Un Experimento Con Agua 43v

1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACIÓN DE EVALUACIÓN ACADÉMICA AREA DE MATEMATICA. CENTRO LOCAL CARABOBO LAPSO 2008-2

TRABAJO UNICO TEMAS 1. Dada una botella llena de agua. El agua fluye por un hueco a cierta altura del fondo de la botella. 2. Seleccione uno o varios de los contenidos del Liceo Bolivariano

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: ALBARO JOSE DUGARTE CEDULA DE IDENTIDAD: V-4.492.667 CORREO ELECTRÓNICO: [email protected] CE NTRO LOCAL: CARABOBO CÓDIGO DEL CENTRO LOCAL: 0700 ASIGNATURA: MATEMATICAS Y CIENCIAS ÓDIGO DE LA ASIGNATURA: 532

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Contenido Parte 01 Construir un modelo matemático de una situación que permita describir el comportamiento (cualitativamente) de la altura de la superficie superior del agua respecto al tiempo.

Parte 02 Planificar la inclusión de la aplicación de las matemáticas para el caso particular de la enseñanza de un contenido durante una semana. La planificación debe incluir las estrategias de enseñanza, algunos ejemplos de los problemas que le serían propuestos a los estudiantes y de la manera en que se realizará la evaluación.

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Parte 01 Un experimento con agua “Cuenta la leyenda en tierras de Holanda que Hansje Brinker, un niño de tan solo 12 años, con su dedito impidió que un dique se rompiera e inundara la región”…pues aguantó con su indicito una gran parte de mar del norte… Anónimo

Preliminares El estudio cualitativo del desagüe (escape o evacuación) de una botella llena de agua a través de un orificio debe ser mostrado a los estudiantes de una manera creativa, amena y en un contexto que se preste a interpretaciones sencillas y a diálogos significativos (Explicación de las observaciones sin adentrarse en propuestas numéricas propiamente dichas al respecto). Debe hacerse énfasis que este principio también es valido para envases más grandes, inclusive tanques y/o represas de agua de gran magnitud. El estudiante debe ser motivado a que busque respuestas razonadas para que al encontrarlas ya tenga en mente el deseo de expresar cuantitativamente (a través de un modelo matemático) el hecho. Lo más indicado y procedente es hacer una experiencia previa a nivel elemental, luego repetírsela (para motivarlo a que indague concepciones y algunos tópicos referentes al experimento) esto con el objetivo de estimular en él, la búsqueda de patrones representativos y simbólicos que apunten a un modelo matemático sencillo de la situación entendida desde el punto del razonamiento objetivo Sobradas razones tenemos entonces en aclarar lo que es un modelo: Es un prototipo práctico ideal de un suceso que se puede representar a través de diversas maneras. El modelo sirve para explicar un comportamiento, las propiedades tanto cualitativas como cuantitativas (razones y discernimientos lógicos) y no es mas complicado que el mismo fenómeno El modelo lo que busca es simplificar una realidad, ya que es el resultado de la abstracción de circunstancias cotidianas que culminan en propuestas del perfil del fenómeno

Contexto Escolar Este tipo de experiencia se propone para ser aplicado en el 10mo grado de la Escuela Diversificada y profesional y durante el tercer lapso en Matemática, un período en el que los estudiantes ya deben haber visto temas similares en química y en física (Teorema del trabajo y la energía, presión hidrostática, Volumen, entre otros).

Con una Botella agujereada Como se dijo previamente lo mejor es mostrarle al estudiante como son las cosas así que tomaremos una botella plástica de esas de refresco de 2 litros y le haremos una pequeña perforación aproximadamente a 5 cms de su base, la cubrimos provisionalmente(con el dedo, tirro o cinta) y llenamos la botella completamente de agua, tapándola seguidamente. Al destapar el agujero se observará que no sale agua. ¿A que se debe esto?...Se debe a que la presión hidrostática del agua por encima del agujero es menor que la presión atmosférica del exterior del agujero, por ello el agua no puede salir contra la presión atmosférica. Este es un concepto que tienen que tener claro1 1

La velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en el vacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido.

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Figura 01 Esquemas del dispositivo experimental.

