Trabajo Virtual 3h5s6w

Universidad Santa María Facultad de Ingeniería y Arquitectura Escuela Civil Núcleo Barinas

Cátedra: Estructuras I Prof. José Doria

Bachilleres: Correia Mariann C.I. 21.169.580 Delgado Juan C.I. 19.957.488 Delgado Kleyber C.I. 20.962.594 Díaz Eilyn C.I. 20.599.274 VII Semestre Sección “A”

Barinas, noviembre de 2011.

CÁLCULO DE ESTRUCTURAS. Para resolver los problemas de cálculo estructural necesitamos una serie de herramientas como son los Principios, los Teoremas, los Métodos y los Procedimientos. La Teoría de estructuras, al igual que la Resistencia de Materiales y la Elasticidad se asienta sobre una serie de Principios. Utilizando los Principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un conjunto de Métodos. A su vez el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de Procedimientos. Vamos a referir seguidamente los Principios sobre los que se apoya la materia que nos ocupa: la teoría de estructuras 1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El Principio de superposición fue explicitado por Euler (17071783). "Si los desplazamientos y las tensiones, en los sistemas elásticos, son proporcionales a las cargas que los producen, entonces, los desplazamientos totales y las tensiones totales, resultantes de la aplicación de varias cargas, serán la suma de los desplazamientos y de las tensiones originadas por cada una de las cargas" Para que podamos aplicar el Principio de Superposición tanto en el campo de los esfuerzos como en el de los desplazamientos es necesario que se cumpla una primera condición: Proporcionalidad, es decir una relación lineal en el comportamiento del material sobre el que actúan las cargas. Lo anterior se cumple en los materiales elásticos como por ejemplo el acero.

Pero además ha de cumplirse una segunda condición ya que aunque el sistema de cargas esté actuando sobre un material elástico puede suceder que no sea aplicable el Principio de Superposición, como sucede en el caso de Pandeo, dado que no se produce una relación lineal entre la solicitación y la deformación. 2. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT Corresponde a Saint-Venant (1797-1886) el enunciado del principio que lleva su nombre acerca de la actuación de un sistema de fuerzas sobre una sección. "A cierta distancia de la sección donde actúa un sistema de fuerzas, la distribución de tensiones es prácticamente independiente de la distribución del sistema de fuerzas, siempre que su resultante y momento resultante sean iguales". Este principio permite el que podamos calcular las tensiones en fibras y estudiar las secciones en barras, en base a los diagramas de solicitaciones (axiles, cortantes, flectores y torsores). El procedimiento para obtener tales diagramas se basa en el concepto de reducción de un sistema de vectores en un punto desarrollado en la teoría de vectores y que puede verse en cualquier texto de Mecánica general. 3. PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES Fue enunciado por Johann Bernouilli en el año 1717. "Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, es nulo" El sentido que se le atribuye en el párrafo anterior al término "virtual" es coincidente con el término matemático "diferencial". El principio de los desplazamiento virtuales sirve de base a la Estática Analítica que como sabemos es un planteamiento para definir posiciones de equilibrio en los sólidos y conjuntos de sólidos rígidos.

4. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES “Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformación virtual debido a la acción de una carga adicional, el trabajo virtual externo de la carga en cuestión, es igual al trabajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga " Este principio es muy importante al establecer una relación entre el trabajo de deformación exterior ( función de las solicitaciones exteriores: axiles, cortantes, flectores, torsores y las deformaciones lineal y angular) con la energía de deformación interior ( función del tensor de tensiones y las deformaciones volumétricas). El P.T.V. fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el diseño y cálculo de mecanismos y desarrollado teóricamente con un enunciado más matemático y formal por Lagrange (1736-1813), ya que desarrolla la teoría variacional y escribe su " Mecánica Analítica " donde coloca las bases de dicha disciplina. No obstante a lo anterior el núcleo teórico del P.T.V. fue enunciado por Santiago Bernouilli (1654-1705) y por Daniel Bernouilli (1700-1782). El principio de los trabajos virtuales (P.T.V.) se encuentra en la base del Teorema de Castigliano, que es muy importante para la determinación de deformaciones y resolución de estructuras hiperestáticas, especialmente en el conjunto de las estructuras planas de nudos articulados y mixtos. 5. PRINCIPIO DE BERNOUILLI Es importante este principio para establecer la distribución de tensiones en fibras. Corresponde fundamentalmente a Santiago Bernouilli (1654-1705) y se refiere a que las secciones transversales de una barra que se deforma por flexión permanecen planas y normales a las fibras deformadas. Hemos de citar como científicos que trabajaron sobre en la enunciación, demostración y comprobación de este principio, además del anteriormente referido, a Saint-Venant, a Navier y a Euler.

