Bilangan Bulat 463g66

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Banyak sekali angka yang akan kita temui dalam matematika. Angkaangka tersebut memang merupakan dasar dalam bidang matematika itu sendiri. Begitu banyaknya jenis dan sifat angka dalam matematika, menuntut kita untuk tahu secara rinci mengenai angka-angka tersebut. Salah satunya seperti yang akan penulis bahas dalam makalah ini adalah bilangan bulat dan pecahan. Bilangan bulat itu sendiri terdiri dari banyak bilangan diantaranya bilangan asli, cacah, bilangan positif, bilangan negatif dan nol. Semua bilangan di atas pasti akan kita temui dalam kehidupan sehari-hari. Bukan hanya pada saat mempelajari matematika, melainkan pasti akan kita aplikasikan dalam kegiatan kita sehari-hari. Bayangkan saja apabila seseorang tidak mampu menguasai operasi pada bilangan-bilangan tersebut. Kita dapat pastikan bahwa orang yang tidak mampu memahami maupun megoperasikan bilangan-bilangan tersebut akan mengalami kesulitan dalam kesehariannya. Jadi, melalui makalah ini, penulis akan menjelaskan secara rinci tentang bilangan bulat dan pengoperasian bilangan bulat. Harapan penulis, semoga para pembaca dapat mengerti dan memahami tentang bilangan bulat dan operasinya yang akan dibahas lewat makalah ini. Karena memahami tentang bilangan-bilangan tersebut merupakan hal yang sangat mutlak, terutama bagi para calon pendidik terkhusus guru matematika. 1.2 Rumusan Masalah 1. Apa pengertian bilangan bulat ? 2. Apa saja sifat dasar bilangan bulat ? 3. Bagaimana operasi matematika dalam bilangan bulat ? 1.3 Tujuan 1. Untuk mengetahui pengertian dari bilangan bulat. 2. Untuk mengetahui sifat dasar yang dimiliki bilangan bulat. 3. Untuk memahami cara pengoperasian bilangan bulat.

1

1.4 Manfaat 1. Pembaca dapat mengetahui pengertian dari bilangan bulat, sifat dasar dan cara mengoperasikan bilangan bulat. 2. Sebagai syarat tugas mata kuliah Kapita selekta.

2

BAB II ISI 2.1 Pengertian dan Sejarah Bilangan Bulat Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri atas bilangan positif,bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bilangan positif dan negatif ini mulai dikenal pada zaman Cina kuno .Pada masa itu, bangsa Cina mempunyai dua jenis warna untuk perhitungan bilangan-bilangan tersebut, yaitu merah untuk bilangan – bilangan positif dan hitam untuk bilangan-bilangan negatif. Hingga abad ke-16, bilangan-bilangan negatif jarang ditemukan diluar Cina. Sejarah bilangan bulat dapat juga dimulai dari sejarah bilangan. Sejarah bilangan dimulai dari bilangan asli.Bilangan asli merupakan bilangan pertama yang dikenal manusia. Hal ini karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan asli,walaupun mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung bilangan asli. Penamaan bilangan asli dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan ilmu pengetahuan. Notasi himpunan

bilangan

asli

adalah

ℕ.

Anggota

bilangan

asli

adalah

N={1,2,3,…}.Karena untuk keperluan operasi hitung bilangan asli diperluas dengan menyertakan 0 sebagai anggota.Perluasan ini dikenal sebagai bilangan cacah. Pada perkembangan selanjutnya, bilangan cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya merepresentasikan obyek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat ditulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa ditulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.

3

Bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan kebalikan , maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat.Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ, dan anggota bilangan bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.Jadi bilangan bulat terdiri dari himpunan bilangan bulat negatif {...,-3,-2,-1}, nol, dan himpunan bilangan bulat positif {1,2,3,...}.Dan jika digambarkan dengan garis bilangan adalah sebagai berikut

Bilangan bulat positif berada di sebelah kanan titik nol dan bilangan bulat negatif berada disebelah kiri nol. Dan dari garis bilangan diatas tampak bahwa semakin kekanan, nilai bilangan itu semakin besar, sebaliknya, semakin ke kiri letak suatu bilangan, nilai bilangan itu semakin kecil.Pada garis bilangan ini juga dapat diketahui lawan atau invers dari bilangan bulat. Misalnya 2 terletak disebelah kanan titik 0,sedangkan titik -2 terletak disebelah kiri titik 0,maka -2 adalah lawan dari 2 dan sebaliknya, 2 adalah lawan dari -2. Bilangan bulat memiliki manfaat dalam kehidupan sehari-hari misalnya untuk mengukur suhu,dalam dunia keuangan,pada saat uang ditransfer kedalam rekening bank pastilah dalam bentuk bilangan positif dan negatif,bukan berupa lembaran atau koin,dalam bidang kelautan,bilangan negatif digunakan untuk mengukur kedalaman laut,mengukur ketinggian dari permukaan tanah,pada sistem koordinat cartesius dan masih banyak lagi masalah-masalah sehari-hari yang dapat dinyatakan dengan menggunakan konsep bilangan bulat.

