8 Pengantar Bagan Kendali Multivariat a1fo

PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA

STATISTIKA PENGENDALIAN MUTU PENGANTAR BAGAN KENDALI MULTIVARIAT Darmanto – Universitas Brawijaya

““Be who you are and say what you feel, because those who mind don't matter, and those who matter don't mind.” .” (Bernard M. Baruch)

PENDAHULUAN • Univariat: diasumsikan bahwa hanya ada satu karakteristik kualitas yang dievaluasi. • Praktek: Proses monitoring dan pengontrolan melibatkan beberapa karakteristik kualitas. • Dapat dievaluasi per karakteristik kualitas menggunakan bagan kendali univariat, tetapi tidak efisien dan memungkinkan untuk terjadi kesalahan dalam pengambilan kesimpulan. Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

2

• BAGAN KENDALI MULTIVARIAT: Mengakomodir secara simultan evaluasi lebih dari satu karakteristik kualitas. • Di antaranya: T2-Hotelling dan Multivariat EWMA. • Keduanya efektif digunakan jika karakteristik kualitas yang dievaluasi 2 ≤ 𝑋 ≤ 10.

• Bagaimana jika lebih dari 10? Kurangi dimensi kualitasnya dengan memanfaatkan metode statistika yang lain, misal: analisa komponen utama. Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

3

• Ada banyak kondisi diperlukan untuk memonitor beberapa karakteristik kualitas secara simultan.

Diameter dalam [𝑋1~𝑁(8,0.052)] Diameter luar [𝑋2~𝑁(10,0.052)]

Gambar 1. Diameter Dalam dan Luar Bearing

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

4

• Misal: masing-masing diambil 20 sampel dan diplotkan pada bagan kendali Univariat: 8.15

UCL=8.15

Diameter Dalam

UCL=10.15

10.10

8.05 _ X=8

8.00

7.95

7.90

Individual Value

8.10

Individual Value

10.15

Diameter Luar

10.05 _ X=10

10.00

9.95

9.90

7.85

LCL=7.85 1

3

5

7

9

11

Observation

13

15

17

19

9.85

LCL=9.85 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Observation

Gambar 2. Bagan Kendali I untuk Diameter Dalam dan Luar Bearing Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

5

x1

8.15

8.15

8.10

8.10

8.05

8.05

8.00

8.00

7.95

7.95

7.90

7.90

7.85

UCL=8.15

_ X=8

7.85

10.00

10.05

10.10

10.15

10.15

9.95

10.10

9.90

10.05

9.85

x2

LCL=7.85 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

10.00

9.95

9.90

9.85 1 3

Area gabungan X1 dan X2

5

(asumsi keduanya independen)

7 9 11 13 15 17 19 UCL=10.15

_ X=10

LCL=9.85

6

Gambar 3. Area Kendali Gabungan untuk Diameter Dalam dan Luar Bearing

Peluang keluar batas kendali :

1   2  0.0027  1. 2   0.0027   7.29  106. 2

simultan

Peluang tidak keluar batas kendali :

1  1 1   2    0.9973  0.9973. 2

Mengalami Distorsi dibandingkan dengan Evaluasi Univariat

   1  1   

p

Jika independen

...(1)

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

7

• Pdf Normal Multivariat: f x 

1

 2 

p 2

Σ

1

e



1  x-μ  Σ-1  x-μ  2

,

...(2)

2

  x j  , j  1, 2,..., p. x   x1 , x2 ,..., x p  , μ   1 , 2 ,...,  p  ,

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

8

Misal sampel acak berdistribusi normal multivariat: x1 , x 2 , ..., xn , di mana vektor sampel ke-i mengandung observasi untuk tiap-tiap variabel ke-p adalah xi1 , xi 2 ,..., xip , maka vektor rata-rata sampel dinyatakan dengan 1 n x =  xi ...(3) n i=1 dan matriks kovarians sampel 1 n S=  xi - x  xi - x  ...(4)  n -1 i=1 dengan varians sampel sebagai diagonal utama: 2 1 n s  x  x    ij j n  1 i 1 dan kovarians sampel 2 j

1 n s jk    xij  x j   xik  xk  . n  1 i 1 Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

