Tugas Kb 1 M1 3p406t

TUGAS MODUL 1 LOGIKA MATEMATIKA

NAMA: MUNAJIB NAME: 18106018010058

PPG DALAM JABATAN FKIP UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA

Tugas M1 KB 1 Logika Matematika 1) Suatu pernyataan, dapat dinyatakan dalam bentuk simbol-simbol yang bisa dicari nilai kebenarannya melalui tabel kebenaran. Berikut ini terdapat tiga tugas yang harus saudara selesaikan dengan cara membuat tabel kebenaran untuk setiap pernyataan. Tuliskan langkahlangkah yang harus dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan berikut. a) ((𝑝⇒𝑟) ∧ (𝑟⇒𝑠)) ⇒ (𝑝⇒𝑠) b) ((𝑝𝑞)(𝑞))𝑝 c) ~ (𝑝 𝑞) 𝑞

2) Berdasarkan penjelasan tentang tautologi dan kontradiksi. Selesaikan masalah berikut ini dengan menuliskan langkah-langkahnya. a) ((~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑟)) ⇒ (~𝑝 ∨ 𝑟) b) (𝑝 𝑞)(𝑝 𝑞) c) 𝑝 (𝑝 𝑞)

3) Buatlah suatu argumen yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari dengan menggunakan aturan logika matematika yaitu Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.

4) Buktikan keabsahan argumen berikut dengan menuliskan langkah dan aturan-aturan yang digunakan untuk pembuktian. 𝑚 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑡) (𝑞 ∨ 𝑗) ⇒ 𝑎 𝑚 𝑎∨ 𝑗

5) Susunlah bukti formal keabsahan argumen berikut dengan memakai lambang-lambang proposisi yang diberikan. Gunakanlah simbol m (matematika), g (geometri), t (trigonometri), j (aljabar), a (aritmetika). a) Jika banyak siswa yang memilih matematika maka geometri diharuskan dan trigonometri diharuskan. b) Jika geometri diharuskan atau aljabar diharuskan maka aritmetika diharuskan. c) Banyak mahasiswa yang memilih matematika. Oleh karena itu, aritmetika diharuskan atau aljabar diharuskan.

6) Suatu argumen dapat dibuktikan keabsahannya dengan menggunakan aturan bukti bersyarat maupun Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung). a) Buktikan keabsahan argumen berikut dengan menggunakan aturan bukti bersyarat. (𝑎∨𝑏) ⇒ ((𝑐∧𝑑) ⇒𝑒) ∴𝑎⇒ ((𝑐∧𝑑) ⇒𝑒) b) Buktikan keabsahan argumen berikut dengan menggunakan aturan Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung). 𝑎(𝑏𝑐) (𝑏∨𝑑)𝑒 𝑑∨𝑎 𝑒 JAWAB: 1. a. ((𝑝⇒𝑟) ∧ (𝑟⇒𝑠)) ⇒ (𝑝⇒𝑠) (( 𝑝

⇒

𝑟)

∧

𝑟

⇒

𝑠))

⇒

(𝑝

⇒

(𝑠)

B B B B S S S S 1

B B S B B B B B 2

B B S S B B S S 1

B S B S B S B B 3

B B S S B B S S 1

B S B S B S B B 2

B S B S B S B S 1

B B B B B B B B 4

B B B B S S S S 1

B S B S B B B B 2

B S B S B S B S 1

Maka nilai kebenaran dari pernyataan ((𝑝⇒𝑟) ∧ (𝑟⇒𝑠)) ⇒ (𝑝⇒𝑠) adalah BBBBBBBB b. ((𝑝𝑞)(𝑞))𝑝 ((𝑝  𝑞)  (𝑞)) B B S S 1

B S B B 2

B S B S 1

S S S B 3

S B S B 1



𝑝

B B B B 4

S S B B 1

Maka nilai kebenaran dari pernyataan((𝑝𝑞)(𝑞))𝑝 adalah BBBB

c. ~ (𝑝 𝑞) 𝑞 ~ (𝑝 S B S B S S B S 3 1

 B B B S 2

𝑞) B S B S 1

 S S S S 4

𝑞 S S S B 1

Maka nilai kebenaran dari pernyataan ~ (𝑝 𝑞) 𝑞 adalalah SSSS 2. a. ((~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑟)) ⇒ (~𝑝 ∨ 𝑟) ((~𝑝 S S S S B B B B 1

∨ B B S S B B B B 2

𝑞) B B S S B B S S 1

∧ B S S S B S B B 3

(~𝑞 S S B B S S B B 1

∨ B S B B B S B B 2

𝑟)) B S B S B S B S 1

⇒ B B B B B B B B 4

(~𝑝 S S S S B B B B 1

∨ B S B S B B B B 2

𝑟) B S B S B S B S 1

Berdasarkan tabel di atas terlihat nilai kebenarannya adalah BBBBBBBB sehingga pernyataan ((~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑟)) ⇒ (~𝑝 ∨ 𝑟) merupakan tautologi. b. (𝑝 𝑞)(𝑝 𝑞) (𝑝 𝑞)   B B S S 1

B S S S 2

B S B S 1

S S S S 4

 S B S B 3

𝑝



𝑞

B B S S 1

B S B S 2

B S B S 1

Berdasarkan tabel di atas terlihat bahwa nilai kebenarannya adalah SSSS sehingga pernyataan (𝑝 𝑞)(𝑝 𝑞) merupakan kontradiksi

c. 𝑝 (𝑝 𝑞) 𝑝  B B S S 1

B B B B 4

 S B B B 3

(𝑝



𝑞)

