo de C, F= zyl -z!+z2 l 2toi -r3¡ +rak. =

Luego Fx dr = (2t3i -l"¡ + loh) x (2tl + 2! + gt'kt¿t I r kl 2t3 -tt t" I a, = l<-ef -ao\i * 12ru-Gr"¡¡* (4t"* 2ro\l 2t 2 3r"l d dondc r etr" - zrota, * ¡-4t6¡dt + r, fo' $r"rzro)a, fo' r Io -fii-3,.t* INTEGRALES DE SUPERFICIE fr 17, Det'rnir | | n.n dS extendidaa una superñcieS como límite de una suma. JJ J Subdividamosel área s en M elementos de /S' corrp :1,2,3,. .., M, y tomemos cualquiera Pr, del elemento /S¡ ^rea A, y n' l Yector de coordenadas(xe, ye, z)- Sean A(xo,yr, zr) : no¡mal exterior a ¿SDcn P y formemos la suma .--. \

a INTEGRAC¡ON VECTORIAL '': i t l=t ^h.r9Ast Ar. n, la ,cothponente normal a Pc, El línite de esta suma cuando dc forma quc le m¿yor difiren ¿ cada uno dc los elcmcntos /S, a c ro, si cxiste, se llam¿ inte& superñcie dc la componentc dc A oxteodida a S y se rre [ ^."nt Bndoquc .R ca Ia proyccción de la supcrñciq S sobrc el plano xy, como so obs rva en la figura dcl pro 17'demostr¿rque f f n.rrt = f ( n.n¿-!&. JJ JJ In'kl ,t'P Sogún el problefrE17, la integralde superñcic cs el lfmito dc la suma J A^.¡^ A5^ I¡ proyecciónde y'.t, sobreel plano ry cs l(nor'Sr). k I o | ¡¡ 'k I ./S, quo es igualt Axrtyt & . Luego la suma (1)sc roduco a orc 4s;.## r^

tr i. P P1¡n'\l ;, ^,'n^P+ Scgrli cl .lcoromafundafncntal del cálculo intpgral, cl llmite dc 6ta sum¿ cuando M -+ oo de forma quc de Axo y lyo tienda a c ro es ,rayor íl *"trfi sc qucrla dcrnosÚa¡. En r alidad, /S, no

3 axactamÉrir,3 pcro so pucdodcmostr¿rqqc anbos diform

Nr

isilA " ffi, dc ordcn supcrior a ¿xD A.yr, @n lo s,rd bs Umttet &, (I\ y (A no varlan. , siendoA : lEzi -t2J+ 3y k y ,t la región
. ==n 96 INTEGRACION VECTORIAL ll *",*#' P Para obtoner n obsérveseque un vector p rpendicular a la superñcie 2x | 3y * 6z: 12 vi ene i(U + 3y t 6z) :21+ 3, + ók (problema 5 del Cap. 4). Luego un vector noÍnal en un GSura)es "=#+=fi-flr-f-r y'2'+3'+6' Porconsiguiente, (+r-fl .$u.r = n.h = f t '#r=la,ay. 362-3-6+18/ También,A.n = (18¿¡-t2J+3yk\.(+t*fiirfu teniendoen cuenta que z = !3=Z:y, de la ecuación de s. Luego o'= = f[ ^'" lí*"##,=ffrffft"" ['u-""'o' ,t RR'R Para hallar esta integral doble extendida a ¡, mantenemosñjo .x e integ[¿mos con resp ct o a 1'' _) y:0(Pen la 6gura) ay : '"7u (Q en la figura); a continuación, integramos con respe cto a x : 0 z x : 6. De esta fofma so recorr .Rpor completo. Haciendo operaciones, " = = 24 fu (Gz-2"/' $-Lr)tt.dx lo ,rr-12,.\2¡a' lo yr=o /=o -) Si hubié¡amos tomado como s ntido positivo del voctor unitario normal |l Gl opuosto al de la figura, tado obtcnido s ,rl¿. -U. aa del cilindro JJ z). Haffar ff a.n aS, siendo a = zl+zi-3y2zk y.i la superficie ¡' J ló situada en sl primer octante ontre z : Oy z :5.

Proyectemoss sobre el plano xz, y sea .R esta proyección como indica la ñ8ur¿. Obsérvese quel' casono sepuedehacer uso de la proyección d ,S sobre el plano ¡/. I'

INTEGRACION VECTORIAL 97 = f|? II ¡.n l'o.', JI^'"0' JJ ln.J I 5P ¡¡ mrrnal a ¡, a /r : 16 es V(¡' * yr) : 2¡i * el vector unitario normal a S indicado en la .-1 ri+yj = -ZJ:ZL-^ 4 / ¡u¡' t 1zy¡' ¡: -r )r'z: 16en S. xi+,tl +. = (zi +xl-}y2zlr\, (-..-+ ) = xy\ i?z+ *t = it:rt.t 4+. I't ¡lral desuperñcieef ¡l dz = =90 | G"ra\¿, dS siendo ó =1"y" y.SIa superficie del proUtcníiZO. IIr" i J ff r? hdremos, ))o.o'= JJr"frfi 3,?

ltfiiendoquen= "t!n,t ,n.t=\ como en el problema 20, estaúltima integral es 15 ?* JI1"o""'a,az -! I I 6",1*,"/ñly¡d,d" óJJ R z=O x=0 f, -1 I tQ!"t + 9!zt\dz = l00t + 100t 8 J 3 3 -', = yi +(x-2rz)i-xyk, hallar (VxF). n d,S siendoS ta superñcicde l¿ esfcra JJ f I z' : a' porcnaimadelpl*o "y. t rik 9xp = = ooo,l+yl-22k t¿a" | , -ztz -x! I¡¡ormal a x2+y2 +22 = a2 gg 9p2+y2+22¡ ='ul , z.y!*z"t I

INTEGRACION VECTORIAL El vector unita¡io n de la figura vienedado po¡ ¡ = 4jt:-Ui-1]4 -'l+tJ+zky'4r' + 4f2+4t2 ya quc .x' * y, * zz : a2. La proyección^de --, S sobreel plano xy esla región R limitada por la circunferenciax, I y" _ a", como se ve en la figura. Entonces, ff ?r JJ tV'rr.nas = JJ rv,rl." 3ld' JP fr = I yi-2zk\.('!u:4\ *-4) JJ R "t = f' f* 'o"!+4,,0. va'-x'-1' ,t-" ,=_",u,, ¿l?i::'":UTY:::"",:/:-#l;,llJi"lál?ilT""T"J,iilt:T: :1.* f" !P2! oooo. .f* v a'-9' f-f" 'f4:!)-!,opoE ¿"=o olo !=o './a2-o2 ^!o fln2 | | t-3,t, a2-p2 , -!=L=t ¿, ¿a ,J J ,/-2 ^2D= 0 p=O a2r I la'-7t"" -t l" l¿a J ".,Tp, 'p=o1-Y

a2, I to"-o3l ¿ó = n JSi F --4r¿i -y2i + yz.",, halar Il..r,lt siendo.s la superñcie delcubo limitado por x I o, r-1, y=0, y=1, z=0, z=1. CoraDEFG: n : i, ¡ : l. por lo tanto, '/ aa r."as = // I I Gzi-12 i,vzk). idydz rJ J^ J., DE FG f | /r1 = ll 42dydz = 2 Jo Jn ¡ E \¡¡\,

INTEGRACION .VECTORIAL r : -¡, ¡ 0. Por lo tanto, r-rrs = t+yzrt.(-i)rkrtz = o ["['nf L Po,to tzrto, / a'a" f-¡JS = ,*,r-¡+zl).j = !'l' I'f'-a,a" r:-i,y:0. Por lo tanto, O lrl fr .¡ds = (4tz lJ. (-t) dz dz = 0 | | vo lo r : k, z : l. Por lo tanto, . t¡--k,z:0. Por lo tanto, F.",ts Fv"ll.i-n¿"¿v = o = I'l' = = 2 + o + (-1) + o + á + o = ! 2' J ff '.''n' de integral s de superficie hcmos consid rado cl caso de superfici s de dos caras. Pon or un ejomplo r[porficie de una sola cara. una tir¿ de papcl, corno .IBCD e b frg1'J,fn,, y doblamos do forrna que los puntos ifi c¡igan sobre D y C, rsspactivamsnte,como se ve f3ura inferior, Si n

s el vector unitario noÍnal

cn un punto P d la suporficie, al desplazarse erpl¡ficie invierte su sentido original cuando llsga ro a-P. Si inúentáscmoscolor ar solamenteuna rs darlanos cuenta d que sg h¿brl¿ pintado toda Esta sup rficie, llafiwda bqnda de Moebiüs, es \Í de una superficie de una sola cara. Este tipo dc tsmbiár seconoce con el nombre de superficie , micntras quc las dc dos caras se llaman DE VOLUMEN l:15+'y,y Y larcgión dcl cspacio lfunitada por los planos4x +2y + z:8, ¡:Q, y:Q,2:Q' un**fifoor-.límito de una suma.'. (ó) Hallü la integr¿l d (a).

100 INTECRAC¡ON VECTORIAL (a) Subdividamos la región Z en M elementos de volumen cúbicos, ÁVp : A¡rlyo¿¿u "on k : 1,2, .. . , M, como se indica en la 6gura adjunta, y sea(¡¡,,/r, z¡) un punto interior a este cubo. Defrnamos ó(xk,yt¡,zk) {t y consideremosla suma S^¡¡ r¿) extendidaa todos los cubos posiblesde la región. El limite de esta suma cuandoñ1 óode forma que la mayor de las dime¡siones ,l r/¡ rrf tienda a cero, si existe,es | | | o,ll. s" .]JJ 7, puede demostrar que este limite es independient d l método de subdivisión siempre que sea continua en ¡/. Convieneprocedercon orden al extende¡ la suma (,/) a todos loscubosde la región. Una es su¡n¿r, en primer lugar, todos los términos de (1) correspondientesa elementos de v olumen en una cofunua, como la representada PQ en la frgura. Ello equivale a mantener f ijos rr. e /| y A continuación, sepuedemanlener 6jo xk y variat yk. Ello equivale a suma¡ todas las columnas PQ tgnidas on la rebanada R.5 y, por ¡o tanto, a suma¡ todos los cubos contenidos en la misma. se varía ¡¡ y se habrá extendido la suma a todas las rebanadas posiblesRS. En el procesoanterio¡, se ha efectuado la sutna variandoprimero z¡(, después /* y, po¡ Sin embargo, esta suma se puedeefgctuaren un ordeq cualquisra. (á) Todo lo dicho en (d) se aplica en l cálcu¡o del valor de Ia integral, Ma¡tcliendo ¡ e ) , integradesde z : 0 (basede la columna PO) h¿sta z :8 -4x *2y (altura de la columna PO). A tinuación,se mantiene constante ¡ y se integ¡a respecto de /, con lo cual, ie habrán sum ado las

cuy¿ bas está en el plano xy(z : O) desd rR (en dondey : ¡¡ hasta S (en donde 4¡ + 2y :8, o y :4-2x); l¿ integración, pues,se hace desdey : 0 hasta .¡r-4 -2¡. Finalmente, se suman las rebanadasparalelasal plano /.z, ofectuandola integ¡ación entre x 0 y x .= 2. Por Io tanto, == rnos escribir ¡2 /.q-2r J J ^2 ^Íl 45,2y dzdydx . 45 | | ,2y6-at-2y\d1d.x x=0 y=o = -45 lóI }*'G-ut'd.r r2B Nota: El r sultados puedeinterpretarfisicamente considerándolo como la masade la en la cual la donsidad d va¡íacon a¡reglo a la ley E :45rzr. 2ó. Sea F:Uzi-xi+ y'k. u^n", rdl en donde I/ es la región limitada por las !!! v x : o, y : o, y : 6,, : x2,z : 4. l,a región ,/ se recorre (a) manteniendo ¡ e y fijos e integ¡ando dssd z: x'hasta z :4( base y ¿ respcctivamente,de la columna PO), (á) manteniendo fijo ¡ e integrando desdey:0 hast a),:6(deenlafranja)y,fi¡almente,(c)integrandodesde¡:0hastax:2(endondez:rrco¡ta¿z:4).Así la integral es rel="nofollow">-=

Ar INTECRACION VECTORIAL :'l: r_ 1:: 1,: I ,u" , -+y2k)dzdydx I f' ", dzdldx 'f l,:Í,', 2'';2 'Í,'1,'l: 128i -24j + 384k l0l t I l t+ I t t a t : y2 dzdy d, ,rf" l'r: ¡ * I I volumende la región limitadapor la intersecciónde los cilindros x' + y' :41 y x2 + z 2: a'. I Volumei pedido nliiz nTo2-,2 B I | | a,ava,' ttt ,=0 y.0 z=o n/o2-t2ll'-o, = 8 | ¿ r o2-x'dydx r=a t=o 8 vecesel volumen indicado en la figura. =81 7 7, 1o"-rt¡ at = $ :,i-_l

INTEGRACION VECTORIAL Problemas propuestos 28.siendoR(r): (3r!-,)i +(2_ 6t)i_'4tk,haltar(a¡ l'R(r)dry (ó) fn*() rr. . J J2 Sol. (otQ'-t"l2)i + (2t-3t.\ l-2r'k + c (ó) 50i-32i-24k m. Y^tt^, tl u i + 2 cos ui\ du So/. 3i + 2J fo"/2 "en f2 f0. DadosA(f): f i-r'j + 0-l)k y Blt\:2,,i* 6rk, hallar(a) l-@)Ío A X B d'. JO ^.Rdt, sot.(att2 (á)-24r-Tt + Tk 2a 2 t¡1 o*osA : ri -3i+2rk, B : i -2t+2k,c : ::+4 -k, tratta.{o{ .l xC ttt, 6¡f ¡ xlsv t7 á.¿ r{ sot.(o)0 (ó)-ti-;i+;k La ace¡ ración deunapartlculaen función deltiempo, = 0vienedadapors :e-ti*6{t + l)l + 3 Sabiendoquelavelocidadyyeldesplazamientorsonnulosenelinstanteinicialt:O,hallarvy rsn del tiempo (lcy de velocidades y de espacios o ley del movimiento). ,9o/.v: (l -e-t)t-(3t'+6t) i + (3-3 cos ¡) k,,r : (f-¡1s-,¡ i-(r¡*3rt) j + (3r-3 s n r) k 33. La aceleración a de un objeto en función del tiempo ¡ viene dada por ¡ : -j'j, sicnd og una Sabiendoqueen el instante inicial ,:0, la velocidad es v : ro cos0o i + yosendoj y que el des! esr:0, hallarvy¡en función del tiempo, > 0, Estc caso corresponde almovimi nto deun proy ctil por una piezade artillería con uD ángulo deelevación 0o y una velocidad inicial de módul o vo. ,So/. v: rrecos0qi+ (vosen0o-at)i, r:(rocos0o)ri + [(ros n8o)t-]gt'], /4. si A(2):2i-j +2k y A(3):4i-2¡ + 3k. So¡. lo ,JtalHattar l'n.!a,

35. Hallar la velocidad ar olar de una partlcula que s mueve a lo largo de la traye ctoria r : acos úrti + ó s tr siendoa, ó, ú.¡constant sy t el tiempo. Sol. labot k 36. Dcmost¡arque los cuad¡ados de los periodosde los plan tase¡ sumovimiento alrededor d et Sol son cionales a los cubos de los semiejesmayo¡es d sus Íaye¡torias eliptic¿s (terc r¿ ley de Kepl r). 37. sie¡do A : (2y 'f 3) | * xz ! -l (yz -x)k, halh A . dr a lo largo dc las sigui entos t¡ayoctorias I t'

(a) x:2t',y:t,z:tt desde,:O n r:t, (ó) La quebradaque une los puntos (0,0,0), (0,0, l), (0, l, l) y (2, I, l), r ', (c) La rccta que une los püntos(0,0,0) y (2, l, l). 1.. .so/. (a) 288/35 (ó) l0 (c) 8 /t 3,6.SiendoF:(5¡l-6x,)l|(2y-4x)!, taftar I F,d¡ a lo largo de la curva C del glao xy, y l. ---¿ desde l pu¡to (1,l) al (2,S). Sol. 35 rC = .39rSiendo F (2¡ + f) i * (3y-¡) J, hallar I f . dr a Io largo de la quebradaC del p lano ¡/ qr¡c Jf lospuntos(0,0),(2,0) y (3,2). So/. 1l ¿fO,Haflar el trabajo roalizadoal desplazar una particula en el campo de fuerz¿s F : 3x'i + (2xz-y)t ' a lo largo de, (é la rocta queune los puntos (0,0,0) y (2, l, 3). (ó) la curva x : 2t2,y : t, z : 4t, -t desde r : 0 hasta ¡ : l. (c) la curva definida por x, :4y, 3x.: 8z dosde x :0 a x =,2. ,!oL (a) 16 (b) 14,2 (c) 16

INTEGRACION VPCTONTET ¡.n¡r I .t F.dr sicndo E:e-3/)¡ +('-2¡)l y C la curva cc¡rada del plano ¡/,¡:2cosf, JA ¡:3se¡i¡ dcsdc ,: O hasta ,:2r. Sot. 6n, si C se recor¡e cn el sentidopositivo (contrari o al d b egujas del reloj). lhodo T un v ctor tangcot unitado a la curva C de ecuación r : r(¿), demostrar que cl t rabajo rcalizado t¡ J Gplazar una partfculacn un catnpo de fuorzas F a lo largo de C viene dadopor I F.Tds siendos ' Jc b longitud de arco. bdo F:(2¡ +/')l +(3/-4x)J, halhr f^ F'dr a lo largo dcl triánguloCde Ia Fig. l, (a) en cl -. JC i¡dicado, (ó) cn scntido contrario al anterior. Sol. (aJ -laf (b) l4!3 -o l¿ -ro -ll-,,'. quetr:(¡-¡)l A . dr a lo largo de la curva cerr¿da C det la FiE. 2, sabiondo +(¡ +.r)t. lt" , 9t. 213 fudo A:(y-2x)t + (3.r + 2/) j, hallar ta circulación deA al¡ededor de la circunfercn cia Cdel plano.ry o oentro en el origsn y radio 2, sahiendo quc C s recorre en s ntido positivo. So/. E¡ f {d Si A:(4¡r-3x'z')i+2x't-zxtzk, denostrarque I A.'ar |nd"p"nOienteac Ia trayector ia C JC ", pasa por dos puntos rtados. (ó) DcmosÍar que existe una función derivable Cde forn,r q ue A : V{

lE i t¿itar sú expresión. sol. (b) ó ¿ 2"zy -xt z2+ constante f.) DemostrarqueF:(/tcost*zr)lt(2lsen¡-4)t+(3x2r *2)kes un campo 'l . fuer¿ascon serva¡rvo. e) Hallar cl poencial esc¿lar dc F. lc) Hallar l.lrabajo r alizado at desplaza¡ un cuerpoen z/2, -1,2).

stecempo desdc (0, l, -l) hast¿(

f,,l-(b) ó:r,¡s n¡ +xzt-4y + 2? + constant (c) 15+4fl ./ DlDostrar qu

F : /tr es conservativo y hallar l potencialescalar. sot.4: +

f, "onu*ru I)cdcrminarsi el campo de fuerzas F:2xzl *(x'-ñ I +(22-x¡)k es conseryativ(. So/. No Ittmostrar qucel trab4jo realizado sobreunaparticulaparadesplazarladesde ,,{ has ta -Bes igual a la variaciólt la enerbfa cinética n dichos puntos,lanto si el campo de fuerzas es conservativo cor ,o s, no lo es. E¡Ur I ,l .d¡ alolargode la curva x'* y':1, z: I,en el sentido positivo,d sde(C,l' l) a (1,0,1) i¡do A:(./z *2x)l * xzi *Qy !22)k, So/. I una funciónd deformaqueE: En caso afirmativo hallar dicha función ) Dado E:rr, ¿existo -VC? f O) Cslcular Q E'dr siendo C una curva simple cerrada cualquiera. "C a U. (q) ó : -¡-+ constante (ó) 0 -

104 TNTEGRACIONVECTORIAT I 53, Demostrarque (2xcos/ l zseny\dx +(xzcosr-x'sen yldy + x*nydz es una diferenc ial exac ' Comoconsccuencia, la ecuación (2¡cos/ + z*I.y)dx !\ dy I x*¡y,'t : resolver +(xzcos/-¡ts tr ,to/. ¡' cos/ + ¡z sen / : constante /? l. Resolver(a') (e-v -l 3x'y') dx + (zt'y -xe-t) dy : O, / (b\ (z-e-'*ny)dx +(l +¿-'cos/)d/ I(x-Bz)dz:0Sol. (a) xe-v ! xry': constante(b) xz + e-'str,ny+ y-42': sonstante .? SJ. si O: 2.ty'z + x'y, halhr d

(ó) A :(¡ + y")l-2rcj +2yzk y S la sup rficic delplano2x * y + 2r:6 situada cn el prim e¡ .to¡. (¿) 108 (ó) 8l 59, Siendo F :2y i-zi + ¡tk y Sla superñci /':8¡ situadaen el primeroct¿ntey limiiadapor los ff y : 4 y z --6, hallar f l F'tr ds. sol. 132 JJ ?¡ II I z":9, x 6(). Hallar JJ A'ndS extendida a la superfrcie S del volumen limitadoporel cilin dro x' ,f :0, z:0 e y: g, siendo A: 6zit(2x +.y) j-¡k. ,5o/. l8z rr 61. Hallar JJ t'¡dS exiendídaa: (a) la superficie S del cubo unidad limitado por los planos( J ylosplanosx: t, y: l, z:1; (ó)la superñcic de una esferade radio 4 con c ntro en(0,0,0 )' sot. (o)3 (D 4't' ff tl 62. Hallar lt' n aS oxtendida a la superñcie del voluñeo situado por encinra del pla no .ry y J J s por l cono z':x2 Iy' y el pla¡o z :4, siendo A:4xzi*xyzri*32k. Sol. 32Oa 63. (a) Sean la proyección de una supcrñcie S sob¡e el plano ¡/. Demostrar que cl área de la supcrficie S

'! INTECRACIONVECTORI,-¡105 Á__ -<-_-/ óF .2 .óF.2 .dF.2 fr voxóyóz :-.L es el área de la sup rficic S dgecuación F(x,/, z): 0? t, drdy JJ laFl R . areadclplano¡ + 2y +22: 12limitadopor: (a) x :0,.y : O,r: l,.y'= l; (ó) ¡:0,r:0, ' :.' : t6. Sol.(a\ 312 (b) 6n : á¡ea de la superficie limitada por la hters cción de los cilindros x" * t' : a. y xz + 2 2: a2. y(á) +'2y\i-3zi , . rv,.>.nds siendo F:(¡ l,¡k, 4x ]-31,-22, ff Ií, "* d .tJ I de 2¡ + y + 22 :6limjtada Por ¡:0, x:1,Y:0o y:2. -i ':;perficie : i (b) 2i *i *2k : :: el problemaanterior,siendoS la superñcie 2x +y + 2z:6limitada por ¡:0, )':o, y z: 0. : 92 (b)'12i136i+72k ,',2+tz d.xdy extondída delplanoxy limitada ll ala región.R po¡¡' * y' : 36. Sol.l44n

,urrror, siendoI/el volumen limitadoporel cilindro z:4-x' y losplanos.r:0, -lJJ :2yz:0. So/. 30/3 fi : !x:-32)i-2xyi-4xk,nuttar
1.Ca ítulo Operociones¡ntegroles Teoremode lq divergenciq,leoremodel rolqcionol y olrosleoremosinlegroles TEOREMA DE LA DMRGENCIA por una cerrada3 y A una función vectorial vectorialvectorialde dede posición posiciónposicióncon concon derivadas derivadasderivadascontinuas;entonces wERGENCIA DE DEDE GAUSS. GAUSS.GAUSS. Sean, Sean,Sean,Z el volumenlirnitado t t t t t f f = = JJJv.^dv JJ^.r,ds $)e.as r,sJ siendon la normal exteriora S (positiva). TEOREMA DEL ROTACIONAL DE STOKES. SeanS una superficieabiertade doscaras curvacerradasi:nplesituadasobrela superficieanteriory A unafunciónvectorialconderi vadas f o'o' -c ffo,n,.,rs-ffrv"n,.a" en dondeC serecorreen el sentidoDositivo.El sentidode circulaciónde C es¿osirivocuan do vador querecorrala periferiadeS en dicho sentidoy con sucabezaapuntandohaciala n ormal a S, dejala superficieencuestióna suizquierda. TEOREMA DE GREENEN EL PLANO. Sea.Runa regióncerradadel planox), limitada cuwa simpley cerradaC,y M y N dosfuncionescontinuasdex ey conderivadascontinuase n-R; f ro, trn, fl,*-*,*, 'c

cuandoC serecorreen el sentidopositivo(contrarioal de las agujasdel reloj). Mi ntr asno se lo contrario,supondremosque yl' significaque la integralseefectúaen una trayectori a recorreen sentidooositivo. El teo¡emade Greenen el olano es un casoDarticulardel teoremadel rotacionalde blerna4).Tambiénesinteresanteobservarqueel teoremadela divergenciadeGaussesuna del teoremade Greenen el plano,sustituyendola regiónpla¡a R y la curvacerradaC quela lir la región tzdelespacioy la superficiecerradaquela limita Sirespectivarnente.. Por estarazón,el t de la divergenciade Gaussseconocetambién con el nombre de teorema de Greenenel espacio 'f El teore¡nadeGreenenel planosewiifica asimismo,enel casoderegioneslirnitadaspor ñnito decurvassimplescerradasqueno secortan(problemasl0 y I l). 106

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL INTEGRALES. = té.f, * (vó\.Nq,\)dv ,rrrr.o" ff J Ert es ef tcorcma o pr¡mer.i ident¡lfqd de Greer. at = @V',!-,t,V'6dI' I lttVp -ú,Vo).ds 5 cs cl teolcnu s¡núlrico o saguulu idutt idul lc, Grt'rn (probleura 2l ). ixrdv = = ffo*otas lfo"-o 3S Obeérveseque cl producto cscalar dcl teorc¡na de la divergencia dé Gauss se ha sustitu ido r| productovectolial(problcnra23). rLI rf rf = = | llnxYE¡dS lldsxYa JJ JJ g una función vectorial o escalar y representandopor el símbolo o un productoescalar ,un vectorial o un oroducto ordinario. severifica: III,"r,,=il""r" =ll,"",t v {*.* = ff ,,,v, = ff ,0",r', "+os "q "c ma de la divergenéia de Gauss, el teoremadel rotacional de Stokes y los números 3 y

4 an sonc¿sosparticularesde este último (problemas22,23 y 34). tlA INTEGRAL DEL OPERADOR'V, De acuerdo con la terrninologla empleadaen el Procs interesante representar al operador V en la forma vo t\,h #n' AJ ribolo o rep¡esenta un producto escalar, un producto vectoríal o un producto ordinar io I-a utilidad de esta forma de procederla vcremosmuy claramente al generalizarlos conrats, divergencia y rotacionala otros sistemas de coordenadas(problemas19,24 y Ca.

TEOREMA DE LA DTVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL Problemae reeueltoe TEONEMA DE GNEEN EN EL PI./WO l. Itcnogtr¡r cl tcor Nns dc G¡con n ol plano,¡icodo C um cr¡rva cc¡rad¡ quo tieno la propicdeddc que toda r ct¡ p ¡¡bla a uno dc loc eis coordaoados la corta a lo ¡u¡¡o m doEptmtor, y'1¡¡ 3 : Scan,y rl¡) l¡s cr¡acioncs do las cr¡r " quoapa¡cconen la figura vasAEBy AFB,rcrfr¡c'üva,mento, adjunt¡. Si ¡ c. l¡ t!8ión limitada por C, = = * ffav . . l"'roat;wl,',= JJ t"',"v *"],' ['"'o"' .[.'1,={^:' = -l'ro.ru* - foro,r,rr' -frr* For lo taúto, (r)frrr". -$Vr,r, Análogat .nto, tú x : X{ll y x : X.(1t) son las cq¡acionc¡ do l¡s c1¡rvas E¿F y EAF, I!*,.,,= *'1"' n*,,,] J:1,"{: -['P,,'',= !r"n<*''rto,fl nu.,na,= , frnr, Porrot¡nto, (2, r*"if!*r';,

/.\ I sr¡n¡¡do(¡)y(2), . {ro,no, $:* {ta'+. C@probas cl borm! dr Grür cn cl pl¡no f. een ta intant l{ry +y2l !* + 12 dy úñ f \_. ? C la curva ccrradaquo¡iüit¡ l¡ rtgióü dcGnld¡ POrt:¡et:t'. o"""?,tilTü;ri ií ñ ilf*Iffi"'T sonridopoeitivo cn qr¡c ao ¡scon¡ l¡ úca C.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL * n'¡g?: a lo largo-de y: ¡, es ,tr¡,.fr {C,r i.. {r.r-l at.?l .l Gla\ + za) dx + (x2\(2') d, = o'" * ó a" .= ¿o J-¿o f; * c:cr--al a lo largo de .r : x desde(1, l) a (0,0) os lo fo | (f"lr'l I P) dx + 12 dx = | 3x2¿1. = -1 Jl .tl i,/ .,JrrE¿ integral curvilinaap didavale= = -* ' -'{+ i3-t f f .¿¡t ¿M.. ^ JJ rf;e't-fit,v'v'¡)a,av JJ,;;: -fitaxar = rr RR ft f' ?' = | I o-ztt¿,¿, | | e-zttdvdz = JJ J J P t= O f=t2 = = ['tf'(,-2vrdr)d, ['pv-vo¡l'^* uO Jr2 uo t' = @4-x3\¿x -ñ ¿ tJÉ cl tcorema s cumDle. : la demostración del t or ma de Green en el ¿:¿ en el probleria l, a las curvas C quc seancorlc aás de dos puntos por re,ctasparalelas ¿ los ejes una curva cerrada C como la inücada

-"n.de¡emos T::-a y que puede ser cortada n más de dos puntos ras paralelas a los ejes. T¡azando la recta 57, la leda dividida en dos, Rr y ¡Rr, que son del tipo en el problema I y a las cuales se puedeaplicar de Green, es decir, t¡ t¡ t¡ ^ I trat+ Nay= ,r(+-!)¿'¿y J JJ'¿x ¿" sfu P1 f ,,,*r, = II ,* -{ta,ar Jrft R2 SEando los primeros de (J) y (2), sin escribir el it¡t grando M dx ! N dy, se obtione, T-T =T-T-T,T=T-f = T ff¿J JM,' ,'? TIJS SVT fJ TIIS SVT TOSVT encuentaquc I. f ,tf fs iünando los segundos mi mbros de (l) y (2), omiti ndo asimismo el integrando,

ll0 TEoiEMA DE LA DIVERGENCIA. TEoREMA DEL RoTAcIoNAL il-[I II RTRZR Siendo R la ¡eunión de las regiones Xr y R¡, l' ¡. n Por lo tanto, I Mdt+N¿y = llt! ^-. -lya,ay , comosequeriademostrar. J JJ d¡ óv' IUSV! R Una región R, como la consideradaen el problema l, en la cual toda curva cerrada c ualquiera cn ella se puede reducir continuamente de dimensiones alrededor de un punto sin dejar de so llamz simplemenle corexa. Una región que no es simplemgnto conexa es múltiplement e conex¿aplicado el Teorema de Green en el plano a regiones simplemente conexas limitadas por cur vas plan problema l0 se gpneraliz¡ el teorema a regiones múltiplemente conexas. En el c¿so de regiones simplemente conexas más complicadas, puede ser nec sario tr¡r¿¿r como la Sl, paxa aplicar el teorema. 4. Expresar el teor ¡na de Gr en en fonta v ctorial. Se t¡ene, ¡t¿r+,rydt, = (Mi +Nj). (dxl + dyl\ = A.dr, siendo A= Mt+dJy r=rl+yt cual lr = dxl+dyt. También,si A = Mt +NJ resulta rjk aaa Vx A 9¡ . ,P-*,* 7z ¿y Zz Az Ot Oy MNO _1. ¿M dedonde,1V*e¡.r ; $ oy El tsorema de Gr n en el plano sepuede escribh en la forma n" e I A.dr | | 1Vxel.h a,i

= uc si¿nd6 d¡R= dz dy . La generalización do este resultado a superficics S del espacio limitadas por una curva C teorenu dcl rotqcional de Stoker que s demuestra on el problema 31. Otrc m¿todo. Comoante, Md¡+ N dy : ¡ ' ¿, : e,' fi * : l'ras .dt siendofi : T : r¡ectorutritario tangente a C (ñ8ura ad junta). Si n es el vector unitario normal exterior a C, entoncrs T:kxn,y M dx * N dy : A.T dr : A'(t x¡) dr :fAxk).n dr como A : Mt+Nl,B: Axk: (Mt+tvj)xk: Nt-Ml, AN AM resula -----: v.B. E¡ tcor"ma de Greon cn ol ox ot planosr expresa por f f f = {n.na. llV.BdR J. JJ '¿ slndo dR : dr dy. -q\

6¡r¿¡ üquien pcn Dar ú4ex4 ls DlaDt ( TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

zación de este c¿so, sustituyendo el elemento de lín a, o diferencial do Ia longitud de arco cerrada-C por la difc¡enciál de área dS de una superñcie cerrada S y la región plána R corr s -üverienc¡a pofC por el volumen Z encerrado por S conduce al teorema'dc Ia de Griin L G¡een en el esoacio. -rada [[f v",, v firi;amente el primer resultadodel pro6lema4. r campódefuerz¿sen el quose encuentra unapartfcula;entonces,f n . ar es et trabajo r eal! JN d¡splazar dicha partícula a lo largo de una trayectoria cerrada C y su valor s V x A. De aqui sc ¡¡i V x A:0, ó bien, si A: Vd, la integrala lo largo de una trayectoria cerrada es cer o..E¡to que el trabajo realizado para desplazaruna partfcula desde un punto a otro es in dcndiente de l plana que se siga para ir del uno al otro, o bien, que el campo de fuerzas es conservativo.

E demoskado ya en el caso de campos d9 fucrzas y curvas alabeadasen l espacio(Cap ltulo 5). Ernente, si la integral anterior os ind pendionte de la trayectoria qu une dos punt os de una ücü, si la int gral ¿ lo largo do una línea cer¡ada es cero, rsulta V x I : ó. En el plano. l

tF x A : 0equival"t :$, siendoe : Mi + Ni.

