Balotario De Preguntas h3x6g

INGENIERÍA ECONÓMICA FINANCIERA

1

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Interés simple y compuesto

Ejercicio 1: El Ing. Juan Pérez va a invertir $150 000 a 3 años con un interés con un interés compuesto de 18 % anual, capitalizable cada año. ¿Cuánto va a recibir al vencimiento de la inversión? Solución: Capital Inicial= $ 150 000 Tasa de interés= 18 % anual

intereses en simple

año 0

saldo con interés simple

intereses en compuesto

$150,000

saldo con interés compuesto $150,000

1

$27,000

$177,000

$27,000

$177,000

2

$27,000

$204,000

$31,860

$208,860

3

$27,000

$231,000

$37,595

$246,455

Diferencia entre saldos = $ 15 455


Ejercicio 2: Compare el interés devengado por 500 dólares durante 10 años a un interés simple del 8% con el que devenga la misma cantidad en 10 años con un interés compuesto anual del 8%.

Solución Interés simple Datos: 𝑃 = $ 500.00 𝑛 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑖% = 8% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝐹 = 𝑃 + 𝐼 𝐼 = ¿?

Entonces: I = P ∗i∗n I = ($ 500) ∗ (8%) ∗ 10 𝐈 = $ 𝟒𝟎𝟎. 𝟎𝟎 Interés compuesto Ahora: 𝑰=𝑭−𝑷 𝑰 = ¿? Entonces: F = P(F/P, i%, N) F = 500(F/P, 8%, 10) 𝐅 = $ 𝟏𝟎𝟕𝟗. 𝟔𝟒 Finalmente: I= F−P I = 1079.46 − 500 𝐅 = $ 𝟓𝟕𝟗. 𝟒𝟔 2(a) Se pide calcular el interés devengado al 3º año por el método compuesto. F´ = P(1 + i)𝑁 F´ = 500(1 + 0.8)3 𝐅´ = $ 𝟔𝟐𝟗. 𝟗 I = F´ − P I = 629.9 − 500 𝐅 = $ 𝟏𝟐𝟗. 𝟗𝟎

2


Diagrama de Efectivo

2(b) Se pide calcular el capital del cliente al 8º año. Utilice el método de actualización.

De acuerdo con la ecuación financiera, nos sale: F8 = P(1 + i)𝑁 F8 = 500(1 + 0.08)8 𝐅𝟖 = $ 𝟗𝟐𝟓. 𝟒𝟕 Por el método de actualización: 1 P=F∗ (1 + 𝑖)𝑁 1079.46 P= (1.08)2 𝐏 = $ 𝟗𝟐𝟓. 𝟒𝟕

Ejercicio 3: Juan y Susana acaban de abrir una cuenta de ahorros en dos bancos diferentes. Cada uno depositó $ 1.000. El banco de Juan paga un interés simple a una tasa anual de 10%, mientras que el banco de Susana paga intereses compuestos a una tasa anual del 9.5%. Durante un periodo de tres años no se retirarán de las cuentas ni el capital ni los intereses. Al término de los tres años, ¿quién tendrá el mayor saldo y por cuánto será mayor (aproximando al dólar más cercano)? Solución:

3


Cuenta de Ahorros de Juan

Cuenta de Ahorros de Susana x

x i =9.5%

i =10

0

1

2

0

3

1

2

3

1.000

1.000 Cuenta de ahorros de Juan 𝐹 = $1.000(1 + (0.10)3 ) 𝑭 = $𝟏𝟎𝟎𝟏

Cuenta de ahorros de Susana 𝐹 = $1.000(1 + 0.095)3 𝑭 = $𝟏𝟑𝟏𝟐. 𝟗𝟑𝟐

El saldo mayor tendrá Susana, y este será mayor por $311.932

Tasa de interés nominal y efectiva Ejercicio 1: Si se tiene un interés del 36% capitalizado mensualmente, se pide calcular el interés efectivo anual.

Solución Datos: 𝑗 = 36% 1 + 𝑖 = (1 +

𝑚 = 12 𝑖 = ¿? Siguiendo la relación: 𝑗 𝑚 ) 𝑚

4


1 + 𝑖 = (1 + 𝒊 = 𝟒𝟐. 𝟓𝟖%

0.36 12 ) 12

Ejercicio 2: Si la tasa nominal anual es del 56% con capitalización trimestral, ¿cuál es la tasa efectiva mensual? Solución Datos:

𝑗 = 56% Siguiendo la relación: 𝑗 𝑚 ) 𝑚 0.56 4 1 + 𝑖 = (1 + ) 4 𝒊 = 𝟔𝟖. 𝟖𝟗% 1 + 𝑖 = (1 +

Luego: 𝑖´ = (1 + 𝑖) −1 𝑖´ = (1 + 0.6889)1/12 − 1 𝒊´ = 𝟒. 𝟒𝟔% 1/𝑚

Ejercicio 3: Si la tasa nominal es del 40% con capitalización semanal, calcular la tasa efectiva mensual y semestral. Solución Datos: 𝑗 = 40% ; 𝑚 = 52 Siguiendo la relación: 𝑗 𝑚 1 + 𝑖 = (1 + ) 𝑚 0.42 52 1 + 𝑖 = (1 + ) 52 𝒊 = 𝟒𝟖. 𝟗𝟓% (Anual) Luego, para hallar la semestral: 1 + 𝑖 = (1 + 𝑖´)𝑛 1 + 0.4895 = (1 + 𝑖´)2 𝒊´ = 𝟐𝟐. 𝟎𝟒% (Semestral)

5


Ejercicio 4: Si la tasa efectiva es del 8%, se pide calcular su tasa efectiva cuatrimestral. Solución Datos: 𝑗 = 8% ; 𝑚 = 3 Siguiendo la relación: 𝑛 1 + 𝑖 = (1 + 𝑖´) 3

𝑖´𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = √1 + 0.08 − 1 𝒊´𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 = 𝟐. 𝟓𝟗% (𝑻𝒂𝒔𝒂 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍)

Ejercicio 5: ¿Cuál es el interés por un capital de $ 5 000 en 35 días con un interés del 8% efectivo anual? Solución 1 + 0.08 = (1 + 𝑖´)365 𝑖´𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 0.021 Diagrama de efectivo:

Del diagrama, se tiene la siguiente ecuación financiera: F = 5000(1 + 2.1 ∗ 10−4 )35 𝐅 = $ 𝟓 𝟎𝟑𝟔. 𝟖𝟖 Ahora: I = F − C (capital) I = 𝟓 𝟎𝟑𝟔. 𝟖𝟖 − 500 𝐈 = $ 𝟑𝟔. 𝟖𝟖

Cálculo del valor presente de una serie de pagos

Ejercicio 1:

6


Una compañía solicitó un préstamo de $ 150,000 a una tasa de interés compuesto anual del 9% durante seis años. El préstamo se liquidará en pagos realizados el final de cada año,

150,000

0

1

20,000

2

20,000

3

10,000

4

20,000

5

6

20,000 X

de acuerdo con el programa de pagos que se muestra a continuación. ¿Cuál será el monto del último pago (X) que terminará de pagar el préstamo? Solución: Actualizamos al año 0, todos los pagos realizados durante 6 años. VP(año 1) =20,000( P/F,9%,1) VP (1) =18,348 VP(año 2) =20,000( P/F,9%,2) VP (2) =16,834 VP(año 3) =10,000( P/F,9%,3) VP (3) =7,722 VP(año 4) =20,000( P/F,9%,4) VP (4) =14,168 VP(año 5) =20,000( P/F,9%,5) VP (5) =12,998 VP(año 6) =20,000( P/F,9%,6) VP (6) =X( 0.5963)

7


8

P=150,000= 18,348+16,834+ 7,722+ 14,168+12,998 + X( 0.5963) X=134,043.27 El monto del último pago (X) que terminará de pagar el préstamo será de 134,043.27

Ejercicio 2 ¿Qué valor de A hace que los dos flujos de efectivos anuales de la figura sean equivalentes a un interés compuesto del 10% anual?

200 100

100

100

i =10

150

A

A

A

 0

1

2

3

4

5

0

1

Solución:

𝑃 𝑃 𝑃 𝑃1 = 100 ( , 10%, 3) + 150 ( , 10%, 4) + 200(( , 10%, 5) 𝐴 𝐹 𝐹 𝑃1 = 100(2.4869) + 150(0.6830) + 200((0.6209) 𝑃1 = $475.32

𝑃 𝑃 𝑃 𝑃2 = 𝐴 ( , 10%, 5) − 𝐴 ( , 10%, 1) − 𝐴 ( , 10%, 4) 𝐴 𝐹 𝐹 𝑃2 = 𝐴(3.7908 − 0.9091 − 0.6830) 𝑃2 = $2.1987𝐴

Como los flujos de efectivo son equivalentes:

𝑃1 = 𝑃2

2

3

4

5


9

475.32 = 2.1987𝐴 𝑨 = $𝟐𝟏𝟔. 𝟏𝟖

Ejercicio 3 Las dos transacciones de flujo de efectivo presentadas en la figura son equivalentes a un interés compuesto del 10% anual. Encuentre el valor de X que satisface esta equivalencia.

i =10

200

200 150

x

150 100

x

x

100

 0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

𝑃 𝑃 𝑃 𝑃1 = 200 + 150 ( , 10%, 1) + 100 [( , 10%, 3) − ( , 10%, 1)] 𝐹 𝐴 𝐹 𝑃 𝑃 + 150 ( , 10%, 4) + 200 ( , 10%, 5) 𝐹 𝐹

𝑃1 = 200 + 150(0.9091) + 100(2.4869 − 0.9091) + 150(0.6830) + 200(0.6209) 𝑃1 = $720.78

Luego, en el diagrama equivalente: 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃2 = 𝐴 ( , 10%, 5) − 𝐴 ( , 10%, 2) − 𝐴 ( , 10%, 4) 𝐴 𝐹 𝐹 𝑃2 = 𝐴(3.7908 − 0.8264 − 0.6830) 𝑃2 = $2.2814𝐴

Como los flujos de efectivo son equivalentes:

4

5


𝑃1 = 𝑃2 720.78 = 2.2814𝐴 𝑨 = $𝟑𝟏𝟓. 𝟗𝟑𝟖

Ejercicio 4 ¿Qué cantidad invertida ahora al 5% seria apenas suficiente para proporcionar tres retiros: uno por $1000 dentro de 2 años, otro por $2000 dentro de 5 años y uno mas por $3000 dentro de 7 años?

𝑃2 = 1000 [

1 ] = $907.03 (1 + 0.05)2

𝑃5 = 2000 [

1 ] = $1567.05 (1 + 0.05)5

𝑃7 = 3000 [

1 ] = $2132.04 (1 + 0.05)7

𝑷𝑻 = 𝑷𝟐 + 𝑷𝟓 + 𝑷𝟕 = $𝟒𝟔𝟎𝟔. 𝟏𝟐 ECUACIÓN FINANCIERA: PT = 1000(P⁄F , 5%, 2) + 1000(P⁄F , 5%, 5) + 1000(P⁄F , 5%, 7) 𝐏𝐓 = $𝟒𝟔𝟎𝟔. 𝟏𝟐

RESPUESTA: La cantidad a invertir necesaria para hacer los tiros mencionados anteriormente es de $𝟒𝟔𝟎𝟔. 𝟏𝟐

10


Series uniformes

Cálculo del valor de una serie dado su valor futuro

Ejemplo1: Que serie anual de pagos iguales debe pagarse a un fondo de amortización para acumular las siguientes cantidades?

a)

$15000 en 18 años a un interés compuesto del 6% anual

𝐴 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐅 , 𝟔%, 𝟏𝟖) = 15000 [

b)

$20000 en 15 años a un interés compuesto del 9% anual 𝐴 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐅 , 𝟗%, 𝟏𝟓) = 20000 [

c)

0.09 ] = $𝟔𝟖𝟏. 𝟏𝟖 (1 + 0.09)15 − 1

$5000 en 20 años a un interés compuesto del 9% anual 𝐴 = 𝟓𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐅 , 𝟗%, 𝟐𝟎) = 5000 [

d.

0.06 ] = $𝟒𝟖𝟓. 𝟑𝟓 (1 + 0.06)18 − 1

0.09 ] = $𝟗𝟕. 𝟕𝟑 (1 + 0.09)20 − 1

$10000 en 5 años a un interés compuesto del 8% anual 𝐴 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐅 , 𝟖%, 𝟓) = 10000 [

0.08 ] = $𝟏𝟕𝟎𝟒. 𝟓𝟔 (1 + 0.08)5 − 1

11


Ejemplo 2: Parte del ingreso que genera una maquina se coloca a un fondo de amortización a fin de poder reemplazar una vez que se desgaste. Si se depositan $500 anuales a una tasa de interés del 6% ¿Cuántos años hay que conservar la maquina antes de poder comprar la nueva con un costo de $10000?

𝐹 = 𝐴[

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑖

10000 = 500 [

(1 + 0.06)𝑛 − 1 ] 0.06

2.2 = 1.06𝑛 log 2.2 = 𝑛 log 1.06 𝒏 = 𝟏𝟑. 𝟓𝟑 𝒂ñ𝒐𝒔

RESPUESTA: Para poder comprar una maquina nueva de $10000 es necesario conservar la maquina conservar la maquina que usamos actualmente por un periodo de 13.53 años.

Ejemplo 3: Un fondo mutuo sin carga (libre de comisiones) ha crecido a una tasa del 15% compuesto anual desde su inicio. Si se anticipa que seguirá creciendo a esta tasa ¿Cuánto hay que invertir cada año para que se acumulen $10000 al final de los 5 años?

12


𝐴 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐅 , 𝟏𝟓%, 𝟓) = 10000 [

0.15 ] = $𝟏𝟒𝟖𝟑. 𝟏𝟔 (1 + 0.15)5 − 1

RESPUESTA: Cada año se recomienda invertir el valor de $1483.16 para que dentro de 5 años se pueda obtener finalmente $10000.

Ejemplo 4: ¿Qué serie de pagos iguales anualmente se requiere para reponer las siguientes cantidades actuales? a)

$10000 en 4 años a un interés compuesto del 10% anual 4

0.1(1 + 0.1) 𝐴 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐏 , 𝟏𝟎%, 𝟒) = 10000 [ ] = $𝟑𝟏𝟓𝟒. 𝟕𝟏 (1 + 0.1)4 − 1 b)

$5000 en 3 años a un interés compuesto del 12% anual 0.12(1 + 0.12)3 𝐴 = 𝟓𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐏 , 𝟏𝟐%, 𝟑) = 5000 [ ] = $𝟐𝟎𝟖𝟏. 𝟕𝟒 (1 + 0.12)3 − 1

c)

$6000 en 5 años a un interés compuesto del 8% anual 0.08(1 + 0.08)5 𝐴 = 𝟔𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐏 , 𝟖%, 𝟓) = 6000 [ ] = $𝟏𝟓𝟎𝟐. 𝟕𝟒 (1 + 0.08)5 − 1

d)

$80000 en 30 años a un interés compuesto del 9% anual 0.09(1 + 0.09)30 𝐴 = 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐏 , 𝟗%, 𝟑𝟎) = 80000 [ ] = $𝟕𝟕𝟖𝟔. 𝟗𝟏 (1 + 0.09)30 − 1

Ejemplo 5: Usted ha obtenido un préstamo de $10000 a una tasa de interés del 15%. Se efectuaran pagos iguales durante un periodo de 3 años (el primer pago al final del primer año). El pago anual será de (), y el pago de interés del segundo año de ().

13


𝐴 = 10000 [

Final del Periodo 0 1 2 3

Amortización

$2879.77 $3311.74 $3808.49

0.15(1 + 0.15)3 ] = $𝟒𝟑𝟕𝟗. 𝟕𝟕 (1 + 0.15)3 − 1

Interés

$1500 $1068.03 $571.27

•I1=Pxi •I1=10000x0.15=1500

•I1=Pxi •I1=7120.23x0.15=1068.03

•a1=4379.77-1500 •a1=2979.77

•a1=4379.77-1068.03 •a1=3311.74

Primer Año

Segundo Año

Cuota

Balance

$4379.77 $4379.77 $4379.77

$10000 $7120.23 $3808.49 0

•I1=Pxi •I1=3808.49x0.15=571.27

Tercer Año

RESPUESTA: El pago de interés del segundo año es de $1068.03

Cálculo del valor futuro de una serie uniforme

Ejercicio 1 ¿Cuál es el valor futuro de una serie de depósitos iguales de fin de año de $1500 durante 10 años en una cuenta de ahorros que genera un interés anual de 9%?

14


𝐹𝑇 = 𝐴 [

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 0.09)10 − 1 ] = $22789.39 ] = 1500 [ 𝑖 0.09

ECUACIÓN FINANCIERA: 𝑭𝑻 = 𝟏𝟓𝟎𝟎(𝐅⁄𝐀 , 𝟗%, 𝟏𝟎) = $𝟐𝟐𝟕𝟖𝟗. 𝟑𝟗

RESPUESTA: Si se deposita anualmente un valor de $1500 con una tasa de 9% durante 10 años, se podrá esperar un valor futuro de $𝟐𝟐𝟕𝟖𝟗. 𝟑𝟗

Ejercicio 2 ¿Cuál es el valor futuro de las siguientes series de pagos? a) $2000 al final de cada año durante 10 años a un interés compuesto de 7% anual. 10

(1 + 0.07) 𝐹 = 𝟐𝟎𝟎𝟎(𝐅⁄𝐀 , 𝟕%, 𝟏𝟎) = 2000 [ 0.07

−1

] = $𝟐𝟕𝟔𝟑𝟐. 𝟖𝟗

b) $1000 al final de cada año durante 5 años a un interés compuesto de 8.25% anual.