Ahora al destapar la botella agujereada se observara que sale un chorro de agua por el orificio. Si se realiza esta actividad colocando la botella sobre una superficie horizontal y se mide la altura del orificio respecto de la superficie y el alcance del chorro, podremos determinar la velocidad de salida del agua por consideraciones cinemáticas ¿Pero como determinar esa velocidad? La respuesta a la pregunta anterior nos la da el Teorema de Torricelli que es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. Donde: • • • •

Vt es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio Vo es la velocidad de aproximación. h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio. g es la aceleración de la gravedad

Si llenamos de agua las tres cuartas partes de la botella agujereada y no cerramos la botella con el tapón, cuando destapemos el agujero el agua saldrá por el mismo. Pero si dejamos caer libremente la botella observaremos que se interrumpe el chorro de agua que antes salía por el agujero.

5 Cuando la botella (con el agua) está cayendo libremente, puede considerarse que la botella constituye un entorno de microgravedad (en la terminología de los astronautas), es decir, que la gravedad se ha reducido de tal manera que sus efectos no se notan. Como la velocidad de salida del agua por el orificio depende de la aceleración de la gravedad, durante la caída libre no saldrá agua (es decir, la velocidad de salida será nula). Esta sensación de microgravedad (o ingravidez) es la que se experimenta en los descensos bruscos de las montañas rusas y otras diversiones similares (tipo emociones fuertes) de los parques de atracciones. También en el ascenso y descenso de los aviones. Hay cosas que existen y que nuestros ojos no ven. Una de esas cosas es el aire que todos damos por supuesto que existe. ¿Qué experimento sencillo harías para demostrar que el aire existe aunque no lo veamos? Por experimento se entiende aquel que se realiza con objetos de la vida cotidiana y por supuesto usando la capacidad de razonar y argumentar Se trata de una esfera de cobre con un cuello abierto y pequeños agujeros en el fondo que se llena sumergiéndola en el agua. Si se saca del agua con el cuello sin tapar el agua se sale por los agujeros formando una pequeña ducha. Pero si se saca correctamente, tapando con el pulgar el cuello, el agua queda retenida2 dentro de la esfera hasta que uno levanta el dedo. Si uno trata de llenarlo con el dedo tapado el agua no entra. Ha de haber alguna sustancia material que impida el paso del agua. No podemos ver esa sustancia. ¿De qué se trata? Empédocles afirmó que sólo podía ser aire. Una cosa que somos incapaces de ver puede ejercer una presión, puede frustrar mi deseo de llenar el cacharro con agua si dejo tontamente el dedo sobre el cuello. Empédocles había descubierto lo invisible. Pensó que el aire tenía que ser materia tan finamente dividida que era imposible verla

Un modelo para el problema Ya se dijo que un modelo es la descripción o la representación ideal de un suceso o fenómeno de la vida real y que sirve para explicar3 un comportamiento y no es tan complicado4 como el mismo evento. El modelo simplemente lo que busca es simplificar una circunstancia…es el producto de la abstracción de una situación cotidiana que culmina en la propuesta de una representación simbólica del asunto. Un ejemplo es cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas

Figura 02

Un modelo cualitativo para el problema En nuestro caso específico estamos trabajando con una variación de altura (Figura 02).

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Esto es algo parecido a cuando uno introduce un vaso plástico(o de otro material) de esos para beber agua con la boca destapada en un recipiente con agua, ¿cierto o no?…el agua no entra al vaso ya que el aire se opone 3 Propiedades cualitativas y discernimientos lógicos 4 Esta razón debe ser digerida por el estudiante para que no sienta que esta ante algo difícil

6 ∆h = y2 - y1

En la práctica una manera muy sencilla de detener el agua en un estanque cuando el aire empuja a esta es a través de una llave de paso (llamada llave de bola o de retención) la cual regula el paso del agua según se quiera tener grandes o bajas salidas. Nuestro principal objetivo ha de ser la de inducir una actividad dirigida con acierto de parte nuestra como docentes, colocando al estudiante en una situación participativa de manera que sienta orgullo de descubrir a través de modelos sencillos lo que grandes físicos-matemáticos (Torrecelli, Bernoulli entre otros) lograron con tesón y esfuerzo. La finalidad de la realidad planteada es la de dar a conocer una explicación aproximada de manera cualitativa del porque y como se despliega el fenómeno. Para ello se hace el experimento con la botella Plástica agujereada.

