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SERIE DE CÁLCULO VECTORIAL PROFESOR: PEDRO RAMÍREZ MANNY TEMA 1 Para las siguientes funciones obtenga los puntos críticos y establezca la naturaleza de cada uno de ellos. 1) f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 6 x 2 + 6 y 2 + 8 Solución: ( 0,0 ) p.silla. ( 0, −4 ) máx. rel. ( 4, −4 ) p.s. ( 4,0 ) mín. rel.

2) z = e − xy Solución: ( 0,0 ) punto silla. 3) f ( x, y ) = e

⎛ x2 + y 2 ⎞ −⎜ ⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

Solución: ( 0,0 ) máx. rel.

4) f ( x, y ) = 3 x 3 + 18 xy + 3 y 2 + 63 x + 6 y + 30 Solución: ( 5, −16 ) mín. rel. (1, −4 ) punto silla

5) f ( x, y ) = cosh x + cosh y

Solución: ( 0,0 ) mín. rel.

6) Para los siguientes problemas, determine la función objetivo (F.O.)y la función restricción(F.R.). a) Encuentre tres números reales cuya suma sea 9 y la suma de sus cuadrados sea tan pequeña como sea posible. Solución: S = x 2 + y 2 + z 2 F.O. x + y + z = 9 F.R.

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b) Encuentre las dimensiones de una caja rectangular cerrada con volumen máximo que puede inscribirse en una esfera unitaria. Solución: f ( x, y, z ) = 8 xyz F.O. x 2 + y 2 + z 2 = 1 F.R. c) Encuentre las dimensiones del bote cilindrico circular recto cerrado de menor área de superficie cuyo volumen es 16π cm3 . Solución: f ( r , h ) = 2π r 2 + 2π rh F.O.

π r 2 h = 16π F.R. d) Determine las dimensiones del radio r y de la altura h del cilindro que puede ser inscrito en una esfera de radio 10, de tal modo que su superficie total sea máxima. Solución: f ( r , h ) = 2π r 2 + 2π rh F.O.

4r 2 + h 2 = 400 F.R. e) Hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen cuya superficie sea de 6 pulgadas cuadradas. Solución: f ( x, y, z ) = xyz F.O. xy + xz + yz = 3 F.R. 7) Sea la función f ( x, y ) = x + y con la restricción x 2 + y 2 = 4 , obtener los máximos y mínimos. Solución: 2, 2 máx. − 2, − 2 mín.

(

)

(

)

8) Calcular la distancia mínima del origen a la curva

⎧ x2 + y 2 = 1 C :⎨ 2 2 2 ⎩ x − xy + y − z = 1

3

1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 Solución: A ⎜ ,− , , , ⎟,B⎜ − ⎟, 2 2⎠ ⎝ 2 2 2⎠ ⎝ 2 1 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 1 C⎜ ,− ,− , D − , , − ⎟ ⎜ ⎟. 2 2⎠ 2 2 2⎠ ⎝ 2 ⎝ 9) Determine los puntos (x,y,z) del elipsoide 2 x 2 + 4 y 2 + 5 z 2 = 70 de modo que la suma de su primera y tercera coordenadas sea la mayor y la menor posible. Solución: ( 5,0, 2 ) , ( −5,0, −2 ) . 10) Un aro metálico cuya configuración geométrica esta representada por las ecuaciones y−x=0 ⎧ ⎨ 2 2 2 ⎩ x + y + 4 z − 27 = 0 esta en un medio con temperatura T ( x, y, z ) = xyz + 10 . Determinar los puntos donde el aro está más caliente y donde está frío. Solución: 3⎞ ⎛ 3⎞ 27 ⎛ Más calientes: ⎜ 3,3, ⎟ y ⎜ −3, −3, ⎟ con T = 10 + 2 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎞ ⎛ 3⎞ 27 ⎛ Más fríos: ⎜ 3,3, − ⎟ y ⎜ −3, −3, − ⎟ con T = 10 − 2 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 11) Aplicar el análisis de la variación de una función para establecer las ecuaciones de las rectas sobre las cuales se localizan los ejes de la elipse de ecuación 5 x 2 + 8 xy + 5 y 2 = 9 . (Sugerencia: Tomar en cuenta que la elipse tiene su centro en el origen). Solución: y ± x . 12) Se desea fabricar un recipiente sin tapa con forma de cilindro circular recto y cuyo volumen sea de 16 m3 . Si el m 2 del material para la base cuesta el doble que para la pared, calcular

