Apunte De Lineas De Influencia 1d1w5

Líneas de influencia

1.- Principio de superposición de efecto El mismo nos permite afirmar lo siguiente: “las reacciones o solicitaciones en una estructura cargada con un sistema de fuerzas, pueden obtenerse como la suma de las reacciones o solicitaciones parciales obtenidas en la misma estructura, cargada con cada una de las fuerzas actuantes. Ejemplo:

R AH  R1AH  R A2 H  R A3 H R VA  R1AV  R A2V  R A3V RB  RB1  RB2  RB3

M f  M 1f  M 2f  M 3f Q  Q1  Q 2  Q 3 N  N1  N 2  N 3 En realidad, el principio de superposición es mucho más general y poderoso de lo que aquí se expuso, pero eso se verá en cursos más avanzados.

2.- El problema de las Cargas Móviles Dada una estructura y un sistema de cargas, con los conocimientos adquiridos hasta ahora, se pueden trazar los diagramas de Momentos Flectores, Esfuerzos de Corte y Esfuerzos Normales, y con ello determinar donde se producen los máximos valores de esas solicitaciones. Esto último es un conocimiento fundamental para el posterior dimensionado de la estructura. Pero esto es posible porque el sistema de cargas no varía de posición, es decir son cargas fijas. Es evidente que si el sistema se moviera, los diagramas de Mf, Q y N variarán, (fig.1) y con ello se nos presenta el problema de poder determinar las posiciones de las cargas donde ellas producen las máximas solicitaciones. Esto, se resuelve con la ayuda de las lineas de influencia. (Todo lo que se ha dicho aquí de las solicitaciones es enteramente aplicable a las reacciones).

Estática

1.-

Líneas de influencia FIG.1: Variación de las reacciones y de los diagramas de M f con la posición del sistema de cargas. Este, formado por las fuerzas de 5t y 2t, se desplaza hacia la derecha, manteniéndose la distancia entre ambas fuerzas (2 m).

3.- Definición de las líneas de influencia Para fijar conceptos, estudiemos el caso sencillo de una viga simplemente apoyada (fig.2), y consideremos en ella una sección 1-1 fija, la que se encuentra a una distancia a del apoyo A. Luego supongamos cargada dicha viga con una carga unitaria (P=1t), a una distancia x1 del apoyo A. Hallemos las reacciones RA1 y RB1, y tracemos los diagramas Mf1 y Q1. En la sección 1-1 que estamos considerando, el momento flector valdrá M 11, y el esfuerzo de corte Q11. De esta manera hemos efectuado el análisis para la parte 1. Haciendo lo mismo con las partes 2 y 3, para la carga unitaria P, colocada a una distancia x2 y x3 respectivamente del apoyo A, obtendremos los siguientes valores:

En 2 RA2, RB2, M21 y Q21 En 3 RA3, RB3, M31 y Q31

El mismo análisis podríamos hacer para otras posiciones xi de la carga unitaria P. Si ahora, a partir de líneas de referencias horizontales, y en correspondencia de cada una de las posiciones de la carga unitaria colocamos en una cierta escala los valores: RAi, RBi, Mi1 y Qi1 hallados, y unimos finalmente los puntos correspondientes a una misma Reacción o Solicitación, obtenemos ciertas líneas llamadas Líneas de Influencia .Aquí ya podemos dar una definición de los casos vistos: “Las líneas de influencia representan los valores que toman las reacciones o solicitaciones (éstas últimas en una determinada sección) al ir variando de posición una carga unitaria sobre la estructura que se considera. Su lectura se hace en una cierta escala, sobre la vertical trazada por la posición de la carga unitaria”. Caben aquí las siguientes observaciones: La definición dada se refiere a reacciones y solicitaciones, que son los casos que veremos en este curso. Además, la carga unitaria (P=1t) que se desplaza sobre la estructura es vertical. Pero, sin embargo, nada impide extender la definición a los casos de deformaciones, incógnitas hiperestáticas, etc., como se verá en cursos posteriores, ni a los casos en que la carga unitaria no sea vertical; siempre y cuando se establezca la forma de representación de dichas líneas. -Las líneas de influencia en este curso son siempre rectas por tratarse de reacciones y solicitaciones en sistemas isostáticos. Sin embargo, esto no hay que tomarlo como caso general, ya que ellas pueden ser curvas como en el caso de las deformaciones o reacciones y solicitaciones en los sistemas hiperestáticos. -Es evidente que si tuviéramos que trazar las líneas de influencia de la forma recientemente descripta ( siguiendo los pasos detallados en la fig.2), el método sería engorroso y no muy preciso. Ya veremos luego la forma correcta de hacerlo. Estática

2.-

Líneas de influencia

3.- Diferencia entre Diagramas de Solicitaciones y Líneas de Influencia Del análisis hecho en el punto anterior surgen inmediatamente las diferencias entre los Diagramas M-Q-N y las Líneas de Influencia:  Diagramas M-Q-N(fig.3): Cargas de intensidad y posición fija. Representan los valores que toman las solicitaciones en los distintas secciones de la estructura. Dependen de la estructura y además del sistema de cargas.  Líneas de influencia (fig.4): Carga unitaria de posición variable. Representan los valores que toman las solicitaciones en una determinada sección (fija), cuando la carga unitaria se desplaza sobre una estructura. Dependen de la estructura, pero no de un sistema de cargas.

