Series Numericas 304z49
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I.T.Telecomunicaciones
Curso 99/00
DPTO. MATEMÁTICA APLICADA
Tema 6: Series numéricas Con anterioridad vimos el concepto de sucesiones de números reales. En este capítulo, vamos a ver un concepto más general, ya que una importante aplicación de las sucesiones infinitas radica en la representación de sumas infinitas.
1. Series Definición: Si {an } es una sucesión infinita de números reales, entonces: ∞
∑
an = a1 + a2 + a3 ++ an +
n =1
se llama una serie infinita (o simplemente una serie ). Los números a1 , a2 , se llaman los términos de la serie. ✍ Observación: Para algunas series conviene empezar el índice en n=0.
✌
Para hallar la suma de una serie infinita, consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales: S1 S2 S3 Sn
= a1 = a1 + a2 = a1 + a2 + a3 = a1 + a2 + a3 + + an
Si esta sucesión converge, diremos que la serie converge y que su suma es la que se indica en la siguiente definición. ∞
Definición: Para la serie infinita
∑a
n
, la n-ésima suma parcial viene dada por:
n=1
S n = a1 + a2 + + an a) Si la sucesión de sumas parciales {S n } converge a un número real S, diremos que la serie
∞
∑a n=1
converge a S. Además, llamaremos a S suma de la serie y escribiremos: ∞
∑a n=1
n
= Lim S n = S n→∞
b) Si la sucesión {S n } diverge, diremos que la serie
∞
∑a
n
es divergente .
✍
n=1
Javier Martínez del Castillo
Tema 6
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n
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA ∞
∑ (−1)
Ejemplo 1: Determinar la convergencia o divergencia de la serie
n +1
n =1
Esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales, de manera que las siguientes propiedades son consecuencia directa de sus análogos en sucesiones: ∞
Teorema: Si
∑a
∞
n
=A ,
n=1 ∞
a)
∑
∑b
n
= B , y c es un número real, entonces:
n=1
∞
c ⋅ an = cA
b)
n =1
∞
∑ (an + bn ) = A+B
c)
n =1
∑ (a
n
− bn ) = A-B
n =1
■ Además, si se suprimen los N primeros términos de una serie, ello no destruye su convergencia ( o su divergencia). Este es el contenido del siguiente teorema: Teorema: Para cualquier entero positivo N, las series: ∞
∞
∑ an
∑a
y
n
n= N +1
n=1
■
tienen el mismo carácter (las dos convergen, o ambas divergen).
✌
Observación: Si ambas convergen, sus sumas difieren por la suma parcial S N .
Al ir estudiando este tema, veremos que hay dos cuestiones básicas acerca de las series: ¿converge?, y si converge, ¿cuál es su suma?. No siempre son fáciles de contestar, sobre todo la segunda. Comenzaremos nuestra búsqueda de respuestas, por un sencillo teorema conocido como el criterio de condición necesaria: ∞
Teorema (Condición necesaria): Sea
∑a
n
una serie. Entonces:
n=1
Si la serie es convergente ⇒ Lim an = 0
■
n→∞
∞
Observación: El teorema no afirma que la serie
∑a
converge si {an } tiende a 0, sino que la serie diverge
n
n=1
si {an } no converge a 0 (negación lógica). En otras palabras, el que Lim an = 0 , es condición necesaria para n→∞
✌
la convergencia de la serie, pero no suficiente.
Ejemplo 2: Determinar cuales de las siguientes series son convergentes ∞
a)
∑ 2n n= 0
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∞
∞
b)
1 ∑ n n= 0 2
c)
n! ∑ n =1 2 n !+ 1
Tema 6
10 ∑ n=1 n
n2 + 3 ∑1 4n − 5n2 n= ∞
∞
d)
e)
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Curso 99/00
DPTO. MATEMÁTICA APLICADA En general, no son muchas las series que pueden ser estudiadas usando directamente la definición; una excepción la forman las series geométricas, cuya convergencia es fácil de estudiar, y en caso de ser convergentes, hasta se pueden sumar. Definición: La serie dada por ∞
∑a⋅r
n
= a + ar + ar 2 + ar 3 ++ ar n +
con a ≠ 0
n= 0
✍
se llama serie geométrica de razón r y término inicial a. ∞
∑a⋅r
Teorema: Sea
n
una serie geométrica. Entonces:
n= 0
a) Si r ≥ 1 ⇒ la serie diverge. ∞
∑a⋅r
b) Si r < 1 ⇒ la serie converge, y además lo hace a:
n
=
n= 0
a . 1− r
■
Observación: En el caso de tener una serie geométrica que no comienza en n=0, si es convergente, entonces su suma vendrá dada por la expresión: a⋅ rk a⋅r = ∑ 1− r n= k ∞
n
✌
Ejemplo 3: Estudiar el carácter de las siguientes series, y en su caso, obtener su suma: ∞
a)
∑ n= 0
∞
Teorema: La serie
∑ n=1
∞
Teorema: Sean
∞
3 2n
b)
n= 0
1 n
∑ an y n=1
∞
c)
∞
∑b
n
d)
∑ n= 2
( −1)n 4n
■
dos series, y sea c ≠ 0 un número real. Entonces: ∞
∑ an diverge y
∑ bn converge ⇒
n
también diverge.
n =1 ∞
n=1
∞
Ejemplo 4: Estudiar el carácter de la serie
1
∞
∑ (a
n
+ bn ) diverge.
n =1
1 . n
∑ n − 2 n =1
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∞
23n 7n
n=1
∑c⋅a
n=1
∑ n= 0
∑ an diverge ⇒ n=1 ∞
b) Si
n
llamada serie armónica, diverge a ∞ .
∞
a) Si
∑
3 2
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2. Series de términos no negativos En este apartado, vamos a ver algunos resultados que nos van a permitir determinar el carácter de series donde sus términos (casi todos) sean no negativos, ya que al depender la convergencia de una serie de la convergencia del límite de las sumas parciales, parece evidente que los primeros términos (cualquier cantidad finita, por grande que ésta sea) de una serie no deben afectar al carácter de una serie, aunque su suma se vea, evidentemente afectada. Ejemplo 5: Hallar la suma de la serie: 4 − 6 + π + 1 +
1 1 1 + + + n + 2 4 2
Teorema: Sea {an } una sucesión cualquiera de números reales, y sea {bn } una sucesión obtenida a partir de
{an } , eliminando, añadiendo o modificando términos. Entonces: ∞
∑ an
∞
y
n= 0
∑b
■
tienen el mismo carácter
n
n= 0
Teorema ( Criterio de condensación de Cauchy ) : Sea {an } una sucesión decreciente de términos no negativos. Entonces: ∞
∑ an es convergente
⇔
∞
∑ k =0
n=1
2 k a 2k
■
es convergente
Ejemplo 6: Estudiar la convergencia de las siguientes series: ∞
a)
∑ n=2
∞
1 n Ln
b)
1
∑ n ( Ln) n=2
c
Definición: a) Llamamos p-serie , con p>0, a la serie de la forma ∞
1 1 1 1 = p + p + p + p 1 2 3 n
∑ n =1
✍
b) En el caso de que p=1, la serie recibe el nombre de serie armónica. ∞
Teorema: Consideremos la p-serie
∑ n=1
1 . Entonces: np
a) Si 0 < p ≤ 1 ⇒ la serie diverge. b) Si
p > 1 ⇒ la serie converge.