(1 + 0.0825)5 − 1 𝐹 = 𝟏𝟎𝟎𝟎(𝐅⁄𝐀 , 𝟖. 𝟐𝟓%, 𝟓) = 1000 [ ] = $𝟓𝟖𝟗𝟓. 𝟗𝟐 0.0825

c)

$500 al final de cada año durante 20 años a un interés compuesto de 10% anual. 20

(1 + 0.1) 𝐹 = 𝟓𝟎𝟎(𝐅⁄𝐀 , 𝟏𝟎%, 𝟐𝟎) = 500 [ 0.1

−1

] = $𝟐𝟖𝟔𝟑𝟕. 𝟒𝟗

15


d) $300 al final de cada año durante 15 años a un interés compuesto de 12.25% anual. (1 + 0.1225)15 − 1 𝐹 = 𝟑𝟎𝟎(𝐅⁄𝐀 , 𝟏𝟐. 𝟐𝟓%, 𝟏𝟓) = 300 [ ] = $𝟏𝟏𝟒𝟏𝟏. 𝟓𝟕 0.1225 Ejercicio 3 Suponga que se depositan 1000 dólares en una cuenta bancaria al final de cada trimestre durante los próximos 10 años. Determine el valor futuro al final de los 10 años si la tasa de interés es del 8% compuesto: a) Trimestralmente b) Mensualmente F Solución: 0

1

2

3

…

A=$1000; j=8%

a) 𝑚 = 14

𝑗 𝑚

→

𝑗 𝑚

= 0.08 4 = 0.02(2% de efectivo trimestral)

𝐹 𝐹 = $1000 ( , 2%, 40) 𝐴 𝐹 = $1000(60.4020) = 6040.20

b) 𝑗 = 8 𝑚 = 12 De la fórmula: 1 + 𝑖 = (1 +

𝑗 𝑚 ) 𝑚

40

16


𝑗 𝑚

=

0.08 (0.67 12

% efectivo mensual)

Calculamos la tasa efectiva trimestral: 1 + 𝑖 = (1 + 0.0067)3 𝑖 = 0.020235 = 2.0235% Ecuación Financiera: 𝐹 𝐹 = $1000 ( , 2.0235%, 40) 𝐴 𝐹 = $60710.6011

Valor presente de una serie uniforme

Ejercicio 1: Una empresa realiza una venta y sus inventarios representan una baja de $ 12,000, a cambio de esto la empresa recibirá seis pagos mensuales por el mismo monto a partir del 1er. Mes; la tasa de interés por la venta al crédito es del 3%. Determine el valor de los montos a pagar mensualmente. Solución: Diagrama de Efectivo

A 0

1

2

3 i = 3%

$12000

4

5

6

17


A=

?

P=

12000

i=

3%

n=

6

A=

P(A/P,3%,6,)

A=

12000* [0,03(1+0,03)⁶ (1+ 0,03)⁶-1

A= $ 2215,17

El monto a pagar mensualmente es de $2215,17. Ejercicio 2: Un aparato eléctrico que tiene un precio de contado de $ 12,000 se compra a crédito bajo las siguiente condiciones: Interés mensual 3%, pago de seis mensualidades iguales, las primeras tres mensualidades se pagan al final de los meses 1,2, y 3, se suspenden los pagos en los meses 4, 5,6, y 7 y las últimas tres mensualidades se cubren al final de los meses 8,9 y 10. Calcular el valor de cada una de las seis mensualidades. Solución: Diagrama de Efectivo

0

A

A

A

1

2

3

4

5

6

$12000 𝐏=

𝐀 (𝟏 + 𝐢)𝐧

7

A

A

8

9

A 10

18


𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 =

𝐀 (𝟏+𝟎.𝟎𝟑)𝟏

+

𝐀 (𝟏+𝟎.𝟎𝟑)𝟐

+

𝐀 (𝟏+𝟎.𝟎𝟑)𝟑

+

𝐀 (𝟏+𝟎.𝟎𝟑)𝟖

+

𝐀 (𝟏+𝟎.𝟎𝟑)𝟗

+

𝐀 (𝟏+𝟎.𝟎𝟑)𝟏𝟎

A = $ 2339.85

El monto a pagar mensualmente es de $339.85.

Ejercicio 3 ¿Cuál es el valor actual de las siguientes series de pagos? (a) 700 dólares al final de cada año durante 12 años a un interés compuesto del 5% anual (b) 500 dólares al final de cada año durante 10 años a un interés compuesto del 10% anual (c) 1000 dólares al final de cada año durante 5 años a un interés compuesto del 8.25% anual (d) 2000 dólares al final de cada año durante 8 años a un interés compuesto del 9.75% anual.

Solución:

a) Ecuación Financiera: 𝑃 𝑃 = 700( , 5%, 12) 𝐴 (1 + 0.05)12 − 1 𝑃 = 700 [ ] (0.05)(1 + 0.05)12

𝑃 = $ 6204.28 b) Ecuación Financiera: 𝑃 𝑃 = 500( , 10%, 10) 𝐴 (1 + 0.10)10 − 1 𝑃 = 500 [ ] (0.10)(1 + 0.10)10 𝑃 = $3072.28 c) Ecuación Financiera:

19


20

𝑃 𝑃 = 1000( , 8.25%, 5) 𝐴 (1 + 0.0825)5 − 1 𝑃 = 1000 [ ] (0.0825)(1 + 0.0825)5 𝑃 = $3966.54 d) Ecuación Financiera: 𝑃 𝑃 = 2000( , 9.75%, 8) 𝐴 (1 + 0.0975)8 − 1 𝑃 = 2000 [ ] (0.0975)(1 + 0.0975)8 𝑃 = $10767.66

Serie de gradiente uniforme aritmética Ejercicio 1: El señor Jaime Perez está planeando hacer una contribución a la universidad de la cual es egresado. Él desearía donar hoy una cantidad de dinero, de modo que la universidad pueda apoyar estudiantes. Específicamente, desearía proporcionar apoyo financiero para las matrículas de cinco estudiantes por año durante 15 años en total (es decir, 16 becas), efectuando la primera beca de matrícula de inmediato y continuando en intervalos de 1 año. El costo de la matrícula en la universidad es de $3800 anuales y se espera que se mantenga en esa cantidad durante 2 años más. Después de ese momento, sin embargo, el costo de la matrícula aumentará en $30 por año. Si la universidad puede depositar la donación y obtener un interés a una tasa 8%, ¿cuánto debe donar el señor Pérez? Diagrama de efectivo y detalle de pago

Pago por año Año

Pago

Año

Pago

0 1 2 3 4 5 6 7

$3,800 $3,800 $3,800 $3,830 $3,860 $3,890 $3,920 $3,950

8 9 10 11 12 13 14 15

$3,980 $4,010 $4,040 $4,070 $4,100 $4,130 $4,160 $4,190


Como podemos darnos cuenta, esta serie compuesta se puede descomponer en otras dos claramente notables: una simple serie de pagos de 3800 desde el año 0 hasta el año 15, y otra con gradiente aritmético de $30 desde el año 1 hasta el año 15 (posteriormente habrá que llevarla al año 1). P=PA+PG Paso 1. Se debe trabajar con la serie uniforme con A=$3800, el esquema de calculo del valor actual de serie funciona a partir del año 1, por ello adicionamos el 3800 del año 0. 𝑃 𝑃𝐴 = 3800 + 3800( , 8%, 15) 𝐴 𝑃𝐴 = 3800 + 3800(8.5595) 𝑃𝐴 = $36326.10 Paso 2. Se debe con el gradiente aritmético de G=$30, desde el año 1, luego trasladarlo con un factor de actualización 𝑃 𝑃 𝑃𝐺 = 30 ( , 8%, 14) ( , 8%, 1) 𝐺 𝐹 𝑃𝐺 = 30(43.4723)(0.9259) 𝑃𝐺 = $1207.53 Paso 3. Calculamos el total que el señor Pérez debe donar 𝑃 = 36326.10 + 1207.53 𝑃 = $37533.63 El monto calculado es por alumno, por lo tanto el monto total debe ser $187688.15 Rpta. El monto total donado por el señor Pérez vale en la actualidad $187688.15

Ejercicio 2:

Calcule el valor del depósito adicional “x” que se tiene que agregar en la serie de flujo de efectivo que se muestra a continuación de manera que el valor anual equivalente desde el mes 1 hasta el mes 14 sea $5000 utilizando una tasa de interés de 12% nominal anual compuesto mensualmente.

21


Flujo de efectivo

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

100 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 +

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x x x x x x x x x x x x x

Esta serie puede ser desmontada en dos componentes, una constante de 100 por los catorce mese y otra gradiente con valor de gradiente “x”. En total la situación es así: 5000=PA+PG Paso 1. Calculamos el interés mensual pues poseemos el anual nominal (1 + 0.12) = (1 + 𝑖 ′ )12 𝑖 ′ = 0.9489% Paso 2. Trabajamos con la serie uniforme de valor A=$100 𝑃 𝑃𝐴 = 100 ( , 0.9489%, 14) 𝐴 𝑃𝐴 = 100 (

(1 + 0.009489)14 − 1 ) 0.009489 × (1 + 0.009489)14

𝑃𝐴 = 100(13.0521) 𝑃𝐴 = $1305.21 Paso 3. Calculamos el dinero restante para PG 5000 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐺 5000 = 1305.21 + 𝑃𝐺 𝑃𝐺 = $3694.79 Paso 4. Usamos este valor para calcular x

22

INGENIERÍA ECONÓMICA FINANCIERA 𝑃 𝑃𝐺 = 𝑋 ( , 0.9489%, 14) 𝐺 (1 + 0.009489)14 − 1 1 14 3694.79 = 𝑋( ×( − )) 14 (1 + 0.009489)14 − 1 0.009489 0.009489 × (1 + 0.009489) 3694.79 = 𝑋(84.0547) 𝑋 = $43.96 Rpta. El valor del depósito adicional “x” debe ser de $43.96, de manera que satisfaga lo requerido por el problema

Ejercicio 3:

Encuentre el valor presente de una serie de ingresos en la cual el flujo de caja en el año 1 es $1200 y crece $300 por año hasta el año 11, sabiendo que la tasa de interés para eta operación es de 15% anual.

SOLUCIÓN: PT = PA + PG 1.1511 −1

PA = 1200 x (0.15(1.15)11 ) PA = 1200 x 5.2337 PA = $ 6280.45 300

1.1511 −1

11

PG = 0.15 x (0.15(1.15)11 − 1.1511 ) PG = 300 x 19.1289 PG = $ 5738.67

23


PT = 6280.4542 + 5738.67 PT = $ 12019.12

Series geométricas Ejercicio 1: Usted desea comprar una casa cuyo valor es de 50 millones de dólares, pero al reunir sus ahorros, cesantías, préstamos, primas, etc., solo tiene 30 millones, entonces va al banco y solicita un crédito por 20 millones a 10 años con un interés del 30% anual. Usted decide estudiar 3 esquemas. a)

Cuota anual uniforme a 10 años

b)

Cuota creciente anual en un 20%

¿Cuál es el mejor esquema desde el punto de vista financiero?

Solución: a)

Deseamos saber cuál será la cuota

Para esto debemos ver el diagrama de flujo 20 millones 1

2 3

4

5 6

A=? Ecuación financiera A=20 x 106 (A/P, 30%,10) (1+0.3)10 −1

A=20 x 106 (0.3 (1+0.3)10 )−1 A=20 x 106 (0.323463) A=6469260

7 8

9

10

24


b)

25

Deseamos saber cuáles serán las cuotas siguientes: 20 millones 1

2 3

4

5 6

7 8

9

10

Formulamos la fórmula financiera: 1.2 10 ) −1 1.3

(

P=A(

0.2−0.3

)

20 x 106=A (5.5086289) A= 3630667 dólares

Pero si observamos los pagos van a ir en aumento, y dependiendo de lo que se tiene cada año se podría tomar una decisión. Ejercicio 2: Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una profesión. En la Universidad donde él desea inscribirlo normalmente las carreras duran 8 semestres y la colegiatura semestral actualmente es de $20,000 y crece por razón de la inflación un 10% semestral. Para lograrlo el padre de familia decide ahorrar una cantidad anual durante 10 años, empezando al final del octavo cumpleaños de su hijo. Si la cuenta de ahorros le da el 15% anual de intereses y el primer pago de colegiatura se hará al final de la primera mitad del año 18 del ahorro, ¿De qué tamaño deben ser las anualidades que se depositan en dicha cuenta de ahorros de modo que al pagar la última colegiatura se agote este ahorro?

1 7

8

9

10

11 12

13 14

15

16

17

2

3

4

5

6

7

8


PASO 1. Debemos calcular la mensualidad del último semestre del año 17. La fórmula financiera es: El número de semestres son 22 semestres F=P (F/P, 10%,22) F= 20000(1.10)22=162805.50 PASO 2. Debemos calcular la tasa de interés semestral (1+1.15)(1/5)= (1+i) i=0.0724 PASO 3. Debemos calcular el valor presente (

P=A(

8 1.1 ) −1 1.0724

0.1−0.0724

)

P=162805.5(8.1676)=1329730.202 PASO 4. Calcular el valor de A A=P(A/P, 15%,10) 0.15

A=1329730.202(1.1510 −1) A=65491.95504

Combinación de fórmulas financieras

Ejercicio 1: Los titulares de un diario local anunciaron:” Bo Smith firma por $ 30 millones”. El artículo revelaba que el 1 de Abril de 2006, Bob Smith, el ex corredor ganador de todas las marcas de fútbol universitario, había firmado un contrato de $ 30 millones con el equipo de los Leones de Nebraska. Los términos del contrato eran $ 3 millones inmediatos, $ 2.4 millones por año los primeros cinco años (con el primer pago después de un año) y $ 3 millones por año durante los

26


27

siguientes cinco años (con el primer pago al terminar el año 6). Si la tasa de interés es del 8% compuesto anual, ¿Cuánto vale el contrato de Bo al momento de la firma del mismo?

Solución:

GRUPO 2

GRUPO 3

GRUPO 1 VP= ¿?

A’

A’

A’

A’

A’

6

7

8

9

10

3’ 000, 000

0

1

2

3

4

5

A’ = 3’000,000 A= 2.4’000,000

Actualizando todos los montos de dinero (grupos) al año 0 (momento de la firma del contrato). Tenemos así: Grupo 1: VP= 3’000,000 Grupo 2: VP= 2.4’000,000 (P/A, 8%,5) VP=9’582,480 Grupo 3: VP= 3’000,000 (P/A, 8%,5) (P/F,8%,5) VP=8’152,294.86 Para el total de grupos: P= 3’000.000 +9’582,480+8’152,294.86 P=20’ 734,774.86


El contrato de Bo al momento de la firma del mismo vale P=20’ 734,774.86.

Ejercicio 2: Si durante los próximos 5 años desea retirar las siguientes cantidades de una cuenta de ahorros que produce un interés compuesto del 6% anual, ¿cuánto tiene que depositar ahora? n 2 3 4 5

Cantidad $ 2000 3000 5000 3000

Solución Caso: Plan de ahorros Diagrama de Efectivo:

Ecuación financiera: 𝑃 = 2000(𝑃/𝐹, 6%, 2) + 3000(𝑃/𝐹, 6%, 3) + 5000(𝑃/𝐹, 6%, 4) + 3000(𝑃/𝐹, 6%, 5) 𝑃 = 2000(0.8900) + 3000(0.8396) + 5000(0.7921) + 3000(0.7473) 𝑷 = $ 𝟏𝟎 𝟓𝟎𝟏. 𝟐 Ahora tendría que depositar $ 10 501.2 para poder obtener los ingresos proyectados según el plan de ahorros que se ha determinado. (a) Determine cómo sería el plan de ahorros si el cliente quiere hacer retiros en cantidades iguales. Factor de recuperación del capital:

28


𝑖(1 + 𝑖)𝑁 𝐴 = 𝑃[ ] (1 + 𝑖)𝑁 − 1 0.06(1.06)5 𝐴 = 10501.2 [ ] (1.06)5 − 1 0.06(1.06)5 𝐴 = 10501.2 [ ] (1.06)5 − 1 𝑨 = $𝟐𝟒𝟗𝟐. 𝟗𝟓 El plan de ahorros, para retiros en cantidades iguales, sería con una cuota de $2492.95

(b) El cliente del banco quiere un plan de retiro en cuotas iguales, pero empezando desde el año 2. I MÉTODO Diagrama de Efectivo:

P=10501,2 Ecuación financiera: 𝐴 = 𝑃(𝐹/𝑃, 6%, 1)(𝐴/𝑃, 6%, 4) Entonces: F = P(1 + i)𝑁 F = 10501(1 + 0.06)1 𝐅 = $ 𝟏𝟏 𝟏𝟑𝟏. 𝟎𝟔 𝐅 = 𝐏´ 𝐴 = 11 131.06(𝐴/𝑃´, 6%, 4)

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𝐴 = 11 131.06(0.2886) 𝑨 = $ 𝟑𝟐𝟏𝟐. 𝟒𝟐 II MÉTODO Calculamos el valor F de los 5 años más la tasa de amortización. Diagrama de Efectivo:

Ecuación financiera: 𝐴 = 𝑃(𝐹/𝑃, 6%, 5)(𝐴/𝐹, 6%, 4) Entonces: F = P(1 + i)𝑁 F = 10501(1 + 0.06)5 𝐅 = $ 𝟏𝟒𝟎 𝟓𝟐. 𝟕𝟏 𝐀 =¿ ? 𝐴 = 140 52.71 [

0.06 ] (1 + 0.06)4 − 1

𝑨 = $𝟑𝟐𝟏𝟐. 𝟑𝟑

III MÉTODO Diagrama de Efectivo:

