Productos De Transformaciones Lineales 431i8

Productos de transformaciones lineales Supongamos que y

,

son espacios vectoriales, de dimensiones respectivas

, y que

y

Las transformaciones lineales duales mediante las relaciones

Propiedad 1.4 Si

son sendas transformaciones lineales. y

están definidas

se representa, respecto a bases

entonces traspuesta

y

, mediante una matriz

se representa, respecto a las bases duales, mediante la matriz .

Ahora definamos una transformación

haciendo .

Propiedad 1.5 Si y

se representa, respecto a bases se representa, respecto a bases

entonces matriz producto tensorial

y y

, mediante la matriz , mediante la matriz

se representa, respecto a las bases productos, mediante la siguiente:

Ahora bien, si

es un espacio vectorial de dimensión

recursivamente:

,

potencia tensorial de representa a

es la

es la matriz cuadrada de orden

respecto a una cierta base

, se tiene que

-ésima que

quedará representada por

determinada como sigue:

Cada índice entero

se escribe en base

como una palabra de

,

dígitos

. Para una tal palabra , definamos

y

. Evidentemente, vistas

las palabras como representaciones de números en base ,

es lineal, definimos

. Naturalmente,

. Si

la matriz

y

y

:

.

Debido a la propiedad 1.5, se tiene la recurrencia (1)

con la cual es posible calcular las entradas de la matriz representaciones en base de los índices correspondientes.

siguiendo las

Transformación lineal

Definición Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: 1. T(u + v) = T(u) + T(v) 2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

Transformación lineal nula

Transformación lineal identidad

Homotecias con Si |k| > 1 se denominan dilataciones Si |k| < 1 se denominan contracciones Ver artículo sobre Homotecias

Propiedades de las transformaciones lineales 1.

Núcleo (kernel) e imagen Si

es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:



Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.



El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1. 2. Dados 3. Dados

dado que T(0V) = 0W



Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))



O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio. La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio. El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

 

rg(T) = dim(Im(T))

Teorema de las dimensiones dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)

Teorema fundamental de las transformaciones lineales 

Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal Para todo

Clasificación de las transformaciones lineales 1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. Nu(T) = 0V 2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva. 3. Isomorfismo: Si es biyectiva. 4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio. 5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Matriz asociada a una transformación lineal 

Sea

una transformación lineal es posible encontrar una matriz

asociada a una transformación lineal

Transformaciones lineales Una transformación establece una correspondencia entre números o puntos. No difiere en absoluto de una función, pero se utiliza el término transformación cuando se desea dar la idea del reemplazamiento real de un punto por otro. Un ejemplo sencillo de transformación es un desplazamiento paralelo del plano complejo que reemplaza el punto z por el z  a. Se pueden imaginar los puntos z y z a situados en el mismo plano o en diferentes planos. En el primer caso, una notación adecuada sería z za; en el segundo, deberíamos utilizar la notación funcional w za. Con mayor generalidad, si se denota una transformación por T, escribiremos z  Tz o w  Tz. a) El grupo lineal Consideremos la transformación

[1] cuyos coeficientes a, b, c y d son números complejos. Imponemos además ad – bc  0 para que w no sea independiente de z. Con esta condición se evita también que el denominador sea idénticamente nulo. Con objeto de establecer una correspondencia entre los planos ampliados, añadimos los siguientes valores convencionales a los definidos por [1] : 1. si c  0, w  para z  –d/c y wa/c para z  2. si c  0, w  para z  La transformación ampliada w  Tz se llama una transformación lineal. La ecuación [1] puede resolverse con respecto a z dando

Esta transformación puede ampliarse de la misma forma; la transformación lineal resultante es inversa de la T, y se denota, por consiguiente, por T-1. La existencia de una inversa muestra que la correspondencia definida por T es biunívoca. T está determinada por una matriz de segundo orden

cuyo determinante es ad – bc  0. Está también determinada por cualquier múltiplo no nulo

0 de la misma matriz. La notación matricial resulta conveniente principalmente porque conduce a la determinación sencilla de una transformación compuesta w  T1T2 z. Si utilizamos subíndices para distinguir entre las matrices correspondientes a T1 y T2, es fácil comprobar que T1T2 está determinada por la matriz producto. Todas las transformaciones lineales forman grupo. En efecto, la propiedad asociativa (T1T2)T3  T1(T2T3) se verifica para transformaciones arbitrarias, la identidad w  z es una transformación lineal y la inversa de una transformación lineal es lineal. b) Transformaciones elementales Las transformaciones lineales más sencillas están dadas por matrices de la forma

La primera de ellas se llama traslación paralela. La segunda es una rotación si |k|  0, y una homotecia si k > 0 (si k < 0 se puede escribir k  |k| · k/|k|, y por lo tanto la transformación es una homotecia seguida de una traslación paralela). La última transformación se llama una inversión. Si c  0, podemos escribir

y esta descomposición muestra que la transformación lineal más general se compone de una traslación, una inversión, una rotación y una homotecia seguida de otra traslación. Si c  0, desaparece la inversión y no es necesaria la última traslación. c) La razón doble Dados tres puntos distintos z2, z3, z4 en el plano ampliado, existe una transformación lineal T que transforma estos puntos en 0, 1,  . Si ninguno de los puntos dados es  , T podrá escribirse

Si z2, z3 ó z4, la transformación se reduce, respectivamente, a

Se define la razón doble de cuatro puntos, y se denota por (z1, z2, z3, z4), a la imagen de z1 mediante la transformación lineal que transforma z2, z3, z4 en 0, 1,  . La razón doble es invariante respecto a las transformaciones lineales. Con una formulación más precisa: Si z1, z2, z3, z4 son puntos distintos en el plano ampliado y S es una transformación lineal cualquiera, se tiene que (S z1, S z2, S z3, S z4) (z1, z2, z3, z4). La razón doble (z1, z2, z3, z4) es real si y sólo si los cuatro puntos son concíclicos o están alineados. Una transformación lineal transforma circunferencias en circunferencias.