9

BAGAN KENDALI T2-HOTELLING Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

10

10

I. AMATAN SUBGRUP • Anggap ada n observasi yang terdiri atas m sampel. Maka rata-rata dan varians dari masing-masing sampel adl  j  1, 2,..., p ...(5)  k  1, 2,..., m 2  j  1, 2,..., p 1 n 2 s jk  xijk  x jk  ...(6)    n  1 i 1 k  1, 2,..., m xijk  observasi ke-i, variabel ke-j , sampel ke-k . 1 n x jk   xijk n i 1

s jhk

jh  1 n  xijk  x jk   xihk  xhk     n  1 i 1 k  1, 2,..., m

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

...(7)

• Sehingga rata-rata, varians dan kovarians untuk seluruh sampel adl 1 m x j   x jk m k 1

; j  1, 2,..., p

...(8a)

m 1 s j2   s 2jk m k 1

; j  1, 2,..., p

...(8b)

1 m s jk   s jhk ; j  h m k 1

...(8c)

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

• Sehingga untuk matriks kovarians sampel,  s12   S    

s12

s13

s22

s23 2 3

s

s1 p   s2 p     2  sp 

...(9)

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

• Uji statistik T2-Hotelling didefinisikan sebagai, T  n  x - x  S 1  x - x  2

'

...(10)

Fase I: p  m  1 n  1  UCL  Fp ,mn  m  p 1 mn  m  p  1 LCL  0

...(11)

Fase II: p  m  1 n  1  UCL  Fp ,mn  m  p 1 mn  m  p  1 LCL  0

...(12)

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

• Untuk p = 2, statistik uji T2-Hotelling: 2 2   s x  x  s x  x     2 1 1 1 2 2 n T2  2 2   2 s1 s2  s12  2 s12  x1  x1  x2  x2    

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

CONTOH • Kekuatan rentang dan diameter dari tekstil fiber adalah 2 karakteristik kualitas yang penting untuk dikontrol secara simultan. Insinyur kualitas memutuskan untuk menggunakan n = 10 untuk setiap sampel. Dia mengambil m = 20 sampel, dan berdasarkan data diperoleh

x1  115,59 psi; x2  1, 06 102 inch; s12  1, 23; s22  0,83;dan s12  0, 79. Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

• Sehingga didapatkan statistik T2-Hotelling: T2 

10

1, 23 0,83   0, 79 

2

 0,83 x1  115,59   1, 23 x2  1, 06      2  0, 79  x1  115,59  x2  1, 06  

p  m  1 n  1  UCL  Fp ,mn  m  p 1 mn  m  p  1 2(19)(9) 0,001  F2,20(10)  20  2 1 20(10)  20  2  1 342 0,001  F2,179  (1,91)(7,18)  13, 72 179 Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

Tabel 1. Data Kekuatan Regang dan Diameter

18

Gambar 4. Bagan Kendali T2-Hotelling untuk Data Tabel 1 Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

19

II. AMATAN INDIVIDU T   x - x  S 1  x - x  2

'

...(13)

Fase I: m  1   UCL   p /2,( m  p 1)/2 m LCL  0 2

...(14)

Fase II: p  m  1 m  1  UCL  Fp ,m  p 2 m  mp LCL  0

...(15)

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

Tabel 2. Data Komposisi Grit, L = Large, M = Medium, S = Small

21

• Dua pendekatan perhitungan estimasi matriks kovarians untuk amatan individu: 1 m 1. S1 =  xi - x  xi - x   m -1 i=1 1 VV 2. S 2 = ; ...(16) 2  m  1  v1   v  dengan : v i  x i 1 - xi , i  1, 2,..., m  1  V =  2       vm-1  Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

22

Gambar 5. Bagan Kendali T2-Hotelling untuk Data Tabel 2 Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

23

BAGAN KENDALI MULTIVARIAT EWMA Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

24

24

• Definisi: z i   xi  (1   )z i 1

...(17)

di mana 0    1 z0  0

• Dengan titik ploting: Ti 2  Zi ' Σ Z1i Zi

...(18)

dengan

  2i ΣZ  1  1     Σ ...(19)  2  i

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

Tabel 3. Nilai 𝜆 H yang Memberikan Nilai Optimal Pada ARL

26

REFERENSI • Montgomery, D. C. 2013. Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley & Sons, New York.

Darmanto|MK. Statistika Pengendalian Mutu – Pengantar Bagan Kendali Multivariat

27