Armonicos Esfericos 3t3i4i

Armónicos esféricos

Sandra Anguiano Jiménez

ÍNDICE: • • • • • • • •

Definición Origen Características Teorema de la suma Visualización Expansión Aplicaciones en física Generalizaciones Sandra Anguiano Jiménez

1.Definición Los armónicos esféricos son funciones armónicas que representan la variación espacial de un conjunto ortogonal de soluciones de la ecuación de Laplace cuando la solución se expresa en coordenadas esféricas. Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, en particular en la física atómica y en la teoría del potencial que resulta relevante tanto para el campo gravitatorio como para la electrostática.

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Además estas funciones proporcionan un medio adecuado para describir deformaciones de una superficie esférica y, por tanto, pueden utilizarse para representar la forma angular de las funciones de las ondas, en particular, ciertos valores de theta y de pi definirán unos planos nodales para que los que estos se anulan, y la probabilidad de encontrar una partícula descrita por una función de onda en las proximidades de dichos planos es pequeña.

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2.Origen( de donde provienen...) Como sabemos la ecuación de Laplace para coordenadas esféricas viene dada por:

En esta podemos considerar dos la parte del radio (r) y la parte angular , así pues si dividimos nuestra función en

A la función Y se le denomina armónico esférico. Considerando, ,vamos a ver la expresión de estos...

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INCISO Los polinomios asociados de Legendre son una familia de polinomios ortogonales, soluciones de la ecuación diferencial de Legendre (que aparece al estudiar el modelo cuántico del átomo de Hidrógeno):

Para

la solución a la ecuación es de la forma:

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Así pues, estudiando la formula la solución es periódica y dependerá de dos enteros (l,m) y viene dada en términos de funciones trigonométricas y de polinomios asociados a Legendre: “Su expresión general es: donde n es la constante de normalización, y denomina función armónica esférica de grado l y orden m”. Cabe destacar que las coordenadas esféricas que estoy utilizando son exactamente: y y además cuando la ecuación de Laplace se resuelve sobre un dominio esférico cabe destacar que para que los números del grado l y del orden m sean enteros tienen que cumplir: y También, podemos destacar que dependiendo del ámbito donde nos encontremos podemos encontrar diversas normalizaciones diferentes, Sandra Anguiano Jiménez

algunas de estas constantes de normalización son: 1.Física y sismología:

con 2.Geodesia y análisis espectral:

3.Magnetismo:

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3.Características

= = = Sandra Anguiano Jiménez

• Las integrales de los armónicos esféricos vienen dadas por...

• (casos especiales)

=

=

=

= Sandra Anguiano Jiménez

4.Teorema de la suma Debemos mencionar también un resultado de sumo interés y utilidad para los armónicos esféricos:

“Dados dos vectores r,r’ con coordenadas

y con un ángulo γ entre ellos dado por:

El teorema de la suma expresa: ” Un polinomio de Legendre de orden l y ángulo γ se puede escribir en términos de los productos de dos armónicos esféricos con coordenadas angulares: ( y( Este teorema es válido para armónicos reales y complejos siempre que sean ortonormalizados, sino deberíamos quitar el 4*pi.

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5.Visualización Los primeros armónicos esféricos son de la forma:

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Sus partes reales y sus partes imaginarias son:

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También podemos escribirlos en coordenadas cartesianas, considerando

=

, theta=

,Phi=

por ejemplo,

=

=

=

=

Además, cabe destacar que: 1. Zonas armónicas son definidas de la forma: 2. Los sectores armónicos son de la forma: Sandra Anguiano Jiménez

Otra forma de visualizar los armónicos esféricos:

Representación esquemática de Ylm sobre la esfera unitaria. Ylm es igual a 0 a lo largo de m círculos que pasan a través de los polos, y a lo largo de l-m círculos de igual latitud. La función cambia de signo cada vez que cruza una de dichas líneas.

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La función armónica esférica real Y 32 mostrada a lo largo de cuatro cortes. Los armónicos esféricos son fáciles de visualizar contando el número de cruces por cero que ellos tienen tanto en dirección de las latitudes como de las longitudes. Para la dirección en las latitudes, las funciones asociadas de Legendre tienen l − | m | ceros, mientras que en sentido longitudinal, las funciones trigonométricas seno y coseno tienen 2 | m | ceros.

Cuando el armónico esférico de orden m es nulo o cero, las funciones armónicas esféricas no dependen de la longitud, y se dice que la función es zonal. Cuando l = | m | , no existen cruces por cero en sentido de las latitudes, y se dice que la función es sectorial. Para otro casos, las funciones forman otras figuras sobre la esfera. Sandra Anguiano Jiménez

6.Expansión Los armónicos esféricos forman un conjunto completo ortonormal de funciones y por lo tanto forman un espacio vectorial análogo a vectores unitarios de la base. En otras palabras, cualquier función de y se puede representar como una superposición de armónicos esféricos. Sobre la esfera unitaria, toda función de cuadrado integrable puede, por lo tanto, ser expandida como una combinación lineal de:

Esta expansión es exacta siempre y cuando “l” se extienda a infinito. Se producirá un error de truncamiento al limitar la suma sobre “l” a un ancho de banda finito L. Sandra Anguiano Jiménez

Los coeficientes de la expansión pueden obtenerse multiplicando la ecuación precedente por el complejo conjugado de los esféricos armónicos, integrando sobre un ángulo sólido , y utilizando las relaciones de ortogonalidad indicadas previamente. Para el caso de armónicos ortonormalizados, se obtiene:

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6. Aplicaciones en física • El átomo de hidrógeno El moderno modelo atómico cuántico del átomo de hidrógeno presupone que cada electrón en un estado estacionario de energía del electrón tiene una posición que se distribuye alrededor del núcleo atómico con una distribución de probabilidad cuya variación angular viene dada por un armónico esférico. • Análisis espectral  La potencia total de una función f en el procesamiento de señales electrónicas como la integral de la función elevada al cuadrado, divida por el área que abarca. Usando las propiedades de ortonormalidad de las funciones esféricas armónicas de potencia real unitaria, es fácil verificar que la potencia total de una función definida sobre la esfera unitaria se relaciona con sus coeficientes espectrales :

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Siendo

(espectro de potencia angular)

También se puede definir la potencia cruzada entre dos funciones como

siendo (espectro cruzado)

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6. Generalizaciones Los armónicos esféricos pueden ser vistos como representaciones de la simetría de grupos rotacionales alrededor de un punto SO(3) Grupos de rotaciones sobre el origen en 3 dimensiones de un espacio euclídeo R3 bajo la operación de composición.

y recubridor universal SU(2) Grupos especiales unitarios “grupos de matrices n x n con determinante igual a 1 con las entradas de C y la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices”.

Cada grupo de armónicos esféricos para un valor de l da una representación irreducible diferente del grupo SO(3). Además la esfera es equivalente a la esfera de Riemann. Sandra Anguiano Jiménez