Series De Fourier 294v6o

SERIES DE FOURIER

Elaborado por: Marina Salamé

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1.SERIES DE FOURIER 1.1 Introducción Al ingeniero moderno le resulta útil la idea de describir ondas como una serie de funciones senoidales. Diariamente se está en o con sintetizadores de voz o de música que producen sonidos vocales o musicales como resultado de la generación de una serie adecuada de señales senoidales que activan una bocina estéreo. La precisión es el requisito básico en la transmisión de señales. Las señales en su forma original se transmitían a través de un canal. Por ejemplo, la transmisión del código Morse de puntos y rayas a través del cable Atlántico original se distorsionaba por la naturaleza RC del cable y su material aislante. Así, la velocidad de transmisión estaba limitada y la señal se distorsionaba a medida que viajaba a través del cable. El cable submarino transmite información lentamente, pero sólo utiliza un estrecho canal

de frecuencias. El teléfono transmite la información a una velocidad

intermedia con requisitos de ancho de banda moderados. La televisión transmite información a una velocidad alta y necesita una banda muy ancha de frecuencias. A lo largo de las líneas telefónicas largas, se distribuyen amplificadores repetidores que regeneran la señal en los puntos donde se debilita. Esto permite extender bastante la distancia de la transmisión. Algunos matemáticos del siglo dieciocho, incluyendo a Euler y Bernoulli, estaban al tanto de que una onda f(t) podría representarse aproximadamente con una serie finita ponderada de senoides armónicamente relacionadas. El barón Jean – Baptiste- Joseph Fourier propuso en 1807 que una onda periódica podría descomponerse en una serie infinitas de senoides simples que, al sumarlas, construirían la forma exacta de la onda original.

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1.2 Funciones periódicas. Definición 1 (Funciones periódicas) Una función f(t) tiene un periodo T o es periódica con periodo T si para todo t, f(t +T) = f(t), donde T es una constante positiva. El valor más pequeño de T>0 se llama el periodo principal o periodo fundamental o simplemente el periodo de f(t). Mediante repetición, se obtiene: f (t) = f ( t + nT ),

n = 0, ± 1, ± 2,LL

En general, el mínimo periodo ocurrirá cuando: T=

Ejemplo 1:

periodo natural de la funcion n

Obtener el menor periodo de f(t) = cos 2t. Como el periodo de la función coseno es 2π, entonces: T=

2π =π 2

El periodo de f(t) = cos 2t es T = π. 1.3 Serie de Fourier Definición 1: Sea la función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonométrica:

f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

Se llama serie trigonométrica de Fourier o f(t) = C0 +

∞

∑

n =1

Cn cos ( n ω0 t − θn )

Se llama la forma fase-ángulo de la serie de Fourier

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ω0 =

donde:

2π , y a0, an y bn ( todos reales ) se llaman coeficientes T

trigonométricos de Fourier. Usando la forma alterna de f(t) dada en la segunda ecuación, se tiene: Cn =

an2 + bn2

an

cos θn =

tan θn = C0 =

an2 + bn2

bn , ó an

s en θn =

,

bn an2 + bn2

,

⎛a ⎞ θn = tan−1 ⎜ n ⎟ , ⎝ bn ⎠

1 a0 2

La representación en series de Fourier de una función periódica, representa la función periódica como la suma de componentes sinusoidales que tienen diferentes frecuencias. La componente sinusoidal de frecuencia ωn = n ω0 se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo periodo de la función y ω0 = 2 π f0 =

2π se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los T

coeficientes Cn y θn se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente. Una serie de Fourier es una representación exacta de una señal periódica que consiste en la suma de senoides en las frecuencias fundamental y de las armónicas. El periodo de la onda f(t) y el periodo de la fundamental son los mismos. La naturaleza de la onda f(t) depende de la amplitud y la fase de todo posible componente

armónico,

y

resultará

posible

generar

ondas

que

tienen

características extremadamente no senoidales con una combinación apropiada de funciones senoidales.

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1.4 Propiedades de las funciones seno y coseno. Funciones ortogonales. Un conjunto de funciones φk (t) es ortogonal en un intervalo a < t < b si para dos funciones cualesquiera φm (t) y φn (t) pertenecientes al conjunto φk (t) , cumple: ⎧ 0 para m ≠ m ⎪ φm ( t ) φn ( t ) dt = ⎨ ⎪ r para m = m a ⎩ n

b

∫

Consideremos el conjunto de funciones sinusoidales : T 2

∫T

−

2

T 2

∫T

−

2

T 2

∫T

−

⎧ 0, m ≠ n ⎪ cos ( m ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt = ⎨ T ⎪⎩ 2 , m = n ≠ 0,

⎧ 0, m ≠ n ⎪ sen ( m ω0 t ) sen ( n ω0 t ) dt = ⎨ T ⎪⎩ 2 , m = n ≠ 0,

sen ( m ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt = 0 para todo valor de m y n

2

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1.5 Evaluación de los coeficientes de Fourier: Utilizando las relaciones de ortogonalidad se pueden evaluar los coeficientes de Fourier f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

Cálculo de a0 ⎡ T T⎤

Integrando entre ⎢ − , ⎥ ⎣ 2 2⎦

T 2

∫T

−

T 2

∫T

f(t) dt =

−

2

=

1 a0 dt + 2

2

1 a0 2

T 2

T 2

∫T

−

⎡∞ ⎢ ( an cos ( n ω0 t ) + bn sen ( n ω0 t ) ) ⎢⎣n =1

∑

2

T 2

∞

∫T dt + n∑=1 an ∫T

−

2

⎤ ⎥ dt ⎥⎦

−

cos ( n ω0 t ) dt +

2

T 2

∞

∑ bn ∫ T

n =1

−

sen ( n ω0 t ) dt

2

Mediante el cálculo elemental se puede demostrar que: T 2

∫T

−

cos ( n ω0 t ) dt = 0, para n ≠ 0

T 2

y

∫T

−

2

sen ( n ω0 t ) dt = 0,

para todo valor de n

2

donde, T 2

1

∫T f(t) dt = 2 a0 T

−

2

1 1 a0 = 2 T

T 2

∫T f(t) dt

−

observemos que

a0 es el valor promedio de f(t) durante un 2

2

periodo.