# i2,r) (lox' -2tyt) dx -lx'yt dy a lo largo dela curva ¡r -6xlr : 4Jli. c¡q¡lo directo de la integral es diffcil. Sin emba¡go, teniendoen cuenta que M: l0xt 2xy., ::r, : * de.duceque la int gJql es independicntede.la Lra¡4:!!gria.En , # y,ox #, podemoselegir una línea cualquiera como, por ejemplo,la quebradaque une los puntos 0) y (2, l), en este orden. b larso der sosmento (0,o)v Q,o),y : tl,":*l queune los puntos n ,t" -* il'i :"" 7 + t = 6{. t-t , o. , ('á) ; f .y'/ ./ ,J"roradr fargo del segnentoque un ale

los puntos (2, 0) y (2,1\, x :2, dx : -O y la integral v

¡ ^I-12r'¿!= -a. J pcdida:64-4 :60. y=0 AM AN : (Ox. -2xy.) dx -3x'y, dy 6 una diferencial exacta (de 2x6 -ri¡), podremos A" E, , t2. n (10la -?tcys) ¿, -3xj2 dy = ['"'"dQts -*t\ = 2tó -x2y3'(o,ol = OO "(0,0) que el área limit¿da por una cuwa simple ccrrada C viene dada por $ i| r dy -y dx . JC n

l teorema dc Green, M : -y, N : .r, s

tiene

f,xdy -ydx -a"a, = o'a, = 2Ail,$ ) z[[ fP I el área pedida. Por lo tanto. ,{e=if,ar-ra,.

rII2 TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL t. Hallar el ár a de la elips = g*

¡ : o cos 0,y : ó s n 0.

** = +$zdy -ydx ,I'" rcosa\ft'cosl)d0-O)ea*\0)de = ¿f'" ou1.o',0+ xnz\¡ a0 = t * d0 = nob f'" r 9. Hallar Q 0 -*n x) dx + cos x d/, siendo C el triánrc gulo de la ñgura: (a) Dir ctan¡ nte. (ó) Aplicando el te,orema de Green n el plano. (a) A lo largo de OA' y : O, dy : O' y la int gral val r"h rh J" I (0-s n')dr + (cos¡)(o) = J -s nrd¡ 'tt/2 = cosr lo : _l A lo largo de AB, x : * : O,y la integral vale i, ¡L (Y-t)o * odY = 6 J" A lo largo dc 8o, y :|, o, : a*,v t^integralvalc I f 'r!-*ou* ,2"o',d, = (+*.o",,?nn'¡ll* '4'rl T2 2 7r 2. La intelal a lo largo de C = -r + o + 1 T TT 4Tr

(b)M = r -*i,,,v = cos', = -r.n,, = , tO" OonO" $ # *r, = II ,* -{to"o, $ "' = [['n*"' -'\dvdr ¡ ¡/z Px/" =rulr R (-s n¡ 1) =, (-y s n r --7) lo x=o Ly= o I =.[""n+nn,-]>a" = 2,,cos¡+sen,) = -+ -ñ\-*l! quecoincidecon el rosultado de(a). Observesequeaunque exista una rgcta paralelaa un eje coordenado (el propio eje r n este corte a C en un núme¡o infinito de puntos,se siguo veri6cando el teorsma de Green en el plano.En teorena es válido aún en el caso de que C osté constituida por un número finito de,/segm entos 10, Demostra¡ quoel teorema de G¡een en el plano tambiéo se verifica en el casode una región R conexa,como la representadaen la figura. t l,a regiónsombreadaR de la figura es múltiplemente conexa) ya que no se cumpleque to da so pueds ir roduciendo hasta un punto sin dejar de

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL ¡. ¡ como se puedsobserva¡ considerando ri :...ada cualquie¡a que rodee a, DEFGD. d R, que exteriorme¡te 6 AHJKLA e DEFC, se rocorre en s ntido positivo, G :orma que un obscrvadot que se desplacc 'ñ'ips de la región en dicho sentido deja a esta ¡ = üquierda. !b lÉdrostrar el tgo¡oma, tracomos la reata AD, rr'aro. oueuna los contomosexterior e intelaain limitada por I DEFGDALKIHA es sim= cra y, en ella, sepuedeaplicarel teorgna E¡ cstas condicion s, = Md,+Ndy ,*_{,,"0, f II I ADEÍCDALIJIIA R ü = T-I DE1CD AL.IJfll !, f uo,, uay = ¡¡ ,* -!-to,o, II ^ o' '-') \i i, ; l.¡1)# ' c1 i; queel teoroma de Creen en el plano se verifica en la región,R de la ñgura, Iimitadap or lascuwas :trradas C' (ABDEFGA'),C, (HKLPH), Ca(QSTUQ) y C, (vtrXYV). l:¡.'emos las barrcras lF1, LQ y 'l:V. La región limitada por AHKLQSTVWXYVTUQLPHABDEFGA conexay en ella sepuedeaplicar el teorema de Gre.en. t¿ integral a lo largo de est e contomo es iffff

l* f*J-f 'lr I r l-,[, T- T- T JJJJJ ti nt{L LQ QSr Iy VyXyV vr r1Q A LP]I IIA ABDXNCA fas integrafes a lo largo de AH y HA, LO v QL, Ty y VT 9e anulan, resulta i, .l

I l4 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL I-T-T " T I I 11KL 83r VvXfV ÍlQ LPE ABDEFGA = . + ({,' (¡,. i) T-T ,{,) IAQ' YYXYY IBDSÍGA = I. [ + ítrLPIl 8STA8 IIIXYT ABDENGA fffff =f+l+l *l=l tl v3 v1 siendo c el llnite formado por C', c", C' y C.. Por lo tánto, t = '¡ $ ua,,nay ll,+ -!!'!t¿'¿t trt dr Ót Jc como sequeríademostta¡. r Demostrargue $ u dx + N dy :0 a Io largo de una curva cerrada C en una región simp lemente Jr .AM AN si, y solo si, en todos los puntosde la región. u, ¿x Supongamosque M y N son continuas y con derivadas parcialesasimismocontinuas en todos lc: de la región lR limitada por C, de forma que sepuedaaplicar el teorema de Green. E n estas f uo,,,o,= -{ta,a, II,* si = =* * .R,entonces ,o'*Ndy=¡.

ay f aN aM ¡ purutoda curva C. ^. Reciprocamente,supongamosque M dx -t N dy : )l--Q ^ Jc AN AM puntoP. de la continuidad de las derivadassededuce la desigualdad -> 0 en alguna aV a que rodea a P. Si f es el contomo de ..1, s9 tiene $ uo,. ,a, ff ,'.1 o Jr to" d' -!,,0,0,' quesecontradic con la hipótesis de quela integral curvilínea es cero a lo la¡gode toda curva cerrac. gamente, de < 0 se llega tambiéna una contradicción. tu"zoffen el caso -# "*# cn todos ios puntos. oM ¿V Obséne.eQuela condición eouivale a v A :0, siendo A ' Mi 'r Ni ' y ll, Cap. 5). En el probl ma 3l veremos una generalizacióna curvas en el espacio. ,"*

TEOREMA DE LA DÍVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL II' -_r : ' 'J, (a) Calcular VxF. (ó).JHallar Q r' dr a Io largode una curva cerrada :: :: aesultados. -!:-_ Jk ¿a = 0

n toda región, excluyendoel punto (0,0).

dy ?" ,71 ;¡-7 0 f -t dt + xdt f.ir = 9-. Hasamos

l cambio de va¡iabl sx: pcosÉ y: pseny',siendo

,J ,-+f' : -35coordenadaspola¡es. Entonces pser,l. dó + dpcosq, dy p cosó dÉ + dp s.rre = ::-_ ..r que :--. :ra curva cerrada ABCDA, Fig. (a), que rode al origen,ó:Oan Ay?4 -2z después de :: :.:1¡leta y llegar de nuevo a ,4. Eo este caso, la integral curvilinea valL' I O, ,,. = .ó Fts.(a) Fic.(ó) ?¿rauna curva cernda PQRSP, Fig. (ó), que no iode al origen, ó : óoen P y d : dodespuésde un a ,: --:;ompleta y volver de nuevo a P. En cstg caso, la integral curvilínea vale ¿@= o. I " ComoF: Mi+ Ni,la condición V F:$equivale ryr; y pa¡ece como si existiera una "U{: -:::dicciónen lo dicho en el problema12. Sin embargo, no

s asi pucsto que 11: Yt :

;, i¡ -{.; :rene derivadas continuasen una región que rodee al punto(0.0), queesIa hipótcsis de

l problema12. .\IA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS. Enunciar el toorema de la divergencia de C;aus!y (r) expresarlomatemátic¿tnenteen co otdenadas recüngula¡ es. La integralde superlicie de la componente norm¿l de un vecto¡ A a t¡avésde una superfici e cerrada es igual a la integral de la divergencia rle A en todo el volumen nccr¡¿do por dicha sup erficie.

IIó TEOREMADE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL ¿A" (ó)sea A = Ati+Az!+,431.LuesodivA= V.A = + + {f' o, -o1 El vccto¡ unitario normal exterior a S es n : ¿, i + ¿ri + ¡r, k. Por lo tanto, ,r : r . i : cos n : n ' ¡ : cosÉ y rrr : n ' k : cos/, siendor'¡,¡'ly T losángulosqueforma la normal n con los positivos.r,/, z, o lo qu es igual, con los vectores ¡, i, k. Las magnitudes cosa, cosf y cos? son cosenos directores de la normal n. En estascondiciones, A.n = (Al-i + A2! +.{sk).(cosfli+cosÉj+cos7k) = lr cos d + Az cos !-1+ .43cosy con lo cual, el teorema de la divergencia se pusde expresa¡ en la forma ér"oto + Azcosg+ ,{"cos7)ds JJ J 15. Demostrar, físicamente, el teorema de la divergencia de Gauss. SeaA : velocidadv en un punto cualquiera de un fluido en movimiento. De la figur a (a) se deduce: Volumende fluido quc atraviesa ¿/S en Jf segundos : volumencontenido en un cilindro de base dS y altura v/¡ :1vlrl'ndS:t'¡dS¿t Entonces, volumen de fluido por segundoque atraviesa ¿1,S --v . n dS Fis. (o) Ft3. (ó) De la Fig. (ó) se deduce: Volumen total de fluido po¡ segundoque emerge de la superñcie carrada S II "'"0' t Del problema21, Cap, 4, j . r.lV es el volumen de fluido por segundoque emergede un elemento . volumeny'/. Luego Volumentotal de fluido quecmergepor segundode todos los elomontos de volumen de S =III,",,

v Por lo tanto, Y.v dV II Sy "',0'=Iil

ti TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL 1t7 :host.ar el teo¡ema de la dive¡gencia de Gauss. { SeaS una superficie cer¡ada en la quetoda recta paralelaa los ejes coordenadosla c o¡ta a lo sumo en dos ¡,Étos. Suponiendoque las ecuaciones de las supgrficies límites inferior ü y suDerior,S" son ? : ,l(-r.y) v " :: f"(x, z), respectivamentc,y llam¿ndo n a la proy cciónde la superficiesoQri el plan o *¡, se iiené lfiY;,, =ill{o"o,o.=ill .f'""'+a,fo,a. uru oz '" v v l,=í,u,, J ff .f-rr = JJ e4,.",,t1'l_,,ara, to.o.r,,,\A"{x.r.f,\) -_ dydx JJ PP ¡ I En la cara superior Sr, dy dx : cosy, dS2: k . n¡d,Sr,ya que la normal nr a S¿ forma un ángulo agudo il -¡ con k. En la cara inferior S,, dy d.x -cosyr dS\: -k . nr /^Sr, ya que Ia normal n. a . !r forma un ángulo I ¡btuso /1 con k. 1 rf rf Porloranto. .t"t,,1,rr1 -. as" ¡ aya, e"r<.o, JJ J J

pS2 ff rr ll e"p,1,¡,¡aya, ll.{st.n1ds1 JJ JJ ' .P s. o'o' i f o"<''''t't -o"o'''¡'to'o' o"u.n"or"* ff e.x.n,as, [[ [[ R ,? ,t2 31 ff o"*.,0, ,' o.*.. o, [[ s Análogamente, proyectando S sobre los otros planoscoordenados, "t

l116 TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA, TEOREMA DEL ROTACIONAL (á)sea = Ati+Acj+.43k.LuesodivA= v.A P+-+-+. -dr¿)¿z ^ El vecto. unitario normal exte¡ior a.t es n: n,i+n"i +¡,k. Por lo tanto, ¿r::t.i: ¡¡¡-=n ' j : cos/ry /¡r: n k : cosy, siendoc, l/y), losángulosqueforma la normal nconlos positivos¡, /, z, o lo queesigual, con los vectoÍes i, j, k. Las magnitudes cosa, co si9y cos), cosenosd¡rectoresdc l¿r normal n. En estas condic¡ones, A.n = (A\i +,42! +,43k) ' (cosati + cosÉj + cos7 k) = .4rCoS'Y+ /z Cos.i | 4"COS) con lo cual, el teorema de la divergencia sepuedeexpresaren la forma ttl ¿4, dA" ¿A ttt (=-* -o: * f f r¡r"o.n, ttrcosfS-{3cos})ds o, d7 d¿ -urt "í" -b¡a.a7a, 15. Demostrar, físicamente, el teorema de Ia divergencia de Gauss. Sea A : velocidadv en un punto cualquie¡ade un ffuido en movimiento. De la figura (a) se Volumende fluido queatraviesa r/S en .11segundos : volumencontenidoen un cilindro de base dS y altu¡a v,rf : (r¿r) . .tdS : t .n dSlt v .n dS Entonc s,volumonde fluido por segundoqueatraviesa r/S : Fis.(o) Fl3. (ó) lre la Fig. (ó) se deduce: Volumentotal de fluido por segundoqueemerge de la superñcie cerrada S = II "'"0' .s Del problema21,Cap. 4, j .r.lV cs el volumen de fluido por segundoqueemergede un volumeny'/. Lueeo

Volumentotal de fluido queemergepor segundode todos los elomentos de volumen de S = III,,,, v Porlo tanto, Y.u dV TT"."O'= TTT s¡¿

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL d teorema de la divergpncia de Gauss. L,suna superñciecerradaen la que toda recta paralela a los ejes coordenados la, co rta a lo sumo gn dos E $poniendo que las ecuaciones de las superficies llmitcs inferior S. y supcrior S¡ son z : r(r, /) y z), resp ctivamente, y llamando X a la proyección de la superficie sob¡Gcl plano .xy, sc ücnc = a")a,a, III** III.4'n"n,o" ¡r'attaeoz = illul ú v L"=|,o,, J = JI n",,,,,u1!=,.+r, u"a,,,r;-dy¡', = a.e.y.rLtf P-R [! h la cara superior &, dy dx : cosy,dS,: k . q d$, ya quc la normal nt a Sr forÍra utr ángulo sgudo t. E la c¿ra inferior S,, dydx:-c$yLdg:-k.n¡d5,, ya quela normal nra,S, forma rm ángulo ror fo tanto, = f f n"r.,,or, [f fJz ^o,r.ornro, fl f/. n""'''"'0" ff n"r'"'n" xJr ff f f e"a,y,¡;aya" JJ he,t.tL\drdx= jf n"*.,,ts, 4t.o,as, JJ , ff RP = | | ¡"tr'n ¿s

3 f f f :\t f f (¡) JJJ=¿7*= tal JJt"voas rJ proyectando Análogamente, S sobre los otros planoscoord nados,

TEoREMA oE r-e ow¡RcÉNcIA, TEoREMA DEL RoTAcIoNAL e\ fff4* = ff 0.,.,0, JJJ ¿x JJ v3 f f f ¿a-f f (3) tll+2dv = .t t A,i't'ds AY YJ JJJ JJ Sumando(1), (2) y (3), = fff ,+,¿p,(¡on ff ,ou+A2i+ABk).¡ds JJJ ó, óy óz JJ rJ o bien, IIIr'^',= [[ n'"" I¡ .' El teorema se puedegeneralizara superficiesque ssan cortadas por rectasparalelas a los ejes coor nados en más de dos puntos;pa¡a9llo, se subdivide la región encerrada por S ensubregio nescuyas línrites satisiagan la condición anterio¡. El procedimientoes análogo al utilizado para el teorema de C en el plano ! rf 17.Hatla¡ | | f.naS, siendoF -4xzi-y'i +/?k y.S Ia superficie del cubo limitadopor x: O, ¡ JJ 3 y:o, y:1,2:o, z: l. Según el teorema de la divergencia, Ia integ¡al pedidavale frf_ rrrf ¿ ) ¡ I JJJv.Fdv= JJJ lüt*,' +fit-f) -&tr"tlav vv

rff lt rt fl = = JJJGz-y\dv J J J,n"-,,0,0,0, t=o z=o Y Y=o I = = = ft ft ft fl | | 222-yz ,_^d1dx | | tz-ytdy¿, * JJJJ La integral de superficie se puedehallar también di¡ectamente como en,el problema23, Capitulo i 18. Comproba¡ el teoremadela divergenciade Gauss para¡:4xi-2yzi + z'kextendidaa la r egión porx'*t':4,2:Oyz:3. f'r rrr'-; = * P,-r",, *P,"ll ¿z Inregrardevorumen = q. oz JJJo.^av JJJlf,tt,t J VV t f f f2 ftE=? fa = G-av-22\d¿dyd, JJJG-4y-22)dv J J J 't t=-z y=-,fi-P ¿=s La supe¡ficie .9 del cilindro estáformada por unas bases ^5'(z : 0) y & (z : 3), y l a porción S.(¡' t /' : 4). Por lo taoto,

TEOREMA-$E-LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACTONAL lI9 hregrardesriperñcie=II^ñt = fi^.,nr,t IIn."or,* ff nnor" -,,, =-.--t-,-ü ¿ & n -o,r:r).fiJ:,r:0, derormaquefi ^.,rr,=0. A:4xi-2y,! + 9k y A 'n lC, a" formaque ||. = t.n as" s as, = 362,p¡656¡¿r"ades": 4n JJ J J 3z sz La perpendicularxs + /¡ : 4 tienc ladir ccióny sentidodelvectorv(¡' * /? : .¡2ri + O MI dV = dr dy dz l Do la figurá se deduce,¡ :2cos 0, y:2sen0, dS.:2ñdz,cenlocual, ff f2Í ¡3. = ffn.nas" | [zqzcoe0¡"1Zsen0'¡?I 2¿t ¿6 ¡ 's"/=ó "!o e -0da = ¡ = .!"" o, 48*ff q.de = n, cos2 4Bn "o"" I'" ' e=o er=o ¡ La integral de superficie valc 0 * 362 * 48¡t: E4n,que 6s igual a la integral de v olumen, quedando ¿l teórema de la divergencia. Obsérveseque la integral de sup rficie sobre S" se podrla haber calculado proyectand

o,5" sobre.los planos xz o yz, div A es la diverg ncia d

un campo v ctorial A en un punto ¿ d mostrar qu

div A = ,r," {of^' ar-o LV donde / f s el volumeo limit¿do por la suporficie /S y el límite se obtiene cu¿ndo / t/ se reduce de dinpnhasta el ¡.

'--=;>'I2O TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL Segúnef leorema de la divergcncia, dtv A dv = n' J J J [[ ^'" AI AJ Según al teor na del valo¡ mcdio de las integrales,el primer miembroes ¿r"r lll¿r = ¿r'¡¡r' t&u siendo div A un valor compründido cotrr cl máximo y el mfnimo d tlo,

div A cn ¿f. Por lo l^r

ff | | A.n ds = r=¿ dtv A Lv Hstlando cl llñitc cuando ¿y + O da forma que P sca sicmpre interiot a /l/, A ti nd a d iv A punto .P; h¡cgo ![ ^'"rs -iv = Af-o Lv dlvA Ilm S Estc rpsultado se pucdetomar como definición de divergcncia de A y, de é1, dcducir t odas las incluso la demostración del leorcma de la divergcncia. En el Cap. 7 utilizaremos e sta deñnición para duci¡ l concepto de divergencia de un vector en otros sistcmasde coordonad¿s, Ffsicar n núc, Jl *"as Lv rEsGnta el flujo del vator A a través de Ia superfrcie /S por unidad de volumen. Si div A es positiva en proxim¡dades dc un punto P signifrca que el flujo que sale de P s positivo y dicho punto se llama Análog¿Írente, si div A es negativa en las proximidades de P, el ñujo que sale dc P cs n

egativo ( ntra y l punto * llarm sumidero, Si una región carcce de fuent sy de sumideros, div A : 0 y, en eslas cor ncs, A Gs un car¡rpo veto¡ial solenoidol, S unasup rficie m. Hallar tt, si ndo ccÍsda. ilr." t Por cl t orcm¿ d

la diYerg ncia,

= ![[ v',', [[,'"n' JT = III,&', $l '$tr,@t+tt+zrt¿v -III,*I*,*,',='[fi,,=', siendb t/ cl volumen lim¡tadopor S. 2r.Dcmostrar -,pe'ótav= tov*-,/vó).ds. lllrrnr ff r3 ScaA : óV,y' en cl teorema de la divergencia de Gauss. '\

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL tzl fff ff rt JJJv.rov*rn,= = JJ = + rVdl,tVry'l -1V@¡.1V,y'¡ @1V.Vry'¡ óf,l'+ flf fff = av JJJ v'tov*tr, JJJ tov* + 1jg¡'qee¡l (r) ![! we* + pg,¡.1it4]av ov*t.as -[! rt lo NinEra ident¡M & G¡ccn. Cztnuzttdo / por 9 cn (I), (2t [![ U'r"o + qeg¡.1ee¡]av oWor.t" -![ rs (2) dc(r), sc obticnc ov"*-9V6¡av= ,y'vó).ds (3) [![ fi,0r9 'J d tcorcms 3ímétrico o teganda idcntifud dc Grecn. F¡ la d tnGtnción lrcmos supt¡cstoouc d y v son ' ' B ccala¡ls dr posición con dcrivada¡ continu¡s hssl¡ las de scgundo o¡dcn poi lo nrcnos. III"r,, =ffo"". rt En cl tcor ma dc la divcrgencia, h¿gsmos A :C C, sÉndo C un voctor con$tanb. Entonccs fff fr JJJ v.toctdv JJ oc."ts

ft ConoV.@c¡ 1V{¡.c c.Vó y óc.n = c.(ói), ' = ." .tJJ [[[ ".va,, [!..<0,t,, f3 SacandoC fuers dc las integralcs, fff Ít c.JJJv+av= c.J)ó,as rt tcorno C es un rrcctor constsntearbitrario, ' fff ff = JJJvoav JJo"'s 7J o*fffr'"av = ff,,sas. TJ

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEORBMA DEI. I,OT.ACIONAL En

l tcoftma da la dincrgencia, hagaarosA : E x C, sicndo C un vlctor enstant!.

f ?1. lf JJ rn'o.ras J)Jv.p*oav . rt Como V.6xC¡ = C.(VXB) y (BtC).n = B'(cxn) = (Cxn).B = c.(nxB), ffr ff | | | c.tVxsl¿Y = | | c.(ixB)ds .t ., ., ., ., f SacandoC fucra dc las integmles, f? s. | | | V,a;¡, c. | | rx¡¿s .,JJ t y como C es un r¡cctor comtanlcarbitrrr¡o, JJJv]¡B¿v ll ff ¡xrds as ta. Dcmosl¡arqu

n un puntocu¿lquier¿P,

JIo"" ff",ta (c) vó = !t y (á) vxa = A-^"¡ lT, Ar ^tl,$ túm,do A y d votumcnlirnitadopor l¿ suporñcb r'S' hallandocl llmitc cusndo r' I¿ sc ttdt¡c c dc alrcdedordel puntoP. (¿)Dcrprouú'22, n,. . [[ 0,., IIIrr !! o"rt.r",*'fi[vo,tt, AT AS AT A.C

Aplicando cl mismo principioqr¡oc¡r cl probhnra 19, sc obtkirr fÍó".t¿s JJ AS VÓ.I sicndovC . I un valor co¡nprcndido enü! ol n¿xinl y cl ml¡imd do v{ , I at AY. cuandor' / * 0 dc forma qu sea sicmprc inf,riot z AY,.jl .l ticn& h¡ci¿ el v¡lor ) ..,.:,t2 f f ó¡.r ¿s JJ a t -(l) 9ó.t á lln Ah Lu Análogamentc so obüoncn, JJ o¡'tas (2) vó,t llm ' AF.o Lv | | ór'l ds 8:. (3) Vó.r . Af.o Lv. .'"tiit14¿'

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL r2t (1), (2), (3) por i, ¡, k, res¡rctivamente, sumando,y tcniendoen cuentaque, = 9ó <9ó.t¡t + (Vd.j)j + (Vó.t)¡, n: (n.i)l+(n.J)J+(n.k)k lroblema 20, Capltulo 2) se obtiene el resultadopedido. probfema B porA, V, r, 23, sustiruy ndo = [f ,,^o'. ! [ ! ^ AV AJ Como en (a), s pu dedemostrarque sustituyendo ¡ por J y k. Multiplicando por i, jil y sumando, resutta la demostrac ión p did¿. Los rcsultados ¿nteriores se pueden tomar como deñnicio¡res de gradiente y rotacional, Ilaremos usolas al introducir estos conceptos en okos sistemas de coo¡denadi. la equivalencia d l opcrador v' = it3'##'"' ¿s donde el sfmbolo o ¡res nta un producto escalar, un producto vectorial o un p¡oducto o¡dinario, Pa¡a stablecerla equivalencia, el resultado de la operación sobre un campo escalaro v ectorial d b,escristente con los resultados ya cooocidos. Si o indic¿ un producto escalar,par¿ un vector A, ff V.¡ = tim :L f f ¿s.r aH LV .t.t dfv A = fi*".^ -A,' ^lig

. f$ ¡tfi^."" A, en el probloma 19. si o indica un uoducto \rcctorial, rotA = v,<¡ = ¡u t[n"'^ ^yg A,9 . rn J ffn-r¿s avk! ^t4 6nido cn el problér¡ 24 (b). Si o indica un p¡oducto ordinario, para un cccalar /, v.é. = un +llt"o@ebicn, @ Ay-o AI/ = #5 ¡r [lr'" A, AJ &6nido cn el problcma 24(¿).

r t . ,¡. '.'-. I r 124 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL 26, Siendo S una superficie cerraday r el vsctor de posiciónde un punto cualquiera (¡, /, z) medido origen, demostra¡ que lf T:,' esiguala:(n) cero si O es exterior a S, (ó)4r si O es interior a S, Esta es ¡a expre sión matemática del de Gaxss. (a) Por el teorema de la divcrgencia il;III, +* Jv Perov'4:0 (Problema19, Capitulo 4) en todo puntointcriora Z siempre que/ + " lj = decir siempre queO sea exterio¡ aVy,por lotantoa.t. f".e" aS 9. [[ (á) Si O es interior a,S, consideremos una pequeñaesfera s alrededor de O, de rcdio a. la región limitada por S y r, según el teorema de la divergencia, se verifica ff ff ff f? = = o JJF,' JJ5'as.JJt+!as = JJv-frav S+s .t s ya que ¡ * 0 en ¡. Por lo tanto, IIr^ =-llv* Js Ahorabien,ens,,-",¡= -I de donde !* = e4-a\'' =-!;t= -5=-,t,

""0 ff ¡. ¡. ll!*¿s = -ll¡-+¿s = + llds .tJ r-JJ t il*^ ss 27. Interpretar geométricamenteel teorema de Gauss (problema 26). Sea dJ un elemento de superficie y unamos todos lospuntosdel conto¡no de ds con O con lo queresulta el cono que muestrala ñgura adjunta. Tracemos una esfera de radio ¡ con centro en O y sea dS el área de la porción de esfera interceptada por el cono; el ángulo sólído con que se ve dS dosde O es, por deñnición do du , - y es igual al árca de la porciónde esfera de radio unidad intercopiada por el cono. Sean, n el veator unitario normalgxtsriora y'ry 0 el ángulo formado por n y ¡; entonces,cos0 -. nr Por otra parte, dO: + ¿5g.. r: * T ./.9, d. dond" ,"rrltu du¡ i D'¡ dS, considerando el signo + o el ;¡-se gún que el ángulo 0 formado por n y ¡ sea agudo u obluso. S a S una superñcie, como la representadaen la Fig. (a), de forma que una re{ta cual quiera no en más de dospuntos.Si el punto O es exterior a S, en una posicióntal como I, +; dS : d@i en

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL r25 , : --Júr. La integral extendida a estas-dos regioneses igual a cero, ya que las c ontribucioncs # solido s6 anulan. La intcgr¿l sobreS es = o ya que a toda contribución positivale ü+ ' ^ una neSa¡rv¿. bd casoen que O seainterior a S, en una posicióntal como 3, T o" : da, y en la pos ición 4, aS: d@con lo que las contribucioness , cn este

sumanen lugar de anularse.El ángulo sólido total

cr igual al áreade la esferaunidad que vale 4z; por Io tanto, J [ + ot = n. Fts.(ó) Ft¡,(o) Para superñciess que son cortadas por una fecta en más de dos puntos, s mantienen l¿s ñism¿s conclu !s (Fig. aó)).Si O eaexterior a S, por ejemplo, un cono de vértice O corta a .t número par de veces

n un

co,ot.iU..,ciOtt co,ot.iU..,ciOttco,ot.iU..,ciOtta aa la lala integral integralintegral de dede superficiccs superficiccssuperficiccs nula, nula,nula, ya yaya que queque los loslos ángulos ángulosángulos solidos solidossolidos subtendidos subtendidossubtendidos desde desdedesdeO OO se sesean anan lan lanlan pres. Sin embargo, si O es inGrio¡ a S, un cono de vértice O-corta-a S eo un ní¡mero imp ar de vec s lo la anulación ó produce solamentopara un número É¿r de ellas, siempre hay una contribución de 4rr

c la suoerñcicS, tr¡ido dc densidad p(x, y, z, t\ se muevecon una velocidad {x, y, z, t). Demostrar que si no hay ni fuenri sumideros V'l + S = o' siendoJ = Pv ot un volumsn Z de fluido, La m¡sa de fluido cn fz cs' Consideremosuna superñcic arbitraria que limitc ¡ instante dado, fff t4 = lll o¿v "1" El incrsmento de esta masacn la unidad de tiempo es *,=*,lll,* ilt*,, Ir La rnasade ñuido que salede yon la unidad de ti mpo es á^" "" \ JJ| | Pv'n ds a{ orelrotrca t, J Z rnr'nsnuss.f, ir' 15) con lo quc cl incr r¡ento dc masaen la unidad d

li Nnpocs' asimismo'

/-=-_' 126 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL -dS -lll Y.tptt¿v I I Pv.n JJ JJJ t v segúnel teorema de la divergencia.Po¡ lo tanto, I r f ^^ lll Y ¿v JJJ ¿I [[[,.,0",, v v o bien, [[[,v.,,,.!,0, v Como y es arbitrario, el integrando supuestocontinuo, debg seridénticamentgnulo, forma a con.ir se hizo en el problema12. Por lo tanto, V.J + v = o. sicndoJ=.ov ?t Estaes la ecuac¡ón de con¡inuidad. Si p es constante, el fluido es incompresible y V . v : 0, es decir, de velocidad s o el vector velocidad- v es solenoidal. La ccuación de continuidad se aplica también en electromagnetismo, siendo Q la densi dad J : Ovfa densidad de co iente. 29. Sea U(x, y, z, t) la temperatura, en el instante /, en un punto cualquiera(x , y, z) de un sólido y k, q y c la conductividad térmica, la densidad y elcalo¡específicodelsólido, respectivam ente, que constantes. que Demostrar . !¿/ = kVLt-2.. , stenÓok= K/pc

Sea l,'un volumen cualquiera interior al sólido y S su superñcie limite. El flujq to tal de calor que o energia calorífica que sale a través de.t en la unidadde tiempo, es ll r-
ser idénticamente nulo, co

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL t27 I , I I I I "e * = V' 1¡1VY¡ r, c,p sonconstantes, P=+v.vu=*fu D¡ permanente :o, o lo quees igual, del tiempo) la ecuación anterior se reduca a la ecuación de l-aplace V'U : 0. k s d nominadfraiyidad.En régimen (esde.ir,ff DEL ROTACTONAL DE STOKES el t oremad l rotacional de Stokcsy (D) expresailomatemáticamenteen coordenadas rec ¡al curvillnea dela componente tangencialde un vQctot A a lo largo de una curva si mple c rrada C a la int gral d superficie de la componente no¡mal del rotacional de A extendida a un a superncie que tengapor contorno la curva C. tCmo en el Droblemal4(r), A = Aíl+A2! + gla, n = coBdt + cosBJ + cosTk hooces, I r kl Vx e + + +1. = r94"-1&rr . t44,-14',. . (+-14",, oa. oY ozl q dz oz ox or oY A1 A2 Ael (VxA).n = ,H:-p,"*o -(*-pt"o"F '(*=fr"o"z A,dr = (ALl + A2t+ /' k]'.(¿' I + 4 ! +¿zlr) = Atdx + A2dl +'Asdz

y b cxprcsión dcl t oremado Stokescs [ [ r,9^!n- 9&r"o"c -g,) coEB ,* -#rcosTlds= n,r"* n,rr, n"n" -E"'"""-'?. (14 JJL'Ai -¿"-f l teorema del rot¿cional de Stokes. Sca S una superficie cuyas proyecciones sobre los 6 xy,yz y xz ion regioneslimitadaspor.curvassimiomo se ináica en Ia figura adjunta.sr¡poú" ¿nibis,J se puege pur r¿s Eeu¿lrvrrvJ lo que S se puede¡epr sentarpor las ecuaciones qu rrgsonlar gU, 2), o bien, v : ,{¡, z), siendo /(x, i), o bien,'¡ : l funciones uniformes. continuasy de¡ivables, hemos que (vxA).nds= JJ [V'r,l'i+/'l ] /3t)l'nds ,s ' = $^'0, C el contó¡no o límite de s.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL i tl I I consideremos. [Vx1"{rl¡l 'n ds' I enprimerrrg"t, JJ I i tJk ¿A, ¿A, = ¿a¿ = Como Vx (l1i) =--r i -;ik, Oz. Of oz oy oz Aa00 (r) [Vx1,{.r¡].nds = r}".r -rt }n.*, Siz:/(x,),)es laecuaciónde S, cl vectordeposicióndcu¡puntocualquioradeSesr:¡i*yi á¡ az Af d¡ xi + yi +f @,y)k deformaoue¡i : i + k : t + É k. Pero es un vector tangente 6 fr blema 25,Cap. 3) y por lo tanto perpendiculará n, con lo cual t ). = = o o r.i = -ün.k ".$ ".r*$'.r Sustituyendo

n (1) seobtiene

94-1 r4 n,¡-n.r)ds = (-+ n,u-?' n.u,r, Oz ol oz o! -?" oj o bien, (2\ .nds

[Vx(.1ri)] -(+ * $]¡".u rt ót óz d! SobreS, = Al',y,1(',y\) r+X = $, con lo que 11(2,1,2¡ =F(r,/): lu go + o! rcducea ds = = ** [Vx1,1,1¡].n --{ $ ".u,, Por consiguicnte, lf ff >F JJ fv"(,{rt)l.ndsJJ-fr*t' s.{ siendo .¿Rla proyección de .t sob¡e el plano xy. Scgún el teorema de Gre¿n en el plano, la {¡ltima igual a { Fd¡, sicndof el contorno que limita a ,R. Como en cada punto (¡, /) de r e l valor mismoque el de ,{, en cadapunto (¡, /, z) de C, y puesto que ¿r esigual para las dos curvas, se o bien, ll tt [V're1rlJ.nas = $ 4at JJ Análogamente, proyectando sobre los otros planos coordenados, ff .nds = ff [V'(,{2J)] óAz d! .t^ 3o f t f .nas = f f [V'r,r"uJ t A3 dz ju