M1 y Q1 Momento Flector y Esfuerzo de Corte en la sección 1-1. M2 y Q2 Momento Flector y Esfuerzo de Corte en la sección 2-2. M3 y Q3 Momento Flector y Esfuerzo de Corte en la sección 3-3. M11 y Q11 Momento Flector y Esfuerzo de Corte en la sección 1-1, para P=1 en la posición x1 M12 y Q12 Momento Flector y Esfuerzo de Corte en la sección 1-1, para P=1 en la posición x2 M13 y Q13 Momento Flector y Esfuerzo de Corte en la sección 1-1, para P=1 en la posición x3

Métodos para la obtención de las líneas de influencia 1.- Métodos En el curso se verán dos métodos para la obtención de las líneas de influencia en sistemas isostáticos. Estos son: a.- Método Analítico. b.- Método Cinemático. El primero de ellos es conceptualmente más importante, pero en la práctica es preferible utilizar el segundo, debido a su fácil manejo.

Estática

3.-

Líneas de influencia

2.- Método Analítico Este método consiste en colocar la carga unitaria P=1t en un punto cualquiera de la estructura, acotado con respecto a un origen mediante una variable “x”, y luego, con la ayuda de las Ecuaciones de equilibrio (

X

i

0

Y

i

M

0

0

 0 ), hallar las reacciones ó las

solicitaciones en una sección, y finalmente graficarlas en función de la citada variable “x”. Veremos a continuación distintos ejemplos.

Ejemplo a).- Viga simplemente apoyada. Colocamos la carga unitaria P a una distancia “x” del apoyo A, y pasamos entonces a calcular las reacciones RA y RB.

M

B

 0  RA .L  PL  x  Despejando, y por ser

RA 

P=1tn

Lx x  1  (1) L L

Vemos aquí que el valor de RA depende de la posición de la carga unitaria, o sea es función de x, y la ecuación (1) representa una recta. En consecuencia es suficiente conocer 2 puntos de ella para poder trazarla. Luego: Si x=0  RA=1 Si x=L  RA=0 Con estos dos valores trazamos la Línea de Influencia de RA (fig.5). La ecuación (1) es la Expresión Analítica de la Línea de Influencia de RA. De la misma forma procedemos para hallar la línea de influencia de B sólo que ahora tomo momentos con respecto al apoyo A:

M

A

 0   RB .L  P.x y aplicando lo mismo que

en el caso anterior

RB 

x (2) L

Luego: Si x=0  RB=0 Si x=L  RB=1 Con éstos valores trazamos la Línea de Influencia de RB,(fig.5). De aquí en adelante LI significará línea de influencia. Para hallar la LI del Momento flector y del Esfuerzo de Corte en la sección 1-1 de la fig.5 procedemos de la siguiente forma: Recordemos la definición de Mf y Q, y recordemos también que podernos trabajar con las fuerzas que estén a la “izquierda” de la sección ó con las que están a la “derecha” de la misma, pero teniendo presente el cambio de signo en este último caso. Luego, podemos calcular de la siguiente forma la LI del Mf: Para 0<x
M f 11   RB .L  a   RB .b 

x .b (3) L

Para a<x
4.-

Líneas de influencia

M f 11  RA .a 

Lx  a (4) L

Las ecuaciones (3) y (4) representan rectas que podernos graficar Para 0<x
M f 11 

La b a  b ; en (4) M f 11  a  a L L L

Nota: Es importante destacar que los valores de Mf1-1=b (x=L) estando x en el intervalo 0<x
(x=a) estando x en el intervalo a<x
Análogamente podemos trazar la LI del Esfuerzo de Corte Q: Para 0<x
Q11   RB  

x (5) L

Para a<x
Q11  RA  1 

x (6) L

Las ecuaciones (5) y (6) representan también un par de rectas, y: Para 0<x
Estática

5.-

Líneas de influencia

Ejemplo b).- Viga simplemente apoyada con voladizos. (fig.6) Es una generalización del caso anterior. Las fórmulas (1) para RA, (2) para RB, (3) y (4) para Mf1-1 y (5) y (6) para Q1-1, son totalmente válidas. Sólo cambian los intervalos de variación de x para RB y RA : -v1<x
3.-Resumen del Método Analítico A.- Se coloca la carga unitaria (P=1t) en un punto cualquiera de la estructura, y se lo acota mediante una variable “x”, con respecto a un punto (elegido convenientemente) tomado como origen. B.- Aplicando las condiciones de equilibrio estudiadas en el curso, se hallan las funciones que nos darán el valor de las reacciones ó solicitaciones en una sección (según el caso), en función de la posición variable de la carga unitaria. C.- Se grafican, en escalas apropiadas, las funciones halladas en el punto anterior, teniendo en cuenta que, en los casos en estudio (sistemas isostáticos) son rectas, siendo suficiente, por tal motivo, conocer solamente dos puntos de paso de las mismas para definir su posición.

