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IL MANOVELLISMO DI SPINTA ROTATIVA

1. Descrizione del meccanismo Il manovellismo di spinta è un meccanismo articolato costituito dai seguenti organi (fig. 1.1): -

una manovella, di lunghezza r, incernierata al telaio nel punto A; un corsoio o pistone vincolato al telaio mediante una guida lineare (g) che gli consente di traslare lungo l’asse x; una biella, di lunghezza l, vincolata alla manovella (nel punto B) ed al corsoio (nel punto C), mediante due cerniere.

Fig. 1.1 Il manovellismo presenta quindi tre coppie rotoidali (telaio-manovella, manovella-biella e biellacorsoio) e da una coppia prismatica (corsoio-telaio); facendo l’ipotesi che tutti i membri siano rigidi e che vi sia assenza di gioco tra gli stessi, dalla regola del Grübler si constata che il meccanismo ha un solo grado di libertà. Nel seguito ci si riferisce ad un manovellismo centrato, avente cioè l’asse della guida lineare che interseca l’asse di rotazione della manovella (nel punto A). Il manovellismo converte il moto traslatorio alternativo del corsoio nel moto rotatorio della manovella o viceversa ed è adottato in molti tipi di macchine. Nelle macchine motrici alternative trasforma il moto alternativo del pistone (movente) nel moto rotatorio della manovella (cedente); nelle macchine generatrici (es. compressori alternativi) e nelle macchine operatrici (ad esempio per la movimentazione delle lame delle seghe alternative, delle porte scorrevoli degli ascensori, etc.) la manovella funge da movente, mentre il corsoio ha funzione di cedente. Nel caso delle macchine motrici e generatrici, la coppia cinematica corsoio-telaio è costituita da un pistone che scorre a tenuta d’aria in un cilindro. La manovella si muove di moto rotatorio intorno all’asse di traccia A mentre il punto C del corsoio si sposta alternativamente lungo il segmento C1C2 ; tali due punti, detti rispettivamente punto esterno (o punto morto superiore) e punto interno (o punto morto inferiore), vengono raggiunti dal corsoio quando la biella si allinea con la manovella (Fig.1.2); in tali posizioni il corsoio inverte il senso del moto ed assume quindi velocità nulla. La distanza C1C 2 è detta corsa del corsoio e vale 2r. I punti B e C della biella si muovono rispettivamente di moto rotatorio e traslatorio; tutti gli altri punti della biella si muovono di moto rototraslatorio. 1

Fig. 1.2 Una delle applicazioni più note del manovellismo è quella della macchine motrici alternative; tale meccanismo è stato adottato in ato nelle motrici a vapore ed attualmente nei motori a combustione interna (MCI). In figura 1.3 è riportata una rappresentazione assonometrica esplosa dalla quale è possibile individuare i principali elementi che lo costituiscono.

Fig. 1.3

2 – Analisi cinetostatica Si immagini di imporre alla manovella una velocità angolare costante ω ; si indichi con ϑ l’angolo che la manovella forma con l’asse della guida del corsoio e con φ l’angolo che la biella forma con lo stesso asse (Fig. 1.1). Si consideri una coppia d’assi di riferimento con origine in A e con l’asse x disposto lungo l’asse della guida del corsoio (asse del manovellismo) ed orientato verso il punto C. La posizione xc del corsoio, in funzione dell’angolo ϑ, può ricavarsi mediante la condizione di chiusura del poligono dei vettori dell’anello cinematico che esprime la congruenza geometrica del sistema nella generica posizione fissata da ϑ : ( B − A) + (C − B ) = (C − A)

Proiettando sugli assi x ed y tale equazione vettoriale si ottengono le seguenti equazioni scalari:

2

⎧r cos ϑ + l cos φ = x c ⎨ ⎩r sen ϑ − l senφ = 0

(2.1)

