Viga Conjugada 705s4

Introducción En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, qué es una viga ficticia y qué relaciones guarda con una viga real, y por último procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría. En la definición, explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué fundamentos teóricos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas. También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella que se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relación de donde se obtiene las analogías que se utilizan para resolver los ejercicios. La convención de signos en este método se fundamenta en el resultado de haber encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia, pues según sea el signo de la respuesta, se sabrá el signo de la flecha o del giro en la viga real. Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica.

Marco teorico Este método consiste en cambiar el problema de encontrar las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistema de cargas aplicadas, por otro problema en que se averiguan las fuerzas de corte y momentos de una viga especial, llamada viga conjugada, que está cargada con el diagrama M/EI de la viga original. En relación con el método del área de momentos tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero y, por consiguiente, en todos los casos se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión de cualquier punto de la elástica. Su aplicación está basada en 2 proposiciones fundamentales: Proposición 1. La pendiente de la elástica en cualquier sección de la viga real () es igual a la fuerza de corte en la misma sección de la viga conjugada correspondiente (V). V Proposición 2. La deflexión de cualquier punto de la viga real (y) sección correspondiente de su viga conjugada (M). yM Utilizando estas proposiciones se pueden establecer las condiciones de apoyo que debe tener la viga conjugada para que se produzca la equivalencia.

Tabla 1: Equivalencia entre los apoyos de la viga real y los de la viga conjugada correspondiente

La tabla de equivalencias se puede explicar de la siguiente manera: si el apoyo es simple habrá rotación pero no deflexión, lo cual implica que en la viga conjugada debe haber corte pero no momento, o sea las condiciones que ofrece el mismo apoyo simple. En el caso de empotramiento, no hay giro ni deflexión, de tal manera que en la viga conjugada no puede haber ni corte ni momento, lo cual se logra dejando dicho extremo libre. En cambio, si el extremo de la viga real está libre por ser un voladizo, tendrá rotación y deflexión, obligando a empotrarlo en la viga conjugada para que allí se presenten corte y momento. En los apoyos interiores de la viga real no hay deflexión, pero la pendiente debe ser la misma hacia un lado y hacia el otro, por consiguiente, este tipo de apoyo se debe de reemplazar en la viga conjugada, por una articulación que brinda momento nulo e igual fuerza de corte a ambos lados. Cuando se presenta una articulación en la viga real, el raciocinio inverso es completamente válido, de ahí que deba de reemplazarse por un apoyo interior en la viga conjugada. Puede ser que al convertir la viga real en conjugada, esta última sea inestable, la cual mantendrá su equilibrio inestable al cargarlo con el diagrama M/EI. Hay que tener en cuenta, que conviene que en todos los casos la viga conjugada sea determinada, debido a que una viga conjugada indeterminada requerirá una viga real inestable.

Imagen 1: Resumen del cuadro ilustrado.

Tabla 2. Diferencias viga real y conjugada

Imagen 2: Viga real y viga conjugada Demostración Demostración analítica de la relación entre la fuerza cortante ficticia y pendiente real y momento flector ficticio y ordenado real

Relaciones entre la viga real y la viga conjugada. 1. La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma. 2. La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real. 3. La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo punto de la viga real. 4. El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el mismo punto de la viga real. 5. Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada. 6. Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada. 7. Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.

El giro en el apoyo es igual a la fuerza cortante en el apoyo correspondiente de la viga conjugada:

Calculando en la viga conjugada la fuerza cortante en C:

Concluimos lo siguiente:

En Viga Real vemos que la flecha del punto C es:

En la Viga Conjugada:

Donde: M f =Es el momento flector de C´ en la viga conjugada c

Concluimos lo siguiente: y=f c =M f

c

Condiciones de Contorno Caso: dos apoyos

Viga conjugada

Caso: viga en voladizo

Viga conjugada

Caso: influencias de las articulaciones

Viga conjugada

Aplicación de la viga conjugada: Viga simple, carga concentrada en la mitad de la viga

La viga se flexiona como se indica en la figura (a). El diagrama de momentos flectores en la figura (b) y, como la viga es de sección constante el diagrama M/EI tendría la misma forma que el M. La viga conjugada se representa en la figura (c) Viga en voladizo, carga concentrada en el extremo La viga se supone de sección constante; se flexiona como se indica en la figura (a) la viga conjugada esta representada en la figura (b).

Viga simple, carga uniformemente distribuida

La viga tiene sección constante, se flexiona como se indica en la figura(a) y la viga conjugada se muestra en la figura (b).

Viga en voladizo, carga uniformemente distribuida

Se flexiona como se muestra en la figura (a) y su respectiva conjugada, en la figura (b). Viga simple, carga concentrada en cualquier punto.

Flexión figura (a) y conjugada figura (b)

Procedimiento para calcular el giro y desplazamiento: 1. Calcular las reacciones en la viga real. 2. Hacer el diagrama de momento flector (DMF). 3. Hacer el diagrama de momento reducido (DMR). 4. Transformar la viga y cargarla con el momento reducido, esta será la viga conjugada. 5. Calcular los cortantes y momentos flectores en la viga conjugada en cada punto pedido. 6. Estos resultados serán los giros y desplazamientos en la viga real.

Bibliografía.  Análisis Estructural. DELGADO. p 21 – 37. 1º Edición.  Mecánica de Materiales. BEER, RUSSEL. Págs. 528 – 537. 2º Edición  Resistencia de Materiales I – II ARTEAGA, IBERICO, Págs. 137 – 152

 Mecánica de Solidos II. ESPARZA p765.1° Edición Anexos

Viga en voladizo

Ensayo a flexión de una viga

Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite desplazamientos.

EJEMPLOS 1.- Calcular la pendiente en B y la deformación en C

Dibujemos la viga conjugada:

Calculemos el momento en el empotramiento C en la viga conjugada: