Ensayo- Transformaciones Lineales 2n5r6n

“Transformaciones Lineales”

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE APATZINGÁN MATERIA: ALGEBRA LINEAL

NOMBRE DE LA CARRERA: INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL

PRIMER SEMESTRE TURNO VESPERTINO

NOMBRE DEL TRABAJO: ENSAYO CORRESPONDIENTE A LA UNIDAD V.“TRANSFORMACIONES LINEALES”

DOCENTE: ING. SERGIO LUIS AGUILAR RIVERA

ELABORO: CALDERA OROZCO CLAUDIA JANET

APATZINGÁN, MICHOACÁN; A 12 DE FEBRERO DEL 2015.

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ÍNDICE

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Pág.

SUPERIOR DE APATZINGÁN Introducción…………………………………………………………………….……….…3 Desarrollo: Unidad V. Transformaciones Lineales. 5.1. Introducción a las transformaciones lineales………….....………………….......4 5.2. Núcleo e imagen de una transformación lineal…………………………………..6 5.3. La matriz de una transformación lineal………………………………………...….8 5.4. Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación……………………………………………………………………………...….…10 Conclusión…………………………………………………………………………..…....13 Hemerografia………………………………………………………………………….….14

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INTRODUCCIÓN.

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Una transformaciónSUPERIOR lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para DE APATZINGÁN convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

DESARROLLO.

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UNIDAD V. TRANSFORMACIONES LINEALES.

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5.1. INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES. SUPERIOR DE APATZINGÁN La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f (y). En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones: 1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0.

La teoría de la matriz entra en la teoría de las transformaciones lineales porque es posible representar cada transformación lineal como matriz. La multiplicación de matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto de transformación

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lineal. Una matriz A de dimensión n x m define que T (v) = Av y aquí v es representado como un

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vector columna. Veamos un ejemplo:

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Aquí, la transformación lineal t es definida como T (x, y) = (y, −2x + 2y, x). En el caso que, V y W sean de dimensión finita, la transformación lineal está mejor representada con la multiplicación de matrices en lugar de estableciendo la base del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto escalar y también los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean ortonormales, será simple representar la matriz correspondiente. Mientras que w y v son de dimensión infinita, la transformación lineal puede ser continua. Por ejemplo, considera que un espacio polinómico de 1 variable sea v y T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge. El resultado de la suma de 2 o más transformaciones lineales, la multiplicación de una transformación lineal por número particular, y la multiplicación de 2 transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una transformación lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simétrica en cualquier base ortonormal. Una transformación lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensión finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base ortonormal en la cual su matriz lleva una forma diagonal. Existen dos espacios fundamentales que están asociados a una transformación lineal: su kernel ker (T) y su imagen im (T). El kernel y la imagen de una transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la columna de cualquier matriz que represente a T. En un sistema lineal, el número de variables es igual al número de variables libres más el número de variables angulares, quedando una transformación lineal final T: V→ W en la identidad dim V = dim ker(T) dim im(T). Si dim ker (T) = 0 y dim im (T) = dimW, entonces t esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un isomorfismo.

5.2. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

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Objetivos: Definir el núcleo y la imagen de una transformación lineal, probar que son subespacios (delSUPERIOR dominio y del contradominio respectivamente), ver la relación con las proDE APATZINGÁN piedades inyectiva y suprayectiva, conocer algunos ejemplos. Luego en otras clases vamos a estudiar, como construir bases en el núcleo y en la imagen, y cómo están relacionadas sus

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dimensiones. Requisitos: Transformación lineal, imagen de un conjunto bajo una aplicación, preima- gen de un conjunto bajo una aplicación, funciones inyectivas, funciones suprayectivas. 1. Definicion (la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vecto- riales sobre un campo F y sea T ∈L (V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T: im (T) = {w ∈ W: ∃v ∈ V tal que w = T (v)}. 2. Definicion (el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vec- toriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la pre imagen completa del vector nulo: ker (T):= {x ∈ V: T(x) = 0W}. 3. Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vecto- rial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈L (V, W). Entonces ker (T) es un subespacio de V. 4. Proposición (la imagen de una transformación lineal es un subespacio vec- torial del codominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces im (T) es un subespacio de W.

INYECTIVIDAD Y SUPRAYECTIVIDAD DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL EN TÉRMINOS DE SU NÚCLEO E IMAGEN.