■
Ejemplo 7: Estudiar la convergencia de las siguientes series: ∞
a)
∑ n=1
1 n3
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∞
b)
∑ n=1
1 5 n Tema 6
∞
c)
∑ n=1
1 n4 3 Pág. 4 de 15
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA ∞
∑ an
Teorema (Criterio de comparación directa): Sean
n= 0
∞
y
∑b
n
dos series tales que 0 < a n ≤ b n
n= 0
∀n ∈ . Entonces: ∞
a) Si
∑ bn converge ⇒ n= 0 ∞
b) Si
∑a
n
diverge ⇒
n= 0
∞
∑a
n
converge.
n
diverge.
n= 0 ∞
∑b
■
n= 0
Observaciones: a) Aunque en el enunciado hemos exigido que 0 < an ≤ bn ∀n , como la convergencia de una serie no queda afectada por sus primeros términos, lo podríamos exigir para los n mayores que cierto N. b) El criterio deja de ser válido para series de términos cualesquiera.
✌
Ejemplo 8: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
n =1 ∞
d)
∞
1
∑ 2+3 ∑ n =1
b)
n
∞
1
∑ 2+
n
n =1 ∞
sen(1 / n) n2 + 1
e)
∑ n =1
c)
∑2 n =1
1 2 n + n +1
1 n−1
∞
f)
∑n n =1
2
+1
n+2 − n −1
Son pocas las veces en las que este criterio es aplicable directamente aunque su gran importancia reside en que todos los restantes criterios para series de términos no negativos se deducen como consecuencias del criterio de comparación. ∞
Teorema ( Criterio de la raíz ): Sea
∑a
n
una serie tal que a n > 0 para n suficientemente grande, y sea
n= 0
Lim n a n = . Entonces: n→∞
a) Si < 1 ⇒ la serie converge. b) Si > 1 ⇒ la serie diverge. c) Si = 1 ⇒ no se obtiene información.
■
Ejemplo 9: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
∑ n =1
5000 n
n
∞
b)
∑ n =1
e2 n nn
∞
c)
∑ n =1
n3 3n
Con frecuencia, una serie dada se parece a una p-serie o a una serie geométrica, pero no resulta fácil establecer comparaciones término a término. Entonces es útil recurrir a un segundo criterio de comparación:
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Teorema ( Criterio de comparación en el límite ):Sean
∑ an y n= 0
∞
∑b
n
tales que bn ≠ 0 ∀ n suficientemente grande, y supongamos que Lim n→∞
∞
∑ an y n= 0
dos series de términos no negativos
n= 0
an = > 0 . Entonces: bn
∞
∑b
n
tienen el mismo carácter.
■
n= 0
Ejemplo 10: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
∑ n =1 ∞
d)
∑ n =1 ∞
g)
∑ n =1
∞
1 a>0 an + b
b)
n 2 − 10 4n 5 + n 3
e)
1 2 n − n −1
h)
∑ n =1 ∞
n =1
∑
1 3n − 2
∞
4 n −1 n2 + 2 n
n =1
f)
n +1 3
n =1
∑
c)
n
∑ ∞
∞
1 2 3n − 4n + 5
∑ n =1
n+2 2 n + n +1
∞
i)
∑ n =1
( 4n3 + 5) ⋅ sen(1 / n) n 2 ⋅ 3n
∞
∑a
Teorema (Criterio de Pringsheim): Sea
n
una serie de términos positivos y supongamos que
n= 0
Lim n c ⋅ a n ≠ 0 . Entonces: n→∞
a) Si c > 1 ⇒ b) Si c ≤ 1 ⇒
∞
∑a
n
converge.
n
diverge.
n= 0 ∞
∑a
■
n= 0
∞
Teorema (Criterio del cociente): Sea
∑a
n
una serie de términos positivos, y supongamos que
n= 0
Lim n→∞
a n+1 = . Entonces: an a) Si < 1 ⇒ la serie converge. b) Si > 1 ⇒ la serie diverge. c) Si = 1 ⇒ no se obtiene información.
■
Ejemplo 11: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
∑ n= 0
2n n!
∞
b)
∑ n =1
∞
n n +1
c)
∑ n= 0
n 2 ⋅ 2n+1 3n
∞
d)
∑ n= 0
nn n!
Tanto el criterio de la raíz como el del cociente fallan cuando el límite es igual a 1. En dichos casos se aplica el siguiente criterio
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA ∞
∑a
Teorema (Criterio de Raabe): Sea
n
una serie de términos positivos, y supongamos que
n= 0
a Lim n ⋅ 1 − n+1 = . Entonces: n→∞ an a) Si > 1 ⇒ la serie converge. b) Si < 1 ⇒ la serie diverge. c) Si = 1 ⇒ no se obtiene información.
■ ∞
1
∑n
Ejemplo 12: Estudiar el carácter de la siguiente serie:
2
.
n=1
∞
Teorema (Criterio integral): Sea función continua para x ≥ 1 tal que:
∑a
una serie de términos no negativos. Supongamos que f es una
n
n=1
1. f ( n ) = a n ∀n ≥ 1 2. f es decreciente para x ≥ 1 Entonces: ∞
∑
an
∫
⇔
converge
∞
1
n=1
f ( x ) dx
converge
■
Ejemplo 13: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
∑ n =1
∞
n 1+ n2
b)
∑ n =1
1 1+ n2
∞
Corolario: Sea
∑a
n
una serie de términos no negativos y decrecientes, y sea f una función que verifica
n=1
las hipótesis del criterio de la integral. Entonces:
∫ para cualquier natural k .
∞ k
∞
∑
≤
f ( x ) dx
n= k
an ≤
∫
∞
f ( x ) dx
k
+ ak
■
Observación: Este corolario permite dar una estimación con cualquier grado de aproximación de la suma de una serie ya que ∞
∑ n =1
an +
∫
∞ k
f ( x ) dx
✌ ∞
∑ n=1
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∑ n =1
y la integral tiene un error menor que a k . Ejemplo 14: Estimar la suma de la serie
k
≈
an
1 con un error menor que 0.001 . n2
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3. Series alternadas En el apartado anterior, hemos visto varios criterios de convergencia para series de términos no negativos, aunque también son aplicables a aquellas series ∑ an que tienen a lo sumo un número finito de términos negativos, pues ya hemos visto que se pueden eliminar sin afectar la convergencia o divergencia de la serie. También son aplicables a las series que tienen todos los términos negativos (salvo quizás un número finito), ya que entonces estudiamos la serie ∑ −a n , que tiene el mismo carácter. Sin embargo, cuando en una serie aparecen infinitos términos negativos y positivos, los criterios anteriores no son aplicables. En esta sección veremos nuevos criterios que podemos aplicar, cuando las series con las que nos encontremos sean de este tipo. Definición: Una serie ∑ an decimos que es alternada si ∀n ∈ el signo de an es distinto del de a n+1 . Por ∞ 1 ejemplo, ∑ . ✍ n −1 n =1 ( −2) ∞
Teorema (de Leibniz): Sea
∑ ( −1)
n
a n una serie tal que:
n =1
a ) {an } es decreciente y de terminos positivos ⇒ es convergente b) Lim a n = 0 n→∞
■
Observación: Además, también es válido si la sucesión es decreciente a partir de un cierto natural N.
