Viga Bi Engastada i5qg

A viga bi-engastada mostrada na Figura 1 devera ser construda com um material cuja tens~ao normal issvel de trabalho e no maximo = 200N=mm2. O material do qual a viga sera construda possue um modulo de elasticidade longitudinal (Young) E = 2; 0x106N=mm2. A viga deve ar uma carga uniformemente distribuda qo = 10:000N=m ao longo de um v~ao L = 5m. Outro dado de projeto e que a echa maxima n~ao deve ultraa vmax = L=1000. Por raz~oes construtivas a sec~ao transversal de viga devera ser um ret^angulo com dimens~oes Bx3B , tal como mostrado. Para esta viga solicita-se: a) as equac~oes e os diagramas de esforco cortante, momento etor, de ex~ao angular (rotac~ao) e de ex~ao linear ( echa), b) as reac~oes de apoio, c) a dimens~ao mnima B para que os requisitos de tens~ao e deslocamento maximo sejam respeitados.

Figura 1: Viga bi-engastada. 1. Equac~ao do carregamento: q (x) = q0 2. Condico~es de contorno v(x = 0) = 0 v(x = L) = 0 z (x = 0) = 0 z (x = L) = 0 d4 v4 = q0 3. Integraca~o da equac~ao diferencial: EIz dx

1a integra ca~o: forca cortante 3v d EIz dx3 = Vy (x) = q0 x + C1 2a integra c~ao: momento etor EIz ddx2 v2 = Mz (x) = q0 x22 + C1 x + C2 3a integrac~ao: rotac~ao z (x) = q0 x63 + C1 x22 + C2x + C3 4a integraca~o: deslocamento transversal 3 4 x x EIz v (x) = q0 24 + C1 6 + C2 x22 + C3x + C4 4. Determinaca~o das constantes de integrac~ao EIz v(0) = q0 (0)244 + C1 (0)6 3 + C2 (0)2 2 + C3 (0) + C4 = 0 ! C4 = 0 3 2 z (0) = q0 (0)6 + C1 (0)2 + C2(0) + C3 = 0 ! C3 = 0 EIz v(L) = q0 L244 + C1 L63 + C2 L22 + C3 L + C4 = 0 ! q0 L244 + C1 L63 + C2 L22 = 0 z (L) = q0 L63 + C1 L22 + C2L + C3 = 0 ! q0 L63 + C1 L22 + C2L = 0 Reolvendo o sistema constitudo das duas equac~oes anteriores, tem-se C1 = q0 L2 e C2 = q0 L122 . 1

5. Equac~oes nais forca cortante: Vy (x) = q0x + q0 L2 momento etor: Mz (x) = q0 x22 + q0L x2 q0 L122 rotac~ao: z (x) = q0 x63 + q0L x42 q0L2 12x deslocamento: EIz v(x) = q0 x244 + q0 L x123 q0L2 x242 6. Diagramas da forca cortante, momento etor, rotac~ao e de ex~ao 30 Mz(x)[N.m] 20

Vy(x)[N] 100

10

50

0 0

-10 -20

-50

-30 -40

-100

-50 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 x[m]

2

0

10 dv(x)/dx[rad]

0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 x[m]

2

0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 x[m]

2

4 v(x)[m] 2

5

0 0 -2 -5

-4

-10

-6 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 x[m]

2

0

7. Reac~oes nos apoios Forcas: RAy = Vy (x = 0) = 25000N RBy = Vy (x = L) = 25000N Momentos: MAz = Mz (x = 0) = 20833; 4Nm MBz = Mz (x = L) = 20833; 4Nm 8. Dimensionamento Dimensionamento a tens~ao Iz . Por sua vez, Iz = BH 3 = B (3B )3 = O modulo de resist^encia da sec~ao e dado por Wz = ymax 12 12 9 B 4 e ymax = 3 B . Logo, Wz = 3 B 3 . No dimensionamento da sec~ao, considera-se o modulo 4 2 2 do momento etor maximo. Logo, 1 2M 13 3) ! 3 M M (2)(20833 ; 4)(10 z max z z max max = W = 3 3 ! B = 3 = ! B = 41; 1mm (3)(200) z zzmax 2B 2

Dimensionamento a echa maxima

Do diagrama, tem-se que a exa maxima ocorre em x = L2 . O valor da de ex~ao linear maxima e dado por, L 4

L 3

2 ) + q0 L ( 2 ) EIz v(x = L2 ) = q0 ( 24 12

L )2 4 4 2 = q0 L ! vmax = q0 L q0 L2 ( 24 384 384EIz

Igualando o modulo deste resultado com a express~ao da exa maxima issvel, tem-se,

L = q L4 ! I = 1000q L3 z 0 384E 1000 0 384EIz Substituindo a express~ao para Iz em func~ao de B , obtem-se, L3 ! B = 29; 16mm Iz = 49 B4 = 1000q0 384 E Desta maneira, observa-se que, para este caso, deve-se tomar o valor da altura da sec~ao dado pelo dimensionamento a tens~ao, ou seja, B = 41; 1mm.

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