P=10501,2 Ecuación financiera: 10501.2 = 𝐴(𝑃/𝐹, 6%, 2) + 𝐴(𝑃/𝐹, 6%, 3) + 𝐴(𝑃/𝐹, 6%, 4) + 𝐴(𝑃/𝐹, 6%, 5) 10501.2 = 𝐴(0.89 + 0.8396 + 0.7921 + 0.7473) 𝑨 = 𝟑𝟐𝟏𝟐. 𝟐𝟗

30


Ejercicio 3 Considere el diagrama de flujo de efectivo de la figura adjunta, el cual representa tres tasas de interés aplicables en un periodo de cinco años. a) b) c)

Calcule la cantidad equivalente P en la actualidad. Calcule el pago único equivalente a F en n=5. Calcule el flujo de efectivo de serie de pagos iguales A que va desde n=1 a n=5

Solución:

a)

Calcule la cantidad equivalente P

𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 = 200 ( , 2%, 4) + 200 ( , 2%, 8) + 300(( , 1%, 12) ( , 2%, 8) 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 + 200 ( , 1%, 24) ( , 2%, 8) + 200( , 9%, 1)( , 1%, 24)( , 1%, 8) 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝑃 = 200(0.9238) + 200(0.8535) + 300((0.8874)(0.8535) + 200(0.7876)(0.8535) + 200(0.9174)(0.7876)(0.8535) 𝑃 = 840.46

b) Calcule el pago único equivalente a F en n=5

𝐹 𝐹 𝐹 = 840.46 ( , 2%, 8) ( , 1%, 24) (𝐹/𝑃, 9%, 1) 𝑃 𝑃 𝑃 = 840.46(1.1717)(1.2697)(1.0900) 𝑃 = 1362.89

31


c) Calcule el flujo de efectivo de series de pagos, iguales a A

F

0

A

A

A

A

1

2

3

4

8% compuesto trimestral

12% compuesto mensualmente

A

5

9% compuesto anualmente

𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 = 𝐴(𝐹/𝑃, 2%, 4) ( , 1%, 24) ( , 9%, 1) + 𝐴 ( , 1%, 24) ( , 9%, 1) 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝐹 𝐹 + 𝐴(𝐹/𝑃, 1%, 12) ( , 9%, 1) + 𝐴 ( , 9%, 1) 𝑃 𝑃 1362.89 = 𝐴(1.0824)(1.2697)(1.09) + 𝐴(1.2697)(1.09) + 𝐴(1.1268)(1.9) + 𝐴(1.09) 1362.89 = 6.20𝐴 𝐴 = 219.82

Ejercicio 4 David Kapamagan obtuvo un préstamo de un banco para financiar una pequeña embarcación de pesca. Los términos del préstamo bancario le permiten diferir los pagos durante seis meses y luego efectuar 36 pagos mensuales iguales. El préstamo original fue por 3000 dólares con una tasa de interés del 12% compuesto mensualmente. Tras 16 pagos mensuales, David se encontró en problemas financieros y acudió a una compañía de préstamos para obtener ayuda. Por fortuna tal compañía se ofreció a pagar toda su deuda si él les pagaba 73.69 dólares mensuales durante 40 meses. ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando la compañía de préstamos por la transacción? Solución Diagrama de Efectivo

32


Capitalizando $ 3000 3000(𝐹/𝑃, 1%, 6) = 3000(1.0615) = $𝟑𝟏𝟖𝟒. 𝟓

𝐴 = 𝑃(𝐴/𝑃, 1%, 36) = 3184.5(0.0332) = $ 105.72

𝑃 = $ 105.72(𝑃/𝐴, 1%, 20) = $ 105.72(18.0456) = $ 1907.88

33


𝑃 = 𝐴[

(1 + 𝑖)5 − 1 ] 𝑖(1 + 𝑖)5

$ 1907.88 = $ 73.69(𝑃/𝐴, 𝑖%, 40) 25.89 = (𝑃/𝐴, 𝑖%, 40) Interpolando: 0.02 I 0.03

27.355 25.39 23.1148

0.02 − 𝑖 27.355 − 25.89 = 0.02 − 0.03 27.355 − 23.1148 𝑖 = 0.02345 = 𝟐. 𝟑𝟒% La tasa mensual de interés que está cobrando la compañía es del 2.34%

34


APLICACIONES DE LAS SEIS FÓRMULAS DE INGENIERÍA ECONÓMICA A LAS DECISIONES DE INVERSIÓN Y FINANCIACIÓN

Bonos Ejercicio 1: Se le compra un bono de AGLC con denominación de 1000 soles, pero el precio de mercado es de 996.25 soles. Como el interés se pagará semestralmente, la tasa de interés por periodo de pago será 4.8125% en 20 pagos de interés durante 10 años. ¿Cuál es el valor de rendimiento anual efectivo al vencimiento del bono? Solución: De la ecuación Financiera:

P= I*(P/A,i%,n) + V(P/F,i%,n) Sea: P: precio que paga el comprador del bono. Es el ingreso en efectivo neto para el emisor. I: Interés que paga el banco (interés = valor nominal* tasa periódica de bonos) V: valor nominal Aplicando la fórmula: $ 996.25= $48.13 ( P/A, i%, 20) +$ 1000 (P/F, i%, 20) Valor Actual de las Recepciones $ 1040.71 $996.25 $976.70

i 4.5% ? 5%

i= 4.5% + (0.5%)*( ($ 1040.71-$996.25)/ ($ 1040.71-$976.70)) i=4.84% Tasa de interés de efectivo anual: ia = ( 1+0.0484)2 – 1 = 9.91 % Este valor de 9.91% representa el rendimiento anual efectivo al vencimiento del bono

35


20 pagos de interés del bono

36

1000

0 5

10

15

20

semestres

996.25 Ejercicio 2: Los bonos de AirJet Service Company tienen cuatro años al vencimiento. El interés se paga anualmente, los bonos tienen un valor de 1000 dólares a la par y la tasa de interés de cupón es del 8%. (a) ¿Cuál es el rendimiento al vencimiento con el precio actual de mercado de 1115 dólares? (b) ¿Pagaría usted 930 dólares por uno de estos bonos si considerara que la tasa de interés en el mercado fuera del 9.5%? Solución a)

Datos

𝑉 𝑛 = $ 1 000 𝑛 = 4 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑖% = 8% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝐼 = $ 1000(0.08) = $80

Diagrama de Efectivo

De acuerdo al diagrama: 𝑃 = 𝐼(𝑃/𝐴, 𝑟%, 𝑁) + 𝑉𝑛(𝑃/𝐹, 𝑟%, 𝑁)


1 115 = 80(𝑃/𝐴, 𝑟%, 4) + 1 000(𝑃/𝐹, 𝑟%, 4) 𝒓 = 𝟒. 𝟕𝟕% / 𝒂ñ𝒐 (Rendimiento al vencimiento) *Ahora bien, si queremos hallar el rendimiento corriente, tendríamos: 80 𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = ∗ 100 1 115 𝒓𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝟕. 𝟏𝟕𝟒% (Rendimiento corriente  Rendimiento anual) b) Comparo el precio teórico con el precio del mercado 𝑃 = 80(𝑃/𝐴, 9.5%, 4) + 1 000(𝑃/𝐹, 9.5%, 4) 𝑷 = $ 𝟗𝟓𝟏. 𝟗𝟒 (Valor teórico) El valor del mercado:𝑷𝒎𝒆𝒓𝒄𝒂𝒅𝒐 = $ 𝟗𝟑𝟎 Como el valor teórico es mayor al valor del mercado, me conviene pagar los $930

Ejercicio 3: Suponga que Ford vende una emisión de bonos con vencimiento en 15 años, valor a la par de 1000 dólares, tasa de cupón del 12% y pagos de interés semestrales. (a) Dos años después de emitir los bonos, la tasa de interés vigente para bonos de este tipo desciende al 9%. ¿A qué precio se venderían los bonos? (b) Suponga que dos años después de la emisión la tasa de interés vigente sube al 13%. ¿A qué precio se venderían los bonos? (c) En la actualidad, el precio de cierre de este tipo de bonos es de 783.58 dólares. ¿Cuál es el rendimiento actual? Solución Diagrama de Efectivo 𝑖 = 9% ; 𝑛 = 15 𝑎ñ𝑜𝑠

(a)

𝑖 = 9%

𝑃 = $120(𝑃/𝐴, 9%, 26) + $ 1 000(𝑃/𝐹, 9%, 26) 𝑃 = $120(9.929) + $ 1 000(0.1064)

37


𝑷 = $ 𝟏 𝟐𝟗𝟕. 𝟖𝟖  Precio de venta de los bonos (b)

𝑟 = 13%

𝑃 = $120(𝑃/𝐴, 13%, 26) + $ 1 000(𝑃/𝐹, 13%, 26) 𝑃 = $120(7.3717) + $ 1 000(0.0417) 𝑷 = $ 𝟗𝟐𝟔. 𝟑𝟎𝟒  Precio de venta de los bonos (c) 783.58 = $120(𝑃/𝐴, 𝑖%, 30) + $ 1 000(𝑃/𝐹, 𝑖%, 30) 𝒊 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟒% La tasa de rendimiento actual sería 0.154%, si el precio de cierre del bono es de $ 783.58 actualmente.

Ejercicio 4 Jimmy Corporation emitió una serie de bonos el 1º de enero de 1981. Estos bonos se vendieron a la par (en 1000 dólares), tiene un cupón del 12% y vencen dentro de 30 años., el 31 de diciembre del 2010. Los pagos de interés de cupón se realizan semestralmente (el 30 de junio y el 31 de diciembre) a) ¿Cuál fue el rendimiento al vencimiento del bono el 1º de enero de 1981? b) ¿Cuál fue el precio del bono el 1º de enero de 1989, ocho años más tarde, suponiendo que la tasa de interés disminuyó al 9%? Solución:

N=60 semestres i= 12% / 2 = 6% semestral Vn = $ 1000 I= $ 1000( 6%) = $60

Vn=1000

a)

0

… 1

2

3

semestres 60

i=6% P=1000

𝑃 𝑃 1000 = 60 ( , 𝑟%, 60) + (1000) ( , 𝑟%, 60) 𝐴 𝐹 𝑆𝑖: 𝑟% = 𝑖% → P 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑜𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑉𝑛 ( 𝐴 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟) 𝑟=6

38


b)

Vn=1000

0

… 1

2

3

semestres 44

r=9%/2 =4.5% P=?

𝑃 𝑃 𝑃 = 60 ( , 4.5%, 44) + (1000) ( , 4.5%, 44) 𝐴 𝐹 𝑷 = 𝟏𝟐𝟖𝟓. 𝟐𝟖

𝑆𝑖: 𝑟% < 𝑖% → P 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑜𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 > 𝑉𝑛 ( 𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟) Ejercicio 5 (Problemas del libro Ingeniería Económica - Blank y Tarquin- 6 Ed) General Electric emitió 100 bonos certificados hace 3 años con valor nominal de $5000 cada uno e intereses de 8% anual pagaderos en forma semestral. Los bonos tienen una fecha de vencimiento de 20 años a partir de la que en que emitieron. Si la tasa de interés en el mercado es de 10% anual, compuesta semestralmente, ¿cuál sería el valor presente de un bono para un inversionista que quisiera comprarlo hoy? Solución Diagrama de Efectivo

𝐼 = 5000(0.08)/2 = $𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒔𝒆𝒊𝒔 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝑃𝑉 = 200(𝑃/𝐴, 5%, 34) + 5000(𝑃/𝐹, 5%, 34) = 200(16.1929) + 5000(0.1904) = $𝟒𝟏𝟗𝟎. 𝟓𝟖

39


Ejercicio 6 Un ingeniero que planea su jubilación piensa que las tasas de interés en el mercado disminuirán antes de su retiro, por tanto, planea invertir en bonos corporativos: piensa adquirir un de $50 000 que genera intereses a razón de 12% anual, pagaderos trimestralmente y con fecha de vencimiento para dentro de 20 años. a) ¿Por cuánto debería estar dispuesto a vender el bono dentro de 5 años, si la tasa de interés en el mercado es de 8% anual compuesto trimestralmente? b) Si invirtiera los intereses que recibiera, con una tasa de interés de 12% anual, compuesto trimestralmente ¿cuánto tendría (en total) inmediatamente después de vender el bono dentro de 5 años? Solución Diagrama de Efectivo

(a) 𝐼 =

(50,000)(0.12) 4

= $1500

Cinco años desde ahora, sería 15(4) = 60 pagos menos. PV5, luego: 𝑃55 = 1500(𝑃/𝐴, 2%, 60) + 50,000(𝑃/𝐹, 2%, 60) = 1500(34.7609) + 50,000(0.3048) = $𝟔𝟕, 𝟑𝟖𝟏 (b) 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1500(𝐹/𝐴, 3%, 20) + 67,381 … … [𝑃𝑉 𝑒𝑛 5 𝑎ñ𝑜𝑠, 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 (𝑎)] = 1500(26.8704) + 67,381 = $𝟏𝟎𝟕, 𝟔𝟖𝟕

Hipotecas Ejercicio 1 Solicito un crédito Nuevo Mi Vivienda para la compra de una Casa para el día 13/05/2011 a un precio de S/. 58,800 con una Tasa Efectiva Anual del 12.50% para pagar en 180 cuotas mensuales y el monto de la garantía es S/. 50,000. El seguro de desgravamen es prorrateado. ¿Cómo obtengo la Cuota del préstamo?

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Solución:

Datos: Capital = 58,800 Tasa Efectiva Anual = 12.50% Número de Cuotas = 180 meses Seguro de Desgravamen= 0.0005* Seguro de Inmueble = 0.00034* Monto Garantía = 50,000 * Según Tarifario Vigente de Caja Trujillo.

Cálculo de los seguros de desgravamen 

Seguro de Desgravamen Directo 𝑺𝑫𝑫𝑰𝑹. = (𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐𝑪𝑨𝑷𝑰𝑻𝑨𝑳. 𝒂𝒏𝒕 ∗ 𝑻𝑺𝒆𝒈. 𝑫𝒆𝒔𝒈)



Seguro de Desgravamen Prorrateado ∑ 𝑺𝑫 𝑫𝑰𝑹𝑬𝑪𝑻𝑶 𝑺𝑫𝑷𝑹𝑶𝑹𝑹𝑨𝑻 = ( ) 𝒏

Cálculo de la Tasa efectiva mensual

1 + 𝑖 = (1 + 𝑖 ′ )𝑛

𝒊′ = 𝟎. 𝟗𝟖𝟔𝟑𝟓𝟖%

La Tasa de Interés Mensual para el préstamo es = 0.986358%. Cálculo de Interés de la cuota mensual

INT CUOTA 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑃 ∗ (𝑖 ′ )

𝐈𝐍𝐓 𝐂𝐔𝐎𝐓𝐀 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟓𝟕𝟗, 𝟗𝟖

El interés correspondiente a la primera cuota es = S/. 579,98.

41


Cálculo de la cuota mensual

(𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 ) 𝐴=𝑃∗ (1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑨 = 𝟔𝟗𝟗. 𝟓𝟐

El monto de las 180 cuotas es = S/. 699.52

Cálculo del capital de la cuota mensual

𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = ( 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 − 𝐼𝑛𝑡𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎) 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = ( 699.52 − 579.98) 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 = 𝟏𝟏𝟗. 𝟓𝟒 En la primera cuota, se amortiza del capital el monto = S/. 119.54. Cálculo del Saldo Capital de la Cuota

𝑆𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = ( 𝑆. 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝐴𝑛𝑡 − 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙) 𝑆𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = ( 58,800.00 − 119.54) 𝑺𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 = 𝟓𝟖, 𝟔𝟖𝟎. 𝟒𝟔

Luego del pago de la primera cuota, el saldo del capital para la segunda cuota es = S/. 58,680.46

Cálculo de los gastos del Crédito



Seguro de Desgravamen Prorrateado

𝑆𝐷𝑃𝑅𝑂𝑅𝑅𝐴𝑇 = (

∑ 𝑆𝐷 𝐷𝐼𝑅𝐸𝐶𝑇𝑂 ) 𝑛

𝑆𝐷𝑃𝑅𝑂𝑅𝑅𝐴𝑇 = (

3,402.07 ) 180

𝑺𝑫𝑷𝑹𝑶𝑹𝑹𝑨𝑻 = 𝟏𝟖. 𝟗𝟎

42


Luego del cálculo, se mantiene el mismo monto por concepto de seguro de desgravamen por cuota, que es = S/. 18.90. Seguro de Inmueble

𝑆𝑒𝑔. 𝐼𝑛𝑚𝑢𝑒𝑏𝑙𝑒 = (𝑇𝑆𝐸𝐺𝑈𝑅𝑂Ú𝑛𝑖𝑐𝑜 ∗ 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜𝐺𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡) 𝑆𝑒𝑔. 𝐼𝑛𝑚𝑢𝑒𝑏𝑙𝑒 = (0.00034 ∗ 50,000.00) 𝑺𝒆𝒈. 𝑰𝒏𝒎𝒖𝒆𝒃𝒍𝒆 = 𝟏𝟕. 𝟎𝟎

El costo del Seguro de Inmueble por cuota es S/. 17.00

Cálculo del Total de Costos del Seguro

𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂𝑆. 𝑆𝑒𝑔 = (𝑆𝑒𝑔. 𝐷𝑒𝑠𝑔𝑟𝑎𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛 + 𝑆𝑒𝑔. 𝐼𝑛𝑚𝑢𝑒𝑏𝑙𝑒) 𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂𝑆. 𝑆𝑒𝑔 = (18.90 + 17.00) 𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂𝑆. 𝑆𝑒𝑔 = 35.90 La suma de los costos de los Seguros por cuota es 35.90 soles.

