Bahan Ajar Persamaan Kuadrat Smp.ppt v216i

Let’s Study Together

PERSAMAAN KUADRAT

ax  bx  c  0 2

STANDART KOMPETENSI Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma; persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat; sistem persamaan linear – kuadrat; pertidaksamaan satu variabel; logika matematika

KOMPETENSI DASAR Kompetensi Dasar Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknik yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat

INDIKATOR Menentukan akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat Menentukan sumbu simetri, titik puncak, sifat definit positif, atau negatif fungsi kuadrat dengan menlengkapkan bentuk kuadrat Menentukan fungsi kuadrat yang melelui tiga titik yang tidak segaris

Materi Prasyarat :  Bilangan BUlat  Operasi Bentuk Aljabar – Perkalian Bentuk aljabar – Pemfaktoran

Pretest Jabarkan

1. a) b) c) d)

2.

(x+y)2 =…………………….. (x- y)2 =…………………….. (x+y)(x-y) =…………………. (x+3)(x+2) =…………………

Faktorkan : a) b) c) d) e) f)

2x+ 6 4x2 – 12x x2 + 10x + 25 x2 - 5x + 6 n2 – 36 2x2 + 10x + 12

= .…(……+……) = .…(……+……) = (……….)(………..) =…………………. =………………. =……………..

Perkalian dan Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Masih ingatkah ? ( x+y)2 =……………… = ( x+y) (x+y) =x (x+y) + y ( x+y) = x2 + xy + xy + y2 ( x+y)2 = x2 + 2xy + y2

( x  y )  x  2 xy  y

2



dan x  2 xy  y  ( x  y )

2

2

2

2

2

Jabarkan • (x-y)2 = = ( x-y) (x-y)

=x (x-y) - y ( x-y) = x2 - xy - xy + y2 ( x-y)2 = x2 - 2xy + y2



( x  y )  x  2 xy  y 2

2

2

dan x  2 xy  y  ( x  y ) 2

2

2

• •

Jabaarkan (x+y) (x - y) = =x (x-y) + y ( x-y) = x2 - xy + xy + y2 ( x+y) (x - y) = x2 - y2



(x  y)( x  y )  x 2  y 2

dan x 2  y 2  (x  y)( x  y ) •

(x+3)(x+2) = =x(x+2) +3 (x+2) = x2+2x+3x+6 =x2 +5x +6

Pemfaktoran bentuk ax2+bx+c dengan a = 1 Contoh : Faktorkan x2 + 5x + 6 Jawab : x2 + 5x + 6 =

2 dan 3

Faktorkan x2 - 7x + 12 =

-3 dan x2 -2x -15 -4 = -5 dan 3

(x+2) (x+3)

( x - 3 )( x 4) (x-5) (x+3)

Mengingat kembali Pemfaktoran Pemfaktoran bentuk ax2+bx+c dengan a  1 Contoh : Faktorkan 2x2 + 7x + 6 Jawab : 2x2 + 7x + 6 = = 2x2 + 4x + 3x + 6 = 2x (x+2) + 3(x+2) 2x6= 12 = ( x + 2 )( 2x + 3 ) 4 dan 3

Jadi 2x2 + 7x + 6 = (x+2)(2x+3)

Pemfaktoran bentuk x2 + 2xy + y2 =( x+y)2 Contoh: Faktorkan x2 +10x+25 Jawab : x2 +10x+25 = x2 +2.x.5 + 52 = (x + 5)2 = (x +5)(x+5)

Pemfaktoran bentuk x2 - 2xy + y2 =( x-y)2 Contoh: Faktorkan x2 -12x+36 Jawab : x2 -12x+36 = x2 - 2.x.6 + 62 = (x - 6)2 = (x -6)(x-6)

Pemfaktoran bentuk x2 - y2 = ( x+y) (x - y) Contoh: Faktorkan x2 - 49 Jawab : x2 - 49 = x2 - 72 = (x + 7) (x -7) Latihan: Faktorkan x2 - 81 = x2 - 92 = (x + 9) (x -9) 3x2-48 = 3 (x2-16) = 3 (x+4)(x-4)

Latihan soal pemfaktoran

PERSAMAAN KUADRAT Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah:

ax2 + bx + c

= 0

Dengan a,b,c  R dan a  0 serta x adalah peubah (variabel) a merupakan koefisien x2 b merupakan koefisien x c adalah suku tetapan atau konstanta

Contoh 1:

Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat berikut: a. x2 – 3 = 0

c. 10 + x2 - 6x = 0

b. 5x2 + 2x = 0

d. 12x – 5 + 3x2 = 0

Jawab: a. x2 – 3 = 0

Jadi a = 1 , b = 0 , dan c = -3

b. 5x2 + 2x = 0

Jadi a = 5 , b = 2 , dan c =

c. 10 + x2 - 6x = 0

Jadi a = 1 , b = -6 , dan c = 10

d. 12x – 5 + 3x2 = 0

Jadi a = 3 , b = 12 , dan c = -5

0

Contoh 2:

Nyatakan dalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b dan c dari persamaan : a. 2x2 = 3x - 8

C. 2x - 3 =

b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)

Jawab: a. 2x2 = 3x – 8 Kedua ruas ditambah dengan –3x + 8 2x2

– 3x + 8 = 3x – 8

2x2 – 3x + 8 =

– 3x + 8

0

Jadi, a = 2 , b = -3 dan c = 8

5 x

Jawab: b. x2 = 2(x2 – 3x + 1) x2 = 2x2 – 6x + 2 x2 - x2

Kedua ruas dikurangi dengan x2

= 2x2 – 6x + 2 - x2

0 = x2 – 6x + 2 x2 – 6x + 2 = 0 Jadi a = 1 , b = -6 , dan c = 2 c. 2x - 3 =

5 x

Kedua ruas dikalikan dengan x

(2x – 3)x = 5 2x2 – 3x = 5 2x2 – 3x – 5 = 0 Jadi a = 2 , b = -3, dan c = -5

Jenis-jenis Persamaan Kuadrat (PK)  Pers Kuadrat Lengkap

contoh : x2 + 5x -6 =0 nilai a=….; b=…….dan c=…… 3x2-9x+6=0 nilai a=….; b=…….dan c=…… Pers Kuadrat tidak lengkap contoh : x2 + 6x =0 nilai a=….; b=…….dan c=…… 3x2 – 27 =0 nilai a=….; b=…….dan c=……

Latihan…. Nyatakan ke dalam bentuk baku persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai a, b, dan c! a. x2 = 4 – 3x

f.

b. (x – 1)2 = x - 2 c. (x + 2)( x – 3) = 5 d. (2 - x)( x + 3) = 2(x – 3) e. (x + 2)2 – 2(x + 2) + 1 = 0

3 – x = 4 x

g.

2 3  1 x x 1

h.

3 3  2 x 3 x 3

Buku Matematika SMU Latihan 1, hal 78 …

Selamat Mengerjakan ... .

“ Barangsiapa yang bersungguh-sungguh, pasti ia akan berhasil “ ( Al- hadits )

“ Sesungguhnya disamping kesulitan ada kemudahan“ ( Qs Al Insyraah: 5-6 )

Muflichati Nurin Az.

Pembahasan

….

b. (x – 1)2 = x - 2 Kedua ruas ditambahkan dengan –x + 2

x2 – 2x + 1 = x – 2

x2 – 2x + 1 -x + 2 = x – 2 -x + 2 x2 – 3x + 3 = 0

Jadi a = 1 , b = -3, dan c = 3

d. (2 - x)( x + 3) = 2(x – 3) 2x – x2 + 6 - 3x = 2x – 6 –x - x + 6 2

= 2x – 6 …???

–x2 - 3x + 12 = 0 Jadi a = -1, b = -3, dan c = 12

2 3 g.  1 x x 1 _________________ x(x-1) 2(x – 1) = 3x + 1 x(x – 1) 2x – 2

= 3x + x2 - x

2x – 2

= 2x + x2

…???

0 = X2 + 2 X2 + 2 = 0 Jadi a = 1 , b = 0 , dan c = 2

Menyelesaikan Pers Kuadrat Ada 3 cara menyelesaikan PK 1. Memfaktorkan 2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna 3. Rumus abc

Menyelesaikan PK dengan Memfaktorkan Contoh Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari PK x2 +9x + 14 =0 dengan memfaktorkan Jawab : x2 +9x + 14 = 0 (x+7)(x+2) = 0 (x+7) =0 atau (x+2)=0 x= 0-7 x=0-2 x =-7 x=-2 Himpunan Penyelesaian {-7,-2}

Tentukan himpunan Penyelesaian (HP) dari Persamaan Kuadrat Berikut :  x2 +8x-20 =0  2x2 -10 =0  2x2 + 7x + 6

Pembahasan 1. x2 +8x-20 =0

(x+10)(x-2)=0 x+10 =0 atau x-2 =0 x= -10 x=2 Himpunan Penyelesaian {-10,2}

Pembahasan 2. 2x2 -10 =0  2x (x-5) =0 2x =0 atau x-5 =0 x= 0 x=5 Himpunan Penyelesaian {0,5}