B B S S 1

B S S S 2

B S B S 1

Berdasarkan tabel di atas terlihat bahwa nilai kebenarannya adalah BBBB sehingga pernyataan 𝑝 (𝑝 𝑞) merupakan tautologi

3. Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut: p : Calon guru profesional mengikuti PPG q : Calon guru profesional mendapatkan sertifikat pendidik r : Calon guru profesional mendapat tunjangan a) Modus Ponens 𝑝1 : 𝑝 ⇒ q 𝑝2 : 𝑝 ∴𝑞 Premis 1 : Jika calon guru profesional mengikuti PPG maka ia mendapatkan sertifikat pendidik Premis 2 : Calon guru profesional mendapatkan sertifikat pendidik Kesimpulan: Calon guru profesional mengikuti PPG b) Modus Tollens 𝑝1 : 𝑝 ⇒ q 𝑝2 : ~𝑞 ∴ ~𝑝 Premis 1 : Jika calon guru profesional mengikuti PPG maka ia mendapatkan sertifikat pendidik Premis 2 : Calon guru profesional tidak mendapatkan sertifikat pendidik Kesimpulan: Calon guru profesional tidak mengikuti PPG

c) Silogisme 𝑝1 : 𝑝 ⇒ q 𝑝2 : 𝑞 ⇒ r ∴𝑝⇒ r Premis 1 : Jika calon guru profesional mengikuti PPG maka ia mendapatkan sertifikat pendidik Premis 2 : Jika calon guru profesional mendapatkan sertifikat pendidik, maka ia mendapatkan tunjangan Kesimpulan : Jika calon guru profesional mengikuti PPG maka ia mendapatkan tunjangan

4. Membuktikan keabsahan 𝑚 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑡) (𝑞 ∨ 𝑗) ⇒ 𝑎 𝑚 𝑎∨𝑗 Bukti, 1. 𝑚 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑡) 2. (𝑞 ∨ 𝑗) ⇒ 𝑎 3. 𝑚 4. (𝑞 ∧ 𝑡)

( 1,3 Modus Ponen)

5. 𝑞

( 4, Aturan Penyederhanaan)

6. (𝑞 ∨ 𝑗)

(5, Aturan penambahan)

7. 𝑎

(2,6 Modul Ponen)

8. 𝑎 ∨ 𝑗

( 7, Aturan penambahan)

Terbukti

5. Membuktikan keabsahan dari pernyataan 𝑚 ⇒ ( g ∧ 𝑡) (g ∨ 𝑗) ⇒𝑎 𝑚 𝑎∨ 𝑗

Bukti, 1. 𝑚 ⇒ (g ∧ 𝑡) 2. (g ∨ 𝑗) ⇒ 𝑎 3. 𝑚 4. (g ∧ 𝑡)

( 1,3 Modus Ponen)

5. g

( 4, Aturan Penyederhanaan)

6. (g ∨ 𝑗)

(5, Aturan Penambahan)

7. 𝑎

(2,6 Modul Ponen)

8. 𝑎 ∨ 𝑗

( 7, Aturan penambahan)

Sehingga argument tersebut adalah sah (Terbukti)

6.

a. Membuktikan keabsahan argumen dengan Bukti Aturan Bersyarat (𝑎∨𝑏) ⇒ ((𝑐∧𝑑) ⇒𝑒) ∴𝑎⇒ ((𝑐∧𝑑) ⇒𝑒)

Bukti, 1. (𝑎∨𝑏) ⇒ ((𝑐∧𝑑) ⇒𝑒)

( Premis 1)

2. 𝑎/∴((𝑐∧𝑑) ⇒𝑒)

(Premis tambahan dan konklusi baru)

3. 𝑎∨𝑏

(2, Aturan Penambahan)

4. ((𝑐∧𝑑) ⇒𝑒)

(1,3 Modus Ponen)

5. 𝑎⇒ ((𝑐∧𝑑) ⇒𝑒)

(2 s.d 4 aturan bukti bersyarat)

b. Membuktikan keabsahan argumen dengan ReductioAd Absordum (Bukti Tak Langsung). 𝑎(𝑏𝑐) (𝑏∨𝑑)𝑒 𝑑∨𝑎 𝑒

Bukti, 1.

𝑎 ⇒ (𝑏 ∧ 𝑐)

(premis 1)

2.

(𝑏 ∨ 𝑑) ⇒ 𝑒

(premis 2)

3.

𝑑∨𝑎

(premis 3)

4.

~e

(premis tambahan)

5.

~(b ∨ d)

(2,4 Modus Tollens)

6.

~𝑏∧ ~𝑑

(5 Hukum DeMorgan)

7.

~𝑏

(6 Aturan Penyederhanaan)

8.

~𝑑

(6 Aturan Penyederhanaan)

9.

~𝑑⇒𝑎

(3 Hukum Implikasi)

10. 𝑎

(9,8 Modus Ponens)

11. 𝑏∧𝑐

(1,10 Modus Ponens)

12. 𝑏

(11 Aturan Penyederhanaan)

13. 𝑏∧ ~𝑏

(7,12 Hukum Konjungsi)

14. 𝑏∨𝑒

(12 Aturan Penambahan)

15. ~𝑏𝑒

(14 Hukum Implikasi)

16. 𝑒

(14,7 Silogisme Disjungtif)

Sehingga argumen tersebut terbukti Catatan: 1. Langkah ke-13 menunjukkan adanya kontradiksi sebab 𝑏∧ ~𝑏 (menurut hukum komplemen) bernilai salah (False). 2. Setelah ditemukan adanya kontradiksi, langkah berikutnya menggunakan aturan penambahan dan silogisme disjungtif untuk membuktikan konklusi.