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL t29 ordenadamente, ff f | | rV' n¡'n as = e.ar | JJ :. ¡eoroma es también válido en el caso de que la superficie S no satisfaga las restri ccionesimpuestas -!¡.mente. Para ello, supongamos que S se subdivide en regiones S,, S,, . . . S¡ de contornos limites l. . ., C¡ que cumplan las condiciones dadas. Para c¿dauna de estas superficies, pu ss e verifica el :¡a del rotacional de Stokos, Sumando las integrales de superficie se obtiene la int egral de superficie !-sumandolas integrales curvilíneas a lo largo de C,,G,..., C¡, resulta ia integral co¡respo¡dientes, a lo largo de C. t, barel teorema del rotacional de Stokes siendo A:(2x-y)i-yz"j-y'zk, S la superfic iede la ,l It superior de la esfera ¡, + y, + z" : I y C su contorno límite. El contorno límits C de S esla circunfe¡encia del plano x¡ de radio unidady centro cn el origen. Sean =:es/,.y: senl, z:0,0=,< paramétric¿s 2rr,lasecuaciones de C. En estas condiciones, n.o, ,u-rro, -y*d¡ -y2zdz $ -{ "c 'c ? 21r = | (2 cos r -sen r) (- senr) dr = 'tt ijk aaa Vx A ¿"c1-72

2r -y -yz2 -y2z = = ** ,ffrv'^r'nas [[*."r' [[ ü J,'R ¡ue n'k dS : dx dy y JR es la proyección de S sobre el plano x/. Esta última iritegral es r| n/t-rz ¡r ¡/urr2'-? | d1 dx -4l ay a, = 4l /ilc ¿, = 7r I I l JJJ^J^¿ /-----; Y=-vt-t' !-omp¡uebael teorema del rotacional de Stokes. Snficiente. Supongamos que V x A :0. Por el teorema del rotacional de Stokes f ff .f n.a, = JJ rv'nl.nas -o Supongamos Jr .\,lecesaria. que { n,dr:O a lo largo de toda curva cerrada C, y que V x A +0 ' ¡lgún punto P. SuponiendoqueVxAescontinua,hab¡áunaregiónenlaqueVxA+0enalgúnpuntoPdesu . Sea S una superficie contenida en esta región cuya normal n en cadapunto tenga l a misma dirgcción ;l t' .)

t ¡ I3O TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL y sentidoque V x A, es decir, Vx A: on, siendo a unaconstantepositiva.Si Cesel conto¡no limite por cl teorema del rotacional de Stokes, f fr fr $ t.ar = f f lVxn¡'nas = ,tlt n.nds ) o J^ JsJ tt que secontradicecon la hipótcsis de qu" f, n. O, = O y, por lo tanto, Vx¡ = ¿. J. Se deduce quc V x A : 0 también es la condiciónnecesariay suficiente para que una in tegral curvi fPc A . dr sea independienre de la trayectoria que une los puntos-P;y ¿ (problemasl0 y I l, Cap. 5). I 34.Domostrarque = *,u f ffo,vt,l-as. Haciendo A : B x c en el t orema d l rotacional d un yector constante, resulta = f l [Vxlnxc¡].n as f "'t"'"' J = ll irc.VlB - c(V.a)l.ods JJ f

stokes, siendo c

".,r.,,", J fP ...5[,.'" = JJ t,..v¡Bl.nds-JJ tcrv.nrJ."as .l ffI c'[Vr¡.nr]¿s as f f c. [n¡V.n¡] ts rr fr /s c.JJ [email protected])-n(V.B)l = ,.JJ ¡nxV¡x¡¿5 r5 Ahorabien, c es unvcctorconstante ar, ¡ como arbitrario,{ = l'f ,nrVr, u ,, trt " 35. Sean, /S una superficie limitada por una curva simplecerradaC, p un punto cualquierade .r 'S qu tene.c a C, y n el vector unitario normal exterio¡ a /.9 on p. Derqostraique eo, dii ho punto, ? I J^ ^. dr ( ¡ot A). n = lim A,t-o AS hallandosl límite de forma que /S tienda a confundirseconp. Porel teorema det rotacional de srokes. ff f.o, nr." ,, -n.or. $ "^í "c Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral, como se hizo en los pro blemast9 ypuedoescribir,

f I ^.d¡ (-{ A)* AS d dondc resultala demostración p didahallandoel límite cuando.r'S 0. -

, resula 19v TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL Estaconcrusión sepuedcutirizarcomo pu¡to,de partidaparainrroducrrelconc prode ¡ot A (p¡obrema36) '6 & granutiridaden el cálcuro der rot A en otro iistemade coo.a"naoasqu" no seaet rc ctangurar. comJ j -t'dr esracirculaciónde A a ro rargode c, la componentede rotacionalsogúnla normal sepuedeinterF¡¡, fisicamente, comoel límite de la circulación por unidadde área. E¡¡odo encuenraradefiniciónde ¡ot A dadaen el problcma35, halrar la componentede rot A s gún er eje z, Ar s ;''zl y" rectángulo paralelo al_plano,/ cuyo punto medioesp(r, y, z), como se obse¡vaen la --¡11,1-lfcttur¿ adJunta,y A, y A" las componentes de A en p s gúnlas direcciones p"iii*ár 'á" iá, ;;r;;";;: ¡tamente. "¡o LlamemosC al contorno del rectángulo; enlonc s, A. dr A. dr +rA. ¿r + | ¡. ¿, "c$^'', I -T EÍ fGef IIE ü dAt Ahora bien, A. dt = (At -! L, (At _!?.r, -+ Ar)& II

^r) 2¿y EF "Zt 0fl = 7A" n.ar ! d¡ I Gz+ *$a"rn, A. dl &lar v.ot 2¿, I FG EE t¡lvo inñnitésimos de ordensuperiora /r /¡. ¿A" Sumando,seobtieneaproximadamente f e. ar *!r n,ar. uc '4" oy Luego,como lS : lx /y, f o'o' componentcz de rot A : (rot A) . k = liln AJ-0 AS ,é¿, -a7 dtr. -i-)¿_i1^ ^ '-ol az = lim ----&ry A¡-0 ¿y-o ?A, _

¿, \ .,,_J

t32 TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA,TEOREMA DEL ROTACIONAL Problemas propuestos 37. Comp¡obar el teoremade creen en el plano para 1t' \l*" -W,l at * @y-6xy) dy, s iendo C el de la región definidapor: (a\ y:t/i, y: x,; (b) x:O, y 0, ¡ *r: L So/. (a) valor común :312 (b) valor común : 5/3 38. Hallar $ 12, + q¡ a, + Q: -3y) dy, siendo C un¿ circunferencia de radio dos con cGntro en -c del plano ry y que s recorre en s ntido positivo. Sol. -8n

l

39. Resolve¡el problemaanbrior para la integral $ 1x, + fl ax + 3xy,dy. Sot. tzn -¡ 40. Hallar (x" 2xt\ dx + (x'y + 3)dy a lo largo d l contorno de la región definida p or/':8¡ ! -y ¡ (¿) directamente,(ó) aplicandoel teorema de Green. Sol. 12815 41. Haf tar .f ("'.') \e,l "(o,o) -t,¡ * I (3x, -2xy) dy a lo largo de la cicloide ¡ : 0-sen0,.y: I -cos0. Sol,6tr2-4i. 42. Hallar ! (3x' + 2y) dx -(¡ * 3 cos y) dy a lo largo del paratologamode vé¡tices (0,O),(2,O),(3, l) y 5o/. -6 43, Hallar el área limihda por un arco de la cicloide ¡ ¿(0-s n0), y : a(l -cos 0), a > O,y e¡ eje Sol.3naz 44, Halla¡ ol á¡ea limitada por la hipocicloide x,t, + yzt' : a'1., a > 0. Ind.: Las ecuaciones paramétricasson x : acos|e, -y : a sen"0, Sol. 3r.arlg ,t5,Demost¡arla igualdad x dy-y dt : I'dó, siendo(Q, {) las coordenadaspolares.Inter pretar la I I xdy-ydx. 6. Hallar el área de un lazo de la rosa de cuatro hojas p : 3 s6¡ 2¿. Sol.9nl8 47,Halfar el área de los dos lazosde la lemniscata Q,: a" cos2ó. Sol. a2 ,|8. Hallar el área del lazo del folio de Desca¡tes x' * y' : 3axy, a > 0 (figura adjunta).

Ind.: Hacer/ t¡ y obtenerlas ecuaciones qo'áa) paramétricasde la curva.A continuación. tener en cuentaoue erea=j$,ay-ya" t f sa(t Lf *a' Sol. 3a'12 49. Comprobarel teorema de Greenen el plano para $ {2, -y"¡ a, -,ydl, siendo C el contomo de Ia limitada por üs circunferencias¡! t ,it¡ : e. + ),¡ : , ," so/. valor común : 60zl ^h.

TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL f(-,,o1 -í¿, +,¿" --P;7J(t,o) a lo largo dc los c¿minossiguient s: Quebradaque une los puntos(1,0), (1, l), (-l' l) y (-1, 0). ll Quebradaqueunelospuntos(1,0),(1,-¡), (-1, -l) y (-1, 0), hostrar que, uunqut!! : 3I, ¡¿integralcuwillrrx-dependedola trayectoriaqueunelol óy ox t(-1,0). Razonarla respuesta. Sol, (a) n (bl -n el cambio de las Variables(¡, /) por (|¡, v) scgún las ccuacioncs d tramfonnación x : x(u , v\, t : ¡(tr, y),demostrar que el área,{ de una región X limitada por una cuna ccrrada simpl c C viene dada por ?r& ?¡, ?¿ = lt
por r:-1, y::Lz:-1,¡: l,y:l,z: l' (c) la supcrfciclimitadapor cl peraboloido z : 4 -(x. + /") y el plano xy. Sol. (a) l2tt (b) 24 (c\ ?At¿ SiendoSunasuperñciecerradaqucencierraunvolunpn Vy L : ox | * ál I * czk' do¡¡ostrarque J J ^'n dS:(a*b*c')V. tf SiendoH: rot A, demostrarque JJ H 'n dS:0 paratodasupcrficicccrradaS' siendon lv ctorunitarionormalextcrioraunasupcrfrcicccrr¿dadcárc¿S,demo.t quoJJJ oi" oar : s' ", f = Demostrarque Íff+ ff+^ rrr .. ' ¡1 t Ís traf Demostrar = queJJ '5nds JJJst't¿v. J aa Demostrarque J J n aS = 0 paratods supcrficiccerrsü S. 3 Demostrarqu l¿ sogunal¡identid¿ddeG¡

nsuodccxptcs¿lenla fomra

[!! ov',t'-,t{ó¡¿v=II,ot#-{'f¡as ¡J D mostrar que rxds = o paratodasupc¡ñcicocrr¿drS. II

tl4 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL Comprobarel teorema del rotacional de Stokes para A:(y-z *2)i-l(yz *4)i-¡zk, siend o S superficiedel cubo x : 0, -y .: 0, z : O, x : 2,f : 2, z : 2 por encimadel plano ry. So1. valor común : --4 Coñprobar el teo¡ama del ¡otacional dc Stokcs porF : xzi-yi g xly k, siendo S la super ficie de Ia limitadapor x:O, y:0, z:0,2x * y l2z:8. .9ol. valor común:32/3. de(a) s semiosf ra + y'+z': (á)el paraboloidez:4-(x, +/r) por encima 65.Hallar JJ (i ^A).ndS, siendoA:(x, + y-4)i +3xyi + (2xz+z')k y S la superficie r' 16por encimadelplanox¡, plano xy. Sol. (a) -16n, (b) -4n 66. Siendo A:2yzi-(xt3y_ 2)!-l(x, I z')k,f,"1f",//(vxll .n ds oxtendid4 a la sup erficie de se¿ción de los cilindros x' + y, : o', x2 + z2: a, situada n el primer octante. Sot.{Qn + 67. Siendo B un vecior noÍnal a una superficie cerrada S, demostrar q rotBdV :0, e n dondc /c¡ J J J ¡ggión que encierra ,f. r 6E. Siendo { e .a. = -lP ff".ru ySuna superñciecualquieratimit¿dapor la curua C, dem ostrar J^ c ¿t JJ I tll V E:---::1 . ^ co, 69.Demostrar f ar = .F quef,ó JJ dsx V0. 70. Aplicar la cquivalencia del problemar suelto25 para obtener:(a'¡v ó, (b) V .A, (c) V xA en re{tangularcs. 7r.D mostrarque = IIIvo.^av IJot.nas-[[[ov'rav. rJf 72. Sea r el veato¡ de posición de un punto cualquiera r specto d un origen O, y supong años que la I

tiene derivadas continuas d segundo orden, por lo menos.Repres nt?ndoel valor do C en O por éo! mando S a la superñcie cerrada que encierra el volum n ,/, demostra¡ que llt+v*-ovrlrl'as= [[!viÓ¿n' o .ty en donde o : 0, o bien, 4rÓo s gúnque O s a exterior o interior a S, respectivamentc. 73. El potencial C{P)en un punto P(x, y, z) debido a un sistema de cargas léctricas 4, q¡, . , . , 4, cuyos de posición son r¡, ¡!, . . . , r¡ respe to de P vienc dado por .A r, 9* Demostrar el teorema de Gquss = 4,Q [[".r" 3 siendoE:-vdlaintensidaddelcampoeléctrico,Sunasuperficiequeencierreatodaslascargasy Q= la carga total interior a S. 74. El potenciald(P)en un puntoP vienedadopor ó= L{ siendo ¡/ una región, limitada por una I I I ficieS, en la quo la ca¡ga eléctrica está dist¡ibuida de fárma co¡tinua con una densidad p. Deducir, las hipótesis necesarias, las fó¡mulas siguientes: ?f (') JJ E'ds = 4" JJJ p¿v, siendo E:-vc. JI (D A'é : -4:¡ g (ecuación de Poisson) en todos los puntosP en los que hay cargas, y Vr C : 0 de Laplace) donde no las hay. -,.,,,,/.

-] tla de (¿) muna I Coordenodoscurvilíneqs ¿de (32+ TRANSFORMACION DE COORDENADAS. Consideremoslas coordenadasrectansulares r úe I/ es lrir-y,z) de un punto expresadasen función de las variables (ur,u", u") en la for ma j, ¡ : x(ur,u", u"\, y : y(ur,ur, u"), z : z(ub u2,q) r bien, despejando (\, th,u), ur: ur(x,y, z), u2: u2(x,y, z), u" : u"(x,y, z) --) [.rs funciones que aparecenen(1) y (2) se suponen uniformes y con derivadasconti nuasde manera que ¡ correspondencia entre las ternas (x, y, z) y (ur,ur, u") esbiunivoca.En la prácüca, puede ocurrü que E¿ hipótesis no se curnpla en algunos puntosdeterminados,en cuyo caso deberán hacerse las consi ¡raciones pertinentes, Dado un punto P de coordenadas rectangulares(x,y, z) se le puedeasociar, según (2) , un conjuntoiúo de números (u* th, ut) que llamarernos coordenadas curvilíneqs de P. Los sistemas de ecuaciones rff ó (2) definen las fórmulas de translormación de coordenadas. ñ¡nció¡ I loy COORDENADAS CTJRYILINEASORTOGONALES Las superfrcies ut: cb t4: cz, us: cr, siendo c!,cr, cs constantes, se llaman superfcies coordenadas; L interseccióndecadapar de estas superficies definen fu líneas coordenadascorrespondientes (Fig. l). Si las ¡p rficies coordenadasse cortan en ángulo recto, el slema curvillneo es ortogonal. Las lfneas coordenadas \, 14y us de un sistema curvilíneo son análogas a los ics coordenadosx, y y z de un sistema rectangular.

Fl8, I YECTORES UNITARIOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CURVILINEAS. Sea t * xi * i + zk el vector de posiciónde un punto P, Segrln (1), podrernos expresar loen la forma x r : | (u\, u2,ur), El vectortangent en P a la línea n, (parala cual r,lr y ¡rB,son con stantes) ., Entona"r, fr,. '. il -fir: d yectorunitariotangente ys ntido es A" 0""a" n' en la dirección del anterior #,llrf, l, "r, ": indo/rr:l; l.Análogamente,sie¡ye"sonlosvecto¡esunitariostangentesenPalaslíneasr4yn, | 0üa1 .. A¡ At lArl t2¡ | lEp ctivamente,seüene : hre,V á"e", siendo Or:lU*F r":Jr-] Las maenitudes ,¡,,¿,/r'fr Aur: llg(ma;nfactores de escala. El sentido de los vectores unitarios er, er, e, es e l de crecimiento de uL, u4, ut, rspcctivamcnte. II Como v4, ¿5 un vector normal en P a la superficie ¿rr : cr, cl vector unitario en es ta dirección y senr rr: \\ I ti,.l

ll6 COORDENADAS CURVILINEAS los vectores unitariosE, : i ulrli urly E" : Í u"lr sonnormalesen P a las superficies c2yu3: tidoviene dado porE, : Var/jvl,l. Análogamente, uz-f¡¡ f Specnvamente. Por Io tanto, en cada punto P de un sistema de coordenadas curvilíneas sepüedendefinir dos sisternasde vectores unitariose¡, ep, es. tangentes a laslineascoordenadas,y Er, E2, E3 normales a las superficies coordenadas correspondientcs( Fig.2). Ambas ternas solo coincidirán en el caso de que el sistema de coordenadas curvilineas sea ortogonal (problema I9) y juegan cl mismo papel que los vectores unitarios i, j, k del sistema de coordenadas rectangulares, con la única diferencia de que aquellospuedencambiarde direccióny de sentido deun puntoa otro. Se demuestra(pro ¿r ¿r-¿r blemaf5) que los coniuntos . , y vu,. fa", va. ¿ut du2 fus son dos sistemas de vectores recíDrocos. Un vecto¡ A se puedecxpresar en función de los vectores unitariosen la baseer, er, e ", o bien, Er, Er, en la forma :.,, ! . { ¡ = Are, + Are2 + Ase3 = ¿1E. + orEp + o"Ei siendo ,41, A", A" y or, n.. a, las respectivas componenfes ¿/e A en cada uno de l os sistemas. Todo vectorA tambiénsepuederepresentaren función de los vectores ¡L , +, 3!. q v¿,,v,,,v,,, Óut out oug que, aunque también se llaman vectores unitaios en Ia base, no tienen módulo unidad en general este caso , A = c,+ * c,PL + c"+ = ctat + c2c2+ Csq,s I óu1 óut OUs = = ""iu" siendo Cr, Cr, C" las componentes contravariantes! cyc2 cslas componenles covaüant es del

y f A c19u" + cr9u, + ct|t + crfu+ c"B" (problemas13y 34). Obsérvese aur, p : quetr, : 1,2,3. f,r,9, ELEMENTOS Y DE VOLUMEN.A partir dela relación r : r (¿r,u¿, as) se P,E,TINEA + d¡. = 3! ¿r. * PL ¿u"* lL ¿u" = h1dv1e, + ht du" e2 + hs ¿ua eg ' ' óut duc dus La diferencial de la longitud de arco ds es el elemento de líneay vienedada por ds2: dt. r1r. En los sistemas ortogonales, er' z : z' e¡ : e3.el : 0, con lo que ds2 = h?,dui + hf,dui + ti aui En sistemas de coordenadas curvilíneasmás seneral. véase el problema 17. A lo largo de la linea y ¡r¡, con lo que /r : según a, en el punto P de línea en P según z, resPectiYamente.

coordenadar,tr,son constantes tr2 hrdure, El elemento de línea ds,, es,ltrdri. Análogamente, los elementos y a. soir ds, : h2dury ds, :hsdus,

Observando la Fig. 3, el elemento de volumen en un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonal vienedado por h**

: VÍg/l COORDENADASCURVILINEAS tt7 ld' ilv\ l(tudufh1h2hs du.du2dus 1 = e1).(h2du2e) x th"du"e"¡l I i/ ll le1.e2xe3l ;.r --| ;r, ' ¡'/. " d"l l GRADIENTE, DMRGENCIA Y ROTACIONAL, Veamossu expresiónen los sistemas de ooorcurvilín eas ortogonales. Sean Q una función escalar y A: ,{, e1I A2ea* A"e" una función de las coordenadascurülíneas ortogonales ub u2, u.i en estas condiciones;se verifica : Y.n = ;:(\h243) 1/ .it 'i o/v Ire = .. \'/ fé = Laplaci¿node é ¡'ü d-c \ = h [*,*.8,-¿X,*ffi,. r¿
0, 0Só12n, -,x
t38 i COORDENADAS CURVILINEAS \) .:. Ft3. 5 3. Coordenrd¡s cill¡dric¡s prrrbólicos (a, r, z). Se representan, en sección, en la Fig. ¡: |(at-É), y: utt, z:z siendo-oo < tt < oo, vZ 0, -oo < z < @ h":h": !/ur+vr, h,:l AA En coordenadascillndricas, u: !2p cos.:, v: V 29 seni, z: z -z-2 k Fig. 6 muestra las proyeccionessobre el plano x¡ de las superñcies coordenadas. homofocales con un eje comrún. ¿-f -r1, IL \ {\ F18. 6

COORDENADASCURVILINEAS t19 ¡1, Coordensd¡s p¡r¡boloidales (¡¡, v, é). .r: rvcosd, .y: ¡lvsenó, ,:tQ'-ñ siendo ¿20, v>0, 0Sú<2n h,:h,:^/u"+v", ho:uv f, en la Fig. ó segiranlasparábolasalrededordel eje x, y lo llarnamos eje z. se obti enen dos sistemas l:rficies coordenadas.El tercer sistema de superficies es el formadopor el haz d e planos que?asan eJe. !l Ccorden¡dss cilindric¡s elípticas (u, u, z). Se representan, en sección, en la Fig. 7 . , x: ¿cosh¡¡cosv, /:4Senhrsenv, z:z siendo¿i0, 0< v 17n' -a /c po,rll6 ¡+1'rilt t Ftc. ? ó. Cmrdeul¡s esferoid¡l s¡lerg¡d¡s (6, ¡1,ó). ¡: asenhf sen4cos{, ¿senhf senl sen{' z:4cosh6cost, t: siendoó:0, 0=4
, I.M COORDENADAS CURVTLINEAS 7. Coordca¡d¡s esferoid¡lessch¡tsdas (f, ?, d). .r acoshdcosTcosí, !: a cosh 6cose¡senó, z: asenhfsen? siendo _+=nsi, f=0. o <2n he: hn: a /ientrr 5 J ,"nz , , ¡¡ó: a cosh¡ cos,, ,tlj:^11-a.rq,7,segirantascurvasatrededordel .8",¿.""?",.'Eii.",l;fffi:.:::Ji,Hl,¿,; seobtienen dos 'ormado Í:,,:ffI"",,:. J,ill,T,*,;n,*:: por esteeje. por et haz de planos qu-e t. Coorden¡daselipsoidales(1,p, u). *-*.-*= r, tr.""
"r_, /--:-------.--/ (/¿-A)lr-l\ l.=r ,---;:.--:-;i r.{i h. = : I \/-pt(^_ul ^z Y A-rxó-¡á-rl' ri " zV @:n@:pr(q-, l/_---'(^-v\(tL-v\ H H H t",| ! z V| <¿-i
I I I [¡"' ttr

a COORDENADASCURVIL¡NEAS l4l ¿ scnh y o ¿ sen r¿ y: coshy-costa -!, -cosh y -cos t¿ ' _oo sicndo 0Su<22, < y < oo, -@ < z < o0 a cosh l, -cos u ' r': Fig' g muestraras proyeccionesde ras superficiescoordenadassobreel pranoxy. Girando las ahededor del eje y, y lo llamamos ,, ." irUtl*" un ;;;;;, o" coordenadastoroidales. --s "¡. Problemas resueltos L Dcsc¡ibir las superñcics y llnc¿s coordcn¿das d cas y (ó) esféricas.

los sisemas de coordenadas: (a) cifndri

(¿) Las superñciescoordcnadas(o supcrficiesde nivel) son: 0 : cr cilindros coaxiatcs con el cjc z(o eje, si c¡ :0), ó : cr planos qu pasanpor el oje z. z : cr planos pcrpendiculercs al cjc z. Las lfneascoordcnad¿sson: tntcrsccción dc p : s, y C : c¡ (lfnca z), una racta. Int fscoción dc Q : ct ! z : c¡ (lfnca c), una circunfcrencia (o un puntoli' Intcrsccciónde (:c¡y z: c¡(lfncae),una f cta./ (ó) L¿s supcrficias coordcn¿das son: ,ú

¡ : cr csfcrascon cGntrocl o¡igen (o el orig n si cr : O). jr 0 : c¡ conos con vértice cn cl origen (r ctassi c, : g 6 i, plano ¡/ si cr : r/2). I : c¡ planos quc pasan por el cj z. "¡ Las lfnc¿scoordcnadas son: Inlersccción dc , : cr y 0 : cr (llnea ó), una ci¡cunfcrcncia (o un punto). Intcrsccción dc | : cL y í: c¡ (llnea 0), una semicircunferencia(cr * O). Inters cción dc 0 : c¡ I ó : c¡ (llnea r), una ¡rcta. 2. Exprcsar las coordenadascillndricas cn función de tas rectangulares. _ Las ecuacionos que deñnen la transformación de las coordenadas ¡ ctangulares a cilíndricas son: (/) ¡: pcos é, (2).y: esenó, e)z:z Elevandoal cuadrado (1) y (2) y sumando, p¡(cos, C * s n, {) : ¡r +/r, o bien, e:\/ x1 +y', ya que cos'd +sen¡ ó: I y I espositivo, P sen ó Dividiendo (2) oot 0t. !-:p¡;i;:tasó' "" ¡ o bien' ¿: ar" rag ! ' LueSola transformación pediü es (4) e:\/x, +y', (J) d: arctag{ (6) z:2. , Observeseque d es indeterm¡nadaen los puntos del ejez (x :0, :0), ' , Estos puntos se llamao puntoss¡ngularesde la transforñ¿ción_ .)

' "d\ "d\ COORDENADASCURVIL¡NEAS i.) 3. Dcmostrar quc el sistema d coordcnadas cilíndricas es ortogonal. El v ctor de lneición de un punlo en coordcnadas cillndricas ss r: ¡l*¡C+zk: ecosC¡ + esónCj + r k Los vocto¡ s tangentes b, p* a l¿s lfn as 0,Cy z ücnen dados, r sp ctivamon -?, +, , + .At cos0r + s n0l' -:e ¡en{¡ + scosói, : * \ ZA : ?T : E Los vcctor s unitarios en esas dircccioncsy sentidosson arlap cosdl+scn dJ q':6¡á¿1: cosdi+s nll 'r: /ffi: a a{ -pson ll * pcosCt c': c': : -s nól+cosct iafn:75ffi*: tul0z c¡:et: I attair:l Porlo tanto,r er.er): (cosót + rÉnól).(-scn Cl *cos CD : 0 r-e. : (cosCl + scnón,(k) : O q.e, : (-scn{i + c¡sCJ).(k): 0 con lo quc,rr q y e' sonDutua.mcntcrpendic.ularcs sorúogonsl. y por ello

l sigtotlra dG coordcnad¿s

¡1.Reprcscntarol vactor A: t-Z{ ** c¡r coordenad¿s cilfndric¿sy dctcfmin¡r i¡,;;¡,: D lproblcrn¡3, ¿ \.1 -s¿n dl+cosC, (t) ¿,:k : , _({)eo,= c.is ql+s6n f 11 1, [email protected]= t" \ i.-t,ai--1/-Qi+t¡,Q¿ l-ii.¿: ; ) Rcsolücndoel sistor4a formado ¡ror(I) y'(4, i : cosri-s.n ó Ga, j : scnrc? + cocl., , li, /{ A: zl-2xl + y\ i'¡i Lluogo : \ ytVl ),',.tj , dcosI c"-senú cr)-2e cos I (scnI e¡+ cost c.) + e$n I c' I l ' = (zcas{-zee,s {scn f)g-(zscn ó * 2pcos'{{} c sonlgi y An: Fw ó-zQcos órct í,.'lt: -zsan ó-Zpcos, {, A,: Q*ni, ¿.d: 5. D moskar quc A : J c¿, -{q, cn donde cl punto sobr Ia función f prrscnta la á á.n: rGpocto dol ticmpo Dcl probl¿rm 3, e: cosl¡+rcnlJ, Gí: -scnlt +cos rt 7íq: : Lucgo, d (scnó)1lt+ (cosC)¿l : (-scnót * cosll) { Cc¡ d : -(cosC)dl-(scnó)Cl: -(cosCi+són Cl)d * -{S det

COORDENADALCURVILINEAS l4l la velocidad v y la ac leracións del moyimiento de una partícul¿ en coordcnad¡rscilíndricas deposiciónencoordenadasr ctangulareses r : bff"tf"rfr ¡i * yl * zk y los vecto¡es velocidady ace_ = = , +i!+'zh . = ='ir+ir+.jr # # En coordenadascilíndricas, segúnel problenra 4, t = ,t+yt+zt = (p cosfylcoa$ co _senóe6) ,t,,.' + (p senp)(s n+ c, + cosó eé,, + z ¿z pep+ zez _ ,t_ ¿p de^ Lueso, v = 'r = pí tfr"" = i.p+ p$"f + ie, i"o* t, ;úD l problema5. Derivando nueva¡nenre, dJ a = = + p$e6+ ier) *,tiV = ;d3.: t . ideé .: .. -Peo + PQ7;+ PQeó+ pQe6+2e" P ¿; .l ió.6* ii", *.t p$¡$.0)

+ póeó+ i$e6+.;e" (i;-pf rel="nofollow">.0 +*

n coordenadascillndricas y determinar los fac

,... x . .:'do. r: pcos4, y: ewr|ú, z:z -Q senidó + cosóde, d/* pcosódó+ ff.)aóae, dz:dz [..Ego, drl dx2+ dy' +dz¡:(-psen ód4 *cos dtdp)!*(ecos idé +*nódpY f @i, (dú'+ e'@ó)'+ (dz),: hi@d"+ hi@ü"+ hi@z), c donde¿1 : he: : l, ho : h p, h" : h": l, son los factoresde scala. hundo método. El veator de posición es r : gcos / i + p s n CJ + zk. Ento¡ces, , ar , fu ,, ar : : (eos/i +s n Cj)de +(-psen df Ap de a6 aó + -U;4, di + ecos 4!)dó f kdz : (cosddp-psengds)t f (senCdp + ecos4dó)j+kdz Lrgo, ds! : dr.dr

: (cos{d4-pscn CdC)'+(s n dde + e cosó dó), + (dz), : (dd"+ e,@ór,+ (d,), .:¡¡ )

I COORDENADASCURVILINEAS 3. Demostrar qu el sistemade coordenadas cilíndricases ortogonal. El vector de posiciónde un punto en coo¡dcnadas cilíndricases r : ¡i +-vl+zk : ecosCi* es nCtlzk Losve{torestangentesa las llneas o,d y z vienen dados,r spectivamen*, , no, fr, + + 0r a. :cosdi+scnd¡, a' f +: -esen9l+ ScosC¡' E:l uy Los vectorcs unitarios en esasdireccionesy s ntidosson ArlAo cosdi+sendl t : qo : --;-;-: ---_ : : -cosói +sen ói ' I orléQi y'cos'C * sen¡d Arla6 -psen ói + ecosCJ -s nCl+cosdi rerladt:/n'*n,aañ ArlAz e¡ : e, : :-=--: k I ofloz I Porlo tanto, er'err: (cosCi +s n C¡).(_scn Cl+cos Cj) : O eric! : (cosdi+s n dJ).(k) :0 er.e!: (_ s ndi+cos CJ).G) :0 con lo que, e' e" y e"sonmutua¡rente perp ndicularesy po¡ ello el sistema de coordenad asesortogona,l. 4' Reprcsentar el v ctor A : zi -2x! + l.,k cn coordenadascilíndric¿s y determinar An A1 y A,. Dcl prob¡ema 3, lj) o :-T; r,t,Iy."..t! (2)et: -sen r¡ +cos c, (r)¿,:k Resolvicndoel sistemaformado por (1) y (2),

I : cosCqp-sen C c, l: scnde! +cos óet LucgoA : zl-2xliyk : / 4cosóge-s n Cec)-2ecos d(s n ú " + cosr el) + pscnCc, : (zcosó-Z|cos dsen{)q-(zsen C + 2pcosrC).90+ osenC,ar,/ I Ao : z.casó-2ecos Cs nó, ,t : -zscn C-2ecosr {, l, : e*n l. d:dl J. u moslrar que E: óec, -iC, cn dondc el punto sobre la función ¡Epr scnta Z* i"l: ¡esp cto dol ticmpo Del problema 3. E:cos{l+scnCJ, c, : -scnli +cos dl tuego, ¿ 4 : -(s nd)iÁi+ (cosC)lj :(-scnCt+cosóJ)d:de¡ ft' _d dt tr : -(cos¿ld'i -Gcn d) jj : -(cosCl + s nI J)C : -{S

---\} COORDENADASCURVILINEAS l4l la velocidad v y l¿ ac leración ¡ del movimiento de una paricula en coordenad.ascilíndric¿s El v ctor de posición en coordenadas r ctangulareses ¡ : ¡i * ¡i + zk y los vectoresvelocida d y accEión son ,=#= +!t+ih y ¡ = 4-=\*7trz.. En coordenadas cilíndricas, según el probl nra 4, _a = = . ,l+r!+zl (p cosd¡1coe@ eO -scné e4) + 1p sen@¡ lscn @ c, + coaó ai), + z ez = Pep+ z ez ,-dp de^ Lueso, ='; = ol . "i"" = i"p* p$.n+ ie" " l.o* ¿. rgún el problcma 5. Derivando nuevam nte, = + = !G"o+ pge6+i e",t " = ;9 :-^i¿'ó . ^\ * i.p * pói+ pé.r+ |$e6+2e. -¿r! = ió"0* í% r póe,íe¡ + póe4+ i$er+ze" = tii-pé?t.p, p$ * zi$¡", *'i." tgún ol problcma 5. il Ilallar el cuadrado del elemento de línea en coo¡denadas cilfndricas y determina¡ los factoresd escala coffes¡ ondientes. Primer método. esefró, x: pcosó, y -z:z ¿l¡ : -qs n ódó +cos íde, dy ecosódi +.É,nóde, dz-dz

Lucgo,d.rr: dx'+ dy, +dz¡:(*esen 4d4 I cosdde)s *(ecos Cdd + senídd'*@z). : (d p), + p,(d$' j (dz\' : hi@d, + hi@ó,'+ hi(dz)' & dond ,h : ho: I, h": h¡ : e, h": h": l, son los factores de escala. 9gundométodo.El vector deposiciónes r: ecosCi + ps nÉj + zk. Entonces, At A¡ Ar , ,. dr: + + o8 ' óQ oz -do -dó -dz : (cosdi +send¡)de +(-es n Ci+ pcos ó dó + kdz : (cosdde-psen/dd)i + (s nCdq + Qcos4dí)J + kdz ds' : dr.d.: (¡os/d¿-p*nódé), + (s ndde * p cosódó), I (dz), : (dP)' + e'@4)' + (dz)' i.)

