Unidad 6 6l3v6f

2. Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros, a) ¿Qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros? a) P(X>224) = P[Z>(224-200)/15] = P(Z > 1.6) =

1 - P(Z < 1.6) = 1 - tabla(1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? b) P(191 ≤ X ≤ 209) =

P(X≤ 209) - P(X≤191) = P[Z≤ (209-200)/15] - P[Z≤ (191-200)/15] = P(Z≤0.6) - P(Z≤ -0.6) =

Por simetría = P(Z≤0.6) - P(Z ≥ 0.6) =

por probabilidad complementaria = P(Z≤0.6) - [1 - P(Z ≤0.6)] = 2·P(Z ≤0.6) - 1 =

2 · 0.7257 -1 = 0.4514 c) ¿Cuántos casos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas? P(X> 230) = P[Z > (230-200)/15] = P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤2) = 1 - 0.9772 = 0.0228

d) ¿Por debajo de qué valor obtendremos el 25 % más pequeño de las bebidas? Por simetría será el valor opuesto al que da 0.75. El que da 0.75 no está en la tabla, tenemos: Tabla (0.67) = 0.7486 Tabla (0.68) = 0.7517 Se calcula el valor que daría 0.7500 por interpolación 0.7517 - 0.7486 = 0.0031 Hay que sumar 0.0014 para alcázar 0.7500 o sea 14/31 de la diferencia, con lo cual el valor será 0.67 + (14/31) · 0.01 = 0.674516129 Y el opuesto es -0.674516129 P(Z≤-0.674516129) = 0.25 P[(X-200)/15 ≤ -0.674516129] = 0.25 Calcular X (X-200) / 15 ≤ -0.674516129 X-200 ≤ -10.11774194 X <= 189.8822581

3. En el ejemplar de noviembre de 1990 de Chemical Engineering Progress, un estudio analiza el porcentaje de pureza del oxígeno de cierto proveedor. Suponga que la media fue 99.61 con una desviación estándar de 0.08. Suponga que la distribución del porcentaje de pureza fue aproximadamente normal. a) ¿Qué porcentaje de los valores de pureza esperaría que estuvieran entre 99.5 y 99.7?

𝜇 = 99.61 𝜎 = 0.08 𝑃(99.5 < 𝑥 < 99.7) = 𝑃(−1.375 < 𝑧 < 1.125) = 0.8697 − 0.08455 = 𝟎. 𝟕𝟖𝟓𝟐

b) ¿Qué valor de pureza esperaría que excediera exactamente 5% de la población? 𝑃(𝑧 > −1.645) = 0.05; 𝑥 = (−1.645)(0.08) + 99.61 = 𝟗𝟗. 𝟒𝟕𝟖𝟒.

4. Debido a una variación en técnicas de laboratorio, impurezas en materiales y otros factores desconocidos, los resultados de un experimento en un laboratorio de química no siempre darán la misma respuesta numérica. En un experimento de electrólisis, un grupo de estudiantes midió la cantidad de cobre precipitado de una solución saturada de sulfato de cobre en un periodo de 30 minutos. Los n 30 estudiantes calcularon una media muestral y desviación estándar igual a 0.145 y 0.0051 moles, respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza de 90 % para la cantidad media de cobre precipitado de la solución en un periodo de 30 minutos. 𝑛 = 30

𝑥̅ = 0.145

𝑠 = 0.0051

𝑑𝑓 = 0.90 𝛼 = 1 − 0.90 = 0.10 ∝⁄ = 0.05 2

I.C. 0.0051 0.145 ± 1.699 ( ) √30 𝟎. 𝟏𝟒𝟑𝟒 < 𝝁 < 𝟎. 𝟏𝟒𝟔𝟔

5. Una pequeña cantidad del oligoelemento selenio, 50-200 microgramos (µg) por día, se considera esencial para una buena salud. Suponga que muestras aleatorias de n1 = n2 = 30 adultos se seleccionaron de dos regiones y que la ingesta diaria de selenio, de líquidos y sólidos, se registró para cada persona. La media y desviación estándar de las ingestas

diarias de selenio para los 30 adultos de la región 1 fueron x1 = 167.1 y s1 = 24.3µg, respectivamente. Las estadísticas correspondientes para los 30 adultos de la región 2 fueron x2 = 140.9 y s2 = 17.6. Encuentre un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia en las ingestas medias de selenio para las dos regiones. Interprete este intervalo. 𝑠12 = 590.49

𝑠22 = 309.76 𝛼 = 0.05

∝⁄ = 0.025 2 𝑑𝑓1 = 𝑑𝑓2 = 29 𝐻0 : 𝜎12 = 𝜎22 Una cola

Dos colas 𝐻𝑎 : 𝜎12 < 𝜎22 2

𝐻𝑎 : 𝜎12 ≠ 𝜎22

2

𝐻0 : 𝜎1 > 𝜎2

𝐹0.025 ≈ 2.09 𝐹=

590.49 = 1.906 𝑆𝑒 ℎ𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐻0 309.76

Valor p (2)(0.025) < 𝑝 < (2)(0.05) 0.05 < 𝑝 < 0.1

𝐿𝑎 𝐻0 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎

I.C. 590.49 1 𝜎12 590.49 ( ) < 2<( ) 2.09 309.76 2.09 𝜎2 309.76 𝜎12 0.9120 < 2 < 3.9841 𝜎2 𝜎12 𝜎22