✌
Ejemplo 15: Determinar la convergencia de las siguientes series: ∞
a)
∑ n =1 ∞
c)
∑ n =1
∞
n ( −2) n−1
b)
3n + 2 ( −1)n+1 2 4n − 3
d)
∑
( −1)n
ln n n
( −1)n
n ln 2n
n =1 ∞
∑ n =1
Teorema: Si una serie ∑ a n satisface las condiciones del teorema de Leibniz, y su suma es , entonces el resto Rn implicado al aproximar la suma por la suma parcial S n es menor en valor absoluto que el primer término despreciado: S n − = Rn ≤ a n+1 Es decir, el error cometido al usar la n-ésima suma parcial de la serie como aproximación de es, a lo sumo, la magnitud del primer término no sumado. ■ ∞
Ejemplo 16: Probar que la serie
∑ n =1
( −1) n+1
1 es convergente y dar una estimación de su suma con un error n
menor que 0.1.
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Una serie puede tener infinitos términos positivos y negativos, sin ser alternada, como ocurre con ∞
∑ n =1
sen n sen 1 sen 2 sen 3 = + + + 1 4 9 n2
Una forma de obtener información sobre su convergencia es investigar la de la serie ∞
∑ n =1
∞
que por comparación directa con la serie
∑ n=1
sen n n2
1 , resulta que es convergente. n2
Pero la cuestión es: ¿converge la serie original o no?. El próximo teorema responde a esta pregunta. Teorema (Convergencia absoluta): Sea ∑ an una serie. Entonces: Si la serie ∑ a n
converge
⇒ la serie ∑ a n converge ∞
Observación: El inverso no es cierto, ya que por ejemplo la serie
∑
( −1) n+1
n =1
∞
Leibniz), y sin embargo la serie armónica
∑ n=1
■
1 es convergente (por n
1 es divergente. Llamaremos convergencia condicional a este n
✌
tipo de series. Definiciones:
a) Diremos que ∑ a n es absolutamente convergente, si ∑ a n converge. b) Diremos que ∑ a n es condicionalmente convergente, si ∑ an converge pero ∑ a n diverge.
✍
Ejemplo 17: Determinar si convergen las siguientes series, y en caso afirmativo si lo hacen absoluta o condicionalmente: ( −1) n ( n +1) 2 ∑ 3n n =1
∞
∞
a)
b)
∑ n =1
( −1) n ln( n + 1)
4. Series de Taylor Por el tema anterior, vimos que si una función era derivable un número finito de veces (n veces) en un intervalo, podíamos aproximar la función utilizando el polinomio de Taylor de dicha función. Pero ¿que ocurrirá si la función es indefinidamente derivable?. El teorema de Taylor nos sugiere que si una función f tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo abierto I que contiene a x0 , entonces para cada x ∈ I estamos tentados a considerar como aproximación de la función f la serie Javier Martínez del Castillo
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA ∞
∑ n=0
f n ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) n n!
Definiciones: a) La serie anterior recibe el nombre de serie de Taylor de f en el punto x0 . b) En el caso de que x0 =0, la serie se llamará serie de Mc Laurin.
✍
Además, casi todas las propiedades que vimos cuando introdujimos el concepto de polinomio de Taylor, se pueden generalizar a series de Taylor. Por tanto, se verifican los siguientes resultados: Teorema: Supongamos que f tiene derivadas de todos los órdenes en un entorno I de x0 . La serie de Taylor de f en x0 representa a f en x1 ∈ I si y sólo si el error cometido al aproximar f en x1 por el nésimo polinomio de Taylor tiende a cero cuando n tiende a infinito, esto es, si y sólo si f n+1 ( c ) Lim En ( x1 ) = Lim ⋅ ( x1 − x 0 ) n+1 = 0 n→∞ n→∞ ( n + 1)!
■
Corolario: Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en un entorno I de x0 . Si existe un número B tal que f n ( x ) ≤ B ∀n ∈ + en todo I .
y ∀x ∈ I entonces la serie de Taylor de f en x0 representa a f
■
Teorema: Si f es representable por su serie de Taylor en un entorno I de x0 , entonces su serie de Taylor es la única serie centrada en x0 que representa a f en I . ■ Definición: Si f es representada en un entorno de x0 por una serie de potencias centrada en x0 , diremos que f es analítica en x0 . Análogamente, diremos que una función f es analítica, si es analítica en cada punto de su dominio. ✍ ∞
Teorema (Producto de Cauchy): Supongamos que las series
∑
an ( x − x 0 ) n y
n= 0
∞
∑ b (x − x n
0
)n convergen
n=0
a las funciones f y g respectivamente, en un mismo entorno I de x0 . Entonces, la serie producto (llamada producto de Cauchy) a0 b0 + ( a0 b1 + a1b0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + ( a0 b2 + a1b1 + a2 b0 ) ⋅ ( x − x0 )2 + n
cuyo n-ésimo coeficiente es
∑ (a b i=0
i n− i
) , representa a la función f ⋅ g en I .
Análogamente, si b0 = g ( x0 ) ≠ 0 , entonces la serie a0 ab −a b + 1 0 2 0 1 ⋅ ( x − x0 ) + b0 b0 f en algún entorno de x0 . obtenida por división larga, representa a la función g Javier Martínez del Castillo
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■
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Como el cálculo directo puede ser tedioso, el método más práctico para hallar una serie de Taylor o de Mc Laurin, consiste en desarrollar series de potencias para una lista básica de funciones elementales. De esta lista se podrán deducir series de potencias para otras funciones mediante suma, resta, producto, división, derivación, integración o composición con series conocidas. En la siguiente lista, ofrecemos las series de potencias de varias funciones elementales junto con sus intervalos de convergencia: SERIES DE POTENCIAS PARA FUNCIONES ELEMENTALES
1 ∞ =∑ (−1) n ⋅ ( x − 1) n x n=0
0< x<2
∞ 1 =∑ (−1) n x n 1 + x n =0
−1< x <1
(−1) n −1 ( x − 1) n n n =1 ∞
ln x =∑ ∞
e x =∑ n=0
xn n! ∞
sen x =∑ n =0
∞
cos x =∑ n=0
−∞<x<∞ (−1) n x 2 n +1 (2n + 1)!
−∞<x<∞
(−1) n x 2 n (2n)!
−∞<x<∞
∞
arctg x =∑ n =0
(−1) n x 2 n +1 2n + 1
∞
arcsen x =∑ n =0
−1≤ x ≤1
(2n)! x 2 n +1 (2 n n!) 2 (2n + 1)
(1 + x) k = 1+ kx+
(1 + x) − k =1− kx+
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0< x≤2
−1≤ x ≤1
k (k − 1) x 2 k (k − 1)(k − 2) x 3 + + 2! 3!
k (k + 1) x 2 k (k + 1)(k + 2) x 3 − + 2! 3!
