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Alguns softwares de Matem´ atica que utilizaremos Nesta disciplina utilizaremos alguns programas de Matem´atica, como o Graphmatica, GeoGebra, Maxima, Yacas, Winplot.

Graphmatica Autor: Carlos Malaca e Keith Hertzer ´ um programa gratuito de desenho para gr´aficos de fun¸c˜oes. Vocˆe pode obter este E programa no endere¸co http://www.graphmatica.com/ Clique primeiro em (Vers˜ao 2.0) e a seguir em setup.exe. Pronto! Vocˆe j´a tem o Graphmatica instalado no computador. Podemos utilizar esse programa para resolver problemas que envolvem equa¸c˜oes de 10 e 20 graus, e sua representa¸c˜ao gr´afica, bem como resolver graficamente equa¸c˜oes do 20 e 30 ´ tamb´em u graus. E ´til para analisar geometricamente a solu¸c˜ao de inequa¸c˜oes do 10 , 20 e 30 graus. ´ poss´ıvel explorar a trigonometria e a importˆancia da an´alise do gr´afico das fun¸c˜oes E trigonom´etricas (para estas temos que alterar para coordenadas trigonom´etricas). Consulte os documentos disponibilizados na p´agina da disciplina, “Graphmatica - guia do usu´ario” e “Graphmatica - Manual”, para vocˆe saber como utilizar o Graphmatica. A figura seguinte mostra a tela de interface do Graphmatica onde est´a representada a fun¸c˜ao y = x3 .

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Nota¸c˜ao: ∗ - multiplica¸c˜ao

∧ - potencia¸c˜ao

\ - divis˜ao

sqrt - raiz quadrada

Agora, ´e s´o aprender a us´a-lo! Uma sugest˜ao de aplica¸c˜ao desse programa no Ensino da Matem´atica: como j´a foi dito anteriormente, vocˆe pode explorar esse programa em resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes e sua representa¸c˜ao; solu¸c˜ao alg´ebrica e solu¸c˜ao gr´afica. O aluno pode observar que a mesma equa¸c˜ao possui diferentes solu¸c˜oes, dependendo da dimens˜ao em que se est´a trabalhando. Vocˆe deve observar e registrar a diferen¸ca entre as equa¸c˜oes y = f (x) e f (x) = 0. Quando consideramos y = f (x), temos uma rela¸c˜ao entre duas grandezas, representadas pela lei que rege essas duas grandezas, ´e a lei de uma fun¸c˜ao. J´a quando temos f (x) = 0, referimo-nos aos valores de x que anulam uma determinada fun¸c˜ao. Podemos analisar geometricamente a solu¸c˜ao das inequa¸c˜oes do 10 grau, bem como resolver graficamente equa¸c˜oes do 20 e 30 graus. ´ importante que vocˆe fique atento aos gr´aficos. Analise sua constru¸c˜ao e seu comportaE mento. Caso vocˆe tenha d´ uvidas, o pr´oprio software constr´oi tabelas no intervalo que vocˆe deseja (veja na figura anterior).

GeoGebra Este ´e um programa livre desenvolvido por Markus Hohenwarter. O GeoGebra ´e um ´ software matem´atico que re´ une Geometria, Algebra e C´alculo, e roda em qualquer plataforma (Windows, Linux,...) e est´a escrito em Java. Assim, certifique-se que vocˆe tem o JRE (Java Runtime Environment) instalado. O GeoGebra est´a dispon´ıvel gratuitamente para baixar no endere¸co http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=pt Clique no item “”no menu na esquerda. Na p´agina que aparecer´a, vocˆe pode escolher o idioma. Em seguida, clique no link de nome “Instala¸c˜oes ”(se vocˆe trocou para portuguˆes, ou “Installers ”se permaneceu em inglˆes). Na janela que aparecer´a, clique no link correspondente ao seu sistema operacional. Salve o arquivo em seu disco r´ıgido e, ent˜ao, execute-o para iniciar a instala¸c˜ao. Na p´agina vocˆe pode observar em Primeiros os, links para F´orum de Usu´arios e Materiais de Apoio, onde v´arias perguntas s˜ao respondidas. Vocˆe encontrar´a muito Material de Apoio a Ajuda do GeoGebra, como “Manual Oficial”, “V´ıdeos Tutoriais”, Ajuda online, entre outros, no endere¸co http://www.geogebra.org/help/ 2