4.- El Método Cinemático: Generalidades Como ya se dijo en un punto anterior, el trazado de las LI por este método es mucho más rápido que en el caso analítico visto. Sin embargo; mientras que en el método anterior la relación entre el concepto de LI y la obtención de las mismas es directa (mediante las ecuaciones de equilibrio de la Estática), aquí esa relación resulta más difícil de verificar, como se podrá apreciar a través de la exposición posterior. Este método se basa en la utilización de dos conceptos fundamentales: a.- Cadenas cinemáticas. b.- Principio de los trabajos virtuales. Estática

6.-

Líneas de influencia

En consecuencia, antes de entrar al trazado específico de las LI será necesario desarrollar algunos puntos indispensables de dichos temas.

4.- Centro instantáneo de rotación de una chapa Supongamos una chapa que pueda desplazarse libremente por el plano, y que desde una posición AB pasa a una posición A’B’, demostraremos un teorema que dice: “El desplazamiento de una chapa rígida siempre puede obtenerse como la rotación de la misma en torno a un polo, propio o impropio”. En efecto, analizaremos la fig.7. Unamos primeramente el punto B con B’ y el punto A con A’. Tomemos el punto medio de estos dos segmentos, y tracemos por ellos dos normales a los mismos. Estos se unirán en el punto C que será el polo o centro de rotación buscado. Y es así porque los dos triángulos rayados son iguales por ser todos sus lados iguales. Luego, podemos pasar de la posición AB a A’B’ haciendo rotar la chapa alrededor del polo C, y queda así demostrado el teorema enunciado. La chapa para pasar de la posición AB a la A’B’ puede seguir cualquier camino, como el indicado por la línea de puntos en la fig.7. Si tomamos una posición cualquiera intermedia A”B”, y luego inmediatamente después la posición A’’’B’’’, los dos puntos A y B habrán recorrido un elemento infinitésimo de sus respectivas curvas de desplazamiento, y esto puede tomarse como formando parte de las tangentes respectivas tA y tB en la posición A”B” (por tratarse de desplazamientos infinitésimos). Si en esas posiciones quisiéramos hallar el polo de rotación, tendríamos que trazar las normales a las tangentes tA y tB. Encontraríamos así un centro de rotación (C i) que recibe el nombre de “centro instantáneo de rotación”, (ver fig.8). Este es un concepto muy importante para el método que estamos estudiando. Es decir que si por cualquier razón conocemos el movimiento instantáneo (o la dirección del movimiento) de dos puntos cualquiera de una chapa podernos hallar inmediatamente el polo instantáneo alrededor del cual gira, y este recibe el nombre de “centro instantáneo de rotación”.

Estática

7.-

Líneas de influencia

5.- Centro relativo de rotación Si tenemos dos chapas articuladas entre sí, como las de la fig.9, e inmovilizamos una de ellas, por ejemplo la (1), la otra girará alrededor de un punto llamado “centro relativo de rotación y que lo simbolizaremos como: Cij Este puede ser real como C12 de la fig.9a, ó ficticio como el C12 de la fig.9b. En el caso a es fácil ver que el punto marcado corno el C12 es el centro relativo de rotación, mientras que en el caso b no resulta tan evidente. Pero si fijamos la chapa (1), las dos bielas que unen (1) con (2), permiten a los dos puntos de la chapa (2) moverse solamente en dirección normal a ellas (como marcan las flechas), y por lo visto en el punto 4, el C12 resultará el punto alrededor del cual gira la chapa (2) en este caso, o sea es el “centro relativo de rotación” de acuerdo a la definición. Las chapas “i” y “j” pueden que no sean consecutivas como en este caso. El punto C12 es también la articulación que mencionamos al principio de este punto. Este concepto, el de “centro relativo de rotación”, es también importante para el estudio de este método.

NOTA: Recíprocamente, si fijamos la chapa (2) de las fig.9a y 9b, (en lugar de la (1)), el centro relativo de rotación resulta el mismo C12 hallado.

6.- Cadenas cinemáticas de un grado de libertad Si a una cadena cinemática cerrada le quitamos un vínculo simple o una biela del vínculo doble, la cadena cinemática isostática se transforma en una cadena cinemática de un grado de libertad. Sin embargo, este movimiento es único, por eso se dice que son cadenas cinemáticas de movimiento obligatorio o forzoso.

Estas cadenas son las que nos interesan principalmente para el estudio de las líneas de influencia. En efecto, supongamos que quitamos el apoyo simple de la chapa (1) de la fig.10. Evidentemente, el único movimiento que puede tener la chapa (1), es el de girar alrededor de la articulación formada por, el apoyo donde (A), que se convierte así en el centro instantáneo de rotación de chapa (1), y que llamaremos (C 1). El punto C12 es el centro relativo rotación de las chapas (1)-(2), y por pertenecer a la chapa (1), tendrá que moverse sobre la normal a la dirección C1-C12, según marcan las flechas. Estática