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−1< x <1 −1< x <1
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Ejemplo 18: Calcular las series de Mc Laurin de las siguientes funciones: a) f ( x ) = sen x
2
d) f ( x ) = cos x
1 b) f ( x) = 1− x
1 + x2 c) f ( x) = 1− x
e) f ( x) = 3 1 + x
f) f ( x) = ex sen x
5. Suma de series A lo largo del tema hemos visto una serie de criterios que nos permiten saber si una serie va a ser convergente o divergente. Sin embargo, como ya dijimos, lo interesante sería saber en el caso de que converja, cuanto vale su suma. Pues bien, si la serie es de un “tipo especial”, vamos a saber cuanto vale su suma.
5.1. Series Geométricas: Se llama serie geométrica de razón r y término inicial a, a: ∞
∑a⋅r
n
= a + ar + ar 2 + ar 3 ++ ar n +
con a ≠ 0
n= 0
Entonces: a converge a : n a r ⋅ = 1− r ∑ n= 0 diverge ∞
, si r < 1 , si r ≥ 1
5.2. Series Aritmético-Geométricas: Son de la forma (generalización de geométricas): ∞
∑ (an + b) ⋅ r
n
= ( a + b)r + ( 2a + b)r 2 +
con a , b, r ∈
n =1
Entonces: ( a + b)r − br 2 converge a : ( an + b) ⋅ r n = (1 − r )2 ∑ 1 n= diverge ∞
, si r < 1 , si r ≥ 1
∞
5.3. Series Hipergeométricas: Decimos que
∑a
n
es una serie hipergeométrica, si verifica que:
n=1
a n+1 αn + β = αn + γ an
con α , β , γ ∈
Entonces: Javier Martínez del Castillo
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA converge an = ∑ n=1 diverge ∞
a1γ γ −α − β
a:
, si γ > α + β , resto
∞
∑a
5.4. Series Telescópicas: Decimos que
n
es una serie telescópica, si verifica:
n=1
an = bn − bn+1
(o al revés)
Este tipo de series se llaman así, debido a la forma particular de su término general que permite obtener fácilmente la sucesión de sumas parciales: S1 = a1 = b1 − b2 S 2 = a1 + a2 = ( b1 − b2 ) + ( b2 − b3 ) = b1 − b3 S n = a1 + + a n = ( b1 − b2 ) + + ( bn − bn+1 ) = b1 − bn+1 Entonces: ∞
converge ⇔ {S n } converge
∑a
n
n=1
Además, si la sucesión de sumas parciales converge, entonces, tendremos que: ∞
∑ a = Lim S n
n=1
n→∞
n
= Lim ( b1 − bn+1 ) = b1 − Lim bn+1 n→∞
n→∞
Ejemplo 19: Calcular, si se puede, la suma de las siguientes series: ∞
a)
∞
1
∑ (2n+1)(2n+3)
b)
n=1 ∞
d)
n=1
n +1 n
∞
∑ ln n=1
e)
2
∑ 4n −1 2
2n + 5
∑ n(n+1)(n+2) n=1
∞
c)
1
∑ n +3n+2 n=1
2
∞
f)
∑ (−1)
n
n=1
1 n
6. Otros criterios de convergencia. ∞
6.1.Teorema: Consideremos la serie
P(n)
∑ Q(n) ,
donde P y Q son dos polinomios de grados p y q
n=1
respectivamente. Entonces: a) Si q − p ≤ 1 ⇒ la serie diverge b) Si q − p > 1 ⇒ la serie converge
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■
Tema 6
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA ∞
6.2.Teorema: Sea la serie ∑ R( n ) r n , donde R es una función racional y r ≠ 1. Entonces: n =1
∞
∑ R( n) r
n
converge ⇔ r < 1
■
n =1
∞
6.3. Teorema: Sea la serie
∑(−1)
n
n=1
P(n) , donde P y Q son dos polinomios de grados p y q respectivamente. Q(n)
Entonces: a) Si q − p < 1 ⇒ la serie diverge b) Si q − p > 1 ⇒ la serie converge absolutamente c) Si q − p = 1 ⇒ la serie converge condicionalmente
■
6.4. Fórmula de Stirling: Hemos visto que el determinar el carácter de una serie se basa fundamentalmente en el cálculo de varios límites. Por otra parte, en muchas series nos puede aparecer la expresión n!, que a la hora de calcular el límite, nos puede crear muchos problemas. Entonces, para calcular dichos límites puede ser útil la fórmula de Stirling: Lim n→∞
n n e − n 2πn =1 n!
lo que nos dice que ambas expresiones son equivalentes, es decir: n ! ≡ n n e − n 2πn
6.5. Series del tipo
P(n) n!
P( n) , donde P es un polinomio de grado p y q ∈. El criterio del ( n + q )! cociente nos dice que este tipo de series son siempre convergentes; además, estas series son fácilmente sumables. La clave del método está en obtener la siguiente descomposición del polinomio P :
Vamos a estudiar las series del tipo ∑
P( n ) = a p ⋅ ( n + q ) ⋅ ( n + q − 1) ( n + q − p + 1) + P1 ( n ) donde P1 es un polinomio de grado menor o igual que p − 1 (y que puede ser descompuesto de la misma forma), y a p es el coeficiente de n p en P . Tal descomposición se obtiene fácilmente imponiendo la igualdad y acumulando en P1 los términos que no estén en el primer sumando. A partir de esta descomposición se obtiene que: P( n )
1
∑ ( n + q )! = a ∑ ( n + q − p )! + ∑ p
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Tema 6
P1 ( n ) ( n + p )! Pág. 14 de 15
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA La primera serie se suma a partir de la serie de Taylor de la función exponencial, como veremos a continuación, y la segunda es una serie del mismo tipo inicial pero tal que el polinomio del numerador tiene grado estrictamente menor. Si aplicamos la descomposición hasta conseguir que el polinomio del denominador se reduzca a una constante, habremos reducido el problema a sumar varias series del tipo ∞ 1 : ∑ n= N ( n + k )! ∞
∑
n= N
1 = ( n + k )!
∞
∑
n= N + k
1 = n!
∞
∑ n=0
1 − n!
N + k −1
∑ n=0
1 = e− n!
N + k −1
∑ n= 0
1 n!
Ejemplo 20: Calcular la suma de las siguientes series: n2 +5n−4 a) ∑ (n+1)! n=0
n3 −5n+8 b) ∑ n=0 (n +2)!
∞
∞
6.6. Observaciones sobre el criterio del cociente y de Raabe El criterio del cociente es el más usado para estudiar el carácter de una serie. Además, cuando este criterio no decide nada ( = 1 ), se puede aplicar el criterio de Raabe. Por otra parte, el simple estudio del cociente
a n+1 puede aportarnos bastante información, ya que: an
a) Si
a n +1 = r ∈ , entonces la serie es geométrica. an
b) Si
an +1 αn + β con α , β , γ ∈ , la serie es hipergeométrica. = an αn + γ
a n +1 > 0 ∀n ∈ , la sucesión {an } es creciente y por tanto su an 0; luego la serie diverge.
c) Si a n > 0 y
d) Si a n > 0 y
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límite no puede ser
a n +1 < 0 ∀n ∈ , la sucesión {an } es decreciente. an
Tema 6
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Tema 6: Series numéricas Con anterioridad vimos el concepto de sucesiones de números reales. En este capítulo, vamos a ver un concepto más general, ya que una importante aplicación de las sucesiones infinitas radica en la representación de sumas infinitas.
