1 Calcula El Sen 3x 5x3d4j
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1 Calcula el sen 3x, en función de sen x. 2 Calcula el sen x, cos x y tg x; en función de tg x/2. 3Resuelve las ecuaciones trigonométricas: 1 2
3
4 Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas:
5 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
Examen resuelto de Trigonometría I
1 Calcula el sen 3x, en función de sen x.
2 Calcula el sen x, cos x y tg x; en función de tg x/2.
3 Resuelve las ecuaciones trigonométricas : 1
2
3
4 Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas:
5 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
Identidades trígonométricas fundamentales Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1 Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
Razones trigonométricas Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
Teorema de los senos Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.
Teorema del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
Teorema de las tangentes
Área de un triángulo El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.
El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.
El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.
Fórmula de Herón:
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: 1Grado sexagesimal (°) : Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). 2 Radián (rad): Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
Razones trigonométricas Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Razones trigonométricas de cualquier ángulo Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de
coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa. -1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1
Signo de las razones trigonométricas
Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º
Razones trigonométricas del ángulo de 45º
Razones trigonométricas de ángulos notables
Relaciones trígonométricas fundamentales
sen² α + cos² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos que se diferencian en 180°
Ángulos opuestos
Ángulos negativos
Mayores de 360º
Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad
Ángulos que suman en 270º ó 3/2 π rad
Ángulos que difieren en 270º ó 3/2 π rad
Resolución de triángulos rectángulos 1. Se conocen la hipotenusa y un cateto.
2. Se conocen los dos catetos
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo.
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo.
Razones trigonométricas Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
Teorema de los senos Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.
Teorema del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
Teorema de las tangentes
Área de un triángulo El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.
El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.
El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.
Fórmula de Herón:
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
2 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo. 3 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo. 4 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo. 5 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo. 6 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo. 7 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo. 8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo. 9 Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
10 Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
11 Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°.
12 Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
13 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
14 La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
15 Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.
16Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
Problemas resueltos de triángulos acutángulos y obtusángulos
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 1 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
sen B = 280/415 = 0.6747
B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′ c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
Problemas resueltos de triángulos rectángulos
2 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.
tg B = 33/21 = 1.5714
B = 57° 32′
C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′ a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 3 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.
C = 90° - 22° = 68° b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22°
c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 4 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo
C = 90° - 37° = 53º a = b/sen B
a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 5 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 6 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 7 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 9 Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 10 Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 11 Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 12 Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 13 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 14 La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 15 Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 16
Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
Problema 1 Calcular el valor de K, en: senx (ctgx - tgx) = K (sec²x - 1)(ctgx - 1)(tgx + 1) Solución: Primero hallemos el valor de: (ctgx-1)(tgx+1) = ( ctgx . tgx + ctgx - tgx - 1 ) ......................= ( ........1......+ ctgx - tgx - 1) (ctgx-1)(tgx+1) = ( ctgx - tgx )............................( I ) Se sabe que: 1 + tg²x = sec²x
sec²x - 1 = tg²x............................( II ) Luego : ........senx (ctgx - tgx) = K (sec²x - 1)(ctgx - 1)(tgx + 1) Reemplazando ( I ) y ( II ) en el problema. ........senx(ctgx-tgx) = K(tg²x )( ctgx - tgx ). ........senx = K ( tg²x ) ........................sen²x ........senx = K ----------........................cos²x ..................cos²x ........senx ---------- = K ..................sen²x ...................cos²x ................. --------- = K ...................senx o también: ..................cosx ................. ------ . cosx = K ..................senx ..................(ctgx)(cosx) = K
Problema 2
Solución:
Recordando la regla de dividir fracciones (multiplicar extremos y medios):
Recordando productos notables:
Problema 3
A una cierta hora del día, un asta de bandera de 3 m de altura da una sombra
de 80 cm como lo indica la figura. En ese mismo instante un árbol cercano da una sombra de 1,20 m (ver figura) ¿Qué altura tendrá el árbol? A. 7,5 m B. 6 m C. 4,5 m D. 3,6 m E. 2 m Solución: En el siguiente gráfico denotamos con la linea de color azul los rayos del sol:
Del gráfico de la bandera tenemos que:
Que sea: Altura del árbol : h Del gráfico del árbol tenemos que:
Reemplazando el valor de la tgӨ, en la expresión anterior, tenemos:
Identidades trigonométricas (Redirigido desde Identidades trigonometricas) Saltar a: navegación, búsqueda Este artículo o sección sobre matemáticas necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo. Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 9 de abril de 2011. También puedes ayudar wikificando otros artículos.
Todas las funciones en O.