8.-

Líneas de influencia

El punto B, por ser un apoyo simple, únicamente se puede mover en dirección normal a la biela (según marcan las flechas). Luego, de la chapa (2) conocemos el movimiento instantáneo de dos puntos: el B y el C12; entonces, de acuerdo a lo visto en el punto 4 podemos hallar su centro instantáneo de rotación, que se encontrará en el punto de unión de las normales a las direcciones del movimiento instantáneo de los dos puntos, que en este caso serán la prolongación de las direcciones C1-C12, y de la biela que pasa por B. Hallamos así el C2 (centro instantáneo de rotación de la chapa (2)). Siguiendo el mismo procedimiento, por conocer el movimiento instantáneo de los puntos C 23 y C, pertenecientes a la chapa (3), podemos hallar su centro instantáneo de rotación C 3; y de igual forma podemos encontrar C4, centro instantáneo de rotación de la chapa (4) de la fig.10. Llegamos así a conocer los centros instantáneos de rotación y los centros relativos de rotación de cualquier cadena cinemática de un grado de libertad. Posteriormente daremos a estas cadenas cinemáticas un movimiento virtual, y las componentes verticales u horizontales de este movimiento representarán, mediante el principio de los trabajos virtuales, en una cierta escala, las LI de solicitaciones ó reacciones. Por ahora lo importante es poder determinar en cualquier cadena cinemática de un grado de libertad, los centros instantáneos y relativos de rotación de sus chapas. Del análisis de la fig.10 sacamos un teorema importante que dice lo siguiente

Teorema 1º : Los centros instantáneos y el relativo de dos chapas consecutivas están alineados. O sea: C1-C12- C2 alineados C2-C23- C3 alineados C3-C43- C4 alineados En general Ci-Cij- Cj alineados, siendo i y j chapas consecutivas. Hay dos teoremas que no demostraremos, ya que nos llevarían demasiado tiempo, y que son:

Teorema 2º: Si (i) y (j) son dos chapas no consecutivas, el centro relativo de rotación Cij y los centros instantáneos Ci y Cj están alineados, (es una generalización del Teorema 1º).

Teorema 3º: Si (i), (j) y (k) son tres chapas consecutivas (ó no), los centros relativos Cij ,Cik ,Cjk están alineados. (Durante el curso utilizaremos únicamente el teorema 1º).

7.- Corrimientos ó elaciones, verticales y horizontales En primer lugar digamos que de ahora en adelante, al hablar de corrimientos nos referiremos a corrimientos infinitésimos (muy pequeños, pero finitos), ya que de no ser así, en el caso del centro instantáneo de rotación (por ej.), cambiaría de posición como se puede deducir del análisis del movimiento que hicimos en el punto 4 al definir dicho centro; además de otras razones que veremos posteriormente. Supongamos primeramente una chapa de la cual conocemos su centro instantáneo de rotación C, y un punto cualquiera de la misma: (A). Si la chapa sufre una rotación infinitésima  alrededor de C, resultará que A se desplazará un valor: 

 .   

 

(Nota:  es un valor pequeño, arbitrario en su magnitud). Si además la chapa está referida a ejes ortogonales x-y, las componentes del desplazamiento en la dirección de los ejes serán (fig.12):

x   .sen

pero

de igual forma

Estática

  .

y   . .

x



y

  .x

sen 

y





x  . .

y



  .y

(7)

(8)

9.-

Líneas de influencia

Las fórmulas (7) y (8) nos dicen que las componentes x y y son linealmente dependientes de y y x respectivamente. Luego, si tomamos dos líneas de referencias, una horizontal y otra vertical, dichos desplazamientos estarán representados por dos rectas que tienen la misma inclinación  y por consiguiente, son normales entre sí. Las fórmulas (7) y (8) también nos dicen que todos los puntos ubicados sobre una determinada vertical (x=cte.), tienen la misma componente vertical de desplazamiento; y todos los puntos ubicados sobre una determinada horizontal (y=cte.), tienen la misma componente horizontal de desplazamiento. Por último, si en esas fórmulas hacernos x=y=1, obtenemos x=y=, y ésta será una forma para determinar el valor del ángulo de giro. Las componentes horizontales x y verticales y de los desplazamientos de los puntos de las chapas reciben el nombre de corrimiento o elaciones horizontales y verticales. Veamos el caso de una cadena cinemática abierta de dos chapas (fig.13). En primer lugar determinamos los centros instantáneos y relativos de rotación de la cadena. Sí damos a la chapa (1) una rotación infinitésima ’ alrededor de su centro instantáneo C 1 la chapa (2) sufrirá una rotación también infinitésima ” alrededor de su centro instantáneo de rotación C2. Luego tomarnos una línea de referencia horizontal, y trazamos la recta representativa de los desplazamientos verticales “y” de la chapa (1):(1)’ de acuerdo a lo visto en el caso anterior de una chapa sola. Por el centro relativo de rotación C 12 trazamos una vertical y ubicamos el punto C’12. Éste es un punto que pertenece a la chapa (1) y a la chapa (2). Por el C 2 también trazamos una vertical, y sobre la línea de referencia ubicarnos el C’2. (Recordemos de acuerdo a lo visto en el caso de una chapa sola, y podemos confirmar con las fórmulas (7) y (8): los “centros instantáneos de rotación” no tienen corrimientos). Uniendo C’12 y C’2 obtenemos la recta de los desplazamientos verticales y de la chapa (2):(2)’. Procediendo de igual forma, y teniendo presenta que las rectas de los corrimientos verticales y y de los horizontales x son normales podemos hallar (1)” y (2)”, rectas representativas de los desplazamientos horizontales de las chapas (1) y (2), respectivamente. Con este procedimiento obtenemos las componentes verticales y horizontales de todos los puntos de las chapas de la cadena. Pero en el trazado de las LI necesitamos a veces conocer el verdadero desplazamiento de un punto, ó la componente de dicho desplazamiento en una dirección cualquiera que no coincide ni con x ni con y. Veamos el caso: Estática