4

2.2 Sifat Dasar Bilangan Bulat Sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan bulat akan dibicarakan lebih terperinci sebagai berikut : 1.

Sifat Tertutup  Sifat tertutup terhadap penjumlahan ada dengan tunggal yakni untuk setiap a dan b di dalam Z maka (a + b) juga di dalam Z  Sifat tertutup terhadap perkalian ada dengan tunggal, yakni untuk setiap a dan b didalam Z maka a x b juga ada di dalam Z

2.

Sifat Komutatif  Sifat komutatif penjumlahan yaitu untuk setiap a dan b didalam Z berlaku a + b = b + a.  Sifat komutatif perkalian yaitu untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku a x b = b x a.

3.

Sifat Asosiatif  Sifat asosiatif terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a+b)+c=a+(b+c) 

Sifat asosiatif terhadap perkalian yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku (a x b) x c = a x (b x c)

4.

Sifat Distributif  Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan, yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c berlaku sifat a x (b + c) = (a x b) +(a x c)  Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a + b) x c = (a x c) + (b x c)

2.3 Operasi Hitung Bilangan Bulat Kita

sudah

mengenal

bahwa

operasi

hitung

ada

4

macam

yaitu

penjumlahan,pengurangan, perkalian dan pembagian. Pada bilangan bulat juga berlaku ke 4 operasi hitung tersebut. Berikut adalah operasi hitung pada bilangan bulat .

5

2.3.1 PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT Sifat-sifat Penjumlahan 1.

Sifat Asosiatif : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Contoh : (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12

2.

Sifat Komutatif : a + b = b + a Contoh : 7 + 2 = 2 + 7 = 9

3.

Unsur Identitas terhadap penjumlahan Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan a+0=0+a Contoh : 6 + 0 = 0 + 6

4.

Unsur invers terhadap penjumlahan  Invers jumlah (lawan) dari a adalah –a  Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a 

a + (-a) = (-a) + a

Contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0 5.

Bersifat Tertutup Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. a dan b bilangan bulat maka a + b = c ; c bilangan bulat. Contoh : 4 + 5 = 9 ; 4,5,9 bilangan bulat.

2.3.2 PENGURANGAN BILANGAN BULAT Sifat-sifat Pengurangan Bilangan Bulat Bilangan bulat a dikurangi bilangan bulat b sama artinya dengan bulat a ditambahkan dari lawan bilangan bulat, atau dapat ditulis a - b = a + (-b) Pengurangan bilangan cacah tidak bersifat tertutup, artinya bila suatu bilangan cacah dikurungkan dengan bilangan cacah yang lain, hasilnya belum tentu bilangan cacah. Pengurangan bilangan cacah (a - b) menghasilkan bilangan cacah hanya jika a b. Tetapi, pengurangan bilangan bulat memiliki sifat tertutup.

6

Secara lengkap sifat-sifat pengurangan bilangan bulat adalah sebagai berikut : 1.

Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : 

a – b = a + (-b)



a – (-b) = a + b

Contoh: 8 – 5 = 8 + (-5) = 3 7 – (-4) = 7 + 4 = 11 2.

Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku 

a–b≠b–a



(a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Contoh :

7 – 3 ≠ 3 -7

4≠-4

(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) 3.

2≠8

Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : a – 0 = a dan 0 – a = -a

4.

Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga : a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat. Contoh : 7 - 8 = -1  7, 8, -1 ∈ bilangan bulat

2.3.3 PERKALIAN BILANGAN BULAT Sifat-sifat Perkalian Bilangan Bulat 1.

Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : 

a x b = ab  hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42 

a x –b = -ab  hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif.

Contoh : 3 x -4 = -12

7



-a x -b = ab  hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif.

Contoh : -4 x -5 = 20 2.

Sifat Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c) Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 24

3.

Sifat Komutatif : a x b = b x a Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20

4.

Sifat Distributif : a x (b+c) = (a x b ) + (a x c) Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24

5.

Unsur Identitas Untuk Perkalian 

Hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol : a x 0 =0



Hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga : a x 1 = 1 x a = a

6.

