01 Derivada De Un Vector 392z2k

Cálculo Diferencial Integral

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Derivada de un vector.  Examinemos un vector que varía con el tiempo A( t) .     A( t) = A x ( t) i + A y (t ) j + A z ( t)k (suponemos que los ejes de coordenadas no giran en el espacio, de forma que los versores de los ejes no varían con el tiempo). Supongamos que en el intervalo de tiempo Δt las proyecciones del vector reciben un incremento ΔAx, ΔAy, ΔAz. El vector recibirá un incremento     ΔA = ΔA x i + ΔA y j + ΔA zk  La velocidad de variación del vector A con el tiempo puede ser caracterizada  por la razón entre ΔA y ∆t:  ΔA ΔA x  ΔA y  ΔA z  = i+ j+ k Δt Δt Δt Δt  Esta razón nos proporciona la velocidad media de variación de A durante el intervalo de tiempo ∆t. Mientras menor es el intervalo ∆t, mayor será la  ΔA precisión con la que la magnitud caracterizará la velocidad de variación de Δt  A en el momento de tiempo t que precede al intervalo ∆t.La velocidad de  variación del vector A en el momento de tiempo t es igual al límite de la razón  la velocidad de variación de A es:  ΔA y  ΔA ΔA x  ΔA z  lím = lím i + lím j + lím k Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt Si conocemos cierta función f(t) del argumento t, el límite de la razón entre el incremento de la función ∆f y el incremento del argumento Δt, obtenido cuando Δt tendía a cero, recibe el nombre de derívala de la función f por t y se designa por

df . Expresada por: dt  dA dA x  dA y  dA z  = i+ j+ k dt dt dt dt

En física, las derivadas por el tiempo, se expresan con un punto encima,   dϕ • d2ϕ •• dA • d2 A •• =ϕ =ϕ =A =A dt dt 2 dt dt 2

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Entonces: • •  •  •  A = Ax i + Ay j + Az k

 El radio vector r ( t ) de un punto en movimiento, • •  •  •  r = x i + y j + zk Donde x, y, z, son funciones del tiempo x(t), y(t), z(t) Diferencial Se llama diferencial («incremento») de f(t) la expresión df = f ' dt Donde f’ es la derivada de f por t.  La diferencial («incremento») del vector A es     dA = dA x i + dA y j + dA zk Para el radio vector,     d r = dx i + dy j + dzk El incremento de una función durante un intervalo de tiempo ∆t muy pequeño, pero finito, es aproximadamente Δf ≈ f ' Δt =

df Δt dt

En el límite, para Δt → 0 la igualdad aproximada sé convierte en la igualdad precisa. Para la función vectorial, una fórmula análoga:   dA ΔA ≈ Δt dt Derivada de un producto de funciones. Examinemos la función     B( t) = ϕ( t )A( t) o brevemente B = ϕ A φ(t) es la función escalar   A( t) y B( t) son funciones vectorial  El incremento de B( t)      ΔB = Δ(ϕA) = (ϕ + Δϕ)( A + ΔA) − ϕA

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3 de 5     ΔB = ϕΔA + AΔϕ + ΔϕΔA

Otra forma del incremento es:     dϕ dA dϕ dA ΔB ≈ ϕ Δt + A Δt + ( Δt ) 2 dt dt dt dt de donde    ΔB dA  dϕ dϕ dA ≈ϕ +A + Δt Δt dt dt dt dt En el límite, con Δt → 0 , esta igualdad aproximada se convierte en una igualdad precisa. Así, pues,      dA  dϕ dϕ dA  dB ΔB = lím = lím  ϕ +A + Δt  dt Δt →0 Δt Δt →0 dt dt dt dt  Los dos primeros sumandos no dependen de ∆t y, por lo tanto, durante el paso al límite no varían. El límite del tercer sumando es nulo. Por consiguiente,   sustituyendo B por ϕA obtenemos:  • •  d  dA  dϕ ( ϕA ) = ϕ +A = ϕ A+ ϕ A dt dt dt Derivada del producto escalar.   De dos funciones vectoriales A( t) y B( t) . El incremento de este producto es         Δ( A ⋅ B) = ( A + ΔA)(B + ΔB) − A ⋅ B         Δ( A ⋅ B) = AΔB + BΔA + ΔA ⋅ ΔB    •  • • • 2 Δ( A ⋅ B) = A ⋅ B Δt + B ⋅ A Δt + A⋅ B( Δt ) De aquí    •  • • • d   Δ( A ⋅ B) ( A ⋅ B) = lím = lím ( A ⋅ B+ B ⋅ A + A⋅ B Δt) Δt → 0 Δt → 0 dt Δt o definitivamente  •  • d   ( A ⋅ B) = A ⋅ B+ B ⋅ A dt Multiplicando por dt obtenemos la diferencial:       d( A ⋅ B) = A ⋅ dB + B ⋅ dA La derivada y la diferencial del cuadrado de una función vectorial.

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Según lo anterior  • d 2 A = 2A ⋅ A dt    d( A 2 ) = 2 A ⋅ dA  Considerando que A 2 = A 2   2 A ⋅ dA = d( A 2 ) o bien

   A2   A ⋅ dA = d  2 

Derivada del producto vectorial El incremento del producto vectorial es        Δ( A × B) = [( A + ΔA)x(B + ΔB)] − ( A × B)        Δ( A × B) = ( AxΔB) + ( ΔAxB) + ( ΔA × ΔB) •    • •  • Δ( A × B) ≈ ( Ax B Δt) + ( A ΔtxB) + ( A Δt × B Δt)

Correspondientemente    • •  • • d( A × B) = lím {( Ax B) + ( A xB) + ( A× B)Δt } Δt → 0 dt Pasando al límite, llegamos a la fórmula    • •  d( A × B) = ( Ax B) + ( A xB) dt Derivada de un vector unitario.

  Examinemos el versor µ A del vector A . Supongamos que durante un intervalo   muy pequeño de tiempo ∆t el vector A y, junto con éste, el versor µ A gira a un ángulo ∆φ.  Con ∆φ pequeño el módulo del vector Δµ A es, aproximadamente, igual al ángulo ∆φ

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5 de 5  Δµ A ≈ Δϕ

 (el segmento que representa Δµ A es la base de un triángulo isósceles con caras iguales a la unidad). Indiquemos que mientras menor sea ∆φ, con mayor precisión se observa la igualdad aproximada que hemos escrito.



El propio vector ∆µ A puede ser representado por

   ∆ µ A = ∆ µ A ⋅ µ ∆ µ ≈ ∆ ϕ ⋅ µ ∆µ   donde µ ∆µ es el versor del vector ∆µ A . Cuando ∆φ tiende a cero, el versor   µ ∆µ girará y en el límite coincidirá con el vector unitario µ ⊥ , perpendicular al  vector µ A .  La derivada de µ A con respecto t es, por definición, igual a   dµ A Δµ A Δϕ  dϕ  = lím = lím µ Δµ = µ⊥ Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt dt dt De este modo, •  • µA = ϕµ⊥

La magnitud •

ϕ=

dϕ dt

  es la velocidad angular de rotación del vector A . El versor µ ⊥ yace en el  mismo plano por el que gira en el momento dado el vector A , con la particularidad de que está dirigido hacia el lado en el que transcurre la rotación.

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