Pembahasan 3. 2x2 + 7x + 6 =0  (2x+3) (x+2) =0  2x+3 =0 atau x+2 =0 2x= -3 x = -2 x=

x = -2 3  2

Himpunan Penyelesaian

3 {2, } 2

Latihan Soal Latihan Soal di LKS atau Buku Evaluasi Mandiri

Menyelesaikan PK dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Mengingat Kembali Kuadrat sempurna

 x2 + 2xy + y2 =( x+y)2 Contoh x2 + 8x+ 16 = x2 + 2.x.4+ 42 = (x+4)2

 x2 - 2xy + y2 =( x-y)2 Contoh x2 - 14x+ 49 = x2 - 2.x.7+ 72 = (x-7)2

Menyelesaikan PK dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Tentukan HP dari x2 +8x-20 =0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna Jawab : x2 +8x-20 =0  x2 +8x = 20  x2 +8x + ( ½ .8)2 = 20 + ( ½ .8)2  x2 +8x + 16 = 20 + 16  ( x + 4 )2 = 36  ( x+ 4) =  36  x+4=6 Himpunan Penyelesaian { x = -4  6 10,2} x1 = -4 +6 atau x2=-4-6 = 2 atau = -10

Latihan Soal Tentukan HP dari Pk berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna. 1. x2+ 10x + 24 = 0 2. x2-6x-40 =0 3. 2x2+10x + 12 =0

Pembahasan x2+ 10x + 24 = 0 x2+ 10x + 24 = 0  x2+ 10x = - 24  x2+ 10x + ( ½.10)2 = - 24 + ( ½.10)2  x2+ 10x + 25 = -24 +25  (x +5)2 = 1  (x +5) = 1  (x +5) = 1  x = -5  1 x1 = -5+1 atau x2=-5-1 x1 = -4 atau x2= -6 Himpunan Penyelesaian { -6,-4} 1.

Pembahasan 2. x2-6x-40 =0 Jawab x2-6x-40 =0  x2 - 6x = 40  x2 - 6x + [ ½.(-6)]2 = 40 + [ ½.(-6)]2  x2 - 6x + 9 = 40 +9  (x -3)2 = 49  (x -3) = 49  (x -3) = 7  x = -3  7 x1 = -3+7 atau x2=-3-7 x1 = 4 atau x2= -10 Himpunan Penyelesaian { -10,4}

Pembahasan 3. 2x2+10x + 12 =0 Jawab 2x2+10x + 12 =0 kedua ruas dibagi dengan 2  2 x +5x + 6 =0  x2 +5x = -6  x2 +5x + [ ½.(5)]2 = -6 + [ ½.(5)]2  x2 +5x + (5/2)2 = -6 + (5/2)2  . 





.

5 25 ( x  ) 2  6  2 4

5 24 25 (x  )2    2 4 4 5 1 (x  )2  2 4 5 1 x  2 4 5 1 x  2 2 5 1 5 1 x1    atau x 2    2 2 2 2

x1  

4 6 atau x 2   2 2

x1  2 atau x 2  3

Himpunan Penyelesaian {  3,2}

Latihan Soal  LKS

atau Buku Evaluasi Mnadiri

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Menemukan Rumus abc ax 2  bx  c  0 b c  x 2  x   0 kedua ruas dibagi dengan a a a

b c  x2  x   a a b  1 b  x2  x   .  a  2 a

2

b  b   x2  x    a  2a 

2



b   x  2a   

 

b  x  2a 

2

2

c  1 b    .  a  2 a c  b      a  2a 

b  x  2a 



 

2

b 2  4ac  4a 2

b  b 2  4ac  x   2a  4a 2  

2

x1, 2

b b 2  4ac   2a 4a 2

2

c b2   2 a 4a 4ac b 2  2  2 4a 4a

x1, 2

 b  b 2  4ac  2a

Contoh Soal Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 2x2+10x + 12 =0 dengan menggunakan rumus Jawab 2x2+10x + 12 =0 a =2 ; b =10 dan c = 12

x1, 2

 b  b 2  4ac  2a

x1, 2 

 10  10  4.2.12 2 .2 2

x1, 2 

 10  4 4  10  2  4

x1, 2  x1, 2

 10  100  96 4

x1 

 10  2 4

x1  2

x2 

 10  2 4

x1  3

Himpunan Penyelesaiannya {-3,-2}

Latihan Soal Tentu

Latihan Soal Tentukan HP dari Pk berikut dengan menggunakan rumus 1. x2+ 10x + 24 = 0 2. x2-6x-40 =0 3. 2x2+10x + 12 =0

Penggunaan Persamaan Kuadrat dalam kehidupan sehari-hari ( soal cerita) Model matematika yang berhubungan dengan persamaan kuadrat Contoh : Kuadrat dari suatu bilangan dikurangi empat kali bilangan itu sama dengan -3. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut

Jawab • Langkah 1 Misalkan bilangan itu adalah x.