Explicación del modelo En lo visto anteriormente se le plantea al estudiante la situación a manera general para motivarlo, comenzando incluso con la reseña del niño holandés que impide que un dique inunde una región5 es decir un aspecto preliminar que lo imbuya en el tema y le explique de manera sencilla una experiencia diagramada e interpretada sin propuestas cuantitativas (ecuaciones ) para al final proponerle que experimentar un fenómeno es ponerse a nivel de los hombres que lograron ser protagonista de una historia metiendo sus trabajos en los anales de la Matemática y las ciencias y que estos trabajos no salieron de la nada pues en aquellas épocas formaron parte de situaciones reales, cotidianas y del contexto donde ellos laboraban, que son tan iguales a las de hoy día. Vamos a partir suponiendo el siguiente concepto como axiomático6 “La velocidad de un fluido es alta cuando su presión es baja y es baja cuando su presión es alta”. Esto al principio puede sonarnos extraño ya que estamos acostumbrados a relacionar situaciones tales como “a mayor tamaño mayor volumen”, “a mayor velocidad mas distancia recorrida” entre otras frases en las que la proporción de algo aumenta a medida que aumenta otro parámetro. Esto es lo que conocemos que un parámetro es directamente proporcional a otro. En este caso es a la inversa. Vamos a estudiar la siguiente figura semejante a un tanque de agua y análoga a la botella plástica.

Figura 03 El volumen del agua que pasa por el punto 1 es

∆L1 .A1 Siendo ∆L1 la distancia que avanza el fluido en un ∆t y como la velocidad del agua en ese punto es medida por

V1 = ∆L1/∆t

El flujo de masa de agua que pasa por el punto 1 es

∆m/∆t = ρ 1. ∆L1 .A1/∆t

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Esto debe ser motivo de indagación por parte del alumno sobre lo que en realidad dice la leyenda Algo que se toma como lo evidente sin demostración

7 y como

∆L1/∆t = V1 ∆m/∆t = ρ 1.A1.V1

De igual manera en el punto 2 se deduce que

∆m/∆t = ρ 2.A2.V2 Y como la cantidad de agua que pasa por las distintas secciones en un intervalo de tiempo semejante es la misma, entonces se tiene que los flujos son iguales

ρ 1.A1.V1 = ρ 2.A2.V2 Además como las presiones son iguales

ρ 1 = ρ 2 = ρ atmosférica Entonces la presión del liquido es constante y se tendrá que

A1.V1 = A2.V2 Observemos que A1 > A2 V1 = A2.V2/ A1 y V2 = A1.V1/ A2 V1< V2 Y esto mismo sucede con un tanque, balde de agua y/o botella plástica como en nuestro caso Lo más importante que un estudiante debe asimilar con la construcción del modelo dado es que contiene constantes como la presión atmosférica y la densidad del fluido (en este caso la del Agua) y variables como son las alturas, el tiempo, las secciones de tuberías y/o envases y las velocidades del agua. Respecto a la presión esta es considerada la presión del ambiente. Por otro lado debe ver que el caudal es el mismo (cantidad de agua que entra es igual a la que sale) y que lo que hará variar la experiencia es la altura a la que se encuentra el agua junto a la constante de la gravedad. En el anexo al final se produce un procedimiento matemático que explica este modelo a través del teorema de Torrecelli basado en la ecuación de Bernoulli.

El modelo a través de la experimentación En una botella de refresco hacemos un orificio de aproximadamente un cm de diámetro lo mas posible cerca del fondo (entre 5-7 cms)

1. Se coloca la botella sobre un mesón cerca de un desagüe(para no mojar el piso o pavimento) 2. Utilizamos un recipiente (en este caso usamos una de las bandejas del drenaje del fregadero de la cocina). Véase fotos anexas 3. Se tapa el orificio de salida y se llena de agua la botella (es importante medir el volumen de agua 1.5 -1.8 lts) 4. Se mide la columna de agua(es decir la altura de la misma hasta el orificio de salida) 5. Destapa el orificio de abajo manteniendo tapada la botella ¿Qué observas?... ¡Verdad que no sale agua! 6. Ahora se destapa la botella ¿Qué observas?... ¡Verdad que comienza a salir el agua en forma de chorro, cuya distancia horizontal es mayor al principio y va disminuyendo a medida que se va terminando el liquido. ¿Esto ultimo a que se deberá?