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Despejando a0, obtenemos:

a0 =

2 T

T 2

∫T f(t ) dt

−

2

Cálculo de an f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

Multiplicando ambos lados por cos ( n ω0 t T 2

∫T

−

f(t)cos ( n ω0 t ) dt =

T 2

∫T

−

2

1 a0 cos ( n ω0 t ) dt + 2

2 T 2

∫T

+

−

⎡∞ ⎢ bn sen ( n ω0 t ⎢⎣n = 1

∑

) e integrando entre T 2

⎡ T T⎤ ⎢ − 2 , 2 ⎥ , se obtiene ⎣ ⎦

⎡∞ ⎤ ⎢ an cos ( n ω0 t ) ⎥ cos ( n ω0 t ) dt ⎢⎣n = 1 ⎥⎦

∫T ∑

−

2

⎤

)⎥ cos ( n ω0 t ) dt ⎥⎦

2

Intercambiando el orden de los signos de integración y sumatoria se obtiene: T 2

∫T f(t)cos ( n ω0 t ) dt =

−

1 a0 2

2

+

T 2

∫T cos ( n ω0 t ) dt + n∑=1 an ∫T

−

−

2 T 2

∞

∑ bn ∫ T

n =1

T 2

∞

−

cos ( n ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt

2

sen ( n ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt

2

Aplicando las relaciones de ortogonalidad, se tiene T 2

∫T

−

cos ( n ω0 t ) dt = 0, para n ≠ 0

2

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T 2

∫T

−

cos ( n ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt =

T , para n ≠ 0 2

2

T 2

∫T

−

sen ( n ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt = 0, para todo valor de n

2

Reemplazando, T 2

∫T f(t)cos ( n ω0 t ) dt =

−

T an 2

2

despejando an

an =

2 T

T 2

∫T f(t) cos ( n ω0 t ) dt,

−

n = 0,1, 2, 3,.......

2

Cálculo de bn f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

Análogamente, multiplicando ambos lados por sen ( n ω0 t

) e integrando entre

⎡ T T⎤ ⎢ − 2 , 2 ⎥ , se obtiene ⎣ ⎦ T 2

∫T

−

f(t) sen ( n ω0 t ) dt =

T 2

∫T

−

2

+

2 T 2

1 a0 sen ( n ω0 t ) dt + 2

T 2

∫T

−

⎡∞ ⎢ an cos ( n ω0 t ⎢⎣n = 1

∑

⎤

)⎥ sen ( n ω0 t ) dt ⎥⎦

2

⎡∞ ⎤ ⎢ bn sen ( n ω0 t ) ⎥ sen ( n ω0 t ) dt ⎢⎣n = 1 ⎥⎦

∫T ∑

−

2

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T 2

∫T f(t) sen ( n ω0 t ) dt =

−

1 a0 2

2

+

T 2

T 2

∞

∫T sen ( n ω0 t ) dt + n∑=1 an ∫T

−

−

2 T 2

∞

∑ bn ∫ T

n =1

−

cos ( n ω0 t ) sen ( n ω0 t ) dt

2

sen ( n ω0 t ) sen ( n ω0 t ) dt

2

Aplicando las relaciones de ortogonalidad, se tiene T 2

∫T

−

sen ( n ω0 t ) dt = 0, para todo valor de n

2

T 2

∫T

−

cos ( n ω0 t ) s en ( n ω0 t ) dt = 0, para todo valor de n

2

T 2

∫T

−

sen ( n ω0 t ) sen ( n ω0 t ) dt =

T , para n ≠ 0 2

2

Reemplazando, T 2

∫T f(t) sen ( n ω0 t ) dt =

−

T bn 2

2

despejando bn

2 bn = T

T 2

∫T f(t) sen ( n ω0 t ) dt,

−

n = 1, 2, 3,.......

2

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Resumiendo, Los coeficientes de la serie de Fourier

a0 =

a0 2

2 T

T 2

∫T f(t ) dt

−

an =

2

es el valor promedio

2 T

T 2

∫T f(t) cos (nω0 t ) dt

−

2

n = 0,1,2,3, 4,L,

bn =

2 T

T 2

∫T f(t) s en (nω0 t ) dt

−

2

n = 1,2,3,4,L,

de f(t) durante un periodo. En general, no es necesario que el intervalo de integración sea simétrico alrededor del origen. El único requisito es que la integral se tome sobre un periodo completo. 1.6 Condiciones de Dirichlet Es importante establecer criterios simples para determinar cuando una serie de Fourier converge. En esta sección desarrollaremos las condiciones que debe cumplir f(t) para que se pueda encontrar la suma de la serie de Fourier. Un método bastante útil para analizar las propiedades de convergencia es expresar las sumas parciales de Fourier como integrales. Una función dada f(t) es posible representarla mediante una serie de Fourier si se satisfacen las siguientes propiedades matemáticas, conocidas como condiciones de Dirichlet : 1) f(t) es una función univaluada, excepto posiblemente en un número finito de puntos. 2) f(t) tiene un número finito de discontinuidades en el periodo T. 3) f(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en el periodo T. 4) La integral del valor absoluto de f(t) en un periodo es finita; es decir T 2

∫T

−

f(t) dt = finita < ∞

2

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⎡ T T⎤

Se dice que una función f(t) es continua por tramos en el intervalo finito ⎢ − , ⎥ , si ⎣ 2 2⎦ satisface las condiciones (1) y (2). Definición 1: (Función continua a trozos) Una función f es continua a trozos dentro de un intervalo si ambas f y f' son continuas a trozos en dicho intervalo.

Teorema 1:

Supongamos que f es continua a trozos y periódica entonces la serie de Fourier converge a: 1. f(t) si t es un punto de continuidad. 2.

1 ⎡ f ( t − ) + f ( t + ) ⎤⎦ si t es un punto de discontinuidad 2⎣

Esto significa que, en cualquier t dentro del intervalo -T y T, la serie de Fourier converge al promedio entre el límite izquierdo y el derecho de f(t) en t. Si f es continua en t, entonces los límites izquierdo y derecho son iguales a f(t), y la serie de Fourier converge a la misma f(t). Si f tiene una discontinuidad en t entonces la serie de Fourier converge al punto medio en la discontinuidad. Observación 1: Sea f una función continua a trozos. Se dice que f está estandarizada si los valores en los t i de discontinuidad están dados por f(ti ) =

1 ⎡ f ( ti − ) + f ( ti + ) ⎤⎦ 2⎣

Observación 2: Las condiciones impuestas a f(t) son suficientes mas no necesarias, si las condiciones se satisfacen la convergencia esta garantizada. Sin embargo si no se satisfacen la serie puede o no converger.