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas). Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Contenido
1 Relaciones básicas 2 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos 3 Identidades del ángulo múltiple o 3.1 Identidades del ángulo doble, triple y medio o 3.2 Producto infinito de Euler 4 Identidades para la reducción de exponentes 5 Paso de producto a suma o 5.1 Deducción de la identidad 6 Paso de suma a producto 7 Paso de diferencia de cuadrados a producto o 7.1 Deducción 8 Eliminar seno y coseno 9 Funciones trigonométricas inversas o 9.1 Composición de funciones trigonométricas
10 Fórmula de productos infinitos 11 Fórmula de Euler 12 Historia 13 Teorema del seno o 13.1 Demostración o 13.2 Aplicación 14 Definiciones exponenciales 15 Véase también 16 Referencias 17 Enlaces externos
Relaciones básicas Relación pitagórica Identidad de la razón
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ. Funciones trigonométricas en función de las otras cinco. se n co s ta n
cot
sec
csc
De las definiciones de las funciones trigonométricas:
Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):
A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora). Por ejemplo, si se divide ambos por cos², se tiene:
Calculando la recíproca de la expresión anterior:
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
Ejemplo 2:
Utilizando la identidad
Entonces:
Pero
sustituimos en
:
Realizamos las operaciones necesarias y queda:
Entonces los cosenos se hacen 1 y queda
Y queda demostrado. El resto de las funciones se realiza de manera análoga.
Teoremas de la suma y diferencia de ángulos Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.
De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:
Para ángulos complementarios:
Para ángulos opuestos:
Identidades del ángulo múltiple Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces
Fórmula de De Moivre:
Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando . Fórmula del ángulo doble
Fórmula del ángulo triple
Fórmula del ángulo medio
Producto infinito de Euler
Identidades para la reducción de exponentes Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x). Seno Cose no Otros
Paso de producto a suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos .
Deducción de la identidad
Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:
Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos: 1): 2): Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que: 3): Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:
Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:
Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:
Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores. Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:
Notar el cambio de signo.
Paso de suma a producto Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:
Paso de diferencia de cuadrados a producto
Deducción
1) recordando:que cateto opuesto sobre cateto adyacente
multiplicando
Sabemos que:
el la primera ecuación transponemos
y en la segunda
De tal manera que obtendremos:
aplicando esto en la ecuación inicial
multiplicando
De una manera análoga se halla el segundo teorema.
Eliminar seno y coseno A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
Funciones trigonométricas inversas
Composición de funciones trigonométricas
Fórmula de productos infinitos Seno
Coseno
Fórmula de Euler
Historia Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.1 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos: «En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.» Euclides, Elementos.2
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani3 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.4 5 Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,6 matemático de la escuela de Samarcanda, de
poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.7 Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.8
Teorema del seno En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C
Demostración
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por A su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP. Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales. La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece: Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa: En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita. Aplicación
El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.
Definiciones exponenciales Función
Función inversa
Véase también
Trigonometría Función trigonométrica Seno, coseno, tangente
Referencias 1. ↑
Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918. 2. ↑ «Proposición 12 del libro II de Los Elementos de Euclides». 3. ↑ «Esquema del desarrollo histórico de la matemática» págs. pág. 6. Universidad Nacional del Nordeste. 4. ↑ J J O'Connor y E F Robertson. «Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani» (en inglés) (html). Consultado el 08-06-2008. 5. ↑ «La trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi» (en catalán) (html). Consultado el 08-06-2008. 6. ↑ «Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud» (en francés). 7. ↑ Viète, François (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC 165919384. 8. ↑ Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.
Ejercicios de identidades trigonométricas Comprobar las identidades trigonométricas: 1
2
3
4
5
6
7
Simplificar las fracciones:
1
2
3
13 Fórmulas y ecuaciones trigonométricas Repaso de trigonometría
> Razones trigonométricas de un ángulo situado en el primer cuadrante. Ejemplos
> Ángulos complementarios, suplementarios, opuestos.
Fórmulas trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas
Ejercicios
24 Problemas Resueltos de Trigonometría(Miscelanea) Posted on 24/12/2009
Comprobar las identidades: Problema Nº 1:
Problema Nº 2:
Simplificar las fracciones: Problema Nº 3:
Problema Nº 4:
Problema Nº 5:
Problema Nº 6: Calcular las razones de 15º (a partir de las de 45º y 30º).
Problema Nº 7: Desarrollar: cos(x+y+z)
Resuelve las ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 8:
Problema Nº 9:
Resuelve las ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 10:
Problema Nº 11:
Resuelve las ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 12:
Problema Nº 13:
Resuelve los sistemas de ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 14:
Problema Nº 15:
Problema Nº 16:
Problema Nº 17: El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
Problema Nº 18 Calcula el sen 3x, en función de sen x.
Problema Nº 19 Calcula el sen x, cos x y tg x; en función de tg x/2.
Resuelve las ecuaciones trigonométricas : Problema Nº 20
Problema Nº 21
Problema Nº 22
Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 23
Problema Nº 24 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15′. Calcular los lados.
