Superficies En El Espacio 5s663c

1C

Hffis

Er.i EL ESPAcro

En el capírulo 3 hemos utilizado el C¿ílculo para dibujar las gráficas de un amplio espectro de funciones en dos dimensiones. Ahora que hemos esrudiado rectas y planos en R3, vamos a intentar dibujar objetos más complicados en tres dimensiones. No espere ]rna teoría general como en dos dimensiones. Dibujar a mano curvas y superfrcies en el espacio, o interpretar gráficas generadas en caicuiadora, es casi un arte. Al fin y al cabo, se trata de representar en dos dimensiones un objeto tlidimensionai. No'es nuesho propósito forma¡ afistas, sino capacitarie para representar ciertas clases de superficies, necesa¡ias en los capítulos posterio¡es. Será preciso saber reconocerlas y esboza¡ sus gráficas a mano con precisión razonable. Asimismo le inviamos a que aprenda a generar e interpretar gráficas obtenidas en calculado¡as. Siga nuestras indicaciones y resuelva muchos problemas. En numerosos ejercicios de los capírulos restantes, perder unos minutos en la elabo¡ación de. una eráfica de calidad le ahor¡a¡á tiempo v esfuerzo.

*

l,

'ti

suPEnFicrrs

.

Superficies cilíndricas

Figura 10.52 Cilindro circul:rr rccto.

Empezamos por un tipo simple de superficies en el espacio. Al ver la palabra cilindro, seguro que piensa en un cilindro circular recto. Consideremos la gríftca de la ecuación f + y2 = 9 s¡7 tres dimensiones. La primera reacción es pensar en una circunferencia, pero eso es correcto sólo en parte. La gráfica de esa ecuación en dos dimensiones es una circunferencia de radio 3, pero ¿qué es en tres dimensiones? A¡alicemos la intersección con cada plano z = fr, k constante. Como z está ausente de la ecuación, tal intersección (que se llarqa traza de la superficie en e1 plano z = k) es siempre la misma: una circunferencia de radio 3. Piense un momento:,iqué superfrcie co¡ta a todo plano paralelo al plano -rJ en una ci¡cunferencia de radio 3? Es un cilindro circular recto, en este caso de radio 3 y con eje en el eje z (figura 10.52). En general, el término cili¡¡dro se u.sa parc referirse a cualquier superficie cuyas trazas en todo plzrno paralclo a url plano daclo son idénticas.,Con esta dellnición, muchas superficies resultan ser cilindros.

Ejemplo 6.1

Gráfica de una superficie

Dibujar la grifica de la superficie z -

y'

en

R'.

Solución

Corno -r esti ausente de la ecuación. la traza en todo plano x = ,t es la r¡ismá. Por tanto, es un cilindro cuya traza en esos planos (paralelos al piano yz) es la parábola z =y'. Para dibujarla, comenzamos con su t¡aza en el plano yz (ñgura 10"53a) y repetimos varias copias suyas con distintos vértices a lo largo dei eje x para darle aspecto tridimensional (figura 10.53b). Una gráfica generada en calculadora puede verse en la figura 10.53c, formada por diversas trazas cor¡espondientes a distintos valores de x e y.

Figura f 0.53a

Fígura 10.53b

Figura 10.53c

Traza en el piano yz.

-_.,2

uranca de razas oe 2 = y-.

f,o,L

!.

-r

lt'b

Sección

10.5

Sup:,rficies

c:

Un cilindro poco habitual

Ejemplo 6.2

Dibujar la gráfica de la superficie z = sen;r en

R3.

Solución De nuevo falta una variable en la ecuación, la y, de modo que Ias trazas de Ia superficie en todos los planos paralelos al plano-rz son idénticas. Son todas como la gráfica bidirnension¡il de z = sen r. Dibujamos una de ellas en el plano xz y varias copias suyas en planos paralelos. Finalmente, las conectamos con rectas paralelas al eje y (figura 10.54a). La figura 10.54b ha sido generada en una calculadora. En esta ocasión, el cilindro es como un plano ondulado.

Figura 10.54b

Figura I0.54a

Gnifica de trazas: z =

La superficie z = sen x.

sen

x.

Superficies cuádri*as La gráfira de Ia ecuaciis ex' + byz +

czz

+

dtj

+ eyz +fxz + gx + hy

+

jz+

fr = 0

en el espacio (con a, b, c, ct, e,f, S, h,j, k constantes y al minos una de entre a, b, c, d, no nula) se llama una superficie cuádrica (o simplemente cuádrica). La cuádrica más familiar es la esfera: (x

Figura 10.55 Esfera.