CUOTA DEL PRÉSTAMO

𝐶𝑈𝑂𝑇𝐴. 𝑃 = (𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 + 𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂𝑆. 𝑆𝑒𝑔) 𝐶𝑈𝑂𝑇𝐴. 𝑃 = (699.52 + 35.90) 𝐶𝑈𝑂𝑇𝐴. 𝑃 = (735.42) La cuota mensual a pagar por el cliente durante el préstamo es 735.42 soles.

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44


Ejercicio 2: Considere el siguiente anuncio de ventas de condominios de playa en Sun Destin, Florida. 1

FINANCIAMIENTO DEL 95% CON INTERÉS DEL 8 8 % Pago inicial del 5%. Sea dueño de un condominio en la playa por sólo 100 000 dólares con una hipoteca de tasa variable a 30 años. Vea las condiciones: Hipoteca de 95 000 dólares (a 30 años), el primer año al 8.125%; el segundo, al 10.125%; el tercero, al 12.125% y los años 4 a 30 al 13.125%.

(a) (b)

Calcule los pagos mensuales por año Determine la tasa de interés efectivo anual para esta hipoteca de tasa variable.

Solución: Dado: P= $95 000, 𝑟 variable como se indica, M=12 periodos de composición por año, N=360 meses. Encuentre: Pagos mensuales (a)

Cálculo del pago mensual: 1

En el primer año obtiene un préstamo de 95 000 dólares por 30 años al 8 8 %. Para calcular el pago mensual se usa i = (8.125%)/12 = 0.6771% mensual y N = 360 meses. 𝐴 𝐴1 = $95 000 ( , 0.6771%, 360) = $705.37 𝑃 El saldo del préstamo tras efectuar el duodécimo pago será: 𝐴 𝐵12 = $705.37 ( , 0.6771%, 348) = $94 223.82. 𝑃 En el segundo año, la tasa de interés cambia al 10.125%, o sea, 0.8438% mensual, pero el plazo restante es de sólo 348 meses. Por tanto, el nuevo pago mensual sería 𝐴 𝐴2 = $94 223.82 ( , 0.8438%, 348) = $840.19. 𝑃 Después de efectuar el 24º pago, el saldo de la hipoteca es: 𝐴 𝐵24 = $840.19 ( , 0.8438%, 336) = $93 656.42. 𝑃 En el tercer año, la tasa de interés cambia al 12.125%, o sea, 1.0104% mensual. El nuevo pago mensual y el saldo después de efectuar el 36º pago son: 𝐴 𝐴3 = $93 656.42 ( , 1.0104%, 336) = $979.75. 𝑃 𝐴 𝐵36 = $979.75 ( , 1.0104%, 324) = $93 232.25. 𝑃

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En los años 4 a 30, la tasa de interés es del 13.125%, o sea, 1.0938% mensual. El nuevo pago mensual es 𝐴 𝐴24 = $93 232.25 ( , 1.0938%, 324) = $1050.69. 𝑃 Como se resume en la figura (2), sus pagos mensuales durante la vida del préstamo son AÑO 1 2 3 4-30

MES 1 -12 13-24 25-36 37-360

PAGO MENSUAL $705.37 $840.19 $979.75 $1 050.69

(b) Cálculo de las tasa de interés efectivo anual. Una vez determinados los pagos mensuales durante la vida del préstamo, puede interesarle conocer la tasa de interés efectivo anual equivalente para el plan de pagos. Para ello, puede obtener primero la tasa de interés mensual resolviendo la siguiente relación de equivalencias.

$𝟗𝟓 𝟎𝟎 = $𝟕𝟎𝟓. 𝟑𝟕(𝐏 ⁄ 𝐀, 𝐢, 𝟏𝟐) + $𝟖𝟒𝟎. 𝟏𝟗(𝐏 ⁄ 𝐀, 𝐢, 𝟏𝟐)(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝐢, 𝟏𝟐) + $𝟗𝟕𝟗. 𝟕𝟓(𝐏 ⁄ 𝐀, 𝐢, 𝟏𝟐)(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝐢, 𝟐𝟒) + $𝟏 𝟎𝟓𝟎. 𝟔𝟗(𝐏 ⁄ 𝐀, 𝐢, 𝟑𝟐𝟒)(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝐢, 𝟑𝟔) = (𝐏 ⁄ 𝐀, 𝐢, 𝟏𝟐) [$𝟕𝟎𝟓. 𝟑𝟕 + $𝟖𝟒𝟎. 𝟏𝟗(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝐢, 𝟏𝟐)$𝟗𝟕𝟗. 𝟕𝟓(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝐢, 𝟐𝟒)] + $𝟏 𝟎𝟓𝟎. 𝟔𝟗(𝐏 ⁄ 𝐀, 𝐢, 𝟑𝟐𝟒)(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝐢, 𝟑𝟔)

Es necesario resolver para i. Aunque puede usar las tablas de interés, la gran cantidad de factores dificulta hallar la tasa de interés implícita en una serie de pagos desiguales. Es posible usar un procedimiento por tanteos, una calculadora financiera o el software CASH. Usando el procedimiento de tanteos, pruebe con i=1% mensual. 𝐏 = (𝐏 ⁄ 𝐀, 𝟏%, 𝟏𝟐) [$𝟕𝟎𝟓. 𝟑𝟕 + $𝟖𝟒𝟎. 𝟏𝟗(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝟏%, 𝟏𝟐) + $𝟗𝟕𝟗. 𝟕𝟓(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝟏%, 𝟐𝟒) + $𝟏 𝟎𝟓𝟎. 𝟔𝟗(𝐏 ⁄ 𝐀, 𝟏%, 𝟑𝟐𝟒)(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝟏%, 𝟑𝟔) = $𝟗𝟓 𝟓𝟐𝟒. 𝟐𝟗

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El valor actual equivalente es demasiado alto. Pruebe con una tasa de interés mayor, digamos i =1.1%. 𝐏 = (𝐏 ⁄ 𝐀, 𝟏. 𝟏%, 𝟏𝟐) [$𝟕𝟎𝟓. 𝟑𝟕 + $𝟖𝟒𝟎. 𝟏𝟗(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝟏. 𝟏%, 𝟏𝟐) + $𝟗𝟕𝟗. 𝟕𝟓(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝟏. 𝟏%, 𝟐𝟒) + $𝟏 𝟎𝟓𝟎. 𝟔𝟗(𝐏 ⁄ 𝐀, 𝟏. 𝟏%, 𝟑𝟐𝟒)(𝐏 ⁄ 𝐅, 𝟏. 𝟏%, 𝟑𝟔) = $𝟖𝟕 𝟏𝟏𝟗. 𝟓𝟗 El valor i debe estar entre 1 y 1.1%.Por interpolación, Valor actual de los pagos $95 524.29 $95 000.00 $87 119.59

i 1% ¿? 1.1%

$95 524.29−$95 000.00

𝑖 = 1% + (0.1%) [$95 524.29+$87 119.59] = 1.0062% mensual La tasa de interés nominal (para la tasa porcentual anual) es 12𝑥1.0062% = 12.0749%. La tasa de efectivo anual es: 𝑖𝑎 = (1 + 0.010062)12 − 1 = 12.77% En un préstamo amortizado con tasa de interés fija del 1.0062%, los pagos mensuales equivalentes serían: 𝐀 = $𝟗𝟓 𝟎𝟎𝟎(𝐀⁄𝐏 , 𝟏. 𝟎𝟎𝟔𝟐%, 𝟑𝟔𝟎) = $ 𝟗𝟖𝟐. 𝟔𝟑, Lo cual es aproximadamente un 39% mayor que el pago mensual del primer año ($705.37) con el plan de pagos variables.

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48

MÉTODO DE VALORACIÓN Y COMPARACIÓN DE INVERSIONES

Método del valor presente y valor actual neto (VAN)

Ejercicio 1: Comparación del VP de alternativas con vidas útiles iguales. Compare las siguientes alternativas de las máquinas que se muestran:

Máquina A $2500 $900 $200

Costo Inicial Costo anual de operación Valor de salvamento Interés Vida útil (años)

Máquina B $3500 $700 $350 10 % anual

5

5

Solución: VP(A) = 2,500 + 900(P/A, 10%, 5) – 200(P/F, 10%, 5) VP (B) =3,500 + 700(P/A, 10%, 5) – 350(P/F, 10%, 5)

= =

$5,788 $5,936

Se debe escoger la máquina A, debido a que VP(A) < VP (B) esto quiere decir que nos incurre en menos costos.

Ejercicio 2:

A un inversor se le ofrecen las siguientes posibilidades para realizar una determinada inversión:

Desembolso Inicial

Flujo Neto Caja Año 1





PROYECTO A

1.000.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

PROYECTO B

1.700.000

400.000

600.000

300.000

600.000

400.000


Se pide: Determinar la alternativa más rentable, según el criterio del Valor Actualizado Neto (VAN), si la tasa de actualización o de descuento es del 7%. Solución: Proyecto A: 𝑉𝐴𝑁 = −1.000.000 + (100.00 ∗ (1 + 0.07)−1 ) + 150.000 (1 + 0,07)−2 + 200.000 (1 + 0,07)−3 + 250.000 (1 + 0,07)−4 + 300.000 (1 + 0,07)−5 𝑽𝑨𝑵 (𝑨) = −𝟐𝟎𝟕. 𝟔𝟒𝟕 Proyecto B: 𝑉𝐴𝑁 = −1.700.000 + (400.00 ∗ (1 + 0.07)−1 ) + 600.000 (1 + 0,07)−2 + 300.000 (1 + 0,07)−3 + 600.000 (1 + 0,07)−4 + 400.000 (1 + 0,07)−5 𝑽𝑨𝑵 (𝑩) = 𝟏𝟖𝟓. 𝟕𝟏𝟔

La inversión más rentable es el proyecto B, ya que es la única con VAN positivo.

Ejercicio 3: El Sr. Ramos tiene 120.000 soles y se plantea tres alternativas de inversión, con duración de 3 años cada una, que le generan los siguientes flujos netos de caja en euros:

PROYECTO A B C

FLUJOS NETOS DE CAJA ANUALES (EUROS) AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 0 0 150.000 50.000 50.000 50.000 75.000 0 75.000

Partiendo de los datos anteriores, seleccionar la inversión más conveniente para el Sr. Ramos aplicando el criterio del Valor Actual Neto (VAN), siendo la tasa de actualización es el 5%. Solución: 𝑉𝐴𝑁 𝐴 = −120.000 + (150.00 ∗ (1 + 0.05)−3 )

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𝑽𝑨𝑵 (𝑨) = 𝟗. 𝟓𝟕𝟓, 𝟔𝟒 𝑉𝐴𝑁 𝐵 = −120.000 + 50.000 (1 + 0.05)−1 + 50.000 (1 + 0.05)−2 + 50.000 (1 + 0.05)−3 𝑽𝑨𝑵( 𝑩) = 𝟏𝟔. 𝟏𝟔𝟐, 𝟒 𝑉𝐴𝑁 𝐶 = −120.000 + 75.000 (1 + 0.05)−1 + 75.000 (1 + 0.05)−3 𝑽𝑨𝑵 (𝑪) = 𝟏𝟔. 𝟐𝟏𝟔, 𝟑𝟗

Ya que el VAN del proyecto C es mayor, se elige éste.

Ejercicio 4: Comparación del Valor Presente de alternativas con vidas útiles diferentes. Compare las siguientes alternativas de las máquinas que se muestran: Máquina A $11 000 $3500 $1000

Costo Inicial Costo anual de operación Valor de salvamento Interés Vida útil (años)

Máquina B $18 000 $3100 $200 15 % anual

6

9

Las alternativas deben compararse sobre el mismo número de años. Puesto que las máquinas tienen una vida útil diferente, deben compararse sobre su mínimo común múltiplo de años, el cual es 18 años en este caso.

Diagrama de Flujo: Máquina A

VP(A) 0

$ 1,000 1

2

$ 3,500 $ 11,000

3

4

$1,000 5

6

$ 3,500 $ 11,000

$1,000 7

12

$ 3,500 $ 11,000

18

50


Diagrama de Flujo: Máquina B

VP (B) 0

$ 2,000 1

2

$2,000

3

9

10

$ 3,100 $ 18,000

11

12

18

$ 3,100 $ 18,000

Solución: VP(A) = 11000 + 10000(P/F, 15%,6) + 10000(P/F, 15%,12) –1000(P/F, 15%,18) + 3500(P/A, 15%,18) = $38,559 VP (B) =18000 + 16000(P/F, 15%, 9) - 2000(P/F, 15%,18) + 3100(P/A, 15%,18) = $41,384 Se debe escoger la máquina A, debido a que VPN(A) < VPN (B)

Ejercicio 5: Un de planta está tratando de decidir entre dos máquinas excavadoras con base en las estimaciones que se presentan a continuación:

Costo inicial P Costo anual de operación Valor de salvamento Vida (años)

Máquina A 11000 3500 1000 6

Máquina B 18000 3100 2000 9

Determinar cuál debe ser seleccionada con base en una comparación de valor presente utilizando una tasa de interés del 15% anual. Solución: Puesto que las máquinas tienen vidas diferentes, estas deben compararse con su MCM, que es 18 años. Para ciclos de vida posteriores al primero, el primer costo se repite en el año 0 del

51


nuevo ciclo, que es el último año del ciclo anterior. Estos son los años 6 y 12 para la máquina A y al año 9 para la máquina B. VPA = -11000-11000(P/F,15%,6)-11000(P/F,15%,12)-3500(P/A,15%,18) +1000(P/F,15%,6)+1000(P/F,15%,12)+1000(P/F,15%,18) = -$38599.20 VPB = -18000-18000(P/F,15%,9) - 3100(P/A,15%,18) + 2000(P/F,15%,9) + 2000((P/F,15%,18) = $41384.00 Se selecciona la máquina A puesto que cuesta menos en términos de VP que la máquina B.  Si se especifica un periodo de estudio de 5 años y no se espera que los valores de sálvamento cambien, ¿Cuál alternativa debe seleccionarse? Para un horizonte de planeación a 5 años no se necesitan repeticiones de ciclo y VSA = $1000 y VSB = $2000 en el año 5. El análisis VP es: VPA = -11000 - 3500(P/A,15%,5) + 1000(P/F,15%,5) = -$22235.50 VPB = -18000 - 3100(P/A,15%,5) + 2000(P/F,15%,5) = -$27397.42 La máquina A sigue siendo la mejor selección.  ¿Cuál máquina debe ser seleccionada en un horizonte de 6 años si se estima que el valor de salvamento de la máquina B es de $6000 después de 6 años? Para el horizonte de planeación de 6 años, VSB = $6000 en el año 6. VPA = -11000 - 3500(P/A,15%,6) + 1000(P/F,15%,6) = -$23813.45 VPB = -18000 - 3100(P/A,15%,6) + 6000(P/F,15%,6) = -$27138.15 Definitivamente la máquina A es la mejor alternativa.

Ejercicio 6: Un inversionista pretende comparar dos proyectos para saber en cuál invertir su dinero. Realizar una analogía entre el Método Periodo de Recuperación y el VPN con una tasa de interés del 20% PROYECTO Inversión Inicial Retorno año 1 Retorno año 2 Retorno año 3 Retorno año 4 Retorno año 5 Solución

A $600.000 $300.000 $300.000 $100.000 $50.000 $0

B $600.000 $100.000 $200.000 $300.000 $400.000 $500.000

52


Se aprecia en la tabla que en el proyecto A, se recuperaría la inversión inicial en 2 años y en el proyecto B en 3 años, en consecuencia la alternativa A será la escogida. Por el VPN al 20 % se tiene que a) Para el proyecto A el VPN es igual a: VPN(A)=

- 600.000 +300.000(1+0.2)-1+ 300.000(1+0.2)-2 +100.000(1+0.2)-3 + 50.000(1+0.2)-4

VPN(A)= - 59.684 b) Para el proyecto B el VPN es igual a: VPN(B)= - 600.000 +100.000 a5¬20% + 100.000/0.2 [a5¬20% - 5 (1 + 0.2)-5] VPN(B)= 189.673 Nos damos cuenta que por el Método del Valor Presente Neto (VPN), el proyecto A sería rechazado y el B sería el que acogería el inversor.

Ejercicio 7: Para la construcción de un centro comercial de dos niveles se piensa instalar inicialmente 9 escaleras eléctricas, aunque el diseño final contempla 16. La duda de diseño se relaciona con la necesidad de proporcionar las instalaciones necesarias (soportes de escalera, conductos de alambrado, soportes de motor, etcétera), para permitir la instalación de las escaleras eléctricas adicionales cuando sea necesario, con solo comprar e instalar las escaleras, o si debe posponerse la inversión de estas instalaciones hasta que sea necesario instalar las escaleras eléctricas. • Opción

1. Proporcionar las instalaciones ahora para las siete escaleras eléctricas futuras, a un costo de 200 000 dólares. • Opción

2. Postergar la inversión en las instalaciones hasta que sea necesario. Se ha planificado instalar dos escaleras eléctricas más dentro de dos años, tres más dentro de cinco años y las dos últimos dentro de ocho años. El costo estimado de estas instalaciones cuando se requiera es de 100 000 dólares en el año 2, 160 000 dólares en el año 5 y 140 000 dólares en el año 8. Se estiman gastos anuales adicionales de 3000 dólares por cada instalación de escalera eléctrica. Use una tasa de interés del 12% y compare el valor neto actual de cada opción durante ocho años.