1. Series Definición: Si {an } es una sucesión infinita de números reales, entonces: ∞
∑
an = a1 + a2 + a3 ++ an +
n =1
se llama una serie infinita (o simplemente una serie ). Los números a1 , a2 , se llaman los términos de la serie. ✍ Observación: Para algunas series conviene empezar el índice en n=0.
✌
Para hallar la suma de una serie infinita, consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales: S1 S2 S3 Sn
= a1 = a1 + a2 = a1 + a2 + a3 = a1 + a2 + a3 + + an
Si esta sucesión converge, diremos que la serie converge y que su suma es la que se indica en la siguiente definición. ∞
Definición: Para la serie infinita
∑a
n
, la n-ésima suma parcial viene dada por:
n=1
S n = a1 + a2 + + an a) Si la sucesión de sumas parciales {S n } converge a un número real S, diremos que la serie
∞
∑a n=1
converge a S. Además, llamaremos a S suma de la serie y escribiremos: ∞
∑a n=1
n
= Lim S n = S n→∞
b) Si la sucesión {S n } diverge, diremos que la serie
∞
∑a
n
es divergente .
✍
n=1
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n
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∑ (−1)
Ejemplo 1: Determinar la convergencia o divergencia de la serie
n +1
n =1
Esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales, de manera que las siguientes propiedades son consecuencia directa de sus análogos en sucesiones: ∞
Teorema: Si
∑a
∞
n
=A ,
n=1 ∞
a)
∑
∑b
n
= B , y c es un número real, entonces:
n=1
∞
c ⋅ an = cA
b)
n =1
∞
∑ (an + bn ) = A+B
c)
n =1
∑ (a
n
− bn ) = A-B
n =1
■ Además, si se suprimen los N primeros términos de una serie, ello no destruye su convergencia ( o su divergencia). Este es el contenido del siguiente teorema: Teorema: Para cualquier entero positivo N, las series: ∞
∞
∑ an
∑a
y
n
n= N +1
n=1
■
tienen el mismo carácter (las dos convergen, o ambas divergen).
✌
Observación: Si ambas convergen, sus sumas difieren por la suma parcial S N .
Al ir estudiando este tema, veremos que hay dos cuestiones básicas acerca de las series: ¿converge?, y si converge, ¿cuál es su suma?. No siempre son fáciles de contestar, sobre todo la segunda. Comenzaremos nuestra búsqueda de respuestas, por un sencillo teorema conocido como el criterio de condición necesaria: ∞
Teorema (Condición necesaria): Sea
∑a
n
una serie. Entonces:
n=1
Si la serie es convergente ⇒ Lim an = 0
■
n→∞
∞
Observación: El teorema no afirma que la serie
∑a
converge si {an } tiende a 0, sino que la serie diverge
n
n=1
si {an } no converge a 0 (negación lógica). En otras palabras, el que Lim an = 0 , es condición necesaria para n→∞
✌
la convergencia de la serie, pero no suficiente.
Ejemplo 2: Determinar cuales de las siguientes series son convergentes ∞
a)
∑ 2n n= 0
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∞
∞
b)
1 ∑ n n= 0 2
c)
n! ∑ n =1 2 n !+ 1
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10 ∑ n=1 n
n2 + 3 ∑1 4n − 5n2 n= ∞
∞
d)
e)
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA En general, no son muchas las series que pueden ser estudiadas usando directamente la definición; una excepción la forman las series geométricas, cuya convergencia es fácil de estudiar, y en caso de ser convergentes, hasta se pueden sumar. Definición: La serie dada por ∞
∑a⋅r
n
= a + ar + ar 2 + ar 3 ++ ar n +
con a ≠ 0
n= 0
✍
se llama serie geométrica de razón r y término inicial a. ∞
∑a⋅r
Teorema: Sea
n
una serie geométrica. Entonces:
n= 0
a) Si r ≥ 1 ⇒ la serie diverge. ∞
∑a⋅r
b) Si r < 1 ⇒ la serie converge, y además lo hace a:
n
=
n= 0
a . 1− r
■
Observación: En el caso de tener una serie geométrica que no comienza en n=0, si es convergente, entonces su suma vendrá dada por la expresión: a⋅ rk a⋅r = ∑ 1− r n= k ∞
n
✌
Ejemplo 3: Estudiar el carácter de las siguientes series, y en su caso, obtener su suma: ∞
a)
∑ n= 0
∞
Teorema: La serie
∑ n=1
∞
Teorema: Sean
∞
3 2n
b)
n= 0
1 n
∑ an y n=1
∞
c)
∞
∑b
n
d)
∑ n= 2
( −1)n 4n
■
dos series, y sea c ≠ 0 un número real. Entonces: ∞
∑ an diverge y
∑ bn converge ⇒
n
también diverge.
n =1 ∞
n=1
∞
Ejemplo 4: Estudiar el carácter de la serie
1
∞
∑ (a
n
+ bn ) diverge.
n =1
1 . n
∑ n − 2 n =1
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∞
23n 7n
n=1
∑c⋅a
n=1
∑ n= 0
∑ an diverge ⇒ n=1 ∞
b) Si
n
llamada serie armónica, diverge a ∞ .
∞
a) Si
∑
3 2
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2. Series de términos no negativos En este apartado, vamos a ver algunos resultados que nos van a permitir determinar el carácter de series donde sus términos (casi todos) sean no negativos, ya que al depender la convergencia de una serie de la convergencia del límite de las sumas parciales, parece evidente que los primeros términos (cualquier cantidad finita, por grande que ésta sea) de una serie no deben afectar al carácter de una serie, aunque su suma se vea, evidentemente afectada. Ejemplo 5: Hallar la suma de la serie: 4 − 6 + π + 1 +
1 1 1 + + + n + 2 4 2
Teorema: Sea {an } una sucesión cualquiera de números reales, y sea {bn } una sucesión obtenida a partir de
{an } , eliminando, añadiendo o modificando términos. Entonces: ∞
∑ an
∞
y
n= 0
∑b
■
tienen el mismo carácter
n
n= 0
Teorema ( Criterio de condensación de Cauchy ) : Sea {an } una sucesión decreciente de términos no negativos. Entonces: ∞
∑ an es convergente
⇔
∞
∑ k =0
n=1
2 k a 2k
■
es convergente
Ejemplo 6: Estudiar la convergencia de las siguientes series: ∞
a)
∑ n=2
∞
1 n Ln
b)
1
∑ n ( Ln) n=2
c
Definición: a) Llamamos p-serie , con p>0, a la serie de la forma ∞
1 1 1 1 = p + p + p + p 1 2 3 n
∑ n =1
✍
b) En el caso de que p=1, la serie recibe el nombre de serie armónica. ∞
Teorema: Consideremos la p-serie
∑ n=1
1 . Entonces: np
a) Si 0 < p ≤ 1 ⇒ la serie diverge. b) Si
p > 1 ⇒ la serie converge.