-

o)' + (y - D2

*

(z

-

c)2

=

v2,

de radio r centradaen el punto (a, b, c). Para dibujar la esfera centrada en (0, 0, 0) y lograr sensación espacial, dibujamos primero una circunfe¡encia de radio r en los.tres planos de coordenadas (figura 10.55). Debido a la perspectiva, las circunferencias parecen elipses y son sólo parcialmente visibles (las partes ocultas se indican con trazo discontinuo). Una generalización de la esfera es el elipsoide:

(x_a)2 (v_b)2 (z_c)2 : d2 e' f' I

-

_

IJ¡l

(La esfera es el caso particular d = e =f).

Ejemplo 6.3

Gráfica de un elipsoide

Dibujar el elipsoide

222 xyz_+:+_=1.

149

*f¡,

e,f

a

'íüB

'.

Cr¡íiulo l0

I'ector.'s y gcontei.ríx Ctl :specio

Solución Pera tener idea del as¡r3cto de la grárlca, dibujanros las trazas en Ios rres planos de coordenades. (En general, puede ser necesario nlil'ar además las trazas en planos pa¡aieios a los de coordenadas, pero no en este caso). En el plano y; (es dec.ir, -x = 0), Ia traza es 7a elipse \r2

a2

_1

49

de la figura 10.56a. Añadiendo las trazas en los planos xy y xz; que son las elipses

22

á+l= 14 se

I

v2 y '19 -

-2 T

-

l.

-

obtiene la figura i0.56b.

Figura 10.56a

Figura 10.56b

Elipse en el plano yz.

Elipsoide.

Los PCS son capaces de representar funciones en ffes dimensiones. Muchas calculadoras gráf,icas sólo están preparadas para representarlas cuando z viene dada como función de x, y.En el problema que tenemos entre mrnos se puede despejnr z y representar las fullcio-

-"iT"r'".4-y z = -3^vll vl1-x'-

nes z = 3^

de trazas de Iafigura -x" -i,-. El conjunto '

4

10.56c

no es particularmente suave, parece tener huecos. Para interpretarlo correctamente debe llenar los huecos mentalmente, lo cual exige tener idea de cómo es su aspecto, coSa que hemos conseguido con la figura 10.56b. Muchos PCS ofrecen la altemativa de representar )a gráficade Ia ecuació n i +

Figura 10.56c Trirzas

cr.r

un clipsoide.

.2J !- + 4 49

=t

en ¡rrorlo irnplícito. Lo que hacen qs resolvef la ecuación para el valor de z asociado a muchos pares de valores de x e y y r\arcar los puntos correspondientes. La figura 10.56d es de ese tipo, pe¡o no muestra las trazas usadas en la 10.56b. La nrejor opción, si se dispone de ella, suele ser la representación pararnét¡ica. Eso irnplica escribir x,y, z en téminos de dos parámetros y la gráfica se obtiene marcando puntos determinados pol rin ¿rrnplio rlruestreo de valores de los parírr.netros. (La sección 14.6 contiene una discusión rlr¿ís detallad¿r de l¿rs superlicies c¡l lbrma paramétrica). Como se vcri en l.os ejelcicios, el elipsoide adrnite ecuaciotrcs pltrarnétlicas -\'= sen J'cos l,.y: 2 scn r scn /, :=3cossconlospnririretrosenlosintcrvalos0sss2n,0<¡<2n.Ltfigura.l 0.56ernucslra una grifica suilve y las traz¿rs elípticas.

4*

1

,__

!

I

c;l*

c^^^i^¡ r. 6 J.r f'n

L'trLLi

R)

Gráfica de un Paraboloide

Dibujar la gráfica de Ia superficie cuádrica

Figura 10.57a Trazas en los Planos de coordenadas.

1f'3

Gráfica paramétrica.