Solución: OPCIÓN 1:

53


0

1 A

2 A

3 A

4

5

6

A

A

A

7

8

A

A

A=48 000

200 000

N= 8 TMAR= 12% 𝑉𝐴𝑁 = −200 – 48 000 × (𝑃/𝐴, 12%, 8) 𝑉𝐴𝑁 = −200 000 − 48 000 × 4.9676 𝑉𝐴𝑁 = −438 444.8

OPCIÓN 2:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

27 000

27 000

33 000

33 000

33 000

42 000

42 000

42 000

100 000

160 000

140 000

𝑉𝐴𝑁 = −100 000 × (𝑃⁄𝐹 , 12%, 2) − 27 000 × (𝑃⁄𝐴 , 12%, 2) − 160 000 × (𝑃⁄𝐹 , 12%, 5) − 33 000 × (𝑃⁄𝐴 , 12%, 3)(𝑃⁄𝐹 , 12%, 2) − 140 000 × (𝑃⁄𝐹 , 12%, 8) − 42 000 × (𝑃⁄𝐴 , 12%, 3)(𝑃⁄𝐹 , 12%, 5) 𝑉𝐴𝑁 = −100 000(0.7972) − 27 000(1.6901) − 160 000(0.5674) − 33 000(2.4018)(0.7972) − 140 000(0.4039) − 42 000(2.4018)(0.5614) 𝑉𝐴𝑁 = −3, 431 105.109

54


La opción en la cual se incurren en menos gastos es la primera, debido a que presenta el mayor valor actual neto

Ejercicio 8: Considere el siguiente grupo de proyectos de inversión independientes:

Flujos de efectivo de los proyectos n 0 1

A -$100 $50

B -$100 $40

C $100 -$40

2

$50

$40

-$40

3 4

$50 -$100

$40 $10

-$40

5

$400

$10

6

$400

a) Para una TREMA del 10%, calcule el valor presente neto para cada uno de los proyectos y determine la aceptabilidad de cada uno. b) Para una TREMA del 10%, calcule el valor futuro neto de cada proyecto al final de cada periodo y determine la aceptabilidad de cada uno. c) Calcule el valor futuro de cada uno de los proyectos al término de seis años con TREMA variables: 10% para re = 0 a 71 = 3, y 15% para n = 4 a n = 6. Solución a) VP(10%) A =-100 +50( P/A,10%, 3) -100( P/F,10%, 4) +400( P/A,10%, 2)( P/F ,10%, 4) VP (10%) A = $430.20 VP(10%)B =-$100 + $40( P / A, 10%, 3)+$10(P / A,10%, 2)( P / F, 10%, 3) VP(10%)B = $12.51 VP(10%)C = $100 - $40( P / A, 10%, 3) VP(10%)C = $0.53 Todos los proyectos se pueden aceptar b) VP(10%) A = $430.20( F / P,10%,6) VP(10%) A = $762.13 VP(10%) B = $12.51( F / P,10%,5) VP(10%) B = $20.15 VP(10%)C = $0.53( F / P,10%,3)

55


VP(10%)C = $0.70 Todos los proyectos se pueden aceptar c) VP(i) A = [-$100( F / P, 10%, 3) + $50( F / A,10%, 3)]( F / P, 15%, 3) +[-$100( F / P, 15%, 2) + $400( F / A, 15%, 2)] VP(i) A = $777.08 VP(i)B = [-$100( F / P, 10%, 3) + $40( F / A, 10%, 3)]( F / P, 15%, 3) +$10( F / P, 15%, 2) + $10( F / P,15%, 1) VP(i)B = $23.66 VP(i)C = $100( F / P, 10%, 3)( F / P, 15%, 3) -$40( F / A, 10%, 3)( F / P, 15%, 3) VP(i)C = $1.065

Ejercicio 9:

Considere los siguientes perfiles de saldo de proyecto para los proyectos de inversión propuestos, en los que las cifras del saldo de los proyectos están redondeadas al dólar más cercano:

Saldos de los proyectos

a) b) c) d)

n

A

B

C

0 1 2

-$1,000 -$800 -$600

-$1,000 -$680 -$302

-$1.000 -$530 $x

3

-$400

—$57

-$211

4 5

-$200 $0

$233 $575

-$89 $0

Tasa de interés utilizada

0%

18%

12%

Calcule el valor presente neto de cada inversión. Determine el saldo del proyecto al finalizar el periodo 2 para el proyecto C si A2 = $500. Determine los flujos de efectivo para cada proyecto, Identifique el valor futuro neto de cada proyecto.

Solución a) VP(0%) A = 0

56


VP(18%)b = $575( P / F, 18%, 5) = $251.34 VP(12%)C = 0 b) Supongamos que = $500. VP(12%)2 =-$530(1.12) + $500 = X X = -$93.60 c)

Los flujos netos de efectivo para cada proyecto son los siguientes:

Saldo de los proyectos n

A

B

C

0

-$1,000

-$1,000

-$1,000

1

$200

$500

$590

2

$200

$500

$500

3

$200

$300

-$106

4

$200

$300

$147

5

$200

$300

$100

Ejemplo de cálculo para el proyecto C: VP(12%)0 =-$1,000 VP(12%)1 =-$1,000(1.12) + A1 =$530 Calculando el valor de los rendimientos de A1 = $590. Ejemplo 10: Se desea saber si se justifica la construcción de una bodega con costo de 100 000 dólares y vida útil esperada de 35 años, con un valor residual neto (ingresos netos por la venta, después de impuestos) de 25 000 dólares. Se anticipan ingresos anuales de 17 000 dólares y costos de mantenimiento y istración de 4000 dólares por año. Los impuestos anuales sobre la renta serán de 2000 dólares. Con base en lo anterior, ¿cuáles de los siguientes enunciados son correctos? (a) La propuesta está justificada para un TRMA del 9%. (b) La propuesta tiene un valor neto actual de 62 730.50 dólares cuando se usa el 6% como tasa de interés. (c) La propuesta es aceptable mientras la TRMA sea menor o igual que el 10.77%. Solución

57


58

Se presenta la siguiente tabla de flujos: N

Impuestos

Flujos de ingresos

0 1

Flujos de egresos - 100 000 - 4 000

Liquidación

- 2 000

17 000

- 100 000 11 000

2

- 4 000

- 2 000

17 000

11 000

3

- 4 000

- 2 000

17 000

11 000

4

- 4 000

- 2 000

17 000

11 000

5

- 4 000

- 2 000

17 000

11 000

6

- 4 000

- 2 000

17 000

11 000

… 35

… - 4 000

… - 2 000

… 17 000

25 000

Flujo Neto

11 000

Diagrama de efectivo:

Ecuación Financiera: P P VAN = −100 000 + 11 000 ( , i%, 35) + 25 000 ( , i%, 35) A F

(a)

Si la TRMA= 9%

P P VAN = −100 000 + 11 000 ( , 9%, 35) + 25 000 ( , 9%, 35) A F VAN = −100 000 + 11 000(10.5668) + 25 000(0.0490)

Saldo de caja

S1 = −100 000 ∗ (1 + 0.09)1 + 11 000 S1 = −98 000 S2 = −98 000 ∗ (1 + 0.09)1 + 11 000 S2 = −95 820 S3 = −95 820 ∗ (1 + 0.09)1 + 11 000 S3 = −93 443.8 S4 = −93 443.8 ∗ (1 + 0.09)1 + 11 000 S4 = −90 853.74 S5 = −90 853.74 ∗ (1 + 0.09)1 + 11 000 S5 = −88 030.58 S6 = −88 030.58 ∗ (1 + 0.09)1 + 11 000 S6 = −84 953.33

…. …


VAN = $/. 17 459.8

La propuesta si está justificada, porque el VAN es mayor que cero. (b)

Si la TRMA= 6%

P P VAN = −100 000 + 11 000 ( , 6%, 35) + 25 000 ( , 6%, 35) A F VAN = −100 000 + 11 000(14.4982) + 25 000(0.1301) VAN = $/. 62 732.7

La propuesta si tiene el valor aproximado de 62 730.50 dólares. (c)

Si la TRMA= 10,77% (10.77%+1)35 −1

VAN = −100 000 + 11 000 [(10.77%+1)35

]+ 25 000 [

∗(10.77%)

1

(10.77%+1)35

]

VAN = $/. −14.64

La propuesta No es aceptable si la TRMA tiene el valor de 10.77%

Método de recuperación de inversión ( Pay back) Ejercicio 1 Las compañías de televisión por cable y sus proveedores de equipo están a punto de instalar nueva tecnología que empaquetara muchos canales mas en los sistemas de televisión por cable, creando una potencial revolución en la programación que afectara a las compañías difusoras, las compañías telefónicas y la industria electrónica orientada al consumidor. En la compresión digital se usan técnicas de computación para comprimir de 3 a 10 programas en un solo canal. Un sistema de televisión por cable que usa tecnología de compresión digital podrá ofrecer más de 100 canales, comparado con la media de 35 de un sistema típico actual. Al combinarse con un aumento en el uso de fibras ópticas, puede ser posible ofrecer hasta 300 canales. Una compañía de televisión por cable contempla la posibilidad de instalar esta nueva tecnología para aumentar la venta de suscripciones y ahorrar en tiempo de uso de satélite. La compañía estima que la instalación durara dos años. El sistema tendrá una vida de servicio de ocho años con los siguientes ahorros y gastos: Primer año Segundo año Ahorros anuales en tiempo de satélite

$3 200 000 4 000 000

Ingresos anuales incrementales por nuevas suscripciones Gastos anuales incrementales

4 000 000 1 500 000

Impuestos anuales incrementales sobre la renta

1 300 000

Vida de servicio económica

8 años

2 000

000

59


Valores residuales netos

60

1200 000

Observe que el proyecto tiene un periodo de inversión de dos años seguido por una vida de servicio de ocho para una vida total de proyecto de 10 años. Esto implica que los primeros ahorros anuales ocurrirán al término del tercer año y que los últimos ahorros tendrán lugar al concluir los 10 años. Si la TRMA de la empresa es el 15%, justifique el valor económico del proyecto con base en el método VAN. Hallar el periodo de recuperación del capital.

A’ = 6 000 000

0

1

2

3 200 000

A’

A’

A’

A’

A’

A’

A’

A’

3

4

5

6

7

8

9

10

A

A

A

A

A

A

A

A

4 000 000 A= 2 800 000 1 200 000 𝑉𝐴𝑁 = −3 200 000 × (𝑃⁄𝐹 , 15%, 1) − 4 000 000 × (𝑃⁄𝐹 , 15%, 2) + 3 200 000 × (𝑃⁄𝐴 , 15%, 8)(𝑃⁄𝐹 , 15%, 2) + 1 200 000 × (𝑃⁄𝐹 , 15%, 10) 𝑉𝐴𝑁 = −3 200 000(0.8696) − 4 000 000(0.7561) + 3 200 000(4.4875)(0.7561) + 1 200 000(0.2472) 𝑉𝐴𝑁 = 5 346 632.091

 N

Encontrar el pay back

F. EGRESO

IMPUESTOS

F. INGRESO

AHORROS

F. NETO

LIQUIDEZ

SALDO

0 1

-3,200,000.00

-3,200,000.00

-3,200,000.00

2

-4,000,000.00

-4,000,000.00

-7,680,000.00

3

-1,500,000.00

-1,300,000.00 4,000,000.00 2,000,000.00

3,200,000.00

-5,632,000.00

4

-1,500,000.00

-1,300,000.00 4,000,000.00 2,000,000.00

3,200,000.00

-3,276,800.00

5

-1,500,000.00

-1,300,000.00 4,000,000.00 2,000,000.00

3,200,000.00

-568,320.00

6

-1,500,000.00

-1,300,000.00 4,000,000.00 2,000,000.00

3,200,000.00

2,546,432.00


61

7

-1,500,000.00

-1,300,000.00 4,000,000.00 2,000,000.00

3,200,000.00

6,128,396.80

8

-1,500,000.00

-1,300,000.00 4,000,000.00 2,000,000.00

3,200,000.00

10,247,656.32

9

-1,500,000.00

-1,300,000.00 4,000,000.00 2,000,000.00

3,200,000.00

14,984,804.77

10

-1,500,000.00

-1,300,000.00 4,000,000.00 2,000,000.00

3,200,000.00 1,200,000.00 21,632,525.48

𝑃𝐴𝑌 𝐵𝐴𝐶𝐾 = 5 +

−568 320 (1.15) 3 200 000

𝑃𝐴𝑌 𝐵𝐴𝐶𝐾 = 5.204 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑃𝐴𝑌 𝐵𝐴𝐶𝐾 = 5 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑦 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

La inversión se justifica, ya que el van es mayor a 0, además tendrá un periodo de recuperación de capital de 5 años y 2 meses

Ejercicio 2 Una corporación de procesamiento de alimentos piensa usar tecnología laser para acelerar y eliminar el desperdicio en el proceso de pelado de patatas. Para implantar el sistema, la compañía estima que necesitara 3 millones de dólares para comprar los láseres de capacidad industrial. Este sistema ahorrará 1 200 000 dólares anuales en mano de obra y materiales. Sin embargo, requerirá 250 000 dólares por ano en costos adicionales de operación y mantenimiento. También se presenta un incremento de 150 000 dólares en los impuestos anuales sobre la renta. Se espera que el sistema tenga una vida de servicio de 10 anos y que su valor residual sea de unos 200 000 dólares. Si la TRMA de la compañía es el 18%, justifique la economía del proyecto con base en el método VNA. Encontrar el pay back.

A = 200 000 A = 800 000

0

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3 000 000 𝑉𝐴𝑁 = −3 000 000 − 800 000 × (𝑃⁄𝐴 , 18%, 10) + 200 000 × (𝑃⁄𝐹 , 18%, 10)


𝑉𝐴𝑁 = −3 000 000 − 800 000(4.8332) + 200 000(0.1911) 𝑉𝐴𝑁 = 633 500 

Encontrar el pay back

N F. EGRESO

IMPUESTOS

AHORROS

LIQUIDEZ

F. NETO

SALDO

0

-3,000,000.00

-3,000,000.00

1

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

-3,000,000.00

2

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

-2,740,000.00

3

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

-2,433,200.00

4

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

-2,071,176.00

5

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

-1,643,987.68

6

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

-1,139,905.46

7

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

-545,088.45

8

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

156,795.63

9

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

985,018.85

10

-250,000.00

-150,000.00 1,200,000.00

800,000.00

1,962,322.24

𝑃𝐴𝑌 𝐵𝐴𝐶𝐾 = 7 +

200,000.00

−545 088 (1.18) 800 000

𝑃𝐴𝑌 𝐵𝐴𝐶𝐾 = 7.804 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑃𝐴𝑌 𝐵𝐴𝐶𝐾 = 7 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑦 9 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

La inversión se justifica, ya que el van es mayor a; además tendrá un periodo de recuperación de capital de 7 años y 9 meses Ejercicio 3 (Problemas del libro Ingeniería Económica - Blank y Tarquin- 6 Ed) Un fabricante de marcos para ventana busca maneras de mejorar sus ingresos a partir de ventanas deslizantes con aislamiento triple que se venden sobre todo en la parte norte de los Estados Unidos. La alternativa A es un incremento en el marketing a través de radio y televisión, con la que gastaría un total de $300 000 ahora, y se espera un incremento en los ingresos de $60 000 por año. La alternativa B requiere la misma inversión para mejoras en el proceso de manufactura de la planta, lo que mejoraría las propiedades de retención de temperatura de los sellos que rodean cada de vidrio. Con esta opción los nuevos ingresos comenzarían a fluir con lentitud, pues se estiman $110 000 en el primer año, con un crecimiento de $15 000 por año conforme el producto gana reputación entre los constructores. La TMAR es de 8% anual y el periodo máximo de evaluación es de 10 años para cualquier alternativa. Use tanto el análisis de recuperación como el del valor presente, con el

62


8% (para 10 años), a fin de seleccionar la alternativa más económica. Mencione la razón o razones de cualquier diferencia entre los dos análisis para la alternativa seleccionada. Solución Payback: Alt A: 0 = −300,000 + 60,000(𝑃/𝐴, 8%, 𝑛) (𝑃/𝐴, 8%, 𝑛) = 5.0000 𝒏 𝒆𝒔𝒕á 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟔 𝒚 𝟕 𝒂ñ𝒐𝒔 Alt B: 0 = −300,000 + 10,000(𝑃/𝐴, 8%, 𝑛) + 15,000(𝑃/𝐺, 8%, 𝑛) 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 7: 0 > −37,573 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 8: 0 < +24,558 𝒏 𝒆𝒔𝒕á 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟕 𝒚 𝟖 𝒂ñ𝒐𝒔 Por lo tanto seleccionamos la alternativa A PV para 10 años: Alt A: 𝑃𝑉 = −300,000 + 60,000(𝑃/𝐴, 8%, 10) = − 300,000 + 60,000(6.7101) = $𝟏𝟎𝟐, 𝟔𝟎𝟔

Alt B: 𝑃𝑉 = −300,000 + 10,000(𝑃/𝐴, 8%, 10) + 15,000(𝑃/𝐺, 8%, 10) = −300,000 + 10,000(6.7101) + 15,000(25.9768) = $𝟏𝟓𝟔, 𝟕𝟓𝟑 Para este caso seleccionamos la alternativa B Conclusión: Los ingresos obtenidos por la alternativa B aumentarán rápidamente en los últimos años, el cual no es tomado en cuenta en el análisis de retorno de la inversión.

63


Costo capitalizado Ejemplo 1: Se espera que un nuevo puente, con una vida aprox. de 100 años, tenga un costo inicial de $20 millones. Este puente deberá repavimentarse cada 5 años a un costo de $1 millón cada vez. Los costos anuales de operación e inspección se estiman en $50,000. Calcule el VAN del costo por medio del costo capitalizado. La tasa de interés es 10% anual. Solución:

1.

Dibuje flujos de caja para 2 ciclos

0

1

2

3

4

5

A =$ 50,000

6

7

10

$50,000

$1’000,000

100

$50,000

$1’000,000

$20’000,000

2.

Encuentre el valor presente (VP) de los costos no recurrentes:

VP1:

$20 millones = $ 20’000,000

3.

CAUE (serie A) de $1’000,000 cada 5 años (recurrente)

A=

1’000,000(A/F, 10%,5) =

4.

