Arranjo Simples 35571z

Arranjo simples Utilizamos o arranjo simples para obter a quantidade de agrupamentos possíveis de serem realizados com os elementos de um conjunto finito. No arranjo os elementos trocam de posição, ou seja, ordem. Com isso os agrupamentos tornam-se distintos, por possuírem seus elementos organizados em uma ordem diferente. Veja a seguir um exemplo de arranjo simples. Exemplo: Mostre os agrupamentos possíveis de serem realizados com o conjunto A ={5,6,7,8}; cada agrupamento deve possuir 3 elementos distintos. Reposta: (5,6,7) (5,6,8) (5,7,8) (6,7,8) (5,7,6) (5,8,6) (5,8,7) (6,8,7) (6,5,7) (6,5,8) (7,5,8) (7,6,8) (6,7,5) (6,8,5) (7,8,5) (7,8,6) (7,6,5) (8,5,6) (8,5,7) (8,7,6) (7,6,5) (8,6,5) (8,7,5) (8,6,7) Observe que as sequências formadas com 3 elementos são diferentes entre si, em alguns casos o conjunto possui os mesmo termos que outro conjunto, o que muda é a posição dos elementos. Como é o caso de (5,6,7) e (5,7,6); observe que os elementos 6 e 7 trocaram de posição, as sequências obtidos com três elementos referentes ao conjunto A ={5,6,7,8}; são chamadas de arranjo simples. Do exemplo acima obtemos que de um conjunto com 4 elementos distintos, podemos obter 24 arranjos simples. Podendo ser representar da seguinte forma:

A4,3=24 Para encontramos a quantidade de arranjos possíveis sem precisarmos expressas cada arranjo individualmente, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem. Definição: Dado um com A = {a1, a2, a3, ..., an} com n elementos distintos, chamaremos de arranjo simples toda a sequência formada por uma quantidade delimitada de elementos, sendo todos esses elementos pertencentes ao conjunto A.

Formula Geral para calcular o Arranjo Simples An,p=n!(n−p)! 

n = Quantidade total de elementos no conjunto.



P =Quantidade de elementos por arranjo

Exemplos: Dado o conjunto B = {d,e,f,g}, responda: a) Quantos são os arranjos simples dos elementos de B tomados de 2 a 2? Para calcular a quantidade de arranjos, basta aplicar a fórmula:

An,p=n!(n−p)! Nessa questão temos que: n = 4 (Quantidade total de elementos do conjunto B) p = 2 (Quantidade de elementos por arranjo) Substitua na equação n por 4 e p por 2

A4,2=4!(4−2)! A4,2=4!2! A4,2=4⋅3⋅2!2! A4,2=4⋅3 A4,2=12 Tomando os elementos do conjunto B de 2 a 2, será possível formar 12 arranjos. b) Quantos são os arranjos simples dos elementos de B tomados de 3 a 3? Aplicaremos a fórmula para arranjo simples:

An,p=n!(n−p)!

Nessa questão temos que: n = 4 (Quantidade total de elementos do conjunto B) p = 3 (Quantidade de elementos por arranjo) Substitua na equação n por 4 e p por 3

A4,3=4!(4−3)! A4,3=4!1! A4,3=4⋅3⋅2⋅1!1 A4,3=4⋅3⋅2 A4,3=24 Tomando os elementos do conjunto B de 3 a 3, será possível formar 24 arranjos.

Combinação simples A combinação simples pode ser definida como sendo um agrupamento dos elementos de um conjunto em subconjuntos. Na combinação a ordem dos elementos não é considerada na formação dos subconjuntos, ou seja, o subconjunto {A, B} e {B, A} são iguais, devendo ser considerado uma única vez na contagem da quantidade de combinações. A fórmula geral para encontrar as quantidades de combinações simples de um conjunto é representada por:

C(n,p)=n!p!⋅(n−p)! 

n = Número de elementos do conjunto.



P = Quantidade de elementos por subconjunto.

Exemplo 1: Utilizando a combinação simples e considerando o conjunto J ={A, B, C, D} encontre quantos subconjuntos e possível formar tomando os elementos de 2 em 2. 

Conjunto: J = {A, B, C, D}



n=4



p=2

C(n,p)=n!p!⋅(n−p)! C(4,2)=4!2!⋅(4−2)!