I l,t4 COONDENADASCURVILINEAS

I t. R solvcr cl problem¿ 7 cn coordonadas (a) esféricasy (ó) cilíndricas paraÚlic¡s. f (a) ¡ : r s n ocosc, t: rsenosení, z:1c¡A0 Entonces d¡: d, : -r ssn 0scnCdd * ¡ cos 0cos 6d0 + *¡ 'cfÉ ódr ¡ sen 0cos ó dó + r cos 0scnó d + s nds n{ dr dz : -¡*n0 & *cos0dr con lo quc (dr)' : (d¡)r *(dy)'l (dz)' : (dr)'+ r\do)' + r'sf,'¡'o(dü' tos factor s do scala son h,: h,: I, h: he: r, h¡: ht: r*t9. (ó) ¡ : ü(.¡¡-Yt)' Y: uv, 2:z Entonc sd¡: u4-vdv, dt:udv *vda, dz:dz conlo qu (dsr'':'(dx)' +(dy\'+(dz\': (¡¡r+v¡)(¿/)t + (u' + t:)(¿tv)'+ (y'zt' Losfactoresd escalason á, : h, : \/ u+ v' . h": h, : \/A +nt , h': h, : l. ltt4u-v-'. t j"/ ' ry LJ.t.t _ t,..,./va, o "tJ' ' .,,,),J,,; ¿ 9. Represontar y hallar las dinreísiones del elemento de volu¡nel en coordenadas (a) cilínd¡ic¿s y-(á) (a) L¿s dimensiones del olemento de volumen en coo¡denadas cillndricas (Fig. (¿)) son e dó, dp y dz, yt vienen dadas por ds,: h,tl\ : (l) (det : de, dt: hdu¡: p d4, ds. : (r) (dz\ : dz utilizando los factores de escala obtenidos en el Droblerra 7. i¡ .-l l i Fig. (¿) Eleocrto de voluEe¡ en coorderad¡s cilíndrlc¡s Fig. (ó) Elem nto de volumen en clo¡d (ó) Las dimension s del elemento de volumen en coo¡den¿das esféricas(Fig. (ó)) son d¡, r d0 y r *¡ ya que vienen dadas por ds,: h,du,: (l)(d!l : dt, ds¡: hzd*: r&, ds,: h"du, : r*¡0dó utiliz¡ndo los factores d escala obtenidos en el problema 8(¿).

COORDENADAS CURVILINEAS -\ cl oleüEnto dc volumcn d/ c¡r coordGnadas (o) ciltndric¿s, (ó) sf¿ricasy (c) cillndricas pa rabólicas. E clctncnto dc volur¡rcn en coord nadas cuwilfncas onogonsles ¡r, ..t, r¿rGs dV: h, h¡ h¡ dardq dut En coordcnsd¿s cillndricas, a, : e, ut : 6, ut : z, ht: l, ,t : p, ¿t : I (problerm ?). dV: (trl )o)dQdódz : Qdedódz También se pucdc obtener di! ctanenta obs rvando la Fig. (a) dol problema 9: por lo tanto, En coordcnad¿s csféricas, lr¡to, ar:L t,:0, u¡: i, h,:1, ht:r, h¡:fs no (problema8 (a)).Por lo dV : (l\ (rr(r st 0\dr & d{ : rrffiíúdOd{ También so puedc obte,ner dircct¡urnte a padir d l¿ Fig. (ó) dcl problema 9. F¡ coordenad:scilfnd¡icasparabólic¿s,ur: (problema8(ó)). Por lo tanto, ü, ur: v, .!, : z, h:1,/irTl, h. : \/7i-+ ". , h. -| dV -(\/ u, + ü (.\/ri. + v\ (t\ du dv dz : (u, * vrl du dv dz (¿) los factorcs de esc¡la y (ó) cl el Nnento de volumcn dll en coordenadas esferoidales achatadas. : acosh¡Cos?cos ó, ./:4cosh Écos?sen6, z: ¿senh6sonA : -4 cosh 6cos?sen CdC-acosh I scn4cos ódq * a *rrh 6cosZcos Cd6 : acosh fcos4cos ód6-acash 6senqsen 4h + a frr,nh fcos ¡sen Cd6 : ascnh fcos ?d? + acosh ¡ s n?df Entonccs (dr)t : (dx)' + (dy), + (dz), : a! (senh' ¡ + s ¡! 4) (d¡)' + a'(s nhr 6 + sen!?) (d?)¡ + a¡ coshr 6 cos' ? (dC)r f h : he: 41,/ scnht f + s nt? , h":h,t:a/s6fr[i-F?s n,4, h, : ht : a cosh 6cos? ¡ dx dy dz dv : : (at/ *nW ¿ + *n,,ü G /Gh--T + s n'4) @ cosh cosri dt dn d6 ar (s nh¡f + scn'?)coshI co}rtdE dI d{ las expr sionesde los slementos de su¡erficie en coordenadas curvilíneas ortogonales. ObsorvandoIa Fig. 3, pág. 136,Ios e¡ementosde super6cie vienen dados por dA : l(h¡ dqe,\ x (r¡ ¿¡r e,) | : lr¡/r¡ le¡ x eoI du1du" : hh" l ¡xerl: le,¡: t. Análoganente, dA, : |(h,du,e,) x (lr, ¿r, et) | dA, : l(hdqe) x (h,dqe) | h h' dh du. h' h, du, dul du,du, I I:.r ¡. 1

l4ó COORDENADAS CURV¡LINEAS

Sie¡do ¿r, ¿¡, ,r¡ las coord r¡adas curvillneas ortogonales, dcmostrar quc al Jacobiano de ¡, z l¡r, ¡r, .¿¡ es ?¡ ?v ), üat¡[ 3x 7y 7z = hth..ü óUq ótte due 7r. 7y Zz ?u" ?r" ?r" Según el problcma 38 dcl C¡pftulo 2, el determinante dadoes igual a ?" a, 7z ?¡ ?v E. ?¡ Ev 2z (-l + + <-h). ('{--l + 1lJ + l+<-J+<-k) oul our óut óuz ott2 ott2 oug oua oug -4J -I)x(&.?¡"?¡ -= Ár r' h2e2x hseg ?u, ?u2 ó"" = htbho e1' e2 x es = hthzhg ar ar a' si cl Jacobianoes idénticamcnte nulLo,los v ctores -6r,, dr", son coplanarios y las á, (x, y, z) están ligadas por una relación del tipo F(x, y, z) : 0. Por consiguient , p¿ra aplicar una ción d coord nadas es necesario que el Jacobiano corr spondiente sea distinto d cero. frf 14. Hallzu (¡'+l'+ zr)dxdydz siendo / una esfqa d c ntro el origeny radio ¿. J J J Fk. (o) Fr¡. (ó) La intogral pedida es ocho vecos la integral sobr la parte de esfera contenida en el primer (rig. (a)). En coordenadas ¡ectangula¡es, ¡o ¡ /-a2-x2 r /7=V=7 s @2+.f+z2r¿2¿rd' J J J

u.o y.o z¿o p ro su cálculo, aunque posible, es complicado. Resulta más fácil utilizar coordenadas e sféric¿s. I ste tipo dc coord nadas, l integrando.:, + y, + 2., s transforma cn ¡', y cl elomonto d e volumen,

COORDENADAS CURVILINEAS t47 rúfÉrte en r,vrrgdrd0dó (problemal0(ó). Para¡ecoüer Ia región del prim r octante,sc tian 0 y ,Jrf y s integra desde r :0 hasta¡: a; a continuación, manteniendo d constante, se in tegn desde =ltA:z/2y,ñnalmente,seintegrarespectodeédesded:0hastad:z/2,Hemosplanteadola ión en el orden 4 0, f, Wfo s podia hab r s guido otro orden cualquiora. o¿,¿o¿= r' sen0&dedó , ["" ["" J' <*rrr*n \ " I"n f^ f r=0 6=0 ¡=0 ó=0 8=O ¡-=O ' r["*,["""l *neli-oaeaq 1r/2 *n0 a0d$ ' = + J,'"J, 41roa -,o"o("o¿ó = + J"" =# J"""'r = rJI Fnq¡r¡ente, la integral representa el momonto de inercia de la esfera respecto del o rigcn, es decir, el momento rr de inercia, siendo la densidad de la esfera igual a la unidad. E¡ general,cuando se pasa de coordenadas rectangularesa coordenadas curvilfnoas or togonales, el cnto de volumen, dx dy dz, s ,du,

t¡ansforma e¡ h,h"h" dudu"du", o su equivalentc, t du,du

l+"a") E¡lo ./ el Jacobianode la transformaciól de x, y, z a ¡.¡', ar, ¿' (problemal3). deun sistoma demostrar jrÉlo a1, ¡/', a¡ las líneascoordenadas curvilínoo, vr¡r, V¡¡, tuefr, +,-h,Y i¡¡ son dos sistemas de vectores reclprocos. at \ lsip:q F Tcnemosquedemostrarquej; 'vu.: ' . " endondepy4pueden tomar los valo¡es 1,2,3. oüt -I ^ -; (vstP+q fr ticne, dr = 3r ¿u. * a¡au"+ ll ru"

dr, 7n" ., Multiplicandopor Vl, , {rrn V,1 'dr -du1 = tVur'*rl¿,, + (Vur' tVur'*l¿," a¡ a o bien, Vur ' = 1, vrr. A, = o, Vr,' ?,,. ?u" \nálogamente,multiplicandopor V|rr' y v¡¿s's

demuestranlas demásrelacionos.

rxmostrarque = r. {* #,.*}{eu,.iv",v,"} ar a' ar Segúnelproblema -AC, -ft VVu,,V¿¿',V¡rsson sistcfias recíprocosdc Yectorss Porlo tanto á, ", !¡ demostración s deduce del problema53(c), Cap.2. -r)

lrE COORDENADAS CURVIIJNEAS Es¡o rlsultado'oqüivalc a un tcortú[a dal ,¡cob¡¡so, a"! 3rr 3c1 dt¿r Oz ?¡2 4", ¡t. iq.9u2r.O*, b , ( r2t l¡t )a¡ dt ?: t'f,. 3skllg & ot Er e dcrte t(#th\ ¡, trúrodo cocrnrrsotprobt@¡13¡ ^ry#l t?. Democtr¡r quc cl oradndo dcl Gl@tto do lfnc¿ cn coordin¡das cunillnca¡ ra puodooxpnc ar por g3 ds2 = X X ,'L q'r +q '\hc Tcndrcmos, ¿t-g ¿u, * llt o +-dk r gd4 + &2 du2 @t ola ote Por lo tanto, dtz . ¿r.dr = Cr'c-du?+ Aa.q ¿ttLdt2+ gr.q d¿1iu3 + Q.Al du2til,a+ q.As duf, + Q.g d4 dus + ds.q d¡s de1 + Q.Q dasdu2+ q,drd": 3g E t*dgd,n , sioado = cr'c,q F q.L \q ).! " GRÁDTENTE, DTVERGEF{CIA y ROTAOONAL ORTOGONALES ^ TPy-^-* lt. Dcdr¡ci¡ls cxpr ciónV(Dcn coordc¡radas cu¡vilfn at¡ ortog6nato, Se¿ ViD = f¡cr+ foeo+.fs03 con t1,¿,/3 c¡aúsicnté a dctcrnimr.

como & = ao1 +ü 1 t $aoo* $ao" 'duz 'tsq . hlc/.tttr + h2e2 du2 + f,s c"dng Irsulta (¡) de . VO. th ¡.|.hdt4+ hfztbz + fu/edq Por otr¡ púrt!, (2' ae. *#or*.ffia,," ffia,r

COORDENADASCURVILINEAS Igualando(/) y (2), k lo tanto, r=1?E r= r3e ,-raiD'1 h,aur' 'z ¡, éu2' ," [ a,t . vé = pgg.p3É.e"g9ht dut hz du2 ' fu ?rg E¡¡ rclación indica la equivalencia operacional v = 33. g3 eo3 bt out h2 du2 ls du" ¡o3 s teduce al operador Ven su for¡u norrnal en coordenadas rect¿ngulars. bn u,, uo, u", coordenadascurvillneasortogonales. (a) Demostrar que lVuDl:h;r,p: 1,2,3. (ó) Demostrar que e, : E . ¡¡¡ SeaQ: ul en el problema18. Entonc s r": logam nte,haciendoé -u, y u,, lAu;1 : + ¡rt y y lVarl: le,l lh,:á,-r, lVu,l : h;1. ya que lerl: t. Aná&, Pord finiciónEr:#fr.**r"r,sepuedeescribirEr:hoAuo:eoqteesloquosequcrf¿demostrar. E¡ sidp. t.Iaostrar que er : ¿¿ á! v¿¡ x v¡/' y que e¡ y e" vienen dados por ecuacionesanálogas, siendo , ¿¡, oordenadas curvilíneas ortogonales. sesúnclproblemat9, %, = fr, V""=8, %"=;. Por lo tanto. V,, t Vu" = 9¿l 3" t --n, 4 = ll-t h" I et = hztBvu2t Yus Arálogamente,e, = AeilVu3xVul y ca= h]2Vu'xVur, lmostrar que en coordenadas curvilíneasortogonales ,lfti,rlII ,l I I I (d) v (drel) = th" 1á¡Vx 1l,e) = ja nI)n7 . ¡oálogamente para los vectores,4¡e¡ y,4s r. {1e,n,ts ¿(,{,¿,) -aus ( .e+ hthz ¡ *;tlrt"tl r Del problema 20, V' (l1el) = 9, qArh2hrix2xgu".¡ = VéIh2hr. Vr2'Vr" + A]2fug, qyu"xVx"¡ = gulhzhs).ff'fr.o = i6,n;'¡t.fr¿ = [f r},^u'tn"t' f;];e,t"r'")* fr f,*,tn", ]1a= hrr,rr," zí)éthzhdt r hzt¡

., /l

llt, COO ADAS CURVILINEAS 'E (ó) Vx (,tl"J = Vx ¡,t1Á1Vr1¡ . V(1Ár¡.x Vr, + 4hrVxVu.'. = Vq,rrl.¡rfr0 + = [; ftu,^,,*ftft
Vt,r = ,a\/¡a¿á -j.;üq al A1h1 A2h2 Ashsl 21. &(pr sar vlP o coordcnadas curviüncas ortogoDal s. ¿'lt .eo V,/ DelproblemalE, = +$-=$ ' h1 du1 h" da" ig a"a

COORDENADASCURVILINEAS i51 4,, r ?,y' = #r, i Ott2 hS óuC s ,r=9ú, Entoncesl. = 1 * , ,{s . * y, según

l Í oblema22,

"= v.¡ V .= V2!.t * f ¿ .h2h.a/ . a ,h.h, á! . a .i',¡, a¡,.l ,r¡"Lau,t," á;''¡¿t a",'' üt ," áil ^, I f A'n dS drvA=v.A = jH. r\, 19, Cap. 6), eipresar y 'A cn coordenadas @obleÍia a¡rvilftreas ortogonales. Consideremose¡ elemento de volumen lV c\ryas áñcnsiones, como se observan n Ia figura adjunta, n htAu,,h/q, h,Au¡ S an, A : lr e! + Are, + A, ety n el vector uni¡¡ io normal extcrior a la superñcie /S del elemento * volu¡nen Á V cit2do. Ei la cara JKLP la norm¿l cs r : -er. Por Io tanto, y aproximadamente,tendr mos Pf | | ,r. n ¿s = (A . n en el puntoP) (Arcadc .¡K¿P) JltP = l(1e1+ A2e2 Ase3).(-er)l + (¡2rka82a¡¡s) A1h2ha Au2&6 E¡la,(,¡ra EreE,b integral de superñcie es hzhsLr'2N1-, nrn"AarA""¡&, 4

{^<1, infinitésifios de orden superioru Ou, O^/.r¡. La contribución neta de estas dos caras a la fugral dc sup rñcic, es -sprcciando
COORDENADÁS CURV¡LD{EAS tt2 ú, A psrtL ds la dcñnición (rot A). tr = (VxA). n = Uñ I!! AS A3-o (problcma 35, Cap. ó), cxpr sa¡ V x A cn coordenad¡ s curvilfncos ortoSonal s. En prirncr lu8ar, c¡lculcmos (rot A) ' ct. Para cllo consider nos la supcrñcic S¡ normal a c1 Gn P' como indica y aclara la ñgura adjunta. Scan' A : ,{¡ c¡ * A¡9 * A¿e1y Cr Gl contomo d S'' En stas condicioncs t ndrcmos, 9 = l¡.¿¡ l^.r, , , /'^ ^.¿. .t ' .t f ^.r, f ^.r,-c,'P8ü It tc iticndolrs aprorinacion 3 f (I) J t.a, = (aenP).ltr&tcr¡ : (,1r"1 + A2e2+ Ascal. (¡24u2.2) = A2h2ü4. A2h2lrue + i Á2h2&t2¡ N. xLI^'"= oüi o bicn, (2) A2 h2 No + (¡z A¡2) A¡¡g l^'"= o¿3 ^2 LT AnálogampntG, I n.n Px o bion

(3) ¡tPt ^.n (4) = ,4s¿ea¡,s+ fi r,l"r" a,"l &" f ^, ,, Sumando(.1), (2'), (3), (4)s

obtiene

/")) 0UC, r.¿r = +(rsAs&3)&,Ou2 -ir (A2h2\udtNs ouo = l-: > 'l N"Lus [-trr,t"t"¡ ü6"hd ) despreaiandoinñnitésimos de orden superior a A¡¡, Az¡.

COORDENADAS CURVILINEAS

Dividindo por ol órcadc Sr qucv¿b á¿r'ílr. y h¡ll.ndo cl llmiic c-r¡rndo/r, y .¿rr ticodca¡ @ (rora)..r = 3*,r,^,,] * [*."orAnólogamcntolom¡ndo lr3 árcas S. y S. perpcndiculatcsa q y c¡ cn p rsp.ctivsmcntc, se ob ticm (rot A) . C y (rot A) . c.. For lo t¡nto el ncult¡do pcdidocs (rotA = -ft ,r"t"l] lt.,,n"t . fr[*t--n,tu-ft.r"^",] f,rGr }¿¡z hq I ^l ó o dl . ¡i fftt'"ta ftt"a'] " # ?n, 49 a* I hr/iL i2A2 bAsl

Al misnro tcullado s habrla llog¡do si hubiéscctoc considcr¡dosl punto P.comoccnt¡o dcl ó¡ro &; cl cálcüto !c rlalizarla dc fonna análoga a conn sc hizo cn cl problana 36 dcl Cap. 6. . Exprcsar on coordcnadas cillnd¡icss: (¿) V!D,(á) V'¿\ (c) V x A, (d) VS. En coo¡dco¡d¡¡ cillnüi<¡¡ (p,ó,¡), uf P,az.Ó.h.2; q', %=.ó, csaGz; Y L=he= r, hz= tó= P, hs=,'z. t (d)ve= iH" r ¿H" -iffi" i#"-i#"¿*i33"' $t . iS"'$o = #"[fi,r"^"ro t ln
-$ (,',,u,r) -$ (r'ro,,)] #"" [+(orur) iG1*,-#,5*^",f = sicndo A Apea+ Aóa2 + A"es, l.e, AL-Ap,4=Aó, AB=Az. h¡e1 h2e2 hseg ep Peó "z (c) Vx¡ = I hthrh" ooo ¡,'6¿;[ =! P oódú&r; h1A1 h2A2 hsAs Ap PA6 A2

COORDENADASCURV¡LINEAS ;[(# ]*^,,),. Q*-,*) , .(¡**,-%*) (/) v'Q = (*r).+(*#) # ['"'' .*(*n)] #",[#(ryr).*(T#).,*(ws¡1¡*Q#)'¡# .# 2t. Expi,csa¡en coordcnadas esféricas:(a) V x A y (á) V.y. En ostc caso,n1= r, uz=0,W-ói aL'e, e2=ca,cc=$ i ha--hr.l, h2ehg=¡,lo-h6=r*¡0_ ¡r", ¡r"o ¡."" ¿f ,a0 | scnác6 | (¿) VxA = t a a a aa a | ' I I h1Áol'" ?r, 3r" ?," (1,(')A*.8 E6e E | I I ,l haar h2a2 h.As A7 rA, r *^t'^rl F#[{$r'*'o+t-$c^¿l* _ _ $r,*oel't\,", . _ {# {*or,, *1,*oe"6] (ó,v'ú= .*(**) .*(*#)] dE[+(+#) =*#*.a[*(*r'#).#(=**) ,+(##)l =

,h[-"'*('#).#(*"*Y).* #] | t ?/"4''\ = --'\ t-*_ n.,1'rÍ) . t* # (*",uu). Fh ¿óo 29. Escribi¡ la ccuación dc taplace cn coordcnadas cillnd¡icas perabólicas. Dcl problema t (á), ¡r=¡, 42:¡,,¿o=r; hr=Gi-ro, ho. /71-oo, h.t

t COORDENADASCURVILINEAS l)) . vzry'= Por,otanto, ("."'#)] #,[*(*) *(#) -* 'rll =.--rr(*'#)'# : 0, o bi"n, b ecuación de Lapl"o É,/ "t fu.{+,q,",,,¡t! = o du2 ¿u" dz. E¡presaf en coordenadas cilíndricaselipticasla ecuación : xV'U de la transmisión del cal or por con-; ff tur ducción. i*fr u!=u, t'e=1),us=z i h=1. Por lo tanto, ll l,r=r,r=",,(ffi'f,llñiu¡, r t \ / \ / \'I ^ i"u l¿fryl 3lg) 3la{senh'z**.'",$}l ¿'(senh'?¡/ --a'\ d'I ) +sen'v)L¿, \¿,/ a, \au/ lfu 't!1 {4 c{senhta r sen'r,) | ?u2 a"2 J ' 7"'

y la ecuación p didaes y = *{ i*.*l-*} a, I a(senh'a ' * sen'v)L au2 ?r"J 7," I (OORDENADAS CURVILINEAS EN UNA SUPERACIE ¡. Demostrarque el cuadrado del el m ntode línea sobre la superñcier : r (¡, v) viene dadopo r ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdu2 d. = * Tendrcmos $a, $a' du du Por lo tanto, ds2 = d¡. tl¡ = +.+.h,2+ zS.*r,r, _ *.*r,, dtt du Ótt Ót) ot) ot) = Edu2 t 2F dud¿ + Cdo2 !¿. Demost¡ar que el elemento de área sobre la superficier : r (,J, v) viene dado por ds = ffi-fi ¿u¿, El clemento de área es ds = l+"*10",,= nfl$¡8,,.,ffi,,,, = l,$n",',$n,,1 ld¿ C¿ | ld¡ dul f El radicando es (problema 48, Capftulo 2) ,*' -,*'P,,*'*, = Ec-tr¿ queesloquesequeríademostrar. Pr,*'P, du du du du óu du dv du

COORDENADASCURV¡L¡NEAS

PROBLEMAS DTVEN,SOS SOBRE COORDENADAS CURWLTNEAS 33, S a A un vector dado resp cto de dos sistemasde coordenadascurvilíneas (¿¡' lrr, ¡¡) y (¿ , ú'). relación entre las componéntescontravariantes dc dicho vcctor n ambo8sistemas. Las cuacionesde transformación de las coordenad¿sen un sistem¡ r ctanSular(r, y, z) a las (4, u., u.) y (úr, at út¡)vienen dadas por I 1rlt'ltu2tus,, f r"4,¿2tt4l, z = = 2 = 21(ut.t4.t4\ (¡) I x = xlí¡í2,tsl'¡, | = fz(út í2,ís\, ¿ = ¿z(ít-U,ía) En estascondiciones, habrá unas fórmulas Oetransformación ¿irccta d l primer sistema(n,, n ', ,¡¡) al (rr, ¿',¿.), (21 ¿1= ¡1(4, ü2,üo), u2 = ulí¡i,2,ísl , ¿e= k(4' Q, üs) y r cfproc¿mente.De (1), tt¡ = tsr,,* = d.1dq + d2 du2 + Q tlq ouL *"n*' #uo* ¿¡ = +_ d¡1 :! díh + * d-u" = úadi1 + d2 ¿:u2 + d3 dl\ o¡l¡ Ou2 o¡&. Por {o taDto, (3). d1du1 | l'2du2 + Qd4 = dtdú + l2d12 + d¡a'u" Dc (4, dxl = #',*S'a.ft''" a",=ftaa,*fta"r*t rtrs=ffr',*Hr*-*r* Sustituyendo en (r) o igualando los coeficientesde dü1, d¡2, dEe de los dos , seobtien a1 o,#.oH. "# (11 d2 t*, .c"H ",*, . ús ,*" d"* "'*' Ahora bicn, A sopucde expresaren los dos sistemasde coordenadaspor

(5) A = Cttta + c2c2 + csl y a = erdr+Qd"+d3d'" siendo Cr,C2,Ca y dt,dz, Qhs componentes de A en lo3dos sistem¿s. contravadantes (4) en c1d,L + c2b + c3c3 = Qd,' + d' d. + c-nd' ?u' -?¡. -?¡,. ?¡" -?¿. -?¡. -?¡" -E* -? lL. =-+ q=--+ Ca= + ++ qC" i--q * . =--+ C2=--i=-) ,ttaor*aü*t"d -dlir ?¡" dE2 -ó83 frlc' *
-a-. t COORDENADASCURVILINEAS tt7 b tantor cr = ¿"9 ' e"g ¿r*: --d% dí, c2 ¿,*: . r,*,,r"* En" -?so c. -'ót, ; -'c"3 dlt óEs aÉ ¡br viadamGntc, ?u^ ?u^ -?¿^ c^ C1--! + . ,,t * ,"t P=r,2,3 ó¡tI t daYlr nás compacto, 31 oub | = ^ = = l'2'3 Iul P ¡i. "c l. y-"-q ffloganonte, p rmut¿ndo las coo¡dqiadss sc d duce 31

ñ er P = L'2,3 -I.rt? "rO Los resultados anterior s nos llevan a adoptar la siguiente definicíón. Si tros magnit udes, C¡ G, C¡ en r sistema dc coordenadas (ub ut us\ están r lacionadas con otras tres Cu Cu C en otr o sistema de coorde " {'( (¿r, q, ¿¡) por las ecuaciones de t¡ansfornración (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitud s llaman comy'oa ¿t de un vecto¡ conlrarariamte o le tor contravafianle dc primer orden. lEolver el problema 33 para las component$ contravarianles de A. ñ lresentandolas componcntcE covariantos Ae A cn loo sirtemas (¡1u2,ue) y (4,t¡4) po r c1, c2,ca y Z_.;2,¿ , resp ctivamcnte, A = c1iu1 + c29u2 + caVq ;r 9Í, + arVa, + á.E¡ Ahora bien, ü¿= 7.llt!,u2, rro) con 1,2,3,p = | ¿,ptüI :,, \t au1 -+ lz a¡1 -+¿r ?n,, -+ ?: d, ?,, oul t dt ?u, ?¡, ?n2 ot, 6; oul ¿" 7a áq of ?12 ot a% ot ab ol 4," b ?u3 úf ?q

út 4"3 P = 1,2'3 También, ir) c19u1+ c29u2 + ca Vr6 = <",$*",$**$¡, +rc1$+r$-*$y * (",* * ",$ * ""$r. iI .. ; .).

l)¡' COORDENADASCURVILINEAS ?Et at, ¿t3. rr-!r-.. (4\ clvu!+ -cavus = (c1'-+¿2t+cA5;)¡ -c2fu2+ -* <ar**a"p*;"p¡¡1a,$* a,p *;"$¡ of ol ol oz 02 02 Igualando los coeficientesd

l, r, k en (3) y (4),

?un ous -dz = ar$.;,p -ca = * ",p * ""$ ox ot o, ou ?¿, ?¡" ?u" otk = (s) c1 + C2 Xi tcg tr+ u2-e"13 =-of of¿r ot ot oy ?¿. 7u. E¿. EE" c1=-_ + c2:iE,Yir+ -dz oz o2oz o2oz -^ Sustituyendo las ecuaciones(2) con p : I,2,3 en una de las ¡osco ficientesde gtt. 9. 9.91". 9"".fu, k, + ssobtiene deambos,

cu¡lciones(t c igualando

¿,' ¿" ' 4' 4' 4' ¿, dz dz Ottt _ ,-& ova ou! ottl ou1 -""+ (6) ou2 ou2 ov2 Otta ou2 _ oue cl i--c2 <-ca ou! ola Qua _ quesepuedcn scribirenla forma (71 e.F * 7^ !2 a tn # p= L,2.3 "f dui o bien, 3 r ; ou^ --J P 1,2'3 -9 Análoga¡DÉnta,sc deducequc ?,n

(e) el t 3&t p ú 1'2,3 Los r sultados¿nteriorcsnosllcvan a adoptarla siguientcdsfnición. Si t¡esmagnitudes,c,,c r,c. sistema d coordenadas(zr, ar, ¿¡) están relacionadas con otra!¡ tres 6r,¿'r,é, cn otro siste a de (ú\ ú,, ú,) por las ecuacionesde transformación (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitudes s ll aman de un vector covarlanle o tensor covafiante de primer orden.

La generalizaciónde los conceptosde estep¡obl may del problem¿33 a un espacio así ard lisls tensoriql, Cap.8, procesl asi como comocomo la lala d l d ld l concepto conceptoconcepto de dede vector, vector,vector, la lala veremos veremosveremosen enen el elel ardlisls tensofiql, Cap. 8, En EnEn el elel procesode t conviene emplear una notación concisa que exp¡ selas ideas fundamentalesde forma abrev iada, ' sin embargo, que aunque la notación s distinta, los conceptos básicos que se expon n en el Cap, t Intimamente relacionados con los de este capltulo.