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Teorema 2:

( Desigualdad de Bessel) Sea f una función integrable en el intervalo [0,T]. Sean an, bn, cn los coeficientes de Fourier de f. Entonces a0

2

+

2

Teorema 3:

∑ ( an ∞

2

+ bn

2

n =1

)=2 ∑ ∞

ck

2

k = −∞

2 ≤ T

T

∫ f (t)

2

dt

0

(Lema de Riemann) Sea f integrable y an y bn los coeficientes de Fourier de f. Entonces: lim an = lim bn = 0

n→∞

n→∞

lo que implica π

lim

n→∞

Teorema 4:

∫

π

f(t)cosnt dt = lim

n→∞

−π

∫ f(t) sennt dt

=0

−π

(Identidad de Parseval) 2 T

T

∫

2

f (t) dt =

0

a02 + 2

∞

∑ ( an2 + bn2 )

n =1

Si an y bn son coeficientes de Fourier correspondientes a f(t) y si f(t) satisface las condiciones Dirichlet

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Ejemplo1: Determinar la serie de Fourier para la función f(t)

periódica con

periodo 2π y trazar la grafica de las tres primeras sumas parciales. f(t)

1 1 2

-π

t

π − 2

π 2

π

Solución: Paso 1. Encontramos los coeficientes de Fourier Cálculo de a0

Re emplazando

T=2π

⎡ −π 2 2 ⎢ 1 ⎢ a0 = dt + 2π ⎢ 2 −π ⎢⎣

∫

⎡ 1 ⎢ t = ⎢ π 2 ⎢⎣

−

π 2

−π

+ t

a0 =

en π 2

0

2 T

π

∫π 0 dt + ∫ 1 dt + ∫π

−

0

2

2

π 2 0

t + 2

−π π 2

T 2

∫T f(t) dt,

−

e int egrando obtenemos :

2

⎤ ⎥ 1 dt ⎥ 2 ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

= 1

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Entonces :

1 2 a0 = 2 T

T 2

1

∫T f(t) dt = 2

−

2

Cálculo de an

an =

2 T

T 2

∫T f(t) cos (nω0 t ) dt

−

2

Como T = 2 π

ω0 =

y

2π T

entonces

ω0 =

2π =1 2π

reemplazando obtenemos:

an =

2 2π

π

∫

f(t) cos ( n t ) dt

−π

⎡ −π 2 2 ⎢ 1 ⎢ an = cos ( n t ) dt + 2π ⎢ 2 −π ⎢⎣

∫

⎡ 1 ⎢ 1 sen ( nt ) = ⎢ π 2n ⎢⎣ =

1 π

−

π 2

−π

+

π 2

0

π

∫π 0 cos (n t ) dt + ∫ 1 cos (n t ) dt + ∫π

−

0

2

2

1 sen ( nt ) n

nπ nπ 1 ⎡ 1 ⎢ − 2n sen 2 + n sen 2 ⎣

−

π 2 0

1 + sen ( nt ) 2n

π π 2

⎤ ⎥ 1 cos ( n t ) dt ⎥ 2 ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

nπ ⎤ 1 sen 2n 2 ⎥⎦

= 0

entonces: an = 0

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Cálculo de bn T 2

2 T

bn =

∫T f(t) s en (nω0 t ) dt

−

2

Como T = 2 π

ω0 =

y

2π T

entonces

ω0 =

2π =1 2π

reemplazando obtenemos:

2 2π

bn =

π

∫

f(t) s en ( n t ) dt

−π

⎡ −π 2 ⎢ 2 1 ⎢ bn = sen ( n t ) dt + 2π ⎢ 2 −π ⎢⎣

∫

⎡ 1 ⎢ 1 sen ( nt ) = ⎢− 2n π ⎢⎣

−

π 2

π 2

0

π

∫π 0 sen (n t ) dt + ∫ 1 sen (n t ) dt + ∫π

−

0

2

−

−π

2

1 cos ( nt ) n

π 2 0

1 − cos ( nt ) 2n

π π 2

⎤ ⎥ 1 sen ( n t ) dt ⎥ 2 ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

=

1 π

⎡ 1 nπ ⎤ nπ nπ 1 1 1 1 1 ⎢ − 2n cos 2 + 2n cosn π − n cos 2 + n − 2n cosn π + 2n cos 2 ⎥ ⎣ ⎦

=

1 π

⎡ 1 nπ 1⎤ ⎢ − n cos 2 + n ⎥ ⎣ ⎦

=

1 nπ

nπ ⎤ ⎡ ⎢1 − cos 2 ⎥ ⎣ ⎦

entonces: bn =

1 nπ

nπ ⎤ ⎡ ⎢1 − cos 2 ⎥ ⎣ ⎦

como cos ( n π ) = ( −1)

n

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⎧ 1 ⎪ nπ, ⎪ ⎪ ⎪ nπ ⎤ 1 ⎡ ⎪ 2 bn = 1 − cos = , ⎨ ⎢ ⎥ nπ ⎣ 2 ⎦ ⎪ nπ ⎪ ⎪ ⎪ 0, ⎪⎩

si n es impar n = 1,3,5,7,9,11,........

si n = 2,6,10,..........

si n = 4,8,12.......

Paso 2. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie: 1 a0 + 2

f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

∞

∑

n =1

bn sen n t

De donde 1 1 2 1 1 + sen t + sen 2 t + sen 3t + 0 + sen 5t + LLL 2 2π 3π 5π π

f (t) =

=

⎞ 1 1⎛ 1 1 sen 3t + sen 5t + LLL ⎟ + ⎜ sen t + sen 2 t + 2 3 5 π⎝ ⎠

Paso 3. Graficamos S1, S2 y S3

S1 =

1 2

S2 =

1 1 + sen t 2 π

S3 =

1 1 2 + sen t + sen 2 t 2 π 2π

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f(t)

S2 S3

S1

Observemos que cada suma parcial se aproxima más a la función original y en el infinito coincide exactamente. Por ello la serie converge a f(t).

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Ejemplo2: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por: ⎧ −1 ⎪ f(t) = ⎨ ⎪ 1 ⎩

−π < t < 0 0 ≤t<π

Solución: Paso 1. Graficamos la función dada: f(t)

1

t

π

-π -1

Paso 2. Encontramos los coeficientes de Fourier

Reemplazando T = 2 π en a0 =

2 T

T 2

∫T f(t) dt , e integrando:

−

2

Cálculo de a0

a0 =

2 2π

π

∫

f(t) dt =

−π

1 ⎡ ⎢ − −1 d( − t) + π ⎢ ⎣ 0 π

=

0 1 ⎡ ⎢ −1 dt + π ⎢ ⎣ −π

∫

∫

−π ⎤ 1 ⎡ ⎢ − −1 dt + 1 dt ⎥ = π ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣ 0 π

∫

∫

⎤ 1 ⎡ 1 dt ⎥ = ⎢ − 1 d(t) + π ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣ 0 π

∫

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π

∫

π

⎤

0

⎦

∫ 1 dt ⎥⎥

⎤ 1 dt ⎥ = 0 ⎥⎦ 0 π

∫

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Entonces : 1 2 a0 = 2 T

T 2

∫T f(t) dt = 0

−

puesto que el valor promedio de la función f(t) durante un

2

periodo es cero

Cálculo de an

an =

an =

2 T

T 2

∫T f(t) cos (nω0 t ) dt

−

2 π

2 2π

∫

f(t) cos ( nω0 t ) dt

−π

π ⎤ 1 ⎡ = ⎢ −1cos ( nω0 t ) dt + 1 cos ( nω0 t ) dt ⎥ π ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣ −π −π π ⎤ 1 ⎡ ⎢ − −1cos ( nω0 t ) dt + 1 cos ( nω0 t ) dt ⎥ = π ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣ 0