8 7. Ahora medimos el agua que se deposita en el recipiente 02 en un determinado tiempo.

Foto 01

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Parte 02

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Selección de un contenido de Matemática del liceo Bolivariano y Planificar la aplicación de su conocimiento durante una semana de clase. Dicho contenido debe estar inmerso dentro de unas estrategias, con ejemplos relacionados con la realidad. Además debe contemplarse su evaluación a través de criterios bien claros.

Preliminares al respecto Antes de seleccionar el contenido es necesario tener en cuenta los siguientes criterios para su escogencia 1) El contenido debe prestarse para la trasmisión sistemática de un razonamiento efectivo para resolver problemas relacionados a contextos verdaderos 2) La(s) estrategia(s) a utilizar deben prestarse para que el estudiante: - Active su capacidad mental - Ejercite su creatividad - Que adquiera confianza en si mismo - Que se divierta aprendiendo - Que relacione lo aprendido con las novedades de la actualidad 3) Que el contenido induzca en el estudiante autonomía para resolver situaciones cotidianas 4) Respecto a las estrategias se deben proponer situaciones basadas en:

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Problemas de índole históricos Aplicaciones comprensibles de los contenidos Relaciones con modelos existentes

Todo lo anterior produciría en el estudiante una situación participativa en la que se le induce a descubrir novedades de tal manera que perciban el placer que pudieron haber experimentado los matemáticos de la época tras su esfuerzo cognitivo.

Selección del contenido Tomado del texto guía: SUBSISTEMA EDUCACION SECUNDARIA BOLIVARIANA LICEOS BOLIVARIANOS. Currículo y orientaciones metodologicas Áreas de aprendizaje: Segundo año Área: Ser humano y su interacción con otros componentes del ambiente Componente: Los procesos matemáticos y su importancia en la comprensión del entorno Contenido general: Estudio de patrones, formas, y diseños ambientales Contenido especifico: Estudio de pendientes en construcciones de autopistas, calles y en los cortes realizados por carpinteros, herreros y albañiles.

Justificación de la escogencia de estrategias distintas a las tradicionales Uno de los mayores problemas a los que se enfrentan los estudiantes de matemática es el desconocimiento de la aplicación que esta tiene en la cotidianidad de sus vidas. Como docentes hemos escuchado preguntas como ¿Quien invento esto? Y sus respuestas… ¡seguro que era alguien que no tenía algo que hacer! y/o ¿De que vale saber tanta matemática si esto no se usa en lo que yo voy a trabajar?... y así por el estilo, los chicos (jóvenes y adolescentes) tienden cada día a tenerle fobia y cierta apatía a esta asignatura. Por tal razón una de las mejores estrategias para que los estudiantes le encuentren significado, sentido y gusto a los contenidos matemáticos es hacerles entender que esta tiene mil y un usos en el ambiente, en lo cotidiano y en lo más frecuente donde ellos se desenvuelven y viven. Además les ayuda a solucionar dificultades en las que ellos la mayoría de las veces están involucrados como en trabajos vacacionales, aprendices de algún oficio, y en su casa en cuestiones domesticas.

Programación según horas estipuladas Periodo de aplicación: 1 Semana Numero de horas: 05 horas académicas Horas de campo: 03 horas académicas Horas de aula: 02 horas académicas Nota: Dentro de las estrategias se aconseja visitas a sitios específicos en horas no académicas (actividad complementaria con otros profesores de áreas afines)

Descripción detallada de la programación según los contenidos En la horas de clase Definir pendiente como la relación que hay entre una longitud y una altura dada. Para lograr esto es bueno dar algunos ejemplos y representaciones graficas tales como partes que existen en lo cotidiano y en los cuales esta presente esa relación