COORDENADASCURVILINEAS l.) Detnostrar que en coordenadas generales (¿h, ¿2,4e), trr tp gB fes g* 931 8s2 siendo 6rn los coeñcient$ de dn, dn, en ds. (Oroblema l?). e) Demostrarqueel elem ntode volumen encoo¡denadascurvillneases {i ¿o,au,au,. (.) Del problema 17, 7z (J) s.. = 4¡. d^q = ::1_.=t-= 3a3a-¿3L. 7z P,q = r'2'3 'Ps Y éup }un éup }uo }up éu, Teniendo en ct¡ nta la fórmula dc ta multiplic¡cióo de determin¿ntes, at a2 03 A¡, Bt a2a2+ osAs otBr+ a282+ ca83 o1 c1 + r,2c2+osca l"r^r+ ba b2 b3 Az Be c2 = b2A2+ úAs btBl+ b2B2+ bs&s \C\+ b2C2+ bsCa l\41+ cL C2 cg As Bs c. c2A2+ c"As clBat czBzl. cgBs cLcT+ c2C2+ cacs lcLAr+ E¡} 7, oul ?r1 Eu1 .?r ?¡ .. ?r ¿ ?¡ 4é, (=-..-_^=_, i otaa ou2 oug ouz é"2 7u2 a" 47, oue Er6 ?rr3 ?¡U?z ?z ?r ?r ttt ttz ttg ou7 our ou1 Oul Ou2 dus

?" Er ?¿ } U¿t tzt tz ta 7u, ?'u2 7u2 ?u1 Eu2 ?rr3 ?¡ ?r ?¿ 7z 7z 3z tat Ep tsg ?q E6 ?le ?a1 ?u2 ?ug (ó) El clcmento de volumen viene dado oor ar= .
lóo COORDENADASCURViLINEAS Problemas propueetot l,as solucioncs dc cstos Problcmas propucstos ñguran al ñn¡l dcl capltulo. 36. Enunciar y trazar las supcrficics y llncas coordonad$ dc los sistcmas: (a) c illndricas elípticas, (ó) y (c) cillndracas parabólicas, 37.T¡¿nsforrn¡r las coo¡dcn¿das (a) *férbas on rcctanSularcs, (á) csfé¡icas cn cillndricas. 3t. Exprcaar on coordcnadas csféric$ los lug¿r s gmnúricos siguicntcs: (a) csfcra .rr + y' + zr : 9 (c) paraboloidc z : x'* y' (e)planoy:¡. (á) cono,r : 3(¡¡ * y) (d)planoz=0 39. Sicndo e, l, r, las coordeo¡das cilfnd¡icas, cnunciar los luga¡cs gpo¡rétrlns quc sc i ndic¿n y hall¿r su sión cn coordcnad¿s rcctsngular s:(¿) o :4 ¿ :0; (ó) e :4; (c) l : tl2; (dl {: t43, z :1. Sicndo z, v, z las coordcnada! clípticas y a :4, cnunciar los luga¡ sgponréhicos,quc se indican y exprcs¡ón rn coordcnadas rcctangulsrrs: (o\ v: nl4i @) u:O, z:0; (c) uoln2, z:2; (d)v:0, z:0. 41. Sicndo s, v, z, las coordcnad¡s píoUOli""", rEprcs nt¿r las curvas o rcgiones siguic ntes: (a) u:2, z (ó) y: I, z =2: (c) l3u 52,2 Sv =3, z:Oi @) | < u<2,2< v<3, z:O. a2. (a) Hallar 106 v cto¡ s uniarios c,, c¡ y c¡ dcl sistcma dc coordenadas csféricas cn fun ción de t' t' l¡. (á) Exprcsa¡ i, L k cn función do G,, cc y ea. 43, Rrescntar on coordcnadas csféric¿s al vectorA : xyl-,úl * 3.r k v hallar lascomp oncnles,l', ,,1, ¡14, Dcmost¡ar quc cl sistem¿ ds coordcnadas csféricas cs ortogonal. a5. Dcmostra¡ quc los sistcm¿s dc coordcnadas siguicntos son ortogonal s: (¿) cilfnd¡icas parabólicas, (ó) dricas cllpticas, y (c) Gsfcroidslcsachat¿das. .: 4ó. Dcmctra¡ quc i, = 9crr*n0ó"ó, ée = -0%+ ce9Qc", i¿. -son/óer-coa| 47, Exprcsar la volocidad r y la acelcración ¡ dcl movim¡cnto dc una partfcula cn coor dcnad¿s at, Halla¡ cl cuadrado del lcnento dc llnca y los factorG dc Gcc¿la corrÉspondicntd cn cl siste¡na dc (a) pataboloidalcs, (á) cillndricas cllpticas y (c) csfcroidalcs achatadas. o. Hallar cl c¡aÍrcnto de volumcn dy cn coordenadas (a) paraboloidal s, (ó) cillnd¡ic¿s ellp ticas y (c) 50.En el sistcña d coordenadasesfc¡oidalesalargadas, hallar: (a) los factores dc osca l¡, (á) cl elemento rnen dY. 51.Hall¡¡ los factores dc cscala cn cl sistoma dc coordcnadas: (¿) clipsoidalcs, (ó) bip olarc,s. 52.Hallar cl clcmcnto de árca dc un volu¡lcn elcnrntal on cl sist ma dc coordcnadss: (¿) cillndricas, (ó) y (c) paraboloidales. 53. Dcmostrar que la condición ncccsaria y suñcientepar¿ quc un sistema d coordonadas c urvillneo gonal os quc g¡{ : O pa|a p + q.

COORDENADAS CURVIL¡NEAS tól a\-l !L Haffa¡ el J¿cobian t t (i!r r) c¡so del sistcma de coordenadas: (a) cillndricas,(ó) csféri cas,(c) cilln ^ "l dricssparabólicas, (d) cillndric.s ellpticas, (e) csfcroidales alargadas' fff . sllaltar J J { xt * yr dx dy dz, siendo / la región limitada por z : x' 4 f' y z : 8 -(xr f rr). ! IÍd. : Emplcar coordcnad¿s cillndricas, lA Hallsr el volurnen dc la mcnor dc las rrgionGlimitadas por la csfcra¡' + yr + z' : 16y el cono zr : ¡¡ +.r,¡. t. Emplcándo coo¡dcnadas 6féric¡s, h¿llar cl volunrcn do la nr¿nor dc las dos r gionG limitadss or una csfcra de radio a y un plano quc la corts a una distancia ¡ dGsu c ntro. ]l (¿) Enunciar las superficics y ¡as lfnes coordcnadas del sistcma ot% xt-y. :2¡&c¡sa¡ Xl :htanu¡ z: u. (ó) Dcmostrar que dicho si6t m¿ es onogon¡|. (c) Hallar el Jacouiano "r{-Il4) d"t fnirfn o. (d) Demo6

I u¡,4, u¿ | trar quc l¿ry r¿r cstán r lacionadas con las coordcnad¡s cillndricas g y á y detamina¡ las cc ecionB de tr¿nsformsción, Hallar l momentode imrcia do la rcgión limitada por x'-y':2, x'-y':4' xy: I, xy:2, z: I y z : 3 rüpccto dcl eje z considerando la densidad const¿nte o igual a (. Ind.: Hacc r ¡r -/' : fui, xy : v. Ar Ar A. Halfar -fr, -ú,-6G, vubau.,vu. cn coordcnadas: (¿) cilfndricas,(ó) csféric¿sy (c) cillndri

cas parabó licas, Dcmostrar quc, en dichos sistcmss, er : Er, ei : E , .¡ : q, S a le transformación dc coordcn¡das q : xy, U : x' + y',.u.: z. (a) Dcmostrar qu stsñ¡ conls

cl si

pondientcnoesortogonat.(ó)Haltar el w"ai*o t (ff,fr). (c) catcuur ar'. t Halla¡ viD, div A, y rot A en coordenadas cillndricas parabólicas. Expr sar (a) Vv y (á) V 'A en coordenadas esféricas. Hallar v¡u en coordenadas csferoidales achatad¿s. a¡ó aó Fscribir la ecuación -: é en coordcnad¿s cillndrica ellpticas. oy' Exp¡ sar Ia ccuación do Maxwell dc clcctromagnetismo,v x E:-1S esfe¡oid¿les "n "*rarn"das alargadas. . Exprcsar la ecuación de Schriiedinger de Ia ri cánica cuántica, vry * <,-v(x,y,)\,p: o cn coorY denadascilfndricas parabólicas, sicndo zr, lr y E const¡ntes. Escribir la cuación de Laplac cn coordenadas paraboloidales. 2r¡ Erprcsar la ccuación á : xa'U en coordenadas esféricas sabiendo quc U

s indcndiente de (¿) d,

(ó) óy0, (c) ry t, (d) í,0y t. ll¿ll¿r cl elcmento de lfnce en una esfera de radio a. I Dcmostrar quc en todo sistcña dc coordcnad¡s cu¡vilfncas ortogonal, div rot A : 0 y ro t gr¿d Q : 0. I I .i, .l

COORDENADASCURVILINEAS 72. Domostrarqu el área de una r giónR de la sup rficie r : r(4, v) s J,J /Ec-|" dudo. Como deducir el área de la superficie esférica. 73. Demostrar que el vector de nódulo ¡ normal a la superñcie r : r(¿, v) viene dado por A -1p(?,:!x #)/r'Ec-F2 74. Enunciar la transformación x : x (u, v), y : y (u, ,¿). (¿) ¿En qué condicion s las líneas coordenad¿sü, v son ortogonales? 73. Sean(¡, y) las coordenadas r ctangulares de un punto P cn el pla¡o xy y (u, y) las de un punto O en el (a, v). Si x : ¡(s, r) e -y y(u,v), existeuna coÜespondencia : entre los puntosP y O y, entonces, un es la imagen del otro( a)Enelcasodeque.r:2u+vey:u-2v,domostr¿rquelasrectasdelplanor¡secorresponden lasdel olano ly, (ó) Hallar la imagen n el plano ¡¡v dcl cuadrado limitado por ¡ :0, x : 5, I :.0 e.v : 5 en el plano (c) Calcular el Jacobiano .l IIJ I y demostrar que es igual a la relación de áreas e nre el cuadrado y su " \u,vlen el Dlano ¿v. 76. Si ¡ : L@ -v'), y : uv, hallar la imagen(o imrigenes)en al plano ¿v de un cuadra do lirnitado por x : x: l, y:0,.1 : I en el planoxy. Tl. }J'all¡t las condicioncs que d bencumplir F y G para que ) (ft | | e-s(r+y\ F@rG(r)d,¿r t .-"' I I F@tc(.-u\¿u¡dt . ) \vo , -o Ind.: Aplicar la transformación x+y:t, ¡: udel plano¡/ al planov/. El resultado es imp ortant t orla de la transformada de LaDlace. 7t. (¿) Si x:3ut.*uz-ut, q*2u¿!2u", hallar los volúmenes del cubo f: z -2ur-u,-ug, porx:0,x:15,y:0,¡:10,2:oyz:5ydel cuboimagenen el sist ma de coordenadas largs¡r¡,4$ t¡r. (á) Relacionar el cociente de estos volúmenes con el Jacobiano do la transfoí¡ración.

79, Sean(x, y, z) y (ur uz, u"'l las coordcnadas rectangulares y curyilíneas,respe ctivamente,de un mismo (a) Six : 34 + u2-u",y : u, + 2u2+ zubz:24-u' --uz, detetminar si el sistema ¡lr l /r ¡r¡ es (ó) Hallar dszy g en cste sistema. .(c) ¿Quérelac¡ónexisteentre esteproblema y el anterior? 80. siendo¡:ul+2,y:ut+uz,z:¡j-¡,hallar(¿)sy(ó)olJacobiano./:##h Comprobar SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 36. (a) u : ct y v : cz son cilindros, elíptico e hiperbólico respectivamente, cuyo eje es el eie z. z: planos.(Fig. 7, páe. 139.1 (b) u : c, y v : c¿ son cilindros rectoscuyasintersqccionescon el plano ¡/ son circu nforoncias de en los ejes y y x, respectivamonte. y que se cortan ortogonalmente. 'Loscilindro s ¡r : cr p¿san lospuntos(-a,0,0) y (a,0,0). z : c¡ son planos(Fig.8, pág.140.) (c) u : c, y v : c' son citiodros parabólicoscuyasinterseccionescon el plano xy so n parábolas perpendicularesentresí con sus vértices en el eje. z, aunque a distinto lado dcl ori gen. z : c, son (Fis.ó, pás.138.) Las lineascoordenadassonlas interseccionesde cada dos superficics coofdenadas,

I bba¡ I t, ,d cer I todos F coax |on,pla COORDENADAS ló3 CURVILINEAS t/ r, +y, y .:\/rr+7+z', v : arcn,g--I : arctag ;-, ,:t/-p"TV, O: arc.tasI -2 ¡:3, (b)0: nl6, (c)¡s n'0:cosd, (d)0:¡lZ, cf pfano/:¡ está fo¡mado porlos dos semiplanos l:5¡14. ó:nl4y Circunferenciaen el plano xy, x' t !' : 16, z :0. (á) Cilindro xz * y, : Ió cuyo cje coinciile con úe z. (c\ El plaro yz siendo y = O. (d) La **ta y : 1/j ¡, z : I siendo ¡ E 0, t ] 0. Cifindro hiperbólicox.'-y. : 8. (ó) La recta queune los puntos(--4, 0,0) y (a, 0,0), es decir, ¡ : ,, : 0, z : 0, siendo --4 < f = 4. (c) eripse ,, , :2. (d) La porcióndelejox dcñnida po r fi + 'U : >-4, y:Q,2:gParábolay!: *8(¡-2), z:0. (á) Parábola/¡ :2x * I, z:2. (c) Región del planox/,limitada Fr las parábolas y":--2(x-ll2), y": -8(x -2), y' :8(x ]-2\ e l¡: lE(¡ +912) incluyendo el .ontorno. (d) Como en (c) pero excluyendoel contorrio. n5 t v u--<-7 (d e,: se-n0cosó'l + s n0scnCl +cos0k ,il.rV ,,ñ

ut : cos0cosdi +cos0sen d!-sen0k -{ : ec -senCi +cosói-ll? (ó) i : s n0cosCs, * cos-0cosd o-s néec j : s n0ssnl , + cos0s n{eo + sosCeC ¡ : cos0e.-s n0eo_ A,ei * Aees+ ,'lc e¿ siendo 2iséntdsen-dcosC-rscn0cas0s n d + 3rs nrcos0cosó 2rsen0cos0s n -0cos{ {cosd-rcos'0sen d 3r sen' -2r sen 0s6nr ó -rcos0cos¿ v.et + voeof v6e4siendo\: i, eo: ¡0, vo: rsert9ó a.e. + aoeo* a¡e¡ siendo a, : i -it' -r *n' 0 ót, ld ao:; fi Q'o)-r s n 0cos0d', f s tl t all (s) ds. : (u' + v)(du' + dt") + u'v' dú', h' : h, : I u" * v2, ht,: uv (ó) ¿' : a'(senh'z* sentv)(da' + dv'\L.¿"2,h4: h': ay'EññülliÑi, ¡, : t (c\ ds' : a'(senhrf + sen'?)(d6'+ d?) + ¿'!coshrEcos'qdót, he:h,,: + sen"? áó:¿cosh4cos? ' "y'senh'e (a) uv(u'1vz)dudvdó,(ó)¿'(senh'¿Isenrv)dudvdz, @ G#!#E 9,(a)he:lo:ay'senn e +sen5, /¡c: asénh sen4 (ó) qt(senhr6 + sen¡?)senh senq dE drt dó

16.I COORDENADASCURVIL¡NEAS t2. (o, p ¿p ¿ó, p dó dz, dp dz 1E¡rsend d¡¿ó, /sene ¿e¿ó, ¡d¡d0 (c, (C+*\ ¿urtú, uouGE tudg, uuy'EF drae $' (¿\ p, (b, P*n7, e\ u2+n2, (d) o2(senh¡a+ scnty), (.) ¿r(senhré: + sonr?¡senhf sen4 e*nQ-/i, 0". 'f15i' + hsr IJs. (c) l; -¡-rz. leas-b2h "6. B kl\ q = rp2, u2 = 2ó tg. 2K 60.(,)g cos@t + ss¡l! ¡, vo=# op = coe{t+scn{¡ D¡ -ps nó t + p cosój,, Vé = -sendl+ c6é, aó ?¡ ¡ p t. V" = E, a¡ (ü) = ?r scnácos{ t + senásen@J+ cosá t a. ¡cog? cos@l + r coal sanej = od -r sendt ?¡

-rson, son@t + ¡sená cosé, aé = 9¡ tl+ft+ ¿a " '@ = sonsonaá coa{qosÓt| + ++ s0 seló, + coEpt ve = coadcosét+cc-dsenó, --senbt ##E##! vó = -t,*g = -senó | + coEó, t'+ l-¡s0 G)+=¿l+er, orr #.-o,r,r, *=. 9, " "++:j, v.,=-o=r,+-"1, úz v,=r !'+ u2+u2' sr.(b,;L-., *: vo= #""$o -#*#"o'#"" dtvÁ = *.1] (d-* (/7*-,'t') ^"¡' ! ] * rotA= #t{* -}1,e;,"a)l /F-*,".u -{f 1,4;;^,)_*l a;a." , l*,@o,,)-* (rdr¡^,)l""f

COORDENADASCURVILINEAS l6t ¿lr aú raú ! ,.) Vú . T"'*i¿eV**Aa6"t 't)V.a = 4!v'+l * -l.= ^!-^lscná1o',,-)-= ! r' dr t*trd dtt -rs n' @ o"' = .r""*E<*"1*g-*"", St"*rteSl t? a¡r. ?t'lt (co6, ¡--, t' + ¡--t o2coaz¡(senh'f + sen'z¡¡ ?4o11 a2cosh2( cos27?$2 o1 = ¿{sonh',¡+s nrv)
¡ ",* ="[Étu,#,,vh$<*"a$r] +.Y-.!1 ,',* = t"r,.ne$<s"na$r^2 ,, = n 6'¡! 6¿!¡" "[i *"'*,] w ilsz = a2la02 + *n, e ¿4,2f rr¡r*P. PP = o oI Ou dtt dn ¡, (o) 750, ?5; (ó) J¡.obiano: l0 ll (o) No. (b) ¿C = l4¿tÍ + 6¿u2+ 8 dn"2 + Bdurtluo 6du7¿ts+ g¿ae¿üs, ,=l0O tl (a)g=!6u2ú2, (ü),l 4¡¿1¿g =

Ca ítulo Anólisistensoriql LEYES FISICAS. Las leyesfísicashan de ser independientesdel sistemade coordenadas seutilice en su formulaciónmatemática.En el estudiodelasconsecuenciascü. i,cderivande esta diciónjuega un papelimportanteel andlisistensorialde enormeempleoen la teoríade la geometríadiferencial,mecánicateórica,elasticidad,hidrodinámica,teoría del electromagnetism oy otroscamposmuy diversosdelas cienciasy técnicasmodernas. ESPACIOS DE N DIMENSIONES, En un espaciode tres dimensionesun punto se por porpor un unun conjunto conjuntoconjuntode dedetres trestresnúmeros, números,números,llamados llamadosllamadoscoordenadas, coordenadas,coordenadas,que quequelo lolo determinan determinandeterminancompletamente completamentecompletamenteen enenun sist de referenciadado. Por ejemplo,(x,y, t),(p,ó,r), (r,0,{) son las coordenadasde un punto en sistemastridinensionalesrectangulares,cilíndricasy esféricas,respectivamente.Por ana logía,un en un espaciode N dimensionessecaracterizapor un conjuntode N números,que nombrare mos (¡\ ¡f, . . . , xx), en donde l, 2, . . . , N son saperíndicesy no exponentesde potenc ias,locualhade se muy en cuenta en todo momento. El hechode que no sepuedanrepresentargeométricao gráficamentelos puntosen un espacio dirnensiónmayorgue tres,no quieredecirque no existan. TRANSFORMACION DE COORDENADAS, Sean(.rr,:rt, . . . , xN)y (ú\,i2,. . . , ¿N)las nadasde un mismopunto en dossistemasde referenciadistintos.Supongamosqueexisten, lV independientesentre las coordenadasanterioresde la forma iL(r\ , x2, ... , rll ) 'T ,2, .,., xx ) (l ) -2(r1, -l -2 -,y\ -ltt-.

o más brevemente (2) zl = i\rt,*,...,rx¡ h = r,2,...,N Todaslas funcionessesuponenuniformes,continuasy oonderivadasasimismocontinuas.En estas diciones,a cadaconjuntodecoordenadas(ir, ú2,..., úN) le correspondeun únicoconjunto(¡r, x', ... de maneraque (3) ,h = r\21,¡2,...,¡x) k = 1,2,...,N Las relaciones(2) ó (3) deñnenlasfórmulasde trunsíormaciónde coordenadasde un sistemade cia a otro. ró6

ANALISIS TENSORIAL coNvENIo DE suMAcIoN DE Los INDICES REPETIDOS. Al esc¡ibir unaexpuresión de brma ar.x1I a2x2*--.lqNxN podemos emplear la notación más breve y cómoda 2.o.xJ r crnbargo, todavía esposiblemayor brevedad y escribirla suma anterioren la forma a,x,. adoDtando onvenio de que cuandoaparezcaun indice repetido ha de entenderse una sumarespect odel mismo el valor I hasta ¡y', a menosqueseadvierta lo contrario expresamente.Esteesel coni enio de sumación bs índices repetidosdebido a Einstein..Esevidenteqre en lugar delíndicej puedeconsid erarsecualquier o, por ejemplopr como en la expresión arxp. -lodo indiceque se repita en un términoi mplica-una respecto de él y se llama. a veces, seudoíndice o índice umbral. Un indice que solo aparece una vez en un término dado se llama índice libre y puede tomar cualrvalordeentrelosnúmerosl, 2,...,N,comoporejemploelíndicekde(2)ó(3),acadaunode cuales corresoonde una ecuación. ¡i dtr t\ ''A' = L¿r ¿ P = 1,2,...'N ot --? bien,teniendo en cuenta el convenio de los lndices repetidos, Ajt = ¿rt ,c ¿rc ^ r flaman componentes de un vectorcontravarianle o tensor conlravarianle de prime r orden(ptoblemas33 ¡ 34 del Cap. 7). Si.rYmagnitudesAr,/",:..,1¡¡enun de coordenadas sistema (xr,x2,..., xN)están¡elacionadas aotrasNmognitudes.4,.4¡,...,Ayenotrosisteria(it,t2,,.,,iN)mediantelasfórmulasdetr¿nslm ación x 7 = | 9.t: a p = r'2'...'N

'-t L¿ )=r "q -¡ dx'l , = Ab ño li¡ ' ox' : llaman componentes de U'rL veclor covañanleo tensor covariante de primer orden, Obsérvesebien que los superlndices indican componentes contravariantes,mientrasque los subínIces se refieren a las covariantes excepto en la notación de las coordenadas. En lugar de hablar de un tensor de componentes A' o AD nos referiremos, en gener al,al tensor l' a 1,, respectivamente, por no haber lugar a confusión alguna. TENSORES CONTRAVARIANTES, COVARIANTES Y MIXTOS, Si N¿ magnitudes .4o" en m sistema de coordenadas (xi, x', . .. , xx) están relacionadas con otras N2 magni tudes ,4'r en otro sist,nw (ñ1,ú2,...,:rx) mediante las fórmulas de transformación x ]t :LT ^_¿gJj--t' A =rle4 L/ p,r = 1,2,...,N l¿ A-Y dt

ANALISIS TENSORIAL El ángulo 0 entre dos vecto¡Es ,1, y 8¡ viene dado por COB á ,[FAr,7l) COMPOI\¡ENT¡S FISICAS DE UN VECTOR. Dado el vector AD o 1,, llam mosA", A, y ,' sus proyeccionessobre las tangcntes a las llneas coordenadas.Si el siste¡na curvil lneo de referenci¿ ortogonal, est¡s proyeccion sson Au-GiA' = = ,*r' = = A,= {6;A" #s_, Av #,, a Anólogamente,las conrponcntes ffsicas deun tensor Atl o Ar. vienen dadas por las fór rnulas guientes: ar Ap ArB . _ .12 , t__ ,B Ar* = g"{e = , AyU= {6rrt-A , Aut = v6o6sa 6tt v6st* -t6tts SIMBOLOS DE CHRISITOFFEL. Lasexpresiones , 7gr, atq, Tclq [pq,,J zl---.t 2' drc + dr, . -?/rr ' {"1s"' lpq' rl t Pc, se.llam¡n slmbolotde Chriitoffel de tres signos de primera y segtnda c/ar¿ respectiv amente. ¿utoresen lugar dc la emplean{p4,s} o f;.. Estarlltimaformasugiere,sin ".m0" {l"f} un caráctef tensorid a los sftnbolos, lo cual no es ciefo en gÉncral. LEYES DE TMNSFORMACION DE LOS SIMBOLOSDE CH STOFFEL. Designando una bara encim¡ a los símbolosexprcsadosen el sistems de coordenadasit, se verifica: ?rt éxQ ?xr ?rf é" ,9

; * , Í¡*,.) r^^ éoQ """ ¿zJ ¿zh ¿-,tt' ¿E ¿71¿v* {;} ={;}Y.##,.### que constitu¡renlas leyes de tr¿nsformación de los simbolos de Christoffel. Se puede o bservarquetransfoÍnan como los tensores y que, por lo tanto, no tienen ese carácter, a rnenos que los seg términos de los segundosseannulos. LINEAS GEODESICAS. La distancia entre dos puntos tr y ,¡ sobre una ourva x,: x,(t) espaciode Riem¡nn viene dada por fL / ,b,o = " J''-/c'oft "t d' :

------.-,_,,' ANALISIS TENSORIAL bien, aquella curvaen el espacioque pasando por dospuntoshagamlnima la distancia entreellos líneageodésicade dicho espacio. En el cólculo de variaciones se demuestra (problernas5 0 y 5l) ecuación diferencial de las líneas geodésicases ,1" r' l' | ¿rt drq *'\pq¡¿"8 rde s indica el parámetro de la longitud de llnea. Las geodésicasen el plano, por ej emplo, son y las correspondientesen una esferason arcos de círculo náxinoDERMDA COVARIANTE DE UN TENSOR. La derivada convariante de un tensor ,1, resde ¡", que llamarcmos ..1r. ¡, se define por 7An 4 = ..?,q --: 7r9 {;}," on tensor covadante de segundo orden' l¡ derivada covariante de un tensor,{t r spectode.;ro,que llamaremos,{',q, se define por tr #. {;"}," un tensor mixto de segundo orden. En coordenadas rectangulareslos símbolosde Christoffel son nulos y, por tanto, las derivadas tes no son otra cosa que las derivadasparcialesordinarias. Los result¡dos anteriores se puedengeneralizara las de¡ivadas covariantes de tensore s de mayor Por ejemplo, ...P¡ ¡ ¡Pr "' Pr -"f t"'f' ot' sl /P1,..P'i I

l)nIni::;""''" \r,ql ^"',"''i 1",){..'"-c . + ... + '" 10,)eri:..,,,1;;)eirl.it 10,|,f_li-. h derivadacovariantedel tensor ,1f...ij t"tn"",o a" "". Las reglas de derivación covariantede la suma y producto de tensores son las misma sque las de ¡aciónordina¡ia. En lo quese refiere a la derivación, los tensores gpo' go0 ! ó2 son const antes,ya que derivadas covariantes respectivasson nulas(problema54).Como las derivadas covari antes expresan dice o cuantía de la variación de las rnagnitudes físicasindependientemente del sistema de referenquese utilice, son de gran importancia en la fo¡mulación matemática de las leyes físicas. Y TENSORES ALTERNANTES' Definamosel sírnbolo

p{' por las relaciones

sIMBoLos : ezsr: e.t2: * l, e¿rs -- taz:?s¿t: -1, eoc,:0 si dos o másíndicesson iguales, y.análoga

.iii-Uóió e*'. eiroJsí¡nbóios, pués, son iguales a, la unidad positivasi la permutación de ín es 4 i:1 h' I f"' f:

ANALISIS TENSORTAL es de clase par, la unidad negativa si dich¿ p rmutación esimpar, cero si dos lndicese l menos 8on Los sfmbolos e¡¡, y ¿4' se llaman slmáolos alternantes e¡ el espacio de tres dimensiones. Más adelante definircrnos y'¿ ,pqn= ,fQ' t ft%r, "ftr Se demuestra que ra' y r4'son tensores covariante y contravariante, respectivamcnt e, y se denor tensores alternantes en el espacio de trcs dimensiones. Por l¡ltimo di¡cmos que espo sible gcneralizar conceptos a un espacio de ruis dimensiones, FORMA TENSORIAL DEL GRN)IENIE, DIVERGENCH, ROTACIONAL Y 1, Gr¡dlente. Sea (Dun escalar o ilvarisnte; el gradientedeé sc define por VO=gradé=C,r=# en donde é, , es la derivada covariante de (D respecto de .xr. 2. Divergcncir. La divergencia de z{, es la contracción de su derivada covarientc respecto esto es, la contracción de A0, q,En estas condiciones dtvAt = At,¡ = ou, t *rr¿ 3. Rotrdon¡|. El rotacion¿l de I oes -= -un tcnsor de segundo 4,s +, # $, También se puededefinir el rotacional por -eñ Ap,a. 1. I^rph¡ittr¡ Comola laplaciana del escal¡r é es la divergencia del gradientedeQ, =t*
6A^ ¿A^ Et dt l,,I*# Análogsmentc, lAp ¿A' = E¿ ¿t' li.lr# LosvectoresI' o At se traslailan t Lo largo de la curva si sus derivad&s absolut aspor clla r spectivamente. No hay dificultad en generalizarla dcrivasión absolut¿ o intrlnsecs s tensor s de mayo r

t --"R ANALISB TENSORIAL L/) TENSORESRELATM Y ABSOLI-rTO. rJntensortrP-t"'! se llama tenso¡ relativo depeso w s i'7"' n oomponentes se transforman de acuerdo con la ley. t' |}xlu ,et"'qa ¿74, ¿¡9¡ 7{t ?{" "1"''¿ ^\...h;Á '' Ia;I ;4 ar", " ."", lr-I J : el Jacobiano de la transformación. Si w: 0 el tensor se llama aósolaro y es el tipo de lff I del que hernos venido hablando ahora, si lr: I el tensor relativo seconocecon el no¡nbrede üd tensorial. Las operaciones de adición, multiplicación, etc., de los tensoresrelativ osson análosas definidasperatensoresabsolutos(problema64). Problemas regueltos DE SUMACION DE LOS INDICFS REPETIDOS F¡c¡ibir cada una de las expresiones siguientes teniendo en cuenta el conyenio de su mación de los fndices rlp tidos. ., ¿ó.. aó.^ ?ó,r ., ?ó,¡ ío)cl@ = : dx. + rdz. + .,. + ¿tt_ ot -ot' ' }rJ t s=h )¿k Ack t-e t-t Aíh ¿r1Í díb (ó)"-:-= L=-+ ::_'-:_ . _ &h ¿rñ dt ¿t da ¿. ¿.

¿x1 ¿t ¿r2 ¿rr ¿r¡ (c) ¡x1f + 62f + ¡rs¡2 + ... + (rx)'. ,h ,h ., i.2 ,, o.2 (d) ds-= tí(ar-) r gDlax-) + gotdxs\2. d.s2= thb¿rh¿rk, N=3 d{ 33Añ (¿) > > tA^dr' dr' trodz'dil , N=l dt' ?=1 q=I Escribir todos los términos de cada una de las siguient s sumas indicada. t io¡ o-rh. = orr'1+ ot." + t "...J ?=,"iu'u JI xon Ir O\ANf 2 AódA' = A¡1A' + Ab2A' + + Ap¡A' son r"r n='. 4"= 'o$fi, I ordeL

t76 ANALIS$ TENSORIAL 3 3 , ^iot¿ 7rh -'.s ¡1' n1t 1a{;, a;s 3 ^i-. -i-ox" or' of o{ -t. gl, + gJ"94.9X_¡ ,!r'Ei, ar- ¿t" ¿r. ¿:"" ' e. &"' ?¡r ?¡3 ?¡1 D11 6zt{r air-ars a."" ' %.arr a*" ór' Dxs 7* +,:= ' o121-'' 4r* h'ñ ot&s &' ¿f . ?¡1 ?¡3 7x2 ézB ?ro ?"3 st"p toñ . go ' ' X" a¡" art ar" 3. Scan ¡*, k :1,2,,..,1\¡ las coordenadas Para 1V:2' 4, hallar el lugar r ctangul¿r s. 3 y N= querepr sent¿nlas siguicntesexpresiones.S suponen quelas funsiones son uniformes, con ti¡uas o indep ndi Nrt s,cuando ¡c¿ necosario. (a\ a** : l, siendo a¡ constantes, Para iV : 2, a,xr t (er, : l, una r cta on 2 dimo .nsiooes(cn el plano). P¿r¿ /V : 3, qxr + a,Jr' + a$t : l, un plano en 3 dinrensiones (en el espacio)' Para iV l 4 aúr + a¿c'*... * ayxM: I esvr hiperplanoQ(anosn el spaciodc N (b) ** :1.

P¿¡t N :2, (¡)t * (¡)l : l, una ci¡cunferencia de radio unidad en el plano. Para 1V: 3, (¡)¡ * (x')' * (¡)' : I, un¿ esf ra de radio unidad, Para N ¡ 4, (¡r)¡ * (¡')¡ +, . . * (¡n)' : l, u\a hipetesferu dE radio unidad,

(c) * : *(u). ParaN = 2, ¡r : ¡1(¡), .rr : ¡¡ (rr), una curva en cl plano, dc parámetro¿. P¡ra 1V : 3, rr : .rr (r), ¡' : ¡r (r¡), ¡' : ¡' (¿), una cuna en el ospacio do 3 dimonsiones Para 1V ¡ 4, una curva on cl apsciode ,lVditrrensio¡Fs, (d) x*: * (u, v\. Paru N :), xr : xL(u, v), x' : xr (u, t)esuna trsnsformación d coordensdas de (r, v ) a (¡r, P¿ra /V: xr(a, v), x.: x.(u,v),xr : x' (u, v\ es una superficie en el espacio dg 3 3, -r1: s¡ones, do parómotrosz y r. Par¿ ,¡V¿ 4, wn hlperwperfcie. VECTORFÁ Y IENSORES CONTRAVARIANTES Y COVARHNTES. 4. Esc¡ibir la ley do t¡ansfornacióndGlos tensorcs 1"¡ lio, 1t¡ Afi, rc\ Ct . rio,' (o) "úo##^i, Par¿ rccord¿r la tr¿nsformación, obscrvemosquo Ia posición rclativa dc los lndices 7, q, r , en d niemb¡o os el mismo quc on ol scgundo. Como estos índicrs están asociados a las coorde nadast y I ccc t',1,*, lo cstán, respcctivament , a los r, C, r, la transfomación p dida sc cscribc sin diñcultad.

ANALISIS TENSORIAL t77 ¿tl ¿iq ¿xt éi l,h o^n (ü) 8n-"¿= "¿¡a ¿," a"" {-¡ ¿¡" Ñ 7¡? ,t óP = @\ ¿,'" Una magnitud A(j, k, l, n), que s función de las coordenadas xr, s transforma al pas ar a otro sist ma dq coordenadasi¡ de acuerdo con la hy ? -= o¿4 0+ 4 At¡.t A(p,q,t,s) .¿,^) ;í ñ;l ¿,r ^\t,8, (a) ¿Esun tensor dicha maenitud? (á) En caso añrmativo, escribir l tensor con la notación ad cuada, y (c) decir sus grados de contravarianz¿ o covarianza asl como su ordgn. (a) Sf. (á) Af'^. (") Tr s veces contravariant y una vez covariantc con Io que su ord en s 3 + I : 4. Determinar cuál de las magnitudes siguientes es un tensor. Para aquellas que lo se an establ cer sus grados ! . ),{ /-' 16'¡ 99J1;t:Z) de contravari¿nza y covarianzaasf como su orden: (a) axh, ' árR (a) Consideremosla transformación de coo¡denadas ¿/ : d(xr, , .. , ¡9. En estas condicio nes. d¡' : atr ft con lo que dl es un tensor contravariante de primer orden, es deci¡, un vector con travariante. Obsé¡vese quc la posición d l Indice k es la ad cuada.