0

∫

∫

∫

∫

π 1 ⎡ = ⎢ − −1 cos ( nω0 ⋅ − t ) d( −t) + π ⎢ ⎣ 0

∫

π 1 ⎡ ⎢ − 1 cos ( nω0 t ) d(t) + π ⎢ ⎣ 0 =0

∫

=

π

⎤ 1cos ( nω0 t ) dt ⎥ ⎥⎦ 0

∫

π

⎤

0

⎦

∫ 1cos (nω0 t ) dt ⎥⎥

entonces: an = 0 Calculo de bn

bn =

2 T

T 2

∫T f(t) s en (nω0 t ) dt

−

2

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bn =

2 2π

π

∫

f(t) s en ( nω0 t ) dt

−π

π ⎤ 1 ⎡ = ⎢ −1s en ( nω0 t ) dt + 1 s en ( nω0 t ) dt ⎥ π ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣ −π −π π ⎤ 1 ⎡ ⎢ − −1s en ( nω0 t ) dt + 1 s en ( nω0 t ) dt ⎥ = π ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣ 0 π π ⎤ 1 ⎡ = ⎢ − −1 s en ( nω0 ⋅ − t ) d( − t) + 1sen ( nω0 t ) dt ⎥ π ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣ 0 π π ⎤ 1 ⎡ = ⎢ 1 sen ( nω0 t ) d(t) + 1sen ( nω0 t ) dt ⎥ π ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣0 0

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

π

=

1 2 1 sen ( nω0 t ) d(t) π

∫ 0

π

⎤ 2 ⎡ 1 cos ( nω0 t ) ⎥ = ⎢− π ⎣ nω0 ⎦0

como T = 2 π y ω =

2π 2π entonces ω = =1 T 2π

reemplazando y evaluando obtenemos: π 2 1 ⋅ ⎡⎣ − cos ( nt ) ⎤⎦ 0 π n 2 ⎡ − cos ( n π ) + cos ( 0 ) ⎤⎦ = n⋅π ⎣ 2 ⎡ 1 − cos ( n π ) ⎤⎦ = n⋅π ⎣

bn =

bn =

2 ⎡ 1 − cos ( n π ) ⎤⎦ n⋅π ⎣

como cos ( n π ) = ( −1)

n

⎧ ⎪0, n par ⎪ bn = ⎨ ⎪4 ⎪ , n impar ⎩ nπ

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Paso 3. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie: f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

De donde f (t) =

=

4 π

∞

∑ 2n − 1 sen ((2n − 1)t ) 1

n =1

4 ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⋅ ⎜ sen t + sen 3t + sen 5t + sen 7t + sen 9t + LLL ⎟ π ⎝ 3 5 7 9 ⎠

Sucesión de sumas parciales : Es interesante ver cómo la sucesión de sumas parciales de una serie de Fourier se aproxima a una función. En la figura se compara la gráfica de la función f con las tres primeras sumas parciales de la serie obtenida

f( t )

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S1 =

4 sen t π

S1

S2 =

4 ⎛ 1 ⎞ ⋅ ⎜ sen t + sen 3t ⎟ π ⎝ 3 ⎠

S2

S3 =

4 ⎛ 1 1 ⎞ ⋅ ⎜ sen t + sen 3t + sen 5t ⎟ π ⎝ 3 5 ⎠

S3

Elaborado por: Marina Salamé

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La figura siguiente muestra la gráfica de la suma parcial S13, que tiene picos notables cerca de las discontinuidades en x = 0, x = π, x = - π,........etc. Este ”exceso” de las sumas parciales Sn, respecto a los valores de la función cerca de un punto de discontinuidad no se empareja, sino que permanece bastante constante, aunque el valor de n sea muy grande. A este comportamiento de una serie de Fourier cerca de un punto en el que f es discontinua se le llama fenómeno de Gibbs. Fenómeno de Gibbs S13

Elaborado por: Marina Salamé

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Ejemplo2: Encontrar

la

serie

de

Fourier

para

la

función

f(t)

definida

por: f(t) = t − π < t < π y graficar las tres primeras sumas parciales Solución: Paso 1. Graficamos la función dada:

Paso 2. Encontramos los coeficientes de Fourier, mediante las fórmulas de Euler. como T = 2 π y ω =

Reemplazando T = 2 π en a0 =

2π 2π entonces ω = =1 2π T

2 T

T 2

∫T f(t ) dt , e integrando:

−

2

Cálculo de a0

2 a0 = 2π

π

∫

−π

1 f(t) dt = π

π

∫

−π

1 t2 t dt = ⋅ π 2

Elaborado por: Marina Salamé

π

= −π

(

( )) = 0

1 2 π − −π2 4π

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Entonces : T 2

1 2 a0 = 2 T

∫T f(t) dt = 0

−

puesto que el valor promedio de la función f(t) durante un

2

periodo es cero

Cálculo de an

an =

2 T

T 2

∫T f(t) cos (nω0 t ) dt

−

2 π

2 an = 2π =

1 π

∫

f(t) cos ( nω0 t ) dt

−π

π

t cos ( nω0 t ) dt

∫

−π π

1 ⎡1 t ⎤ cosnt + sennt ⎥ = ⎢ 2 n π ⎣n ⎦ −π =

1 ⎡1 1 π π ⎤ cosnπ − 2 cosnπ + sennπ − sennπ ⎥ = 0 n n π ⎢⎣ n2 n ⎦

entonces: an = 0 Calculo de bn

bn =

2 T

T 2

∫T f(t) s en (nω0 t ) dt

−

2

Elaborado por: Marina Salamé

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2 2π

bn =

π

∫

f(t) s en ( nω0 t ) dt

−π

π 1 ⎡⎢ t s en ( nt ) dt = π ⎢ ⎣− π

∫

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ π

1 ⎡1 t ⎤ sennt − cosnt ⎥ = ⎢ 2 π ⎣n n ⎦ −π π ⎡ π ⎤ ⎢ − n cosnπ − n cosnπ ⎥ ⎣ ⎦ ⎧ 2 n = 1,3,5........ ⎪ n, ⎪ 2 = − cos nπ = ⎨ n ⎪ 2 ⎪− , n = 2,4,6........ ⎪⎩ n

=

1 π

Paso 3. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie: f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

De donde f (t) = 2

∞

( −1)n +1

n =1

n

∑

sen ( nt )

1 1 1 ⎛ ⎞ = 2 ⋅ ⎜ sen t − sen 2t + sen 3t − sen 4t + LLL ⎟ 2 3 4 ⎝ ⎠

Elaborado por: Marina Salamé

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Paso 4. Graficamos S1,S2 y S3 S1 = 2 sen t

S2 = 2 sen t − sen 2t

Elaborado por: Marina Salamé

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S2 = 2 sen t − sen 2t +

2 sen 3t 3

Todas las gráficas anteriores en un solo gráfico:

Elaborado por: Marina Salamé

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2. ANÁLISIS DE FORMAS DE ONDAS PERIÓDICAS 2. 1Simetrías de la forma de onda 2.1.a Funciones pares e impares Definición 1: Se dice que una función f(t) es par si satisface la condición de que: f(-t)= f(t) y se dice que es impar si f(-t)= -f(t)