Per ricavare la funzione: xc= xc (ϑ), è necessario esprimere l’angolo φ in funzione di ϑ ; dalla seconda equazione delle (2.1) si ha: 1 r sin φ = sin ϑ = sin ϑ , l μ

essendo: μ =

r il rapporto caratteristico del manovellismo (che in generalmente assume valore l

prossimo a 4). Risulta pertanto: cos φ = ± 1 − sin 2 φ = ± 1 −

sin 2 ϑ

μ

2

=±

1

μ

μ 2 − sin 2 ϑ

Il cos φ può essere solo positivo perché ad un valore negativo corrisponde un angolo φ > π / 2 non compatibile con la geometria del meccanismo. Dalla (2.1) si ha:

xc = r cos ϑ + l

1

μ

μ 2 − sin 2 ϑ = r ⎛⎜ cos ϑ + μ 2 − sin 2 ϑ ⎞⎟ ⎝

(2.2)

⎠

Se si impone alla manovella una velocità di rotazione ω = ϑ& = cos t ; ⇒ ϑ = ωt , dalla (2.2) si vede che il moto del corsoio non è armonico. In prima approssimazione si può però trascurare il termine sin2ϑ (al più pari ad 1) rispetto a μ2 (che vale circa 16). Con tale approssimazione xc assume la seguente espressione armonica (fig. 2.1): xc ( I ) = r (cos ϑ + μ ) = r cos ϑ + l

(2.3)

Derivando la (2.2) si ottiene l’espressione della velocità del punto C: vc =

⎛ dx c dϑ − 2 sin ϑ cos ϑ = ωr ⎜⎜ − sin ϑ + dϑ dt ⎜ 2 μ 2 − sin 2 ϑ ⎝

⎛ ⎞ sin 2ϑ ⎟ = −ωr ⎜ sin ϑ + ⎜⎜ ⎟⎟ 2 μ 2 − sin 2 ϑ ⎝ ⎠

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

(2.4)

Facendo le stesse ipotesi semplificative ( μ 2 >> sin 2 ϑ ) si ottiene la seguente espressione di seconda approssimazione: ⎛ sin 2ϑ ⎞ ⎟ vc ( II ) = −ωr ⎜⎜ sin ϑ + (2.5) 2μ ⎟⎠ ⎝ Trascurando il secondo termine in parentesi (diviso per: 2μ ≈ 8) rispetto al primo, si ha l’espressione della velocità di prima approssimazione: vc ( I ) = −ωr sin ϑ

La (2.6) può ottenersi anche derivando direttamente la (2.3).

3

(2.6)

Derivando la (2.4) si ottiene l’espressione della accelerazione del punto C. Spesso si utilizza una espressione dell’accelerazione di seconda approssimazione ricavabile direttamente derivando la (2.5): ⎛ cos 2ϑ ⎞ ⎟ wc ( II ) = −ω 2 r ⎜⎜ cos ϑ + μ ⎟⎠ ⎝

(2.7)

L’accelerazione del punto C è costituita da due termini indicati rispettivamente con il nome di: -

accelerazione del primo ordine:

wc' = −ω 2 r cos ϑ ;

ω 2r cos 2ϑ . μ In figura 2.2 è riportato il diagramma delle due componenti e la loro somma dalla quale si vede che la massima accelerazione del corsoio, in valore assoluto, si raggiunge per ϑ = 0 e cioè in corrispondenza del punto interno (o punto morto inferiore).

-

accelerazione del secondo ordine: wc" = −

Fig. 2.2 (mc=0.535kg; r=0.0375m; μ=3.55; ω=300rad/s) 3 – Le forze d’inerzia La manovella (fig. 3.1) è costituita da due perni di banco (impegnati in altrettanti cuscinetti di banco), collegati al bottone di manovella mediane i due bracci di manovella. Il baricentro G della manovella si trova a distanza e dall’asse di rotazione e pertanto durante la rotazione è sede di una forza centrifuga pari a: Fc = M mω 2 e essendo Mm la massa complessiva della manovella. Per la determinazione delle forze d’inerzia del manovellismo conviene sostituire alla massa Mm concentrata in G una massa Mmb concentrata nel punto B che generi la stessa forza centrifuga: Fc = M mω 2 e = M mbω 2 r

⇒

M mb = M m

e r

In luogo della massa della biella è possibile considerare il corrispondente sistema equivalente costituito da due masse, m’ ed m”, concentrate rispettivamente in C e B. 4