Cráfica imPlícita de lrazas'

v

e,¡r:io

Figura 10'56e

Figura 10.56d

Ejemplo 6.4

Sr,1¡¡fi¡;e -'-., er. el -

rr'Y¿¿

x2+Y2

solución

7'

sus trázas en los planos de coordenadas' Para tener idea de su aspecto, miramos

la parábotáputahota.yz =^2. conJ = 0 (plan: xz) resulta Haciendo x = 0 (piano y;;, ;;*" La origen' del punto el sólo es que e x-'+ y'= S, la x, = z.Y paraz = 0 (plano ry) se obtien

figura

10. 57a muestra esas

razas'

.deramos

lrazas en

las es un único punto' consr Finaimente, como la ftaza en el plano -rJ cuanto mayor tanto radio y'= de k, + f los planos z = k (conr > ol. Son 1as circunferencius paraboloide' llama que se superficie, la muestra mayor sea el valor k c,e z.ia figuru 10.57b parabclOide circular' plunos"horizontales son circulares, se llama puesto que sus t.uru, la de la figura 10'57c' yt como "n + .f z de gráfica una = Las calculado.o, ,uá"n elaborar las secciones circulares' Los cuatro picos se Las trazas parabólicas sán uisibt"s, p".o i.,o en este caso *5 s x < 5' -5 = y = 5' cieben al dominio rectangular utilizado' de valores de z. Con 0 s z < i5, se ve la Eso se pLrecle mejoiar restringiendo el rango (figura 10'57d)' sección circular del borde con claridad

Figura 10.57b Paraboloide'

Comoenelejemplo6.3,unarepresentaciónparamétrica?S^t-q-davíamejor.Aquíes .\'=.rcos f,J=r^..nr'r"=,t,-"ónO"t=Sy0slsi7'fafigural0'5Temuestraclaramente z Ias seccionás circulares en los planos =

k'

'I

Figura 10.57c Trazas de un Plratioloide'

,t ln,

Lf

ilt)

I u?v

Figura 10.57d Trazas de un Paraboloide Para

0sz<15.

con

k> 0'

Figura 10.57e Gráfica paramétrica del paraboloide'

i'¡

0

:. Capítulc

10

a7g

Vectores y geonerría del espacio

E,n los últimos ejemplos ha sido necesario reflexionar un poco hasta lograr una grllfica que captura las caractcrísticas irnportnntes de la cu¿idrica. Lc aconsc.iarnos rrtilizar tul PCS o una calculaclora gfállca para repl€scntal gr'álicas cn trcs clirlrcnsioncs, ya.quc son ir-rsti'untentos muy poterites para resolver y visualizar este tipo de problernas. Sin en.rbargo, es necesario entender la geometría básica de las cuádricas pxr¿r producir e interprgtar correctan-lente las

gríficas

así

generadas,

Ejemplo 6.5

'

Gráfica de un cono elíptico

Dibujar \a gráfi.ca de la superficie cuádrica L

7v

.,2

f

__2

-4

Solución No se precipite en sus conclusiones. Aunque el problemp puede parecer comp)etamente similar al de un elipsoide, hay una diferencia significativa. (¡Mire el término .n t'!¡. Una vez nrís, crnpezamos analizando las trazas t:n los planos de coordenadas. Par¿r .r =.0 (plarroyz),s52:=rt.osea, y'=42',loqucilnpliclrJ=!)r.Lat¡'azaCs,portanto,cl pa¡de fect¿Is ) - 22, ! = -22 (fi1ura.l 0.58a). i , Análogamente, la traza en el plano r? es oró par de rectas: x = *,2. La ftaza en el plano

-ry es sólo el origen (¿por qué?). Finalmente, las trazas en los planos z = k (k ses r'+ / 4 ^

,,2

'. 0) son las elip-

= k'. Todo eso Droduce el doble cono de la figura 10.58b. Por ser elipses sus secoiones por planos horizontales, se llama cono elíptico

Una forma de dibujarlo con un PCS consiste en representar las dos funciones z =

r.Y4 "v4 ^ l*'* 1

.""1a

y z == Figura 10.58a Traza en el plano yz.

Figura 1.0.58b LOnO ellpuco.

figura 10.58c se ha restr-ingido el rango de

l.

,t

- f I + !-

z a-I} < 10 conel

fi¡ de mostrar los bordes elípticos. Nótese la separación entre las dos hojas del cono en esta figural qge no hubiera aparecido en una gráfrca a mano. Como altemativa, la representación paramétrica x=ts' cos f,) =21s2 sen /, z =.r, con -5 < s s 5 y 0 t <2n,produce lafigura 10.58d, = en la que ya vemos el cono completo, sus bazas y sus bordes elípticos.

Figura 10.58c

Figura 10.58d

razas oel cono

Gráfica parNnétnca.