= 1 ya que cae en el intervalo de confianza, por lo tanto se aprueba 𝐻0 , lo que nos

indica que no tenemos los datos suficientes para indicar la diferencia en la ingesta de selenio porque tenemos que 𝜎12 = 𝜎22 cuando lo que realmente deberíamos obtener que 𝜎12 ≠ 𝜎22

4. Para el ejercicio 2. a) Evalué s2. 𝑥̅ = 37.5 𝑦̅ = 27.10

𝑆𝑥 2 = 𝑆𝑦 2 =

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 3937.5 = = 787.50 𝑛−1 5

∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2 1280.46 = = 256.09 𝑛−1 5 2197 𝑆𝑥𝑦 = = 439.4 5

b) Construya un intervalo de confianza de 99 % para β. 𝐻0 : 𝛽 = 0

𝐻𝑎 : 𝛽 ≠ 0

∝= 0.01

∝⁄ = 0.005 2

𝑦 = 0.57𝑥 + 5.82 (439.4)2 𝑀𝑆𝐸 = [256.09 − ] 6 − 2 = 46.68 787.5 𝑡=

0.57 − 0 √46.68 787.5

= 2.34

I.C. 0.57 ± 4.604 (√

46.68 ) 787.5

−0.55 < 𝛽 < 1.69 c) Utilice el valor de s2 para determinar un intervalo de confianza de 99 % para la cantidad promedio del producto químico que se disolverá en 100 gramos de agua a 50 °C. d) Determine un intervalo de confianza del 99 % para la cantidad de producto químico que se disolverá en 100 gramos de agua 50 °C.

6. Refiérase a la comparación de la ingesta diaria de selenio, que toman adultos en dos regiones diferentes, que vimos en el anterior. Supongamos que se desea estimar la diferencia en las ingestas diarias medias entre las dos regiones, correcta a no más de 5 microgramos de variación, con probabilidad igual a .90. Si se planea seleccionar un número igual de adultos de entre las dos regiones (es decir, n1 = n2), ¿qué tan grandes deben ser n1 y n2? 1 − 𝛼 = 0.90; 𝛼 = 0.10 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.05 = 2.576 2.576√

𝜎12 𝜎22 + =1 𝑛 𝑛

20.95 20.95 2.576√ + =1 𝑛 𝑛 41.9 2.576√ =1 𝑛 2.576

√41.9 √𝑛

=1

𝑛 = (2.576 ∗ √41.9)

2

𝑛 = 278

7. Una entomóloga desea estimar el tiempo promedio de desarrollo de la garrapata roja de cítricos, a no más de .5 de día. De los experimentos previos, se sabe que σ es cercana a los cuatro días. ¿Qué tan grande debe ser la muestra que tome la entomóloga para tener 95 % de confianza de su estimación?

8. Un productor piensa que uno de cada cinco de sus árboles de cítricos esta´ infectado con la garrapata roja de cítricos mencionada en el ejercicio 1. ¿Qué tan grande debe ser la muestra tomada si el productor desea estimar, a no más de .08, la proporción de sus árboles que están infectados con la garrapata roja de cítricos? 1

𝑃 = 5 = 0.2

q=0.8

𝑛≥ 𝑛≥

𝑍 2 ∝⁄2 𝑝 𝑞 𝐵2

(0.255)2 (0.2) (0.8) (0.08)2 𝑛 ≥ 96.04 𝒏 ≥ 𝟗𝟔

9. Un fabricante de medicamentos dijo que la potencia media de uno de sus antibióticos fue 80%. Se probó una muestra aleatoria de n = 100 cápsulas y produjo una media muestral de x = 79.7% con una desviación estándar des = .8%. ¿Los datos presentan suuciencia evidencia para refutar lo dicho por el fabricante? Sea α = .05 para realizar una prueba de hipótesis adecuada y exprese su conclusión. Datos µ=0.8, n=100, 𝑋 = 0.797, S=0.008, α=0.05 Resolución i)

Ho: µ=0.8

ii)

Ha: µ≠0.8

iii)

𝑍=

iv)

𝑋− µ 𝜎 √𝑛

=

0.797− 0.8 0.008 √100

=−

3𝑥10−3 8𝑥10−4

= −3.75

Por lo tanto, la Ho se rechaza.

v)

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = 𝑃(𝑧 > 3.75) + 𝑃(𝑧 < −3.75)

vi)

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = [1 − 𝑃(𝑧 < 3.75)] + 𝑃(𝑧 < −3.75) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = (1 − 0.99999) + 0.00001 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 = 0.00002

vii)

I.C. 𝑋 ± 𝑍∝/2

0.797 − [1.96

𝑆 √𝑛

0.008 √100

< µ < 𝑋 ± 𝑍∝/2

𝑆 √𝑛

] < µ < 0.797 + [1.96

0.008 ] √100

0.795 < µ < 0.798 Por lo tanto, la Ho se rechaza. R= Si se presenta suficiente evidencia para rechazar Ho y aceptar la Ha, porque con el intervalo de confianza tenemos ambos positivos.

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