■
Ejemplo 7: Estudiar la convergencia de las siguientes series: ∞
a)
∑ n=1
1 n3
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∞
b)
∑ n=1
1 5 n Tema 6
∞
c)
∑ n=1
1 n4 3 Pág. 4 de 15
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∑ an
Teorema (Criterio de comparación directa): Sean
n= 0
∞
y
∑b
n
dos series tales que 0 < a n ≤ b n
n= 0
∀n ∈ . Entonces: ∞
a) Si
∑ bn converge ⇒ n= 0 ∞
b) Si
∑a
n
diverge ⇒
n= 0
∞
∑a
n
converge.
n
diverge.
n= 0 ∞
∑b
■
n= 0
Observaciones: a) Aunque en el enunciado hemos exigido que 0 < an ≤ bn ∀n , como la convergencia de una serie no queda afectada por sus primeros términos, lo podríamos exigir para los n mayores que cierto N. b) El criterio deja de ser válido para series de términos cualesquiera.
✌
Ejemplo 8: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
n =1 ∞
d)
∞
1
∑ 2+3 ∑ n =1
b)
n
∞
1
∑ 2+
n
n =1 ∞
sen(1 / n) n2 + 1
e)
∑ n =1
c)
∑2 n =1
1 2 n + n +1
1 n−1
∞
f)
∑n n =1
2
+1
n+2 − n −1
Son pocas las veces en las que este criterio es aplicable directamente aunque su gran importancia reside en que todos los restantes criterios para series de términos no negativos se deducen como consecuencias del criterio de comparación. ∞
Teorema ( Criterio de la raíz ): Sea
∑a
n
una serie tal que a n > 0 para n suficientemente grande, y sea
n= 0
Lim n a n = . Entonces: n→∞
a) Si < 1 ⇒ la serie converge. b) Si > 1 ⇒ la serie diverge. c) Si = 1 ⇒ no se obtiene información.
■
Ejemplo 9: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
∑ n =1
5000 n
n
∞
b)
∑ n =1
e2 n nn
∞
c)
∑ n =1
n3 3n
Con frecuencia, una serie dada se parece a una p-serie o a una serie geométrica, pero no resulta fácil establecer comparaciones término a término. Entonces es útil recurrir a un segundo criterio de comparación:
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Teorema ( Criterio de comparación en el límite ):Sean
∑ an y n= 0
∞
∑b
n
tales que bn ≠ 0 ∀ n suficientemente grande, y supongamos que Lim n→∞
∞
∑ an y n= 0
dos series de términos no negativos
n= 0
an = > 0 . Entonces: bn
∞
∑b
n
tienen el mismo carácter.
■
n= 0
Ejemplo 10: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
∑ n =1 ∞
d)
∑ n =1 ∞
g)
∑ n =1
∞
1 a>0 an + b
b)
n 2 − 10 4n 5 + n 3
e)
1 2 n − n −1
h)
∑ n =1 ∞
n =1
∑
1 3n − 2
∞
4 n −1 n2 + 2 n
n =1
f)
n +1 3
n =1
∑
c)
n
∑ ∞
∞
1 2 3n − 4n + 5
∑ n =1
n+2 2 n + n +1
∞
i)
∑ n =1
( 4n3 + 5) ⋅ sen(1 / n) n 2 ⋅ 3n
∞
∑a
Teorema (Criterio de Pringsheim): Sea
n
una serie de términos positivos y supongamos que
n= 0
Lim n c ⋅ a n ≠ 0 . Entonces: n→∞
a) Si c > 1 ⇒ b) Si c ≤ 1 ⇒
∞
∑a
n
converge.
n
diverge.
n= 0 ∞
∑a
■
n= 0
∞
Teorema (Criterio del cociente): Sea
∑a
n
una serie de términos positivos, y supongamos que
n= 0
Lim n→∞
a n+1 = . Entonces: an a) Si < 1 ⇒ la serie converge. b) Si > 1 ⇒ la serie diverge. c) Si = 1 ⇒ no se obtiene información.
■
Ejemplo 11: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
∑ n= 0
2n n!
∞
b)
∑ n =1
∞
n n +1
c)
∑ n= 0
n 2 ⋅ 2n+1 3n
∞
d)
∑ n= 0
nn n!
Tanto el criterio de la raíz como el del cociente fallan cuando el límite es igual a 1. En dichos casos se aplica el siguiente criterio
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∑a
Teorema (Criterio de Raabe): Sea
n
una serie de términos positivos, y supongamos que
n= 0
a Lim n ⋅ 1 − n+1 = . Entonces: n→∞ an a) Si > 1 ⇒ la serie converge. b) Si < 1 ⇒ la serie diverge. c) Si = 1 ⇒ no se obtiene información.
■ ∞
1
∑n
Ejemplo 12: Estudiar el carácter de la siguiente serie:
2
.
n=1
∞
Teorema (Criterio integral): Sea función continua para x ≥ 1 tal que:
∑a
una serie de términos no negativos. Supongamos que f es una
n
n=1
1. f ( n ) = a n ∀n ≥ 1 2. f es decreciente para x ≥ 1 Entonces: ∞
∑
an
∫
⇔
converge
∞
1
n=1
f ( x ) dx
converge
■
Ejemplo 13: Estudiar el carácter de las siguientes series: ∞
a)
∑ n =1
∞
n 1+ n2
b)
∑ n =1
1 1+ n2
∞
Corolario: Sea
∑a
n
una serie de términos no negativos y decrecientes, y sea f una función que verifica
n=1
las hipótesis del criterio de la integral. Entonces:
∫ para cualquier natural k .
∞ k
∞
∑
≤
f ( x ) dx
n= k
an ≤
∫
∞
f ( x ) dx
k
+ ak
■
Observación: Este corolario permite dar una estimación con cualquier grado de aproximación de la suma de una serie ya que ∞
∑ n =1
an +
∫
∞ k
f ( x ) dx
✌ ∞
∑ n=1
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∑ n =1
y la integral tiene un error menor que a k . Ejemplo 14: Estimar la suma de la serie
k
≈
an
1 con un error menor que 0.001 . n2
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3. Series alternadas En el apartado anterior, hemos visto varios criterios de convergencia para series de términos no negativos, aunque también son aplicables a aquellas series ∑ an que tienen a lo sumo un número finito de términos negativos, pues ya hemos visto que se pueden eliminar sin afectar la convergencia o divergencia de la serie. También son aplicables a las series que tienen todos los términos negativos (salvo quizás un número finito), ya que entonces estudiamos la serie ∑ −a n , que tiene el mismo carácter. Sin embargo, cuando en una serie aparecen infinitos términos negativos y positivos, los criterios anteriores no son aplicables. En esta sección veremos nuevos criterios que podemos aplicar, cuando las series con las que nos encontremos sean de este tipo. Definición: Una serie ∑ an decimos que es alternada si ∀n ∈ el signo de an es distinto del de a n+1 . Por ∞ 1 ejemplo, ∑ . ✍ n −1 n =1 ( −2) ∞
Teorema (de Leibniz): Sea
∑ ( −1)
n
a n una serie tal que:
n =1
a ) {an } es decreciente y de terminos positivos ⇒ es convergente b) Lim a n = 0 n→∞
■
Observación: Además, también es válido si la sucesión es decreciente a partir de un cierto natural N.