10.-

Líneas de influencia

Supongamos dos puntos de lo cadena: el punto m perteneciente a la chapa (1), y el. punto n perteneciente a la chapa (2), y quisiéramos saber si los dos puntos después del desplazamiento de las chapas se han alejado o acercado. Es suficiente para ello conocer los valores de las componentes del desplazamiento en la dirección m-n. Para ello, analizamos el desplazamiento del punto m. Al rotar la chapa (1), el punto m se desplazará en la dirección m-m’, que es normal a la dirección C1-m (por tratarse de desplazamientos infinitésimos, ya vistos). Pero lo que nos interesa es la componente del desplazamiento en la dirección m-m” (coincidente con m-n). Para ello, si trazamos uno vertical por el punto m, en la gráfica de los desplazamientos verticales y, encontrarnos el valor ym correspondiente a la componente vertical del desplazamiento del punto m. Si por el origen del segmento ym trazamos una paralela a la dirección m-m’, y por el fin una horizontal, hallamos el verdadero desplazamiento del punto m: m, la componente horizontal de dicho desplazamiento xm. Éste último, por otro parte, también podemos hallarlo mediante la gráfica de los desplazamientos horizontales x según se muestra en la (fig.13). Por último, si por el mismo origen trazamos una paralela a la dirección m-m” (o lo que es lo mismo m-n), y proyectamos sobre la misma el verdadero desplazamiento m del punto m, hallamos la componente de este en la dirección m-n, y que será mm”. Si hacemos el mismo procedimiento con el punto n hallaríamos también la componente del desplazamiento del punto n en la dirección n-n” (o lo que es lo mismo m-n): ver (fig.13). Finalmente, la variación de la distancia entre el punto m y el n, resultará igual a: =mm” +nn” (9) Estática

11.-

Líneas de influencia

Nota: Aquí debemos hacer una aclaración, y es que la fórmula (9) debe entenderse como una suma algebraica de segmentos de igual recta de acción. Es decir que si tienen el mismo sentido se suman, y si son de sentido contrario, se restan. Sin embargo, para estos casos hay una manera más fácil de hallar el valor de  aunque tiene dos inconvenientes: el primero, que conceptualmente es menos claro y evidente que en el caso anterior, y el segundo: es que resulta difícil determinar el sentido del segmento resultante, muy necesario para el trazado de las LI.

Veamos como se procede: Pensemos por un momento que en la fig.13 no tenemos el apoyo simple ó biela de la chapa (2). Demos al conjunto una rotación ’ alrededor del polo C1. Luego, hagamos rotar la chapa (2) alrededor del centro relativo C12 primero un ángulo ’ y posteriormente un ángulo ”, estos dos últimos giros en sentido contrario al primero. La cadena cinemática ocupará finalmente la misma posición que en el caso anterior, en que rotaba silmultáneamente la chapa (1) alrededor de C 1, y la chapa (2) alrededor de C2. Pero es evidente que en este procedimiento el movimiento que produce la variación de distancia entre el punto m y el n es el último descrito, es decir la rotación de la chapa (2) alrededor de C 12 un ángulo 12=’+”. Esto está representado esquemáticamente en (fig.14). Para calcular el valor de  en la fig.15, se ha reproducido a escala mayor el pequeño triángulo de la (fig.14). _____

  C12n .12    .cos  ; pero a su vez _____ r r cos   _____    C12n .12 . _____  r.12 C12n C12n

y

Quiere decir que un la (fig.13), teniendo en cuenta que el ángulo formado por las rectas de los desplazamientos verticales (1’) y (2’) forman el ángulo 12=’+”, tomamos a partir del punto C’12 el valor de r horizontal, y sobre la vertical podremos leer el valor de , según se muestra. Evidentemente este procedimiento de hallar  es más sencillo, pero supongamos que en la dirección m-n estén actuando fuerzas y queremos saber el trabajo que realizan, nos encontraríamos con el inconveniente de tener el desplazamiento en esa dirección, pero no sabríamos el signo a darle al trabajo resultante, y tendríamos que hacer un análisis de la dirección de los desplazamientos. Una última observación : en la (fig.13) hemos hallado todas las componentes de todos los deslazamientos de los puntos que forman las dos chapas (1) y (2 ) .Sin embargo, cuando veamos LI, no necesitaremos todos los desplazamientos de todos los puntos sino solo de aquellos por donde pasa la carga unitaria P=1t, y generalmente son suficientes solamente los desplazamientos verticales. Naturalmente, a veces hay que hallar los desplazamientos horizontales o verticales de otros puntos auxiliares para el trazado de las LI.