C(4,2)=242⋅2=244=6 Tomando os elementos do conjunto J ={A, B, C, D} de 2 em 2 é possível formar 6 subconjuntos. Representação dos subconjuntos por extenso: J = { AB, AC, AD, BC, BD, CD} Exemplo 2: Seja I um conjunto formado por {a, b, c, d}, tomando os elementos de 3 em 3, encontre quantos combinações simples podemos obter. 

Conjunto: I = {a, b, c, d}



n=4



p=3

C(n,p)=n!p!⋅(n−p)! C(4,3)=4!3!⋅(4−3)! C(4,3)=243⋅2⋅1⋅1!=246=4 Tomando os elementos do conjunto I ={a, b, c, d} de 3 em 3 é possível formar 4 subconjuntos. Representação dos subconjuntos por extenso: J = { (abc), (abd), (acd), (bcd) }

Arranjo com repetição O arranjo é um tipo de agrupamento estudo combinatória. O arranjo pode ser de dois tipos: 

Arranjo Simples



Arranjo com repetição

pela análise

Arranjo simples são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos, sendo assim, qualquer mudança dos elementos altera o agrupamento. No arranjo simples não ocorre a repetição de elementos no agrupamento. A fórmula geral do arranjo simples é representada por:

A(n,p)=n!(n−p)! 

n = Número de elementos do conjunto.



p = Quantidade de elementos por agrupamento.

Exemplo: Seja P um conjunto com elementos: P = {A,B,C,D}, tomando os agrupamentos de dois em dois, quantos arranjos simples podemos obter no conjunto P. 

P = { A, B, C, D}



n=4



p=2

A(n,p)=n!(n−p)! A(4,2)=4!(4−2)! A(4,2)=4⋅3⋅2⋅1!2⋅1! A(4,2)=242=12 Representação por extenso dos agrupamentos do arranjo simples: A= {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC}

Arranjo com repetição Os elementos que compõem o conjunto podem aparecer repetidos em um agrupamento, ou seja, ocorre a repetição de um mesmo elemento em um agrupamento. A fórmula geral para o arranjo com repetição é representada por:

A(n,p)=np 

n = Número de elementos do conjunto.



p = Quantidade de elementos por agrupamento.

Exemplo: Seja P um conjunto com elementos: P = {A,B,C,D}, tomando os agrupamentos de dois em dois, considerando o arranjo com repetição quantos agrupamentos podemos obter em relação ao conjunto P. 

P = {A, B, C, D}



n=4



p=2

A(n,p)=np A(4,2)=42=16 Representação por extenso dos agrupamentos do arranjo com repetição: A= {AA, AB, AC, AD, BB, BA, BC, BD, CC, CA, CB, CD, DD, DA, DB, DC} Observe que os agrupamentos com repetição de elementos do conjunto P são: AA, BB, CC e DD. A existência desses elementos referente ao agrupamento faz com que o arranjo seja do tipo com repetição.

Análise combinatória Podemos determinar a análise combinatória como sendo um conjunto de possibilidade constituído por elementos finitos, a mesma baseia-se em critérios que possibilitam a contagem. Realizamos o seu estudo na lógica matemática, analisando possibilidades e combinações. Acompanhe o exemplo a seguir, para poder compreender melhor o que vêm a ser a análise combinatória.

Exemplo: Descubra quantos números com 3 algarismos conseguimos formar com o conjunto numérico {1, 2, 3}. Conjunto de elementos finito: {1, 2, 3} Conjunto de possibilidades de números com 3 algarismos: {123, 132, 213, 231, 312, 321} Resposta Final: Com o conjunto numérico {1, 2, 3}, é possível formar 6 números. A análise combinatória estuda os seguintes conteúdos: 

Princípio fundamental da contagem



Fatorial



Permutação simples



Permutação com repetição



Arranjo simples



Combinação simples

Confira a seguir uma definição resumida de cada tópico estudo pela análise combinatória.