I

5/,i

P

Cht'b

10.6

Sección

Superirrci:s

el

e1

es;acir

1

:',

Gráfica de un hiperboloide de una hoja

Ejemplo 6.6

Dibujar 1a gtáfica de la superficie cuádrica

.2^r2 I

'/1 -f

(figura 10'59a): Las trazas en los planos de coordenadas son

Solución

"2 = 1 (hipérbola) planoyz (x = 0): Yt -;

-2

plano

rv Q = A): !-A * Y'=

Plano xz (Y = 0):

+-+

1 (e1ipse)

=

L)

1 (hipérbola)

.il.

.5

Y las trazas

en los Planl¡s horizontales z = k son las elipses

fat¿. -;-+!'+L

,

+

L.

Cuantomayofesk,mayores'sonlhsejesdeestaselipses'Añadiendoesainformaciónala hoia' Esta superficie se ilama hiperboloide de una hgura 10,59a

=70

s z<

se

obtieneia figura 10.596.

q";i;tp;Láioi¿" ra 10.59b Figura 10.59a Traza en el Plano Yz.

Figura 10.59b l{iperboloide de una hoja'

6ln

de cono elípticos)' Nótese que esta gráfica.tiene más aspecto Ia figudibujado ii hubiéramos q,r" no'oc'"riría ¿" lu ng".^ rO.Seu,

10 para ver los bordes

"óru

a mano.

Lggrfl'icapariulétrieacleltfigural0'59c1'con¡:=2cosscosh/'y=senscosh/' completo con slls tr¿rzas , =\/5.1nt., r, p,,.^ o = s <2tt,-5 < | s 5, nrtrestra el ¡iperboloide hiperbólicas y sus bordes elípticos'

Figura 10.59c Trazas del hiPerboloide.

Figura 10.59d Gráfica paramétrica

-Í

c,'t? b

1'

Ejemplo 6.7

Gráfica de un hiperboloide de dos hojas

Dibujar la gráfi.ca de la cuádrica

tJ_2 -"-t 4'2^'

=7'

Solución Salvo el signo dei término en y, es Ia misma ecuación que la del ejemplo 6.6. Estudiemos las t¡azas en los planos de coordenadas. En el plano yz (;r 0) viene dada por =

-^,''2 " -

,

Es una ecuación absurda (algo negativo igual a 1), así que no hay fr.aza en el plano yz. Es decir; la superficie no toca eI plano yz. Las trazas en los otros dos planos de coordenadas son: plano xy (z = 0):

¿

) - r'= I (hipérbola)

v .plano.rz (y = 0):

¿-2

La figura I 0.60a nr-tcslra e.titas traz¿ls. Adc¡lr¿is,

"a2 y_+

p¿lt'¿t .\'

ecuación

j" '94+

-2

=

(hipérbola). ,(' r.csu

ll¡

l?

z= q_r,

iisí que las trazas en los pllnos.v =,(-son elipses para )L^

I

+ - += /

,(2

> 4. Por cl contrario, si

Á-2

< 4,

la

¡.2

- . - l no tiene solución

(¿por qué?). En consecuencia, si

-2 < k < 2, la

superficie no deja trazaen el plano x = k,lo cual produce una separación ent¡e las dos hojds de la hipérbola. Uniendo toda esta información, se obtiene la figura 10.60b. Esta superfrcie

Figura 10.60a Trazas en los pl4nos.r1,,, -rz.

se llama hiperboloide de dosrhojas

, = - I ,(!+ I - l ) v \4 I f/., \ yr=-\/rl-Tl-y'-1)(figural0.60c,dondehemosrestringidozen-10
gráfica con un PCS, represeniando las funciones

Figura 10.60b

Figura 10.60c

Figura 10,60d

Hiperboloide de dos hojas.

Trazas del hiperboloide.

Gráfica paramétrica.

'i:ir

r t15:*'

*,\1:,B

Sección

10.6

Supe;fcies en

ti

'í " "t'

es;reci:'

trar los bordes redondeados). En esta figura hay separaciones que no aparecen si se dibuja Ia

gráfica 10.60b a mano. sen l' con En versiónparamétrica' conr= 2 coshs, ) = senh .t cos t, '={zsenhs y sus trazas con sus del hiperboloide izquierda lamitad obtiene <22r, se 0 < -4 s =4y bordes. La mitad derecha ite ecuaciones paramélricas x = -2 cosh s, / = senh 's cos t,

,=lisenhssen t,con4<ss4yAst<2r.Ambasmitadessemuestranenlafigural0.60d. Conro último ejemplo, una de las cuádricas más interesantes y más difíciles de dibujar.

Gráfica de un paraboloide hiperbólico

Ejemplo 6.8

Dibujar la gráfica de la superficie cuádrica de ecuación z

Solución nadas:

=2j2

- x'.