4

las dimensiones que debe tener el recipiente para que el costo sea el mínimo. 2 4 Solución: r = 3 , h = 3

π

π

13) Obtener las dimensiones de un silo de almacenamiento formado por un cilindro que tiene en la parte superior a una semiesfera, de modo que se tenga un volumen máximo, si el área de la lámina con que se cuenta para construirlo es de 215 m2 . 43 . Solución: h = r =

π

14) Calcular el valor de los extremos absolutos de la función f ( x, y ) = x 2 − y 2 definida sobre la región ⎧ ⎫ x2 y 2 R = ⎨( x, y ) + ≤ 1; ( x, y ) ∈ R 2 ⎬ . 4 9 ⎩ ⎭ Solución: ( 0,3) y ( 0, −3) mínimos absolutos ( 2,0 ) y ( −2,0 ) máximos absolutos 15) Determinar el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f ( x, y ) = 2 x 2 − 4 x + y 2 − 4 y + 1 en una región del dominio de f limitado por x = 0, y = 2, y = 2 x . Solución: f ( 0,0 ) = 1 máximo absoluto f (1, 2 ) = −5 mínimo absoluto 16) Determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 en una región del dominio de f limitado por y = 3 , y = x 2 − 1. Solución: f ( 0,0 ) = 0 mínimo absoluto f ( −2,3) = f ( 2,3) = 13 máximo absoluto

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1EP TIPO A 2005-1 17) Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función f ( x, y ) = e6 xy 18) Determinar los valores extremos de la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 5 en la región cerrada R del plano XY limitada por las gráficas de y = 5, y = − 5 y x 2 − y 2 = 4 . 19) Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar las coordenadas de los vértices de la hipérbola representada por la ecuación xy = 4 . Nota: La hipérbola tiene su centro en el origen. 20) Se desea fabricar una caja sin tapa, con forma de paralepípedo y tal que su volumen sea de 4m3 . Determinar las dimensiones que debe tener la caja de modo que el costo de la soldadura que se va a utilizar para soldar las caras y la base sea el mínimo. SOLUCIONES: 17) ( 0,0 ) punto silla 18) f ( 0,0 ) = 5 mínimo absoluto. Máximos absolutos: f −3, 5 = f 3, 5 = f −3, − 5 = f 3, − 5 = 19

(

) (

) (

19) Vértices: ( 2, 2 ) , ( −2, −2 ) 20) x = 2, y = 2, z = 1 (metros).

) (

)

6

TEMA 2

21) Encuentre la fórmula para el campo vectorial con las propiedades dadas: Todos los vectores son de longitud unitaria y perpendiculares al vector de posición en ese punto, en el plano cartesiano. yiˆ − xjˆ . Solución: f ( x, y ) = 2 2 x +y 22) Determine si la parábola semicúbica f ( t ) = (1 + t 3 ) iˆ + t 2 ˆj es

suave. Solución: Es suave para t ≠ 0 . 23) Sea C la curva de ecuación r ( t ) = ( 2 − 2cos t ) iˆ + ( 2 sent ) ˆj + ( 2 + 2cos t ) kˆ . Determinar las coordenadas de los puntos de C en los que la recta tangente es perpendicular a su vector de posición. Solución: ( 0,0, 4 ) , ( 2, 2, 2 ) , ( 4,0,0 ) , ( 2, −2, 2 ) . 24) Determine una ecuación cartesiana de la curva r ( t ) = t iˆ + ( 2 − t ) ˆj .