(ó) En la transformación xe : ¡¡(6\ . . . ,6"), 6 es una función de ¡* y, por tanto, de ¿, de forma que -C("',. ó(xr,. , , , xN\: . . ,;rv); dicho de otra rnanera,es un escal¿r o inv¿riante(tensor d e orden cero). 24 A0 ¿ó a* Axk A{ Por la regla de la derivación parcial de una función de función, : -a¡ : : -Ar¿

á ag art Ait e* y aó setransforma en Á| : l*. Yor lo tanto, a) es un tensor covariante de priner orden, es fr fi' fr

decir, un vector covsriaDte. Obsérveseque en + el índice stá en el d o@rin¿dor y quc, por ello, actúa cono subfndice dist nI -or aó j4, jj. tivo de su carácter covariante. El tensor o el tensor cutmscomDonentcsson , o el g rudientede f) a(x' ó y se escribe en la forma grad d o V C. oJ(. Dde3 ; I Las componentes de un tensor covariait en coordenadasr ctangular ssonxy,2y-z', ¡2. Hall ar sus componenles covariant s cn coordenadas esféricas. Sean ,{¡ las componentes covariantes : z. Enton@s, (8-49)

n coordenadas rectangulafes xr : x, x' : y, xt

A, = zy = a7a2, A, = 2y-22 = 2"2-(f¡' , As = xLé cn donde no deben confundirse los superlndiccs con exponentes. Sean d¡ las componeotes covarianles en coordonadas sféricas ¿r :.r, Er :0, ¿' : ó. Entonces , A¡ "J ¿;h

ANAIISIS TENSORIAL Las fórmul¿s de aansforu¿ción entre ambos sbtcmasdo coordenadas son ¡¡: ¿¡ 8 n t¡ COStt, : 5r l8n tr S n t¡, x¡ : ir 666 5r 'r En estas condiciones,las ecuaciones(1) dan las componentespedidas ,A, : dxt -AAr A,n 1xr -ñn,+ 1xr an,A, : (sentr cosr) (¡rrr) + (s n¿rsonr)(2¡._(¡)) + (cos¿r) (¡t¡) : (8 n, cosC)(¡r s6n¡s nCcos l) + (seD08 nC)(2rsen0senó-rrcosrO) { (coc0)(r¡ sen0coc0cos ó) , : 0x, Ax' 0x. -ñ -56 4 * -56 At ^, ^,-t: (rcos0cosd)(rr s n¡0s núcosC) + (rcos0s nC)(2¡son0 sen /-rrcos¡0) + (-¡ sond)(r. sen 0 cos0cosfl , 0x, , Ax. Ox. Ar: -aF A+-aF A,+ az,A, : (-r son d sen{) (rr san. d sen{cos {) + (¡ son 0 cosó)l2rsengsenó-r'cos.0) + (0) (¡¡ sendcos0cosC) e. Oanostrarque ff no es r¡nt nso¡a p sardeque,{, es un tensorcovariantedeprim rorden. Por hipótosis, ,, = . De¡ivandorespectode ¿k, S # ¿4 átt ^2á =:--; ¿h dar F' gzr¡ ao ¿,Q ZAp &q I ^2 1-D 1-¡ "2

TzJ óxq ¿¡,h dA¿ d{ d,1 é" ,f + + t. r-l--i "P ¿:| ézh¿ns or o4 Ahorabieo,como en ol sogundo mi mbroaparecendos términ *, ffi * s6 transforma como tonsor've¡emosmásadelaoto(problema52) cómo añadi ndoa una adecuad¿ ff -'gn¡tud el queesun toinsor,

ANALIS¡S TENSORIAL t79 t, D mostrar que la velocidad da un fluido ariantc de primer orden,

n un punto cualqui ra es un tensor contrav

Las componcntcs dG la velocidad de un fluido en un punto son en el sisteuta dc c oo¡dpnadas ¡¡. En $ el sistem¿ t, de referencia la velocid aa Abo¡a bien, según la r gla de derivación de una función "s ff. de función. ?:J ¿,h = 7; ¿rh ¿t de dondc so sigue quc la velocidad citada es un lensor contravariant den o r cto¡ @ntravarisnte r! I'ELIA DE XRONECXDR. .t 4f bq 10.Cafcular(a) ti- A) (ü) ü 5_ ' g , " s q r' A Como Ei : I sip : 4y0 sip + 4,sotien ot alot{= e!,. ot$ol. al = # tl. Denosüaf que AA sie=r, S= t como ¡'= ¡t, ot o como¡2 Y rq son indopendir:ntos. "iúc,#

de primer or

B*oooo &l = t2.comprobarque = * ## L¿s coordenadas ¡, son función dc las coordenadas t¡ qu , a su vcz, depcnden de las coorde nadas.d. Por lo t¿nto, según la regla dc dorivación parcial de un¿ función de función y teniendo en c uenta el problcllra I I podremos escribir, ¿,1 ¿,1 ¿za _ _ At -r }xr Aiq ¿{ r¡. siZ/ = aq Aq= "o orovn,qts fl ¿{ = multipliqu mosla ocuación r. ¿8 ñ'

ANALISIS TENSORIAL Entoncca,como hcr¡os visto en et probtem¡,r,V^ = Aq = tí lq = ¡tquc os lo YY ¿a?^/ 7z? 7"e sequedademostrar sin másquehacer r : 4. Estc hecho mu stra queen las fórmulas de trans fortnación las componentes dc un tqlsor las m¿gniü¡des con bara encima y sin bsra son pemut¿blcg r su ltado I puoded mostrarsaon general. 14. Comprobar que 6, es un tensor mixto dc segundoorden, Si d?os un tonsor de ase tipo dcbo tra¡sform¿¡sc doacuordo con la loy :j &i ¿'c ! o¡ = ;j tJ% Ahora bien, sc8útr cl problsm¡ 12, el s gundo miombro es 44 = 6j , .o.o Q:aL: I ¿J ?'t, J : k, y O sí I + &, s daduce queó, cs un tonsor mixto d sÉgundoorden, lo quojustifica,p or otra noiac¡ón empleads. Obsérvescque, a vcces,usa¡cmos la función ó¡e : I si, : q,y 0 si p + q coño uúa delta de Sin ombargo, Nr est¡ forma no ¡epres nt¿un tonsor oovsrisnte de soguado orden como con la aotación virios sl st¡,bleccr su dofnición, OPERACIONESFT'NDAMENIAI,ES CON IENS'ORES. 15. Comprobar4r ls suma y dif.rcoci¿dc lo0 tcNrsorls 4s y ry cs ot¡o tcoior. Por hipótes4 Af y 4" son tonsorcs, lwgo -lhd d¡h d,, ,tc Ai ñññ" -8J: H &h Arr ^N = ñ{,rlr+ bs ba Suusndo, úih,e!i¡= 44 Oz' (+ ++, drr dra ñ

_ih _ih tq 0q &J &h lsr R stando, = (Ar B;) (a; -B;t Orr ót1 ai, Se d duco, pucs, que ,lE * ,ry V Af -4 son tonsor s dpl mi$no orden y tipo qus los d adoc. : f6. Conprobar qw Q Al 4 cs un tansor suponiendoque ,{1" y 4 lo son.

:---El '¡ ANAlrsn TENSoRTAL l8l I sonros dc ras conponentqs productos de rog f#::""H#,componentes -" | -."T.1p;Ti:ff::ff":.li T--r,i,= '--r ###^1, E:=##* I Murtip,ic¿ndo,= ,{q I #y_###^1,,; r t : que demuestrael carácter tensorialde ,{lqrÍ , I de quinto orden,contravariant en los lndices p,4, J, y cova rianteen r, f, Io qu dalusara la noraciónClfs. EstE es et prcductoextemoCtr' : ,{lvdf de los tensoresdados. :; I r o. *a AD,!,un tcnsor. (a) Haciendot :, ;ffi;f d mostra¡queA!,ao,conel conveniode los fndices r petados,esun ,i"*;r}a"tir"s"en es? (ó) Haciendor:py r:q demost¡ar,análogamente,q.e Al¿,os un iensor. r I (a) Como l3l esun tensor.

(1) I rik= ####"-**^l:, I Hemosde demostrar queAllt 6 un tensor. Igualando los lndicasj y ¿ y suma¡dorcsp ctod o é1, te¡dremos: I I ¡{lt t =###"##^l'", I T-r;i;" ====";"' I I tlr#:s¡:l,ti:;itrtit:t ti:j:tr.l:itr,3 :f,.J#ii"tffiü.*r*1,xH"1i.ffiifl,!t*T fi"tr¿l: I tmcción. El orden del tensor contrafdo s dos unidades inferior al d partid¿. ¡¡' I (r, (a)n:¡v¡z:*vsumando *#Lt"lTTgS'ñÍ,f,*".*_""*"*:"_u'"'_"** | -

ANAIISIS TENSORIAL =ih ¿ii ¿rh ¿r ¿,s d,t ,lS A:-= tel a,l aJ a;¿ 6g ^rst ¿rt ¿;j ¿rs ¿rk ¿rr ,lq "',st Ei ;? ¿-;haq tr = tJ'i#^l'", = *u,^1.t, lo quc indica quc ,4á s un tcnsor dc pri¡nÉr orden que podcmos llamar C'. Obcérv sc quo por una dobb contracción, so f ducc el orden n cuatro unidadcs. It. Domostr¿rquc la contracción do[trDso¡ l¿ es un essalar o invatiant So ticne rl I =##^i HacicNtdo/ -ft y sumando, | -=Ar ##^i = 'inl b1 I Dc la igualdad A-t : AZ & sigrJf- quo ,l! os un invariantc. Como ,{¿ es un tensor de s gundo orden y h I contr¿cción rcspocto de un soló fridice dbminuye el ordcn d dos unidades, hcmos d ñnido un invaria¡: o eScalar como un tcnsor de ofd n cero. 19, Dom$t¡ar quc la contracción dcl p¡oducto cxtcmo dc los tensor s ,1, y .8. ee un esca lar o invariante. c-rlñ A, y 8{ son tcruor s, Por lo tanto, ,t=#}, \.#", a -1 -dEJ

A-B. ^á-a Ot ^t#^"0 ¡ Por contracción (haciendo* :j y sumando)rosult¿ ,tE,= = tf,^r'o##¡r ^',0 lo quc indica quc ,{r& s un invariante. El procesodc multiplicación exrema de dos t eqsor$ scguida de contracción s llaria malt,pllcaclón lñterns y su rcsultado¿rodrclo inra¡no de ambos.Como ,l trr es u¡r sc dcnomina producto escalat d los vectorcs ,{, y ¡r. 20. Dcm$trar que todo producto intemo de los tcnsores ¿l! y 4" cs un tGnsor do tcr car orden. Producto externo de A! : Dl'. y ff Ai

ANALTSIS TENSORIAL l8l Contraemosrespecto de los índices p y ¡, es decir, hacemos f : p y sumamos.Debe resu ltar como producto interno, A! B!', un tensor de tercer o¡den. Por hipótesis, Al y Bl'sol tensoresy, por lo tanto, =Ln ar¿ ¿t ¿rt -qs ----)--E+ ., ?;k Multiplicando, haciendo ¡ :j y sumando s

obtiene

A;Ít >-t t rlí'i =J "t at, aJ ; arh qs b -t :!r' P ^rñ b -rbÑ ¿ab' .a-t nbqs.A R ;-o)-c ; <; ¡ r-f ¿."f lo que indica queAIBX'es un tensor de torcer orden. Por contracción respecto de lo s índices 4 y r, o bien, ,ry r, del producto,498Í' se demuestra, análogamenrc,quetodo productointerno es un t ensor de te¡cer orden. Otunétodo. El producto externo de dos tensores 9s otro tensor cuyo orden es la sum a de los correspondientesde los factores. Por lo tanto, A!fi' es tn tensor de orden 3 + 2 : 5. Como po¡ una co n¡racción sc disminuye l orden en dos unidad s, el orden del lansor A!4' es 5-2 : 3.

21. SuponiendoqueX(p, q, r) es una magnitud tal qre X(p, q,r)Bf' : 0 cualquie¡aque sea el tensor ffo, dcmostrar queX(p, q, r) : 0 idénticamente. Dado quBfn es un tensor cualquiera, podemoselegir uno particular,por ejemploel d e q :2, ¡ : 3, con una componente distinta de cero y las demás nulas. En estas condiciones, X(p,2 ,3)s?:0, y como a¡' t 0 se sigue queX(p,2, 3) : 0. Este razonamiento se puedehacer de igual forma con todas las posibles combinacionesde q y de r, de donde se deducequeX(p, q, r) : 0 como qucriamosdemo strar, ¿. En el sistenra de coordenadas x¡ una ¡nagnitud A(p, q,t) es tal qte A(p, q,r)4' : Cj , siendo ,4' un tensor arbitrario y C; un tensor. Demostrarque A(p, q, r) es un tensor' En fas coordenadas transformadaslii' l(i'k,Dl:^ ;i J >:i )=1t A-r qs -ó ^ W# Entoncls, A(j,k,l\ ? U1. =; P Ot-Ot' Ox ¿vJ ^*.o,ut'; q5 A(i,h,t) 8; ¿in fATh ¿'r -4 uo,o,u) =o a"" L¿"c;7 l. I I I I I I J

tE4 ANALISTSTENSORIAL El productointerno ro, ff {es4."1., multiplicar por I cont.ae.l.,eeo haciendo m : ,) es $ ,l [$ $ rri,r,o # ^*'''uf ": =0 [## t,'-','4 n*'n,,r)#: 0, o bien, Ahora bien, como Bfo es un tensor cualquiera, según el problema 2l t nd.emos. !!k a'" A" .4(1,É,1)-j ,ttp,q,,1 : 0 ao __, cx af. cr, \q \-' El productointernopor 9]_ 9-" proporciona ot' ox h. n -A-P A-q A¡.n ó1,bLA(i,k,t\ _ e@,n,,\ = o áJ ar, f,¡ ra r-. Ax ox^ó Ax ,. = A(i,n,nJ A\p,q,tl -_? oa ox' o bien, -= a otJ -. lo que indica gueA(p, q,r\ es un tensor y queda justificadala notacióf] A'Dq. En esteproblemahemos establecido un caso pa icular de Ia/¿y del cocienle queexpres aquesiel producto inte¡[o de una magnitud X por un tensor cualquiera B os otro tensor C, la magnitud

en cuestión,X, es u¡ tcnsor. TENSORES SIMETRICO Y HEMISIMETRICO. 23. Si un tensor ,iÍ¡' s simétrico(o hemisimétrico) ¡espeato de los índices p y 4 en un sistema de coordenadar dado, demostrar que no se altera su ca¡ácter de simetfía (o hemisimet¡ía) respecto de los mismos índic!¡ p y q al pasara otro sistema de coordenadas. Como solo intervienenlos indices p y 4, demost¡aremosque e¡ issultado de Ia transfor mación es 8-Si Braes un tensor simétrico, ,r4 B4r. Entonces, ¿iJ ¿tk ó :; D-b,l -. con lo que B,a es simétrico en el sistema t,. Por otra parte,si Br¿es un tensor hemisimétrico.Bra: -Bor. Entonces! Biu._ ü!ü3uta = _¿i':É1 ,0, = _Ehj djró A,o ó.q ?,t con Ia queB¡aes hemisimétrico en el sistema ¡'. l-os rcsultados antcrioresson válidos, asimismo.en el caso de otros tensores simétri cos(o

ANALISIS TENSORIAL 18' Demostrar que cualquier tensor se puede descomponer n la suma de dos t nsor s, uno de ellos siméttico y otro hemisimétrico en una pareja de fndices covariantes o contrava¡iantes. : Consideremos, por ejernplo, el tensor 8r.. Tenüemos, I = Bls ¡1alq* aú¡ * ¿@fq-eql¡ Ahorabien, ¡19 =;@fqraq'') = i9l es simétrico, y s'q ¡Gfu-69y')= -s9y' es h"-i"imét i*. Por análogo razonamiento se llega a la conclusión de que la propiedad es válida para c ualquier tens.

SiendoQ : an AtAk, demost¡ar que siempre es posible escribi¡ é : b¡¡A,Ak en donde ó.,&es simé rico. é = tj ,th = on]Ah,tJ = onj,cjth "31 Entonces, 2+ = oja.li lh * oo,lJ lh = (d.h+ or¡ ei lh y O = !to¡¿+ oh.\ Ai Ah = bjn ai th ; con Io qu b¡n = I@ o¡¡) = ó¡-es simétrico. ¡u+ I I producto I .Y,es un Hallaf la suma S : A + B, difcrenciaD: A-8, y p¡oductos P : ABy Q:81, de las matri ces -3), tíii) = ( : -; B = ^ \-z | -rl s' {+B= =

(;tí ?ii-íl;)Lt i i) D=a-B lión es I'4. (j:r ?;i -ir) G ; -t) (3)(2)+ (1X-4) + (-2Xl) (3X0) + (lX1) + (-2X-1) (3X-1)+ (1X2)+ (-2X0) I I p= AB = ( tlxzt*(-2x-4)+(3x1) (4X0) + (-2X1) f (3X-1) (4X-1) + (-2X2) + (3X0) I \(-2X2)+ (lX-4) +(-1Xl) (-2X0) + (1X1) + (-1X-1) (-zx-r) + (1X2) +(-rX0) I o 3 -t\ I = I (rs -s -a) \-9 2 4l t I I -3\ I o= BA = l-r2 -4 e l ' \-t -sl " i Se observa c6mo AB + Bl, es deci¡, la multiplicación de matrices no goza,en g neral, de la propiedad conmutauYa. bimétricos).

ANALISTS TENSORIAL 2?.siendor * A2-82. = (-l ;) r, u = (-; -!).u.*,-.0""(r+B)(r-B) ,-'= (: :). Porrotanto,,'.urr,n-'r ':) )(:-r)(-: =(l 1 ^-''(li), ,'=(-? ;) l)(-:l)=E:) n=fl-;)ft;)=(-; Entonces.{2-82 = (-i r;) En rcsuú n,(,{+a)( A-n¡ ¡ Í -Bt , Sin embargo,(,{+a ) (A-R7 = l2 -1pr31-tz . 2t. Escribir en notación matricial las fórmulas de transformación d un: (a) vector covarian te, (ó) toBsor variante de segundo orden, suponiendo .lv: 3, (¿) Las ecu¿cionesde transformación*n nr= ooques puedenescribire¡ la forma $ (ilffiril() eD función de vectof s columna, o bien, en función de v ctores ñla /a;. a" a;\ @,t2F¿= (ara2r",f # # # l \ss*:/ puedenescribir en la lala forma # (ó) Las ecuacionesde transformación," = ,0"." foma ""E ,, a* a"\ l¡" ¡' ¡'\ E\ /," ," ,'"\l+ v,

/g -¡u^ ¡ a/ a/l ;r &2 &3 1 üu ;-;-;'"lf 7 6,"ñt l'^''"""1f###lf zt ?/22 ars I \¡-,.*,.*/ \## #/\,"n""n-l\H xs *}rs }rs I Es posible generalizarcstos resultadospara N > sup rior,sin emb¡ 3. En el caso de tensor sde orden sup rior' notación matricial no s pucde hacer.

ANALISIS TENSORIAL ELEMENTO DE LINEA Y EL TENSOR METRICO. Si ds, : g¡kdxtdxk es un invar¡ante, demostrar que gft esun tensor covariante simétric o de segundo ordcn. Segúnel problema 25, é: /st, at : y'¡i y Ak : dxki por lo tanto, g/& puedc considerars esimétrico. Por otra Darte. como dJ'es un invariante, E drb dzq = z, d,id,,h , ,-4 dreyd = ,-Vü ,4 ----ójh ---"pq----"jh ¿rt Zzc "rt¿rt ¿rc r-i ¡-l Entoncesárg= t¡, r,r un tensor cov¿riante simétricode seSundo o¡denquese denomina # ffiV "t tensor métrico o tensor fundamenlal. Expresar el tensormétrico en coorden¿das:(a) ciltndricasy (á) csféricas. (¿) Comoen el problema'1,Cap'1, d{ : de' + e'd{' + dz' Si¡,: p, x¡: ó,x': z resultaS¡r:l,3|¡ : pr,A¡!: I' Cr.: gn :0' g.,: s¡¡:0, g$ : ar': 0' /rr, ,,, ,,"\ /r o o\ El tensor métrico matricial to r,o | É ol enforma cs = It,,-[o a", ao/ o 1/ \a", \o (á) Como en el problem¿ 8(a), Capítulo 7, d{ : dr' I f d0' + rt sa '0 dó'' \ o o lr \ Si 11.r,t2= e,f =Q el tensor métrico es O t" 0 I | \o O '2xn'á/ En coordenadascurvilineas ortogonales en generals : O para i + k g8l Ear 8!2 = los elementosde la segunda ¡ila con sus cores

(a) Desarrollar el determinante 6 t21 g22 g.'-lPor gss 931 932 I oondientesajuntos. (ó) Demostrar q\tegtkc(i, k) : g, siendoG(.r, t) el adjunto del elementog/* de& y en donde la suma se efectúasobreel índice k únicamente (¿) El adjunto de g/¡ es el valor dcl determinant fila y la columna a los

que-res-"ltadeg, ('),suprimiendo la

' ' que perteneceii elementogir.y (2) anteponiéndoleet signo(-l¡i*t' *ot consiguicnte, ^., t -trsl, = Adjunto des-. = (-1)"'¡"ra Adjuntode tn 1-r¡2+2lt:t:"1' ' -D2t '-"' " I tsr 6sol S""1 trt tt"l lg", = t"t gnl LlamemosG(2,|), G(2'2) y G(2,3) z tos adjuntosanteriotgs,respectivamente.En esta s condiciones, ol desarrollo¿ei ieiirminanti por los elementos de una llnea, segunda fila en nu stro c aso,es s^GQ,D + snG<2'2\+ g* G(2'3) : e Adjunto de6 (-1)2+"

I88 ANA .IS TENSORIAL (á) Aplicandoel resultado de(¿)a cualquier I r o columna tendremosgi¡ G(, k) : g, en d onde la sumaci@ se efectúa en el índice k solamente, Estos.jsultadosson válidos aunque I : iglr sea un determina¡: de orden N. 32. (a) D mostrarque g¡, G(3, l) + enc(3,2\ + slr C(3, 3) : 0. (á) Demost¡arque sk G(p, k) : 0 s\ j + p. gpzl -1r -12 -13 | (¿) Consideremos el determinante t., t.-t-l."l que es cero por tener dos filas igu ales. Su por los elementos de su última fila es nulo, e,,G(3, l) -L s*G(3,2,I s¿,G(3,3)= o (ó) Igualandolos elcmentos de cualquier pa¡ejade líneas (ñlaso columnas) se demuestra, c omo en el tado (a), que gik G(p, k) : 0 si j * p. El resultado es el mismo aunque el deter minante que se sea de orden N. G(iak) 33. Dennimos ,* : siendo c(j, k) el adjunto de g/r en el determinante g : lg¡k | + O. Demostrarque gr¡ grk : óf. Por el probl ma31, tn 999: I, o bien. gr* gi¡ : l, en donde la sumación se efe.túa en el C( ñ I¿\ Porel probfema32, g¡¡ JlJ!--: 0, o bien, g¡¿grt : 0 si p E l. Entonces,g/r g,¡(: I síp: ¡, y 0 sí p +j):61. Hemos empleado la notación git sin habe¡ dernostrado su validez, es decir, que g/& e s un tensor variantede segundo orden.Seestablece,no obstante, en el problema34, Obsérvese quee l adjunto se ha en fa forma GU, Í) en lugar de Gik, ya que no es un tensor en el s ntido usual (abso luto).Se demuestr-¡ es un lensor relativo contravariantedo pesodos y, en consecu ncia,con esta general izacióndel tensorqued¿justificadala notación 6r* (problemapropuesto152). 34. Demostrarque¡'iftes un tensor contravariante simétrico de segundo orden. t, Como g,* es simétrico, C(./', ¿) también lo es, y lo mismo l ocurre a e¡r : G(j, k)lg. Si 8, es un vgctorcontravariantecrbitrado, Ba EoqBo es un vectorcovariante, Mult iplicando

resutta! g¡q Bq : giq goq B' : ó1"Bp : Bt o bien gte Be : P , AI ser 8q un vector cualquiera,g,4es un tensor contravariante de segundo orden, según Ia ley del EI tensorgrfts llama tenso nétrico conjugado.

ANALISISTENSORIAL Expresar el tenso¡métrico conjugadoen coordenadas:(a) cilíndricasy (ó) esféricas. 100 (¿) S gúncl probloma 30(¿), t = 0 p2o 001 adjuntodeg,, I P,O ñ2 01 adjuntodcg,¡ _ 1t0 I tn2 01 ^2 adjunto de g¡3 I 10 -= c op2 adjunto deg¡r 00 =0 0l Análogamcnte,gi&: 0 sil + k. La, matdz del tensor métrico conjugadoes o o\ It vp2 ol Io \0 o rl (á) Según l problema 3O(ó),I = Po sen!d t 00 l=" 0 0 É s ne el Como en (a) sededuce =I'*= 1r,

6 gk :0 pa:raj+ k, y en forma matricial sepu deescribir f*n'9' 0 \/P ( 00 10 ,,L) Hallar (a) g, y(á)gr¿ correspondientea ds2 = 1kfuL\z+ g(dr2f + 4Gi3)2 -6drldr2 +4dr2¡lé. 5-3 0 (o) gu=5' tp=3' %s=4,8e=82!--g' t =8e'2, grs=631=0.PorIo tanto,g: 32 -3 0 24 (á) Los adjuntosG(/,&)de 9Á son G(1,1¡=6, C(2,2) = = 20, C(3,3)=6, G(\,2\=G(2,1\ 12, C(2,3)=c(3,2)=_10,C(1,3)=c(s,1)=_6 Entonc s,911=2, =3/2, gp=tz=3, t2=5, f t^=*-_S/2, CB=fr=_S/Z Obsérves que el producto de mat.ices(ai¡) por (gr&) es la matriz unidad I. es decir. :,,.{',) ('i1(:," (,,)

r90 ANALIS$ TENSORIAL TENSORES ASOCIADOS. 37. Si At : gre,{r, demostrarque A. : gtrAr Multiplicando At: g*Ak por g/c resulta, gh Al gL g,k Ar : 61At : lr , cs dccir, A.:gk4 o bicn Ak:gk At Los icnsor s de priner orden, ,{¡ y ,l* s Y contrava¡iantes de un r, ctor.

llsman osoc¡adot. Rr sentan las componcnt s

3E.(¿) De¡nostra¡qúeL. : gr.ADA. 6 un inva¡ianlc. (ó) Dcmod¡ar que¿z : gmAeAa. b) Seá;n4 y ,{¡ las component$covariantcy contravariantedc un v ctor. Entonc s, ¿iqAh 4 -4^,, rq ?,i ,;f = = a!,t,th. t,ri ##+¡ con lo quc l, /, 3 un invariantc que llamsmos ¿t. En cstas conücio¡¡es podrcn¡os cscribir, L, = aini = = 6rotr,tq thtbtl (ó)Dc(o), ¡'= t, ,l -, chlA¿.dÉ tl \= ,ft trtn. t,a m¿gnitud 6calar, o invariantc, ¿ : l rl" ,lt *llañ^módulo dol vector de componontes tes,{, y contr¿vadantes /. 39. (c) Si lr y 8r son do6 vccto¡ s, demostrar quc 8,r{ ,,lr r. cs un escala¡ o invari antc. (a) Po¡ el Droblema38.l? n. = f tlqo-0 = glqAbE-oes un ¡nvanantc. , ,f nq (ó) Como ADA, y BaBeson invariantes, tsmb¡én lo es, con lo que +r{t U '1t? cs un escalar. '@ trlrnq Defnimos coeI cono el coscno del áagulo entre los vectoresAo y 8. SagÑ ADBa: ADB, : 0. dichos vect or s ia ortogonales,

ANALISIS TENSORIAL l9l Expresar las ¡elaciones entre los tenso¡es asociados siguientes: (a) Atkt y ADqb (b) A;1 Aek , (c, A!;i:; y y,At;:it @) A¡kt : tto gkc gh Aoc,, o bien ADe, : gtD gka gb Attl Q) A;Í: skgt, Aeh,, o bien Aok¡: sta.SbA;, (c) Alitr':t: sots,kcdA;;i't, o bier, A;;i't : sotg* ettAIliI. ánsulos0'.,0",v 0¡,entredoslín as coordcnadas deunsistemacurviÍncokidimensional "Tffit5fi*Tjlt cosop = cos d," = I cos d", = ,:,= * ffi, Segúnla líneacoordenada¡r, ¡r : constante, y ¡r : constante. Entonces,de la forma métrica, ds': gtL@xt),,o bien, !4 _!. : cts t/e, Por lo tanto' cl v ctor unitario segúnr& t¿ngente a la tnea ¡r e,s q: -l: ¿i-Anároga'cnte, l o¡ vcc ! 8tt toresunitarios a l¿s rneas ransenres coordenadas x¡ y x¡ AI= , ei= """ fsoti ftt!, EI coseno del ángulo 0,, enlÜreAi y Ai a coao,, = =I

o zrnelel t*h,*r*ala1 ffisn Dc mancra análoga se deducen los otros ¡ssultados p didos. Demostraf que en un sistema de coo¡denadas o¡togonales, an : ar, : a$ : O. Se dcduce.fácilmente del problema4l hacicndo 0..0*:0!1 : 90". De la ca¡acterísticade simetrla, gpc: E,también se d sprend

qué gr, : g", :

C1r: 0. Demostrar que en un sistem¿d coordenadas ortogonales 1 -r _-_L 8,,= c", I ".3 -'F' f. Del problema 33,eD,gn : ¿2. Si,p:4:1, g,'g,\: t, o bieng,rgu +a"c,, +c¡'s!,: l. Por lo tanto, toniendo en cuenta el problema 42,s.:f. Análogam nte,sip: q:2,s*: síp: q: *,y "r":;1.

ANALISIS TENSORIAL SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL, = 44.Dcmostrar@\ fpc,¿ = lqp,,\, G\ lpq,r7 = t,', {;} {;} ",{;} (o) = rpc,,r -*, =** -"# -¿Jbt=r,e,4. ^k,* ='-r*,.r = =s"'[pc,,] ", {;} {oi} n, rr"{;} = ,r,r"' tpcu). EI lpq,rf= lpq,kJ = obien, [pq,l.] " ,."{;},*o*ir,[pc,,] t^{;} Obsérveseque multiplicar Ípq, rl por 8't tiene el efecto de sustituir r por J, elcva r este lndice y los corchetes por llaves obteniéndos . ma"*."nte, mu¡tip¡ic¡r *t g,,, o bien por {'} {;} ticno cl efecto de sustituir s por r, baja¡ est fndic y cambiar las llaves por colch etes obteniéndos [pq, 7tu" = 45.Demostnr(") [pn,q] + fqn,pl ;f, = ,tr#= ",{;,}# "a -/"l:"1-'*\kl (ol lpor,cl + [q.,1] = r,:'*_,3?-l'ol,rr"tn'1u -34, ?:u -7r4 ¿'? arq , -?'r ¿'q d¿ = a* (b) >tL)^¡ = = 0. Enúoncos, #(6"'til i,"(D¿)

=o,obi n, {Y-#rr, ,r,*= -t-Y Mufüpticandopor . 6¿t, ,*rrrS -rt'r¿'p es dccir, t;# = -si'lh t[¡-,!] + [i''.i]) zt._,nl,I)_/'{;} o bien de donde se llega al rcsultado pedidosustituyendo,respectivamente,4 k, i,i por p , q, n, n. (c) Del probl ma31,g = g¡aG(j, k) sumando en el índice k sblamente.

ANALISIS TENSORIAL Ahora bien,como G(7', t) noIcontrene explictlamente gk' As : GG ¡)' Entonces, sumandorespecto ah dej y r, '!!r ?g ?r = = -, u"tt, "t¡" ¡ ?rt a-. ar" ", El tt^ oE¿:-¿2 = = es"' # t sJ' (ljn,tl + [rn,/]) = . = ,'{,,,"} '({;} {;}) Por consiguiente, I ag = f il l¡l a "r¿*' Li"l' l,i"i = #'"'i de donde ss deduce el ¡osultado pedido sustituyendoj por p y nt por q. Deducir las leyes d transformación de los simbolos de Christoffel de: (a) primera c lase,(ó) s gunda clase, = -, -o 1z¡como tu ##tro, 4p ¿,1 ¿,0 dqo z,r á"f ?2,Q O{ Oxl +_¡ -Pc ari ¿ri ¿Eb ¿", ¿"" ¿¿i ¿ir. ¿a -Pq ¿ír Ari ¿ih Porpe¡mutaciónclclica de los lndices 7',k, m y p, q, r, ?30* á"Q Z,r 7go, ¿"1 ¿xc ?'rr ¿',s d",

___::: = ::-:L ___t_ :L -t, ' ¿rf # ¿-,, d,, ñ' # ¿rl¿r, dü¿-J¿,,8s, TEni Ttrb ¿r, ¿"1 1re ?rr ¿2n, 22rr ?"1 ?zh ari ?ij ?,c arl aE. ¿h¿l "rf ¿b ¿t ¿-"1"rf Restando(1) de la suma(2) + (J) y multiplicando por ¡ se deduce la definición establ ecidad los símbolos de Christoffel de primera clase. ¿rl ¿rQ ¿r' (41 ¿l ¿u ¿n (b) Multiplicando(4) por p, = W ts: r$ s Ot'Oz ¿f ¿"Q 7rr ¿in ¿rt . , i" ,b ¿rQ ¿rt! ¿ir = ^. gn"¡¡t,^1 s-'-, LPc't J + t)q il ¿r¿ ar" a," al ñ ¿th 7," ¿,s ¿,t t"

obtiene

ANALISISTENSORIAL 2,rf ¿rQ ¿u, ., ., , . é' tl &¿ .9 .r et 6 t r'1" r -t f¡j ¿l ¿,s arj arl a,s " "tC ¿,2¿,c ¿¡n f s ) tJ ¿2" ' f,J a", a," lrol ;l# ¿,t yoquo6;r"¿ lpc,,f . r"'fre,'f = y tlftero = e"qr¡, . E; {r"r} . ?2 r¡ trt ar" ¿rl ¿rq l^| 47'Dcmostrar = arr'-*:. ti¡ ¿* ;F I;t¡' "r, . Dcrprob,c,¡r¡4ó(ó) f;) ### {;} . #*y_ uurtioricandoDor*$n, ftly" -*#t3{;} -#*t = .## ##{;} Dcepciando * tn* resultadopedido. $$ " ¡lt. Calcu¡ar los slmbolos d o en quc gsi p *q.

