3. Matrices De Transformaciones Lineales 2c2k2n

Nombre: Edward Isaac Ayala Hernández Matrícula: 91138 Grupo: K048 Materia: Algebra Lineal Nombre del asesor: Dr. Agustín Leobardo Herrera May Actividad: 3. Matrices de transformaciones lineales Ciudad y fecha: Villahermosa, Tabasco. 27 de enero de 2019

Se puede verificar la primera condición que debe cumplir una transformación lineal, la cual dice que si sumamos dos vectores del espacio original y los transformo después de haberlos sumado el resultado debe ser igual a transformarlos primero y el resultado de ambas transformaciones sumarlas, lo cual se expresa como: 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ ) Debemos demostrar esta condición con vectores genéricos para poder demostrarlo 𝑥1 𝑥2 correctamente, para lo cual asignaremos 𝑢̅ = (𝑦 ) y 𝑣̅ = (𝑦 ). 1 2 Reemplazamos:

𝑇(

𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ )

=

𝑥1 𝑥2 𝑇 [( ) + ( )] 𝑦1 𝑦2

=

𝑥1 + 𝑥2 ) 𝑦1 + 𝑦2

(𝑥1 + 𝑥2 ) + (𝑦1 + 𝑦2 ) ((𝑥1 + 𝑥2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 )) 3(𝑦1 + 𝑦2 )

𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ ) 𝑥1 𝑥2 𝑇( )+𝑇( ) 𝑦1 𝑦2 𝑥1 + 𝑦1 𝑥2 + 𝑦2 (𝑥1 − 𝑦1 ) + (𝑥2 − 𝑦2 ) 3𝑦1 3𝑦2

=

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2 (𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2 ) 3𝑦1 + 𝑦2

=

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2 (𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2 ) 3𝑦1 + 𝑦2 Aquí podemos verificar que la primera condición se cumple de forma correcta. La segunda condición que debe cumplir dice que si transformamos el escalar c multiplicado por el vector 𝑢̅ debe ser igual a transformar primero el vector 𝑢̅ y después de transformarlo, multiplicarlo ̅̅̅̅ 𝑇(𝑐𝑢̅) = 𝑐 𝑇(𝑢)

por

el

escalar

c.

Que

se

expresaría

como:

𝑥1 𝑥1 𝑇 [𝑐 ( )] = 𝑐 𝑇 ( ) 𝑦1 𝑦1 𝑥1 + 𝑦1 𝑐𝑥1 𝑇 ( ) = 𝑐 (𝑥1 − 𝑦1 ) 𝑐𝑦1 3𝑦1 𝑐𝑥1 + 𝑐𝑦1 𝑐𝑥1 + 𝑐𝑦1 (𝑐𝑥1 − 𝑐𝑦1 ) = (𝑐𝑥1 − 𝑐𝑦1 ) 3𝑐𝑦1 3𝑐𝑦1 Aquí verificamos que se cumple la segunda condición por lo cual afirmamos que la transformación es lineal. La tercera condición se cumple de forma automática cuando se cumplen las dos primeras condiciones, dice que si transformas el vector 0 del 𝑢̅ debes obtener el vector 0 del 𝑣̅ . Que se expresa como: 𝑇(0̅𝑢) = 0̅𝑣 𝑥+𝑦 𝑇 (𝑦𝑥 ) = (𝑥 − 𝑦) 3𝑦 0+0 0 0 𝑇 ( ) = (0 − 0) = ( ) 0 0 0

𝑥1 𝑢̅ = (𝑦 )

y

1

Primera

condición:

𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑇 [( ) + ( )] = 𝑇 ( ) + 𝑇 ( ) 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑥1 + 𝑥2 −(𝑥1 + 𝑥2 ) 𝑥1 + 𝑥2 𝑇( )=( )+( ) 𝑦1 + 𝑦2 𝑦1 + 𝑦2 𝑦1 + 𝑦2 −(𝑥1 + 𝑥2 ) −𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥1 + 𝑥2 ( )=( ) 𝑦1 + 𝑦2 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦1 + 𝑦2 −𝑥1 − 𝑥2 0 ( )=( ) 𝑦1 + 𝑦2 2𝑦1 + 2𝑦2 No cumple con la primera condición.

𝑥2 𝑣̅ = (𝑦 ) 2 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ )

Segunda

condición:

̅̅̅̅ 𝑇(𝑐𝑢̅) = 𝑐 𝑇(𝑢)

𝑥1 𝑥1 𝑇 [𝑐 ( )] = 𝑐 𝑇 ( ) 𝑦1 𝑦1 −𝑥1 𝑐𝑥1 𝑇( ) = 𝑐 ( ) 𝑦1 𝑐𝑦1 −𝑐𝑥1 −𝑐𝑥1 = 𝑐𝑦1 𝑐𝑦1 Cumple con la segunda condición pero al no cumplir con la primera condición determinamos que no es una transformación lineal.