( )

Solución: y = 2 − x 2 , x ≥ 0 . 25) Una partícula se mueve alrededor de la elipse 2 2 ⎛ y⎞ ⎛z⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 en el plano yz, en sentido contrario al ⎝ 3⎠ ⎝2⎠ movimiento de las manecillas del reloj. Encuentre los valores máximo y mínimo de v . (Sugerencia: encuentre primero los 2

valores extremos de v y luego saque raíces cuadradas). Solución: máx v =3, mín v =2.

7

26) Encuentre unas ecuaciones paramétricas de la elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 1, de tal manera que el recorrido del vector de ⎛1 ⎞ posición que barre a la curva se inicie en el punto ⎜ ,0 ⎟ y el ⎝2 ⎠ sentido del recorrido del extremo de dicho vector sea el de las manecillas del reloj. 1 ⎧ x cos t = ⎪⎪ 2 Solución: ⎨ ,0 ≤ t < 2π 1 ⎪ y = − sent ⎪⎩ 3 27) Una partícula se mueve desde el punto A ( 3,0, 4 ) hasta el ⎧4 x 2 + 9 y 2 = 36 punto B ( 0, 2, 4 ) sobre la elipse ⎨ ; determine unas z=4 ⎩ ecuaciones paramétricas para esta curva. ⎧ x = 3cos t π ⎪ Solución: C: ⎨ y = 2 sent ,0 ≤ t ≤ 2 ⎪ z=4 ⎩ 28) Una partícula se mueve del punto A

(

)

5,3,0 hasta el punto

⎧ x 2 + y 2 + z 2 = 14 ; obtenga unas B 5,0,3 sobre la curva C : ⎨ 2 2 + = 9 y z ⎩ ecuaciones paramétricas.

(

)

⎧ x= 5 ⎪ π Solución: C : ⎨ y = 3cos t ,0 ≤ t ≤ 2 ⎪ z = 3sent ⎩

8

⎧ x = 6t ⎪ 29) Calcule la longitud de la curva C : ⎨ y = −2 sen ( 3t ) , con ⎪ z = −2cos ( −3t ) ⎩ 0≤t ≤π . Solución: 3 8π unidades de longitud.

30) Encuentre la longitud de arco de la curva r ( t ) = cos tiˆ + sentjˆ + tkˆ , desde el punto (1,0,0 ) hasta el punto (1,0, 2π ) . Solución: s = 2 2π unidades de longitud. 31) Una partícula se mueve en el plano xy según la ley de 3 posiciones r ( t ) = ( t 2 − 1) iˆ + ( t 2 − 1) ˆj donde t es el tiempo. Determinar, si existen los puntos donde la partícula se detiene. Solución: ( −1, −1) . 32) Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria r ( t ) = iˆ − 4t 2 ˆj + 3t 2 kˆ , donde t es el tiempo. Determine a) la curvatura y la torsión de la trayectoria. b) La forma de la trayectoria Solución: k = 0, τ = 0; es una recta. 33) Sea S la superficie cuyas ecuaciones paramétricas son x = u + v; y = u − v; z = u 2 − v 2 , obtener una ecuación del plano tangente a S, en el punto P ( 2,0,0 ) . Solución: 2 y − z = 0

9

34) Sea S la superficie de ecuación vectorial r ( u , v ) = u cos viˆ + usenvjˆ + u 2 kˆ con 0 ≤ v ≤ π ; u ≥ 0 y C la curva de ecuación vectorial r ( t ) = tiˆ + tjˆ + 4kˆ .Calcule las coordenadas del punto de intersección entre S y C. Solución: P 2, 2, 4 .

