Serie Di Fourier 6c176w

Serie di Fourier In matematica una serie di Fourier è una rappresentazione di una funzione periodica (che in una accezione con caratteristiche di semplicità si chiede abbia periodo 2π) mediante una somma di funzioni periodiche della forma ; queste sono le potenze di , cioè le sue armoniche. Grazie alla formula di Eulero, la precedente serie può essere espressa equivalentemente mediante funzioni seno e coseno. Esse sono così chiamate in onore del matematico se Joseph Fourier (1768-1830), il quale fu il primo a studiare sistematicamente tali serie infinite (esse in precedenza erano state oggetto di investigazioni preliminari da parte di Eulero, d'Alembert, e Daniel Bernoulli). Fourier ha applicato queste serie alla soluzione dell'equazione del calore, pubblicando i suoi risultati iniziali nel 1807 e nel 1811 e l'opera più ampia, intitolata Théorie analytique de la chaleur nel 1822. Secondo il punto di vista moderno i risultati di Fourier sono a livello piuttosto informale, fatto imputabile in buona parte al fatto che la matematica negli anni iniziali del XIX secolo non aveva sviluppata una nozione precisa di funzione e di integrale. Solo dopo la metà del secolo Dirichlet e Riemann hanno riformulato i risultati di Fourier con maggiore precisione e in forma più soddisfacente. Successivamente sono state introdotte molte altre forme di trasformate collegate a quelle di Fourier. Queste nuove trasformate sono state utilizzate per altre applicazioni estendendo l'idea iniziale di rappresentare ogni funzione periodica come sovrapposizione di armoniche. I campi di indagine che si sono aperti ora in genere vengono fatti afferire alla cosiddetta analisi armonica o analisi in frequenza.

La funzione cubica standard resa periodica nell'intervallo (-π , π)

L'approssimazione della funzione sopra con due differenti troncate della sua serie di Fourier

Definizione di serie di Fourier

Consideriamo una funzione di una variabile reale a valori complessi che sia periodica con periodo e a quadrato integrabile sull'intervallo . Definiamo tramite la "Formula di analisi":

. In tal caso la rappresentazione mediante serie di Fourier della

è data dalla "Formula di sintesi":

. Ciascuno dei termini di questa somma è chiamato modo di Fourier. Nell'importante caso particolare nel quale la

è una funzione a valori reali, spesso risulta utile servirsi dell'identità

per rappresentare equivalentemente forma

e

come combinazione lineare infinita di funzioni della

, cioè come

, dove

)dx ; questa si riconduce alla precedente rappresentazione mediante le

.

Due approssimazioni di un segnale emesso a intervalli regolari

Esempio Consideriamo la funzione , funzione identità per la . Se si vuole considerare il suo sviluppo all'esterno di questo dominio la serie di Fourier richiede implicitamente che questa funzione sia periodica. Vogliamo calcolare i coefficienti di Fourier di questa funzione. Conviene osservare subito che è una funzione pari, mentre la nostra f e

Si osservi che e sono nulli in quanto x e Fourier per la funzione in esame è:

sono funzioni dispari.

sono funzoni dispari. Quindi la serie di

Può essere interessante vedere l'applicazione della serie di Fourier al calcolo del valore funzione zeta di Riemann.

della

Approssimazioni successive della funzione identità periodicizzata.

Convergenza delle serie di Fourier Mentre i coefficienti di Fourier e si possono definire formalmente per ogni funzione per la quale ha senso considerare gli integrali che forniscono i loro valori, se la serie così definita converga effettivamente alla

dipende dalle proprietà specifiche di tale funzione.

La conclusione più semplice si ha quando la

è a quadrato integrabile; in tal caso

(cioè si ha la convergenza nella norma dello spazio L2). Si conoscono anche molti criteri che consentono di garantire che la serie converga in un dato punto x. Ad esempio, se la funzione è differenziabile in x. Anche una discontinuità con salto non pone problemi: se la funzione possiede derivate a sinistra e a destra in x, allora la serie di Fourier converge al valore medio dei limiti a sinistra e a destra. Tuttavia si può riscontrare il fenomeno Gibbs. Peraltro si ha una possibilità che molti trovano sorprendente: la serie di Fourier di una funzione continua può non convergere punto per punto. Una discussione del controesempio, insieme ad altri risultati positivi e negativi che seguono lo schema generale "per funzioni di tipo X la serie di Fourier converge nel senso Y" si può trovare nell'articolo dedicato espressamente alla Convergenza delle serie di Fourier.

Alcune conseguenze utili delle proprietà di omomorfismo della funzione esponenziale Come conseguenza del fatto che le "funzioni base" gruppo circolare, valgono alcune utili identità: •

sono omomorfismi della retta reale sul

Se

allora, denotando con G la trasformata della g, . •

Se

è la trasformata della

, allora

, cioè la trasformata di Fourier di una convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier. Viceversa, se , allora la trasformata di Fourier H of h è la convoluzione delle trasformate di Fourier della f e della g:

.

Teorema di Parseval

Un'altra importante proprietà delle serie di Fourier è il teorema di Parseval, un caso particolare del teorema di Plancherel e una forma di unitarietà:

. indica la norma al quadrato della funzione. In particolare per la precedente funzione a valori reali f(x):

. L'identità ha un significato molto importante ed è relativo esclusivamente alla norma al quadrato: essa eguaglia una funzione periodica alla serie di Fourier corrispondente.

Formulazione generale Le proprietà delle serie di Fourier utili sul piano computazionale in senso lato sono in gran parte conseguenze dalle proprietà di ortogonalità e di omomorfismo delle funzioni . Molte altre successioni di funzioni ortogonali hanno proprietà simili; purtroppo però in questi casi si perdono utili identità (ad es. quelle concernenti le convoluzioni) che discendono dalla proprietà di omomorfismo. Esempi di utili funzioni ortogonali includono le successioni di funzioni di Bessel e i polinomi ortogonali. Tali successioni spesso corrispondono a soluzioni di una equazione differenziale; un'ampia classe di successioni utili sono soluzioni dei cosiddetti problemi di Sturm-Liouville. Essi si riconducono anche alle soluzioni di equazioni di Schrödinger della meccanica ondulatoria.