Costo capitalizado de las series anuales infinitas de $163,797 y $50,000.

VP2:

$163,97 + $ 50,000 0.10

=

$ 163,797 anual

$2’137,970

Costo total capitalizado = VP1 + VP2 = $22’137,970 Ejercicio 2: Calcule el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de $150,000 y un sólo costo adicional de inversión de $50,000 después de 10 años. Los costos anuales de operación son $5,000 para los primeros 4 años y $8,000 de ahí en adelante. Además, se espera que haya un costo recurrente de re-operación de $15,000 cada 13 años. Suponga que i = 5% anual.

64


Solución: Dibujamos flujos de caja para 2 ciclos

0

1

2

3

4

5

10

11

12

13

26

$ 5,000 $ 8,000

$ 8,000 $15,000

$15,000

$50,000 $ 150,000

1.

Encuentre el valor presente (VP) de los costos no recurrentes de $150,000 hoy y de $50,000 en el año 10: VP1= 150,000 + 50,000(P/F, 5%,10) = $ 180,695

2.

CAUE de $15,000 cada 13 años (recurrente) A =15000(A/F, 5%, 13)

=

$ 847

3.

Costo capitalizado de las series anuales infinitas de $847 y $5,000 (se considera $5,000 hasta el infinito y $8,000 - $5,000 = $3,000 desde el año 5. 𝑉𝑃2 =

4.

$847 + $5000 = $ 𝟏𝟏𝟔 𝟗𝟒𝟎 0.05

Costo capitalizado de las series anuales infinitas de $3,000 desde el año 5.(primero se

calcula el costo capitalizado al año 4 y luego se lleva al presente (año 0))

𝑉𝑃3 =

5.

$ 3000 (𝑃/𝐹, 5%, 4) = $ 49362 0.05

Costo total capitalizado = VP1 + VP2 + VP3 = $346,997

Cuando se comparan alternativas por el método del costo capitalizado, se elije aquella que tenga el menor valor.

65


Ejercicio 3:

Considere el proyecto de inversión cuyo patrón de flujo de efectivo se repite indefinidamente cada 5 años, como se muestra en la figura 4.24. Use una tasa de interés del 10% y calcule el equivalente capitalizado de este proyecto.

Solución Tomando en cuenta el primer bloque: 𝑃 = 100(𝑃/𝐴, 10%, 5) − 20(𝑃/𝐺, 10%, 5) 𝑃 = 100(3.7908) − 20(6.8618) 𝑃 = $241.844 𝐴 = 𝑃(𝐴/𝑃, 10%, 5) 𝐴 = $241.844(0.2638) 𝑨 = $ 𝟔𝟑. 𝟕𝟗𝟖  Equivalente capitalizado del proyecto para un ciclo (5 años) Ahora, el costo capitalizado para la serie infinita: 𝐴 63.798 𝑃= = = $ 𝟔𝟑𝟕. 𝟖𝟒 𝑖 0.10 Ejercicio 4:

Se acaba de construir un puente con costo de un millón de dólares. Se estima que será necesario renovar el puente cada 50 años, a un costo de 800 000 dólares. Se estima también que los costos anuales de reparación y mantenimiento serán de 30 000 dólares. a. Si la tasa de interés es del 5%, determine el costo capitalizado del puente. b. Suponga que es necesario renovar el puente cada 30 años, en lugar de hacerlo cada 50 años. ¿Cuál es el costo capitalizado del puente? c. Repita (a) y (b) con una tasa de interés del 10%. ¿Qué puede decir acerca del efecto del interés en los resultados?

66


Solución Diagrama de efectivo:

a.

Costo capitalizado (n=50) 30 000 800 000(𝐴/𝐹, 5%, 50) 𝑉𝑃 = 106 + + 0.05 0.05 30 000 800 000(0.0048) 𝑉𝑃 = 106 + + 0.05 0.05 𝑽𝑷 = $ 𝟏 𝟔𝟕𝟔 𝟖𝟎𝟎 b.

Costo capitalizado (n=30) 30 000 800 000(𝐴/𝐹, 5%, 30) 𝑉𝑃 = 106 + + 0.05 0.05 30 000 800 000(0.0151) 𝑉𝑃 = 106 + + 0.05 0.05 𝑽𝑷 = $ 𝟏 𝟖𝟒𝟏 𝟔𝟎𝟎 c. Costo capitalizado con una tasa de interés del 10% Con n=50 30 000 800 000(𝐴/𝐹, 10%, 50) 𝑉𝑃 = 106 + + 0.05 0.05 30 000 800 000(0.0009) 𝑉𝑃 = 106 + + 0.05 0.05 𝑽𝑷 = $ 𝟏 𝟔𝟏𝟒 𝟒𝟎𝟎 Con n=30 30 000 80 000(𝐴/𝐹, 10%, 30) + 0.05 0.05 30 000 80 000(0.0061) 𝑉𝑃 = 106 + + 0.05 0.05 𝑽𝑷 = $𝟏 𝟔𝟗𝟕 𝟔𝟎𝟎 𝑉𝑃 = 106 +

La conclusión a la que se llega es que a menor tasa de interés, menor es el costo capitalizado (𝒊 ↑= 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒅𝒐 ↓)

Análisis de valor anual equivalente (VAE)

Ejercicio 1:

67


68

Una empresa productora debe colocar un sistema anticontaminante en su área de fundición. Tiene dos alternativas, cuyos datos se muestran:

Sistema A

$

Sistema B

$

Costo del sistema

560

Costo del sistema

620

Cambio mensual de filtro

60

Cambio bimestral de filtro

75

Limpieza semestral ductos

110

Limpieza trimestral ductos

70

Ahorro combustible por mes

20

Ahorro combustible por mes

15

Valor de salvamento

110

Valor de salvamento

120

Si la tasa mínima que la empresa espera por la inversión es de 15% anual y se planea para un período de 6 años, determínese cuál es la alternativa más atractiva desde el punto de vista económico. Solución: SISTEMA A

Inversión:

$560

Valor salvamento

$100

Costo anual de filtro:

60x12

$720

Limpieza de ductos

110x2

$220

Ahorro combustible

20x12

$240

(ingreso)

Valores anuales

(ingreso)

Diagrama de Efectivo: Sistema “A”

VR= $ 100

$ 240

0

1

2

3

4 $ 220

$560

$ 720

5

6


CAUE = 560 (A/P, 15%, 6) + 720 + 220 -240 – 100(A/F, 15%,6) = $837 SISTEMA B

Inversión:

$620

Valor salvamento

$120

Costo anual de filtro:

75X6

$450

Limpieza de ductos

70X4

$280

Ahorro combustible

15X12

$180

(ingreso)

Valores anuales

(ingreso)

Diagrama de Efectivo: Sistema “B”

VR= $ 120

$ 180 0

1

2

3

4

5

6

$ 280

$ 450 $620

CAUE= 620 (A/P, 15%, 6) + 280 -180 -120 (A/F, 15%,6) = $ 700

Decisión: Se elige el Sistema “B” ya que tiene el menor CAUE, lo cual indica que incurre en menos costos operativos.

Ejercicio 2: Considere los siguientes conjuntos de proyectos:

Periodo n

Flujo de efectivo de los proyectos A

C

C

D

69


0 1

-$2000 300

-$6000 2000

-$4000 -2000

-$8000 3000

2

400

2000

1000

3000

3 4 5

500 600 700

1500 1500 1500

2000 1000 1000

3000 3000 2000

Calcule el valor anual equivalente de cada proyecto con i=12% y determine lo aceptable de cada proyecto. Solución: VAEA = -$2,000(A / P, 12%, 5) + $700 - $100(A / G, 12%, 5) VAE = -$32.26 No se acepta VAEB= -$6,000(A / P, 12%, 5) + $2,000(A / F, 13%, 3) +$300( A / G, 13%, 3) VAE = $81.61, Se acepta VAEC = -$4,000(A / P, 13%, 3) + $3,000 -$1,000(A / G, 13%,3) VAE = $387.3, Se acepta VAED = -$4,000(A / P, 13%, 3) + $1,800 VAE = $106.0, Se acepta

Ejercicio 3: Considere los siguientes conjuntos de proyectos:

Periodo

Flujo de efectivo de los proyectos

n 0 1

A -$4000 0

C -$4000 1500

C -$4000 3000

D -$4000 1800

2

0

1800

2000

1800

3

5500

2100

1000

1800

Calcule el valor anual equivalente de cada proyecto con i=13% y determine lo aceptable de cada proyecto. Solución: VAEA = -$4,000(A / P, 13%, 3) + $5,500(A / F, 13%, 3) VAE = -$79.75 No se acepta VAEB= -$4,000(A / P, 13%, 3) + $1,500 +$300( A / G, 13%, 3) VAE = $81.61, Se acepta VAEC = -$4,000(A / P, 13%, 3) + $3,000 -$1,000(A / G, 13%,3) VAE = $387.3, Se acepta

70


VAED = -$4,000(A / P, 13%, 3) + $1,800 VAE = $106.0, Se acepta Ejercicio 4: Una línea aérea estudia dos tipos de sistemas de motor para sus aviones. Ambos sistemas tienen la misma vida de servicio y características de mantenimiento y reparación iguales.  El sistema A cuesta 100000 dólares y usa 160000 litros por cada 1000 horas de operación con la carga media de servicio de pasajeros.  El sistema B cuesta 200000 dólares y usa 128000litros por cada 1000 horas de operación al mismo nivel. Los dos sistemas tendrán una vida útil de tres años antes de requerir una reparación general, con un valor residual de 10% de la inversión inicial. Si el combustible para aviones cuesta 30 centavos por litro y se espera que el precio actual aumente un 6% (cada año) debido a la disminución en la eficiencia del motor, ¿Qué sistema debe instalarse suponiendo 2000 horas de operación al año?, suponga que TMAR de 10% y use el criterio AE. ¿Cuál es e costo operativo equivalente por hora para cada motor? Solución: Costo del combustible = 0.30 centavos/litro Sistema A : Costo equivalente anual del combustible: A1 = ($0.30/L)(160,000L/1,000horas)(2,000 horas) = $96,000 (suponiendo un fin de años convencional) CAE (10%) Combustible = [$96,000(P / Aj, 6%, 10%, 3)](A / P,10%, 3) = $101,498.67 CAE(10%)sit A = ($ 100,000 - $10,000)( A / P, 10%, 3)+(0.10)($10,000)+101,498.67= $198,477.67 Sistema B : Costo equivalente anual del combustible: A1 = ($0.30/L)(128,000L/1,000horas)(2,000 horas) = $76,800 AEC(10%) Combustible = [$76,800 (P / Aj, 6%, 10%, 3)]( A / P, 10%, 3) = $81,196.14 AEC(10%)^.b = ($200,000 - $20,000)( A / P, 10%, 3)+(0.10)($20,000) + 81,196.14= $155,574.14 Costo de operación equivalente (incluido el coste de capital) por hora: Sistema A = $198,477.67/2,000 = $99.23 Por hora Sistema B = $155,574.14/2,000 = $77.78 Por hora El sistema B es la mejor opción. Ejercicio 5:

71


Norton Auto-Parts, Inc. , considera comprar uno de dos modelos de vehículos montacargas para su planta de montaje. El camión A cuesta 15000 dólares, requiere 3000 dólares anuales de gastos de operación y tendrá un valor residual de 5000 dólares al término de su vida de servicio de 3 años. El camión B cuesta 20000 dólares, pero solo requiere 2000 dólares anuales de gastos de operación y tendrá un valor residual de8000 dólares al término de su vida de servicio de 4 años. La TMAR de la empresa es el 12%. Suponiendo que los vehículos se requieren durante 12 años y no se anticipan cambios importantes en el precio y la capacidad funcional de ambos vehículos, seleccione la opción mas económica usando el criterio del AE. Solución: Dado que el periodo de servicio requerido es de 12 años y el costo de remplazo futuro para cada camión se mantiene sin cambios, podemos encontrar fácilmente el costo anual equivalente durante un período de 12 años por el simple hecho de encontrar que el costo anual equivalente del ciclo de remplazo de primer lugar para cada camión.  Camión A: Cuatro ciclos de remplazo se requieren CAE(12%) A = ($15,000 - $5,000)( A / P, 12%, 3) +(0.12)($5,000) + $3,000 = $7,763.50  Camión B: Tres ciclos de remplazo se requieren CAE(12%) B = ($20,000 - $8,000)( A / P, 12%, 4) +(0.12)($8,000) + $2,000 = $6,910.80 El camión B es una opción más económica Ejercicio 6: Una pequeña empresa de manufactura estudia la posibilidad de comprar una maquina nueva para poder modernizar una de sus líneas de producción. Hay dos tipos de maquinas disponibles en el mercado. Las vidas de servicio de las maquinas A y B son de 4 y 6 años respectivamente, pero la empresa no espera usar los servicios de ninguna de ellas por mas de 5 años. Con relación a las maquinas se estiman los siguientes ingresos y pagos: Elemento

Maquina A

Maquina B

Costo inicial

$600

$8500

Vida de servicio

4 años

6 años

Valor residual estimado Costos anuales de operación y mantenimiento Cambio de filtro de aceite cada segundo año Reparación general e la maquina

$500

$1000

$700

$520

$100

0

$200 (3 años)

$280 (4 años)

72


La empresa tiene la opción de arrendar una maquina por 1000 dólares anuales, con todo el mantenimiento proporcionado por la compañía arrendadora. Después de 4 años de servicio, el valor residual de ala maquina B será de 3000 dólares. a) b)

¿Cuántas alternativas de decisión hay? ¿Cuál es la mejor opción con i=10%?

Solución: a)

Número de alternativas de decisión (periodo de servicio requerido = 5 años): Alternativa

Descripción

A1

Comprar una máquina y lo utilizan desde hace 4 años. A continuación, alquilar una máquina por un año.

A2

Comprar el equipo B y usarlo durante 5 años.

A3

Alquilar una máquina por 5 años.

A4

Comprar una máquina y lo utilizan desde hace 4 años. A continuación, comprar otra máquina A y utilizarlo durante un año.

A5

Comprar una máquina y lo utilizan desde hace 4 años. Entonces compre el equipo B y usarlo durante un año.

Tanto el A4 y A5 son factibles, pero no pueden ser alternativas prácticas. Para considerar estas alternativas, es necesario conocer los valores de rescate de las máquinas después de su uso por un año. b) Con el contrato de arrendamiento, los costos de operación y mantenimiento serán pagados por la empresa de leasing: Para A1: VP(10%)1 = -$6,000 + ($500 - $100)(P / F, 10%, 4) -$700( P / A, 10%, 4) - $200( P / F, 10%, 3) $100( P / F, 10%, 2) - $3,000(P / F, 10%, 4) VP(10%)= -$10,227.63 CAE(10%) = $10,976( A / P,10%,5) = $2,698.04 Nota: ¿Por qué un cambio de filtro de aceite al final de su vida útil? En este ejemplo, suponemos que el valor residual del bien ($ 600) sólo es factible cuando el activo se mantiene correctamente.

73


Para A2: VP (10%)2 =-$8,500 + $1,000( P / F, 10%, 5)-$520( P / A, 10%, 5) - $280( P / F, 10%, 4) VP = -$10,042 CAE(10%)2 = $10,042( A / P, 10%, 5) = $2,649 Para A3: CAE(10%)3 = [$3,000 + $3,000(P / A, 10%, 4)]( A / P, 10%, 5) CAE(10%)3 = $3,300 A2 es la mejor opción.

Ejercicio 7: Una compañía fabricante de pasticos opera una instalación de producción de polipropileno que convierte el propieleno de una de sus instalaciones de pirolisis catalítica a plásticos para venta externa. Actualmente la instalación de producción de propileno esta obligada a menos de su capital total, dado que la capacidad productiva de propileno en la instalación de pirolisis catalítica de hidrocarburos no es suficiente. Los ingenieros químicos consideran alternativas para suministrar propileno adicional a la instalación productiva de polipropileno. Algunas de las alternativas factibles son: Opción 1: Construir un conducto a la fuente externa mas cercana. Opción 2: Proveer un camino de polipropileno adicional de una fuente externa. Los ingenieros han elaborado las siguientes estimaciones del proyecto:  Costo futuro del propileno comprado, excluyendo la entrega: 0.215 dólares por kilogramo.  Costo de construcción de la tubería: 200000 dólares por kilometro.  Longitud estimada de la tubería: 180 kilómetros.  Costos de transporte en camión: $0.05/kilogramo usando una compañía de transporte.  Costos operativos de tubería: $0.005/kilogramo, excluyendo costos de capital.  Requisitos adicionales de propileno: 180 millones de kilogramos anuales.  Vida del proyecto: 20 años  Valor residual estimado de la tubería: -8% de los costos, incluyendo la instalación. Determine el costo por kilogramo de propileno en ambas opciones se la TMAR de la empresa es el 18%. ¿Cuál es la opción más económica?

Solución:

Opción 1:

74


CAE(18%)1 = $200,000(180)( A / P, 18%, 20)-(0.08)($200,000)(180)( A / F, 18%, 20) +($0.005 + 0.215)(180,000,000) CAE (18%)1 = $46,305,878 Costo/Kg= $46,305,878 /180,000,000 Costo/Kg = $0.2573 por kilogramo Opción 2: CAE(18%)2 = ($0.05 + $0.215)(180,000,000) CAE(18%)2 = $47,700,000 Costo/Kg = $47,700,000 /180,000,000 Costo/Kg = $0.2650 por kilogramo La opción 1 es la mejor alternativa.

