Calculo Integral 514i6d

1.1 Medición aproximado de figuras amorfas. Las figuras amorfas, “son aquellas figuras que no tienen forma porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme". y su principal finalidad es encontrar en una grafica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa”. La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto “n” tiende a cualquier número dado. Existen dos tipos de notación sumatoria: la notación sumatoria abierta y la notación sumatoria pertinente. La suma de riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una series de formulas para una aproximación del área total bajo la grafica de una curva. La integral definida se utiliza para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas, también son llamadas así porque dada una ecuación su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podría decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa función.

MEDICIONES APROXIMADAS DE FIGURAS AMORFAS Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras. Para un polígono irregular ( figuras con curvas) trazas diagonales y resuelves por triángulos.

1.2 Notación sumatoria En muchas ocasiones será necesario obtener la suma de un conjunto de números. Supóngase que alguna variable X toma los siguientes valores: 9 4 3 1 6 Nótese que puede considerarse 9 como el primer valor de X, 4 como el segundo valor de X, 3 como el tercer valor de X, 1 como el cuarto valor de X, y 6 como el quinto valor de X. Una manera sencilla de expresar esto consiste en utilizar subíndices que representen la posición del valor en la lista. De este modo, el 9 que es el primer valor de X será representado por x1; de manera similar, debido a que 4 es el segundo valor de X, estará representado por x2. Es decir: x1 = 9 x2 = 4 x3 = 3 x4 = 1 x5 = 6 Cuando se desee referir a un valor de X de forma general sin hacer especificaciones, se utilizará el subíndice i y al valor se le llamará xi (léase "equis sub i")

La letra griega

 (sigma mayúscula) se utiliza para denotar una

suma. Entonces 1

i 1

5

xi 23 . El

símbolo en la expresión anterior indica que se deben sumar los valores de X. Además, la expresión "i = 1" que se encuentra debajo de sigma comienza con el valor de X que tiene el subíndice i = 1 (x1). De esta manera, se suman

sucesivamente los valores de X, uno cada vez, y la operación es finalizada cuando se alcanza el valor de X cuyo subíndice es igual al número entero que se encuentra encima de sigma, 5 (x5). Por consiguiente en la suma anterior se tien paso por paso: 5

x

i

x1 x2 x3 x4 x5

i 1

9 4 3 1 6 23 Si sólo se desea sumar algunos valores, se utilizan los subíndices anotados por debajo y por encima Por ejemplo: 4

x

i

x2 x3 x4

i 2

4 3 1 8 Al invertir este proceso, se puede utilizar este método para abreviar la expresión de los datos que se quiere sumar, por ejemplo: 5

x3 x4 x5 se convierte en i 3

x

i

2

Propiedades de  Teorema 1 Si a es una constante y cada uno de los n valores diferentes de i es igual a a, entonces n

a na

i 1

Prueba Como cada una de las x es igual a una cantidad constante a: n

a a a  a na i 1

Teorema 2 Sea a una constante cualesquiera de todos los valores individuales que intervienen en la suma, n

n

axi axi i 1

i1

3

axi i 1

Teorema 3 La notación sigma se puede distribuir respecto de la suma (o de la diferencia): n

( x y z ) x y z i

i 1

i

i

i1

i

i 1

i

n

n

n

i

i 1

1.3 Sumas de Riemann La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos: La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux. Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que: Podemos obtener las siguientes igualdades:

4

(donde C es constante)

Suma de Riemann superior e inferior. Sea P = { x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n } una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces: 

La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

S(f, P) = c j (x j - x j-1 ) donde c j es el supremo de f(x) en el intervalo [x j-1 , x j ].



La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

I(f, P) = d j (x j - x j-1 ) donde d j es el ínfimo de f(x) en el intervalo [x j-1 , x j ].

5

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.

1.4 Definición de integral definida Es el calculo del ´area de una figura curvil´ınea” (AlekSandrov, 1979, 163). Consideremos una curva situada sobre el eje X que representa la gr´afica de la funci´on con ecuaci´on y = f (x). Se desea encontrar el ´area S de la superficie limitada por la curva con ecuaci´on y = f (x), el eje X y las rectas paralelas al eje Y con ecuaciones x = a y x = b. Para tal efecto, dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales como se muestra a continuaci´on:

Denotamos con 4x1 la longitud de la primera parte, la de la segunda parte con 4x2 y as´ı sucesivamente hasta la u´ltima 4xn . En cada parte elegimos puntos r1 , r2 , ...rn , de tal forma que f (r1 ) · 4x1 nos da el ´area del primer rect´angulo, (∆x1 , es la base y f (r1 ) la altura), f (r2 ) ∆x2 da el ´area del segundo rect´angulo y por lo tanto f (rn ) · 4xn da el ´area del en´esimo rect´angulo. Luego se tiene que: Sn = f (r1 ) · 4x1 + f (r2 ) · 4x2 + ... + f (rn ) · 4xn 6

es la suma de las ´areas de los rect´angulos de la figura anterior. Obs´ervese que cuanto m´as fina sea la subdivisi´on de segmento [a, b], m´as pr´oxima estar´a Sn al ´area S. Si se considera una sucesi´on de tales valores por divisi´on del intervalo [a, b] en partes cada vez m´as pequen˜ as, en- tonces la suma Sn tender´a a S. Al decir subdivisiones cada vez m´as pequen˜ as, estamos suponiendo no solo, que n crece indefinidamente, sino tambi´en que la longitud del mayor de los 4xi , en la en´esima divisi´on tiende a cero.