 Caso Especial 1: Determinados los polos de las distintas chapas, aplicamos en C 1, polo de la chapa (1), una elación vertical . Adoptamos un eje de referencia m-m horizontal. El diagrama de corrimientos verticales de la chapa (1) será, como sabemos, una recta que pasará por la proyección C’ 1 del polo C1, por cuanto la ordenada del diagrama debe ser nula en correspondencia con la recta de acción del vector representativo de la elación vertical  . Dicha recta valdrá entre las ordenadas extremas de la chapa (1).

Estática

12.-

Líneas de influencia

El corrimiento vertical del punto C12 será común a las chapas (1) y (2). Por ello la recta (1’) representativa del diagrama de corrimientos verticales de la chapa (2), deberá pasar por C’ 12, intersección de la vertical de C12 con (1’), y por C’2, proyección de C2 sobre m-m, extendiéndose hasta la vertical extrema de la chapa (2). En cuanto al diagrama representativo de los corrimientos verticales de (3), será una recta paralela a (2’) que pasará por C’3 proyección de C3. En efecto, el desplazamiento relativo de (3) respecto de (2) es una traslación, por cuanto la articulación relativa entre las mismas es impropia y en consecuencia los corrimientos relativos entre los puntos de ambas chapas y por ende sus proyecciones en cualquier dirección, son todos iguales entre sí. Y, como las proyecciones verticales de los mismos están medidas en una cierta escala por las ordenadas comprendidas entre las rectas m-m y (2’) o bien m-m y (3’), al ser iguales para cualquier punto que se considere, deben ser necesariamente paralelas.

 Caso Especial 2: Cuando una de las chapas de la cadena cinemática posee dos condiciones de vínculo, constituidas por dos apoyos móviles paralelos, el diagrama de corrimientos, cualquiera sea la dirección del mismo, es una recta paralela al eje de referencia. En efecto, sea el sistema de la siguiente figura (Fig.17), cuyas chapas se encuentran vinculadas mediante apoyos móviles, dos de los cuales son paralelos (“B” y “C”). Determinada la ubicación de los polos, el correspondiente a la chapa (2) resulta ser el punto impropio de la dirección común de los apoyos. Por ello, los desplazamientos absolutos de (2) sólo podrán ser traslaciones, y como para una traslación de una chapa los corrimientos absolutos en una dirección cualesquiera son iguales para todos los puntos de la misma, resulta así que las ordenadas del diagrama correspondiente serán también iguales entre sí, reduciéndose a una recta paralela al eje de referencia de dicho diagrama. Por eso, si trazamos una recta cualquiera paralela al eje de referencia, la misma constituirá el diagrama de corrimientos verticales de la chapa (2), delimitado por las intersecciones de dicha recta con las proyecciones de los centros relativos de rotación de la chapa (2) con (1), y entre la chapa (2) y la (3). El trazado del resto del diagrama es ya conocido.

Estática

13.-

Líneas de influencia

7.- El principio de los trabajos virtuales en los cuerpos rígidos Dice lo siguiente: “Si un sistema de fuerzas en equilibrio está actuando sobre un cuerpo rígido (punto, chapa, cadena de chapas), el trabajo ejecutado durante un desplazamiento virtual del cuerpo es nulo”. Definimos como desplazamiento virtual a un desplazamiento imaginario, posible (ó compatible con los vínculos) y además infinitésimo (infinitésimo físico: Muy pequeño pero finito) Veremos la aplicación de este principio en puntos y chapas, pero antes recordaremos algunas cosas.

a).- Definición de trabajo (Fig. 18)

 dT  F .ds  F . ds .cos  (Este es el trabajo elemental)

el trabajo total será: b

T   F . ds . cos 

nosotros trabajaremos con el trabajo

a

elemental dT

b).- Trabajo elemental de una fuerza Demostraremos que el trabajo elemental de una fuerza es igual a la suma del trabajo elemental de sus componentes. Llamemos X e Y a las componentes de la fuerza F según dos ejes coordenados “x” e “y”; y x y y a las componentes del desplazamiento ds según los mismos ejes. Tendremos: (Fig.19)

   

dT  F .ds.cos  Estática

14.-

Líneas de influencia

cos   cos     cos  . cos   sen .sen dT  F.ds.cos  .cos   sen .sen 

pero

dT  F .cos  .ds.cos   F .sen ..ds.sen  dT  X .x  Y .y quedando demostrado lo dicho. c).- Trabajo elemental de un par Demostraremos que el trabajo elemental de un par de fuerzas es igual al producto de la intensidad del par por el ángulo de rotación (fig.20), siendo  infinitésimo. dT   F1.d1.  F2 .d 2 .  F. .d 2  d1  (por ser F1=F2=F).

dT  F. .d  F.d . y finalmente dT  M .

(aclaración: el par gira alrededor del polo C).