Ejercicio 8: Los flujos de efectivo siguientes representaban los ahorros anuales potenciales relacionados con dos tipos de procesos de producción, cada uno de los cuales requiere una inversión de 10 000 dólares. n 0

Proceso A - $10 000

Proceso B - $10 000

1 2

9 120 6 840

6 350 6 350

3

4 560

6 350

4

2 280

6 350

La tasa de interés es el 18% a. Determine los ahorros anuales equivalentes de cada proceso. b. Determine los ahorros por hora de cada proceso si hubiera 2 000 horas de operación por año. c. ¿Qué proceso debe seleccionarse? d. Para ahorros anuales equivalentes

Solución Para el proceso A: 𝑉𝐴𝑁𝐴 = −10 000 + 9 120(𝑃/𝐹, 18%, 1) + 6 840(𝑃/𝐹, 18%, 2) + 4 560(𝑃/𝐹, 18%, 3) + 2 280(𝑃/𝐹, 18%, 4) 𝑉𝐴𝑁𝐴 = −10 000 + 7728.81 + 4912.38 + 2775.36 + 1175.99 𝑉𝐴𝑁𝐴 = $ 6592.54

75


0.18 ∗ (1 + 0.18)4 𝑉𝐴𝐸𝐴 = 6592.54 ∗ ( ) (1 + 0.18)4 − 1 𝑽𝑨𝑬𝑨 = $ 𝟐𝟒𝟓𝟎. 𝟕 Para el proceso B: 𝑉𝐴𝑁𝐵 = −10 000 + 6 350(𝑃/𝐴, 18%, 4) 𝑉𝐴𝑁𝐴 = −10 000 + 17081.89 𝑉𝐴𝑁𝐴 = $ 7081.81 0.18 ∗ (1 + 0.18)4 𝑉𝐴𝐸𝐵 = 7081.81 ∗ ( ) (1 + 0.18)4 − 1 𝑽𝑨𝑬𝑩 = $ 𝟐𝟔𝟑𝟐. 𝟓𝟖 e. Ahorro por hora Para el proceso A: $ 2450.7 𝑉𝐴𝐸𝐴 = 2 000 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑽𝑨𝑬𝑨 = $ 𝟏. 𝟐𝟐𝟓 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒐𝒓𝒂 Para el proceso B: $ 2632.58 𝑉𝐴𝐸𝐴 = 2 000 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑽𝑨𝑬𝑨 = $ 𝟏. 𝟑𝟏𝟔 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒐𝒓𝒂 f.

Como 𝑉𝐴𝐸𝐵 ($ 𝟐𝟔𝟑𝟐. 𝟓𝟖) > 𝑉𝐴𝐸𝐴 ($ 𝟐𝟒𝟓𝟎. 𝟕), entonces elegimos el PROYECTO B.

Ejercicio 9: El propietario de un negocio piensa invertir $35000 en equipo nuevo. El estima que los flujos de efectivo neto serán de $2000 durante el primer año y aumentaran en $2500 anuales en los años subsecuentes. La vida de servicio del equipo es de 10 años y el valor residual neto al término de este periodo es de 3000 dólares. La tasa de interés de la empresa es el 15%. a) b) c)

Determine el costo de capital anual del equipo. Determine los ahorros anuales equivalentes (ingresos). ¿Es sabia esta inversión?

Solución: Dado: I = $35,000, S = $3,000, A1 = $2,000, G = $2,500, N = 10 años, i = 15% a) VAE (15%)1 = ($35,000 - $3,000)( A / P,15%,10) +$3,000(0.15) VAE(15%)1 = $6584.4 b) VAE(15%)2 = $5,000 + $2,500( A / G, 15%,10) VAE(15%)2 = $11558 c) VAE(15%) = $11558 - $6584.4 = $4,973.6

76


Por lo tanto es una Buena inversión

Ejercicio 10: Nelson Electronics Company acaba de comprar una maquina que usara en el montaje de unidades de disco flexible. La maquina soldadora cuesta 200000 dólares y por la función especializada que realiza, tiene una vida útil de 5 años. Al término de este periodo su valor residual será de 50000 dólares. ¿Cuál es el costo de capital de la inversión si la tasa de interés de la empresa es el 20%? Solución: Dado: I = $200,000, S = $50,000, N = 5 years, i = 20% Costo (20%) = ($200,000 - $50,000)( A / P, 20%, 5) +$50,000(0.20) Costo (20%) = $0160

Ejercicio 11: A partir del próximo año, una fundación dará apoyo a un seminario universitario anual con las ganancias de un donativo de 50000 dólares que recibieron este año. Se estima que se obtendrá un interés del 10% en los primeros 10 años, pero los planes deben considerar una tasa de interés del 6% tras ese lapso. ¿Qué cantidad debe añadirse a la fundación para financiar indefinidamente el seminario con 5000 dólares? Solución: 5000

VP(10%) = $5,000( P / A, 10%, 10) +

0.06

(P / F,10%, 10)

VP(10%) = $30723 + $32125 VP(10%) = $62848 La cantidad de fondos adicionales deben ser $ 12848

Ejercicio 12: Una empresa industrial puede comprar una maquina especial por 20000 dólares. Se requiere un pago inicial de 2000 dólares y el saldo puede pagarse en cinco anualidades iguales con interés del 7% sobre saldos insolutos. Como alternativa, puede comprarse la maquina por 18000 dólares en efectivo. Si la TRMA de la empresa es el 10%, determine la opción más aceptable con base en el método del valor anual equivalente.

77


Solución:

Opción 1: Compra-Obtención de Préstamos Opción: Amortización anual del monto del préstamo de $18,000: A = $18,000(A / P, 7%, 5) = $4390.2 VAE(10%)1 = $2,000( A / P,10%,5) + $4390.2 = $4917.8 Opción 2: Opción de compra en efectivo:: VAE(10%)2 = 18,000( A / P,10%,5) = $4748.4 La opción 2 es la mejor

Ejercicio 13: Una compañía industrial está considerando comprar varios controladores programables y automatizar sus operaciones de manufactura. Se estima que el equipo inicialmente costará $100.000 y la mano de obra por instalarlo costará $35,000. Un contrato de servicio para mantener el equipo costará $5,000 por año. Se tendrá que contratar personal de servicio capacitado con un salario anual de $30,000. También, se estima un ahorro anual (ingreso de efectivo) aproximado en el impuesto sobre la renta de $10,000. ¿Cuánto tendrán que aumentar los ingresos anuales después de impuestos mediante esta inversión en equipo y servicios para que la compañía no gane ni pierda? Se estima que el equipo tendrá una vida de operación de 10 años, sin ningún valor de rescate (a causa de la obsolescencia). La TRMA de la compañía es del 10% Solución: La inversión total se compone de la suma del costo inicial del equipo y el costo de instalación, que es de $ 135,000. Sea R indica el punto de equilibrio los ingresos anuales. VAE(10%) = -$135,000( A / P, 10%, 10) - $30,000 -$5,000 + $10,000 + R =0 Calcular el valor de los rendimientos de R R =$46,964.5

Análisis De La Tasa De Rendimiento Ejercicio 1:

78


Considere las dos alternativas de inversión mutuamente excluyentes que se presentan a continuación:

Flujo de efectivo neto

a) b)

n 0 1

Proyecto A1 -$10000 5000

Proyecto A2 -$12000 6100

2

5000

6100

3

5000

6100

Determine el TIR de la inversión incremental de 2000 dólares. Si la TMAR de la empresa es el 10%, ¿Cuál es la mejor opción?

Solución:

a)

TIR en el incremento de la inversión: Flujo de efectivo neto n

Proyecto A1

Proyecto A2

A2 - A1

0

-$10,000

-$12,000

-$2,000

1

$5,000

$6,100

$1,100

2

$5,000

$6,100

$1,100

3

$5,000

$6,100

$1,100

IA2 – A1 = 29.92%

b) Dado que se trata de una inversión simple incremental, TIR A2-A1 = 29,92%> 10%. Por lo tanto, seleccione el proyecto A2.

Ejercicio 2: Considere las siguientes dos inversiones alternativas:

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Flujo de efectivo neto Proyecto A Proyecto B -$10,000 -$20,000 $5,500 $0 $5,500 $0 $5,500 $40,00 0 30% ? ? $6,300

n 0 1 2 3 TIR VP (15%)

Se sabe que la TMAR de la compañía es del 15%. a) Calcule la TIR para el proyecto B. b) Calcule el VP para el proyecto A. c) Suponga que los proyectos A y B son mutuamente excluyentes. Con base en la TIR, ¿cuál proyecto elegiría usted? Solución: a) b) c)

TIRB= 25.99% VP(15%) A =-$10,000 + $5,500( P / A,15%,3) = $2,558 Analisis incremental: Flujo de efectivo neto n

Proyecto A

Proyecto B

B-A

0

-$10,000

-$20,000

-$10,000

1

$5,500

0

-$5,500

2

$5,500

0

-$5,500

3

$5,500

$40,000

$34,500

Si TIR B-A = 24.24% > 15%, entonces seleccionamos el proyecto B.

Ejercicio 3: Un fabricante de tableros de circuitos electrónicos está evaluando seis proyectos mutuamente excluyentes para reducir costos en su planta de manufactura. Todos tienen vidas de 10 años y 0 valor de rescate. La inversión requerida, la reducción estimada después de impuestos en desembolsos anuales y la tasa bruta de retorno para cada alternativa se indican en la siguiente tabla:

80


Propuesta Aj A1 A2 A3 A4

Inversión requerida $60000 $100000 $110000 $120000

Ahorros después de impuestos $22000 $28200 $32600 $33600

Tasa de retorno 38.4% 25.2% 26.9% 25.0%

A5 A6

$140000 $150000

$38400 $42200

24.3% 25.1%

Tasa de rendimiento incremental, Y – X Inversión incremental A2 - A1 A3 – A2 A4 – A3 A4 – A5 A5 - A16

Tasa de retorno incremental 8.9% 42.7% 0.0% 20.2 % 36.3%

¿Cuál proyecto seleccionaría usted de acuerdo con la tasa de retorno sobre una inversión incremental, si se establece que la TMAR es de 15%? Solución: De la tasa de aumento de la mesa de cambio, podemos deducir las siguientes relaciones: TIRA2-A1 = 9% < 15% (Seleccionamos A1) TIRA3-A2 = 42.8% > 15% (Seleccionamos A3) TIRA4-A3 = 0% < 15% (Seleccionamos A3) TIRA5-A4 = 20.2% > 15% (Seleccionamos A5) TIRA6-A5 = 36.3% > 15% (Seleccionamos A6) Es necesario determinar la relación de preferencia entre A1, A3 y A6. TIRA3-A1 = 16.66% > 15% (Seleccionamos A3) TIRA6-A3 = 20.18% > 15% (Seleccionamos A6) TIRA6-A1 = 18.24% > 15% (Seleccionamos A6) La mejor alternativa es la inversión A6.

81


Ejercicio 4: Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes:

Flujo de efectivo neto n

Proyecto A

Proyecto B

0

-$100

-$200

1

$60

$120

2

$50

$150

3

$50

TIR

28.89%

21.65%

Suponga que la TREMA = 15%. ¿Cuál proyecto debería seleccionarse en el marco de un horizonte infinito de planeación con probabilidad de repetir el proyecto, de acuerdo con el criterio de la TIR?

Solución:

Flujo de caja neto n

Proyecto A

Proyecto B

B-A

0

-$100

-$200

-$100

1

$60

$120

$60

2

$50

$150-$200

-$100

3

$50-$100

$120

$170

4

$60

$150-$200

-$110

5

$50

$120

$70

6

$50

$150

$100

El flujo de caja incremental en inversiones no simples, la encontraremos la TIR y por valor presente

82


VP(15%) B-A = -$100 + $60( P / F, 15%, 1) -100(P/F,15%,2)+170(P/F,15%,3)110(P/F,15%,4)+70(P/F,15%,5) + $100( P / F ,15%, 6) VP(15%) B-A = $3.48 Si VP(15%)B-A > 0,o VP(15%)B > PW(15%)A Se selecciona el proyecto B.

Ejercicio 5: Considere los siguientes dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes:

Flujo de efectivo neto n

Proyecto A1

Proyecto A2

0

-$10000

-$15000

1

$5000

$20000

2

$5000

3

$5000

a) Con base en el criterio de la TIR, ¿qué suposiciones se deben hacer para comparar un conjunto de inversiones mutuamente excluyentes con vidas de servicio diferentes? b) De acuerdo con la suposición definida en el inciso a), determine el intervalo de la TREMA que indicará la selección del proyecto A1. Solución:

(a) No hay mucha información sobre las opciones futuras de la inversión, y se asume que el periodo de estudio es indefinido. (b)

El periodo de análisis es de 3 años.

n 0 1 2 3

A2 - A1 -$5,000 $0 $0 $15,000

83


TIR A2-A1 = 44.22% La TMAR no debe superar a 44.22% para que se prefiera el proyecto A1.

Ejercicio 6: U. S. Telephone Company quiere participar en la Feria Mundial que se celebrará en Corea. Para ello tiene que gastar 1 millón de dólares en el año 0 para desarrollar un centro de exhibición, el cual producirá un flujo de efectivo de 2.5 millones de dólares al termino del año1. Después, al concluir el segundo año, hay que gastar otros 1.54 millones de dólares para restaurar el terreno a si condición original. Por consiguiente, los flujos de efectivo neto que se esperan para el proyecto son los siguientes (en miles de dólares):

n

Flujo de efectivo neto

0

-1000

1

2500

2

-1540

a) Grafique el valor actual de esta inversión como Función de i. b) Calcule los valores de i para esta inversión.

Solución:

a)

b)

i1= 10% y i2= 40%

84


Ejercicio 7: Considere un proyecto de inversión con los siguientes flujos de efectivo:

n

Flujo de efectivo

0

-5000

1

0

2

4840

3

1331

Calcule el TIR de esta inversión. ¿Es aceptable el proyecto con TRMA del 10%? Solución: -$5,000 + $4,840( P / F, i ,2) + $1,331( P / F, i,3) = 0 Calcular el valor de i * rendimientos i * = 10% Como se trata de una simple inversión, TIR = i *. Dado que la TIR = TREMA, el proyecto ni gana ni pierde.

Ejercicio 8: Boeing Company estudia un contrato que le ha propuesto la NASA por valor de 460 millones de dólares para la construcción de cohetes destinados a futuras misiones espaciales. NASA pagará 50 millones de dólares a la firma del contrato, otros 360 millones de dólares al término del primer año y el saldo de 50 millones de dólares al concluir el segundo año. Los flujos de salida de efectivo que se requieren para producir estos cohetes se estiman en 150 millones de dólares ahora, 100 millones de dólares en el primer año y 218 millones de dólares en el segundo. La TRMA de la empresa es el 12%. n 0 1 2

(a) (b) (c)

Flujo de Entrada $ 150 100 218

Flujo de Salida $ 50 360 50

Flujo de Efectivo - $ 100 260 -168

Determine si el proyecto es una inversión mixta. Calcule la TRI de esta inversión. ¿Debe aceptar Boeing el proyecto?

85


Solución Diagrama de Efectivo

Del diagrama de efectivo, tenemos la siguiente ecuación del valor actual neto: 1 1 0 = −100 + 260 ( ) + (−168) ( ) (1 + 𝑟)2 1+𝑟 100 = 260 (

1 1 ) + (−168) ( ) (1 + 𝑟)2 1+𝑟

100(1 + 𝑟)2 − 260(1 + 𝑟) + 168 = 0 25(1 + 𝑟)2 − 65(1 + 𝑟) + 42 = 0 Tenemos las siguientes soluciones: 𝑟1 = 0.4 → 40% ;

𝑟2 = 0.2 → 20%

a. Para 𝒓𝟏 = 𝟎. 𝟒 → 𝟒𝟎% 𝑆0 = −100 𝑆1 = −100(1 + 0.4) + 260 = 120

MIXTA

𝑆2 = 120(1 + 0.4) − 168 = 0 Para 𝒓𝟐 = 𝟎. 𝟐 → 𝟐𝟎% 𝑆0 = −100 𝑆1 = −100(1 + 0.2) + 260 = 140

MIXTA

𝑆2 = 140(1 + 0.2) − 168 = 0 b.

Tenemos las siguientes opciones para la TIR: 𝑇𝐼𝑅1 = 0.4 → 40% 𝑇𝐼𝑅2 = 0.2 → 20%

c. Debido a que la 𝑇𝐼𝑅1 , 𝑇𝐼𝑅2 > 𝑇𝑅𝑀𝐴 (12%), entonces se dice que Boeing debe aceptar el proyecto.

86


Técnicas de valoración de comparación de alternativas económicas mutuamente excluyentes Ejemplo 1: El Fulton National Hospital estudia formas alternativas de reducir los costos de almacenamiento de suministros médicos. Se consideran dos tipos de sistemas sin existencias para reducir los costos de almacenamiento y manejo del hospital. El ingeniero industrial del hospital ha recabado los siguientes datos financieros para cada sistema. Práctica actual

Costo inicial Costo anual de almacenamiento de existencias Costo operativo anual Vida del sistema

0 $ 3 millones $ 2 millones 8 años

Sistema “Justo Sistema de a tiempo” abastecimiento sin existencias $ 2.5 millones $ 5 millones $ 1.4 millones $ 0.2 millones $ 1.5 millones 8 años

$ 1.2 millones 8 años

La vida de 8 años del sistema representa la vigencia del contrato con los proveedores médicos. Si la TRMA del hospital es el 10%, ¿qué sistema es más económico? Solución Práctica actual Diagrama de Efectivo

VP = 5 × 106 (P/A, 10%, 8) VP = 5 × 106 (5.3349) 𝐕𝐏 = 𝟐𝟔. 𝟔𝟕𝟒𝟓 × 𝟏𝟎𝟔 Sistema: “Justo a tiempo” Diagrama de Efectivo

87


VP = 2.5 × 106 + 2.9 × 106 (P/A, 10%, 8) VP = 2.5 × 106 + 2.9 × 106 (5.3349) 𝐕𝐏 = 𝟏𝟕. 𝟗𝟕𝟏𝟐 × 𝟏𝟎𝟔 Sistema de Abastecimiento sin existencias Diagrama de Efectivo

VP = 5 × 106 + 1.4 × 106 (P/A, 10%, 8) VP = 5 × 106 + 1.4 × 106 (5.3349) 𝐕𝐏 = 𝟏𝟐. 𝟒𝟔𝟖𝟗 × 𝟏𝟎𝟔 Respuesta: De acuerdo a lo analizado anteriormente, el sistema de abastecimiento sin existencias es el más económico por tener el menor VP que los otros.