✌
Ejemplo 15: Determinar la convergencia de las siguientes series: ∞
a)
∑ n =1 ∞
c)
∑ n =1
∞
n ( −2) n−1
b)
3n + 2 ( −1)n+1 2 4n − 3
d)
∑
( −1)n
ln n n
( −1)n
n ln 2n
n =1 ∞
∑ n =1
Teorema: Si una serie ∑ a n satisface las condiciones del teorema de Leibniz, y su suma es , entonces el resto Rn implicado al aproximar la suma por la suma parcial S n es menor en valor absoluto que el primer término despreciado: S n − = Rn ≤ a n+1 Es decir, el error cometido al usar la n-ésima suma parcial de la serie como aproximación de es, a lo sumo, la magnitud del primer término no sumado. ■ ∞
Ejemplo 16: Probar que la serie
∑ n =1
( −1) n+1
1 es convergente y dar una estimación de su suma con un error n
menor que 0.1.
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Una serie puede tener infinitos términos positivos y negativos, sin ser alternada, como ocurre con ∞
∑ n =1
sen n sen 1 sen 2 sen 3 = + + + 1 4 9 n2
Una forma de obtener información sobre su convergencia es investigar la de la serie ∞
∑ n =1
∞
que por comparación directa con la serie
∑ n=1
sen n n2
1 , resulta que es convergente. n2
Pero la cuestión es: ¿converge la serie original o no?. El próximo teorema responde a esta pregunta. Teorema (Convergencia absoluta): Sea ∑ an una serie. Entonces: Si la serie ∑ a n
converge
⇒ la serie ∑ a n converge ∞
Observación: El inverso no es cierto, ya que por ejemplo la serie
∑
( −1) n+1
n =1
∞
Leibniz), y sin embargo la serie armónica
∑ n=1
■
1 es convergente (por n
1 es divergente. Llamaremos convergencia condicional a este n
✌
tipo de series. Definiciones:
a) Diremos que ∑ a n es absolutamente convergente, si ∑ a n converge. b) Diremos que ∑ a n es condicionalmente convergente, si ∑ an converge pero ∑ a n diverge.
✍
Ejemplo 17: Determinar si convergen las siguientes series, y en caso afirmativo si lo hacen absoluta o condicionalmente: ( −1) n ( n +1) 2 ∑ 3n n =1
∞
∞
a)
b)
∑ n =1
( −1) n ln( n + 1)
4. Series de Taylor Por el tema anterior, vimos que si una función era derivable un número finito de veces (n veces) en un intervalo, podíamos aproximar la función utilizando el polinomio de Taylor de dicha función. Pero ¿que ocurrirá si la función es indefinidamente derivable?. El teorema de Taylor nos sugiere que si una función f tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo abierto I que contiene a x0 , entonces para cada x ∈ I estamos tentados a considerar como aproximación de la función f la serie Javier Martínez del Castillo
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA ∞
∑ n=0
f n ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) n n!
Definiciones: a) La serie anterior recibe el nombre de serie de Taylor de f en el punto x0 . b) En el caso de que x0 =0, la serie se llamará serie de Mc Laurin.
✍
Además, casi todas las propiedades que vimos cuando introdujimos el concepto de polinomio de Taylor, se pueden generalizar a series de Taylor. Por tanto, se verifican los siguientes resultados: Teorema: Supongamos que f tiene derivadas de todos los órdenes en un entorno I de x0 . La serie de Taylor de f en x0 representa a f en x1 ∈ I si y sólo si el error cometido al aproximar f en x1 por el nésimo polinomio de Taylor tiende a cero cuando n tiende a infinito, esto es, si y sólo si f n+1 ( c ) Lim En ( x1 ) = Lim ⋅ ( x1 − x 0 ) n+1 = 0 n→∞ n→∞ ( n + 1)!
■
Corolario: Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en un entorno I de x0 . Si existe un número B tal que f n ( x ) ≤ B ∀n ∈ + en todo I .
y ∀x ∈ I entonces la serie de Taylor de f en x0 representa a f
■
Teorema: Si f es representable por su serie de Taylor en un entorno I de x0 , entonces su serie de Taylor es la única serie centrada en x0 que representa a f en I . ■ Definición: Si f es representada en un entorno de x0 por una serie de potencias centrada en x0 , diremos que f es analítica en x0 . Análogamente, diremos que una función f es analítica, si es analítica en cada punto de su dominio. ✍ ∞
Teorema (Producto de Cauchy): Supongamos que las series
∑
an ( x − x 0 ) n y
n= 0
∞
∑ b (x − x n
0
)n convergen
n=0
a las funciones f y g respectivamente, en un mismo entorno I de x0 . Entonces, la serie producto (llamada producto de Cauchy) a0 b0 + ( a0 b1 + a1b0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + ( a0 b2 + a1b1 + a2 b0 ) ⋅ ( x − x0 )2 + n
cuyo n-ésimo coeficiente es
∑ (a b i=0
i n− i
) , representa a la función f ⋅ g en I .
Análogamente, si b0 = g ( x0 ) ≠ 0 , entonces la serie a0 ab −a b + 1 0 2 0 1 ⋅ ( x − x0 ) + b0 b0 f en algún entorno de x0 . obtenida por división larga, representa a la función g Javier Martínez del Castillo
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■
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Como el cálculo directo puede ser tedioso, el método más práctico para hallar una serie de Taylor o de Mc Laurin, consiste en desarrollar series de potencias para una lista básica de funciones elementales. De esta lista se podrán deducir series de potencias para otras funciones mediante suma, resta, producto, división, derivación, integración o composición con series conocidas. En la siguiente lista, ofrecemos las series de potencias de varias funciones elementales junto con sus intervalos de convergencia: SERIES DE POTENCIAS PARA FUNCIONES ELEMENTALES
1 ∞ =∑ (−1) n ⋅ ( x − 1) n x n=0
0< x<2
∞ 1 =∑ (−1) n x n 1 + x n =0
−1< x <1
(−1) n −1 ( x − 1) n n n =1 ∞
ln x =∑ ∞
e x =∑ n=0
xn n! ∞
sen x =∑ n =0
∞
cos x =∑ n=0
−∞<x<∞ (−1) n x 2 n +1 (2n + 1)!
−∞<x<∞
(−1) n x 2 n (2n)!
−∞<x<∞
∞
arctg x =∑ n =0
(−1) n x 2 n +1 2n + 1
∞
arcsen x =∑ n =0
−1≤ x ≤1
(2n)! x 2 n +1 (2 n n!) 2 (2n + 1)
(1 + x) k = 1+ kx+
(1 + x) − k =1− kx+
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0< x≤2
−1≤ x ≤1
k (k − 1) x 2 k (k − 1)(k − 2) x 3 + + 2! 3!
k (k + 1) x 2 k (k + 1)(k + 2) x 3 − + 2! 3!