1. Definicion de función suprayectiva (repaso). Una función f: X → Y se llama suprayectiva o sobreyectiva si para cualquier y ∈ Y existe un x ∈ X tal que f(x) = y. 2. Observación (criterio de la suprayectividad de una función en términos de su imagen). Según la definicion, f se llama suprayectiva si Y ⊂ im (f). Pero la contención im (f) ⊂ Y es válida cualquier función f: X → Y. Por lo tanto, f es suprayectiva ⇐⇒ im (f) = Y. 3. Definicion de función inyectiva (repaso). Una función f: X → Y se llama in- yectiva si para cualesquiera x1, x2 ∈ X tales que f(x1) = f(x2), se cumple la igualdad x1 = x2.

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4. Proposición (criterio de la inyectividad de una transformación lineal en términos de su

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núcleo). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces: T es inyectiva ⇐⇒SUPERIOR ker (T) = {0V}.

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EL NÚCLEO DE UNA MATRIZ Y LA TECNOLOGÍA. Prácticamente la totalidad de los sistemas computacionales que manejan matrices vienen acompañados de funciones para manejar el kernel de una matriz. En el caso de Maple la instrucción nullspace(A) entrega una base para el núcleo de la transformación lineal T(X) = A X. Desafortunadamente, para la TI Voyage 200 no aparece un comando similar.

INYECTIVIDAD DE TRANSFORMACIONES LINEALES. Una pregunta importante sobre funciones es si una función dada es inyectiva, o también dicho 1 a 1. Recuerde que una función es inyectiva si no hay dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma evaluación. Es decir, es f es inyectiva si y sólo si f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2. Este concepto en las funciones lineales en espacios vectoriales tiene un comportamiento simple: f (x1−x2) = 0 implica x1 −x2 = 0.

5.3. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y condominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de

dichas

bases.

Cualquier transformación lineal T: V → W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los

transformados

de

la

base

de

V,

en

la

base

de

W.

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Supongamos que el espacio V tiene una base {v1,..., vn} y el espacio W tiene una base {w1,...,wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m SUPERIOR DE APATZINGÁN xn

.

Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T

 Ejemplos: Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R 2el conjunto {(1, 0), (0,1)}.

a) ¿Matriz A? Transformado de (1, 0) = (1, 0) Transformado de (0, 1) = (0, -1) Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

b) ¿Matriz B? Transformado de (1, 0) = (-1, 0) Transformado de (0, 1) = (0, -1) Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

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INSTITUTO TECNOLÓGICO Encontrar A3x5 asociada a la transformación P5 ® P3 / T (P (t)) = d2 P (t) /dt2, transformando SUPERIOR DElineal APATZINGÁN P5 en P3 (polinomios de grado ≤4 en polinomios de grado ≤ 2). Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2} Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0) Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0) Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0) Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0) Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12) Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

5.4. APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN. Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn  Rm. 1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La

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reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es

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como producir la imagen espejo de la matriz actual.

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2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dado con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6). 3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8). 4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj. Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través de la recta y = (−2x / 3). El primer paso para esto es determinar los vectores base.

Por lo tanto, podemos afirmar que,

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Dado que y pertenece a R2. Imagina que A: R2  R2 es una transformación lineal, entonces

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podemos escribir que,

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La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo tanto la imagen de a través de y = (−2x/ 3) es determinada mediante la obtención de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a. Esto está dado por y = (3x/ 2) – (3/ 2). El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) – (3/ 2) e y = (−2x/ 3) se intersectan se dado como (9/13, −6/13). Tomamos p¬1¬ para ser el punto de reflexión de a través de la recta dada. Este punto es simétrico respecto a (9/13, −6/13) por lo tanto, podemos escribir que,

Esto produce, De manera similar, la imagen del vector base resulta ser

Y tenemos la matriz de transformación lineal final como,

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CONCLUSIÓN

He llegado a la conclusión de todos los temas están relacionados en cierta forma con esta unidad pues ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores. Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en práctica los temas futuros. Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejar tirado lo ya hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro futuro, citando el dicho popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los mismo nos estarán esperando en un futuro.

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HEMEROGRAFIA Disponible en internet: http://mitecnologico.com/igestion/Main/IntroduccionALasTransformacionesLineales

http://esfm.egormaximenko.com/linalg/ker_image_es.pdf

http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/tl/matriz.html