Ejemplo

1: Funciones pares e impares 2

2

2

a) f(t)= t es par por que f(-t)= (-t) = t = f(t)

y = t2

f ( -t )

f(t)

-t

t

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. 3

3

3

b) f(t)= t es impar por que f(-t)= (-t) = -t = -f(t) y

-t f ( -t )

Elaborado por: Marina Salamé

= t3

f(t) t

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La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo 2:

Funciones pares e impares a) f(t)= cos(- t) es par por que f(-t)= cos (t)

b) f(t)= sen (t) es impar por que f(-t)= -sen (t)

Elaborado por: Marina Salamé

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Propiedades de las funciones pares e impares a) El producto de dos funciones pares es par. b) El producto de dos funciones impares es par. c) El producto de una función par y una función impar es impar. d) La suma o diferencia de dos funciones pares es par. e) La suma o diferencia de dos funciones impares es impar. f) Si f es par,

a

a

−a

0

∫ f(t) dt = 2 ∫ f(t) dt a

g) Si f es impar,

∫ f(t) dt = 0

−a

Elaborado por: Marina Salamé

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Series de senos y cosenos. ⎡ T T⎤

Si f es una función par en ⎢ − , ⎥ , entonces, en vista de las propiedades ⎣ 2 2⎦ anteriores, los coeficientes de Fourier se transforman en: a0 =

an =

bn =

2 T

2 T

2 T

T 2

∫T

−

2 T 2

∫T

−

2

⎡ ⎢2 f(t) dt = 2 ⎢ ⎢T ⎢⎣

T 2

∫ 0

⎤ ⎥ 4 f(t) dt ⎥ = ⎥ T ⎥⎦

⎡ ⎢2 f(t) cos ( nω0 t ) dt = 2 ⎢ 1442443 ⎢T par ⎢⎣

T 2

∫ 0

T 2

∫

f(t) dt

0

⎤ ⎥ 4 f(t) cos ( nω0 t ) dt ⎥ = ⎥ T ⎥⎦

T 2

∫

f(t) cos ( nω0 t ) dt

0

T 2

s en ( nω0 t ) dt = 0 ∫T f(t) 144244 3

−

impar

2

⎡ T T⎤

Si f es una función impar en ⎢ − , ⎥ , entonces, en vista de las propiedades ⎣ 2 2⎦ anteriores, los coeficientes de Fourier se transforman en: a0 =

bn =

2 T

2 T

T 2

∫T f(t) dt = 0

−

2

T 2

∫T

−

an =

2

⎡ ⎢2 f(t) s en ( nω0 t ) dt = 2 ⎢ 1442443 ⎢T par ⎢⎣

T 2

∫ 0

2 T

T 2

cos ( nω0 t ) dt = 0 ∫T f(t) 144244 3

−

impar

2

⎤ ⎥ 4 f(t) s en ( nω0 t ) dt ⎥ = ⎥ T ⎥⎦

T 2

∫

f(t) s en ( nω0 t ) dt

0

2.1.b Simetrías de media.

Definición 1: Simetría de media onda Si una función f(t) es periódica con periodo T, entonces se dice que la función periódica f(t) tiene simetría de media onda si satisface la condición: Elaborado por: Marina Salamé

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1 ⎞ ⎛ f(t) = − f ⎜ t + T ⎟ 2 ⎠ ⎝

En la figura1 se muestra una forma de onda con simetría de media onda. Observe que la porción negativa de la onda es el reflejo de la porción positiva, desplazada f(t)

horizontalmente medio periodo.

t −T

−

T 2

T 2

T

Figura 1

2.1.b Simetrías de cuarto de onda Definición 1: Simetría de cuarto de onda Si una función periódica f(t) tiene simetría de media onda y además es una función par o impar, entonces se dice que f(t) tiene una simetría de cuarto de onda par o impar.

La figura 2 ilustra las formas de ondas con simetría de cuarto de onda. f (t)

t

Figura 2: (a) simetría de cuarto de onda par

Elaborado por: Marina Salamé

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f (t)

t

Figura 2: (b) simetría de cuarto de onda impar

2.2 Coeficientes de Fourier de ondas simétricas. Tipo de simetría

Par

Impar

Condiciones

f(t) = f(-t)

Formas de las series de Fourier

1 f(t) = a0 + 2

f(t) =

f(t) = - f(-t)

Media onda

Cuarto de onda

1 ⎞ ⎛ f(t) = − f ⎜ t + T ⎟ 2 ⎠ ⎝

f(t) = f(-t) y

f(t) =

∑

∑ an cos n ω0 t

n =1

4 T

an =

∑ bn sen n ω0 t

a2n−1 cos ( 2n − 1 ) ω0 t

+ b2n−1 sen ( 2n − 1 ) ω0 t

a2n−1 ⎫ ⎪ 4 ⎬= T b2n−1 ⎪⎭

∑ a2n−1 cos ( 2n − 1 ) ω0 t

n =1

a2n−1 =

8 T

par Cuarto de onda

f(t) = -f(-t) y

∞

f(t) =

1 ⎞ ⎛ f(t) = − f ⎜ t + T ⎟ 2 ⎠ ⎝

par

Elaborado por: Marina Salamé

∑ b2n−1 cos ( 2n − 1 ) ω0 t

n =1

b2n−1 =

8 T

f(t) cos ( nω0 t ) dt

0

T 2

4 T

bn =

∞

1 ⎞ ⎛ f(t) = − f ⎜ t + T ⎟ 2 ⎝ ⎠

∫

∞

n =1

f(t) =

T 2

∞

n =1

∞

Fórmulas de los coeficientes de Fourier

∫

f(t) sen ( nω0 t ) dt

0

T 2

∫ 0

⎧ cos ⎪ ⎡⎣( 2n − 1) ω0 t ⎤⎦ dt f(t) ⎨ ⎪ ⎩ sen

T 4

∫ f(t) cos ⎡⎣( 2n − 1) ω0 t ⎤⎦ dt 0

T 4

∫ f(t)sen ⎡⎣( 2n − 1) ω0 t ⎤⎦ dt 0

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Ejemplo1: Determinar la serie de Fourier para la función f(t) = π2 − t 2 ,

−π< t < π

periódica con periodo 2π

Solución: Paso 1. Analizamos si la función es par, impar o ninguna de las dos. f( −t) = π2 − ( − t ) = f (t), 2

− π < t < π ∴ es par.