Veamos en primer lugar sus trazas en planos paralelos a los planos de coordel

planos paralelos al

ry

(z = k): 2y2

-

x2 = k (hipérbola para k

*

0),

-x'

+

2t

planos paralelos al yz (x = k): z = 2y2

-

kz (parábo1a abierta hacia arriba).

planos paralelos al xz $t = k): z =

(paÁbola abierta hacia abajo),

Empezamos dibujando las trazas en^los qlanos M e yz (figura 10.61a). Como la traza en el plnno ry es ia hipérbola clegeneracla 2y' = *'(lxs rectas x = 1.2y), dibujamos en su lugar las trazas en varios planos z = 13. Si k > 0, son hipérbolas abiertas hacia las direcciones positiva y negativa del eje y. Si t < 0, son hipérbolas abiertas hacia las direcciones positiva y negativn clcl e.ic -r.

I3n la ligura l0.6lb se ntuestra una tlaza de cacla tipo. Esta sr-rperlicie se llama paraboloidc hiperbólico. Recuercla la forma de una sill¿r de inoni¿tr. De hccho, al origen se le llanra un punto silla (estudiarernos esta clase de puntos en ei capítulo i2).

'FÍgura 10.61a

Figura 10.61c

Figura 10.61b Lasuperficie

Trazas en los planos xz, yz.

t=2y'-f

Gráf,rca de trazas de z =

f

2f - f

.

< 5 con el rango pero se recogen paratodos los rasgos característicos de la frgura 10.61b. Representar esta superficie en forma y aporta no métrica es muy tedioso (requiere cuatro conjuntos de ecuaciones diferentes)

Lafigura

de z limitado a

en -5 < x s 5, -5 < y 10.61 c muestra 1a gráfica d.e z = 2y2 secciones parabólicas' las dibujado se han < < Só1o z 12. -8

mejoras apreciables.

€rlft:

all b

¡

!14 ,

-Capítulo

1.0

Vecto¡es

y geometría del espacio

Una aplicación TaI vez haya advertido la gran cantidad de paraboloides que le rodean. Por ejemplo, los radiotelescopios y las antenas 6fe televisión por satélite tienen forma de paraboloide. Los telescopios de reflexión tambiéñ tienen espejos parabólicos. Hay una buena razón para ello. En todas esas situaciones, ondas de luz o de radio que inciden sobre cualquier punto del paraboloide se reflejan todas hacia un mismo punto, el foco de las secciones parabólicas. Este hecho notable significa que todas lag ondas se concentran en un punto. En un radiotelescopio basta colocar un receptor en ese punlo para captar señales muy débiles con gran eficiencia (figura L0.62). El mismo principio se utiliza en los telescopios ópticos para concentra¡7aluz proveniente de estrellas muy lejanas, colocando un pequeño espejo cerca del foco que desvíe la luz hacia el ojo del observador (figu¡a 10.63).

Figura 10.62

Figura 10.63

Radiotelescopio.

Telescopio de refl exión.

€J€RC|C|OS 10.ó 1,

,4 rExplicar cómo sabe¡ a la vista de la ecuación de

una superficie, si se t¡ata de un cilindro, de una cuádrica, de un plano o de algún otro tipo de supcrficie.

tr'

z-

primer paso para dibujar 7a gráfi,ca de una cuádrica es identificar sus trazas. Conocidas las trazas, explicar cómo se sabe si es un elipsoide, un cono elíptico, un paraboloide o un hiperboloide. (Ayuda: Para un paraboloide, ¿qué trazas son

,¡-"EI '68

,/1i

f?. ,'+!'¡L 94 /t.

=1

z=4f+4y2

't/ l. z2=4x'+yt 1

parábo1as?).

,,2

-2

449 -+:_

10. z=f+4y2 ta

-2-^

16.

hojas?

t 4 ,:lr.Los

paraboloides circulares tienen una lbmra parecida 6t cicltos cuerrcos. Sin cnrbirrgo, los palaboloid"r r = -,'t + Jt,^a z = 4 - x2 - !2, y = ¡t + z2 y .r - yt + t' se ablcn hacia dircccio¡res diferentes. Explicar por qué esos pau'aboloides son distintos y averiguar en qué dirección se abre cada uno.

17. x'

,,2 r-,2 ,

49

,/tn. 21.

En los ejercicios 5-44, dibujar las trazas apropiadas y a continuación la gráfica de la superficie. Identificar Ia superficie.

6. t=4-y'

z

)

18. -r'-y'-'-l -Á

9

20.

= cos.r

..2

--^

¿-a--\

-)/

.,2

71 ¿¿. -\-y-+.-

t/za.

.-\/"t','

-

$

z=\5t*4¡

24. ,=4-y'

23. 25.

l+L-r'=t 4

,.2

z=seny

-2

+_=

14. t=y'-*'

,¡,,.Una vez determinado que una ecuación corresponde a un 'tf,l hiperboloide, ¿cómo sabemos si es de una hoja o de dos

-)

E.

I

a.

c,?bt5

Sección

10.6

Superficies en el

espacio

1.1 5

4Í:t:'^" 1::r; ; 37.-4.r:+y2_z2=438.-..-4),=-:,.^r/,,,,'=,X:;ffi;oss'probarque 39.

41.'x2+y'=4 43.

42. 9f

En los ejercicios 45-48, dibujar las trazas que se indican mismo sistema de ejes

coordenados.

=z 4g. ,=r,-J,;l=0,y=l,y=? ,{F- 49. -Uúu'

-¿

Jr: x =

0,x=

1,

x

yl El arquitecto de la Saddle Dome, en Calgary (Canadá), aprove-

/

probar que (;r, y, z) está en la hoja derecha del hiperboloide de

atractiva.

, , . r' y2 z' doshoias--i---= 'a'b'c'

+-L-!-= 'a'b'c"

Halla¡ ecuaciones paramétricas, como en los ejercicios 51-56, para las superficies de los ejercicios 7,9 y 1l. Representar las superficies paramétricas con ayud¿ de un PCS'

58.

Hallar ecuaciones paramétricas, como en los ejercicios 51-56, para las superficies de los ejercicios 15 y 17. Usar un PCS para representar sus gráhcas.

50.

800 pies, y todas sus secciones horizontales son circulaies, con radio mínimo de 200 pies y radio máximo de 300 pies, hallar una ecuación qué describa su superficie.

Nrt

59.

Hallar ecuaciones paramétricas cicio

60.

para

la superficie del

ejer-

2l.

Hallar eóuaciones paramétricas para la superficie del ejercicio 37.

$

Las torres de refrigeración de los reactores nucleares se construyen en forma de hiperboloides de una hoja debido a la estabilidad estructurál de esa superficie. Si la altu¡a de la torre es de

t.

57.

Una ventaja de esa forma es el drenaje del agua del techo. Si el techo viene descrito por z = x'-y', con -l < x < 1' -1 < y s 1, con y ¿en qué dirección escapa el agua? Considere. las trazas

agua.

l.

1

Si-r = a cosh s,y = b senh s cos t, z = c senh.t sen /, con ¿r < 0, probar que (y, l, z¿está en la hoja izquierda del hiperboloide de dos hoias

constante y demuestre que tienen un mínimo en ¡ = 0. Identifique el plano x = 0 en la figura. A continuación, demuestre que la traza en x = 0 tiene un máximo absoluto en ) = 0. Con esa información, identifique los dos puntos por los que escapa

7-?-7='

SS. Si¡=acoshs,y=ósenhscost,z=csenhssent,con4>0,

)o.

el

: z = 1.

(*'y'z)estáenel hiperboloidedeunahoja

Avecessedenomina<sillas>alosparaboloideshiperbólic"s. chó esa forma para crear una estructura

+

/ probar que (x,y,z) estáe1r sZ. Si¡=ascos /ry= b-ssen ty z= - s,"'r--{v --' ;:"":",,-:{.#.""""r a- b/ 'Jro Six = a cos s cosh /, y = b sen s cosh f y z = crsenh-rrprobar que

z=f+y';y=O,y=l,y=2

4-7. ,= *, -

A. ?

,,frr.Si,t=¿scos/,y=ó,ssen tyz=sz,probarque (x,y,z)estáen el paraboloide en un '= 5 #'

4s. z=f +y2;x=0,x=t,x=2 46.

(*, y, r) está en el elipsoide

+22=9

,,/qq. x+y2+22=2

x2+y2-z=4

t """;i""-'rz'r"rz

"

40.9x2+y2+922=g

x+y-l

61.

La apariencia de una gráfrca se puede mejorar eligiendo una ,ventana adecuada. Ya comentamos algo así a propósito de la figura 10.57c, con bo¡de puntiagudo. Representar esa función en

-l

-5 < x < 5,-5.y'5,

pero limitando el dominio de z a

< z < 20. ¿Se parece más a la figura 10-57b?