8.- Aplicación del principio de los trabajos virtuales A.- Supongamos un punto A sobre el que está aplicado un sistema de fuerzas Fi en equilibrio, y demos al mismo un desplazamiento virtual ds (fig.21). Fi= fuerza genérica del sistema en equilibrio. R= resultante del sistema de fuerzas. i= ángulo formado por la dirección del desplazamiento d s y una fuerza genérica Fi = ángulo formado por la dirección del desplazamiento d s y la resultante R. El trabajo virtual será

dT  d s . F .cos 

 F .cos 

dT   F . d s .cos  ;

pero d s  cte 

pero si el sistema está en equilibrio

que es la sumatoria de todas las componentes de las

 F .cos   d .R.cos   0

fuerzas en la dirección de ds es igual a 0, o sea dT  d s .

s

B.- Veamos el caso de una chapa. Supongamos que esta pasa de la posición AB a la A”B”’, de acuerdo a lo ya visto para grados de libertad y vínculos. Supongamos también que sobre la misma actúa un sistema de fuerzas en equilibrio (fjg.22), donde caben las siguientes aclaraciones: Fi= fuerza genérica del sistema de fuerzas en equilibrio. Xi= componente horizontal de la fuerza genérica Fi Yi= componente vertical de la fuerza genérica F i

Estática

15.-

Líneas de influencia

Durante la primera traslación, la chapa AB pasa a la posición A’ B’, y todos los puntos de la misma tienen el mismo recorrido horizontal x, y recorrido vertical nulo. Luego, el trabajo virtual ejecutado por las fuerzas será:

dT 1   xi .x x. xi

Efectuando el mismo análisis para la segunda traslación:

dT 2   yi .y y. yi

(por

ser

y=cte, y las fuerzas xi no realizan trabajo) Por último analizarnos la rotación  alrededor del punto A”, pasando la chapa de la posición A”B” a la A”B”’. El trabajo ejecutado por cada fuerza se analiza en detalle en la (fig.23). Si llamamos: i = distancia del centro instantáneo de rotación A” al punto de aplicación de la fuerza genérica F i Xi = Componente horizontal de la fuerza genérica F i Yi = Componente vertical de la fuerza genérica F i i= Ángulo formado por la horizontal y la dirección de i Tendremos entonces que el trabajo ejecutado por las fuerzas será:

dT 3   X i .x i Yi .y i (10)

Pero:

x i   i .sen i   i . .sen i   i . .

yi

i

y i   i . cos  i  i . . cos  i  i . .

  . yi xi

i

  .xi

Reemplazando en la ecuación (10)

dT 3   X i . . yi Yi . .xi ; y por ser =cte e infinitésimo para todas las fuerzas Fi, resulta:

dT 3   . X i . yi Yi .xi 

Luego, el trabajo elemental total durante el desplazamiento de la chapa de la posición AB a la posición A”B”, será:

dT  dT 1  dT 2  dT 3 dT  x. X i  y. Yi   . X i . yi  Yi .xi  Pero si el sistema está en equilibrio, su resultante es nula, o sea:

 X . y  Y .x   M  0 y  y las sumatorias de las componentes de las fuerzas Fi con respecto a Por ser  x los ejes “x” e “y”; y  X . y Y .x  la sumatoria de los momentos de esas mismas Xi  0

Yi  0 i

A"

i

i

i

i

i

i

i

i

i

componentes con respecto al punto A”.

Estática

16.-

Líneas de influencia

9.- Método cinemático Conociendo lo que hemos visto de cadenas cinemáticas de un grado de libertad y el principio de los trabajos virtuales, el trazado de las líneas de influencia por este método resultará muy sencillo. El procedimiento consiste en lo siguiente: dado un sistema cualquiera, isostáticamente sustentado, sujeto a la acción de una carga P de una dirección determinada, al poner en evidencia una incógnita X cualquiera, confiriendo al sistema un grado de libertad, lo transformamos en un mecanismo cinemático capaz de sufrir un desplazamiento independiente. Si damos al sistema un desplazamiento virtual, las fuerzas aplicadas al mismo: P y X producirán cada una un trabajo, cuya suma, de acuerdo con el principio de los trabajos virtuales, debe ser nula. Siendo n el corrimiento en la dirección de P de su punto de aplicación, y a el correspondiente a X, tendremos:

P.n  X .a  0



X n  X   Pues P=1 P a

Trazado un diagrama de corrimientos en la dirección de la fuerza P, la última expresión nos dice que las ordenadas n (y) del mismo corresponden, salvo escala y signo, a las ordenadas X de la línea de influencia de la incógnita X, para esa dirección. La escala resulta ser l/a, donde a es el desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita, proyectada en la dirección de la misma. El desplazamiento correspondiente a la incógnita varía según la naturaleza de la misma: Fuerza: Corrimiento en su dirección. Fuerzas opuestas: Corrimiento relativo según la dirección común. Par: Rotación absoluta Dos pares: Rotación relativa. Con respecto al signo, el mismo surgirá del análisis de la ecuación correspondiente, al aplicar el P.T.V.