Paso 2. Debemos calcular a0 y an , bn = 0 por ser una función par Cálculo de a0

an =

4 T

T 2

∫

f(t) dt

0

π

2 a0 = π

∫ (π

2 a0 = π

⎡ 2 t3 ⎤ ⎢π t − ⎥ 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 0

2

)

− t 2 dt

0

π

⎡ 3 π3 ⎤ ⎢π − ⎥ 3 ⎥⎦ ⎣⎢

a0 =

2 π

a0 =

4 2 π 3

Elaborado por: Marina Salamé

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Cálculo de an

an =

4 T

4 an = 2π

T 2

∫

f(t) cos ( nω0 t ) dt

0

π

∫ (π

2

)

− t 2 cos ( n t ) dt

0

π π ⎤ 2 ⎡ ⎢ π2 cos ( n t ) dt − t 2 cos ( n t ) dt ⎥ π ⎢ ⎥⎦ 0 ⎣0 0 ⎡ ⎡ π ⎤ 2 ⎥ 2 ⎢ 2t 2 ⎢ π an = ⎢ sen ( n t ) ⎥ − ⎢ 2 cos ( nt ) π ⎢ n π ⎢ n 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎢

an =

∫

∫

π 0

⎛ t2 2 ⎞ + ⎜ − 3 ⎟ sen ( nt ) ⎜n n ⎟⎠ ⎝

⎧ 4 , ⎪ 2 n ⎪⎪ 2 2π 4 an = − ⋅ 2 ⎣⎡cos ( nπ ) ⎦⎤ = − 2 cos ( nπ ) = ⎨ π n n ⎪ 4 ⎪ − , ⎪⎩ n2

π

0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥

si n es impar

si n es par

Paso 3. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie y obtenemos: ∞ ( −1) 2 2 π + 4∑ 3 n2 n =1

n +1

f(t) =

cos ( n t )

Elaborado por: Marina Salamé

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Ejemplo2: Encontrar

la

por: f(t) = t,

serie

de

Fourier

para

la

función

f(t)

definida

− π < t < π con periodo 2π

Solución: Paso 1. Analizamos si la función es par, impar o ninguna de las dos. f( −t) = − t = − f (t),

− π < t < π ∴ es impar.

Paso 2. Debemos calcular los coeficientes de Fourier, pero como sabemos que es una función impar sólo calcularemos bn , a0 = 0 y an = 0. Cálculo de bn

bn =

T 2

4 T

∫

f(t) sen ( nω0 t ) dt

0

4 bn = 2π

π

∫ t s en (nt ) dt 0

2 ⎡ 1 ⎢ = sennt π ⎢ n2 ⎣ =

2 π

0

π

⎤ t − cosnt ⎥ n ⎥ ⎦0

⎡ π ⎤ ⎢ − n cosnπ ⎥ ⎣ ⎦

⎧ 2 ⎪ n, ⎪ 2 bn = − cos nπ = ⎨ n ⎪ 2 ⎪− , ⎪⎩ n

n impar

n = 1,3,5........

n par

n = 2, 4,6........

Elaborado por: Marina Salamé

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Paso 3. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie: De donde f (t) = 2

∞

( −1)n +1

n =1

n

∑

sen ( nt )

1 1 1 ⎛ ⎞ = 2 ⋅ ⎜ sen t − sen 2t + sen 3t − sen 4t + LLL ⎟ 2 3 4 ⎝ ⎠

Observación: Es el mismo ejemplo 2 de la sección anterior, llegamos al mismo resultado de una forma más rápida.

Ejemplo 3: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por: f(t)

−

T 2

−

T 4

T 4

T 2

t

Solución: Paso 1. Analizamos la función f( − t) = f (t)

1 ⎞ ⎛ y f ⎜ t + T ⎟ = − f (t) , la función tiene simetría de cuarto de onda par. 2 ⎠ ⎝

Elaborado por: Marina Salamé

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Paso 2. ∞

∑ a2n−1 cos ⎡⎣ ( 2n − 1 ) ω0 t ⎤⎦ ,

f(t) =

ω0 =

n =1

a2n−1 =

=

=

=

8 T

8 T

T 4

∫

2π T

f(t) cos ⎡⎣ ( 2n − 1 ) ω0 t ⎤⎦ dt

0

T 4

∫

cos ⎡⎣ ( 2n − 1 ) ω0 t ⎤⎦ dt

0

8

( 2n − 1 ) ω0 T

sen ⎡⎣ ( 2n − 1 ) ω0 t ⎤⎦

T 4 0

4 π⎤ ⎡ sen ⎢ ( 2n − 1 ) ⎥ 2⎦ ( 2n − 1 ) π ⎣

4 ⎧ ⎪ ( 2n − 1 ) π ⎪ ⎪ =⎨ ⎪ −4 ⎪ ⎪⎩ ( 2n − 1 ) π

para ( 2n − 1 ) = 1,5,..........

para ( 2n − 1 ) = 3,7,..........

Paso 3. De donde f (t) =

4 ⎛ 1 1 ⎞ ⋅ ⎜ cos ω0 t − cos 3ω0 t + cos 5ω0 t − LLL ⎟ π ⎝ 3 5 ⎠

Elaborado por: Marina Salamé

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Ejemplo 4: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:

f(t)

−

T 2

T 4

−

T 4

T 2

t

Solución: Paso 1. Analizamos la función f( − t) = − f (t)

1 ⎞ ⎛ y f ⎜ t + T ⎟ = − f (t) ,la función tiene simetría de cuarto de onda 2 ⎠ ⎝

impar. Paso 2. f(t) =

∞

∑ b2n−1 sen ⎡⎣ ( 2n − 1 ) ω0 t ⎤⎦ ,

ω0 =

n =1

b2n−1 =

=

8 T

8 T

T 4

∫

2π T

f(t) sen ⎡⎣ ( 2n − 1 ) ω0 t ⎤⎦ dt

0

T 4

∫

sen ⎡⎣ ( 2n − 1 ) ω0 t ⎤⎦ dt

0

−8 = cos ⎡⎣ ( 2n − 1 ) ω0 t ⎤⎦ ( 2n − 1 ) ω0 T

Elaborado por: Marina Salamé

T 4 0

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=

=

⎧ 4 π⎤ ⎫ ⎡ ⎨ 1 − cos ⎢ ( 2n − 1 ) ⎥ ⎬ 2⎦ ⎭ ( 2n − 1 ) π ⎩ ⎣ 4 ( 2n − 1 ) π

Paso 3. De donde f (t) =

4 ⎛ 1 1 ⎞ ⋅ ⎜ sen ω0 t + sen 3ω0 t + sen 5ω0 t + LLL ⎟ π ⎝ 3 5 ⎠

Elaborado por: Marina Salamé

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2.3 Expansión en serie de Fourier de una función en un intervalo finito. Una función f(t) no periódica, definida en cierto intervalo finito ( 0,τ ) , se puede desarrollar en una serie de Fourier, la cual está definida solamente en el intervalo

( 0,τ ) . Es posible desarrollar f(t) en una serie de Fourier con cualquier frecuencia fundamental deseada; además f(t) se puede representar por una serie del seno o coseno solamente, lo cual se puede hacer construyendo una función periódica adecuada que sea idéntica a f(t) en el intervalo

( 0,τ ) ,

y que satisfaga las

condiciones de simetría que conduzcan a la forma deseada de las series de Fourier. Figura (a) Función (t) dada