Tema 6
−1< x <1 −1< x <1
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Ejemplo 18: Calcular las series de Mc Laurin de las siguientes funciones: a) f ( x ) = sen x
2
d) f ( x ) = cos x
1 b) f ( x) = 1− x
1 + x2 c) f ( x) = 1− x
e) f ( x) = 3 1 + x
f) f ( x) = ex sen x
5. Suma de series A lo largo del tema hemos visto una serie de criterios que nos permiten saber si una serie va a ser convergente o divergente. Sin embargo, como ya dijimos, lo interesante sería saber en el caso de que converja, cuanto vale su suma. Pues bien, si la serie es de un “tipo especial”, vamos a saber cuanto vale su suma.
5.1. Series Geométricas: Se llama serie geométrica de razón r y término inicial a, a: ∞
∑a⋅r
n
= a + ar + ar 2 + ar 3 ++ ar n +
con a ≠ 0
n= 0
Entonces: a converge a : n a r ⋅ = 1− r ∑ n= 0 diverge ∞
, si r < 1 , si r ≥ 1
5.2. Series Aritmético-Geométricas: Son de la forma (generalización de geométricas): ∞
∑ (an + b) ⋅ r
n
= ( a + b)r + ( 2a + b)r 2 +
con a , b, r ∈
n =1
Entonces: ( a + b)r − br 2 converge a : ( an + b) ⋅ r n = (1 − r )2 ∑ 1 n= diverge ∞
, si r < 1 , si r ≥ 1
∞
5.3. Series Hipergeométricas: Decimos que
∑a
n
es una serie hipergeométrica, si verifica que:
n=1
a n+1 αn + β = αn + γ an
con α , β , γ ∈
Entonces: Javier Martínez del Castillo
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA converge an = ∑ n=1 diverge ∞
a1γ γ −α − β
a:
, si γ > α + β , resto
∞
∑a
5.4. Series Telescópicas: Decimos que
n
es una serie telescópica, si verifica:
n=1
an = bn − bn+1
(o al revés)
Este tipo de series se llaman así, debido a la forma particular de su término general que permite obtener fácilmente la sucesión de sumas parciales: S1 = a1 = b1 − b2 S 2 = a1 + a2 = ( b1 − b2 ) + ( b2 − b3 ) = b1 − b3 S n = a1 + + a n = ( b1 − b2 ) + + ( bn − bn+1 ) = b1 − bn+1 Entonces: ∞
converge ⇔ {S n } converge
∑a
n
n=1
Además, si la sucesión de sumas parciales converge, entonces, tendremos que: ∞
∑ a = Lim S n
n=1
n→∞
n
= Lim ( b1 − bn+1 ) = b1 − Lim bn+1 n→∞
n→∞
Ejemplo 19: Calcular, si se puede, la suma de las siguientes series: ∞
a)
∞
1
∑ (2n+1)(2n+3)
b)
n=1 ∞
d)
n=1
n +1 n
∞
∑ ln n=1
e)
2
∑ 4n −1 2
2n + 5
∑ n(n+1)(n+2) n=1
∞
c)
1
∑ n +3n+2 n=1
2
∞
f)
∑ (−1)
n
n=1
1 n
6. Otros criterios de convergencia. ∞
6.1.Teorema: Consideremos la serie
P(n)
∑ Q(n) ,
donde P y Q son dos polinomios de grados p y q
n=1
respectivamente. Entonces: a) Si q − p ≤ 1 ⇒ la serie diverge b) Si q − p > 1 ⇒ la serie converge
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■
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA ∞
6.2.Teorema: Sea la serie ∑ R( n ) r n , donde R es una función racional y r ≠ 1. Entonces: n =1
∞
∑ R( n) r
n
converge ⇔ r < 1
■
n =1
∞
6.3. Teorema: Sea la serie
∑(−1)
n
n=1
P(n) , donde P y Q son dos polinomios de grados p y q respectivamente. Q(n)
Entonces: a) Si q − p < 1 ⇒ la serie diverge b) Si q − p > 1 ⇒ la serie converge absolutamente c) Si q − p = 1 ⇒ la serie converge condicionalmente
■
6.4. Fórmula de Stirling: Hemos visto que el determinar el carácter de una serie se basa fundamentalmente en el cálculo de varios límites. Por otra parte, en muchas series nos puede aparecer la expresión n!, que a la hora de calcular el límite, nos puede crear muchos problemas. Entonces, para calcular dichos límites puede ser útil la fórmula de Stirling: Lim n→∞
n n e − n 2πn =1 n!
lo que nos dice que ambas expresiones son equivalentes, es decir: n ! ≡ n n e − n 2πn
6.5. Series del tipo
P(n) n!
P( n) , donde P es un polinomio de grado p y q ∈. El criterio del ( n + q )! cociente nos dice que este tipo de series son siempre convergentes; además, estas series son fácilmente sumables. La clave del método está en obtener la siguiente descomposición del polinomio P :
Vamos a estudiar las series del tipo ∑
P( n ) = a p ⋅ ( n + q ) ⋅ ( n + q − 1) ( n + q − p + 1) + P1 ( n ) donde P1 es un polinomio de grado menor o igual que p − 1 (y que puede ser descompuesto de la misma forma), y a p es el coeficiente de n p en P . Tal descomposición se obtiene fácilmente imponiendo la igualdad y acumulando en P1 los términos que no estén en el primer sumando. A partir de esta descomposición se obtiene que: P( n )
1
∑ ( n + q )! = a ∑ ( n + q − p )! + ∑ p
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P1 ( n ) ( n + p )! Pág. 14 de 15
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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA La primera serie se suma a partir de la serie de Taylor de la función exponencial, como veremos a continuación, y la segunda es una serie del mismo tipo inicial pero tal que el polinomio del numerador tiene grado estrictamente menor. Si aplicamos la descomposición hasta conseguir que el polinomio del denominador se reduzca a una constante, habremos reducido el problema a sumar varias series del tipo ∞ 1 : ∑ n= N ( n + k )! ∞
∑
n= N
1 = ( n + k )!
∞
∑
n= N + k
1 = n!
∞
∑ n=0
1 − n!
N + k −1
∑ n=0
1 = e− n!
N + k −1
∑ n= 0
1 n!
Ejemplo 20: Calcular la suma de las siguientes series: n2 +5n−4 a) ∑ (n+1)! n=0
n3 −5n+8 b) ∑ n=0 (n +2)!
∞
∞
6.6. Observaciones sobre el criterio del cociente y de Raabe El criterio del cociente es el más usado para estudiar el carácter de una serie. Además, cuando este criterio no decide nada ( = 1 ), se puede aplicar el criterio de Raabe. Por otra parte, el simple estudio del cociente
a n+1 puede aportarnos bastante información, ya que: an
a) Si
a n +1 = r ∈ , entonces la serie es geométrica. an
b) Si
an +1 αn + β con α , β , γ ∈ , la serie es hipergeométrica. = an αn + γ
a n +1 > 0 ∀n ∈ , la sucesión {an } es creciente y por tanto su an 0; luego la serie diverge.
c) Si a n > 0 y
d) Si a n > 0 y
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límite no puede ser
a n +1 < 0 ∀n ∈ , la sucesión {an } es decreciente. an
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