Langkan 2 berdasarkan kalimat tersebut diperoleh x2- 4x=-3 yang merupakan persamaan kuadrat Jadi model matematika dari permasalahan diatas adalah x2- 4x=-3

Latihan Soal Tentukan model matematika dari permasalahan berikut. • Kuadrat dari suatu bilangan ditambah dengan delapan kali bilangan itu dikurangi duapuluh sama dengan nol • Jumlah dua bilangan sama dengan 20. Hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75.

Pembahasan 1. Kuadrat dari suatu bilangan ditambah dengan delapan kali bilangan itu dikurangi duapuluh sama dengan nol Jawab : Langkah I : Misalkan bilangan itu n Langkah 2 : n2+8n -20 =0 Jadi model matematika dari permasalahan diatas adalah

n2+8n -20 =0

2. Jumlah dua bilangan sama dengan 20. Hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75. Jawab : Langkah 1 : Misalkan bilangan itu x dan y x+y = 20. selanjutnya x dirancang sebagai vareabel pers kuadrat shg y=20-x Langkah 2 : Hasil kalinya = 75 x . y = 75  x (20-x) = 75  20x-x2 = 75  -x2+20x-75=0 Jadi model matematika dari  x2-20x+75=0 permasalahan di atas adalah x2-20x+75=0

MANENTUKAN AKAR PERSAMAAN KUADRAT DENGAN MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA Illustrasi pertama (X – Y)(X –Y) (X – Y)2

= X2 – XY – XY + Y2 = X2 – 2XY + Y2 = X2 – 2XY + Y2

SEHINGGA : X2 - 2XY + Y2

= (X - Y)2

Illustrasi KEDUA

(2X + 2Y)(2X + 2Y) = 4X2 + 4XY + 4XY + 4Y2 = 4X2 + 8XY + 4Y2 (2X – 2Y)2 = 4X2 + 8XY + 4Y2 SEHINGGA : 4X2 + 8XY + 4Y2

= (2X)2 + 8XY + (2Y)2 = (2X + 2Y)2

Illustrasi ketiga

(2X – Y)(2X –Y) (X – Y)2

= 4X2 – 2XY – 2XY + Y2 = 4X2 – 4XY + Y2 = 4X2 – 4XY + Y2

SEHINGGA : 4X2 – 4XY + Y2

= (2X)2 – 4XY + Y2 = (2X – Y)2

Illustrasi Keempat (X + 3Y)(X + 3Y) (X – Y)2

= X2 + 3XY + 3XY + 9Y2 = X2 + 6XY + 9Y2 = X2 + 6XY + 9Y2

SEHINGGA : X2 + 6XY + 9Y2

= X2 + 6XY + (3Y)2 = (X - 3Y)2

BAGAIMANA DENGAN BENTUK PERSAMAAN

4X2 + 9Y2 = 12XY ?

PERHATIKAN : 4X2 + 9Y2 = 12XY (2X)2 + (3Y)2 = 12XY (2X)2 – 2.(2X).(3Y)+ (3Y)2 = 12XY – 2.(2X).(3Y) (2X)2 – 12XY+ (3Y)2 = 12XY – 12XY (2X – 3Y)2 = 0 2X – 3Y = 0 2X = 3Y

3 X Y 2

BAGAIMANA PULA DENGAN BENTUK X2 + 8X - 9 = 0 ? X2 + 2.4X - 9 = 0 X2 + 2.X.4 = 9 X2 + 2.X.4 + (4)2 = 9 + (4)2 (X + 4)2 = 25 X  4   25

X 4 5 X + 4 = 5 ATAU X + 4 = -5 X = 5 – 4 ATAU X = -5 – 4 X=1 ATAU X = -9

DARI BERBAGAI ILLUSTRASI DIATAS, APA KESIMPULANMU TENTANG PENYELESAIAN BENTUK PERSAMAAN KUADRAT DENGAN MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA ?

DARI BENTUK :

ax  bx  c  0 2