Figura (c) π Simetría impar: términos del seno , ω 0 = τ

Elaborado por: Marina Salamé

Figura (b) Simetría par: términos del coseno , ω 0 =

π τ

Figura (d) Términos del seno y coseno , ω 0 =

2π τ

Página 42 de 53

Figura (f) Figura (e) Simetría de cuarto de onda par: términos del Simetría de media onda: términos del seno y π coseno y armónicos impares, , ω 0 = π 2 τ coseno , y armónicos impares, ω 0 = τ

Simetría

Figura (g) de cuarto de onda impar: términos del

seno y armónicos impares, ω 0 =

π 2τ

Elaborado por: Marina Salamé

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Ejemplo1: Desarrollar la función f(t) = t , en el intervalo 0 < t < π en una serie de cosenos Solución: Expandiendo esta función de forma par, y considerando el periodo 2 π

-2π

f (t) = t ,

4 a0 = 2π

π

2π

−π <π π

∫ t dt

=π

0

4 ⎧ ⎪ − 2 , π ⎪⎪ n π 2 2 an = t cosnt dt ) = 2 ( cosnπ − 1 ) = ⎨ π n π ⎪ 0 0, ⎪ ⎪⎩

n impar

n = 1,3,5........

n par

n = 2, 4,6........

∫

bn = 0

De donde f (t) =

2 4 − π π

∞

cos ( 2n + 1) t

n=0

( 2n + 1)2

∑

Elaborado por: Marina Salamé

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Ejemplo 2: Desarrollar la función f(t) = t , en el intervalo 0 < t < π en una serie de senos Solución: Expandiendo esta función de forma impar, y considerando el periodo 2π f(t)

-2π

f (t) = t,

-π

π

2π

t

−π <π

a0 = 0 an = 0 ⎧ 2 ⎪ n, π ⎪ 2 2 bn = t sen nt dt = − cosnπ = ⎨ π π ⎪ 2 0 ⎪− , ⎪⎩ n

n impar

n = 1,3,5........

n par

n = 2, 4,6........

∫

De donde: f (t) = 2

∞

( −1)n + 1

n =1

n

∑

sen n t

Elaborado por: Marina Salamé

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3. ESPECTROS DE FRECUENCIA DISCRETA

3.1 Forma compleja de las series de Fourier. En muchas aplicaciones de las series de Fourier , es conveniente expresar estas series en términos de los exponenciales complejos e

± j n ω0 t

Si consideramos la serie de Fourier de una función periódica f(t) f(t) =

donde ω0 =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t ) ,

2π , el seno y el coseno se pueden expresar en términos de los T

exponenciales como

(

cos ( nω0 t ) =

1 e 2

s en ( nω0 t ) =

1 e 2j

jn ω0 t

(

+e

jn ω0 t

− jn ω0 t

−e

)

− jn ω0 t

)

Sustituyendo se obtiene f(t) =

1 a0 + 2

∑ ⎢⎣an 2 ( e ∞

⎡

1

jn ω0 t

+e

n =1

Elaborado por: Marina Salamé

− jn ω0 t

)

+ bn

(

1 e 2j

jn ω0 t

−e

− jn ω0 t

)⎤⎥⎦

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4. INTEGRAL DE FOURIER 4.1 De la serie de Fourier a la integral de Fourier Una serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una función dentro de un intervalo. Si una función esta definida sobre toda la recta real, puede ser representada con una serie de Fourier si es periódica. Sino es periódica, entonces no puede representarse con una serie de Fourier para todo valor de t. Aun en este caso

es posible representar la función en términos de senos y

cosenos, pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier. Sea f(t) una función periódica con periodo T; cuanto T se aproxima al infinito, f(t) se convierte en una función no periódica; queremos encontrar la representación de Fourier de esta función no periódica. Tomemos la forma exponencial de la serie de Fourier: ∞

∑

f(t) =

c n e jn ω0t (1)

n =− ∞

cn =

ω0 =

1 T

T 2

∫T f(t) e

−

− jn ω0 t

dt (2)

2

2π T

Sustituyendo (2) en (1) obtenemos: ∞

∑

f(t) =

n =− ∞

Como

f(t) =

⎡ T ⎤ ⎢1 2 ⎥ ⎢ f(x) e− jn ω0 x dx ⎥ e jn ω0t ⎢T T ⎥ ⎢⎣ − 2 ⎥⎦

∫

(3)

1 ω0 = reemplazando obtenemos: T 2π ∞

∑

n =− ∞

T ⎡ ⎤ ⎢ 1 2 ⎥ ⎢ f(x) e− jn ω0 x dx ⎥ ω0 e jn ω0t (4) ⎢ 2π T ⎥ ⎢⎣ − 2 ⎥⎦

∫

Elaborado por: Marina Salamé

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Hacemos T → ∞ entonces nω0 → ω la función no periódica f(t) se convierte en: f(t) =

1 2π

⎡∞ ⎤ ⎢ f(x) e− j ω x dx ⎥ e j ω t dω ⎢ ⎥⎦ −∞ ⎣ −∞ ∞

∫ ∫

(5)

llamemos F(ω) =

1 2π

∞

∫ f (t) e

− jωt

dt (6)

−∞

Reemplazando (6) en (5) obtenemos: 1 f(t) = 2π

∞

∫ F ( ω) e

jωt

dω (7)

−∞

Las expresiones (6) y

(7) son la representación de Fourier de la función no

periódica. El teorema de la integral de Fourier afirma que si f(t) es real, entonces: 1 f(t) = π

∞ ∞

∫ ∫ f(x)cos ω ( t − x ) dx dω 0 −∞

Transformada de Fourier La función F(ω)

definida por (6) se conoce como la integral de Fourier o

transformada de Fourier de f(t), y la operación de integración se simboliza por , esto es, F(ω) = F { f(t)} =

1 2π

∞

∫ f (t) e

− jωt

dt (8)

−∞

Análogamente -1es el símbolo que se utiliza para indicar la operación inversa o sea, obtener f(t) cuando F(ω) está dado, esto es, f(t) = F −1 {F(ω)} =

1 2π

∞

∫ F ( ω) e

jωt

dω (9)

−∞

f(t) se denomina transformada inversa de Fourier de F(ω) .

Elaborado por: Marina Salamé

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Las ecuaciones (8) y (9) se denominan par de transformadas de Fourier. La condición para que exista F(ω) generalmente está dada por: ∞

∫

f(t) dt < ∞

−∞

Esto significa que la integral del valor absoluto de f(t) debe ser finita.