(

)

35) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es r ( t ) donde T , N , B son sus vectores tangente, normal y binormal respectivamente y 1 dT τ la torsión de C. Si = − ˆj , B = kˆ y τ = 6 para un punto P 5 ds dN de la curva C. Obtener los vectores N , , así como el radio ds de curvatura de C. dN 1 ˆ Solución: N = − ˆj , = i − 6kˆ, ρ = 5 ds 5 36) Sea C la curva de ecuación r ( t ) = sentiˆ + 2 sentjˆ + 3cos tkˆ . Determine si la curva es plana. Solución: Es plana. 37) Una partícula se mueve según la ley de posiciones 3 r ( t ) = ( t − 1) iˆ + ( 3t 2 − 8t ) ˆj + ( 2t + 4 ) kˆ , calcular el vector aceleración normal de la partícula en el punto donde t = 2 . 48 6 ˆ 84 ˆ Solución: aN = iˆ + j− k. 29 29 29 38) Encuentre unas ecuaciones paramétricas para la esfera de centro ( 2, −1,3) y radio 5.

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⎧ x = 2 + 5senφ cosθ ⎪ 0 ≤φ ≤π ⎪ Solución: ⎨ y = −1 + 5senφ senθ , 0 ≤ θ < 2π ⎪ ⎪⎩ z = 3 + 5cos φ 39) Sean las superficies de ecuaciones S1 : x 2 − y 2 + z 2 = 12 y S 2 : r ( s, t ) = ( s 2t + 2 ) iˆ + ( s − t ) ˆj + 3t 2 kˆ .

Obtenga unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección entre las superficies S1 y S 2 en el punto P ( −2, −1,3) . ⎧ x = −2 − 40λ ⎪ Solución: : ⎨ y = −1 − 17λ , λ ∈ R ⎪ z = 3 − 21λ ⎩ 40) Sean S la superficie de ecuación vectorial r ( u , v ) = u cos viˆ + usenvjˆ + u 2 kˆ con 0 ≤ v ≤ π , u ≥ 0 y C la curva de ecuación vectorial r ( t ) = tiˆ + tjˆ + 4kˆ a) Calcular las coordenadas del punto de intersección entre S y C. b) Determinar si C es perpendicular a S. Solución: a) 2, 2, 4 b) la curva C no es perpendicular a la

(

)

superficie. 41) Utilice coordenadas curvilíneas para calcular el área de la región limitada por las rectas de ecuaciones y = x, y = x + 2, y = −2 x, y = −2 x + 6 (Sugerencia: una de las ecuaciones de transformación es y − x = u ). Solución: A=4 unidades de área.

11

42) Encuentre el área de la región R del plano xy limitada por las curvas y 2 = 8 x , y 2 = x , x 2 = 8 y , x 2 = y ; utilizando el cambio de coordenadas al sistema ( u , v ) definido mediante las ecuaciones y 2 = ux ; x 2 = vy . 49 unidades de área. Solución: AR = 3 43) Para el sistema curvilíneo definido por las ecuaciones de transformación u = x − 3 y , v = 3 x + y ; obtenga el factor de escala hu , el vector base eu y determine si el sistema curvilíneo es ortogonal. 1 1 ˆ 3 ˆ ; eu = Solución: hu = i− j ; es ortogonal. 10 10 10 44) Dadas las ecuaciones de transformación x = senhvsenu , y = cosh v cos u ; determine si el sistema curvilíneo es ortogonal; calcule el factor de escala hu . Solución: Es ortogonal hu = senh 2v + sen 2u 45) Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ayziˆ + bxzjˆ + cxykˆ donde a, b, c ∈ R y a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 . Determinar los valores de a, b, c tales que el campo F sea solenoidal e irrotacional. Solución: a = b = c 46) Determine si la función f ( x, y ) = cos xsenhy es armónica. Solución: Es armónica. 47) Para la función f ( ρ ,θ , z ) = ρθ z , calcule su gradiente. Solución: ∇f = θ zeρ + zeθ + ρθ ez .