Bersifat Tertutup Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b = c ; a, b, c ∈ bilangan bulat

2.3.4

PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

Sifat-sifat Pembagian Bilangan Bulat Jika a, b, dan c bilangan bulat dengan b 0, maka a ÷ b = c jika dan hanya jika a = b x c. Hasil bagi bilangan bulat (a ÷ b) merupakan suatu bilangan bulat jika dan hanya jika a kelipatan dari b, sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b hasil bagi (a ÷ b) tidak selalu merupakan bilangan bulat. Karena itu, pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Sifat-sifat pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut : 1.

Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif (+) ÷ (+) = (+) Contoh : 8 ÷ 2 = 4

8

2.

Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif (-) ÷ (-) = (+) Contoh : -10 : -5 = 2

3.

Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif (+) ÷ (-) = (-) (-) ÷ (+) = (-) Contoh :

6 ÷-2 = -3

-12 ÷ 3 = -4 4.

Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi a ÷ 0  tidak terdefinisi (~) 0 ÷ a  0 (nol) Contoh : = ~ (Tidak terdefinisi)

5.

Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif a÷b≠b:a (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c) Contoh :

4÷2≠2÷42≠

(8 ÷ 2) ÷ 4 ≠ 8 ÷ (2 ÷ 4)  1 ≠ 16 2.3.5

PEMANGKATAN BILANGAN BULAT

Definisi: an = a x a x a x … x a Sejumlah n faktor Contoh :

43 = 4 x 4 x 4 = 64

35= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 1.

Akar kuadrat (akar pangkat dua) = b  ( )2 =b2  a = b2 = b x b Contoh : 92 = 9 x 9  b = 9

2.

Akar kubik (akar pangkat tiga) = b  ( ) 3 = b3 = b x b x b Contoh : = 33 = 3 x 3 x 3  b = 3

9

2.3.6 URUTAN BILANGAN BULAT Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu : 1.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a < b) jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif c sedemikian hingga a + c = b

2.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan dengan a > b) jika dan hanya jika b < a atau b + c = a untuk suatu bilangan positif c.

Urutan bilangan-bilangan bulat ini akan tampak jelas pada garis bilangan berikut.

Pada garis bilangan, a < b ditunjukkan bahwa titik yang menyatakan a berada di sebelah kiri titik yang menyatakan b. Misalkan (-3) < (-1), terlihat pada garis bilangan itu bahwa titik yang menyatakan (-3) berada di sebelah kiri dari titik yang rnenyatakan (-1). Itu menunjukkan bahwa nilai (-3) lebih kecil dari (-1) karena semakin ke kiri nilai bilangan semakin kecil.

10

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri atas bilangan positif,bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ, dan anggota bilangan bulat adalah Z={…,-3,2,-1,0,1,2,3,…}. Sifat dasar dari bilangan bulat yaitu : tertutup, komutatif, asosiatif dan distributif. Operasi hitung pada bilangan bulat sama seperti operasi hitung pada umumnya, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan dan kita dapat mengurutkan bilangan bulat dari yang terkecil ke yang terbesar maupun sebaliknya. 3.2 Saran Adapun saran yang dapat penulis sampaikan, setelah penulis mengkaji tentang bilangan bulat adalah apabila kita ingin memahami secara baik tentang operasi pada bilangan bulat maupun pecahan, sebaiknya pembaca benar-benar harus mampu memahami dan menjalankan

dasar-dasar

pengoperasian

matematika

yakni

penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Dengan mampu memahami dan menjalankan operasi dasar tersebut, maka para pembaca tidak akan mengalami kesulitan dalam pengoperasian bilangan bulat.

11

DAFTAR PUSTAKA Nuharini ,Dewi dan Wahyuni Tri. 2008. Matematika konsep dan Aplikasinya untuk Kelas VII SMP dan MTs:Pusat Perbukuan Depdiknas. Djumanta Wahyudin. 2005. Mari Memahami Konsep Matematika untuk Kelas VII SMP dan MTs.Grafindo Media Pratama. A. Wagiyo dan F. Surati. 2008. Pegangan Belajar Matematika. Penerbit : Pusat Perbukuan Depdiknas. Jakarta Agus, Nuniek Avianti. 2008. Mudah Belajar Matematika kelas VIII. Penerbit : Pusat Perbukuan Depdiknas. Jakarta Dewi Nuharini & Tri Wahyuni. 2008. MATEMATIKA Konsep dan Aplikasinya. Penerbit : Pusat Perbukuan Depdiknas. Jakarta Endah Budi Rahaju , R.Sulaiman, etc. 2008. Matematika Kelas 2 SMP. Penerbit : Pusat Perbukuan Depdiknas. Jakarta Sukino & Wilson, S. 2006. Matematika untuk SMP Kelas VIII. Erlangga: Jakarta. http://ignatiuseko19.blogspot.co.id/2017/01/kapita-selekta-matematika.html

12