4.3 Transformadas seno y coseno de Fourier Fc ( ω) se denomina transformada coseno de Fourier de f(t), la cual se denotará por: ∞

Fc ( ω) = Fc { f(t)} = f ( t ) cos ωt dt

∫ 0

f(t) = Fc−1 {Fc (ω)} =

∞

2 Fc (ω)cos ωt dω π

∫ 0

Fs ( ω) se denomina transformada seno de Fourier de f(t), la cual se denotará por: ∞

Fs ( ω) = Fs { f(t)} = f ( t ) sen ωt dt

∫ 0

f(t) = Fs−1 {Fs (ω)} =

∞

2 Fs (ω) s en ωt dω π

∫ 0

4.4 Interpretación de las transformadas de Fourier El par de transformadas de Fourier: F(ω) = F { f(t)} =

f(t) = F

−1

1 2π

∞

∫ f (t) e

− jωt

dt

−∞

1 {F(ω)} = 2π

∞

∫ F ( ω) e

jωt

dω

−∞

Esto significa que cualquier función dada

tiene dos modos equivalentes de

representación: uno en el dominio del tiempo, f(t), y el otro en el dominio de la frecuencia F(ω) . La ecuación (6) transforma la función f(t), en el dominio del tiempo, a su función equivalente F(ω) , en el dominio de la frecuencia, y

Elaborado por: Marina Salamé

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ecuación (7) invierte el proceso. La ecuación (6) analiza la función del tiempo en un espectro de frecuencias y la ecuación (7) sintetiza el espectro de frecuencias para obtener nuevamente la función en términos del tiempo.

4.5 Propiedades de las transformadas de Fourier

1. Propiedad de linealidad de la transformada de Fourier. F { a1 f1(t) + a2 f2 (t) } = a1 F1(ω) + a2 F2 (ω)

2. Propiedad de escalonamiento de la transformada de Fourier. F { f (a t)} =

1 ⎛ ω⎞ F a ⎜⎝ a ⎟⎠

3. Propiedad de simetría de la transformada de Fourier. Si F(ω) = F {f(t)}

entonces

Elaborado por: Marina Salamé

F { F(t) } = 2 π f( −ω)

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Tabla de las propiedades generales de la transformada de Fourier f ( t)

F (−ω)

1

a1 f1(t) + a2 f2 (t)

a1 F1(ω) + a2 F2 (ω)

2

f (a t)

1 ⎛ ω⎞ F a ⎜⎝ a ⎟⎠

3

f ( − t)

F( −ω)

4

f ( t − t0 )

F(ω) e− j ω t0

5

f (t)e j ω0t

F ( ω − ω0 )

6

f (t) cos ω0 t

1 1 F(ω − ω0 ) + F( ω + ω0 ) 2 2

7

f (t) sen ω0 t

1 1 F(ω − ω0 ) − F(ω + ω0 ) 2j 2j

8

fe (t) =

1 [ f (t) + f ( −t) ] 2

R ( ω)

9

f0 (t) =

1 [ f (t) − f ( −t) ] 2

j X ( ω)

10

f(t) = fe (t) + f0 (t)

F(ω) = R (ω) + j X (ω)

11

F(t)

2 π f( −ω)

12

f ′(t)

j ω F(ω)

13

n f ( ) (t)

t

14

16

F(ω)

∫ f (x) dx

1 F(ω) + π F(0) δ ( ω) jω

− j ω f(t)

F′ (ω)

−∞

15

( j ω)n

( − j ω)n

f(t)

n F ( ) ( ω)

∞

17 f1 (t) ∗ f2 (t) =

∫ f1 (x) f2 ( t − x) dx

F1 (ω) F2 (ω)

−∞

18

f1 (t) f2 (t)

Elaborado por: Marina Salamé

1 1 F1 (ω) ∗ F2 (ω) = 2π 2π

∞

∫ F1 (y) F2 ( ω − y) dy

−∞

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EJERCICIOS

PROPUESTOS

Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) periódica definida por:

1) f( t) = π + t

Respuesta: f (t) = π + 2

∞

∑ ( −1)

n−1

n =1

⎧ 0 ⎪ 2) f(t) = ⎨ ⎪ 3 ⎩

−π < t < 0

⎧1 ⎪ 3) f(t) = ⎨ ⎪ 0 ⎩

−π < t < 0

Respuesta: f (t) = 0< t < π

Respuesta: f (t) = 0< t < π

⎧ −t ⎪ 4) f(t) = ⎨ ⎪ t ⎩

⎧ ⎪ 5) f(t) = ⎨ ⎪ 4t ⎩ 0

−π < t < 0

Respuesta: f (t) = 0< t < π

12 π

−π < t ≤ 0

∑

( 2n − 1)

n =1

∑

( 2n − 1)

n =1

∞

cos ( 2n − 1) t

n =1

( 2n − 1)2

∑

2 4 − π π

+ 4

sen ( 2n − 1) t

∞

1 2 − 2 π

Respuesta: 0≤ t < π

sen ( 2n − 1) t

∞

∞

cos ( 2n − 1) t

n =1

( 2n − 1)2

∑

8 π

f (t) = π −

∞

∑ ( −1)

n−1

n =1

⎧ 0 ⎪ 6) f(t) = ⎨ ⎪ π−t ⎩

π 2 + 4 π

f (t) =

−π < t < 0

Respuesta: 0< t < π

+

∞

∑

n =1

Elaborado por: Marina Salamé

sen n t n

sen n t n

∞

cos ( 2n − 1) t

n =1

( 2n − 1)2

∑

sen n t n

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7) f(t) = sen2 t 8)

Respuesta: f (t) =

⎧ ⎪ 0 ⎪ f(t) = ⎨ ⎪ ⎪ cos t ⎪⎩

− π < t < −

−

π 2

1 1 − cos 2t 2 2

π < t < π 2

y

π π < t < 2 2

⎧ − 2t ⎪ 9) f(t) = ⎨ ⎪ 3t ⎩

−π < t ≤ 0

Respuesta:

5 10 π − 4 π

f (t) =

0≤ t < π

+

∞

∞

∑

n =1

n −1 ∑ ( − 1)

n =1

cos

( 2n

( 2n

− 1) t

− 1)

2

sen n t n

Desarrollar las siguientes funciónes en una serie de Fourier senidal y cosenoidal, según se indique. 10) f(t) = t 2 para 0 < t < π en una serie senoidal Respuesta: f (t) =

⎡ π2 2 2 ∞ ( −1)n+1 ⎢ + 3 π n =1 ⎢⎣ n n

∑

⎤ (( −1) − 1)⎥⎥⎦ sen n t n

11) f(t) = t 2 para 0 < t < π en una serie cosenoidal Respuesta: f (t) =

∞ ( −1) π2 + 4 cos n t 2 3 n n =1

∑

n

12) Determinar la serie compleja de Fourier para la función f(t) = sen4 t en el intervalo para 0 < t < π y f( t + π ) = f (t) . Respuesta: f (t) =

1 16

(e

4 jt

− e 2 j t + 6 − 4 e −2 j t + e − 4 j t

)

13) Si F(ω) = F {f(t)} , hallar la transformada de Fourier

para la función

f (t) sen ω0 t

Respuesta:

1 1 F(ω − ω0 ) − F(ω + ω0 ) 2j 2j

14) Hallar la transformada de Fourier para la función f (t) = e − a Respuesta:

t

2a a + ω2 2

Elaborado por: Marina Salamé

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