Método Del Análisis Incremental Ejemplo 1: El propietario de un estacionamiento en el centro de la ciudad ha contratado una empresa de ingeniería y arquitectura, para determinar si sería atractiva financieramente la construcción de un edificio de oficinas en el terreno que hoy se usa como estacionamiento. Si el sitio continúa como estacionamiento, se necesitaría algunas mejoras para seguir usándolo. Se ha solicitado a Juan Pérez, ingeniero civil, miembro del equipo de proyecto, que lleve a cabo el análisis y realice una recomendación. Los datos que recabó acerca de cuatro alternativas factibles mutuamente excluyentes que desarrolló el equipo de proyecto se sintetizan a continuación:

88


Alternativa

Inversión Capital (incluye terreno)

Ingreso neto Valor anual residual

P. Continuar con el estacionamiento, pero mejorarlo

200000

22000

100000

B1. Construir un edificio de una planta

4000000

600000

2000000

B2. Construir un edificio de dos plantas

5550000

720000

2775000

B3. Construir un edificio de tres plantas

7500000

960000

3750000

El periodo de estudio que se seleccionó es de 15 años. Para cada alternativa, la propiedad tiene un valor estimado residual al final de los 15 años, que es igual al 50% de la inversión de capital que se indica. El propietario del estacionamiento prefiere la información que brinda el método de la TIR, aunque el gerente de la empresa siempre ha insistido en que se use el método de análisis del VP. Por lo tanto, ella decide realizar ambos métodos y posteriormente el método de inversión incremental para contrastar ambos resultados. Si la TMAR es igual al 10% anual, ¿Qué alternativa debería recomendar dar el Ing. Juan? Solución: P P VPP = −200000 + 22000 ( , 10%, 15) + 100000 ( , 10%, 15) A F VPP = −8725.8 P P VPB1 = −4000000 + 600000 ( , 10%, 15) + 2000000 ( , 10%, 15) A F VPB1 = 1042460 P P VPB2 = −5550000 + 720000 ( , 10%, 15) + 277500 ( , 10%, 15) A F VPB2 = 590727 P P VPB3 = −7500000 + 960000 ( , 10%, 15) + 3750000 ( , 10%, 15) A F VPB3 = 699606 Basándonos en el método del valor presente, debe recomendarse el edificio de una planta (alternativa B1). La alternativa P es inaceptable, y la clasificación de las alternativas restantes es B1>B3>B2). Ahora por el método de la TIR se tiene: P P 0 = −200000 + 22000 ( , i%, 15) + 100000 ( , i%, 15) A F

89


i = 9.3% i = 9.3% < 𝑇𝑀𝐴𝑅 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 P P 0 = −4000000 + 600000 ( , i%, 15) + 2000000 ( , i%, 15) A F i = 13.8% i = 13.8% > 𝑇𝑀𝐴𝑅 P P 0 = −5550000 + 720000 ( , i%, 15) + 277500 ( , i%, 15) A F i = 11.6% i = 11.6% > 𝑇𝑀𝐴𝑅 P P 0 = −7500000 + 960000 ( , i%, 15) + 3750000 ( , i%, 15) A F i = 11.4% i = 11.4% > 𝑇𝑀𝐴𝑅 Por el método de la TIR, también se recomienda la alternativa B1. Finalmente por el método de análisis incremental, descartamos las propuestas que no pasaron la prueba del VP y la TIR.

∆ Inversión Capital

B1

∆ (B2-B1)

∆ (B3-B1)

de 4000000

1550000

3500000

∆ Ingreso anual

600000

120000

360000

∆Valor residual

2000000

755000

1750000

TIR ∆

13.8%

5.5%

8.5%

Decisión

Aceptar el edificio de Conservar el edificio Conservar el edificio de una planta, de una planta, una planta rechazar el de dos rechazar la de tres

P P 0 = −1550000 + 120000 ( , i%, 15) + 755000 ( , i%, 15) A F i = 5.58%

90


P P 0 = −3500000 + 360000 ( , i%, 15) + 1750000 ( , i%, 15) A F i = 8.5%

La alternativa P es inaceptable (9.3%<10%) y no puede servir como la alternativa base a partir de la cual se siga el procedimiento del análisis incremental. Sin embargo la alternativa B1 es aceptable y representa la menor inversión de capital de las otras tres alternativas factibles, por lo que el análisis incremental se prosigue tomando este valor como base. Por último Juan Pérez, concluye que el edificio de una planta también es la mejor alternativa si se emplea cualquiera de los métodos. Ejemplo 2: Considere los dos proyectos mutuamente exclusivos que se presentan a

n

Proyecto A

Proyecto B

0

-200

-300

1

100

220

2

120

250

3

120

TIR

30.88%

continuación:

35.04%

¿Qué proyecto sería el elegido con base en el criterio TIR si el horizonte de planificación es infinito y la repetición del proyecto es probable? (TMAR=15%) Solución: En este caso, son dos proyectos de vida útiles diferentes y además son viables por tener una TIR mayor a su TMAR; por tanto para aplicar la técnica de valor presente incremental procedemos a igualar las vidas por el M.C.M (3,2)= 6 años.

91


Flujo de incremental

Flujo de efectivo básico

n

Proyecto A

Proyecto B

B-A

0

-200

-300

-100

1

100

220

120

2

100

250-300

-150

3

120-200

220

300

4

100

250-300

-150

5

100

220

120

6

120

250

130

caja

El flujo de caja incremental (B-A) resulta un tipo de inversión no simple y de encontrar varias soluciones con la TIR, lo cual quiere decir que es recomendable evaluar por el método del valor presente incremental.

P P P ∆VAN(15%) = −100 + 120 ( , 15%, 1) − 150 ( , 15%, 2) + 300 ( , 15%, 3) F F F P P P − 150 ( , 15%, 4) + 120 ( , 15%, 5) + 130 ( , 15%, 6) F F F ∆VAN(15%) = 118.28 > 0 𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Ejemplo 3:

Un fabricante de ropa de cuero está considerando la compra de una máquina de coser industrial nueva, la cual puede ser semiautomática o completamente automática. Las estimaciones son: Semiautomática

Automática

Costo inicial, $

8 000

13 000

Desembolso anuales, $

3 500

1 600

92


Valor de salvamento, $ Vida, años

0

2 000

10

5

Determine cual maquina debe seleccionarse si la TMAR es 15% anual. Solución: Primero debemos demostrar que cada proyecto es viable económicamente. Proyecto “A”: VR = 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A = 3 500 8 000 VP = 8 000 + 3 500(P/A, 15%, 10) VP = 8 000 + 3 500(5.0188) = 25 565.8

Proyecto “B”: VR = 2 000 0

1

2

3

4

5

A = 1 600 13 000

VR = 2 000 6

7

8

A = 1 600 13 000

Valor actual del primer ciclo: VP1 = 13 000 + 1 600(P/A, 15%, 5) – 2 000(P/F, 15%, 5) VP1 = 13 000 + 1 600(3.3522) – 2 000(0.4972) = 17 369.12 Con dos ciclos de reemplazo, el valor actual total es: VP2 = 17 369.12 [1 + (P/F, 15%, 5)]

9

10

93


VP2 = 17 369.12 (1 + 0.4972) = 26 005.046 VPA < VPB ; entonces es preferible adquirir el proyecto “A”.

Método del flujo incremental Tabulación del flujo de efectivo para 10 años Tabulación del flujo de efectivo Año

Flujo de efectivo semiautomática

Flujo de efectivo automática

Flujo d efectivo incremental

0

-

8 000

-

13 000

-

1–5

-

3 500

-

1 600

+ 1 900

+ 5 6

– 10

-

10 -

2 000

---------

-

13 000

-

3 500

-

1 600

+

---------

+

43 000

-

5 000

11 000 1 900

2 000

+

2 000

38 000

+

5 000

A: máquina semiautomática B: máquina automática FLUJO DE EFECTIVO NETO n

Proyecto A

Proyecto B

0

-US$100

-US$200

1

US$60

US$120

2

US$50

US$150

3

US$50

TIR

28,89%

21,65%

94


Diagrama de flujo incremental VR= 2 000 A = 1 900

0 1

2

5 000

3

4

5

6

7

8

9

10

11 000

La ecuación de la TIR basada en el valor presente (VP) de los flujos de efectivo incrementales es: -500 + 1 900 (P/A, i%, 10)– 11 000 (P/F, i%, 5) + 2 000 (P/F, i%, 10) = 0 La solución de la ecuación por interpolación es i = 12.65 TIR = 12.65%

TIRB-A < TMAR

TMAR = 15% Debe de elegir el proyecto A, debe comprarse la máquina semiautomática.

Ejemplo 4: Una PYME ha considerado la ejecución de un nuevo proyecto en su planta de procesos. Para ello debe analizar 2 propuestas que resultan ser proyectos mutuamente excluyentes, los cuales se presentan en la siguiente tabla:

¿Cuál de los 2 proyectos se debe aplicar basándose en el criterio TIR si el horizonte de planificación es infinito y la repetición del proyecto es probable? (TMAR=15%)

Solución: Para este caso, son dos proyectos de vida útiles diferentes y ambos son viables por tener una TIR mayor a TMAR; por ello para aplicar la técnica de valor presente incremental igualaremos las vidas por M.C.M. = 6 años.

95


Flujo de caja incremental

Flujo de efectivo básico

n

A

B

B-A

0

-US$100

-US$200

-US$100

1

US$60

US$120

US$60

2

US$50

150-200

-US$100

3

50-100

US$120

US$170

4

US$60

150-200

-US$110

5

US$50

US$120

US$70

6

US$50

US$150

US$100

El flujo de caja incremental (B-A) resulta un tipo de inversión no simple y de encontrar varias soluciones con la TIR, lo cual quiere decir que es recomendable evaluar por el método del valor presente incremental. VA(15%) = - 100 + 60(P/F,15%,1) – 100(P/F,15%,2) + 170(P/F,15%,3) – 110(P/F,15%,4) + 70(P/F,15%,5) + 100(P/F,15%,6) = - 100 + 60(0.8606) – 100(0.7561) + 170(0.6571) – 110(0.5718) + 70(0.4972) + 100(0.4323) = -100 + 52.18 – 75.61 + 111.78 – 62.89 + 34.80 + 43.23 ∆VAN (15%) = US$ 3.49  El proyecto B se acepta.

Ejemplo 5: La Manufacturera Pegaso S.A. ha considerado dos proyectos de inversión para realizar en un periodo de tres años. El siguiente cuadro muestra los dos proyectos de inversión en el cual uno tiene TIR mayor al otro pero a la vez su VAN es menor. Analizarlo y recomendar aquel proyecto que genera mayor rentabilidad. FLUJOS PROYECTO

D

F1

TIR, en %

VAN (7%)

A

-50.000

65.000

30

10.747,66

B

-100.000

120.000

20

12.149,53

96


97

Si ambos son mutuamente excluyentes, ¿cuál debe ser la elección de la empresa? Solución: El proyecto con mayor VAN es el que se debería elegir, pero la rentabilidad del proyecto B es inferior a la del proyecto A (TIRB< TIRA). FLUJO INCREMENTAL PROYECTO D

FLUJOS F1

TIR, en %

VAN (7%)

B-A

55.000

10

1.401,97

-50.000

La TIR de la inversión incremental es del 10%, la cual está por encima del 7% de coste de oportunidad del capital.

Ejemplo 6: Caterpillar Corporation quiere construir una instalación para almacenaje de piezas y repuesto cerca de Phoenix, Arizona. Un ingeniero de planta ha identificado cuatro diferentes opciones de ubicación. En la tabla se detallan el costo inicial de la construcción, así como las estimaciones de flujo de efectivo neto anual. La serie de este flujo de efectivo neto anual varía debido a diferencias en mantenimiento, costos de mano de obra, cargos de transporte, etc. Si la TMAR es del 10% utilice el análisis de TIR Incremental para seleccionar la mejor ubicación desde el punto de vista económico. Todos los sitios tienen una vida de 30 años y todos son alternativas de ingreso.

Opciones

A

B

C

D

Costo inicial($)

-200 000

-275 000

-190 000

-350 000

Flujo de efectivo($)

22 000

35 000

19 500

42000

Vida útil(años)

30

30

30

30

SOLUCIÓN Primero debemos demostrar que cada alternativa es viable Alternativa A


Flujo de efectivo A=$ 22 000

Ecuación financiera:

0

1

2

3

4

5

29

30

29

30

TMAR= 10% $ 200 000 VAN(10%) = −200000 + 22 000(P⁄𝐴 , 10%, 30) VAN(10%) = −200000 + 22 000(9.4269) VAN(10%) = 7 391.8 > 0 Proyecto viable económicamente Ecuación de la TIR: −200000 + 22 000(P⁄𝐴 , i%, 30) = 0 𝑖 = 10.44% > 𝑇𝑀𝐴𝑅 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑖ó𝑛 𝐴

Alternativa B Primero debemos demostrar que cada alternativa es viable Flujo de efectivo A=$ 35 000

0

1

2

3

4

5 TMAR= 10%

$ 275 000

Ecuación financiera: VAN(10%) = −275 000 + 35 000(P⁄𝐴 , 10%, 30) VAN(10%) = −275 000 + 35 000(9.4269) VAN(10%) = 5 4941.5 > 0 Proyecto viable económicamente

98


Ecuación de la TIR: −275 000 + 35 000(P⁄𝐴 , i%, 30) = 0 𝑖 = 12.34% > 𝑇𝑀𝐴𝑅 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 Alternativa C Primero debemos demostrar que cada alternativa es viable Flujo de efectivo A=$ 19 500

0

1

2

3

4

5

29

30

29

30

TMAR= 10% $ 190 000 Ecuación financiera: VAN(10%) = −190 000 + 19 500(P⁄𝐴 , 10%, 30) VAN(10%) = −190 000 + 19 500(9.4269) VAN(10%) = −6175.45 < 0 Proyecto no viable económicamente Ecuación de la TIR: −190 000 + 19 500(P⁄𝐴 , i%, 30) = 0 𝑖 = 9.61% < 𝑇𝑀𝐴𝑅 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑖ó𝑛 𝐶

Alternativa D Primero debemos demostrar que cada alternativa es viable Flujo de efectivo A=$ 42 000

0

1

2

3

4

5 TMAR= 10%

$ 350 000

99


Ecuación financiera:

VAN(10%) = −350 000 + 42 000(P⁄𝐴 , 10%, 30) VAN(10%) = −350 000 + 42 000(9.4269) VAN(10%) = 45929.8 > 0 Proyecto viable económicamente Ecuación de la TIR: −350 000 + 42 000(P⁄𝐴 , i%, 30) = 0 𝑖 = 11.55% < 𝑇𝑀𝐴𝑅 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑖ó𝑛 𝐷

A

B

C

D

VAN

7 391.8

5 4941.5

−6175.45

45929.8

TIR

10.44%

12.34%

9.61%

11.55%

Decisión

Aceptar

Aceptar

Rechazar

Aceptar

Método inversión incremental

Flujos de efectivo alternos($)

Análisis incremental de alternativas($)

Final del periodo

A

B

A’

0

-200 000

-275 000

-200 000

-75 000

1

22 000

35 000

22 000

13 000

2

22 000

35 000

22 000

13 000

3

22 000

35 000

22 000

13 000

4

22 000

35 000

22 000

13 000

…

22 000

35 000

22 000

13 000

(B-A)

100


30

22 000

35 000

22 000

13 000

Ahora el retador es la alternativa D Flujos de efectivo alternos($) B D

Análisis incremental de alternativas($) B’ (D-B)

Final del periodo 0

-275 000

-350 000

-275 000

-75000

1

35 000

42 000

35 000

7 000

2

35 000

42 000

35 000

7 000

3

35 000

42 000

35 000

7 000

4

35 000

42 000

35 000

7 000

…

35 000

42 000

35 000

7 000

30

35 000

42 000

35 000

7 000

A’: Flujo neto de la alternativa A, es la alternativa base Diagrama de flujo de la inversión incremental (B-A)

A=$ 13 000

0

1

2

3

4

5 TMAR= 10%

$ 75 000 Calculamos el valor presente incremental: VAN(10%) = −75 000 + 13 000(P⁄𝐴 , 10%, 30) VAN(10%) = −75 000 + 13 000(9.4269) VAN(10%) = 47 549.7 > 0 Se justifica le capital adicional invertido en B

29

30

101


Método TIR (incremental) −75000 + 13 000(P⁄𝐴 , i%, 30) = 0 𝑖 = 17.18% > 𝑇𝑀𝐴𝑅 Se justifica la elección de la alternativa B de mayor inversión de capital

A=$ 7 000

0

1

2

3

4

5

29

30

TMAR= 10% $ 75 000

Calculamos el valor presente incremental: VAN(10%) = −75 000 + 7 000(P⁄𝐴 , 10%, 30) VAN(10%) = −75 000 + 7 000(9.4269) VAN(10%) = −9 011.7 < 0 NO se justifica le capital adicional invertido en D

Método TIR (incremental) −75000 + 7000(P⁄𝐴 , i%, 30) = 0 𝑖 = 8.53% > 𝑇𝑀𝐴𝑅 No se justifica la elección de la alternativa D

102


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