Vamos a relacionar de forma sucinta teoremas en que se fundamenta la teoría de estructuras.

los

diferentes

1. TEOREMA DE MAXWELL Aunque se cite únicamente el nombre de Clerk Maxwell (18311879) hemos de considerar la aportación de otros científicos como Mohr y Clapeyron. Maxwell en 1864 expone el teorema que denominó " Método de las Distorsiones o Desplazamientos Recíprocos " y que actualmente se conoce como Teorema de Maxwell como sigue: "Si en un sistema elástico actúa una causa en un punto, A, la deformación que se produce en otro punto del sistema, B, es igual a la que se produciría en A si la causa actuase en B". Mohr en 1874 desarrolla por separado el mismo teorema, introduciendo la terminología de " Trabajo virtual " y presentando un conjunto de aplicaciones. Heinrich Muller-Breslau en 1886 hace también aportaciones tomando como base los trabajos de Maxwell y Mohr. 2. TEOREMA DE MAXWELL-BETTI "En un sistema elástico, el trabajo realizado por un sistema de fuerzas (A), al aplicar otro sistema de fuerzas (B), es igual al trabajo realizado por el sistema (B) al aplicar el sistema de fuerzas (A)". También es denominado Teorema de la Reciprocidad y puede enunciarse así: "El trabajo efectuado por las fuerzas correspondientes a un estado de carga (A) durante los desplazamientos originados por un segundo estado de carga (B), es igual si la carga fuera (B) y los desplazamientos los correspondientes al sistema (A)".

3. TEOREMA DE MENABREA Menabrea en 1858 enunció el Teorema del " Trabajo mínimo": “En un sistema de cuerpos elásticos, el valor de las reacciones hiperestáticas, correspondientes a los enlaces superabundantes, hacen estacionario el potencial interno del sistema”. Aunque puede utilizarse para la determinación de vinculaciones hiperestáticas, ha quedado superado por la operatividad del Teorema de Castigliano. 4. TEOREMAS DE CASTIGLIANO En 1873 Alberto Castigliano elabora una tesis sobre el Método del Trabajo Mínimo. 1° Teorema: En 1876 presenta su "Método de cálculo de deformaciones" como un primer teorema, que dice: "La derivada parcial del trabajo respecto de una fuerza, nos da el valor de la deformación que produce" 2º Teorema: En relación al trabajo mínimo, expone su segundo teorema : "Cuando un sistema elástico está sometido a la acción de distintas fuerzas, la distribución del trabajo interno es tal que da lugar a un trabajo mínimo". La operatividad que introduce Castigliano ha determinado su relevante posición en la Teoría de Estructuras, pues aunque los fundamentos teóricos fueran enunciados por Menabrea, fue Castigliano quien los desarrolló e hizo aplicables y operativos para el cálculo de estructuras hiperestáticas. 5. TEOREMAS DE MOHR Los Teoremas de Mohr representan una valiosa herramienta para el cálculo de deformaciones. 1er. Teorema:

"El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores, dividido por el módulo de rigidez". 2º. Teorema: "La ordenada de un punto (2) de la elástica, respecto a la tangente en otro punto (1) , es igual al momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de rigidez E.I".

En la figura indicamos en la sección 2, mediante una línea vertical (y) el valor calculado mediante el 2º T. de Mohr, tomando como referencia la sección 1, en donde hemos dibujado la tangente, así como el ángulo ( ) , girado entre las secciones 1 y 2, calculado utilizando el 1er. T. de Mohr. 6. TEOREMA DE BARRÉ Este teorema es utilizado para la determinación de los flectores máximos que se producen en vigas sometidas a cargas móviles:

"El momento flector máximo que se origina en una viga sometida a un tren de cargas móviles, se encuentra bajo una rueda cuando esta rueda y la resultante total del tren de cargas equidista del centro de la viga". 7. TEOREMA DE CLAPEYRON Este teorema es utilizado para establecer una relación entre el trabajo exterior de las cargas y la energía interna de deformación de los sólidos elásticos y puede enunciarse como sigue: "La energía de deformación almacenada en un cuerpo elástico es igual a la mitad de la suma de los productos de las fuerzas exteriores por los correspondientes desplazamientos". El teorema de Clapeyron es muy importante por la posibilidad que aporta de calcular las energías de deformación internas de los sólidos elásticos en función de las solicitaciones exteriores (axiles, cortantes, flectores y torsores) y además está en la base del teorema de Maxwell. Vamos a referir de forma muy resumida un conjunto de métodos que nos van a permitir calcular las estructuras. 1. MÉTODO DE LAS ÁREAS DE MOMENTO El método de las " áreas de momento " se debe a Charles E. Greene - profesor de la Universidad de Michigan - quien lo expuso en 1873. 2. MÉTODO DE MULLER-BRESLAU El método de Muller-Breslau presenta utilidad para el análisis de estructuras porticadas de grado de hiperestaticidad máxima 3. Utiliza el concepto de "centro elástico" que expuso Carl Culman en 1866 en sus trabajos sobre estática gráfica. 3. MÉTODO DE CROSS Es un método desarrollado por Cross y Morgan, profesores de la Universidad de Illinois, que permite el cálculo de estructuras complejas mediante un método muy operativo.

