Tugas Akhir Modul 6 426qx

TUGAS AKHIR MODUL 6 1. Carilah sebuah artikel jurnal imternasional (3 tahun terakhir) yang menggunakan pemodelan matematika, Buatlah resume artikel tersebut dengan menyebutkan langkahlangkah pemodelan sesuai yang telah Anda pelajari, 2. Lingkungan sekitar dapat menjadi inspirasi dalam mendesain soal matematika, termasuk lingkungan sekolah, a. Dengan mengacu pada kriteria yang telah dibahas pada modul 6,2, buatlah sebuah soal bertipe pemodelan matematika sederhana untuk pembelajaran matematika di sekolah, b. Dengan mengikuti model siklus pemodelan matematika yang telah dibahas dalam modul, selesaikan soal yang telah didesain pada poin a, c. Masing-masing siswa mungkin akan memberikan jawaban yang bermacammacam dan perlu diprediksi sebelum menggunakan soal tersebut dalam proses pembelajaran, Oleh karena itu, menyelesaikan

soal

tersebut,

berikan beberapa alternatif lain cara gunakan

juga

software

matematis

memungkinkan, 3. Nilai Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini: T(ºC)

(10-3 Ns/m2)

0

1,792

10

1,308

30

0,801

50

0,549

70

0,406

90

0,317

100

0,284

Perkirakan harga viskositas air  pada temperatur 40o menggunakan polinom Newton,

jika

Jawab Solusi ST-1 𝑓(𝑥1 , 𝑥0 ) =

𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) 1,308 − 1,792 = = −0,04840 𝑥1 − 𝑥0 10 − 0

𝑓(𝑥2 , 𝑥1 ) =

𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) 0,801 − 1,308 = = −0,02535 𝑥2 − 𝑥1 30 − 10

𝑓(𝑥3 , 𝑥2 ) =

𝑓(𝑥3 ) − 𝑓(𝑥2 ) 0,549 − 0,801 = = −0,01260 𝑥3 − 𝑥2 50 − 30

𝑓(𝑥4 , 𝑥3 ) =

𝑓(𝑥4 ) − 𝑓(𝑥3 ) 0,406 − 0,549 = = −0,00715 𝑥4 − 𝑥3 70 − 50

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 ) =

𝑓(𝑥5 ) − 𝑓(𝑥4 ) 0,317 − 0,406 = = −0,00445 𝑥5 − 𝑥4 90 − 70

𝑓(𝑥6 , 𝑥5 ) =

𝑓(𝑥6 ) − 𝑓(𝑥5 ) 0,284 − 0,317 = = −0,00330 𝑥6 − 𝑥5 100 − 90

Iterasi 0 1 2 3 4 5 6

x 0 10 30 50 70 90 100

f(x) 1,792 1,308 0,801 0,549 0,406 0,317 0,284

ST-1 -0,04840 -0,02535 -0,01260 -0,00715 -0,00445 -0,00330

Solusi ST-2 𝑓(𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) =

𝑓(𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥1 , 𝑥0 ) −0,02535 − (−0,04840) = = 7,68 𝑥 10−4 𝑥2 − 𝑥0 30 − 0

𝑓(𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) =

𝑓(𝑥3 , 𝑥2 ) − 𝑓(𝑥2 , 𝑥1 ) −0,01260 − (−0,02535) = = 3,19 𝑥 10−4 𝑥3 − 𝑥1 50 − 10

𝑓(𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) =

𝑓(𝑥4 , 𝑥3 ) − 𝑓(𝑥3 , 𝑥2 ) −0,00715 − (−0,01260) = = 1,36 𝑥 10−4 𝑥4 − 𝑥2 70 − 30

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) =

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 ) − 𝑓(𝑥4 , 𝑥3 ) −0,00445 − (−0,00715) = = 6,75 𝑥 10−5 𝑥5 − 𝑥3 90 − 50

𝑓(𝑥6 , 𝑥5 , 𝑥4 ) =

𝑓(𝑥6 , 𝑥5 ) − 𝑓(𝑥5 , 𝑥4 ) −0,00330 − (−0,00445) = = 3,83 𝑥 10−5 𝑥6 − 𝑥4 100 − 70

Iterasi 0 1 2 3 4 5 6

X 0 10 30 50 70 90 100

f(x) 1,792 1,308 0,801 0,549 0,406 0,317 0,284

ST-1 -0,04840 -0,02535 -0,01260 -0,00715 -0,00445 -0,00330

ST-2 7,68E-04 3,19E-04 1,36E-04 6,75E-05 3,83E-05

Solusi ST-3 𝑓(𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) =

𝑓(𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) 3,19 𝑥 10−4 − (7,68 𝑥 10−4 ) = 𝑥3 − 𝑥0 50 − 0

= −8,99 𝑥 10−6 𝑓(𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) − 𝑓(𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) 1,36 𝑥 10−4 − 3,19 𝑥 10−4 𝑓(𝑥4, 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) = = 𝑥4 − 𝑥1 70 − 10 = −3,04 𝑥 10−6 𝑓(𝑥5, 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) =

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) − 𝑓(𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) 6,75 𝑥 10−5 − 1,36 𝑥 10−4 = 𝑥5 − 𝑥2 90 − 30