Agora, vocˆe j´a est´a com o programa instalado e come¸car´a a parte interessante, do ponto de vista da Matem´atica. Na p´agina do professor Humberto Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/ escolha “Tutorial”e vocˆe encontrar´a 5 tutoriais com anima¸c˜oes e textos explicativos das no¸c˜oes b´asicas da interface do programa. Ver´a tamb´em como construir gr´aficos, como salvar sua constru¸c˜ao, como incluir figuras geradas no GeoGebra em um editor de textos, como o Word.

Maxima Excelente programa de computa¸c˜ao simb´olica - Maxima (sem acento). A primeira grande vantagem do Maxima ´e ser um software gratuito e est´a dispon´ıvel em diversos sites. Para baix´a-lo, vocˆe precisar´a escolher a vers˜ao adequada para rodar no sistema que vocˆe est´a usando: Windows ou Linux. Foi criado originalmente por um grupo de pesquisadores do MIT (Massachusetts Institute of Technology), e oferece um ambiente orientado para c´alculos matem´aticos, tanto simb´olicos, num´ericos ou gr´aficos. O Maxima tem como caracter´ıntica mais importante a habilidade em lidar com s´ımbolos e obter respostas exatas para muitos problemas matem´aticos, como a fatora¸c˜ao de n´ umeros inteiros e polinˆomios, o c´alculo com matrizes, a resolu¸c˜ao de sistemas lineares e n˜ao lineares de equa¸c˜oes, trigonometria, limites, derivadas, integrais, e v´arios outros. O sistema ainda permite gerar e exportar figuras em duas e trˆes dimens˜oes. Indicaremos a seguir algumas possibilidades para vocˆe consegui-lo. Se vocˆe estiver usando o sistema Microsoft Windows, baixe e instale o programa http://ufpr.dl.sourceforge.net/sourceforge/maxima/maxima-5.21.1.exe ou escolha a vers˜ao maxima-5.19.2.exe Vocˆe pode escolher o idioma portuguˆes logo no in´ıcio da instala¸c˜ao. Se vocˆe estiver usando o sistema Linux, baixe os seguintes arquivos http://ufpr.dl.sourceforge.net/sourceforge/maxima/maxima-5.19.2-1.centos4.i386.rpm

e http://ufpr.dl.sourceforge.net/sourceforge/maxima/maxima-exec-clisp-5.19.2-1.centos4.i386.rpm.

Feito isto, em uma janela terminal, digite o seguinte comando: rpm -ivh maxima-5.19.2-1.centos4.i386.rpmmaxima-exec-clisp-5.19.2-1.centos4.i386.rpm.

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Instalado o programa, vocˆe estar´a pronto para iniciar uma grande viagem - usar uma sofisticada ferramenta para fazer Matem´atica. Para vocˆe iniciar calculando uma soma, escreva a opera¸c˜ao seguida de um ponto e v´ırgula (;) e aperte a tecla Enter: (%i1) 12+45; e o Maxima responder´a (%o1) 57 (%i2) indicando (%i2) que Maxima espera uma segunda instru¸c˜ao. Experimente (%i2) solve(x2 − 5 ∗ x + 6 = 0, x); (%o3) [x = 2 , x = 3] Tente agora o comando (%i3) factor(8234982341928); por exemplo, para decompor o n´ umero entre parˆenteses em fatores primos. Vocˆe tamb´em pode baixar o manual do programa que lhe ensinar´a v´arios comandos, por exemplo busque no site http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt BR/maxima.html Mas, para facilitar, estamos disponibilizando o manual do Maxima na p´agina da disciplina. Na tabela a seguir temos os s´ımbolos do Maxima para opera¸c˜oes aritm´eticas. Opera¸c˜ao adi¸c˜ao subtra¸c˜ao multiplica¸c˜ao divis˜ao exponencia¸c˜ao valor absoluto fatorial m´aximo m´ınimo m´aximo divisor comu m´ınimo m´ ultiplo comum