Christofiet de: (¿) pri¡nera clase,(ó) segunda clasc qr un cspoci

Tttl t (c)sip=e=¡,[pc,.]. [pp,p]= +(*"*-%) 1;F'

Dtfi , si p.qfr, fp"..l lpp, . = !(dt¡' -1¿¿\ -i -''t 2\a,p ?,t ?,r I ¿{' "t" sip.¡¡r, [pc,,]. [pc,p]= +(!A,]*-%J = 2L¿tit . z\ E," ?rf ?rt I ¿rq Si los índie ,, 4, ¡ son d¡stintos, fpq, rl : O. Aquf no hernos ompleado

l convenio dc sumación d los índicts repetidos.

1,, (á) Por el problcma 43, gt : lsin sumar¡. Entonces, [ = c"'lpc,rf = o si .ls, y = sssIpg,s]' "1:"] f.in .u'o"r¡ ,i r : {;} ", Por(a):

--I\ \ 'I ANALISISTENSORIAL 195 dcü Sio=o=s.1"i=fp\=-\ecf -!g:ll =.t=E;¿,r=z¿r'"too'rn =-L ) \wf * _ [pp,"] 'Si p =91s, = -t¿$p ts" 28ss ?rs ' {;} {;} lpq,p) _ {;} tll _ h)= ü+H=i*,.+, = Sip, 4, ¡ sondistintos, 0. {;} te. Expresarlos símbolosde Christoffel de segundaclaseen coordenadas:(a) rectangul ares,(ó) cilindricasy (c) esféricas. Pod mosutilizar losresultadosdelproblema48,puestoqueencoordcnadasortogonalesgrr : Osip + q f ) = -_ (a) En coordenadas grD: l, " ) 0. rectangulares, con lo que f tPY

'

(ó) Encoordenadascilíndricas,¡r : p,42: í,x": zy, segúnel problema30(a),¡',,: l,A,r: 0i,¡'!J: l. Los únicosslmbolosde Christoffel de segundaclaseno nulos ocurren parap : 2. Estoss on 1 ?¡ r) = = -2" -c' {;} ;f -i a
=1r\= I| ?s = r 9 é y.n,ot,¿* {;} t13, 4o 7" ü*n,07,' d ?c""-r? I II 1 =1r\= = !¡2 *n,o¡ = coto " {;} 123t 224¿,2 zP*n'0 70'

ANAL¡SIS TENSOR¡AL LINEAS GEODESICAS. ' = Dcmosharquelacondición para que / seauoa extr mal (¡ttáxima o necesaria FP,x, i1 at | ma)esque--+(=)=0. Ot tlt dr s a ¡ : x(t), \ = t = t, la curva que hac¡ extremal la intogral /. Entonces¡ : x(t) + (? (r), si( ind pcndi nte de l, s una curva muy próxima que pasa por I' y rr de manera 9ue ?(1,): ? (4) : 0. E¡ de 1 paraesta curva muy próxima os Ie = Fqr, x+eq, i+ei1¡ at .[rt" Estaesuna extr mal para : o. La condición nccesariapara que allo s veriñqueesque f I bicn, derivando cl integrando, suponiendoválido el proceso, " l¡.o = +l fb,Pn+**út¿¿= o J¡ 'dx ' d; " dé lr=o que pu d

escribi¡se en la forma

1,,'*r,,,#rli',-f'",fr,{',*=[,o,(# -f,#,) ,!¿= o como ? es arbitrario, E 4rPfl = o. a" dt'?i El r sultado es fácil de gcneralizara la intcgral fh r1t,r',i',r',i2,...,tt,ix) ¿t .rlL de la qu

se obüGne !4_ar!4r = o

7'E dc éiE qre * llafirzn ecuacionesdeEuler o de Lagranee (.Drobleñl013).

.2r 51. Demostrarquelas líncas geodésicasen un espacio de Ricm¿nn vienen dadas por{{ *l , l¿J ¿,q= lpq I ds ds Hemosde haflar la cxtrcmal a" fh fT dt mcdiant las ecuacioncs de Euler (problema -tq J. /--'---------= con F = y'gooi/ iv. Tendremos, = :-; a¡ irr*;t;trun!fu !;o dt* AF = irtoo;l ieYt/z z6roil dih Ahorabien,teniendo ncuentaque = 6;TF , las ecuaciones de Euler adquieren la forme ii

AI{AUSIS THTSORI,AL ¿ j*{ . , üoo .o .o -r' = o dr(-T-) ülTt i n, ,.-'! ,7s t ¿l¿t-!¿%o!ro" = #: -?B ?r9 2 ¿rh ; *3o,o*oo%. I ;o = ,?ql, ;o¿o scco¡rvicrr. ltlt , cn z'a'c d'e ú' ,0.. t¡', ,tÚ * *i! i ¡Pq,r1 " Empleandola lqngitu{ dc¡rcrJoodo parámct¡o,!= t, != t y la ccuaciónec cscribirá = 0 ff ' S { ¡*'a uurtipricanad¡iprlt *ooúr,.%* d2rr ¿'q , t', \ *f =0 ds2 a" lrrJ ar ¿i¡ érr áar ?nt (r) _ ?rl ¿zJ ¿*t'ul ?¡r ?¡r Dcl probloma47, ' tr' l--t ar' ¿i ¿rt ( r

&i&h litit ñ eJ aro1,, r Sustiú¡),staló o(.f), n t^n a;¿ -##{;} -'" -##{;}," '¿"b ' ' dAi #(#-{;,}n)

ANÁúIS¡STENSORIAL aonlo qu" 1! I L os un tcnsor covariantc d s gurdo orden qu|* |lanr &rtvada " 7,Q tpcf -s Ae respecto de xe y * err,ritc An.". (á)Como =4^', I ot (2) d ¿rJ{ü,írt a'!^. ?z' 7rr éxr ar¿ drr ¿"t ¿íE Del probl mr47,pcnnutandolascoorderadasx y i, i* ={;}# ##['J Sustituy ridocn (2), ¿ri = a;i a,t ?4 ,. \ a/ ¿,t ,t &i ¿rl ¿zt lil ? ?¡l ?r, ?zt ?,t -lul ¿""#A #*'¡71í'l' ¿-,i¿,t = Qd _ f"l!d ?*r a;¡ a,t lrtl ¿,n 4^'#'i(:,1¡ = ¿zJ¿,qú ?d¡" 1o¡u¡ f4¡t ¿,t A* ¿,c -I'ct ¿,, a?¿ ('r, o bion, ¿Ai ñ ¿zJ d's -i áF' 1*,1" *# (#.{;"},)

con lo que ^tdA + I P t ¡s os un tensor mixto dc segundo ordcn quc s llarln de¡lvada ári tCs, At res¡ncto de x4 y * escribcl:.. 53. Escribü la derivada cova¡iantc resp cto d (a\A¡p,(b)¿rt,ol el¿,<¿¡ t*! . 4r, o (o) AJp,q l? -{;}o' {*}'o (o\ a-ih,c ' #. {i"¡"' {;"},u .,,A!E,q , {i"},; #-{¿},; t¿¡ lJ ht,s * {¿}¿ -{¿}'j.-{;"}'i,

¡. de cada uno ds los tcnsor s sigui nt s:

ANALISE TENSORIAL r99 ihl ¿nt! = l"l,J¡t (c) A¡n,q -E9 l,"qf ^s'1 {,",},f'{i"},;:'-{i"},¿",i . {i"},Jl' 54. Demostrar que las derivadas covariant s del. (a) g¡p, (b\ gtk, (c) óL son nulas. (a'tsp,o 3-{;}'",-{ü},," _ ,,tL l¡c,tl -Ítc,¡l = 0 porelproblema45(a). dz' ?¡fi {;,}*.{1"}'o ih =;.= 0 por elproblema45(ó). dr.1 , I dd¡ , 0-:0 ¿'Q ctt a {;}'j . {;"}'; {i}' {;} 55. Hallar la derivada covariante de Atr BII respecto de .xq. = ,^iuli,,o+ -{¿}d,;-{;},i,i ' {;"},;,1-{;"},i,r. {;},í,1" ,;)"i' (#-{¿}d.{;"} '{;}'f) . ^l(#-{;}':'.{j"}';" = nlr,rtl' , tl,,

^!u S Ducde observar cómo la derivada covariante de un ptoducto de tenso¡es obedece a las mismas reglas de la dérivada de un producto del cálculo dife¡encial ordina¡io. -¡r -ti 56. Demostrar que Gjn An ),q = 6¡¿ An . ,9 ,hr ,lt ,hn = GroAi-¡i )n = tiu,o{ str^n'o etoa",e g¡t, gtky 6l se consideran ya que gr¡,a : 0 según el problema54(a). En Ia derivación covarlafj.].3,

ANALISISTENSORIAL FORMA TENSORIAL DEL CRADIENTE, DIVERGENC¡A, ROTACIONAL Y LAPI,1\CIANA. = quc * 5?:Demosrrar dtv Al n'r. {g ^Lr
?rj dr? n, Ar,q-ac,r la-I"\,-\-"/ -''^o (*-ur"). \al tf ¡rc a¡ EstG tsnso¡ de segundo orden es el rotacional de ,,1r. 6(). Expresar la divergencia del vector,{, en función de sus component s flsicas en coordenadas: (a) (á) esféricas. (a) En coord nadas cilfndricas, ¡t=p, *=$, é.2, 100 o Éo = p2, de dond Y!-: p (problema30(a)) 001 Las componontes f¡sicas, ,.1q,,{c, ,,lr son lo = y'l'tt tL, A6-= pAo, t"= {Qtr. t8 -4^o

ANALISÉ TENSOR¡AL .) Entonces dtt Af * !;<{s ta lg dx' It?
P ép" áp' P' 4" (ó) En coorden¿das esféricas,g¡r : l, 922: llrt, g'r : l/t¡ son'0(problema35(ó)). Entonces, vb = rt$,c',,#*, a I aé. ' i}¡ t$r,,,'nu#, -# {*'o#) ' E{t seno@" .ralo ' -á.,3*#,,. F*;u$,**$ 42 P *n"0

ANALIS$ TENSORIAL DERIVADA ABSOLUTA O INTRINSECA. ó2. Hallar las derivadas absolutas o intrlnsecas de cada uno de los siguientes tenso res,suponiendo que las ciones de f son derivables: (a) un escalar o invariante o, (b) AI, (c) AL, @\ At *ú. t.l oa

e,# . = c9, derivadaordinaria

## .(#.{¿}')# =## .lt"lr# "r# ^io# 4.lt\^"4 ' ' dl (9r, ttt G)#' .{i"}4)# sA!^!,.,#(#-{¿},{ _ d4 í"1 ,i¿f .{¡}r:4 ' ¿t I dt lrq|'i'o, lqs, ^!:,,,#(# -{;}¿T" -{;},*. {.?4i.{j"},*. {j"},íi, ='+ --)* \;,1^'"-,# l:,|^!i" \il^g,# # -{/"}4i,#,1:"1^{L+ ó3. D mostrarquclasderivadasabsolutasdegr&,art y 4 son nulss. 6tr¡ a¡l-r,o ¿,rs

r,o-n
ANALISIS TENSORIAL 2,JI Demostrarque rfes un tensorrelativo de pesounidad,es decir, una densidad tensori al. ' -óo' ot Los elementos gra del determinanteg setransforman de acuerdo c< la reY6¡fr = ^o t¡q 'n ñ # árl dz1 Haciendo los determinantes ds ambos , F. t = t-E ó {E= t4, dEJ ;i que demuestraque r/g es un tensor relativo de pesounidad. Demostrar quedV : {g axt ¿¡'. , . dxt es un escala¡ o invariante. Por el problema65-¿v = G ¿rr d* ... ¿zx = G t ¿rL d* .,, ¿/ = ...¿J = \G d'L dxt ... dzr= d'v l*lar't* " De aquí se deduce que si é es un invariante se verifica f f _ _ f f _ = l... l6r¡ t...t
er ff, -riante orden(problema9). . dvk d'xk (á) La magnitud : .;-no es un tensor, en general, pues dependedei .;itema d coo¡dena dasquese ¿, tome como referencia. Sin embargo, sepuededefinir la aceleración ae como la derivaü¿ a bsoluta o int¡ín seca de la velocidad, es decir, ar :-# ou" es un tensor contravariante de primer orden. Expresar Ia ley de Newton de la mecánica en forma tensorial. Supongamosque la masa M de una partículaes un invariante independiente del tiempo t. Entonc s, Mak : Fk es un tensor conravariante de primer orden que se llamafuerza aplicada sobre la particula.La ley d Newton, pues,ite Ia ¡epresentación tensorial = = u :a_ Fh lrloh '-&

ANALISIS TENSORIAL qüe"u = t# 6e.Demostrar = Y #, l:rl # Como vk es un tensor contravariante, según el probl ma62(ó)' Eot & # .\i"\,#=# .{1,\r# #.u,|#'i ?0. Hallar las componentes físicas dc (a) la velocidad y (á) la aceleración de una par tícúlaen coordenadas dricas. (¿) Segúnel problema67(¿),lascomponentoscontravariantesde la velocidad son ¿P d* ¿Ó ¿,' dz *' = ¿7=i' ü ¿.'Y E'E Por Io tanto, las componentes flsicasde la velocidad son dxt do dz2 dó = PT' -df dr vsr,--¡; Y 'os dz fr' 'e* l; ' ¿t tenie¡do en cuenta que grr --l, g¡r :-at, 4"! : l. (ó) De los problemas69 y 49(b),las component scont¡avariantesde la acele¡ación son "'=#,|:,]t'#'f=#-P(#f _2_ f'o =(#, 2¿Pdó dF VAfA'

.l:,\## ,l:,\#'# t,s P yos= =E ¿e Entonc s, las componentes físicas de la ac leración vienen dadas por {t, ot = 'i pó,, {É-o2 pó * zitÓ' v Vt6d-, z en donde los puntosindican deriv¿ciónresp cio d l tiempo' ?1. La energía cinética I de una particulad masa constanteM que se desplaza con veloc idad de T : tMv, : lMgDLn, ic. Demostrar que !,?L¡-9L = I¡to, E ¿i ¿ir' ?'D siendoa¡ las componentes covariantes de la aceleración. Como I .= tMg N "¡ "a,tendremos

ANALISIS TENSORIAL ?Td ,3!, = Mtz. .f + )-""h! i! $.'¡ .-...: = *n!i4 i tq. Nt--Pqi9 -Eq ¿t' dih }xl ?"¡ á,8 ¿h d .aT -?r t' tc -t't') Porlo tanto'-( t¡) -:--T ,(rr,,n,* r'!4 . ,(*,r'-i,**Y-*,u*) n¡oo'iq + fpq,rf;t tq¡ *) = n*ar = *oh -o(*'{;}, teniendo en cucnta el problema 69. Este resultado puedeemplearsepara expresar La aceleración en distintos sistemasdc coordonadas. 72. Utilizando el ¡ sultado del problena 71, hatlar las componentes físicas de la acele¡ación de uoa pani cula móvil en coordenadas cilíndricas. ,f tfif T-r Comods2=d,f + p2dg2+d22, = = p2+p2$?+? y v2= !n1p2+p2$2 + 22¡. Del problema7l con.xr : g,x¡ z s deduce q = ió-pó', +=ftéot, %=t Por lo tanto, Ias componentes flsicas son +.2.2 o E-oé?.L!teót.; {grr' y'g-' y'gn P ¿t -' ' ' ya quo grt : I, g*: p1 g"" : t. Compáreseeste rcsultado con el del problerra 70. 73. Sea F¿ :-# la fusrza covari¿nte aplicada a una partículaen done Z: V(xr,...,xN) es la energtra t t : t Dotencial.Demosu", oua 4,

' siendor=r-l' ¿r'#t-|-=o -)raade.tt. Entonces, según el problema?1, De L = = ya que t/ es independiento T-v , #, # -= u"n= ra = -# v I,#, {, La función I, se llama Lagrungiana. Estas eeuaciones en que interviene I se llaman ¿c¡aciones ueLagrange y son de gran importanc¡a en el estudio de la mecánica toórica. Del problema50 se sigu e que ¿l resultado hallado equivale a decir que una partículase desplaza de manera que la integral J, ' t at es una extremal. rL Se llarna princípio de Hamilton.

206 ANALIS$ TENSORIAL 74. Expresar el teorema de la divergencia de Gauss en forma tensorial. Sean,,4k un campo tensorial de primer ordeny 'h la normal un¡taria cxterior en un punto de uoa superficie ce¡rada,S que encierra un volumen Z. Entonces,el teorema de la divergencia de Gaus s estableceque th.,av f[,tr u.¿s [f I JJ E Í En un espacio de N dimensiones, la integral triple s sustituye por una integralde orden ¡f, y la integral dobL por una de orden N- l..El invariante.4k,¡.es la divergencia de,{k(problema 57). El invariante Ak vLesd productoescalar de Ak y "¿, análogoa A . n en la notación vectorial del Cap. 2. Hemosexpresado el teorema, pues,en forma tensorial, por lo que dicho teor ma es váli do on cualquier sistema de coordenadas aunque la hayamos visto, en principio, en el caso de coor denadas rectangulares (Cap.6yproblerna66). 75. Expresar las ecuaciones de Maxwell del elect¡omagnetismo (a)dtvB=0, (6)dlyD=47p, (c)VxB = = !4 en forma tensorial. +*,(d)Vxu Definamoslos tensores t&, Dk, E*, H*,Ik y supongamosqu I y c son invariantes. Ent onces,las cl¡¡ ciones adquieren la forma = {o) 8¡O 6 = 1b¡ Dh,, anP ?Bi.oui"n.eJEeg = ! éB' k\ -ejhq E. -f P,q ?¿ h'q ;; I 41Tf i = ut -eihqxo.o'

$rI" c , o bien, eilg flr.o --; Estasecuacionesson la base de toda la teoría del electomagnetismo. 76. (a) Demost¡arqw Al,w -At,rq = Rlq, An siendo.4, un tensorcualquieradeprimerord en. (ó) mostrarqueRt,es u¡ tensor. (c) Demostrarcue R¿grs = 6n" Rlq, es un t nsor' = c, -\-l^^' (o)At 6r,l .n = ?#-\,,,1^,., ("nr = " {JJ,)ü,) (*-{;},,)(*-l;l') -t} ?"r \ ?re = le----gl"#.ltl\i,l* ot o #ü,)', {J,}# {t,l*.{;Xi,}', Permutando g y r y restando s obtiene, 17-I ( d I. T cl t-I { t. E I. E I I

ANALISIS TENSORIAL 1-Ar,,q= ''9,q7 {;}{,1}', *ll,l ^' -{;}{j},'. ."t{j,}', *lt,l^,-.*{;,},, -l!,1\t,l^, {i,}{;}* E1 rrd = R: A. ?qr J F b ^1,. = {;}{¿}á}{;'} {;}{l,}' * {j,} Sustituycndoj por z se deduce el r sultadopedido. (ó) Como Ap,,o -Ao,,o es un tensor, RXa, Ao es ot¡o tensor; además,como ,4¡ es un tensor cualquier,por fa fey del cociente se deduce que ,Rr¿,es un tet'li;rr. Este se llama tensorde Rie mann-Chrisfolfelque,a veces,se escribe en la forma R.i*, R;;:,:, o simttcmente, R;a.. (c) Roo,,: g", Rfu,, es un tensor asociado a Rle, y, por consiguiente,es un tens or. Se lta¡na ¿e¿.ro¡co|aria e decuryaturqy juggaun pape¡muy importante en la teoría generaldela relatividadde Eins tein. Problemas propuestos , Al final del capítulo se dan las solr¡ciones de estos p¡oblemaspropuestos. 77, Escribir cada una de las siguientes expresiones tgnrendo en cugnta el conven io de sumación de los índices rep tidos. (d¡ arxlxB + arxQ xg + ... + orxXr3 ¡c¡lal + e!a' * t!n" , ... t eJrax qbl A21B, + An B" + An B" + ,,, + A'x Br (d) *'t¡ + c2t t", + ft E", + fat., te¡B\\1+ aeo2+ aftr + aff 78. Escribir término a término cada una de las siguientes sumasindicadas. ) -b .ik-b -.. (c). 3a;j j-¿,! ta) !-,(r'c A-\, N =s (b\ AJ" Bi C) , N= 2 ¿,P -R J E,¿ Et{ ?g. Haffar el luga. geométricorepresentadopor akxkxk: l en donde rt, con k '= 1,2,

. , N' son las coordenadasrcctangulares, ¿eson constantes positivasy N -'2,3 ó 4 80. Escribir el sis:ema de ecuaciones oooxq : bo para N 2. 81. Escribi¡ Ia ley de transformación de los tensorcs (a),4'f , (b) BI. k) C-", (d) A^.

ANALISIS TENSORIAL 82. Determinar si las magnitudes B(.¿ k, m) y C(j, k, m, n) q1re,en el pasode un s istema de coo¡denadas ¡i a otro i', sg t¡ansforman segúnlasleyes ¿ri ¿rk ¿7r ^.. , = ¿_"b ñ;,q son tenso¡iales. En c¿so afirmativo, escribir los tenso¡escon la notación adecuada dando el o¡den y su carac terística de covarianza o contravarianza. (a, 6\P,q't) D\t'E'm) 83.¿Cuántascomponentes tiene un tensor de quinto o¡don en un espacio de 4 dimensio¡es ? E4.Demostrarqugsi las componentes de un tensor son oulas en un sistema de coorde nadas dado, t4mbién lo son en cualquier oha rcfcrencia. 85,Demostra¡que si lascomponentes de dos tensores son iguales en un sistema de coo¡d enadas dado, también lo son en cualquier otra refercncia. )-k Demostrarque la velocidad : y* de un fluido es un tensor, pero que I1dvk no lo e s. ? 87.Hallar las componentos covariantes y cont¡avariantesde un tensor en goordenadas :(¿)cilínd¡icasp, d,z; (ó) esféricas r,d, {, sabiendoque sus componentes covariantes en coordenadas rectang ulares son Zr-z x"y, yz. 88. Las componentes contravariantes de un tensor en coord nadasr ctangularesson: /2, 3, 2x + /. Hallar sus componentescovariantesen coordenadas cilíndricasparabólicas. ó b . qs "P ,.q .r .f .Q .¡ -. "s 8e. calcular G) 6;81 , (¿)E; E; l'", p¡ an{ l", (d) tq ¡r Ds 6i. 9{). Si,4fs es un tsnsor demostra¡ qf¡e,41'esun tgnsor contravariiante d .

primgr orden

¡ * * = 91. Demostraroue E:, ltsi no es un tensor covariante con la notación expuesta' -Jñ tu r, ¡ = i :-;-9 A¿,

= z'92.Si = .fu,{O demostrarcueAq + . ^f %.si l: =##,4! demostrar e!. w. e!= ffi{* ge= fi. Sabiendoqueé es un escalar o invariante, determinar si es un tensor. Or'Ot1 . Sí A! y B, son dos tensores, demostrar que,4¿B¡ y AX Bt son, asimismo, tensores y ha lla¡ su orden, 96, Demost¡a¡quesi ,4lra esun tensor, .41,o+ ,4!,f es un tenso¡ simétrico y,4ta -,4Íl eshe misimétrico. yl, Si ApQy B¡r son tonsores hemisimétricos, demostrar que Ct! : A'q8,, es vn tensor simét rico. 98. Si un tensor es simétrico (o hemisimétrico), sus contracciones sucesivas, ¿sonsimétr ic¿s(o 99. Demostrarquo si ,.{r¿ es un tensof simétrico, .4rsrr)r4:0.

ANALIS¡S TENSORIAL Hallar el máximo número de componentes de un tensor si¡nétrico de segundo orden en un es pacio de: (a) N :4, (ó) N: 6. ¿Cuáles este número paracualquie¡N? ¿Cuántascomponentesno nulasy distintas,prescindiendo del signo, tiene un tensor cova rianto hemisimét¡ ico de tercar orden? Si ,4Í,¿ es un tonsor, demostrarque por una doble contracciónresulta un te.

scala¡ o invarian

Demostrarque la condición necesa¡iay suñcientgpara que un tensor do orden R se convier ta en un escalar o invariantg por contraccionessucesivasesque R s ap¿r y que el númgro de indi@s covari antes y cootravariantes s a igual a R/2. Si ,4r¿ y B" son dos tensores, demostrarquesuproductoextemo es un tensor de cuarto orden y que sepueden forma¡ dos productosinternos de órdenes dos y ce.o, rcsp ctivamente Si A(l¡, q)B" Ct, en donde 8s s un tensor covariante de primer orden cualquiera y C ' un teosor contra variante do primer orden,demostrarque A(p, q) es w tensor mixto de segundo orden Sean,4, y -84dos tonsores arbitrarios.Demostrarqu s, C(p, 4) cs un tensor

si AeBa CQr, q) es un invariant

que puedeescribi¡se en la forma Cj. Haflar la suma S : A + B, diferencia D : A-8, y productos P : ABy Q: B,{, siendo ,{ y B las matric, es siguientes: l^ .\ / \ -11, @\A=(: B=(o-:l 4l -tl \2 \-2 lz o r\ l, -t ,\ (ó),{=Í-r-2 r1. I=|3 2-4 1 \-r s -Ll \-t -, 2l

Hallar (3A -28\ (2,4-a), s[ndo A y B las matrices del p¡oblema anterior. : (a) Cornprobar qu dot (,{8) {det ,{} {der A} para las marices del problema 107. (ó) Comprobar si se verifca que dct(áA) : det(BA). t. \ /-rz-r\ seanrasmarces, = (: -: :). r = i ; -; 2 3, { l. \{ \ 2 r zl Demostrar que (.¡) /,8 está definiday hallar su valor, (ó)B,{ y ,{ + ,8 no están deñnidas. Despejar los valores de las incógnitas, x, y, z, del sistema de ecuaciones, cscrit o en forna matricial. (?i i)(')fi) \-¡ 3 La inversa ,{ -r dc una matriz cuadrad¿/ s de6ne por la relación AA | : I, siendo r l a matriz unidadcuyos elementos de Ia diagonal principal son unos y los restantes coros. | t -t Haflar ra inversa,4-r de la matriz -z\ (")/ =(_;-;). ",r = / ¡ ti _l ;) En amboscasos,¿s verificaque A-tA: I?

2lo ANALISIS TENSORIAL frr -2\ ll3. Demostrar que la matriz ,l g I carccrde inversa. -Z -3 4l ll4. Demotra¡ que (,{r)-r : BrA-t, siendo,4 y -Bdos matrices cuadradas ¡egulares. ll5. Exprcsarcn ibrma malricial las ecuaciones de uansformación de un (¿) v ctor contravari anto, (ó) covarianle de segundo orden, (c) t nsor mixto de segundo orden = -i) 116. Determinar los valores de la const¿nteltalo]ueAX: lX. siendo ,l j vxunarnatri z quiera. Estos valores se llg;man valores propiot o autovaloret de la matriz ,{. ll?. La cuación F(¡) :0 que rcsulta en el problemaanterior para hallar los valores propios de una gollama ecuacióncaruclerítticq de A, DeÍ\ostrar que F(/) : 0, siendoF(,{) la matdz obt onida sustituyenÓ po¡ ,{ en la ecuación caracteristica, el término constante c por la riatriz c¿ y O es la matriz nula(todos elcmcntos son c ros). El r sultado es un caso particular &l ¡eo¡ema de I{amiltorr-Coyley , q|uedic que matriz es solt¡ción de su propia ecuación c¿racterlstica. llt. Demostrar qtrc (AB>r : BrAr. ll9. Dotcrminar el tcnsor rnétrico o fundamcntal y su conjugado en coordenadas: (a) c¡lln dricas y (ó) cilínddcas ellpticas. = las compon ntes covariantes y contravariantes de un tensor coinciden- En el caso p anicular de que la ts formación s a de un sistema de coordenadasr ctangular a otro rectangular, los tonsor s s e llaman carlesiar@s. 120. Demostrarque en toda transformación afin ¡' : 4 xD + Ir', siendo d, y ú,'constant estalesque4 4 l2l, Hallar g y gr cor$pondientes al elem nto de linea ds2 = 3@x!¡2 + 2(¿r2f + 4@f)2 -I ¿zr ln. Si A, : gi¡,{r, dcmost¡a¡ qtre 4 : gkAL, y r cíprocamente. 123. Expresar las relaciones ntr

los tensoresasociados

@) An y Aja, (b) A!¿' y tt¡a¡,@) A'oi y At!,t. 1rA.Demostrarqtre (a', A;q B?rs = tbe lfi", (ü a!,qrB;l . erq..at = nio' tlr. De a quí deducir ra sultadogeneralde que un s udofndice, o lndice umbral,en un término puedebajarsede su posición y elevarse de su posición jnferior sin que cambie cl valor del término. { r{ 125. Demostrarque si ,{?o. : Bfo C,, entonces A¡a, : Bea C, f A'ft : 3;z 6r. De aq uí deducirel t -rel qu un lndice libre en una ecuación tensorial s ere drcha r(

puedeelevar o descender sin que sealt

rl 12ó. D mostrar que los tcnso¡cs g'r., gD. ! ó! son asociados. = r27.D n'ostrar ,rs#, $\{# /t# otErt# = 128. Si Ae es un campo vectorial, hallar el vector unitario correspondientc.

ANALISIS TENSORIAL 2ll 129. Demostrarque los cosenos de los ángulosque un vector unita o Ul n un espacio tr idimensionalfornracon ut ue u" tas líneas coordenadas son . , rt-rt{t* (8-2t7) 130. Exprcsar los símbolosde christoffe¡ de primera clase en coordenadas(a) ¡ectangula res, (ó) cilíndricas y (c) esféricas. l3l. Expresarlos símbolosde Christoff l de primera y segundactase en coordenadas (a) cilíndricas parabólicas, (á) elípticas. 132.Deducir las ecuacionesdiferencialesde las lineas geodésicas en coordenadas (a) cilíndricas,(ó) esféricas. 133.Demostrar qu las lfneasgeodésicas en el plano son rectas. 134.Demostra¡ que las lineasgeodésicasen la esfera son arcosde círculo máximo. 135.Escribir los símbolos de Christoffel de segunda clasepara la forma métnca. ds': (dxt),+ t(x,),-(x)!l(dr1, y lasecuacionescorrgspondientesde las líneasgeodésicas. 136. Escribir la de¡ivada cova¡ianterespectode ¡¿ de cada uno de los siguientestensores. .th .ih i ikt ih (d\ Aí (b) Aí A;h, , . a\ G\,t;", @ Aí;n. r i i 137. Haflar la derivadacovarianted,. (o\t-hA-, (b)A'Bh, (c)D;,{j resp ctode¡a. 138.Mediantefa ¡elación A¡ : gtkAk dedücir la derivadacovariantede ,4i a parti¡ dela derivada covariantede ,4e. t39.Demostra¡ CuefD,*-ó,09, siendoé un escala¡ o invariante, es decir, el o¡den de la deri vacióncova_ riante de un escalar no influye en el resultado. l4tt. Demostrar q\e iü y (r¿tson tensorescovariantey contravarianterespectlva¡nente. r4l, Expresarla divcrg ncia de un vector l' en función de sus componentesfísicasen coo¡de¡adas (a) cilíndricas parabólicas,(ó) paraboloidates. 142,Hallar lascomponentesfisicasde gradé en coordenadas (a) cilíndricas parabólicas, (ó) cilíndricas elípticas.

r43.Expresar Vl(D en coorde¡adascilíndricasDarabólicas. r+4.Mediante la notación tensorial,demostrarque (a) div ¡ot.{' 0, (á) rot gradé = 0. r45.Hallar lasderivadasabsolutaso intrinse{as de los siguientes campostensoriale s,en el caso de quelas funcio nes de , sean derivables: ;h \ 1o)Ap, (b\ ,LJ', 1"¡ ,1, sh, t¿l ó AJhsiendod un escalal o invariante. 146.Hallarla derivada absolutad. qo)t¡nA , $, 6lhAj , n, ,rrt!, 4 . t47. Demostrarque ft Cton, nol = , rfon, . *

2t2 ANALISIS TENSORIAL 1¡|8. Detnostrar que si no actúa fuerza ext rlor alguna sobre una partícula de masa cons tante que dc desplaza por una línea geodésicas verifica g,f,' , 149. Demostrar que la suma y diferencia de dos tensores rclativos del mismo peso y tipo es otro tensor relativo de las mismas ca¡acterlstic¿s. 1f), Si lfv es un tensor relativo d peso demostrarque g-uh llE esun tensorabsolut o. 'er, r51. Si ,l(p,q) f = Cj', en donde^{, es un t nsor relativo cualquiera de posouly C; un tensor r lativo depeso r"r, demostrar que A (p, q) 6 u tensor relativo de peso ¡'¡ -ur. Est a ley del cociente de los tensores relativos.

s un ejemplo de l

152. Demostrar que la magnitud Go,l) del problema resuelto 3l es un tensor relat ivo de p sodos, 153. Hallar las componentes físicas en coordenad¿s esféricas de la (a) velocidad y (ó) a celeración de una partícula móvil. 154. Scan ,4' y B' dos vector s en u¡r spacio tridLtrensional. Demostrar que si t y p son const¿ntcs ,Cr = |" Ar +pBr os otto vcctor del plano que Íorman At y Y. ¿Cuál es Ia int rpr tación en un espacio de M di mensiones? . 155. Demostra¡ eue ,tl ,ll un vector noínal a la superñcie C(¡r,x3,x) : constante. Halla r el $. ", vactor unitario correspondiento. 156. Iá cuación de continuidad de un fluido es !. ¡s.r¡ * P = O donde oesla d nsidad y v la vclocidaddt "n Expresar dicha cuación en forma tensorial. 157. Expresa¡ la ecuación de continuidad en coordenadas (a) cilfndricas, y (ó) esféricas . lst. Expresar el teorsm¿ del rotacional ds Stokes en forma tensorial. 159. Dcmostrar que el tensor covariante de cu¡vatura -Roo,,es hernisimétrico en los lndicec (a) p y .1, (b') r y s, (c)qYs. lflr. Dcmostrarque nrqr.s . &srC,

161.Demostrarquc @) R¡qrs * Rr"q, * R¡sq = 0, (b'',Rlqrc + f,rgrs + XT59g+ R¿57g . 0. 162.Demostrarque la dcrivación covarianteen un espacio de Euclid s es con¡¡rutativa. Com o consecuencia. probarqu¿el tcnsor do Rirm¿nn-Christoffel y el tensor de curvatura en un espacio de Euclides son nulos, O 163. Sea fz.^ !f cl vcctor tangentc a la curva C de ecuación ¡' : ¡r(s), an donde r es la longitud d arco. (a)Demostrar (ó) Prob¿rqrregrqT' o en consccuencia, +te srOT, f4-r iÉ #' " * #* \ ctor unitario nornral a C para una /r dada. (c) Proba¡ quc * es ortogonal a 1V.. " dJ 164. Con la notación del problema anterior, dcmostrar que: -9q ótg á r¡rq o @t%qrIv'=0,(ü)t¡of T=-< o qo(t9ff+xr')=0. Porconsiguientc,probarquo8t " * ,1"{ + xf¡es un vector unitarioparaun ¡ dadoortogona la fr

ANALISIS TENSORIAL Deducir las fórmulas de F¡enet- Serret r,r.i o Á¡tl = b 68l = .¡u', rar-xr" -rN' ||-K -b 3? = +) siendo Ip, N, y 8, los vectores unitarios tangente, normal y binormata C, ¡especti vamente, y ,t y r la curva: ura y torsión de C. Demostrarque ¿s2= &@z4f -¿rb ¿rh 0Y=3)es un (afín)

scalar o invariante en la transfo¡mación lineal

7t =ypL-ozJ, *=12, f =*, 7a = yqxa-l zL\ Esta es la transfor¡nación siendo:,,É,cy y constantes,l:rlcy t:(-fl?)'/'. de Lorentzde la relatividad especial. Físicamente, un observador situado enel origen del sistema xt veria un s uceso que oculfe en la posición¡r, xr,.r¡ en el instante ¡{, mientras que un obs rvador en el origen del si stema tl vería ef mismo suc¡so en la posición ,r, Í2, tz en el instantet'. Se supooe que (/) los dos sistemas de referencia tienen los ejes xr y tr coincidentes,(2) los semiejespositivosx¡ y x¡ paralelos,resp ectivamente,a los 5, y .¿', (t) el sistema t¡ se desplaza con velocidad v respecto del sistema xt, y (4) la ve locidad de la luz c os constante, Demostra¡queparaun observador fijo en el sistsrna ¡¡ (tr), una barra fija en el sistem a t¡ (x¡) paralelaal eje tt (.rl) y de longitud ¿ en esta referencia, aparece reducidala loDgitud ¿ v'¡ -pl Est e hecho se denomina contracción de Lorent z-F¡tzgeruld. DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS .(ol aurhzs <"'t O¡g29sor,N.=4 (., Bl:r,N=2 4sh at$tG,e'>' S
1 t I orrrt + ap# = b2 df d"tL crn @tlq ññ = *{,##^1i t¡rdq'= *,# _y,#4', #^ (a) B(j, k, n) es un tensor de tercer orden, dos veces covariante y una vez cont ravarianle. Puede escribirse en la forma Eii. (b) C(j, k, n, n) no s un tensor. 1é. LO2A (a) 2e cosz ó -z cos{ + d sen,ó cos¡d, -2 , sen ó cosd + ez send + p. senó cossd, pzsen$.