= −1,15 𝑥 10−6

𝑓(𝑥6, 𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) =

𝑓(𝑥6 , 𝑥5 , 𝑥4 ) − 𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) 3,83 𝑥 10−5 − 6,75 𝑥 10−5 = 𝑥6 − 𝑥3 100 − 50

= −5,83 𝑥 10−7 Iterasi 0 1 2 3 4 5 6

X 0 10 30 50 70 90 100

f(x) 1,792 1,308 0,801 0,549 0,406 0,317 0,284

ST-1 -0,04840 -0,02535 -0,01260 -0,00715 -0,00445 -0,00330

ST-2 7,68E-04 3,19E-04 1,36E-04 6,75E-05 3,83E-05

ST-3 -8,99E-06 -3,04E-06 -1,15E-06 -5,83E-07

Solusi ST-4 𝑓(𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) −3,04 𝑥 10−6 − (−8,99 𝑥 10−6 ) 𝑓(𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) = = 𝑥4 − 𝑥0 70 − 0 = 8,50 𝑥 10−8 𝑓(𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 ) =

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) − 𝑓(𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 ) −1,15 𝑥 10−6 − (−3,04 𝑥 10−6 ) = 𝑥5 − 𝑥1 90 − 10

= 2,37 𝑥 10−8 𝑓(𝑥6, 𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 ) =

𝑓(𝑥6 , 𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 ) − 𝑓(𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 ) −5,83 𝑥 10−7 − (−1,15 𝑥 10−6 ) = 𝑥6 − 𝑥2 100 − 30

= 8,04 𝑥 10−9 Iterasi 0 1 2 3 4 5 6

x 0 10 30 50 70 90 100

f(x) 1,792 1,308 0,801 0,549 0,406 0,317 0,284

ST-1 -0,04840 -0,02535 -0,01260 -0,00715 -0,00445 -0,00330

ST-2 7,68E-04 3,19E-04 1,36E-04 6,75E-05 3,83E-05

ST-3 -8,99E-06 -3,04E-06 -1,15E-06 -5,83E-07

ST-4 8,50E-08 2,37E-08 8,04E-09

Solusi ST-5 𝑓(𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) = =

𝑓(𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) 𝑥5 − 𝑥0

2,37 𝑥 10−8 − 8,50 𝑥 10−8 = −6,81 𝑥 10−10 90 − 0

𝑓(𝑥6, 𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 ) =

𝑓(𝑥6 , 𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 ) − 𝑓(𝑥5 , 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 ) 𝑥6 − 𝑥1

8,04 𝑥 10−9 − 2,37 𝑥 10−8 = = −1,74 𝑥 10−10 100 − 10 Iterasi 0 1 2 3 4 5 6

x 0 10 30 50 70 90 100

f(x) 1,792 1,308 0,801 0,549 0,406 0,317 0,284

ST-1 -0,04840 -0,02535 -0,01260 -0,00715 -0,00445 -0,00330

ST-2 7,68E-04 3,19E-04 1,36E-04 6,75E-05 3,83E-05

ST-3 -8,99E-06 -3,04E-06 -1,15E-06 -5,83E-07

ST-4 8,50E-08 2,37E-08 8,04E-09

ST-5 -6,81E-10 -1,74E-10

Solusi ST-6 𝑓(𝑥6, 𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) = = Iterasi 0 1 2 3 4 5 6

x 0 10 30 50 70 90 100

𝑓(𝑥6, 𝑥5 , 𝑥4 , 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥1 ) − 𝑓(𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ) 𝑥6 − 𝑥0

−1,74 𝑥 10−10 − 6,81 𝑥 10−10 = 5,07 𝑥 10−12 100 − 0

f(x) 1,792 1,308 0,801 0,549 0,406 0,317 0,284

ST-1 -0,04840 -0,02535 -0,01260 -0,00715 -0,00445 -0,00330

ST-2 7,68E-04 3,19E-04 1,36E-04 6,75E-05 3,83E-05

ST-3 -8,99E-06 -3,04E-06 -1,15E-06 -5,83E-07

ST-4 8,50E-08 2,37E-08 8,04E-09

ST-5 -6,81E-10 -1,74E-10

Dengan demikian persamaan polinomnya adalah: 𝑝6 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 )+𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑎3 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) + 𝑎4 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ) + 𝑎5 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )(𝑥 − 𝑥4 )(𝑥 − 𝑥4 ) + 𝑎6 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )(𝑥 − 𝑥4 ) + (𝑥 − 𝑥5 )

Untuk x = 40 maka

ST-6 5,07E-12

𝑝6 (40) = 1,792 − 0,04840(40 − 0) + 7,68 𝑥 10−4 (40 − 0)(40 − 10) − 8,99 𝑥 10−6 (40 − 0)(40 − 10)(4 − 30) + 8,50 𝑥 10−8 (40 − 0)(40 − 10)(40 − 30)(40 − 50) − 6,81 𝑥 10−10 (40 − 0)(40 − 10)(40 − 30)(40 − 50)(40 − 70) + 5,07 𝑥 10−12 (40 − 0)(40 − 10)(40 − 30)(40 − 50)(40 − 70)(40 − 90) 𝑝6 (40) = 1,79200 − 1,93600 + 0,92200 − 0,10790 − 0,01020 − 0,00245 − 0,00091 𝑝6 (40) = 0,657 Jadi perkirakan harga viskositas air  pada temperatur 40o adalah 0,657 (10-3 Ns/m2)