3
4 Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas:
5 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
Examen resuelto de Trigonometría I
1 Calcula el sen 3x, en función de sen x.
2 Calcula el sen x, cos x y tg x; en función de tg x/2.
3 Resuelve las ecuaciones trigonométricas : 1
2
3
4 Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas:
5 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
Identidades trígonométricas fundamentales Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1 Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
Razones trigonométricas Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
Teorema de los senos Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.
Teorema del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
Teorema de las tangentes
Área de un triángulo El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.
El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.
El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.
Fórmula de Herón:
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: 1Grado sexagesimal (°) : Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). 2 Radián (rad): Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
Razones trigonométricas Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Razones trigonométricas de cualquier ángulo Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de
coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa. -1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1
Signo de las razones trigonométricas
Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º
Razones trigonométricas del ángulo de 45º
Razones trigonométricas de ángulos notables
Relaciones trígonométricas fundamentales
sen² α + cos² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos que se diferencian en 180°
Ángulos opuestos
Ángulos negativos
Mayores de 360º
Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad
Ángulos que suman en 270º ó 3/2 π rad
Ángulos que difieren en 270º ó 3/2 π rad
Resolución de triángulos rectángulos 1. Se conocen la hipotenusa y un cateto.
2. Se conocen los dos catetos
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo.
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo.
Razones trigonométricas Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
Teorema de los senos Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.
Teorema del coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
Teorema de las tangentes
Área de un triángulo El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.
El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.
El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.
Fórmula de Herón:
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
2 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo. 3 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo. 4 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo. 5 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo. 6 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo. 7 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo. 8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo. 9 Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
10 Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
11 Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°.
12 Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
13 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
14 La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
15 Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.
16Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
Problemas resueltos de triángulos acutángulos y obtusángulos
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 1 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
sen B = 280/415 = 0.6747
B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′ c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
Problemas resueltos de triángulos rectángulos
2 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.
tg B = 33/21 = 1.5714
B = 57° 32′
C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′ a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 3 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.
C = 90° - 22° = 68° b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22°
c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 4 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo
C = 90° - 37° = 53º a = b/sen B
a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 5 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 6 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 7 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 9 Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 10 Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 11 Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 12 Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 13 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 14 La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 15 Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.
Problemas resueltos de triángulos rectángulos 16
Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
Problema 1 Calcular el valor de K, en: senx (ctgx - tgx) = K (sec²x - 1)(ctgx - 1)(tgx + 1) Solución: Primero hallemos el valor de: (ctgx-1)(tgx+1) = ( ctgx . tgx + ctgx - tgx - 1 ) ......................= ( ........1......+ ctgx - tgx - 1) (ctgx-1)(tgx+1) = ( ctgx - tgx )............................( I ) Se sabe que: 1 + tg²x = sec²x
sec²x - 1 = tg²x............................( II ) Luego : ........senx (ctgx - tgx) = K (sec²x - 1)(ctgx - 1)(tgx + 1) Reemplazando ( I ) y ( II ) en el problema. ........senx(ctgx-tgx) = K(tg²x )( ctgx - tgx ). ........senx = K ( tg²x ) ........................sen²x ........senx = K ----------........................cos²x ..................cos²x ........senx ---------- = K ..................sen²x ...................cos²x ................. --------- = K ...................senx o también: ..................cosx ................. ------ . cosx = K ..................senx ..................(ctgx)(cosx) = K
Problema 2
Solución:
Recordando la regla de dividir fracciones (multiplicar extremos y medios):
Recordando productos notables:
Problema 3
A una cierta hora del día, un asta de bandera de 3 m de altura da una sombra
de 80 cm como lo indica la figura. En ese mismo instante un árbol cercano da una sombra de 1,20 m (ver figura) ¿Qué altura tendrá el árbol? A. 7,5 m B. 6 m C. 4,5 m D. 3,6 m E. 2 m Solución: En el siguiente gráfico denotamos con la linea de color azul los rayos del sol:
Del gráfico de la bandera tenemos que:
Que sea: Altura del árbol : h Del gráfico del árbol tenemos que:
Reemplazando el valor de la tgӨ, en la expresión anterior, tenemos:
Identidades trigonométricas (Redirigido desde Identidades trigonometricas) Saltar a: navegación, búsqueda Este artículo o sección sobre matemáticas necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo. Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 9 de abril de 2011. También puedes ayudar wikificando otros artículos.
Todas las funciones en O.
