Teoria De Coordenadas Polares 2z3o25

TEORIA DE COORDENADAS POLARES: Ing. Eliezer Rojas -

Definición:

En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta. La recta fija se llama eje polar; el punto fijo se llama polo. La posición del punto P(r,θ), se determina cuando se conocen r y θ, estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del punto P. r se llama radio vector y θ Angulo polar. -

Sistema de coordenadas polares: 90° P(r,θ) r θ O

A

-r P´(-r,θ)

0≤θ>360°

El Angulo polar puede expresarse en grados ( °) o radianes (rad). Ejemplo:

π π Significa rad, o sea 90° 2 2 -

Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa:

-

90°

O

x r

X, A y P

Sea P un punto cualquiera de que contenga por coordenadas rectangulares (x,y) y por coordenadas polares (r, θ), entonces se puede deducir: X = r.cos θ r2= x2 + y2 sen θ = ±

y x + y2 2

Y = r.sen θ  y θ = tg −1    x x cos θ = ± x2 + y2

Trazado de curvas en coordenadas polares: Para la construcción de curvas en coordenadas polares, se siguen los siguientes pasos: 1. determinación de las intersecciones con el eje polar (eje X) y con el eje a 90º (eje Y). 2. Determinación de la simetría de la curva con respecto al eje polar, al eje a 90º y al polo. 3. Determinación de la extensión del lugar geométrico. 4. Calculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener la grafica. 5. Trazado de la grafica. 6. Transformación de la ecuación polar a rectangular. Nota: En coordenadas polares las ecuaciones que representan un mismo lugar geométrico, se le llaman ecuaciones equivalentes. 1. Intersecciones: Las intersecciones con el eje polar, cuando existen, se obtienen asignando a θ valores sucesivos 0, ± π, ± 2π, ± 3π,…, ± nπ; donde n es un entero cualquiera.

Para las intersecciones con el eje a 90º, pueden obtenerse asignando a θ los valores nπ de , en donde n es un numero impar impar cualquiera. 2 Nota: Si existe un valor un valor de θ para el cual sea r = 0, la grafica pasa por el polo. 2. Simetría: Las pruebas para averiguar la simetría del lugar geométrico de una ecuación polar están dadas en la siguiente tabla. Simetría con respecto al La ecuación polar no se altera, o se transforma en una ecuación equivalente Eje polar a) se sustituye θ por – θ, o b) Se sustituye θ por – θ y r por – r Eje a 90º a) se sustituye θ por π– θ, o b) Se sustituye θ por – θ y r por – r Polo a) Se sustituye θ por π + θ b) Se sustituye r por - r 3. Extensión del lugar geométrico: Primeramente se despeja r en función de θ, de la siguiente forma: r = f (θ) - Si r es finita para todo valor de θ, se trata de una curva cerrada - Si r se vuelve infinita para ciertos valores de θ, la grafica no puede ser una curva cerrada. - Para valores de θ que hacen a r compleja no hay curva. 4. Calculo de las coordenadas de algunos puntos: Se asigna un valor particular a θ, y así se obtienen valores reales correspondientes a r. Se pueden tomar valores de θ a intervalos de 30º. 5.

Construcción de la grafica:

Se trazan los puntos obtenidos en el paso 4. 6. Transformación de la ecuación polar a rectangular: La forma rectangular se usa para comprobar la grafica obtenida.