Sucesion De Funciones e5j54

Sucesi´on de Funciones Maestr´ıa en Matem´ atica Aplicada Sergio Luque & Javier Valeriano

(C´ alculo en R)

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Sucesi´on de Funciones

Entre los diversos tipos de convergencia los m´as naturales y comunes son la convergencia simple y la convergencia uniforme. Se dice que una secuencia de aplicaciones fn : X → M (definidas en un conjunto arbitrario X y que toman valores en un espacio m´etrico M) converge simplemente (puntualmente) en X a una aplicaci´ on f : X → M, cuando para cada x ∈ X , la sucesi´ on (f1 (x), f2 (x), ..., fn (x), ...) tiene limite f (x) en M. Es decir, para cada x ∈ X , se tiene: lim fn (x) = f (x)

n→∞

Esto significa, evidentemente, que, dados arbitrariamente x ∈ X y ε > 0, existe n0 ∈ N (que depende de x y de ε) tal que n > n0 ⇒ d(fn (x), f (x)) < ε.

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Ejemplo 14 La sucesi´ on de funciones fn : R → R, dadas por: x n Converge simplemente en R para la funci´ on id´enticamente nula. fn (x) =

Demostraci´on En efecto: Para cada x ∈ R fijado, se tiene: x =0 n Dados x ∈ R y ε > 0, tomamos n0 ∈ N tal que: n0 > |x|/ε. Entonces: lim

n→∞

n > n0 ⇒ |x/n| < ε Notar que, manteniendo el mismo ε fijo, no se puede determinar un numero natural n0 que satisfaga para todos los puntos x ∈ R. (C´ alculo en R)

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Demostraci´on Diremos que la sucesi´ on de aplicaciones fn : X → M converge uniformemente en X para una aplicaci´ on f : X → M cuando, para todo numero real ε > 0 dado, es posible obtener n0 ∈ N tal que: n > n0 ⇒ d(fn (x), f (x)) < ε Para cualquier x ∈ X . La expresi´on dada contiene las caracter´ısticas de la uniformidad: el n´ umero natural n0 , escogido a partir de ε > 0 dado, se satisface en todos los puntos x ∈ X . Evidentemente, si fn → f uniformemente e X entonces fn → f simplemente en X . En particular, si sabemos que fn → f simplemente en X , entonces (fn ) no puede converger uniformemente en X para otra aplicaci´ on que no sea f .

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Ejemplo 15 La sucesi´ on de funciones fn (x) = x/n converge uniformemente para (la funci´on) 0 en cualquier subconjunto limitado X ⊂ R.

Demostraci´on De hecho, si |x| ≤ c para todo x ∈ X , entonces, dado ε > 0, basta tomar n > c/ε. Hecho esto: n > n0 ⇒ |x/n| ≤ c/n < ε Cualquiera que sea x ∈ X . Por otro lado, la sucesi´ on de funciones fn (x) = x/n no converge uniformemente en R. En efecto, si tomamos ε = 1, por ejemplo, sea un n0 ∈ N, podemos hallar n > n0 y x ∈ R tal que |x/n| > 1.

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Demostraci´on Basta tomar primero n > n0 y despu´es x > n. Esto muestra que la convergencia x/n → 0 no es uniforme en R. Como observamos, que x/n no converge uniformemente en R para funci´ on alguna. Estas consideraciones pueden ser visualizadas geom´etricamente. El gr´afico de la funci´on fn (x) = x/n es la recta y = x/n, que pasa por el origen y tiene pendiente igual a 1/n. Se dice que fn → 0 uniformemente significa afirmar que cada franja horizontal R × (−ε, ε) = (x, y ) ∈ R2 ; −ε < y < ε contiene los gr´aficos de todas las funciones fn salvo, en el m´aximo, un numero finito de ellos. Ahora, ninguna recta y = x/n, por mayor que sea n, esta completamente contenida en una franja horizontal, sin embargo, si fijamos un conjunto limitado X ⊂ R veremos que, dado ε > 0, para todo n suficientemente grande, la parte de la recta y = x/n situada sobre X esta contenida en la franja R × (−ε, ε).

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Ejemplo 16 La sucesi´ on de funciones fn : [0, 1] → R, definidas por fn (x) = x n , converge simplemente en [0, 1] para la funci´ on: f : [0, 1] → R, tal que f (x) = 0 si 0 ≤ x < 1 y f (1) = 1.

Demostraci´on En efecto, fijado x ∈ [0, 1), si: lim fn (x) = lim x n = 0

n→∞

n→∞

En cuanto: lim fn (1) = lim 1n = 1

n→∞

n→∞

Pero esta convergencia no es uniforme en [0, 1]. En realidad, no es uniforme en el intervalo menor [0, 1), pues tomando ε tal que 0 < ε < 1, por mayor que sea n, siempre √ existir´an puntos x ∈ [0, 1) tales que fn (x) − f (x) = x n ≥ ε, Basta tomar x tal que n ε ≤ x < 1. (C´ alculo en R)

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Demostraci´on Por otro lado, en todo intervalo de la forma [0, 1 − δ], 0 < δ < 1, tenemos limn→∞ x n = 0 uniformemente. En efecto, dado ε > 0, como limn→∞ (1 − δ)n = 0, se sigue que existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ (1 − δ)n < ε. Mostraremos ahora, que la convergencia uniforme puede ser interpretada como convergencia de puntos en un espacio m´etrico conveniente. Considerar funciones como puntos de un espacio m´etrico, en el cual la distancia fue definida con el fin de originar un tipo adecuado de convergencia, es una de las t´ecnicas usuales del an´alisis funcional. En la siguiente proposici´ on X es un conjunto arbitrario, y M es un espacio m´etrico. son consideradas aun una aplicaci´ on f : X → M es una sucesi´on de aplicaciones fn : X → M.

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