12

48) Sea el campo vectorial f ( ρ ,θ , z ) = e ρ eρ + 2

1

ρ

senθ eθ + z 2 ez

Investigue si es solenoidal. Solución: No es solenoidal, 2 ⎤ 1⎡ 2 1 ∇ ⋅ f = ⎢ e ρ + 2 ρ 2e ρ + cosθ + 2 ρ z ⎥ ρ⎣ ρ ⎦ 49) Sea el campo vectorial f = senφ senθ eρ + senθ cos φ eφ + cosθ eθ investigue si es irrotacional. Solución: Es irrotacional. Segundo examen parcial 2004-2

50) Una partícula se mueve a lo largo de la curva C representada por r ( t ) = 2 cos t iˆ + 2 cos t ˆj + ( 2 sent ) kˆ . Determinar las

(

) (

)

coordenadas de los puntos de la curva donde: a) La velocidad de la partícula es perpendicular a su vector de posición. b) La aceleración “apunta” hacia el origen. Solución: a) La velocidad es perpendicular r ( t ) en todo punto de la curva. b) La aceleración apunta hacia el origen en todo punto de la curva. 51) Sea C una de las curvas representadas por ⎧ x 2 + y 2 + z 2 = 25 C :⎨ y que contiene a los puntos A(0,4,3) y 2 2 ⎩ x + y = 16 B(-4,0,3).

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a) Obtener una ecuación vectorial de la curva C. b) Calcular la longitud de la curva entre los puntos A y B. c) Determinar el triedro móvil en el punto A d) Calcular la curvatura de C. e) Determinar si la curva es plana. Solución: a) r ( t ) = ( 4cos t ) iˆ + ( 4s ent ) ˆj + ( 3) kˆ b) Por ser una circunferencia s = 2π u.l. ó s = 6π u.l. c) T = −iˆ, N = − ˆj , B = kˆ 1 4 e) La curva es plana ya que está contenida en el plano z = 3

d) k =

⎧ x=u ⎪ 52) Sea la superficie S representada por S : ⎨ y = u cos v ⎪ z = usenv ⎩ a) Obtener una ecuación vectorial de S . b) Con la ecuación obtenida en el inciso anterior, determinar la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto P − 2,1,1 .

(

)

Solución: a) r ( u , v ) = ( u ) iˆ + ( u cos v ) ˆj + ( usenv ) kˆ b)

2x + y + z = 0

⎛1⎞ 53) Determinar si la función f ( ρ ,φ ,θ ) = ln ⎜ ⎟ , dada en ⎝ρ⎠ coordenadas esféricas, es armónica. Solución: 1 ∇ 2 f = − 2 ∴ f no es armónica.

ρ

14

⎧ u = 2x + y 54) Sea la transformación T : ⎨ y sea R una región ⎩v = 2 y − x + 1 en el plano xy cuya área es igual a 4u 2 . Determinar: a) Si el sistema de coordenadas ( u , v ) es ortogonal. b) Los factores de escala hu y hv . c) Los vectores base eu y ev . ⎛ x, y ⎞ d) El Jacobiano de transformación J ⎜ ⎟. u , v ⎝ ⎠ e) El área de la región R ' , siendo R ' la imagen de la región R bajo la transformación T . Solución: a) Es ortogonal. 1 1 b) hu = y hv = 5 5 2 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 2 ˆ i+ j y ev = − i+ j. c) eu = 5 5 5 5 ⎛ x, y ⎞ 1 d) J ⎜ ⎟=5 u , v ⎝ ⎠ e) área de R ' = 20u 2 r 55) Sea el campo vectorial F representado por F = 3 en donde

ρ

r = xiˆ + yjˆ + zkˆ y ρ = r .

a) Determinar si F es solenoidal. b) Determinar si F es irrotacional. Solución: a) Sí es solenoidal. b) Es irrotacional.