Resumen: En todos los casos seguiremos el siguiente procedimiento: Dada la estructura isostática, se coloca la carga unitaria P=1t en una posición cualquiera. Se quita un vínculo simple, interno o externo, en correspondencia de la reacción o solicitación cuya LI queremos hallar, y se reemplaza dicho vínculo por una acción (fuerza ó momento) equivalente. La estructura isostática se habrá transformado así en una cadena cinemática de un grado de libertad sometida a un sistema de fuerzas en equilibrio. Se hallan los centros instantáneos y relativos de rotación de la cadena cinemática. Se da a la cadena cinemática un desplazamiento virtual compatible con los vínculos. Se aplica el P.T.V. que nos permitirá demostrar que los desplazamientos virtuales de la cadena representan en una cierta escala, la LI del vínculo suprimido. (Este principio nos dará también, según vimos, la escala y los signos de las correspondientes LI).

Ejemplo a).- Reacciones de vínculo externo. Sea el sistema de la (Fig.24), del que se pide la línea de influencia de la reacción R B. Puesta en evidencia la incógnita, observamos que el polo de la chapa coincide con la articulación fija A. Aplicando al mismo una elación vertical  trazamos un diagrama de corrimientos verticales posible, que será una recta de ordenada nula en la proyección de A. Con la notación de la figura resulta que:

P. p  RB .1  0



RB 

p

1

; siendo p variable

Para determinar 1 (corrimiento correspondiente a la incógnita), trazarnos por B’ una paralela a la dirección del corrimiento efectivo de B (normal a la dirección AB). Desproyectando sobre la misma el punto B” en B”’, obteniendo el vector B representativo del corrimiento efectivo de B, que proyectado a su vez sobre la dirección de RB nos da 1, el corrimiento correspondiente a la incógnita. Con respecto a la escala, ella será: 1t/1[cm]. Con respecto al signo, para el diagrama de la figura, y para el sentido dado a R B, el mismo es (+) positivo. Estática

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Líneas de influencia

NOTA: Es conveniente tener presente que los signos que se dan a los términos de la ecuación de los P.T.V. deriven del análisis de los trabajos que efectúan las fuerzas y/o momentos. Por lo tanto, si el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza se efectúa en el mismo sentido de aplicación de la misma (en la fig.24 será el caso de P), el trabajo es positivo. En caso contrario (el caso de R B), el trabajo es negativo, por lo ya apuntado. Si se debe analizar el signo del trabajo efectuado por un momento, se debe observar el sentido de la rotación del par y compararlo con el de la rotación de la cadena correspondiente.

Determinaremos a continuación las líneas de influencia de VA, de la (fig.25). Reemplazamos el apoyo fijo A por dos apoyos móviles, uno horizontal y el otro vertical. La incógnita la ponemos en evidencia suprimiendo el último de ellos, y reemplazándolo por la componente de reacción VA. El polo de la chapa es el punto O de intersección de las direcciones del apoyo móvil B con el que queda en A. Aplicada en O una elación vertical , trazamos el correspondiente diagrama de corrimientos verticales referido al eje A’B’, limitado por las ordenadas extremas A’A” y B’B”, en correspondencia con las verticales de A y B. Podemos entonces aplicar la ecuación conocida, resultando que:

P. p  VA . 2  0



VA 

p

1

En este caso particular, el corrimiento vertical de A coincide con el efectivo (por encontrarse el polo O sobre la horizontal de aquel punto), y además con el corrimiento correspondiente a la incógnita, por ser su dirección vertical, es decir: La escala será, según sabemos, 1t/2[cm]. El signo, para las condiciones de la figura, será (+) positivo. En la misma figura se procedió al trazado de la LI de la componente horizontal H A. Para ello suprimirnos el apoyo móvil horizontal, y lo reemplazamos por la fuerza HA. El polo C1 se encuentra ubicado en la intersección de los apoyos móviles. Aplicada en C 1 una elación vertical 1, trazamos el diagrama de corrimientos verticales correspondiente, referidos a A’B’. La determinación de la escala de la LI no es posible, en este caso directamente, ya que el corrimiento efectivo de A tiene componente vertical nula. En consecuencia, para determinarlo, es necesario recurrir al trazado del diagrama de corrimientos horizontales, que es inmediato. Eligiendo un eje vertical A1’B1’, proyectamos en C1” el polo C1 y por dicho punto trazamos una recta normal a la A’B”. Dicha recta, limitada por las proyecciones horizontales de A y de B, corresponde al diagrama de corrimientos horizontales. La ordenada A1’A1” del mismo nos da, en magnitud y sentido el Estática

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Líneas de influencia

corrimiento efectivo del punto A, que por ser H A horizontal será igual al corrimiento correspondiente a la incógnita.

En consecuencia, aplicando la ecuación tendremos:

P. p  H A . 3  0



HA  

p

3

La escala será, según sabemos 1t/3[cm]. El signo, para las condiciones dadas, será (—) negativo.

Mecanismos de Nudo Aquí se detallan los mecanismos que nos permitirán poner de manifiesto los distintos esfuerzos de una estructura.

El El El El

par de bielas de los mecanismos b y c deben ser paralelas. mecanismo a, que es una articulación no transmite Mf, pero si Q y N. mecanismo b, no transmite Q, pero si Mf y N. mecanismo c, no transmite N, pero si Mf y Q.

Estática

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