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas). Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Contenido
1 Relaciones básicas 2 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos 3 Identidades del ángulo múltiple o 3.1 Identidades del ángulo doble, triple y medio o 3.2 Producto infinito de Euler 4 Identidades para la reducción de exponentes 5 Paso de producto a suma o 5.1 Deducción de la identidad 6 Paso de suma a producto 7 Paso de diferencia de cuadrados a producto o 7.1 Deducción 8 Eliminar seno y coseno 9 Funciones trigonométricas inversas o 9.1 Composición de funciones trigonométricas
10 Fórmula de productos infinitos 11 Fórmula de Euler 12 Historia 13 Teorema del seno o 13.1 Demostración o 13.2 Aplicación 14 Definiciones exponenciales 15 Véase también 16 Referencias 17 Enlaces externos
Relaciones básicas Relación pitagórica Identidad de la razón
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ. Funciones trigonométricas en función de las otras cinco. se n co s ta n
cot
sec
csc
De las definiciones de las funciones trigonométricas:
Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):
A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora). Por ejemplo, si se divide ambos por cos², se tiene:
Calculando la recíproca de la expresión anterior:
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
Ejemplo 2:
Utilizando la identidad
Entonces:
Pero
sustituimos en
:
Realizamos las operaciones necesarias y queda:
Entonces los cosenos se hacen 1 y queda
Y queda demostrado. El resto de las funciones se realiza de manera análoga.
Teoremas de la suma y diferencia de ángulos Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.
De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:
Para ángulos complementarios:
Para ángulos opuestos:
Identidades del ángulo múltiple Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces
Fórmula de De Moivre:
Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando . Fórmula del ángulo doble
Fórmula del ángulo triple
Fórmula del ángulo medio
Producto infinito de Euler
Identidades para la reducción de exponentes Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x). Seno Cose no Otros
Paso de producto a suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos .
Deducción de la identidad
Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:
Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos: 1): 2): Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que: 3): Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:
Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:
Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:
Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores. Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:
Notar el cambio de signo.
Paso de suma a producto Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:
Paso de diferencia de cuadrados a producto
Deducción
1) recordando:que cateto opuesto sobre cateto adyacente
multiplicando
Sabemos que:
el la primera ecuación transponemos
y en la segunda
De tal manera que obtendremos:
aplicando esto en la ecuación inicial
multiplicando
De una manera análoga se halla el segundo teorema.
Eliminar seno y coseno A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
Funciones trigonométricas inversas
Composición de funciones trigonométricas
Fórmula de productos infinitos Seno
Coseno
Fórmula de Euler
Historia Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.1 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos: «En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.» Euclides, Elementos.2
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani3 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.4 5 Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,6 matemático de la escuela de Samarcanda, de
poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.7 Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.8
Teorema del seno En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C
Demostración
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por A su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP. Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales. La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece: Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa: En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita. Aplicación
El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.
Definiciones exponenciales Función
Función inversa
Véase también
Trigonometría Función trigonométrica Seno, coseno, tangente
Referencias 1. ↑
Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918. 2. ↑ «Proposición 12 del libro II de Los Elementos de Euclides». 3. ↑ «Esquema del desarrollo histórico de la matemática» págs. pág. 6. Universidad Nacional del Nordeste. 4. ↑ J J O'Connor y E F Robertson. «Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani» (en inglés) (html). Consultado el 08-06-2008. 5. ↑ «La trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi» (en catalán) (html). Consultado el 08-06-2008. 6. ↑ «Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud» (en francés). 7. ↑ Viète, François (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC 165919384. 8. ↑ Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.
Ejercicios de identidades trigonométricas Comprobar las identidades trigonométricas: 1
2
3
4
5
6
7
Simplificar las fracciones:
1
2
3
13 Fórmulas y ecuaciones trigonométricas Repaso de trigonometría
> Razones trigonométricas de un ángulo situado en el primer cuadrante. Ejemplos
> Ángulos complementarios, suplementarios, opuestos.
Fórmulas trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas
Ejercicios
24 Problemas Resueltos de Trigonometría(Miscelanea) Posted on 24/12/2009
Comprobar las identidades: Problema Nº 1:
Problema Nº 2:
Simplificar las fracciones: Problema Nº 3:
Problema Nº 4:
Problema Nº 5:
Problema Nº 6: Calcular las razones de 15º (a partir de las de 45º y 30º).
Problema Nº 7: Desarrollar: cos(x+y+z)
Resuelve las ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 8:
Problema Nº 9:
Resuelve las ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 10:
Problema Nº 11:
Resuelve las ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 12:
Problema Nº 13:
Resuelve los sistemas de ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 14:
Problema Nº 15:
Problema Nº 16:
Problema Nº 17: El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
Problema Nº 18 Calcula el sen 3x, en función de sen x.
Problema Nº 19 Calcula el sen x, cos x y tg x; en función de tg x/2.
Resuelve las ecuaciones trigonométricas : Problema Nº 20
Problema Nº 21
Problema Nº 22
Resuelve el sistema de ecuaciones trigonométricas: Problema Nº 23
Problema Nº 24 Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15′. Calcular los lados.
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