15

TEMA 3 1 3 xy + 2 y 2 − x ) dy , ( 2 C sobre la trayectoria formada por las rectas que unen a los puntos: P1 ( 0,0 ) , P2 ( 0,1) , P3 (1,1) . 1 Solución: − . 3

56) Calcular el valor de

2 x ( ∫ − 2 xy ) dx +

57) Calcular ∫ x 2 ydx + xy 2 dy a lo largo de la trayectoria C

mostrada en la figura. (1EF/B/2002-2)

Solución:

15 2

58) Calcular la integral de línea I =

∫ ( 3x − y ) dx + ( x + 5 y ) dy C

sobre la circunferencia de ecuaciones x = cos t ; y = sent ; 0 ≤ t ≤ 2π . Solución: I = 2π

16

59) Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = x 2iˆ + y 2 ˆj + z 2 kˆ . Calcular ∫ F idr a lo largo de la trayectoria del plano XY dada C

(

)

por y 2 = x , del punto A ( 0,0,0 ) al punto B 2, 2,0 . (1EF/A/2003-1) Solución: ∫ F idr = C

(

)

2 4+ 2 . 3

60) Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( 3 x + yz ) iˆ + ( 2 x + y 2 ) ˆj + ( xz ) kˆ , calcular ∫ F idr a C

⎧x = 2 + y del punto A ( 3,1,1) al punto lo largo de la curva C : ⎨ 2 ⎩ y=z B ( 3,1, −1) . (3EP/A/2002-1) 4 Solución: ∫ F idr = − 5 C

61) Sea F el campo vectorial definido por F ( x, y, z ) = ( 2 x + senπ y ) iˆ + (π x cos π y + z 3 ) ˆj + ( 3 yz 2 − 4 z ) kˆ Calcular el valor de ∫ F idr del punto A ( 0,0,0 ) al punto C

B ( 2, 2, 2 ) a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura. (3EP/A/2001-2)

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Solución: 12 62) Sea el campo vectorial cuya ecuación es ez y ˆ ez x ˆ z F ( x, y , z ) = i+ j + e ang tan ( xy ) kˆ 2 2 2 2 1+ x y 1+ x y Calcular ∫ F idr , a lo largo de una vuelta completa a la curva C

de ecuaciones x 2 + z 2 = 16 , x + y + z = 10 . Solución: ∫ F idr = 0 . C

63) Calcular el trabajo que efectúa el campo de fuerzas F ( x, y, z ) = ( 2 y 2 senz − 2 x ) iˆ + ( 4 xysenz + 1) ˆj + ( 2 xy 2 cos z + 4 ) kˆ

π⎞ ⎛ al desplazar una partícula del punto A ⎜ 0,0, ⎟ al punto 2⎠ ⎝ B ( 0,0, π ) . (1EF/B/2004-2) Solución: W = 2π unidades de trabajo. 64) Obtener el valor de

∫ F idr

calculada a lo largo de la

C

circunferencia de radio 1 con centro en el origen donde 2 xy 2 ˆ 2x2 y ˆ F ( x, y ) = i+ j 4 4 4 4 1− x y 1− x y Solución:

∫ F idr = 0 .

C

B 65) La integral ∫ F idr a lo largo de cualquier trayectoria que A C une al punto A ( 0,0 ) con el B ( 2, 4 ) es igual a 72, donde F ( x, y ) = ( 5 y − 6 x 2 ) iˆ + ( 6 y + ax ) ˆj .

18

Calcular ∫ F idr a lo largo de la trayectoria k : y = x 3 , del punto k

P (1,1) al punto Q ( 2,8 ) . (2EF/A/2004-2) Solución: 250

66) Sea F el campo vectorial cuya ecuación en coordenadas polares es F ( ρ ,θ ) = ρ 2 cosθ eρ + ρ 2 s enθ eθ , calcular ∫ Fdr a C

lo largo de la curva C de ecuación x + y − 4 y = 0 del punto A ( 0,0 ) al punto B ( 0, 4 ) para x ≤ 0 . Solución: −16π 2