Fig. 3.1

Le forze d’inerzia del manovellismo possono essere valutate considerando soltanto le seguenti due masse concentrate: - MC=Ma+ m’ = massa concentrata nel punto C, somma della massa Ma dotata di moto alternativo (corsoio, spinotto, fasce elastiche, ecc.) e della massa m’ della biella; - MB=Mmb+ m”, massa concentrata nel punto B, somma della massa Mmb della manovella e della massa m” della biella; La massa MC è dotata di moto traslatorio alternativo; la massa MB è dotata di moto rotatorio. Non vi sono masse dotate di moto rototraslatorio. Poiché la manovella ruota con velocità ω costante, si ha che: - l’accelerazione centripeta del punto B vale: wB = ω 2 r e la forza d’inerzia rotante centrifuga, applicata nel punto B, risulta (fig. 3.2): Fir = − M B wb = − M B ω 2 r

-

(3.1)

adottando l’espressione di seconda approssimazione fornita dalla (2.7), la forza d’inerzia alternativa, applicata nel punto C, vale (fig. 3.2): ⎛ cos 2ϑ ⎞ ⎟ Fia = − M c wc ( II ) = M c ω 2 r ⎜⎜ cos ϑ + μ ⎟⎠ ⎝

(3.2)

Tale forza è costituita da due componenti armoniche dette rispettivamente: Fia' = M cω 2 r cos ωt ;

-

forza d’inerzia alternativa del primo ordine:

-

forza d’inerzia alternativa del secondo ordine: Fia" =

5

M cω 2 r

μ

cos 2ωt .

(3.3) (3.4)

Fig. 3.2 Le forze d’inerzia periodiche che nascono durante il movimento del meccanismo, attraverso i vincoli esterni (cuscinetto di banco e guida del corsoio), si trasmettono al telaio della macchina e da questa alla struttura di sostegno che viene pertanto forzata a vibrare. E’ quindi necessario cercare di bilanciare, per quanto possibile, tali forze per evitare che la struttura vibri con ampiezze che possono diventare molto grandi in condizioni di risonanza. Si noti che spesso lo spostamento del pistone non viene computato a partire dal punto A ma dal punto esterno del pistone C2. Indicata con sc la distanza C2C (Fig. 3.3), le formule di prima approssimazione forniscono espressioni della velocità e dell’accelerazione del punto C di segno opposto a quelle già determinate: sc = l + r − xc = l + r − (r cosϑ + l ) = r (1 − cosϑ ); s&c = rω sin ϑ ; &s&c = rω 2 cos ϑ.

Fig. 3.3

4 – Bilanciamento delle forze d’inerzia La forza d’inerzia rotante può essere bilanciata disponendo, sul prolungamento delle manovelle, due masse mk, dette contrappesi (fig. 4.1), in grado di generare una forza centrifuga uguale ed opposta a quella definita dalla (3.1). Osservando la (3.3) si nota che l’espressione della forza d’inerzia alternativa del primo ordine può essere interpretata come quella di una forza centrifuga generata da una massa Mc , rotante con velocità ω, e posta a distanza r dall’asse di rotazione; di tale forza centrifuga però esiste la sola componente sull’asse x del manovellismo. Analogamente dalla (3.4) si nota che l’espressione della forza d’inerzia alternativa del secondo ordine è quella di una forza centrifuga generata alla massa Mc/μ, rotante con velocità 2ω e posta a distanza r dall’asse di rotazione. Tale forza si può immaginare disposta nel punto B di una

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manovella fittizia che in ogni istante è ruotata di 2ϑ rispetto all’asse del cilindro; anche per tale forza esiste la sola componente sull’asse del manovellismo x (Fig.4.2).