Por lo que el c´alculo del ´area buscada se ha reducido a calcular el l´ımite (A). El c´alculo del l´ımite (A) tambi´en se presenta en otros problemas; por ejemplo, cuando se desea determinar la distancia S recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de una l´ınea recta, con velocidad variable v = f (t), en el intervalo de tiempo entre t = a y t = b. Supongamos que la funci´on f (t) es continua, o sea, que en intervalos pequen˜ os de tiempo la velocidad solo var´ıa ligeramente. Se divide el intervalo [a, b] en n partes de longitudes 4t1 , 4t2 , ..., 4tn . Para calcular un valor aproximado de la distancia recorrida en cada intervalo 4ti , (con i = 1, 2, ..., n) vamos a suponer que la velocidad en este intervalo de tiempo es constante e igual a su verdadero valor en algu´n punto intermedio ri . Luego, la distancia total recorrida estar´a expresada aproximadamente por la siguiente suma: = bn =4x siendo el verdadero valor de la distancia S recorrida en el tiempo b − a, el l´ımite de tales sumas para subdivisiones cada vez m´as finas, o sea, que ser´a el l´ımite (A):

S= lim max 4ti →0 Es necesario determinar ahora la conexi´on entre el c´alculo diferencial y el integral, pero antes calculemos el ´area de la regi´on limitada por la curva en ecuaci´on y = x2 y las rectas con ecuaci´on y = 0, x = 3.

r0 = 0, r1 = 0 + 4 x, r2 = 0 + 2 4 x, ..., rn 7

1.5 Teorema de existencia Un teorema de existencia es un teorema de prueba la existencia de una entidad o de entidades sin decir son cuantas entidades allí o como encontrarlas. En ejemplo de la existencia de un teorema de ese para todos los polinomio, sin un valor del polinomio es positivo para un valor de x, y la negativa para otro valor de x, después el valor del polinomio debe ser cero en alguna parte entre los dos valores del x. En l cuadrado 1, se trazon los puntos (-2.5, 0.875) y (-1, -4). Puesto que f((-2.5) es positiva, y f(-1) es negativa, entonces para un cierto valor de x, -2.5 <x<0.875, f(x)=0. Note que este teorema no dice esta para cuantos valores de x que f(x) es cero, ni de cómo encontrar el valor de f(x).

1.6 Propiedades de la integral definida Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1)

donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces

0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces 8

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los tres intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

1.7 Función primitiva [1]

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo . F es la función primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F′ = f. También se emplea la palabra antiderivada en un contexto más abstracto. Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Método de cálculo Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

9

Aquí están las principales primitivas:

Función F: Primitiva de f

función f: Derivada de F xn, para todo n ≠ -1

ex + k

ex

lnx + k

, para todo n ≠ 1 − cosx + k

sen x

sen x + k

cosx ax

, para todo a > 0 y a ≠ 1

ax + k

a

donde:

a es una constante cos es el coseno e es el número e ln es el logaritmo neperiano n es un número natural y sen es el seno

10

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Al no tener disponible la evaluación de las primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2-3x) = 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k.

Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7. Propiedades

La primitiva de una función impar es siempre par. En efecto, como se ve en la figura a la derecha, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una función f par es impar si se fija F(0) = 0. En efecto, según la figura a la izquierda, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la igualdad de integrales:

11

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Como F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.

La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica

1.-Teorema fundamental del cálculo. El teorema fundamental del cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado que relaciona el cálculo diferencial del cálculo integral. El teorema fundamental del cálculo integral dice que la integral de una función es la 12

inversa de la derivada, es decir, la derivada de la integral de la función es igual a la función. Si f:[a, b]  R integrable es continua en xo  [a, b], entonces G( x) 

∫

x

f (t )dt a

es derivable en xo y G '(xo) = f(xo). En notación de Leibnitz podemos expresar el resultado de este teorema como  d x d ó bien f (t ) dt  f ( x) f  f dx a dx que de una manera más clara muestra la relación, entre la Derivada y la Integral, como operaciones inversas

∫

∫

Demostración. Primer caso: Sea h > 0:

G( x o  h)  G( x o ) 

∫

x0  h a

f (t )dt 

∫

x0

f (t )dt 

a

∫

x0  h

f (t )dt

x0

por el teorema del valor medio para integrales en el intervalo [xo, xo+h], tenemos que

∫

x0  h x0



f (t )dt  f ( x h )  h

para algún valor xh entre xo y xo+h y en consecuencia G( xo  h)  G( xo )  f ( x h )  h

13

Para calcular la derivada de G en xo , calculamos el siguiente límite: G( x o  h)  G( x o )  lim f ( x h )  f ( xo ) h0 h0 h

G' ( x o )  lim

pero cuando h se aproxima a cero el punto xh se aproxima a xo y en consecuencia G' ( xo )  f ( x o ) que es lo que deseábamos demostrar. Segundo caso: Sea h < 0:

G( x o )  G( x o  h) 

∫

x0

f (t )dt 

a

∫

x0  h

f (t )dt 

a

∫

x0

x0  h

f (t )dt

por el teorema del valor medio para integrales en el intervalo [xo+h, xo], de longitud (-h), tenemos que

∫

x0 x0  h



f (t )dt  f ( x h )  (h)

para algún valor xh entre xo+h y xo y en consecuencia G( xo )  G( xo  h)  f ( x h )  (h) 0, bien multiplicando por -1 en ambos lados: G( xo  h)  G( xo ) f ( x h )  (h)  14

h0

h

o

1.9 Calculo de integrales definidas 1._

2.-

3._

4._

15

5._

6._

7._

16

9._

Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

10._

17

1.10 Integrales impropias Una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones. Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites. La integral

puede interpretarse como:

18

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor. En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites. Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.

19

Ejercicios resuletos 1._

20

2._

21

3._

22

4._

23

24