𝑥1 𝑢̅ = (𝑦 )

y

1

Primera

condición:

𝑥2 𝑣̅ = (𝑦 ) 2 𝑇(𝑢̅ + 𝑣̅ ) = 𝑇(𝑢̅) + 𝑇(𝑣̅ )

𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑇 [( ) + ( )] = 𝑇 ( ) + 𝑇 ( ) 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑥1 + 𝑥2 −(𝑥1 + 𝑥2 ) 𝑥1 + 𝑥2 𝑇( )=( )+( ) 𝑦1 + 𝑦2 0 0 −(𝑥1 + 𝑥2 ) −𝑥1 − 𝑥2 𝑥1 + 𝑥2 ( )=( )+( ) 0 0 0 −𝑥1 − 𝑥2 0 ( )=( ) 0 0 No cumple con la primera condición. Segunda 𝑥1 𝑥1 𝑇 [𝑐 ( )] = 𝑐 𝑇 ( ) 𝑦1 𝑦1

condición:

̅̅̅̅ 𝑇(𝑐𝑢̅) = 𝑐 𝑇(𝑢)

−𝑥1 𝑐𝑥1 𝑇( ) = 𝑐 ( ) 0 𝑐𝑦1 −𝑐𝑥1 −𝑐𝑥1 = 0 0 Cumple con la segunda condición pero al no cumplir con la primera condición determinamos que no es una transformación lineal.

1 0 0 3 2 −1 5 𝑇 (0) = ( ) 𝑇 (1) = ( ) 𝑦 𝑇 (0) = ( ) Calcule 𝑇 (−4) 3 4 −3 0 0 1 5 3 0 0 1 (−4) = 3 (0) − 4 (1) + 5 (0) 0 5 0 1 3 0 0 1 𝑇 (−4) = 𝑇3 (0) − 4𝑇 (1) + 5𝑇 (0) 0 5 0 1 4 2 −1 6 5 25 35 =3 ( ) − 4 ( ) + 5 ( ) = ( ) + ( )+( )=( ) 3 4 9 −16 −3 −15 −22

1 ∆= ( 2

2 −1 ) −1 3

𝑋1 0 (𝑋2) = ( ) 0 𝑋3 𝑋1 + 2𝑋2 − 𝑋3 1 =( 2𝑋1 − 𝑋2 + 3𝑋3 2

2 −1 0 | ) −1 3 0

1 2 −1 0 | 0 −3 1 0 𝑋1

+2𝑋2 −3𝑋2

−𝑋3 = 0 +𝑋3 = 0

𝑋1 = −2𝑋2 + 𝑋3 3𝑋2 =

𝑋3 3

1 𝑋1 −2 1 [𝑋2 ] = 𝑋2 [ 0 ] + 𝑋3 [ ⁄3] 𝑋3 0 1 ∆→=0 𝑋

N(A)= espacio vectorial Generado −2 1 ([ 0 ] [1⁄3]) 0 1 El rango es 1

1 −1 3 (2 0 4) −1 −3 1 f2-2f1 f3+f1 1 −1 3 (0 2 −2) 0 −4 4 f3/2 1 −1 3 (0 2 −2) 0 −2 2 f3+f2 1 −1 3 (0 2 −2) 0 0 0 Rango 2

𝑇(1, −1) = (12(1) + 10(1), −15(1) − 13(1)) = (22, −28) (22, −22 =) ∝ (1, −1) + 𝛽(2, −3) (22, −2𝑋) = (∝ +2𝛽, −∝ −3𝛽) 22 =∝ +2𝛽

− 28 = −∝ −3𝛽

∝= −2𝛽 + 22

− 28 = (−2𝛽 + 22) − 3𝛽

−28 = −5𝛽 + 22 −28 + 22 = −5𝛽 −6

−6 = −5𝛽 = 𝛽 = −5

19.6 𝜕 AT=( ) 1.2 𝛿

−6 −5

∝= −2 ( ) + 22 ∝= 19.6 𝑇(2, −3) = (12(2) + 10(−3), 𝑇5(2) − 13(−3) 𝑇(2, −3) = −6,9 (−6,9) = 𝜕(1, −1) + 𝛿(2 − 3) (−6, 9) = 𝜕 + 28, −𝜕 − 3𝛿

−6 = 𝜕 + 2𝛿

9 = −𝜕 − 3𝛿

𝜕 = −34

9 = 34 − 3𝛿 −25 = −3𝛿 8.3 = 8

∝ 𝜕 19.6 −34 AT=( )= ( ) 𝛽 𝛿 1.2 8.3

|𝐴 − 𝜆𝐼| = 0 10 −18 1 ( )−𝜆( 6 −11 0 10 − 𝜆 ( 6

−18 ) −11 − 𝜆

0 ) 1 |

10 − 𝜆 6

−18 |=0 −11 − 𝜆

(10 − 𝜆)(−11 − 𝜆) − (6)(−18) = 0 −110 − 10𝜆 + 11𝜆 + 𝜆2 + 108 = 0 𝜆2 + 𝜆 − 2 = 0 (𝜆 − 1)(𝜆 + 2) 𝜆−1=0

𝝀=𝟏

𝜆+2=0

𝝀 = −𝟐

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑉 = 0 10 − 1 −18 ( 6 −11 − 1

0 9 )=( 0 6

−18 −12

0 1 −2 )=( 0 6 −12

0 1 −2 )=( 0 0 0

𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑥 = 2𝑦 𝑥 2𝑦 2 ( ) = ( ) = 𝑦( ) 𝑦 𝑦 1 (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑉 = 0 10 − (−2) −18 ( 6 −11 − (−2) 6 −9 =( 0 0 2𝑥 − 3𝑦 = 0 −3𝑦 = −2𝑥 𝑦=

−2𝑥 −3

𝑥 1 𝑥 ( ) = (−2𝑥 ) = 𝑥 (−2) 𝑦 −3 −3 𝝀=𝟏 𝝀 = −𝟐

𝟐 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒖 𝒗 = ( ) 𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒖 𝒗 = (−𝟐) −𝟑

0 12 −18 )=( 0 6 −9 0 2 −3 )=( 0 0 0

0 6 −9 )=( 0 12 −18 0 ) 0

0 ) 0

0 ) 0