11 Escribamos algunos ejemplos tales como

1. Escaleras, rampas, teatros auditorios 2. Vertientes de techos inclinados 3. Una escuadra y algunos triángulos. El desnivel que puede haber en una calle 4. Acueductos y redes de cloacas dentro de las edificaciones 5. Algunos ornamentos arquitectónicos elaborados en madera y en hierro 6. Levantamientos de topografía y altimetría Hay que comenzar aclarando que una pendiente es simplemente una relación de orden que establece una proporción entre dos medidas y que también tiene precisa relación con los porcentajes sencillos y por ende con las reglas de tres aprendidas en la aritmética básica. Lo más importante que hay que resaltar en la primera hora de clase son ejemplos de lo que constituyen las pendientes y la relación matemática con los porcentajes y las proporciones. Pendiente, medida de la inclinación de una recta7 dada A continuación se les puede leer textos que hacen alusión al contenido y se les pueden mostrar fotos “La vertiente sur presenta mayores dificultades para su escalada, pues tiene pendientes más bruscas y escarpadas; se alcanza a través del valle y la laguna de los Horcones, hasta alcanzar la Plaza de Mulas…. “Cuando los surcos se excavan siguiendo la pendiente, colina arriba y abajo, el agua tiende a fluir a lo largo de ellos”... “pueden criarse peces en jaulas y torrenteras, estanques en tierra o cemento largos y estrechos que reciben agua de arroyo o riachuelo próximos que a menudo se construyen en serie siguiendo la pendiente de una colina …Mar adentro desde la plataforma continental, en el llamado talud marítimo, el fondo marino desciende con rapidez unos 3.500 mts del fondo oceánico profundo, formando abismales pendientes…. Históricamente las pendientes fueron utilizadas por los matemáticos para auxiliar a los arquitectos e ingenieros que deseaban lograr obras de cierta envergadura. Aquí es oportuno mostrar algunas fotos alusivas a grandes obras tanto actuales como antiguas. También es momento de definir el concepto geométrico de lo que es una pendiente y su relación con las proporciones En los anexos al final se incluyen los contenidos matemáticos que podrían darse para lograr el objetivo así como algunos problemas resueltos y propuestos como asignación

En las horas de campo Hay que prever visitas a los lugares típicos que presentan este tipo de situaciones. Se les pedirá a los estudiantes que lleven cintas métricas, lápices de grafito, papel y reglas milimetradas para hacer cotejos en sitio con la finalidad de resolver problemas reales.

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El termino recta aquí es alusivo a longitud, altura, ancho, es decir a una medida rectilínea

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Canal de riego

Acueducto de Segovia

El primer acueducto romano que transportaba el agua sobre la superficie del suelo fue el Aqua Marcia, en Roma; tenía una longitud de 90 Km. y su altura mínima era de 2mts. En aquel entonces se utilizaba pendientes para el agua de 0.5 %. ¿Podrías calcular la altura máxima de este acueducto?

Forma de evaluar La forma de evaluar será mediante un informe de campo por equipo con valor del 40% en el cual deben exponer los pormenores de la clase y aspectos resaltantes sobre las visitas hechas a algunas edificaciones (teatros, auditorios, salones de clase con desniveles, entre otras) talleres de ensamblaje de viguetas, viviendas de una sola planta con techos inclinados. Durante las visitas los estudiantes harán levantamientos alusivos a situaciones donde el calcular pendientes, sus porcentajes y proporcionalidad geométrica sean relevantes. En la última clase se volverá a explicar las situaciones con problemas sacados de realidades dadas durante la primera clase. Al final se dejara como tarea problemas como los planteados en los anexos cuyo valor será del 30%, dejándose para la siguiente hora un examen de 2 problemas alusivos a lo s vistos en toda la jornada (tanto teórica como de practica en campo) cuyo valor será del 30% sobre la nota total.

Anexo 01 Relativo a la parte 01 Teorema de Torricelli

13 Un depósito cilíndrico, de sección S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S2 mucho más pequeña que S1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.

suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S1 es despreciable v1= 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S2.

Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en o con el aire a la misma presión. Luego, p1=p2=p0. La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h la altura de la columna de fluido Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe

De acuerdo con el teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en el vacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido

A medida que el fluido sale por el orificio, la altura h de fluido en el depósito va disminuyendo. Si S es la sección del orificio, el gasto Sv, o volumen de fluido que sale por el orificio en la unidad de tiempo no es constante.