Establece un método de aproximaciones sucesivas que permite definir los diagramas de flectores de las estructuras de pórticos múltiples de nudos rígidos y sobre la base de ellos determinar la validez de los dimensionamientos, establecidos en la estructura. La importancia del método de Cross de deriva de que es relativamente sencillo y, además, aporta un cierto sentido físico e intuitivo, lo que permite evaluar incluso el propio proceso de cálculo. Hasta la aparición de este método, publicado en 1932, el estudio de algunas estructuras que se pueden realizar por Cross sólo eran calculables mediante procedimientos empíricos y aproximados. 4. MÉTODO DE ANALOGÍA DE LA COLUMNA Es un método que se denomina también de la Columna Equivalente y que fue desarrollado por Hardy Cross en 1930 y se basa en plantear la analogía que se produce entre el sistema de momentos hiperestáticos en una estructura continua y las tensiones en una columna corta y sin peso propio cargadas excéntricamente. Se utiliza especialmente para el cálculo de arcos y pórticos sencillos. 5. MÉTODO DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES. Es un método gráfico para determinar los desplazamientos virtuales en cualquier sistema coplanario con un grado de libertad. Su trazado se basa en el concepto de centro instantáneo de rotación y en la semejanza geométrica entre el reticulado real y la figura formada por los desplazamientos y las fuerzas, de forma que la ecuación de los trabajos virtuales puede considerarse como una ecuación de equilibrio de momentos. 6. MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS Desarrollado por Clapeyron para el cálculo de las vigas continuas es un método muy operativo e interesante por la forma de aplicación del principio de superposición así como por la introducción de las condiciones de continuidad en la tangente de la elástica.

7. MÉTODO DE LOS NODOS Es un método analítico para el cálculo de los axiles en barras en las estructuras isostáticas de nudos articulados con cargas en los nudos que es muy utilizado por su claridad conceptual y la facilidad operatoria del mismo. 8. MÉTODO DE LAS SECCIONES Para el estudio de estructuras de nudos articulados W. Ritter elaboró otro método que denominamos como Método de las Secciones. El método de las secciones consiste en seccionar una estructura plana isostática de barras articuladas, con cargas puntuales en los nudos, de forma que resulten exclusivamente tres incógnitas (axiles) y plantear las ecuaciones de equilibrio a una parte de la estructura.

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES. El principio de los trabajos virtuales es un método utilizado en resistencia de materiales para el cálculo de desplazamientos reales en estructuras isostáticas e hiperestáticas, y para el cálculo de las incógnitas que no podemos abordar con el equilibrio en las estructuras hiperestáticas. El principio de los trabajos virtuales puede derivarse del principio de d'Alembert, que a su vez puede obtenerse de la mecánica newtoniana o más generalmente del principio de mínima acción. Se denomina movimiento virtual en una estructura a todo movimiento, desplazamiento o giro considerado en ella que sea compatible con las restricciones cinemáticas de la estructura. Por ser compatibles se entiende que: (a) es continuo, es decir, produce deformaciones (elongaciones, distorsiones, curvaturas y giros específicos de torsión) acotadas, (b) satisface las condiciones de apoyo y (c) no modifica el estado real de reacciones y esfuerzos, es decir, los movimientos virtuales son pequeños. El requisito de continuidad es tanto más fuerte cuanto mayor sea el orden de las derivadas de los movimientos que intervienen en el

problema. Por ejemplo, en estructuras articuladas, que solo trabajan a axial, para que las elongaciones unitarias en las piezas sean acotadas basta con exigir que los desplazamientos virtuales sean continuos en cada pieza. En cambio en estructuras de plano medio, que trabajan a flexion, para que las curvaturas sean acotadas es necesario que los giros virtuales sean continuos, lo que implica que las flechas sean continuas, y además, tengan derivada continua. El principio de los trabajos virtuales se puede enunciar de la siguiente manera: “En una estructura sometida a un sistema de fuerzas exteriores en equilibrio, con un campo real de reacciones y esfuerzos, el trabajo externo de las fuerzas reales sobre un campo arbitrario de movimientos virtuales es igual al trabajo interno de los esfuerzos reales sobre el correspondiente campo virtual de deformaciones”. El Principio de los Trabajos Virtuales se puede expresar también diciendo: “Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de deformación” Válido cualquiera sea la ley del estado de tensiones y su relación con las deformaciones. Es conveniente, antes de pasar al análisis general del principio, considerar algunos términos de la definición: • En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad se le provoca una deformación. Dicha deformación es arbitraria y posible, compatible con las condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo. • Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Ae.

• Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de deformación, Ai. • El Principio de Trabajos Virtuales puede entonces expresarse sintéticamente como: Ae = Ai Consideremos ahora el caso de una estructura plana con barras resistentes a flexión sometida a un sistema de cargas Pm en su plano, siendo C las correspondientes reacciones de vínculo exteriores. Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos Q, N, M, de tal manera que existe equilibrio entre la acción interna y la externa. Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las cargas Pm y C, sufrirán desplazamientos δm y Δc (si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por: (1) Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, es decir el trabajo de los esfuerzos internos (Q, N, M) debido a la deformación virtual a que sometimos al sistema, consideramos un elemento de una barra dx de altura h. La deformación virtual provocará, un desplazamiento relativo de las dos secciones del elemento que podrá expresarse por una traslación y una rotación dϕ. La traslación la podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la barra Δds y otra normal Δdn. (Figura 1).

Fig.1 El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actúan sobre el elemento dx será:

(2) La integración de esta expresión a toda la estructura representa el trabajo virtual de deformación Ai. Supongamos que la deformación virtual fue provocada por un sistema de cargas exteriores que incluye variación de temperatura, y que genera esfuerzos internos que designaremos como M, N y Q. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES Virtual se opone en este caso a real. Un desplazamiento virtual es aquél que, por ejemplo, ateniendo sea la restricción que puede implicar la existencia de un vínculo no se podría producir realmente, en cambio sí en el campo virtual.

Fig. 1 Inicialmente, como desplazamiento virtual (DV) entenderemos al conjunto de parámetros que definen unívocamente un movimiento independientemente de las restricciones reales que puedan existir. En el

caso de un punto en el plano son dos componentes independientes de corrimiento, en el caso de un cuerpo son dos componentes de traslación y un giro, por ejemplo.

Fig. 2 La única limitación que introduciremos a los desplazamientos virtuales es que los corrimientos que surjan de un DV sean suficientemente pequeños como para que sea válida la cinemática lineal, es decir que los desplazamientos o los corrimientos de cualquier punto sean función lineal de las coordenadas cartesianas ortogonales que permiten definir su posición. Con respecto a los corrimientos originados en traslaciones no habrá entonces limitación, en cambio en el caso de corrimientos originados en giros de un cuerpo –indeformable- si bien no es necesario que sean infinitésimos, los giros deberán ser menores que . Utilizaremos la notación variacional para señalar los desplazamientos virtuales ya que estos, matemáticamente, pueden ser considerados como variaciones, que se originan generalmente en el cambio de una posición preestablecida de los cuerpos.

TRABAJOS VIRTUALES. Definimos como trabajo virtual de una fuerza F al trabajo que ella desarrolla en un desplazamiento virtual δa. De acuerdo con la definición clásica del producto escalar, resulta: TV = δT = δa . F

TEOREMA 1. El trabajo de la resultante de un conjunto de fuerzas concurrentes, en un desplazamiento virtual, es igual a la suma de los trabajos virtuales de cada una de las fuerzas componentes, en el mismo desplazamiento. Sea el conjunto de fuerzas F1, F2, ... , Fn, concurrentes en el punto A, dado el desplazamiento virtual δa, la suma del trabajo de todas las fuerzas será:

con lo que queda demostrado el teorema. Si el conjunto de fuerzas concurrentes está en equilibrio la resultante es nula, R = 0, con lo que su trabajo virtual y la suma de los trabajos virtuales de todas las componentes también serán nulos, y viceversa, si la suma de los trabajos virtuales de todas las componentes es nula, ΣTVi = 0, dado que el desplazamiento virtual no es nulo, deberá serlo la resultante y por lo tanto existirá equilibrio. Esto permite establecer que: Dado un conjunto de fuerzas concurrentes es condición necesaria y suficiente para que exista equilibrio, que la suma de los trabajos virtuales de todas las fuerzas sea nulo para cualquier desplazamiento virtual. De lo anterior resulta claro, además, la equivalencia entre el Principio del Paralelogramo y este teorema, que podríamos denominar “Teorema de los Trabajos Virtuales para fuerzas concurrentes”. Es decir que, postulado el Principio del Paralelogramo se puede demostrar este Teorema, o tomando el enunciado del Teorema como postulado podría demostrarse el “Teorema del Paralelogramo”.