2

67) Determinar si el campo vectorial F ( ρ ,θ , z ) = 8 ρθ 2 z 3eρ + 8ρθ z 3eθ + 12 ρ 2θ 2 z 2ez es un campo conservativo y de ser posible, encontrar la función φ ( ρ ,θ , z ) tal que F = ∇φ . Solución: φ ( ρ ,θ , z ) = 4 ρ 2θ 2 z 3 + C 68) Calcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas F ( ρ ,θ ) = θ eρ + eθ , dado en coordenadas polares, al desplazar una partícula a lo largo de la curva C : x 2 + 4 y 2 = 4 desde el punto A ( 2,0 ) hasta el punto B ( 0,1) , dados en coordenadas cartesianas. (1EF/A/2004-1) Solución: W =

π

2

unidades de trabajo.

19

TEMA 4 4 2

69) Calcule el valor de I = ∫ 0

∫ senπ y dydx 3

x

Solución: cero 70) Calcular el área de la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones x 2 + y 2 = 9 , x + y = 3 . 9⎛π ⎞ Solución: A = ⎜ − 1⎟ u 2 . 2⎝ 2 ⎠

71) Para calcular el área de una región del plano XY se obtuvieron las integrales 0

A=

9

2 9

∫ ∫ dydx + ∫ ∫ dydx

2 −3 x − 3 3

0 3x

a) Cambiar el orden de integración, de modo que el área se obtenga con una sola integral doble. b) Obtener el área de dicha región. (1EE/A/2002-1) Solución: ln y 9 ln 3

a)

A=∫ 1

b)

∫

−

dxdy

ln y 3ln 3

32 ⎞ 2 ⎛ A = ⎜ 24 − ⎟u . 3ln 3 ⎠ ⎝

72) Utilizar integrales doble para calcular el área de la región del plano XY localizada en el primer octante y limitada por las curvas de ecuaciones 16 ( x − 1) = y 2 , 8x = y 2 . (3EP/A/2002-1) 8 Solución: A = u 2 . 3

20

73) Utilizar integrales dobles para determinar el área limitada por 2 2 la elipse de ecuación ( x + 2 y + 4 ) + ( 3 x − 4 y − 2 ) = 100 . Sugerencia: Hacer un cambio de variable (1EF/B/2002-2) Solución: A = 10π u 2 . 74) Calcular

∫∫ ( x

2

R

+ y 2 ) dxdy siendo R la región del primer

cuadrante limitada por las curvas xy = 1, xy = 8, x 2 − y 2 = 3, x 2 − y 2 = 6 . (3EP/A/03-1) Sugerencia: Hacer el cambio de variable u = xy , v = x 2 − y 2 . 21 Solución: . 2 75) Calcular el área de un pétalo de la rosa cuya ecuación polar es ρ = cos 4θ .(2EF/A/2004-1) Solución: A =

π

16

unidades de área.

76) Utilizar integrales dobles para calcular el volumen de la región localizada en el interior de las superficies de ecuaciones x2 + z 2 − 4 = 0 y y2 + z 2 = 4 . 128 3 Solución: V = u 3 77) Determine la masa de la lámina que corresponde a la región limitada por un pétalo de la rosa ρ = 2sen 2θ en el primer cuadrante; la densidad en un punto de la lámina está dada por ρ ( x, y ) = k x 2 + y 2 donde k es una constante. 16 Solución: m = k unidades de masa. 9

21

78) Utilizar el teorema de Green para calcular el valor de 2 2 2 2 ∫ x ydx − xy dy donde C es la circunferencia x + y = 4 . C

Solución: −8π . 79) Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas F ( x, y ) = ( x3 + 2 y ) iˆ + ( y 2 + 4 x ) ˆj al mover una partícula a lo largo de la trayectoria cerrada mostrada en la figura. (3EP/A/2002-1)

Solución: −6 unidades de trabajo. 80) Utilizar el Teorema de Green para calcular

∫(

) (

)

2 y + 1 + x 6 dx + 5 x − e y dy sobre la trayectoria mostrada

C

en la figura (3EP/A/03-2)

Solución: 4.