Fig. 4.1

Fig. 4.2 Le due forze d’inerzia alternative possono essere bilanciate, separatamente, disponendo per ciascuna di esse un meccanismo, detto vibrodina, costituito da due dischi controrotanti su ciascuno dei quali è fissata una massa eccentrica in grado di generare una forza centrifuga F (Fig.4.3) le cui componenti orizzontali (Fo) si bilanciano tra loro mentre quelle verticali (Fv) si sommano e danno luogo ad una forza armonica di modulo pari a 2Fv agente lungo la direzione verticale. Per bilanciare le sole forze d’inerzia alternative del primo ordine si può pertanto utilizzare una vibrodina (Fig. 4.4) con dischi rotanti alla velocità ω, pari a quella della manovella, in grado di generare una azione verticale, di modulo pari a 2Fv che, istante per istante, sia uguale e contraria alla F’ia. Se si desidera bilanciare anche la forza d’inerzia alternativa del secondo ordine (di modulo pari a circa 1/4 di quella del primo ordine) è necessario disporre un’ulteriore vibrodina avente dischi rotanti con velocità 2ω. Il bilanciamento delle forze d’inerzia alternative richiede l’introduzione di uno o più meccanismi che, analogamente alla vibrodina, generino delle forze uguali ed opposte alle forze d’inerzia del manovellismo con il conseguente inconveniente di accrescere la massa complessiva, il costo di produzione ed il costo di esercizio dovuto all’assorbimento, da parte del meccanismo, di una 7

aliquota di potenza erogata dalla macchina. Pertanto tali dispositivi non vengono adottati per le macchine di non elevata potenza che devono risultare particolarmente leggere.

Fig. 4.3

Fig. 4.4

Quando è necessario bilanciare le forze d’inerzia alternative, si possono adottare meccanismi più semplici della vibrodina che in genere richiedono un minore numero di componenti meccanici. Una delle soluzioni comunemente adottata per bilanciare la F’ia, è quella dell’albero controrotante (fig. 4.5), riconducibile alla vibrodina. In tal caso vi è un albero che ruota con velocità uguale ed opposta a quella della manovella ed avente una massa eccentrica che durante la rotazione diventa sede di forza centrifuga. La massa rotante con velocità concorde alla manovella è disposta sul prolungamento della manovella. Con riferimento alla figura 4.5 si nota che, anche in tal caso, le componenti orizzontali Fo delle forze centrifughe F si bilanciano e che, se il sistema è opportunamente dimensionato, la risultante di quelle verticali (2Fv) bilancia la forza d’inerzia alternativa del primo ordine; si noti che però tali due forze formano una coppia di braccio d e che quindi è necessario ridurre al minimo la distanza tra gli assi di rotazione della manovella e dell’albero controrotante, rispettivamente di traccia A e D (fig.4.5) per contenere gli effetti del momento di tale coppia armonica. Le forze alternative del secondo ordine restano sbilanciate. Nelle soluzioni costruttive l’albero controrotante ha la caratteristica forma riportata in figura 4.5b (a mannaia) e durante la rotazione la massa eccentrica si inserisce tra i due bracci della manovella in modo da ridurre al massimo la distanza tra assi di rotazione (compatibilmente con l’interferenza tra i due organi). Per evitare di introdurre ulteriori organi meccanici si può realizzare il bilanciamento parziale della forza d’inerzia alternativa del primo ordine. A tal fine dalla figura 4.6a si osserva che la forza d’inerzia alternativa del primo ordine può considerarsi come dovuta a due masse concentrate nei punti B e B’ di entità:

Mc 2 ω r , essendo B’ un punto posto a distanza r su una manovella fittizia 2

rotante con velocità angolare –ω. In ogni istante, le due componenti ortogonali all’asse del

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manovellismo si bilanciano mentre quelle parallele all’asse del manovellismo forniscono una forza armonica la cui espressione è uguale alla (3.3).

Fig. 4.5 a

Fig. 4.5 b

Fig. 4.6 a

Fig. 4.6 b

Da tale schematizzazione si vede che è possibile bilanciare la forza F generata dalla massa concentrata nel punto B disponendo un contrappeso sulla manovella. Resta sbilanciata la forza d’inerzia rotante generata dalla massa concentrata in B’; in luogo della forza alternativa del primo ordine, agente lungo l’asse del manovellismo, si ha una forza rotante, di modulo pari alla metà di quella alternativa del primo ordine e controrotante. Questo metodo di bilanciamento consente di bilanciare parzialmente la forza alternativa del primo ordine; il bilanciamento si consegue incrementando opportunamente la massa dei contrappesi necessari a bilanciare le forze rotanti, senza aumentare il numero degli organi meccanici. Nelle macchine pluricilindriche, i manovellismi vengono disposti in modo che risultino bilanciate, per quanto possibile, le forze di inerzia rotanti ed alternative. 9