ANALISTS TENSoRIAL (b) 2t s nr0 coa2 ó r s n0 co8á cGó + Ésenad sen2 { cos2t' É senOcos2d sen@, 2{wn0 e¡,e 0 coa2 $ f coaz0 cod$ + y'sen3á cos? sen2 ó coc2ó + ¡3 sen,0 cosÉ sen{, -2lsen'0 scnd cogd + f ggn?coadsen@ + y'se¡a9 sen{ cos3@ 88. t?vz + g,,¡ gs -vf z, n2 + ut¡-tP 89. (o) sls, g) AF, (c\ Aj, tal r 94. No es un tensor. 95. Orden 3 y ord n I rcspectivamente. 98. Sí. 100. (d) 10, (ü)2r, (c) N(N+r)/z r0r. /V(/V-1)(/V-2)/6 ,o?.(o) (-: -:), s=(; :),= (T T), .= (:: _:) "= ",'=(-lI il ' (-lr-s)'=(-i'i-*)'=(-i-liri) ,0,,.,(;lil:) ",(_jj:: 1;) '. (:i ; -;) t=-lt z=2 ,,,. t=3, ",(,1",),1 ",t{i {: i) si (i) (#fiil() :il ::) ril "(', rilt, ':^) * Gi^ilÉrilü ,*.,(":-",,:" ff'+:) u6. ¡. = 4, -1

ANALISIS TENSORIAL 2t5 dlsenhr4 +sen,r) 0 0 0I o1senh,4 + sen'y ) ) ("'T* ",( ¿zlSenhra + Senlr) 00 0 ;) r,=('(,"{,i) @',a?q=¿i a'e t l n'n'=li r,, ^jor, n,+;'= ,¡¡ro,{, ^!.r, lb -L o -!__ y'A?A^ /2. tl ¡q . -Pq (o) Todosellossoncero. (ó) lzz,t)-=-p, Todostosdemás _ltz,z)=lzt,z)=p. son nutos. (c) =-¡, 122,1J [¡¡,tJ =-r sen'o, [gf,Z] .-¡2 sen0coa9 = [zt,z) [n,z] =', [¡r,¡]=[13,s]=rsen'a 132,3J= ¡23,3.1= 12 s no cos d, Todoslosdemássonnulos. [tr,t]= ,, lzz,zl= ,, [rr,z]= -,, Lzz,t) = -u, = lrz,rJ [zr.l]= ,, [zt,z). [tz,z]-u.

*m ={;}=##rk, {,1}= {,1} = rodosrosdemássonnuros. {í } {¿}' #i#g; fó,. 2 db dó a,#-o,4rÍ=o. de p ¿s ¿s. -0.'#=o ", * -.¡f¡2 -rsen'o,ff = o 8e ,2dt !9 -seno6osB1qÉ¡ . 6 ds tb ¿ó ,2.*o(9 = o ¿t2 ds dt ats

2t6 ANAf,ISIS TENSORIAL 135. = = = {;}=,', {¿} {;} #a \:,\ "o*rodos,osdemásson rS.*'fr = o,'#.n*r"f f ,*f *r,#r =o oa. 136. (o) /: L,qih :o {¿},,i'-{1"},;'-{;"},i íh L'I (b't A. -i-? ú4,q {1:},;: dt!" -{;}d:-l:,1^'i". .{i},i; I ^ -l -{;}4^. (c) A: RLT ---n. 4 Ln,q -{;,11"-{,;},í,," u"lf*^ lP,L <¿¡ thL -:; 4n -{;}'i-'. {i}'Y'' {;"}o!-". {i"lol" .-ih dA: (e) A: ih -¡--L$f -

Lrr\q {;}^k-l;l^iL-{;},1j..{J"}qj". {;"} rz7.tals.,tlo, ol nio,o * ,ti Bn,q, n, s! o¡,, rln.@)-J-lfiora;a o) * *
ANALISIS TENSORIAL t{: st (¿):( _r4 6é A:\o + ótE o¿ E¡"J tss¿x ,1 li iF,(# ^( d,t '\7¿ t;.:l¿7i7t #). nn, Ic"t\ -{;,1^t ( ,n' it' -( t,L* {h 146.to)s.-+-= tjp ,A' (# -JP 0r ¿t 145,)' adt \d, lc5 ) (D) o. ;ü; ti t_. s'l = dzQ =--l{:'* (+ (+(+ BóT Iiqt )^/ T I ltq.),, T,) {;}* dt 6l)" t"\ t¡¿órt' ,*( 1->A; 1, {; -_s ü pclt

¿,{ #.\;"1^;#) @) i, r0, r sen|S qr'¡i-rf -, &n'o -,i,, ¡ senocosd b ó> ó2, | fre6 ;h fi<,onn"e ¿lofr,o'q4 do rm. r = O siendot,' lascomponentescontravariantesde la velocidad. ;l óx, ?¿ dr' dt
A derechas, sistgf¡ra, 3 Absoluta, dorivada, 174 Absoluto,movimiento, 53 tensor, 175 Aceleración, a lo largo dc una curva en el espacio, 35, 39, 40, 50, 5ó c ntrípeta, 43, 50, 5l de coriolis, 53 de una partícula,38, 42, 43, 50, 52, 84,2n3, m5 n coord nadas cilfndricas,143, 204 en coordenad¿s curvilíneas, 204, 205 en coordenadas esféricas, 160, 212 en coordenadas polares,56 r lativa a observadores fijo y móvil,52,53 Achatadas,coo¡denadas esféricas, 140,145, 160, 16l Adición, de matric s, 170 de tensores, 169 Adjunto, l7l, 187, 188 Afin, transformación, 59,2lO,2t3 Alah ada, cúbica, 55 Alarg. das, coordenadas esféricas, | -r9,l@, 16l Algebra,de matrices, 170 de vectorcs, l, 2 Alternante, símbolo y tensor, 173, r74,2tl Angular, velocid¿4 26, 43, 52 Angulo, de dos superficies, 63 entre dos vectores, 19, 172, 190 sólido, 124, 125 Area, de la elipse, I 12 d un triángulo, 24, 25 de una superficie, 104, 105, 162 del paralelogramo,17, 24 forma vtorial,25,E3 limitada por una curva cerrada, lll Areolar, velocidad,85, 86 A¡ociados, tensores, l7l, l9O, l9l,

210 Asociativa,propiedad,2, 5, 17 Autovalores,2l0 Base, v ctorgs en la, 7, 8, 136 unitarios, 136 Binormal, 38, 45,47,48 Indice Bipolar, coordenadas, l¿to, 160 ' Brahe, Tycho, 86 Cálculo de variacion$, 173 Calo\ 126, 127 *!acíórr, 126, 127, t6l en coordonadas cillndricas elipticas,155 en coordenadas esféricas, 16l especlfico, 126 flujo, régimen pormanente,127 Campo,3, 12, 13, 168 cons rvador,73, 83, $, 91, 93 de tipo fuente, 13 de tipo sumidrro, 13 ir¡otacional,72, 73. 90 rotacional, 72 solenoidal,67, '1, l2O, 126 tensorial, 168 Caracterlstica,ecu ción, 210 Carga, densidad, 126 Cartesianos, tensores, 210 C. ntral, fuerza, 56, 85 Centripota, aceleración, 43, 50, 53 C ntro d masas, 15 Cero v6ctor, 2 Cicloide, 132 Cilindricas, coordenad¿s, 137, 138, t4l, t42, lñ, 16l divergencia, 153, 200, 201 ecuaciúnde continuidad, 212 elementode línea, 143 elemento de volumen, 1,14, t45 gradiente,153, 154 Jacobiano, l6l laplaciana, 153, 154, 201 lineasg odésicas,2l I rotacional,153,154 slmbolos de Chris.cff 1, 195,

2tl tensor métrico, 187 tenso¡métricoconjugado,189 velocidady ace¡eración,143, 2tu4,205 Cillndricaselípticas,coordenadas, 139, ls5, 160, l6l,2ll Cincmática,38 Cinética,energía,94,204 Cinétaco, momento, 50, 51, 56 Circulación,82, l3l Circuncentro,33 Cociente,ley, 169, 184 Colineales, véctores, 8, 9 no-,7,8 Columna, matriz o vector, 169 Componenles,contravariantes, 13ó, 15ó, 157, 167, 168 covariantcs, 136 de un tensor, 157, 167, 168 de una diada, 73 Componentes vectoriales, 3, 7, & rectangularcs, 3 Conductividad térmica, 126 Conformes,matrices, l7O Cónica s cción, 87 Conjugado, tonsor métrico, l7l. 188, 189 Conjugados, tensores, l7l Conmutativa,p¡opiedad,2, 5, 16 l7 Consorvacióo de la encrgía, 94 Conservador, campo, 73, 83, 90 91, 93 condición necesaria y suF cíentepara,90, 9l movimiento de una partícul¡ en,93,94 Continuidad, 36, 37 ecuación de, 6'l, 126, 212 Contr¿cción,169, l8l, 182 Contravariante, tensor, d9 prün r orden,157, 167 de segundo, y superior, o¡der¡.

t68 Contravariants,vector, 136, 156. r5'1,t67 Contra a¡iantes, componente! 136, 156, 157, 167, 168 de un tensor, 157, 167, 168 de un vector, 136, 156, lt Coo¡denadas curvilíneas, 135-165 Coordenadas, líneas, 135 Coordenadas, superfi cies, I 35 Coordenadas, transformación, 5& 59, 76, 135,166 Coplanarios,vectores, 3 condiclón necesaria y suF cientepara,27 no-, 7, 8 Coriolis, aceleración de, 53 Corrient , densidad de, 126 Coseno, teorema del, 20, 33 Cosenos, dircctores, I l, 58 Covariante, derivada, 173, | 9l '199,2ll 218

INDTCE I L Covariatte, tensor de curvatu¡a, 207 Cova¡iante, tensor de prific¡ orden, 158 Covariante,vector,136,157, l5E, t67 Covariantes, componentes, 136, 157,158, 167 de un tensor, 167, 168 de un vector,136, 157, 158, t67 Cuad¡ática, forma fundarnental, t48 Cuántica,mecánica,l6l Cúbica, alabeada, 55 Curyatu¡a,38, 45, 47, ll3 radio de, 38, 45,46, 50 Riemann-Christoffel,206 tenso. de, 207 Curvas en el espacio, 35 acele¡ación,35, 39, 40, 50, 56 bino¡mal, 38, 45, 47, 48 culvatu¡a,38,45, 47, I 13 elementode linea,37. 56, l3ó, 148 normal principal, 38, +5, 46, 50 radio de torsió¡, 38, 45 tangente,37, 38, 40, 41,48, 50 Curvilineas, coordenadas, I 35-l 65 aceferación,143, 2O4, 2O5, 212 definición,135 elementodelinea,56, I36, 148 elemonto de volumen, 136, 137,159 generales, r4S, I 56-l 59 ortogonales,49,135 superficiales,

48, 49, 56, 155 Christoffel, simbolos, 172, 192195,211 leyes de transformación, l'12, 193, t94 Delta, de Kronecker, t68, t?9, r80 Densidad,I26 de carga, 126 de co¡rierite, 126 tenso¡ial, 175, 203 I)ependencialineal,10, l5 Derivabilidad,36,37 Derivable,campoescalar,57 Campo vectorial, 57 Derivaciónde vecrores, 35-56 ordinaria,35, 36, 39-43 parcial,36,3'1,44, 45 Derivada,absoluta o intr¡'nsica, 174,202,2tl covariante, 113, 197-199, 2Il segúnuna dire.cción, 57, 6l-63 Derivada de un v ctor,35-56 fórmulas,36,3?,40,41 orden de la, 37, 69 ordinaria,35,36 parcial,36, 37 Desca¡tes,folio de, 132 Determinante,adjuntoenun, I?1, t87, 188 deuna matriz, I70,209 derivadade un, 4l Jacobiano,79, t33, 146, t4'7, t48, 159, l6t, 162,175,202, 203 productov ctorialen forma de, t7. 23 rotacionalexpresadolporun, 5?, 58 tripleproductoescala¡en forma d ,15? Dextrosum,sistema,3 Diada, 73 Diádica,73-75,81 Diagonal de unamatriz cuadrada, 169 Diferencia,dematrices,170

de rensores, 169 de vectores, 2 Diferencial,37 exacta,83, 93, I II condición necesaria y sufici nte, 93 Diferencial,geometrla,37, 38, 45 50,54-56,166, 2t2-2t3 Dif renciales,ecuacion s,54, 104 Difusividad,127 Dinámica,38 ecuacionesde Lagrange, 196, 205 ley de Newton,38, 50, 53 Direccional,derivada,57, 6l-63 Directores,cos nos,I l, 58 Distanciaent¡edospuntos,I I Distributiva, propiedad, 2 de las formas diádicas,74 d matrices, 170 productoescala¡,16, 18 p¡oductovectorial,16, 22, 23 Divergencia,57, 64.6? delgradiente,58, 64 del rotacional, 58,69,70, 2l I en coordenadas cilindricas,153, 2ffi,201 encoo¡denadascilindricasparabólicas, l6l encoordenadas 137, cu¡vilineas, 150 en coordenadasesféricas,l6l, 200,201 forma tensorial,l'1 4, 20O, 201 invarianza,8l significadofísico,66, 6?, ll9, 120 teoremade 6auss, 106, I10,I ll, tl5-127 demostración,I17, ll8 enunciado,ll5 formarectangular,I l6 formatensorial,206 srgnrncaoo

nsrco, I to, ¡l / teoremade Creen como caso pa¡ticular,106, I I0, lll Einstein,teoria de la relatividad, 148,201,2t3 Electromagnética,teotía, 54, j2, 206 Elemento,de línea, l?0, 187-189 de volumen, 136,ll7, 159 Elementode líoea, 37, 56,|]6, 148 en coordenadascurvilíneas,56, 148 en coordenadas ortocurvilíneas gonales,136 sobre u¡ra superficie,56 Elementosdeuna matriz, 169 Elipse,63, 139 112 ^rea, 8ó, 87 ó¡bita de losplanetas, Elipsoidal,coordenadas,140, 16O Energia,94 cinética,94,204 conservaciónde, 94 potencial,94 Equilibranre,6 Escala, facto¡es, 135 Escalar,l, 4, 168 campo, 2, 12, 168 funcióndeposición,3 funcióndepunto, 3 potencial,?3, 81. 83, 91, 92 p.oducto,16, l8-21, 182 t¡iplesproductos,17, 26-31 variable,35 Escalar,producto,I6. l8-21 propiedadconmutativa,16,l8 propiedaddistriburiva.16. l8 Esfé.icas,coordenadas,137,138, 14r, r47, 160, lól co¡rtponentes I77, covariantes, 178

divergencia,16l,2O0, 201 ecuaciónde continuidad, 212 ecuación de transmisión de calor, I6l elemgntode volumen, 144, 145 gradiente,¡61 Jacobiano,I6l laplaciana,154, 201 lineasgeodésicas, 2l I ¡otacional,154 símbolosde Chrisroffel, 195, 2tl tensor métrico, 187 tensormétricoconjugado,189 velócidady aceleración,160, 212 Esferoidales, achatacoordenadas, das, I40, 145, ló0, 161 alargadas,139, 160, 16l Espacio.de Euclides, I70 de N dimensiones, 166 d Riemann,l7l Especial,teoria de Ia relatividad, 213 Euclideo,espacio, 170 de N dimensiones,l7l iule¡, ecuaciones,196

220 INDICE Ercentric¡d¡d, t7 Erterior, norm¡1, 49, 83 E¡dcma,multiplicáción, 169 Extrctml. ¡96 Extrento dc un vccior, | , 2, 5, ll Füo y nóvil, cistcm¿sde referen ci¿.5!-53 Filq m¿triz o v ctor, 169 Ffsicas, comDoncnt s, 172. Xn, mL m5, ztl Fluido, moümi nto, 6, r, 72, 116, ll7, 125, 126 incompresiblc, 69, 126 Fluidos, mecánica, 82 Flujo, 83, l2O Forma cua'tlrática fundanental. l,l8 F¡enet-S rr t, fómulas, 38, 45, 213 Frotrlera, 113 Fuente, 13, 67, 120 campo de tipo, 13 Fuerza, central, 56, 85 de Coriolis, 53 de l¿ gravitación univcrsal, 86 de repulsión,85 r¡om nto dc una, 25,26, SO sobre una partlcula, 203, Z)5 Fucrzas. 53 rcsultante, I I Fundan¡pnt¡I, tcNrso¡, ¡71 Gauss, ley do, 134 Gauss, tcorcma do la divergencia, 106, 110, 111, 115-12? demostración, I17, llE onunciado. l15 forma f ct¿ngular, l 16 forma tonsorial, 206 sigBifcado fisico, 116,ll7 teorerns de Gr en como caso p¿rticular, 106, tlo, lll Goodésicas, llneas, 172, 173, 196, lgt,2ll

Ceomet¡la difer ncial, 31, 38, 45so, 5+56, t6Í, 2t2-2t3 Gndiente, 57, 58, 5943, 177 de un vactor, 73 en coordcnadas cilfndricas, t53, 154 en coorden¿das cillndricas parabólicas, 161,2ll en coordenadas curvilfneas ortogonales, 137,148, 149 Encoorde¡adas ssféricas. 16l iofma integral, 122, 123 iorma tensorial, 174, 20O ilrvarianza, ?7 Cráfica. suma de v ctores.4 repr s ntaciónde un vector, 4 Gravitación, ley universal de Newton. 86 Grccn, prinera idenüdad o Gorr ''na,,lO7,l2l $li¡nda idootidad o tcorcÍ¡s sinrétrico, 107. 121 tcorema, en el espacio, 106, I10, lll, tl5-t27 tco¡cma en el plano, ¡06, 108lt5 como caso particular d l t. de Gauss, 106, ll0 lll como caso particular dcl t. de Stokes, 106, I l0 para regiones m{¡lüplcmonte conexas. I l2-l14 para ¡ giones simplflronto conexas,108-l l0 Hamilton, principio, 205 H¿milton4¿yl y, teorcm4 210 Hélice ci¡Eular, 45 Hipérboh, 87 HipcDlano, l?6 Hipenupcrficie, 176 Hipocicloide, I 32 Igualdad, de. m¿tric s, 170 dc voctorcs, I Impctu, 38 Indcndcncia, dct camino dc inte gración,E3" 89, 90, lll, ll4 t29,130 dcl origen, 9 Independencialine¿l, 10, l5

Indic¡, libre, 167 umbral, 167 Inc¡cial, sist ma, 53 Intogración, de llnoa, &!, 87-9, l dc supcrñcie, 83, 9+99 do vcctor s, 82-105 dG volu¡rren, 83, 99101 doñnida- 82 indeñnida. 82 ordinaria, 82 teo¡ rnas, 107, l2O, l2l, 124, 125, 130 Integal, fomi¿ del opcrador nabla, to?, 123 lnterna, multiplicación, 169, lE2 Interno, producto, 169, 182 Intrlns ca, &rivada, 174, fr2,2ll Invariarte, 59, 168, 190 Invarianá, 58, 59, 76, 77, 8l Inversa de una matriz. 170 lrrotacional, campo, 72, 73, 90 Jacobiano, 79, 133, 146, 147, 148, 159,t6r, 162, t7 5, 202, m3 Kepler, leyes, 86,87, l0z Kronecker, delta de, l6E, l?9, 180 símbolo, 77, 208 Lagra¡rgc, ocuacione, 196, Z)5 LaSrangiana, 205 L¿placc, ccuación, 65, 127, l3¡l G¡¡ coordanadas cilíndricas I ¡sbólicas,154, 155 tr¿nsformada, de, 162 Laplaciana, oper¿dor (V), 58, 81,2@ on coordenad¿s t53, 154, 201 Gncoord nadas cilínd¡icas rabólicas, 154, t55, 2ll on coordonads 137,!50, lst on coordenadas sféricas, 201 fornra tcnso¡ial, 174 200 invarianzs, 8 ¡ I-emnisca.132 I¡yes dcl álgpbra v cto¡ial, ¿ Libre, lndicc, 167 Lli a, eldrcnto dc, 170, 187L¡ nea, inÉgra¡, 82, 87-%, lll

dlculo, 87-E9,lll circulac¡ón, 82, l3l indopcndicnte del c¿mino, I 89,90,lll, tr4,r29, tn tcoronra do Gr e! y do, I 12 rabqio, E2, 88 Lineal, fuente, 13 sumidcro, 13 Linealmenté dep ndientcs, res, 10, 15 Lorentz, transformación, 213 Lorcntz. Fitzgorald, 2t3 Luz, velocidad, 81 Matricos, 169, l?0, 185, t86 confomres, 170 igualdad, 170 operaciones, I 70 suma,l?0 IÑlatriz,73, 169 álgebra,170 columna,169 cu¿drada,1ó9 det rminante de una, 170, diagonal principal, 169 cle¡n ntos, ló9 fila, 169 inv rsa, 170, 209, 210 nula. 169 singular, 170 traspuesta,170, 210 Maxwell, ecuaciones, ?2, 8l en fornu tensorial. 206 Mecánica, 38, 56 de ñuidos, 82 Métrico, tcnsor, 170, 17¡, Métdcos, co ñcaentes,148 Mixto, tcnsor, 167, 168 Módulo de un vector, I Moebius,banda, 99

INDICE 221 t I rel="nofollow"> a( L D I ta a , r' b cinético,50,51, 56 Momento do una fuerza,25,26,50 triedro, 38 y fijo, sistema, 5l-53 Movimiento,de plan tas,85-87 d un fluido, 66, 67, 72,116,ll7, 125, t26 Múltipleftrnteconexa,región, I 10, 2-tt4 Multiplicación, de determinantes, 159 de natrices, t7O de tensores, 169 de un v ctor por ün esc¿lar, 2 escalar,16, 18-21, 182 extema,169, l8l interna, 169, 182 Yectorial,16, 17, 22-28 Nab¡a(v), 57,58 fó¡mulasen que aparece,58 invarianzade, 107, 123 opcrador en forma integral, 107, t23 Newton, tey de, 38, 50, 53 dela gravitaciónuniversal, 86 en forma tensorial. 203 Normal, a una superfrci , 49, 50, 56.6r exterioro positiva,49, 83

plano, 38,48 principal,38, 45, 47, 48, 50 Nula, nratriz, ló9 Nulo, vector, 2 Ondas,ecuación,72 Operaciones con tensores, 1ó9. 179-t84 Operador, dorivado respecto del ti mpo en sisternas ñjo y móvil, 51,52 laplaciana,58,64, 81, 2m nabla,57 Orden, de un tensor. 167 d una matriz, 169 Oriontablc, superñci ,99 Origen, de un vector, I indendencia de una ecuación veatorial, respectodel, 9 Ortocentro,33 Ortogonal, transformación, 59 Ortogonales, coordenadas,bipola res, 140,160 cilíndricas,137, l3E cilíndric¿selípticas,139, 155, t60, t6l.2ll cilíndric¿sparabólicas,I 38 curvilíneas,49, 135, 137-141, l9l elipsoidales,l4O, 160 sféricas,137, 138 esferoidalesachatadas, l,l{), 145, l@, 16l esferoidales alargadas, 139, t@, l6t,2ll O¡togonales, coordGnadas, paraboloidales,139,160, 161, toroidales,l4l Osculador,plano, 38, 48 Pa¡,50, 5l Par'ábola-87. t38 Parabólicas. coordenadas. cilindri

css, 138, 1¡14, 154, 155, 160, l6r. 2l I div rgencia, 16l elementodc lfn a, l,f4 elem nto d volurn¿n. 145 gradiente,l6l,211 Jacobiano. l6l laplaciana,154, 155, 2ll rotacional,16l Schróedinger,ecuación, 16l slmbolod Christoffel, 2l I Paraboloidales,coordenadas, 139, l@, l6t, 2ll Paralelogramo,área, 17, 24 ley, suma de vector s,2, 4 Paramétricas. ecuaciones.de una curva, 39, 40 d una recta, 12 de una sup rñcie, 48, 49 Periodo de un planeta, 102 Permanentc,campo escalar, 3 Pesode un tenso'r.175 Pitágoras, teoreria, l0 Planetas, rnovimiento, 85-87 Plano, distancia al orig n, 2l cuación, 15, 21, 28 normal, 38, 46 osculador, 38, 48 rcctiñcante, 28, 48 tangente, 49, 50, 6l vector perp ndicular a un, 28 vectorcs cn cl, 3 Poisson.ccuación. 134 Polar. coordenadas.98 Posición, vector, 3 Positiva,normal, E3 Positivo, dir c{ión y s ntido, 89, 106, I l3 Potencial, energla, 94 escalar,73,81, 83, 91,92 v ctor.8l hincipal, diagonal, 169 Principal, normal, 38, 45, 47, 48, 50 Producto, de det rminanlcs, 159 de ¡natricls, 170 de tensores. 169 de un vector por un cscalar, 2 escalar,16, 18-21, 182 xterno, 169, l8l

interno, 169, 182 triple escalar, l7 ve.toríal, 16, 17, 22-28 P¡opio, vcctor, 2 Propios,valores,210 Proyección, de superficics, 95, 96 de un vector, 18, 20 Proyoctil,102 Punto,función escala¡ y vectorial, 3 Radio, de curvatura, 38, 45, 46, 50 de torsión,38, 45 R fprocos, conjuntos o sistcmas devectores,17, 30, 31, 34, 136, t1'l tensores,l7l Recta, ecuación, 9, 12 form¡ paranétrica, 12 forma simétrica, 9 Rectangularcs,sistema de coordenadas, 2 Yecto¡escomponenles, 3 Rectiñc¿nte,plano, 38,,E Régimen permanente,flujo calorl ñco, 127 cañpo sscalaf, 3 campo vectorial, 3 Región, múltiplen nte conexa, I t0, I l2-l t4 simplement conexa, 110, I13, l14 Relativa,ac leración,53 velocidad, 52 Relatiüdad, tr.oria, 148, 2O7, 213 Refativo, tenso¡, 175, 2O2, 2O-1 2t2 Resultante de v ctores, 2, 4, 5, L. l0 Riemann, espacio de, l7l, 172 llneas geodésicas,172, 196, 197 Rienrann-Christoff I, te.nsor, 207, 2t2 Rlgido, sólido, movimiento, 59

velocidad, 26, 33 Rotación,deejes, 58, 76, 77 invarianza, 58t 59,16, 77, 8l pura, 59 sistcm¿de coordenadas,en, 51, 52 Rotacional,57,58, 61 -72 deñnición en forma integral, I 23, t52,153 del gradiente,58,69,211 e¡ coordenad¿s cilfndricas, 153, 154 en coordenadas cillndricas Parabólicas, 16l en coordenadas curvillneas orto gonales,137,150 en coordenadas esféricas,154 form¿ tensorial, 174, 200 i¡varianza, 8 I significadoffsico, 72, l3l Schrihdingcr, ecuación, I 6l S nos, teorema, triángulos planos, 25 triáogulos esféricos, 29, 30 Seudfndice,167

717 INDICE Simét¡ica, forma de la ecuación de una recta, 9 Simple, curva cerrada, 82, 106 á.ea liñitada por una, I l l Simplementeconexa, región, ll0, 113, I t4 Singular, matriz, 170 punto,141 Sistema de refe¡eDcia,58, 166 So¡enoidal,campo, 6'1, 7 3, l2O, 126 Sólido, ánguio, I24, 125 Stokes, teorema del rotacional, 106, I t0, 126-13l demostr¿ción, 127-129 fo¡ma tensorial,212 rcorema d Greef¡como caso paÍicula¡, I l0 Suma,de matrices, 170 de tensores, 169 Suma de vectores,2, 4, 5 ley del triángu¡o, 4 Iey del paralelogramo,2, 4 propiedadasociatiya, 2, 5 propiedad conmutativa, 2, 5 Sumación,convenio de los índices rep tidos,167, 175, 176,201 Surnidero, 13,67, 120 campo d tipo, 13 Superíndices,166 Superficie, árca de una, 104, 105, t62 coordenadascuNilíneas sobre una supe¡ficie, 48, 49, 56, elemento de línea, 56, 148 integralde, 83, 94-99 Superñcics,37 ángulo,63. coordenadas,135 de dos caras, 83 de una cara, 99 elemento de lfnea, 56 normal exterior, 83 orientables,99 Sustracción, de tensores, 169 de vgctorgs, 2 Tangentea uDa curva en el, espacio,

37, 38, 40. 45, 47, 48, 50 plano,49, 50, 6l Tensor, absoluto, 175 asociado,l?1, 190, l9l,2l0 campo, 168 cartcsiano,2l0 Tenso¡, conjugado, l7l contravariante, 157, 167, 168 cova ante, 158, 167,168 curvatura,207 densidad,175, 203 fundamental, l7l hemisimétrico, 168, 169 métrico, 170 mixto, 167, 168 orden de un, 167 reciproco, l7l rclativo, 175,,202, 203, 212 simétrico, 168 Tensorial, análisis, 73, 137, 158, t66-7.t7 campo,168 densidad, 173, 203 Tenso¡es, operaciones fundamen tales, 169, 179-184 Térmica, conductividad, I 26 Toroidales, coordenadas, 141 Torsión, 38, 45,47,213 radio de, 38, 45 T¡abajo,21, 82, 86-91 como integral de llr¡ea, 88-91 T¡ansformación, ¿fín, 59, 210, de coordenadas, 58, 59, 76, 135, 166 ortogonal,S9 Traslación,59 Traspuesta de una matriz, 170, 210 Triada, 38 Triádicas, 73 Triángulo, áLrea, 24, 25 l y de la suma de vectores, 4 Triedro móvil, 38 Triple producto, 17,26-31 Umbral, índice, 167 Unitaria, diada, 73 matriz, ló9

Unitarios, rectangulares, 2, 3 Yectores, 2, I I Variable, 35, 36 Vector, área, 25, 83 campo, 3, 12, 13, 168 columna, 169 derivada respecto del empo, 51 5? ecuación, 2, 9 fila, 169 ffi,",h Z |BMA s. ¡i sAtAS Vector, función de posicién,3 funcíón de punto, 3 módulo, I, l0 nulo,2 operadornabla, 57, 5t potencial,8l p¡oducto, 16, 17,22-26 posición,3 radio, 3 triple producto, 17, 2Gll Vectores, l, 4 álgebra,1,2 ángulo, 19, 1?2, 190 colineales,8 componentes,3, 7, 8 componenres 136, 156, 157, 167 componentes covariantrs, 157, I58, I67 coplanarios,3 derivación,35-36 en la base, 7, 8, 136extÍgmo, I igualdad,I origen, I r cfprocos, 17 reprosentaciónanalitica I representacióngráfic4 l, I resultante, 2, 4, 5,6, lO suma, 2, 4 unirarios, 2, 136 Vectorial, producto, 16, 17. forma d dete¡mioantapropiedaddistributiva" lf.

23 Velocidad,4 angular, 26, 43, 52 Velocidad,a lo la¡go de rE en el espacio, 35, 39, ¡¡ angular, 26, 43, 52 aerolar, 85, 86 de la luz, 8l de un fluido, 179 de una particula,42, 5¿ lineal, 26 relativa ¿ observadons móvil,52,53 Volumen, del paralelepíptL 76 elemento de, 136,,137,It en coordenadas t37, ts9 integ¡ales de, 83, 99-l0f Vértices,campode,72