2

22

81) Determinar el área de la superficie cuya ecuación vectorial es F ( u , v ) = u 2iˆ + v 2 ˆj + ( u 2 + v 2 ) kˆ para 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2 . Solución: A = 4 3 unidades de área. 82) Calcular el área de la porción de superficie de ecuación 4 − z = x 2 + y 2 localizada por arriba del plano XY. Solución: A =

π⎡ ⎤ u2. 17 1 − ⎦ 6⎣ 3

2

83) Utilizar integración doble para calcular el área de la porción del cono z 2 = x 2 + y 2 comprendida entre los planos z = 1 y z = 4 . (3EP/A/03-1) Solución: A = 15 2π unidades de área. 84) Calcular el área de la parte del cilindro x 2 + y 2 = 9 que está comprendida en el primer octante y que es cortada por el plano x = z . (3EP/A/2004-2) Solución: A = 9 unidades de área. 85) Calcular el área de la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que está comprendida entre los conos x 2 + y 2 = z 2 y 3x 2 + 3 y 2 = z 2 . (2EF/A/2004-1) Solución: A = 2π 3 − 2 unidades de área.

(

)

86) Calcular el volumen de la región que es limitada por las superficies S1 y S 2 representadas por: S1 : x 2 + z 2 = 4 − y , S 2 : y + 5 = 0 . (3EP/A/2004-1) 81 Solución: V = π unidades de volumen. 2

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87) Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies de ecuaciones x 2 + z 2 = 9 , y + z = 4 , x − 2 y − 3 z = 12 . Solución: V = 90π unidades de volumen. 88) Calcular el volumen de la región D que es interior al cilindro de ecuación y 2 + z 2 = 4 , y limitada por el plano x = 0 y el paraboloide y 2 + z 2 + 2 x = 16 . Solución: V = 28π unidades de volumen. 89) Dado el campo vectorial F ( x, y, z ) = ziˆ + xjˆ − y 2 kˆ , utilizar el Teorema de Stokes para calcular

∫ F idr , donde C es la

C

intersección del plano x + y + z − 1 = 0 con los tres planos coordenados. (1EF/A/2005-2) 2 Solución: . 3 90) Por medio del Teorema de Stokes, calcular el trabajo que efectúa el campo de fuerzas F ( x, y, z ) = xiˆ − zjˆ + ykˆ para desplazar una partícula una vuelta a lo largo de la curva ⎧ x2 + y2 = 4 C:⎨ ⎩ x−z =0 Solución: W = −8π unidades de trabajo. 91) Sea el campo de fuerzas F ( x, y, z ) = xiˆ − zjˆ + ykˆ . Emplear el Teorema de Stokes para determinar el trabajo que realiza el campo F para mover una partícula una vuelta a lo largo de la ⎧ z = 2x + 3y curva C de ecuaciones C : ⎨ 2 . 2 ⎩ x + y = 16 Solución: W = 32π unidades de trabajo.

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92) Utilizar el Teorema de Gauss para calcular el valor de la integral ∫∫ F inds donde F ( x, y, z ) = xiˆ + yjˆ + 2kˆ y γ la γ

superficie de ecuación vectorial r (φ ,θ ) = senφ cosθ iˆ + senφ s enθ ˆj + cos φ kˆ con 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤φ ≤π . 8 Solución: ∫∫ F inds = π . 3 γ 93) Sea el campo F = xiˆ + yjˆ + zkˆ . Calcular el valor del flujo neto de F a través de una esfera de radio R con centro en el origen. Solución: flujo = 4π R 3 94) El flujo neto del campo de fuerzas F ( x, y, z ) = x 3iˆ + y 3 ˆj + z 3kˆ a través de la superficie 384 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 es igual a π unidades de flujo. 5 Determinar el valor de r . (1EF/B/2004-2) Solución: r = 2 .