S´ımbolo + − ∗ / ∧ abs(· · · ) ! max(. . . ) min(. . . ) gcd(. . . ) lcm(. . . )

Exemplo 3+2 5−a 2∗5∗x a/b x3 abs(−9) 12! max(−2, 5, 9) min(−2, 5, 9) gcd(18, 48) lcm(18, 48)

Yacas Como obter o programa Yacas? Esse programa ´e gratuito e pode ser obtido na p´agina de internet http://yacas.sourceforge.net/homepage.html

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Vocˆe entrar´a numa p´agina (em inglˆes) com o logotipo “Yacas”. Abaixo do logotipo vocˆe encontrar´a a palavra . Clique sobre ela e vocˆe entrar´a na p´agina de s. Veja, os computadores fazem muitas coisas mas precisamos falar (pelo menos um pouco) a l´ıngua deles obter o que queremos. Queremos dar comandos que o programa entender´a e executar´a, dandonos as respostas que precisamos entender. Aqui est˜ao alguns exemplos de como os computadores (geralmente) lˆeem as frases matem´aticas.

(1+x)∧5

(1 + x)5

2∗x + 3

2x + 3

Ou seja, a maioria dos programas de matem´atica interpretam ∗ como produto e ∧, o acento circunflexo, como o s´ımbolo de potˆencia. Esse programa em particular usa os seguintes comandos: > Factors(1234); para fatorar o n´ umero 1234; > Factors(x∧2 - 1); para fatorar o polinˆomio x2 − 1; > Expand((1+x)∧5); para expandir a potˆencia (x + 1)5 ; > Simplify((x∧2-1)/(x-1)); para simplificar a express˜ao

x2 − 1 ; x−1

> Solve(2+x*y==3, x); para resolver a equa¸c˜ao 2 + xy = 3 na vari´avel x; > IsPrime(1234571); para saber se o n´ umero 1234571 ´e primo. A resposta dever´a ser true ou false, dependendo do caso; > N(21!); para calcular o fatorial de 21; > N(Pi/2); para obter uma aproxima¸c˜ao racional de

π ; 2

> N(Sqrt(2), 31): para obter uma aproxima¸c˜ao racional de

√

2 com 31 casas decimais. sen x > Limit(x,0)Sin(x)/x; para obter o limite quando x tende a zero de ; x Lembre-se que vocˆe deve digitar o comando logo ap´os o prompt (>), colocar o ponto e v´ırgula e pressionar a tecla enter para acion´a-lo.

Winplot O WinPlot ´e um programa gratuito para gerar gr´aficos de 2D e 3D a partir de fun¸c˜ oes ou equa¸c˜oes matem´aticas. Os menus do sistema s˜ao simples, sendo que existe uma op¸c˜ao de Ajuda em todas as partes. Aceita fun¸c˜oes matem´aticas de modo natural. Vocˆe pode baixar o programa wppr32z.exe

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e salv´a-lo em um diret´orio qualquer e a partir do gerenciador de arquivos, dar um duplo clique no referido arquivo, come¸cando o processo de descompacta¸c˜ao do arquivo. No endere¸co http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html#toc2

Vocˆe encontrr´a um tutorial “Usando o Winplot”de Sergio Albuquerque de Souza. Creio que isso j´a d´a para come¸car... Na p´agina da disciplina vocˆe encontrar´a tutoriais desses programas.

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