Princípio fundamenta da contagem Determina o número total de possibilidade de um evento ocorrer, pelo produto de m x n. Sendo n e m resultados distintos de um evento experimental. Exemplo: Jeniffer precisa comprar uma saia, a loja em que está possui 3 modelos de saia diferente nas cores: preto, rosa, azul e amarelo. Quantas opções de escolha Jeniffer possuí. Para solucionar essa questão utilizamos o principio fundamental da contagem. m = 3 (Modelos diferentes de saia), n = 4 (Cores que a saia possui) m x n = 3 x 4 = 12 Jeniffer possui 12 possibilidades de escolha.

Fatorial O fatorial de um número qualquer, e representado pelo produto: n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! Exemplo: Calcule 4! n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! 4! = 4 . (4 – 1) . (4 4! = 4 . 3. 4! = 24

–

2) 2

.

(4 .

–

3) 1

Permutação simples Na permutação os elementos que compõem o agrupamento mudam de ordem, ou seja, de posição. Determinamos a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto, com a seguinte expressão: Pn = Pn = n . (n-1) . (n-2) . (n-3).....1!

n!

Exemplo: Em uma eleição para representante de sala de aula, 3 alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quais são os possíveis resultados dessa eleição? Vanessa (V), Caio (C), Flávia (F) Os possíveis resultados dessa eleição podem ser dados com uma permutação simples, acompanhe: n = 3 (Quantidade de candidatos concorrendo a representante) Pn = n! Pn = Pn = 6

3

.

2

.

1!

Para a eleição de representante, temos 6 possibilidades de resultado, em relação a posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º lugar. Veja a seguir os possíveis resultados dessa eleição. Resultad Resultad Resultad Resultad Resultad Resultad o1 o2 o3 o4 o5 o6 VCF

VFC

CVF

CFV

FCV

FVC

Permutação com repetição Nessa permutação alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos, quando isso ocorrer devemos aplicar a seguinte fórmula:

Pn(n1,n2,n3…nk)=n!n1!⋅n2!⋅n3!…nk! 

Pn(n1,n2,n3…nk) = permutação com repetição



n! = total de elemetos do evento



n1!⋅n2!⋅n3!…nk! = Elementos repetidos do evento

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA. A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas vogais que se repetem (n1). 

n! = 4!



n1! = 2!

Pn(n1)=n!n1! Pn(n1)=4!2! Pn(n1)=4⋅3⋅2⋅1!2⋅1! Pn(n1)=242=12 Anagramas da palavra CASA sem repetição CASA

ACSA

ASCA

ASAC

SCAA

CSAA

AASC

AACS

CAAS

SAAC

SACA

ACAS

Arranjo simples No arranjo simples a localização de cada elemento do conjunto forma diferentes agrupamentos, devemos levar em consideração, a ordem de posição do elemento e sua natureza, além disso, devemos saber

que ao mudar os elementos de posição isso causa diferenciação entre os agrupamentos. Para saber a quantidade de arranjos possíveis em p agrupamento com n elementos, devemos utilizar a fórmula a seguir:

An,p=n!(n−p)! 

A = Arranjo



n = elementos



p = Agrupamentos

No arranjo a quantidade de agrupamento p, sempre deve ser menor que n, ou seja:

p≤n Exemplo: Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição. Para competir precisam fazer agrupamento com apenas 3 participantes. Quais são os agrupamentos possíveis? 

Quantidade de participantes da competição: n = 4



Quantidade de agrupamentos com apenas 3 participantes: p = 3

An,p=n!(n−p)! A4,3=4!(4−3)! A4,3=4⋅3⋅2⋅1!1! A4,3=241=24 É possível organizar 24 agrupamento para com três participantes em cada.

Combinação simples

Na combinação simples, em um agrupamento mudamos somente a ordem dos elementos distintos. Para que isso seja feito podemos recorrer à utilização da fórmula:

Cn,p=n!p!⋅(n−p)! 

C = Combinação



n = Elementos.



p = Agrupamento

Sendo sempre:

p≤n

Exemplo: De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos 

Total de bolinhas: n = 10



Quantidade de bolinhas por saquinho: p = 2

Cn,p=n!p!⋅(n−p)! C10,2=10!2!⋅(10−2)! C10,2=36288002⋅(8)! C10,2=36288002⋅(40320) C10,2=362880080640=45 Com 10 bolinhas distintas colocando duas em cada saquinho, é possível fazer 45 combinações.